파트4 곡선접합 - pusan national...

파트 4 곡선 접합

4.1 소개

4.2 파트의 구성

Applied Numerical Methods 장 곡선접합 직선의 접합

4.1 소개 (1/4)

곡선접합이란?

데이터는 연속체를 따라 이산적인 값으로 주어지는 경우가 많다.

이산적인 값 사이에 있는 점에서의 값을 어떻게 추정할 수 있나?

복잡한 함수를 단순한 형태로 만들 수는 있는가?

곡선접합에는 일반적으로 두 가지 방법이 있으며, 이들은 데이터와

관련된 오차의 크기를 기준으로 구분된다

상당한 크기의 오차를 포함하거나 "산재한" 경우 (⇒ 최소제곱 회귀분석 )

- 데이터의 일반적인 경향을 나타내는 단일 곡선을 유도

- 유도된 곡선은 점들로 이루어진 집단의 경향을 따르도록 설계

데이터가 매우 정확하게 알려져 있는 경우 (⇒ 보간법)

- 각 점을 직접 통과하는 곡선이나 일련의 곡선을 구함

- 잘 알려져 있는 이산 점들의 사이의 값을 추정

14 :


4.1 소개 (2/4)

다섯 개의 데이터 점을 “최적”의 곡선으로 접합하는 세 가지 방법:(a) 최소제곱 회귀분석, (b) 선형보간법, (c) 곡선보간법

14 :


4.1 소개 (3/4)

곡선접합과 실제 공학과 과학 문제

실험 데이터를 접합시킬 때 두 가지 형태의 응용문제를 만남

경향분석 : 예측을 위하여 데이터의 경향을 이용하는 과정

- 높은 정확도를 가진 데이터 → 보간다항식 사용

- 정확성이 떨어지는 데이터 → 최소제곱 회귀분석 사용

- 종속변수의 값을 예측하기 위해 사용

관측된 데이터 범위를 벗어나는 경우에는 외삽법을 사용

관측된 데이터 범위 내에서는 보간법을 사용

14 :


4.1 소개 (4/4)

가상실험

- 관측된 데이터를 기존의 수학적 모델과 비교

모델 계수를 모르는 경우에 데이터를 가장 잘 접합할 수 있는

모델 계수를 결정

알려진 모델 계수의 타당성을 실험하기 위해 예측한 값과

관측된 값을 비교

곡선접합은 다른 수치해법에서도 중요

- 적분 값

- 미분방정식의 근사 해

곡선접합은 복잡한 함수를 간단한 함수로 근사할 때도 사용

14 :


4.2 구성

14장 : 최소제곱 회귀분석

15장 : 일반적인 선형최소제곱과 비선형회귀분석

17장 : 다항식 보간법

18장 : 스플라인과 소구간별 보간법

14 :

14장 최소제곱 회귀분석

14.1 통계학 복습

14.2 선형 최소제곱 회귀분석

14.3 컴퓨터 응용

Applied Numerical Methods

14장 최소제곱 회귀분석(1/2)

번지 점프하는 사람이 자유 낙하할 때 받는 공기저항

유체역학 이론으로 유도

또는 실험식

2vcF dU =

공기저항 힘과 속도의 관계를 측정하는 풍동실험

장 곡선접합 직선의 접합14 :


14장 곡선접합: 직선의 접합 (2/2)

v (m/s) 10 20 30 40 50 60 70 80

F (N) 25 70 380 550 610 1220 830 1450

풍동 실험으로부터의 힘 (N)과 속도 (m/sec)에 관한 실험 데이터

풍동 내에 떠있는물체에 대한 힘과 바람속도의 관계에 대한 그림

이러한 자료를 반영하는 "최적”의 선이나 곡선을어떻게 구할 수 있나?



14.1 통계학 복습 (1/3)

기초 통계학

통계학의 기초 개념

데이터 분포의 중심 위치

- 산술평균

6.4956.6656.7556.565

6.5956.5056.6256.515

6.6156.4356.7156.555

6.6356.6256.5756.395

6.4856.7156.6556.775

6.5556.6556.6056.685

ny

y i∑=

구조용 강의 열팽창계수 측정값 [× 10-6 in/(in⋅°F)]



14.1 통계학 복습 (2/3)

데이터 집합의 분산 정도

- 표준편차

여기서

n – 1 = 자유도

한 점에 대해 분포라는 것은 없다

- 분산 또는

- 분산계수 (coefficient of variance: c.v.)

