ch 4: Échantillonnage et estimation des paramètres · 2017-12-14 · 4. estimation par intervalle...

Ch 5: Échantillonnage et Ch 5: Échantillonnage et estimation des paramètresestimation des paramètres

1. Échantillon, paramètre et statistique1. Échantillon, paramètre et statistique

1.1 Échantillon aléatoire1.1 Échantillon aléatoire

Un échantillon aléatoire est une suite de variablesUn échantillon aléatoire est une suite de variables

aléatoires aléatoires indépendantesindépendantes et de et de mêmemême

loiloi qu’une qu’une caractéristique caractéristique X d’une population. X d’une population.

nXX ,,1

Cours de Proba/Stat Svi/Sem 3 Cours de Proba/Stat Svi/Sem 3 Par Dr A. MERBOUHAPar Dr A. MERBOUHA

1.2 Paramètre1.2 Paramètre

Un paramètre est un nombre qui décrit une Un paramètre est un nombre qui décrit une

caractéristique de la population étudiée. caractéristique de la population étudiée.

Citons, à titre d’exemples, la moyenne , la Citons, à titre d’exemples, la moyenne , la

variance , la médiane variance , la médiane MM et la proportion et la proportion pp d’une population. Notons que les d’une population. Notons que les paramètres sont souvent inconnus.paramètres sont souvent inconnus.

2


1.3 Statistique1.3 Statistique

Une statistique est une fonction de l’échantillon quiUne statistique est une fonction de l’échantillon qui

permet d’estimer un paramètre de la population. permet d’estimer un paramètre de la population.


Par exemple :Par exemple :

a)a) La moyenne d’une population est La moyenne d’une population est estimée par la moyenne d’un estimée par la moyenne d’un échantillon de cette population : échantillon de cette population :

X

n

XXX n

⋯1


b)b) La variance La variance d’une population estd’une population est

estimée par la varianceestimée par la variance d’un échantillond’un échantillon

de cette population :de cette population :

22S

n

ii

n

ii XnX

nXX

nS

1

22

1

22

1

1)(

1

1


c)c) Soit une population ayant une caractéristique Soit une population ayant une caractéristique

qualitative (une maladie particulière). La qualitative (une maladie particulière). La

proportion proportion des individus ayant cette des individus ayant cette

caractéristique dans la population est estimée caractéristique dans la population est estimée

par :par :

p

n

Sp nˆ

où désigne le nombre d’individus del’échantillon qui possèdent cette caractéristique.

nS


RemarqueRemarque

Notons que les statistiquesNotons que les statistiques et sont et sont appelées aussi appelées aussi estimateursestimateurs. Par contre, la . Par contre, la valeur calculée par un estimateur pour un valeur calculée par un estimateur pour un échantillon donnée est appelée échantillon donnée est appelée estimation estimation ponctuelleponctuelle..

,X 2S p̂


2. Qualité d’un estimateur2. Qualité d’un estimateur 2.1 Estimateur sans biais2.1 Estimateur sans biais

Définition :Définition : Un estimateur d’un paramètreUn estimateur d’un paramètre

est dit sans biais si son espérance mathématique est est dit sans biais si son espérance mathématique est

égale à la vraie valeur du paramètre à estimer :égale à la vraie valeur du paramètre à estimer :

Notons qu’un estimateur sans biais Notons qu’un estimateur sans biais ne surestimene surestime ni ni sous-estimesous-estime systématiquement le paramètre. On dit systématiquement le paramètre. On dit d’un estimateur sans biais qu’il est bien centré.d’un estimateur sans biais qu’il est bien centré.

T

)(TE


Remarque :Remarque : Notons que et Notons que et sont sont

respectivement des estimateurs sans biais respectivement des estimateurs sans biais desdes

paramètresparamètres , et , et c'est-à-dire :c'est-à-dire :

,X 2S p̂

2 p

,)( XE 22 )( SE et .)ˆ( ppE


2.2 Estimateur efficace2.2 Estimateur efficace

Définition :Définition : Soient et deux estimateurs sansSoient et deux estimateurs sans

biais d’un paramètre inconnubiais d’un paramètre inconnu . On dit que est . On dit que est

plus efficace que si plus efficace que si

1T 2T

1T2T

)()( 21 TVarTVar


Un estimateur sans biais doit avoir une variance Un estimateur sans biais doit avoir une variance aussi petite que possible, afin d’être aussi précis aussi petite que possible, afin d’être aussi précis que possible. Ainsi les variances des estimateurs que possible. Ainsi les variances des estimateurs

nXVar

2

)(

etn

pppVar

)1()ˆ(

Ces formules montrent que les variances de et celle de diminuent lorsque la taille de l’échantillon augmente. Donc, plus l’échantillon est

grand, plus et sont précis.

