partie 3: estimation des paramètres de propagation

Partie 3:Estimation des paramètres de propagation

Philippe Ciblat

Télécom ParisTech, France

Section 3.0 : Rappel de la théorie de l’estimation

Philippe Ciblat Estimation des paramètres de propagation 2 / 1

Plan

Notion d’estimateurs

Bornes de Cramer-Rao

Analyse asymptotique

Maximum de vraisemblance


Introduction

Soit un processus aléatoire XN = {X1, . . . ,XN}on en connait partiellement la densité de probabilité.par ex., une gaussienne de moyenne et variance inconnueson considère une réalisation xN = {x1, . . . , xN} de ce processus

Objectif

A la donnée d’une réalisation, retrouver de l’information sur la densitéde probabilité

Deux cas de figure :1 Non paramétrique2 Paramétrique


Estimation paramétrique

Hypothèse

La densité de probabilité de XN dépend d’un paramètre d’intérêt θ.

Deux cas de figure :1 θ est vu comme un paramètre fixe

pX (xN |θ)

On parle alors d’approche déterministe2 θ est vu comme un paramètre aléatoire

pX ,θ(xN ,θ) ou pX (xN |θ) et pθ(θ)

On parle alors d’approche bayésienne (car θ admet une densitéde probabilité a priori)


Détection/Estimation

Détection

θ admet un nombredénombrable/fini de valeurs

CritèreProbabilité d’erreur

Pe = Prob(θ 6= θ)

⇒ Détecteur optimal ?

Maximum A Posteriori(MAP)Maximum de Vraisemblance(ML) si équiprobable

Estimation

θ admet un nombrenon-dénombrable de valeurs

CritèreErreur quadratique moyenne

E = E[|θ − θ|2]

⇒ Estimateur optimal ?

Mean A Posteriori (MAP) (siθ aléatoire)ML parfois asymptotiquement(si θ déterministe)


Notion de statistiques

Soit xN = {x1, . . . , xN} une observation du processus aléatoire XN

On appelle statistique une fonction quelconque T dépendant del’observation

T (x1, . . . , xN)

On appelle estimateur une statistique qui, l’on espère, approchela valeur du paramètre d’intérêt θ

θN = θ(x1, . . . , xN)

Remarques

Toute statistique est une variable aléatoireLa théorie de l’estimation a pour objet de trouver des bonsestimateurs par rapport à des critères mesurant l’écart entre lavraie valeur et la valeur estiméeA chaque critère correspond des bons et des mauvaisestimateurs


Statistiques exhaustives

Une statistique est dite exhaustive par rapport à pX (xN |θ) ssi

pX (xN |θ) = gθ(T (xN))h(xN)

Cela signifie, en pratique, que la seule connaissance de T ne faitperdre aucune connaissance sur θ.

Exemple

Soit XN un vecteur gaussien réel dont les composantes sont i.i.d. demoyenne m et variance v . Soit θ = [m, v ]. On a

pX (xN |θ) ∝ e−1

2v∑N

n=1(xn−m)2= e−

N2v (vN+(mN−m)2)

avecmN =

∑Nn=1 xn/N : la moyenne empirique

vN =∑N

n=1(xn − mN)2/N : la variance empirique


Risque

Une fonction de coût, notée C(θ, θ), mesure l’écart entre θ et θ :1(‖θ − θ‖ ≥ ε) : coût uniforme‖θ − θ‖L1 : coût L1

‖θ − θ‖2 : coût quadratique (norme L2)

Risque

On moyenne la fonction de coût sur les valeurs possibles de xN

R(θ, θ) = EX [C(θ, θ)]

=

∫C(θ, θ(xN))pX (xN |θ)dxN


Biais et Erreur quadratiqueLe biais est défini de la manière suivante

b(θ, θ) = EX [θ(xN)]− θ

L’ erreur quadratique moyenne (EQM/MSE) est le risque suivant

EQM(θ, θ) = EX [‖θ(xN)− θ‖2]