분포에 대해 정규화된 척도

1−=

nSs t

y

∑ −= 2)( yyS it

1)( 2

2

−

−= ∑

nyy

s iy

( )1

/222

−−

= ∑∑n

nyys ii

y

%100c.v. ×=ysy



14.1 통계학 복습 (3/3)

정규 분포데이터 분포: 데이터가 평균값 주위에 분포된 형태를 파악- 히스토그램은 시각적으로 간단하게 표시한 것

측정값들을 구간 별로 분류해서 그림

- 정규분포 신뢰도 68%: 의 구간에 측정값이 분포하는 비율

95%: 의 구간에 측정값이 분포하는 비율

데이터 점의 수가 증가하면히스토그램은 정규분포라고불리는 완만하고 종 모양인

곡선에 접근함

ysy 2±ysy ±



14.2 선형 최소제곱 회귀분석 (1/4)

최소제곱 회귀분석

- 데이터에 상당한 오차가 포함되어 있는 경우

- 일반적인 형태나 경향을 맞추는 근사함수를 유도

- 각 데이터 점과 곡선 사이의 차이를 제곱한 것의 합을 최소화시키는 곡선

- 관측 값을 직선으로 접합시키는 경우: (x1 ,y1), (x2 ,y2), …,(xn ,yn)

여기서 a0 = 절편

a1 = 기울기

e = 모델과 관측 값 사이의 오차 또는 잔차

xaaye 10 −−=

exaay ++= 10




회귀분석에 부적절한 “최적 접합” 기준의 예:

(a) 잔차의 합을 최소화, (b) 잔차의 절대값의 값을 최소화, (c) 각 점의 최대오차를 최소화




"최적" 접합을 위한 기준(a) 주어진 모든 데이터에 대한 잔차의 합을 최소화시키는 것

(b) 잔차의 절대값의 합을 최소화시키는 것

(c) 데이터 점이 직선으로부터 떨어진 최대거리를 최소화시키는 것 (최소-최대 기준)

잔차의 제곱 합을 최소화하는 방법

어떻게 계수 a0와 a1을 구할 수 있는가?

∑∑==

−−=n

iii

n

ii xaaye

110

1)(

∑∑==

−−=n

iii

n

ii xaaye

110

1

∑∑==

−−==n

iii

n

iir xaayeS

1

210

1

2 )(

→ 최소제곱




직선의 최소제곱 접합각각의 미지의 계수에 대하여 미분한다.

미분식들이 0인 경우에 합이 최소가 된다.

정리하면

위의 정규방정식을 풀면 두 계수 값을 결정할 수 있다.

∑ −−−=∂∂ )(2 10

0ii

r xaayaS ∑ −−−=

∂∂ ])[(2 10

1iii

r xxaayaS

∑∑∑ −−= ii xaay 100 ∑∑∑ −−= 2100 iiii xaxayx

( ) ∑∑ =+ ii yaxna 10 ( ) ( ) ∑∑∑ =+ iiii yxaxax 12

0

( )221∑∑∑∑∑

−

−=

ii

iiii

xxn

yxyxna xaya 10 −=



예제 14.2 (선형회귀분석) (1/3)

Q. 주어진 데이터를 직선으로 접합하라.

i12345678

1020304050607080

2570

380550610

1,220830

1,450

100400900

1,6002,5003,6004,9006,400

2501,400

11,40022,00030,50073,20058,100

116,000Σ 360 5,135 20,400 312,850

ix iy 2ix ii yx



예제 14.2 (선형회귀분석) (2/3)

풀이)

875.6418135,5 45

8360

==== yx

47024.19)360()400,20(8

)135,5(360)850,312(821 =

−−

=a

2857.234)45(47024.19875.6410 −=−=a

vF 47024.192857.234 +−=



예제 14.2 (선형회귀분석) (3/3)

음의 절편 값은 저속에서 이 방정식이 물리적으로 비현실적인힘을 예측한다는 것을 의미한다.




선형회귀분석 오차의 정량화잔차의 제곱 합의 유사성

⇔

선형회귀분석의 잔차는 데이터 점과 직선 사이의 수직거리를 나타냄

∑=

−−=n

iiir xaayS

1

210 )(∑ −= 2)( yyS it




두 가지 조건:

직선과 점들 사이의 거리가 전체 구간에서 비슷한 경우

직선 주위의 점들의 분포가 정규분포인 경우

⇒ 최적의 a0와 a1의 값을 도출 : 최대근접원리

⇒ 추정 값의 표준오차 ( = 회귀분석 직선에 대한 표준편차)

y /x = 특정한 값 x 에 대응하는 예측 값 y 의 오차

n – 2 = Sr을 구하기 위해 두 점에서 유도된 a0와 a1이 이미 사용되었음

또는 "두 점을 연결하는 직선 주위에는 데이터의 분포라는 것이 없다."

- 회귀분석 직선 주위의 분포 정도를 정량화

- 접합법의 "적정성"을 정량화

/ 2r

y xSs

n=

−




회귀분석 데이터의 비교: (a) 평균값 주위의 데이터 분포 (b) 직선 주위의 데이터 분포[ (a)에서 (b)로 갈수록 분포의 폭이 감소됨]




선형회귀분석의 비교: (a) 작은 잔차, (b) 큰 잔차




결정계수

또는

여기서 r = 상관계수 =

- Sr = 0 이면 r2 = 1 → 완전 접합

- Sr = St 이면 r2 = 0 → 접합이 데이터를 나타내는데 이점이 없음

t

rt

SSSr −

=2 ( ) ( )( )( ) ( )2222 ∑∑∑∑

∑∑∑−−

−=

iiii

iiii

yynxxn

yxyxnr

2r



14.3 비선형 관계의 선형화 (1/3)

종속변수(y)와 독립변수(x) 사이의 비선형 관계는 어떻게 처리

하나?

