estimation ellipsoïdale des paramètres dynamiques d'un robot philippe poignet 1, nacim...

Centre d’Etudeset de Recherche en T hermique

Energétique et S ystèmes

C E R T E S

Estimation ellipsoïdale des paramètres dynamiques d'un robot

Philippe POIGNET1, Nacim RAMDANI2, Andrès VIVAS1

1Laboratoire d’Informatique, de Robotique et de Micro-électronique de Montpellier

UMR CNRS-UMII [email protected]

2Centre d’ Etude et de Recherche en Thermique, Energétique et Systèmes,

Université Paris [email protected]

mailto:[email protected]











C E R T E S

PlanPlan

Présentation du contexte (robot, besoin, modèle,…)

Estimation ellipsoïdale

Résultats expérimentaux

Conclusion



C E R T E S

IntroductionIntroduction

Robot avec 4 degrés de liberté (ddl):

3 ddl en translation

1 ddl en rotation.

Applications:

Prise et dépose avec

orientation

Usinage à grand vitesse

Performances:

vmax = 1m/s

amax = 50 m/s2

H4 – Robot parallèleH4 – Robot parallèle



C E R T E S

Un modèle pour la commandeUn modèle pour la commande

Besoins d’un modèle dynamique pour la commande:

Augmentation des performances (précision, rapidité)

Robustesse (variation de charges)

4Γ I q J M x F q F qTmot mot v s( G) sign( )

mot4mot3

mot2mot1

mot

I0000I0000I0000I

I

bc

nacnac

nac

IM

MM

000000000000

M

Modèle dynamique à paramètres physiques:



C E R T E S

H4 – Modèle dynamique inverseH4 – Modèle dynamique inverse

XqqJJqΓ

)(4143

signGz

yx TT

mot

bcnacmotmotmotmot IMIIII 4321[X Tssssvvvv FFFFFFFF ]43214321

Tqqqq zyx θ qJqJx

Linéarité par rapport aux paramètres:

Sans mesures des accélérations cartésiennes:

Vecteur de paramètres dynamiques à identifier:

qT T

mot 43 q 41 q

q

x

y sign( )

z G

Γ q J J q q X



C E R T E S

Usuellement …Usuellement …

Méthodes d’identification : Moindres carrés pondérés, Filtrage de Kalman étendu

Construction d’un système linéaire surdéterminé:

Y = W X + ρ

Y: couples appliqués (entrée)

W: matrice d’observation

X: paramètres à identifier

: bruit gaussien additif sur l’entrée

Hypothèse (et critique) : bruit gaussien additif sur l’entrée



C E R T E S

Moindres carrés d'erreur d'entrée avec Moindres carrés d'erreur d'entrée avec modèle inversemodèle inverse



C E R T E S

Approche standard avec les MCApproche standard avec les MC

Hypothèses :

Bruit gaussien sur l’entrée (=couple) alors que l’on est en boucle fermée

W est supposée déterministe (alors qu’elle est composée de variables entachées de bruits : position, vitesse et accélération articulaires)

Alternative :

Estimation dans un contexte à erreur bornée



C E R T E S

Une alternative : l’approche à erreur Une alternative : l’approche à erreur bornéebornée

[Belforte 90 ; Milanese 96 ; Vicino 96 ; Walter 90; Norton 94, 95 …]

Unique Hypothèse : Support de l’erreur borné.

Intérêt :

Manipulation immédiate des bornes d’incertitudes des données réelles. Prise en compte des erreurs de modélisation.