La variance d’un estimateur vaut

var(θ, θ) = EX [‖θ(xN)− EX [θ(xN)]‖2]

Remarques

Un estimateur est dit sans biais ssi b(θ, θ) = 0Le lien entre les trois mesures est

EQM(θ, θ) = ‖b(θ, θ)‖2 + var(θ, θ)


Exemple

Soit XN un vecteur gaussien réel dont les composantes sont i.i.d.de moyenne m et variance v

Soit l’estimateur empirique de la moyenne

mN =1N

N∑n=1

xn

Cet estimateur estsans biaisde variance

var(m, mN) =vN


Performances

θ1 sera dit meilleur estimateur que θ2 par rapport au risque R ssi

R(θ, θ1) ≤ R(θ, θ2) ∀ θ ∈ Θ

QuestionY-a-t-il une valeur minimale du risque ?

Si le risque est quadratiqueSi le problème est suffisamment régulierSi on restreint la classe des estimateurs

alors la réponse est affirmative⇒ borne de Cramer-Rao (BCR/CRB)


Bornes de Cramer-Rao (I)Un modèle est dit régulier si

∂pX (xN |θ)/∂θ existe pout tout xN et tout θ.pX (xN |θ) a le même support par rapport à xN pour tout θSoit X l’espace d’observation∫

X

∂

∂θpX (xN |θ)dxN =

∂

∂θ

∫X

pX (xN |θ)dxN = 0

Exemple

Soit X un scalaire gaussien réel de moyenne θ = m et variance 1

pX (x |θ) =1√2π

e−(x−θ)2/2

p′X (x |θ) = (x − θ)pX (x |θ)

le support est R pour tout θ∫R pX (x |θ)dx = 1


Bornes de Cramer-Rao (II)

Proposition 1

Un estimateur sans biais vérifie l’inégalité suivante

EX

[(θ − θ

)(θ − θ

)T]≥ F (θ)−1 = CRB(θ)

RemarquesEQM(θ, θ) ≥ trace(F (θ)−1)

La matrice F (θ) se nomme matrice d’information de Fisher (FIM)

F (θ) = EX

[(∂ ln pX (xN |θ)

∂θ

)(∂ ln pX (xN |θ)

∂θ

)T]

Une version étendue de la CRB au cas biaisé existeUn estimateur sans biais atteignant la CRB est dit efficace


Bornes de Cramer-Rao (III)

Proposition 2

Si la fonction ln pX (xN |θ) admet une dérivée seconde, alors

F (θ) = −EX

[∂2 ln pX (xN |θ)

(∂θ)2

]

RemarquesLa formule précédente est une variante de la CRBpX (xN |θ) est la vraisemblanceln pX (xN |θ) est la log-vraisemblance


Preuve de la proposition 1

Nous nous limitons, par souci de légèreté, au cas scalaire

EX

[(θ − θ)

∂

∂θln pX (x |θ)

]=

∫(θ − θ)

∂

∂θln pX (x |θ)pX (x |θ)dx

=

∫(θ − θ)

∂

∂θpX (x |θ)dx

=∂

∂θEX [θ]

= 1

Utilisation, ensuite, de l’inégalité de Cauchy-Schwartz


Exemple

Soit XN un vecteur gaussien réel dont les composantes sont i.i.d. demoyenne m (inconnue) et variance v (connue)

pX (XN |m) =1

(√

2πv)Ne−

∑Nn=1(xn−m)2/2v

RésultatLa matrice d’information de Fisher (pour l’estimation de m) est tel que

F−1 =vN

RemarquesConsidérons l’estimateur empirique de la moyenneCet estimateur est sans biais et d’erreur quadratique v/NCet estimateur est donc efficace



Objectif

Etude des performances de l’estimateur θN lorsque N →∞

Ex. : estimation d’une moyenne nulle

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.50

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Moyenne estimée

Nom

bre

de v

ale

urs

tro

uvées p

ar

recta

ngle

(pour

1000 tests

)