→ 다항식 회귀분석, 비선형 모델, 비선형 모델을 선형으로 변환

비선형 모델

- 지수 모델

예> 인구 성장, 방사능 감소

- 멱방정식

- 포화성장률 방정식

예> 제한된 조건에서의 인구 성장률

xey 11

βα=

22

βα= xy

xxy+β

α=3

3




(a)지수 방정식, (b) 멱방정식, (c) 포화성장률 방정식, (d), (e), 그리고 (f)는 간단한 변환을 통해 (a), (b), (c) 를 선형화시킨 방정식




비선형 모델을 선형 모델로의 변환

- 지수 방정식

→

- 멱방정식

→

- 포화성장률 방정식

→

xey 11

βα= xy 11lnln β+α=

22

βα= xy xy logloglog 22 β+α=

xxy+β

α=3

3 xy111

3

3

3 αβ

+α

=



예제 14.4 (멱방정식을 이용한 데이터의 접합 ) (1/2)

Q. 표 14.1의 데이터에 log 변환을 시켜 직선으로 접합하라.

i )2

12345678

1020304050607080

2570

380550610

1,220830

1,450

1.0001.3011.4771.6021.6991.7781.8451.903

1.3981.8452.5802.7402.7853.0862.9193.161

1.0001.6932.1822.5672.8863.1623.4043.622

1.3982.4013.8114.3904.7325.4885.3866.016

Σ 12.606 20.515 20.516 33.622

ix iy ix iyix ixiy loglog log (log log



예제 14.4 (멱방정식을 이용한 데이터의 접합 ) (2/2)

풀이)

최소제곱접합은 다음과 같다.

→→

( )221log)(log

loglogloglog

∑∑∑∑∑

−

−=

ii

iiii

xxn

yxyxna xaya 10 −=

5644.28515.20 5757.1

8606.12

==== yx

9842.1)606.12()516.20(8

)515.20(606.12)622.33(821 =

−−

=a

5620.0)5757.1(9842.15644.20 −=−=a

xy log9842.15620.0log +−= 9842.12741.0 vF =

xy logloglog 22 β+α= 22

βα= xy



14.4 컴퓨터 응용 (1/6)

[선형회귀분석을 실행하는 M-파일]

function [a, r2] = linregr(x,y)

% linregr(x,y):

% Least squares fit of a straight line to data

% by solving the normal equations

% input:

% x = independent variable

% y = dependent variable

% output:

% a = vector of slope, a(1), and intercept, a(2)

% r2 = coefficient of determination



14.4 컴퓨터 응용 (1/6)


n = length(x);

if length(y)~=n, error('x and y must be same length');

end

x = x(:); y=y(:); % convert to column vectors

sx = sum(x); sy = sum(y);

sx2 = sum(x.*x); sxy = sum(x.*y); sy2 = sum(y.*y);

a(1) = (n*sxy - sx*sy)/(n*sx2-sx^2);

a(2) = sy/n - a(1)*sx/n;

r2 = ((n*sxy - sx*sy)/sqrt(n*sx2-sx^2)/sqrt(n*sy2-sy^2))^2



14.4 컴퓨터 응용 (1/6)


%create plot of data and best fit line

xp= linspace(min(x),max(x),2);

yp = a(1)*xp + a(2);

plot(x,y,'o',xp,yp)

grid on



14.4 컴퓨터 응용 (2/6)

MATLAB M-파일: linregr

>> x=[10 20 30 40 50 60 70 80]; %예제 12.2

>> y=[25 70 380 550 610 1220 830 1450];

>> linregr(x,y)

r2 =

0.8805

ans =

19.4702 -234.2857



14.4 컴퓨터 응용 (3/6)

MATLAB M-파일: linregr

>> linregr(log10(x),log10(y)) %예제 12.4

r2 =

0.9481

ans =

1.9842 -0.5620



14.4 컴퓨터 응용 (4/6)

MATLAB M-파일: polyfit and polyval

>> p = polyfit(x, y, n) % n차 다항식 접합

>> y = polyval(p, x) % 함수값 계산

11

21)( +− ++++= nn

nn pxpxpxpxf

직선은 일차식이므로 polyfit(x, y, 1)을 이용한다.



14.4 컴퓨터 응용 (5/6)

>> x=[10 20 30 40 50 60 70 80];

>> y=[25 70 380 550 610 1220 830 1450];

>> P=polyfit(x,y,1); %최소제곱접합(1차)

>> Curve_f=P(1).*x+P(2);

>> a=P(1); b=P(2); [a b]

ans =

19.4702 -234.2857

>> plot(x, y, 'ro', x, Curve_f, 'b');

>> xlabel('X'); ylabel('Y'); title('Least Square Curve Fitting')



14.4 컴퓨터 응용 (6/6)

>> P=polyfit(x,y,1);

>> yy = polyval(P,45)

yy =

641.8750

>> Q=polyfit(x,y,2)

Q =

0.0372 16.1220 -178.4821

>> z=polyval(Q,45)

z =

622.3437

14 :

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