Chapitre 4. Lois de Probabilité

Introduction

• Il est toujours possible d’associer à une variable

aléatoire une probabilité et définir ainsi une loi de

probabilité. Lorsque le nombre d’épreuves augmente

indéfiniment, les fréquences observées pour le

phénomène étudié tendent vers les probabilités et les

distributions observées vers les distributions de

probabilité ou loi de probabilité.

Identifier la loi de probabilité suivie par une variable

aléatoire donnée est essentiel car cela conditionne le

choix des méthodes employées pour répondre à une

question biologique donnée (chapitre 5 et 6).

Lois discrètesLoi de Uniforme

.2

)1(

où d'

2

)1(

1...)1(

...321

2

1

...321

effetEn

1

1

+==

+=

++−+

++++=

++++=

∑

∑

=

=

n

n

i

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nn

nn

n

ni

n

i

n

i

( )

[ ]

++=⇔

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∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

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23

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1)1(312

12

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4

)1(

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2

1

2

2

1

2

22

1

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22

1

2

2

1

2

22

nnni

nnni

nnnni

nn

n

i

n

n

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n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

quemontrer doncdoit On

a on ailleursPar

( ) ( ) ( )

résultat! le oùd'

si 1npour vraieest formule La

avoir doit on

que supposonsest Posons

1.npour vraieest

formule La

récurrencepar ionDémonstrat

06

1

2

1

3

11)1(

6

1

23

)1(6

1

23

6

1

23

6

1

23

2

2

2

2

2

1

2

1

2

2

1

2

=

+

++

++−++

++

+

++

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++=

=

=

++=

+

=

=

∑

∑

nnnn

nnn

nnn

nS

nnnS

i:S

nnni

n

n

n

in

n

i

Loi de Bernoulli

Loi binomiale

Espérance et variance pour la loi binomiale

Stabilité de la loi binomiale

Loi de Poisson

n.réalisatio demoyen nombre leest où

contrainte la sous , lorsque

,1

:suivante propriété la vérifiebinomiale loi la (fixé) 1entier chaquePour

λ

λnp

n

k!

eλp)(pCk)P(S

kλk

knkk

nn

=

+∞→

→−==

≥−

−

Remarque: Si on reprend l’exemple des rats, on pour n=100 rats on a p=1/4

et λ=25.

Comparaison de la loi binomiale et la loi de Poisson

pour n=100, λλλλ=1, p=0.01

Donc en pratique lorsque l’on a un « grand nombre » d’évènements qui suivent une

loi binomiale et qu’on connaît la moyenne λλλλ, on peut utiliser une loi de Poisson.

Binomiale Poisson

( )

( )

( )

k

kn

n

k

kn

n

kn

n

n

k

kn

n

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kn

nk

knkk

knk

knkk

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ekn

n

ekn

n

kn

nn

nkn

n

ekn

n

kn

n

kn

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e

nπnn!

nnkn

n

k

nnkn

n

k

nnknk

nppC

np

−

−

+∞→

−

−

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−

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−

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λ

λλ

λλ

λλ

λλ

λ

lim

lim1

)!(

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2

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!

!

11

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!

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!)1(

donc

a on ) (i.e. Striling de formule la aprésd' Mais

a oneffet En

Démonstration

résultat. le oùd'

quand

Donc

a oneffet En

quemontrer a reste il conclurePour

,

1111ln

lim

2

)(11ln)(

2

2

11ln)(ln)(

+∞→→=

−+−

+−+−

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−

−−

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=

+−

−−

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−−

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−+−

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−

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−

−−

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−−

−

+∞→

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kn

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kn

kλ

kn

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λn

kn

λn

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n

eekn

n

kλkn

kλOknkλ

kn

nkn

kn

nkn

kn

nkn

kn

k

kn

n

λ

λλ

λ

λ

λ

Espérance et variance

Comparaison de la loi binomiale et la loi de Poisson

pour n=500, p=1/365, λλλλ=500/365

Rappel: 1 litre=1000 cm3

Donc ici le nombre moyen de bactéries par boite est 5.

On suppose aussi que le nombre de colonie par boite

est le même que le nombre moyen de bactéries par boites

Stabilité de la loi de Poisson

Loi binomiale négative (des temps d’attente)

Sous les conditions de Bernoulli (épreuves identiques et indépendantes), on

désire connaître la probabilité (d’attendre) de faire X=k épreuves

indépendantes, pour avoir n succès.

Espérance et variance

Loi géométrique ou loi de Pascal

ou binomiale négative avec n=1

Lois continues

Loi Uniforme

Espérance et variance

Loi normale ou loi de Laplace-Gauss

usuelles. méthodes des

par intégrale cettecalculer paspeut neon car 1)( que admettraOn -

=∫+∞

∞

dxxf

Espérance et variance

Stabilité de la loi normale

Loi normale centré et réduite

Relation avec la loi normale

Lois déduites de la loi normale

Loi du χχχχ2 de Pearson

Loi de Student

Loi de Fisher-Snedecor

Convergence en loi

Le théorème central limite