10 échantillons

Notion de convergence

Notion de dispersionVarianceAllure de ladistribution



Objectif



−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.50

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Moyenne estimée

Nom

bre

de v

ale

urs

tro

uvées p

ar

recta

ngle

(pour

1000 tests

)

100 échantillons





Objectif



−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.50

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Moyenne estimée

Nom

bre

de v

ale

urs

tro

uvées p

ar

recta

ngle

(pour

1000 tests

)

1000 échantillons




Consistance

Définition

θN − θp.s.→ 0

avec la convergence presque sûre définie de la manière suivante

Prob(ω : lim

N→∞θN(ω) = θ

)= 1

Démarche classique :Loi forte des grands nombresLemme de Borel-Cantelli

∀ε > 0,∑n∈N

Prob(‖θn − θ‖ > ε) < +∞⇒ Prob( limN→∞

θN = θ) = 1

Inégalité de Markov/Tchebitchev

Prob(‖θN − θ‖ > ε) ≤E[‖θN − θ‖p

Lp ]

εp , p ≥ 2


Normalité asymptotique

DéfinitionUn estimateur est dit asymptotiquement normal ssi

Np/2(θN − θ)L→ N (0,Γ)

oùp est la vitesse de convergence (convergence dite en 1/Np)Γ est la matrice de covariance (asymptotique)

Convergence en loi : xnL→ x

Pour toute fonction continue bornée : limN→∞ E[f (xn)] = E[f (x)]

Pour tout w , limN→∞ E[eiwxn ] = E[eiwx ]

les réalisations des v.a. peuvent être totalement différentes, ellesont juste la même loi asymptotiquement


RemarquesOrigine de la normalité asymptotique :

Théorème central-limiteDémonstration classique par les fonctions caractéristiques dedeuxième espèce

Calcul de la covariance asymptotique :EQM = E[‖θN − θ‖2] ∼ trace(Γ)/Np

Démarche classique du calcul de la covariance pardéveloppement en série de Taylor à l’ordre deux du processusde contraste autour de θ

Quelques propriétés supplémentaires :Un estimateur est dit asymptotiquement sans biais silimN→∞ EX [θN ] = θ

Un estimateur est dit asymptotiquement efficace si il estasymptotiquement normal et que

EQM(N)

trace(CRB(N))→ 1, quand N →∞


Estimateur du maximum de vraisemblance (I)

Définition

Soit pX (.|θ) une densité de probabilité paramétrée par θ

θML,N = arg maxθ∈Θ

p(xN |θ)

On parle d’estimateur MV ou ML (Maximum Likelihood)

Remarque :Supposons, pour simplifier, que les xn sont i.i.d.

θ 7→ J(θ, θ) = D(pX (.|θ)||pX (.|θ))− H(pX (.|θ))

= −EX [ln pX (.|θ)]

θ 7→ JN(θ, θ) = − 1N

N∑n=1

ln p(xn|θ)

∝ − ln p(xN |θ)


Estimateur du maximum de vraisemblance (II)

Equations de vraisemblance :Si pX (.|θ) est différentiable par rapport à θ, alors

∂pX (xN |θ)

∂θ

∣∣∣∣θ=θML,N

= 0

Performances asymptotiques

Si la suite xn est i.i.d. et pX (xn|θ) vérifie des conditions techniquespeu restrictives, alors l’estimateur ML est

consistantasymptotiquement sans biaisasymptotiquement normal avec p = 1asymptotiquement efficace

Contre-exemple : estimation de fréquence (variables non i.d.)


Estimateur du maximum de vraisemblance (III)

Soitxn = fn(θ) + bn, pour n = 1, . . . ,N

avecfn(.) des fonctions déterministesune suite bn i.i.d gaussienne de moyenne nulle et de variance v

Estimateur ML

θML,N = arg minθ

N∑n=1

|xn − fn(θ)|2

C’est donc l’estimateur des moindres carrés (LS pour Least Square)

Exemple :L’estimateur empirique de la moyenne est le LS/ML.