Résultats : Ensemble de valeurs de paramètres compatibles :

expS |n θ e f θ y e

θ



C E R T E S

Modèles linéaires : Formulation Modèles linéaires : Formulation

Ensemble des paramètres consistant avec toutes les données : un polytope

Ensemble des paramètres compatible avec l’observation k et le modèle : une bande

1p Tk k ky θ R θ

1 , 1 1Tk kk N y θ R θS P

1

N

kk

S P



C E R T E S

S

Représentation Simplifiée Représentation Simplifiée

Approximation du polytope par des ensembles de forme simple :

Algorithmes récursifs, par blocs ou hors-lignes



C E R T E S

Méthodes ellipsoïdalesMéthodes ellipsoïdales[Fogel et Huang, 82] [Fogel et Huang, 82]

Bande de contrainte :

Principe de mise à jour de l'ellipsoïde

Ellipsoïde courant :

1

1 1 1 1 1ˆ ˆ ˆ( , ) 1

Tp

k k k k k

θ P θ θ θ P θ θE

21p T

k k k θ y d θ

Nouvel ellipsoïde :

1 1ˆ ˆ( , ) ( , )k k k k k θ P θ PE E

k 1 k 1ˆ( , ) θ PE

k kˆ( , )θ PE

k

Note : réduction de bandes



C E R T E S

Algorithme récursifAlgorithme récursif

Famille d’ellipsoïdes solutions, paramétrée par :

2

1 1 1 1 1ˆ ˆ ˆ( , ) 0,1 , 1 1 θ θ M θ θ M θ θ d θE

TT

k k k k k k k ky

Choisir qui minimise la taille de l'ellipsoïde :

1kˆ arg min log det M

1kˆ arg min tr M

• Volume :

• Somme quadratique des longueurs des demi-axes :

Tk 1 k k

1k k 1 k 1 k k

T 2 Tk 1 k 1 k 1 k k k

k

ˆ ˆ1

ˆ ˆˆ ˆN 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1 y

ˆM N 1

N M d d

M θ d y

θ M θ θ Nθ

Etude théorique des résultats obtenus pour les deux métriques. [Durieu et al., 01]



C E R T E S

Garantie numérique des méthodes Garantie numérique des méthodes ellipsoïdales ellipsoïdales

Problèmes de l’écriture standard

numériquement instable

définie positivité des matrices M ou P non garantie

Solution : Forme factorisée [Lesecq et Barraud 2002]

numériquement stable

matrices P et M définies positives, numériquement garantie

+ indépendance du calcul du centre et de la matrice d’information



C E R T E S

Forme matrice d'information Forme matrice d'information factorisée factorisée

Le problème initial est reformulé en posant : Tk k kM X X

kX : Factorisation de Cholesky

Algorithme

Initialiser : 0 0 0 0ˆX ,z X

Boucle récursive :

Calcul de

Factorisation QR :

Résoudre :

k 1 k 1

Tk k

ˆ zQ

0ˆ1 y

X U u

d

kˆ Uθ u

2

1k k 1

z

X U u



C E R T E S

Identification en boucle ferméeIdentification en boucle fermée

PK R o bo tgq (t)

VKq

m u(t)

efP asse b and e

u(t)efq(t)

P a sse ba sP a sse ba nd e

q(t)

mY mW

Y=W(q,q,q)X+

F iltra g e p a ra llè leD e c im a tio n

q

q

q

q

Frequency (rad/sec)

Pha

se (

de

g);

Ma

gni

tud

e (

dB)

Bode Diagrams

-150

-100

-50

0

50

100Amplitude (dB)

100

101

102

103

104

0

20

40

60

80

100

passe-bas

dérivée continue

= /2=2000 c

différence centrée

passe-bande

e

Les mesures nécessaires à l’identification sont prises alors que le robot suit des trajectoires excitantes et est asservi par un correcteur PD



C E R T E S

Choix de trajectoires excitantesChoix de trajectoires excitantes

Concaténation de mouvements pré-calculés lents (estimation des

paramètres de frottements) et rapides (estimation des paramètres

inertiels):

Trapèzes en vitesse, sinus wobulés

Mouvements suivant un seul axe dans l’espace opérationnel

Assurer un bon conditionnement de la matrice W

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.65

-0.6

-0.55

-0.5

-0.45

-0.4

-0.35

-0.3Cartesian displacement in Z

Disp

lacem

ent(m

)

Time(ms)0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

-0.12

-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08Cartesian displacement in Y

Disp

lacem

ent(m

)

Time(ms) 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-8

-6

-4

-2

0

2

4

6Cartesian displacement in Theta

Time(ms)Di

splac

emen

t(deg

rees)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25Cartesian displacement in X

Time(ms)

Displa

ceme

nt(m)



C E R T E S

Données expérimentalesDonnées expérimentales

Les positions articulaires q et les références courant V (les entrées de commande exprimées en Volt et mesurées) sont acquises à la fréquence de 1kHz.