Xp̂ n

X p̂Cours de Proba/Stat Svi/Sem 3 Cours de Proba/Stat Svi/Sem 3

Par Dr A. MERBOUHAPar Dr A. MERBOUHA

3. Distribution d’échantillonnage3. Distribution d’échantillonnage Une statistique est par définition basée sur un Une statistique est par définition basée sur un

échantillon qui n’est qu’une partie de la population échantillon qui n’est qu’une partie de la population étudiée; il est donc fort improbable que la valeur étudiée; il est donc fort improbable que la valeur prise par cette statistique coïncide avec le prise par cette statistique coïncide avec le paramètre étudié.paramètre étudié.

Définition Définition :: La distribution d’échantillonnage d’une La distribution d’échantillonnage d’une statistique est la distribution de toutes les valeurs statistique est la distribution de toutes les valeurs possibles de cette statistique. Ces valeurs sont possibles de cette statistique. Ces valeurs sont calculées à partir de tout les échantillons de même calculées à partir de tout les échantillons de même taille et issus de la même population.taille et issus de la même population.


3.13.1 Étude de la distribution échantillonnale deÉtude de la distribution échantillonnale de

a.a. Population normale de variance connuePopulation normale de variance connue : :

Si un échantillon issu d’une populationSi un échantillon issu d’une population

de loi normale de de loi normale de variancevariance connueconnue, alors, suit, alors, suit

une lois normale: une lois normale:

X

nXX ,,1 2 X

)1,0(/

Nn

XZ


bb. Population normale de variance inconnue. Population normale de variance inconnue : :


de loi normale de de loi normale de variancevariance in inconnueconnue, alors: , alors:

nXX ,,1 2

1/

ntnS

XT

où désigne la loi de Student de d.d.l 1nt .1n


cc. Population de loi inconnue. Population de loi inconnue : :


de loi de loi inconnueinconnue, alors le , alors le théorème central limitethéorème central limite

nous permet d’écrire :nous permet d’écrire :

nXX ,,1

n

)1,0(/

NnS

XZ

pourvue que la taille de l’échantillon soit assez grande ( ).30n


3.23.2 Étude de la distribution échantillonnale de la Étude de la distribution échantillonnale de la variance.variance.

a.a. Population normale de moyenne connuePopulation normale de moyenne connue : :

Si un échantillon aléatoire issu d’uneSi un échantillon aléatoire issu d’une population de loi normale de population de loi normale de moyennemoyenne connueconnue, ,

alors, alors,

la lois de Khi-carré à n d.l.l: la lois de Khi-carré à n d.l.l:

nXX ,,1

,)(1 2

1

22 n

n

iiX


b.b. Population normale de moyenne inconnue Population normale de moyenne inconnue : :

Si un échantillon aléatoire issu d’uneSi un échantillon aléatoire issu d’une

population de loi normale de population de loi normale de moyennemoyenne ininconnueconnue, alors, , alors,

la lois de Khi-carré à n-1 d.l.l. la lois de Khi-carré à n-1 d.l.l.

nXX ,,1

,1 2

12

2

nSn


4. Estimation par intervalle de confiance.4. Estimation par intervalle de confiance. 4.1 Estimation par intervalle de confiance4.1 Estimation par intervalle de confiance de la moyennede la moyenne La moyenne calculée La moyenne calculée à partir d’un échantillon à partir d’un échantillon

donné est presque toujours un peu plus grande donné est presque toujours un peu plus grande ou un peu plus petite que la vraie moyenne de la ou un peu plus petite que la vraie moyenne de la population . On cherche plutôt une population . On cherche plutôt une approximation qui tient compte de la marge approximation qui tient compte de la marge d’erreur d’estimation. Cette estimation se d’erreur d’estimation. Cette estimation se présente alors sous la forme :présente alors sous la forme :

X.