Bibliographie

H. Cramer, "Mathematical Methods of Statistics", 1946.

H.L. Van Trees, "Detection, Estimation, and Modulation Theory", Partie 1, 1968.

E. Moulines, "Estimation statistique", Polycopié ENST.

B. Porat, "Digital Processing of Random Signals : Theory and Methods", 1994.


Section 3.1 : Estimation du canalavec séquence d’apprentissage


Introduction

y(n) =L∑

k=0

h(k)sn−k + b(n)

avech le filtre équivalentb(n) un bruit blanc iid centré gaussien

Problème : Le filtre h est, en pratique, inconnu du récepteur

Objectif

Comment estimer h ?


Méthode d’estimation

Trois modes :Avec séquence d’apprentissage Data-aided (DA) ou supervisé

Sans séquence d’apprentissage Non-Data-aided (NDA) ou autodidacte/aveugle

Avec retour de décision Decision-Directed (DD)

Objectif

Estimer h à la donnée de y(n) et sn


Formulation matricielle

yN = SNh + bN

avecyN = [y(0), · · · , y(N − 1)]T

N nombre d’observations (temps d’observation = [0,NTs[)[01,L, s0, · · · , sN−1]T : séquence d’apprentissageSN une matrice N × (L + 1) définie comme suit

SN =

s0 s−1 . . . s−L

s1. . . . . .

...sN−1 sN−2 . . . sN−1−L

h = [h(0), · · · ,h(L)]T

bN = [b(0), · · · ,b(N − 1)]T : bruit blanc gaussien


Estimateur du maximum de vraisemblance

On a

p(yN |h) ∝ exp

{−‖yN − SNh‖2

2N0

}d’où

hN = arg minh‖yN − SNh‖2

Résultat

hN = S#N yN =

(SH

NSN)−1 SH

NyN

avec S#N la pseudo-inverse de SN


Performances asymptotiques (I)

Un résultat préliminaire

{sn}n réalisation d’une séquence pseudo-aléatoire stationnairers(τ) = E[sn+τsn] la fonction d’autocorrélationTN = 1

N SHNSN

Résultat fondamental

tN(k , l) =1N

N−1∑n=0

sn−k sn−lp.s.→ E[sn−k sn−l ] = rs(k − l)

Considérons Rs = (rs(k − l))0≤k,l≤L la matrice (Toeplitz) decorrélation de taille (L + 1)× (L + 1) du processus {sn}n

1N

SHNSN

p.s.→ Rs


Performances asymptotiques (II)

Résultat

Estimateur sans biais : E[hN ] = hEstimateur consistant

hNp.s.→ h

Estimateur asymptotiquement normal (avec une vitesse en 1/N)

N1/2(hN − h)L→ CN (0,Γ)

avecΓ = 2N0 (Rs)−1

Remarque :

MSE = E[‖hN − h‖2

]≈ trace(Γ)

N


Preuve

hN =(SH

NSN)−1 SH

NyN

= h +(SH

NSN)−1 SH

NbN

⇒ sans biais

= h +

(1N

SHNSN

)−1 1N

SHNbN

⇒ consistant

N1/2(hN − h) =

(1N

SHNSN

)−1( 1√N

SHNbN

)⇒ asymptotiquement normal

NE[(hN − h)(hN − h)H] = 2N0

(1N

SHNSN

)−1

⇒ de covariance asymptotique Γ


Séquence d’apprentissage optimale

Les performances dépendent donc de la couleur de la séquenced’apprentissageQuestion : quelle est la couleur optimale ?