Les couples sont calculés à partir des mesures des références courant V en utilisant une relation linéaire entre chaque couple du moteur , la tension correspondante appliquée à l’amplificateur et le gain de l’amplificateur:

Vitesses et accélérations articulaires pour calculer la matrice d’observation estimées par un filtre passe-bande de la position.

Filtrage passe-bande obtenu par produit d’un filtre passe-bas hors ligne non causal aller et retour (fonction filtfilt de Matlab) et d’un filtre dérivateur obtenu par un algorithme de différence centrée.

mot ,iiV iG

mot ,i i iG V



C E R T E S

Mise en œuvre Mise en œuvre expérimentaleexpérimentaleRe-circulation et données aberrantesRe-circulation et données aberrantes

Pour réduire la taille de l’ellipsoïde : re-circulation des données passées dans l’ordre chronologique inverse [DUR 01a] [CLE 90].

Réalisées plusieurs fois jusqu’à obtenir un ellipsoïde dont la taille ne change pas : évaluation au travers la valeur du déterminant de la matrice .

Démarche pour la gestion de données aberrantes:

Choix des bornes d’erreur a priori sur la base de considérations physiques (Remarque : trop petite, modèle erroné ou donnée aberrante [MAK 98])

Circulation des données

Si détection d’une donnée aberrante : ré-initialisation de l’algorithme (centre à zéro et taille de l’ellipsoïde grand)

Taux de données aberrantes calculé après convergence

kM



C E R T E S

Dans notre cas …Dans notre cas …

Choix de la borne d’erreur entre 10 et 15% du couple maximum disponible bornes d’erreur : 2.4 N.m pour moteurs 1 et 2 et 2.0 N.m pour moteurs 3 et 4

Taux de données aberrantes : moins de 0.5 % (pas de donnée aberrante dans les premières circulations)

Nombre de circulations des données > 150



C E R T E S

Formulation factoriséeFormulation factorisée

0 50 100 150 200 250 30010

-50

10-40

10-30

10-20

10-10

100

1010

Nombre de re-circulations

Dét

erm

inan

t

Evolution du déterminant de en fonction du nombre de re-circulations pour le critère du déterminant (Trait continu : forme factorisée, trait discontinu : forme non factorisée).

N nombre d’observations

1NM



C E R T E S

Analyse de l’ensemble admissible Analyse de l’ensemble admissible des paramètres estimésdes paramètres estimés

Moindres carrés pondérés Critère déterminant Critère trace A priori

Par. Valeurs % Centre % Centre %

mot1I 0,0138 4,62 0,0148 73,4 0,0151 40,3 0,012

mot 2I 0,0222 2,92 0,0262 8,62 0,0257 16,3 0,012

mot3I 0,0116 5,72 0,00851 29,8 0,00856 67,3 0,012

mot 4I 0,0201 3,51 0,0150 35,5 0,0150 72,2 0,012

nacM 1,082 0,53 1,0035 1,72 1,0051 3,48 1,0

nacI 0,00217 9,87 0,00167 40,1 0,00168 82,0 0,0008

v1F 0,238 5,28 0,322 153 0,296 88,4 /

v2F 0,0842 15,21 -0,00965 925 0,00894 1687 /

v3F 0,227 6,06 0,442 6,07 0,442 13,9 /

v4F 0,463 3,27 0,508 16,0 0,512 20,2 /

s1F 1,191 2,42 1,032 46,5 1,0433 24,2 /

s2F 0,986 2,75 0,856 13,6 0,837 25,2 /

s3F 0,719 3,33 0,366 20,4 0,368 43,0 /

s4F 0,772 3,11 0,621 61,6 0,593 42,3 /

Table 1. Ensembles admissibles des paramètres. Valeurs exprimées en USI.