EX La marge d’erreur est appelée précision de l’estimateur E .X


Ainsi l’estimation par intervalle de confiance deAinsi l’estimation par intervalle de confiance de

consiste à déterminer l’erreur de façon queconsiste à déterminer l’erreur de façon que

avec une probabilité égale à appelée niveau de avec une probabilité égale à appelée niveau de confiance.confiance.

E

1

EXEX ,


Par exemple, on peut déterminer un intervalle de Par exemple, on peut déterminer un intervalle de confiance qui contient la valeur de avec un confiance qui contient la valeur de avec un niveau de confiance égal à niveau de confiance égal à 95%.95%. Cela veut dire que Cela veut dire que si on répète la même procédure d’estimation si on répète la même procédure d’estimation 100 100 foisfois, la moyenne sera dans , la moyenne sera dans 9595 intervalles parmi les intervalles parmi les 100100 intervalles établis. Cela signifie que si on intervalles établis. Cela signifie que si on construit un intervalle de confiance par un construit un intervalle de confiance par un seul seul échantillonéchantillon, il y aura un , il y aura un risquerisque de de 5%5% que la valeur que la valeur de ne sera pas dans cet intervalle. de ne sera pas dans cet intervalle.

Pour construire de tels intervalles de confiance, Pour construire de tels intervalles de confiance, nous aurons besoin des quantiles de la loi normale nous aurons besoin des quantiles de la loi normale et de la loi de Student définis ci-après.et de la loi de Student définis ci-après.


4.1.1 Quantile d’ordre des lois normale et 4.1.1 Quantile d’ordre des lois normale et

StudentStudent

Fixons un nombre dans l’intervalle et Fixons un nombre dans l’intervalle et notonsnotons et et les quantiles de la loi normale les quantiles de la loi normale et de la loi de Student définis par :et de la loi de Student définis par :

est la valeur telle queest la valeur telle que

est la valeur telle que est la valeur telle que

z vt ,

z )( zZP

vt , )( ,vtTP

1,0


Exemple Exemple :: Calculez à l’aide des tables: Calculez à l’aide des tables:

,05.0z ,025.0z

10,05.0t et .12,025.0t

Tableau de certaines valeurs critiques de la loi normale: 1)(z

0.0050.005 0.010.01 0.0250.025 0.050.05 0.010.01

2.5752.575 2.3252.325 1.961.96 1.6451.645 1.2851.285

2.8072.807 2.5752.575 2.2412.241 1.961.96 1.6451.645

z

2/zCours de Proba/Stat Svi/Sem 3 Cours de Proba/Stat Svi/Sem 3


4.1.2 Construction de l’intervalle de confiance4.1.2 Construction de l’intervalle de confiance dede

SoitSoit un intervalle de confiance deun intervalle de confiance de

Afin de déterminer la précision , on distingueAfin de déterminer la précision , on distingue

quatre cas :quatre cas :

.

EXEX , .

E


Cas 1: Si Cas 1: Si est un échantillon issu d’une est un échantillon issu d’une population de loi normale de population de loi normale de variancevariance connueconnue, , alors l’intervalle de confiance de niveau de alors l’intervalle de confiance de niveau de est :est :

Ainsi la précision de l’estimation sera :Ainsi la précision de l’estimation sera :

nXX ,,1 21

nzX

nzX

2/2/ ,

nz

2/E


Cas 2: Si Cas 2: Si est un échantillon issu d’une est un échantillon issu d’une population de loi normale de population de loi normale de variancevariance in inconnueconnue, , alors l’intervalle de confiance de niveau de alors l’intervalle de confiance de niveau de est :est :

La précision de l’estimation sera :La précision de l’estimation sera :

nXX ,,1 21

n

StX

n

StX nn 1;2/1;2/ ,

n

St n 1;2/ E


Cas 3: Si Cas 3: Si est un échantillon issu d’une est un échantillon issu d’une

population de loi inconnue, alors pourvue que population de loi inconnue, alors pourvue que la taillela taille soit soit assez grandeassez grande (( )), l’intervalle de, l’intervalle de

confiance de niveau de est :confiance de niveau de est :

De même la précision de l’estimation sera :De même la précision de l’estimation sera :

nXX ,,1

1

n

SzX

n

SzX 2/2/ ,

n

Sz 2/E

n 30n


Cas 4: Si Cas 4: Si est un échantillon choisi est un échantillon choisi sans sans remise remise à partir d’une population de taille finie à partir d’une population de taille finie et de et de loi inconnueloi inconnue, alors pourvue que , alors pourvue que la taillela taille soit soit assez grandeassez grande ( ), l’intervalle de confiance de ( ), l’intervalle de confiance de niveau est :niveau est :