Problème d’optimisation :

Ropt. = arg minRs

trace(Rs )=(L+1)P0

trace(R−1s )

RésultatLa matrice Rs = P0IdL+1 rend la MSE minimale

Remarque :La séquence d’apprentissage optimale est blancheL’estimateur ML devient le simple corrélateur hN = 1

NP0SH

NyN


Preuve

La matrice Rs est hermitienne et donc diagonalisableSoit Rs = P−1ΛP avec Λ = diag(λ0, . . . , λL)

On a

Ropt. = arg minλ0,...,λL∑L

`=0 λ`=(L+1)P0

L∑`=0

1λ`

La fonction f (x) = 1/x étant convexe, on a

f

(1

L + 1

L∑`=0

λ`

)≤ 1

L + 1

L∑`=0

f (λ`)⇒L∑`=0

1λ`≥ L + 1

P0

La borne est atteinte si

λ` = P0


Borne de Cramer-Rao

Résultat

CRBN(h) =2N0

N

(1N

SHNSN

)−1

Remarque :L’estimateur ML est donc efficace


Exemple numérique : EQM (MSE)

On ah = [−0.40825,0.81650,0.40825]T

Séquence blanche

0.001

0.01

0.1

0 50 100 150 200 250 300

MS

E

N

MSE en fonction de N (Eb/N0=10dB)

MSE empiriqueMSE thØorique (CRB)

0.001

0.01

0.1

1

0 5 10 15 20

MS

E

Eb/N0

MSE en fonction de Eb/N0 (N=32)

MSE empiriqueMSE thØorique (CRB)

Exemple : N = 32 pour une trame de longueur 128 dans le GSM


Exemple numérique : TEB (BER)

On ah = [−0.40825,0.81650,0.40825]T

Séquence blancheEgaliseur de WienerConstellation d’amplitude à deux états (MDA2/BPSK)

1e-04

0.001

0.01

0.1

0 50 100 150 200 250 300

TE

B

N

TEB en fonction de N (RSB=8dB)

Canal estimØCanal connu

1e-06

1e-05

1e-04

0.001

0.01

0.1

1

0 2 4 6 8 10

TE

B

Eb/N0

TEB en fonction de Eb/N0

Canal estimØ (N=8)Canal estimØ (N=32)

Canal connu


Bibliographie

S. Crozier, D. Falconer et S. Mahmoud, "Least sum of squared errors channelestimation", IEE Proceedings on Radar and Signal Processing, vol. 138, no. 4,pp. 371-378, Août 1991.

C. Tellambura, "Optimal sequences for channel estimation using FFTtechniques", IEEE Trans. on Communications, vol. 47, no. 2, pp 230-238, Février1999.

M. Morelli et U. Mengali, "Carrier-frequency estimation for transmissions overselective channels", IEEE Trans. on Communications, vol. 48, pp. 1580-1589,Septembre 2000.

P. Ciblat et L. Vandendorpe, "On the Maximum-Likelihood based data-aidedfrequency offset and channel estimates", EURASIP European Signal ProcessingConference (EUSIPCO), vol. 1, pp. 627-630, Toulouse (France), Septembre2002.

P. Stoica et O. Besson, "Training sequence design for frequency offset andfrequency-selective channel estimation", IEEE Trans. on Communications, vol.51, no. 11, pp 1910-1917, Novembre 2003.


Section 3.2 : Estimation de la fréquenceavec séquence d’apprentissage


Plan

Modèle de signal

Rappel : estimation de fréquence pure

Estimateurs ML

Bornes de Cramer-Rao

Illustrations numériques


Modèle en bande de base (I)

Signal reçu en bande de base

ya(t) =

(∑k∈Z

sk ha(t − kTs)

)e2iπδfat + ba(t)

avec{sk}k∈Z : symboles d’une constellation quelconque

ba(t) : bruit additif gaussien ∼ CN (0,2N0).

ha(t) : un filtre résultant d’un filtre de mise en forme ga(t), d’uncanal de propagation, d’un déphasage et d’un retard temporel.

δfa un résidu de fréquence porteuse lié soit à l’effet Doppler soità un défaut des oscillateurs locaux.