Approximation de l’incertitude ( ) obtenue en prenant les racines carrées des valeurs de la diagonale de

valeur de prise à la fin de toutes les re-circulations

%1ˆ ˆ P M

M kM



C E R T E S

Analyse des vecteurs propres de Analyse des vecteurs propres de

Paramètres Vecteurs propres de la matrice P

mot1I 0,00 -0,02 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,00 0,07 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00

mot2I 0,00 0,00 0,00 -0,01 -0,01 0,00 0,06 -0,01 0,02 0,00 0,00 0,00 -0,02 1,00

mot3I 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 -0,07 0,05 0,00 0,02 0,99 0,10 0,00

mot4I 0,00 0,00 -0,01 0,00 -0,01 -0,04 0,02 0,01 0,06 0,00 -1,00 0,02 0,00 0,00

nacM 0,00 0,00 0,00 0,02 0,07 -0,01 -0,38 -0,08 -0,91 0,07 -0,06 0,04 0,00 0,04

nacI 0,00 0,00 0,00 0,00 -0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -0,01 -0,10 0,99 0,01

v1F -0,73 0,69 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00

v2F 0,00 -0,01 0,00 0,60 0,05 -0,01 -0,72 0,15 0,31 -0,01 0,00 0,00 0,00 0,04

v3F 0,00 0,00 0,00 0,00 -0,26 0,02 -0,16 -0,94 0,13 0,00 0,00 -0,07 -0,01 0,00

v4F 0,00 0,00 -0,18 0,00 0,07 0,98 -0,01 0,00 0,00 0,00 -0,03 0,00 0,00 0,00

s1F 0,69 0,73 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00

s2F 0,00 0,00 0,00 -0,80 0,07 -0,01 -0,55 0,11 0,21 -0,01 0,00 0,00 0,00 0,02

s3F 0,00 0,00 -0,01 0,03 0,96 -0,07 0,06 -0,26 0,07 0,00 0,00 -0,03 0,00 0,00

s4F 0,00 0,00 0,98 0,00 0,02 0,18 0,00 0,00 0,00 0,00 -0,01 0,00 0,00 0,00

P

Calcul des valeurs propres de l'ellipsoïde obtenu par le critère du déterminant a une forme plus allongée que celui obtenu par le critère de la trace.

Rapport (longueur de l'axe le plus long / plus petit) = 938 pour le critère du déterminant et seulement 220 pour le critère de la trace.

P



C E R T E S

Validations croiséesValidations croisées

ˆ ˆ T Tk k k ky d d Pd

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900-15

-10

-5

0

5

10Moteur 1

Temps (ms)

Cou

ple

mot

eur

(N.m

)

bornes d'erreurs couples simulés

couple mesuré et bornes d'erreurs

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900-15

-10

-5

0

5

10Moteur 2

Temps (ms)

Cou

ple

mot

eur

(N.m

)

bornes d'erreurs couples simulés


0 100 200 300 400 500 600 700 800 900-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10Moteur 3

Temps (ms)

Cou

ple

mot

eur

(N.m

)


bornes d'erreurs couple simulé

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10Moteur 4

Temps (ms)

Cou

ple

mot

eur

(N.m

)

couple mesuré et bornes d'erreurs bornes d'erreurs couple simulé

Enveloppe de l’incertitudeCouplage des paramètres



C E R T E S

ConclusionsConclusions

Résultats expérimentaux obtenus par méthodes ellipsoïdales cohérents avec les connaissances a priori

Nécessité : Utilisation de la forme factorisée

Difficultés : Détermination de la borne d’erreur

Perspectives : Choix de la borne d’erreur a priori

Exploitation : Commande référencée modèle

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