Dans cette situation la précision sera :

nXX ,,1

1

n30n

N

1

,1 2/2/ N

nN

n

SzX

N

nN

n

SzX

12/

N

nN

n

SzE


4.2. Intervalle de confiance d’une proportion4.2. Intervalle de confiance d’une proportion

Soit la proportion d’individus dans la population ayant une caractéristique qualitative donnée. 4.2. 1 Intervalle de confiance d’une proportion 4.2. 1 Intervalle de confiance d’une proportion pour une population infiniepour une population infinieL’intervalle de confiance de niveau de est de la forme :

p

1 p

n

ppzp

n

ppzp

)ˆ1(ˆˆ,

)ˆ1(ˆˆ 2/2/

pourvue que la taille soit assez grande et

que et

n

5np .5)1( pnCours de Proba/Stat Svi/Sem 3 Cours de Proba/Stat Svi/Sem 3


4.2.2 Intervalle de confiance d’une proportion4.2.2 Intervalle de confiance d’une proportion

pour une population finie, avec tirage sanspour une population finie, avec tirage sans

remiseremise

L’intervalle de confiance de niveau de p est:

pourvue que et

1

)ˆ1(ˆˆ,

1

)ˆ1(ˆˆ 2/2/ N

nN

n

ppzp

N

nN

n

ppzp

1

5np .5)1( pn


5. Choix de la taille d’échantillon5. Choix de la taille d’échantillon

La qualité d’un intervalle de confiance se mesure par son La qualité d’un intervalle de confiance se mesure par son degré de confiancedegré de confiance et sa et sa marge d’erreur marge d’erreur Un choix Un choix adéquat de la taille de l’échantillon permet de contrôler adéquat de la taille de l’échantillon permet de contrôler simultanément ces deux facteurs. simultanément ces deux facteurs.

5.1 Cas d’une moyenne5.1 Cas d’une moyenne

Dans le cas d’une population Dans le cas d’une population normale de variance connuenormale de variance connue (cas 1), nous pouvons déterminer la taille minimale requise de (cas 1), nous pouvons déterminer la taille minimale requise de l’échantillon pour avoir un intervalle de confiance de niveau l’échantillon pour avoir un intervalle de confiance de niveau

au moins et de précision fixés au moins et de précision fixés ee à l’avance: à l’avance:

Lorsque est inconnu, on le remplacera par une pré-Lorsque est inconnu, on le remplacera par une pré-estimation estimation ..

1 .E

.

2

2/

e

zn

S

1


5.2 Cas d’une proportion5.2 Cas d’une proportion

Dans le cas d’une proportion, si l’on dispose d’une pré-Dans le cas d’une proportion, si l’on dispose d’une pré-estimation de , la taille minimale sera : estimation de , la taille minimale sera :

Par contre, si la pré-estimation n’est pas disponible, la taille Par contre, si la pré-estimation n’est pas disponible, la taille requise sera alors :requise sera alors :

.p

p̂ p

)ˆ1(ˆ2

2/ ppe

zn

2

2/

2

e

zn


RemarqueRemarque :: Si la population est de Si la population est de taille finietaille finie et le et le tirage est tirage est sans remisesans remise, alors :, alors :

1)1) La taille requise pour la moyenne sera :La taille requise pour la moyenne sera :

Ainsi si la variance est inconnue, on la remplace Ainsi si la variance est inconnue, on la remplace par une pré-estimation.par une pré-estimation.

2)2) La taille requise pour la proportion sera : La taille requise pour la proportion sera :

Lorsqu’on ne possède pas de pré-estimation , on prendra:Lorsqu’on ne possède pas de pré-estimation , on prendra:

N

222/

2

222/

)1(

zeN

Nzn

)ˆ1(ˆ)1(

)ˆ1(ˆ22/

2

22/

ppzeN

ppNzn

p̂.5.0ˆ pCours de Proba/Stat Svi/Sem 3 Cours de Proba/Stat Svi/Sem 3


ch 4: Échantillonnage et estimation des paramètres · 2017-12-14 · 4. estimation par intervalle...

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