Modèle en bande de base (II)

Hypothèse

δfaTs � 1

⇒ δfa petit devant la largeur de bande

Système radiomobile avec effet Doppler :porteuse f0 à 900MHz, vitesse v de déplacement à 50km/h⇒ δfa = f0 v

c = 40Hz

Oscillateurs locaux de précision de 100ppm⇒ δfa = f0 × précision = 90kHz


Modèle mathématique

Signal reçu

y(n) =

(L∑

k=0

h(k)sn−k

)︸︷︷︸

a(n)

e2iπf0n + b(n)

{sn} une séquence de données (connue ou inconnue){h(k)} le filtre inconnuf0 la fréquence inconnueb(n) le bruit gaussien blanc


Méthode d’estimation

Deux modes :Avec séquence d’apprentissage Data-aided (DA) ou supervisé ou avec pilote Estimation d’harmonique avec amplitude partiellementconnue variant dans le temps

Sans séquence d’apprentissage Non-Data-aided (NDA) ou autodidacte/aveugle Estimation d’harmonique avec bruit multiplicatif et bruit additif

Objectif

Estimer f0 à la donnée de y(n) et sn


Estimation de fréquence pure

Modèle du signal : soit f0 la fréquence

y(n) = ae2iπf0n + b(n)

avec a l’amplitude complexe telle que a = |a|e2iπφ0 avec φ0 la phase

Exemple :

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−6

−4

−2

0

2

4

6

sample index

Harmonic with f0=0.1 and SNR=−10dB

Re

al p

art

of

ha

rmo

nic

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−6

−4

−2

0

2

4

6

sample index

Harmonic with f0=0.1 and SNR=0dB

Re

al p

art

of

ha

rmo

nic

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−6

−4

−2

0

2

4

6

sample index

Harmonic with f0=0.1 and SNR=10dB

Re

al p

art

of

ha

rmo

nic

RSB=−10dB RSB=0dB RSB=10dB


Estimateur ML de fréquence pure

Critère ML : comme le bruit additif est gaussien blanc, on a

min|a|,φ,f

J(|a|, φ, f ) =1N

N−1∑n=0

∣∣∣y(n)− |a|e2iπ(fn+φ)∣∣∣2

Résultat

Si phase φ0 connue : fN = arg maxf <[

1N

∑N−1n=0 y(n)e−2iπ(fn+φ0)

]Si phase φ0 inconnue : fN = arg maxf

∣∣∣ 1N

∑N−1n=0 y(n)e−2iπfn

∣∣∣2


Preuve

J(|a|, φ, f ) =1N

N−1∑n=0

|y(n)|2 + |a|2

− |a|

(1N

N−1∑n=0

y(n)e2iπ(fn+φ) +1N

N−1∑n=0

y(n)e−2iπ(fn+φ)

)Si phase connue (φ = φ0), maximisation du terme bleuSi phase inconnue, φ0 ∈ [0, π[ (sinon ambiguïté avec a et −a) et

∂J∂φ

∣∣∣∣φ=φN

= 0⇔ e2iπφN =

(1N

∑N−1n=0 y(n)e−2iπfn

1N

∑N−1n=0 y(n)e2iπfn

)1/2

d’où

J(|a|, φN , f ) = constante− 2|a|

∣∣∣∣∣ 1N

N−1∑n=0

y(n)e−2iπfn

∣∣∣∣∣ce qui implique la maximisation du terme magenta



f0 = 0.1N = 100

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

10

20

30

40

50

60

70

80

frequency index

Harmonic with f0=0.1, N=100 and SNR=−10dB

FF

T n

orm

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

20

40

60

80

100

120

frequency index

Harmonic with f0=0.1, N=100 and SNR=0dB

FF

T n

orm

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

frequency index

Harmonic with f0=0.1, N=100 and SNR=10dB

FF

T n

orm

RSB=−10dB RSB=0dB RSB=10dB


Estimation de fréquence non pure

yN = DN(f0)SNh + bN

avecyN = [y(0), · · · , y(N − 1)]T

N nombre d’observations (temps d’observation = [0,NTs[)[01,L, s0, · · · , sN−1]T : séquence d’apprentissageSN une matrice N × (L + 1) définie comme suit

SN =

s0 s−1 . . . s−L

s1. . . . . .

...sN−1 sN−2 . . . sN−1−L

h = [h(0), · · · ,h(L)]T

DN(f ) = diag([1, · · · ,e2iπ(N−1)f ])

bN = [b(0), · · · ,b(N − 1)]T : bruit blanc gaussienPhilippe Ciblat Estimation des paramètres de propagation 48 / 1

Estimateurs ML (I)

Problème dirigési la fréquence est connue (problème classique)

hN|f = (SHNSN)−1SH

NyN

si le canal est connu (référence ou voie de retour)

fN|h = arg maxf∈[0,1[

<[hHSHNDN(f )HyN ]

Preuve : suivre la démarche du transparent 46

Lien avec le périodogramme

fN|h = arg maxf∈[0,1[

<

[1N

N−1∑n=0

a(n)y(n)e−2iπfn

]


Estimateurs ML (II)

Problème conjoint{fN = arg maxf∈[0,1[ yH

NDN(f )SN(SHNSN)−1SH

NDN(f )HyN

hN = (SHNSN)−1SH

NDN(fN)HyN

Preuve : suivre la démarche du transparent 46

Soit PN = SN(SHNSN)−1SH

N la projection sur l’image de SN .Soit la décomposition de Cholesky de PN = QH

NQN

Lien avec périodogramme

fN = arg maxf∈[0,1[

1N

N−1∑n=0

∣∣∣∣∣N−1∑n′=0

qn,n′y(n′)e−2iπfn′∣∣∣∣∣2


Bornes de Cramer-Rao : problème dirigé

Résultat γf |h = N04π2N3

1hHW2h

Γh|f = 2N0N W−1

0

avec

WK =SH

N∆KNSN

N(K+1)

et∆N = diag([0,1, · · · ,N − 1])

Remarque :Estimateur ML est asymptotiquement efficace


Preuve

F (f ) = Ey

[(d ln p(y|f )

df

)2]

et p(y|f ) ∝ e−‖y−DN (f )SN h‖2

2N0

ln p(y|f ) =−12N0

(yH − hHSHNDN(f )H)(y− DN(f )SNh) + cte

d ln p(y|f )

df=

−12N0

(2iπhHSHN∆NDN(f )H)(y− DN(f )SNh)

+−12N0

(yH − hHSHNDN(f )H)(−2iπDN(f )∆NSNh)

d ln p(y|f )

df

∣∣∣∣y,f0

=−2iπ2N0

(hHSH

N∆NDN(f0)Hb− bHDN(f0)∆NSNh)

E

[(d ln p(y|f )

df

)2]

=4π2

4N20

(2hHSH

N∆NDN(f0)HE[bbH]DN(f0)∆NSNh)


Bornes de Cramer-Rao : problème conjoint

Résultat γf = N0

4π2N31

hH(W2−W1W−10 W1)h

Γh = 2N0N (W−1

0 +W−1

0 W1hhHW1W−10

2hH(W2−W1W−10 W1)h

)

Remarque :Convergence de l’estimateur de la fréquence en 1/N3

Convergence de l’estimateur du canal en 1/NEstimateur ML asymptotiquement efficace


Bornes de Cramer-Rao asymptotiques (I)

Considérons{sn}n une réalisation d’une séquence pseudo-aléatoirestationnairers(τ) = E[sn+τsn] la fonction d’autocorrélation

Résultat fondamental

wK (k , l) =1

N(K+1)

N−1∑n=0

nK sn−k sn−lp.s.→ E[sn−k sn−l ]

K + 1=

rs(k − l)K + 1

Esquisse de preuve :

wK (k , l) =

(1

N(K+1)

N−1∑n=0

nK

)︸︷︷︸

1/(K+1)

E[sn−k sn−l ] +1

N(K+1)

N−1∑n=0

nK εk,l (n)︸︷︷︸p.s.→0


Bornes de Cramer-Rao asymptotiques (II)

Considérons Rs = (rs(k − l))0≤k,l≤L la matrice (Toeplitz) decorrélation de taille (L + 1)× (L + 1) du processus {sn}n

Problème dirigé

γf |h =3N0

4π2N31

hHRshet Γh|f =

2N0

NR−1

s

Problème conjoint

γf =3N0

π2N31

hHRshet Γh =

2N0

N

(R−1

s +32

hhH

hHRsh

)

Remarque :Perte de 6dB pour l’estimation de fréquence si le canal est inconnu



Protocole :Afin de maximiser les périodogrammes, on procède en deux étapes

1. une étape dite grossière réalisée à l’aide d’une TFD2. une étape dite fine réalisée par le biais d’un algorithme du

gradient initialisé avec le résultat de l’étape grossière

Remarques

A faible RSB et/ou quand le nombre d’échantillons est petit,l’étape grossière peut échouer⇒ phénomène de décrochementLa borne de Cramer-Rao ne fournit de l’information que sur laseconde étape


EQM en fonction du RSB

Canal radio-mobile de norme 1N = 32

−20 −10 0 10 20 30 40 50−120

−100

−80

−60

−40

−20

0

SNR (N=32, MC=200)

(dB

)

MSE versus SNR / Variable of interest : Frequency Offset

Practical MSE : Frequency Offset (Joint Estimation) Theoretical MSE : Frequency Offset (Joint Estimation)Practical MSE : Frequency Offset (Channel known) Theoretical MSE : Frequency Offset (Channel known)

−20 −10 0 10 20 30 40 50−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10

20

SNR (N=32, MC=200)

(dB

)

MSE versus SNR / Variable of interest : Channel

Practical MSE : Channel (Joint Estimation) Theoretical MSE : Channel (Joint Estimation) Practical MSE : Channel (Frequency Offset known) Theoretical MSE : Channel (Frequency Offset known)

f0 h

La CRB inexacte à faible RSB (phénomène de décrochement)


Taux d’Erreur Binaire

N = 50, Trame de longueur 500Egaliseur de Wiener

1e-04

0.001

0.01

0.1

1

0 2 4 6 8 10 12 14 16

BE

R

SNR

BER versus SNR for Nt=50 and alpha=10

Perfect knowledgeWhite TS


Problèmes non traités

1. Conception de la séquence d’apprentissage ?2. Estimation de la fréquence en NDA3. Décrochement : est-ce intrinsèque au problème ou juste à

l’estimateur ?4. Extension à l’OFDM

Méthode DA : démarche identiqueMéthode NDA : identique ou sous-porteuses nulles (détecteurd’énergie, méthode sous-espace) ou égalisation entre porteusesou ...


Bibliographie

E. Hannan, "The estimation of frequency", Journal of Applied Probability, 1973.

D. Rife et R. Boorstyn, "Single-tone parameter estimation from discrete-timeobservations", IEEE Trans. on Information Theory, Septembre 1974.

A. Viterbi, "Non-linear estimation of PSK-modulated carrier phase with applicationto burst digital transmissions", IEEE Trans. on Information Theory, Juillet 1983.

U. Mengali et A. d’Andrea, "Synchronisation techniques for digital receivers",Plenum Press, 1997.

H. Meyr et al., " Digital communications receivers", Wiley, 1998.

M. Ghogho, A. Swami et A. Nandi, "Non-linear least squares estimation forharmonics in multiplicative and additive noise", Signal Processing, Octobre 1999.

M. Morelli et U. Mengali, "Carrier frequency estimation for transmissions overselective channels", IEEE Trans. on Communications, Septembre 2000.

N. Noels et al., "Turbosynchronization : an EM algorithm interpretation", IEEEInternational Conf. on Communications (ICC), 2003.

Y. Wang et al., "Optimal blind carrier recovery for M-PSK burst transmissions",IEEE Trans. on Communications, Septembre 2003.

P. Ciblat et al., "Training Sequence Optimization for joint Channel and FrequencyOffset estimation", IEEE Trans. on Signal Processing, Août 2008.


partie 3: estimation des paramètres de propagation

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