polyana num

Download Polyana Num

Post on 25-Dec-2015

67 views

Category:

Documents

47 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

polynome d'analyse numérique

TRANSCRIPT

  • Anne 2013-2014

    Analyse Numrique

    Cours de Tako Takahashi

    Polycopi rdig par Michel Pierre et Antoine Henrot

    Cours lectif CE33

    Semestre S7 : 2013-2014

    Tako Takahashi

    Ecole des Mines de Nancy - Campus Artem - 54 042 Nancy Cedex

    Tel : 03 83 68 45 95 - email: takeo.takahashi@univ-lorraine.fr

    IECL - Dp. Gnie Industriel et Maths Appliques

  • 2

  • Table des matires

    1 Les erreurs en Analyse Numrique 9

    1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    1.2 Arithmtique machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    1.2.1 Reprsentation machine des nombres rels . . . . . . . . . . . . . 10

    1.2.2 Perte de chires signicatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    1.3 Notions de conditionnement et stabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    1.3.1 Conditionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    1.3.2 Stabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    1.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    1.5 Exercices du chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2 Rsolution d'quations non linaires 17

    2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    2.2 Cas des fonctions d'une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    2.2.1 Prliminaires : sparation des zros . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    2.2.2 Quelques algorithmes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    2.2.2.1 Mthode de dichotomie (ou bisection) . . . . . . . . . . 18

    2.2.2.2 Mthode de la scante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    2.2.2.3 Critre d'arrt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    2.2.2.4 Mthode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    2.2.2.5 Mthode de point xe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    2.2.3 Convergence des algorithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    2.2.3.1 Mthodes de point xe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    2.2.3.2 Mthode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    2.2.3.3 Mthode de la scante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    2.2.4 Comparaison des algorithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    2.2.4.1 Mthode de dichotomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    2.2.4.2 Mthode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    2.2.4.3 Mthode de la scante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    2.2.4.4 Mthode du point xe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    2.2.5 Acclration de la convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    2.2.5.1 Mthode de relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    2.2.5.2 Mthode du 2 d'Aitken . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    2.3 Fonctions valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    2.3.1 Cas des quations polynmiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    2.3.1.1 Localisation des zros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    3

  • 4 TABLE DES MATIRES

    2.3.1.2 Evaluation d'un polynme : algorithme de Hrner . . . 35

    2.3.1.3 Dtermination de tous les zros . . . . . . . . . . . . . . 37

    2.3.1.4 Mthode de Bairstow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    2.3.1.5 Mthode de Mller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    2.4 Systme d'quations non linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    2.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    2.4.2 La mthode de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    2.4.3 La mthode de Broyden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    2.5 Exercices du chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    3 Interpolation et approximation polynmiale 45

    3.1 Interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    3.1.1 Le polynme d'interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    3.1.2 Proprits des dirences divises . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    3.1.3 Erreur dans l'interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 50

    3.1.3.1 Analyse du thorme 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    3.2 Approximation polynmiale uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    3.3 Approximation au sens des moindres carrs . . . . . . . . . . . . . . . . 56

    3.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

    3.3.2 Mthode classique des moindres carrs . . . . . . . . . . . . . . . 57

    3.3.3 Polynmes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

    3.3.4 Exemples classiques de polynmes orthogonaux . . . . . . . . . . 62

    3.3.5 Polynmes trigonomtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

    3.3.6 La transforme de Fourier rapide . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    3.4 Approximation par des fonctions polynmiales par morceaux . . . . . . 67

    3.4.1 Approximation linaire par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . 68

    3.4.2 Approximation cubique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

    3.4.3 Fonctions splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

    3.5 Exercices du chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    4 Drivation et intgration numrique 73

    4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

    4.2 Drivation numrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

    4.2.1 Drive premire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

    4.2.1.1 Formules deux points . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

    4.2.1.2 Formules trois points . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    4.2.1.3 Erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    4.2.2 Drives d'ordre suprieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

    4.3 Intgration numrique : mthodes composites . . . . . . . . . . . . . . . 76

    4.3.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

    4.3.2 Mthode des rectangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

    4.3.3 Mthode des trapzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

    4.3.4 Mthode de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

    4.3.5 Mthode du trapze corrige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

    4.4 Analyse de l'erreur dans les mthodes d'intgration . . . . . . . . . . . . 79

    4.4.1 Thorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

  • TABLE DES MATIRES 5

    4.4.2 Application aux mthodes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

    4.4.2.1 Mthode des rectangles ( gauche ou droite) . . . . . 80

    4.4.2.2 Formule du point milieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

    4.4.2.3 Mthode des trapzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

    4.4.2.4 Mthode de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

    4.4.2.5 Mthode des trapzes corrigs . . . . . . . . . . . . . . 82

    4.4.3 Exemple d'application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

    4.5 Mthodes d'intgration numrique de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . 82

    4.5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

    4.5.2 Ide de base des mthodes de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . 83

    4.5.3 Mise en oeuvre de la mthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

    4.5.3.1 Mthode de Legendre-Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 85

    4.5.3.2 Mthode de Gauss-Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . 86

    4.5.3.3 Mthodes de Laguerre et Hermite . . . . . . . . . . . . 86

    4.6 Mthodes d'extrapolation la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

    4.6.1 Extrapolation la limite de Richardson . . . . . . . . . . . . . . 87

    4.6.2 Mthode de Romberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

    4.7 Exercices du chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

    5 Rsolution numrique d'quations direntielles 93

    5.1 Quelques remarques sur (5.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

    5.1.1 Quelques soucis d'ordre thorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

    5.1.2 Rgularit de la solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

    5.2 Mthodes de rsolution un pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

    5.2.1 La mthode d'Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

    5.2.1.1 Estimation de l'erreur de discrtisation . . . . . . . . . 99

    5.2.1.2 Inuence des erreurs d'arrondis . . . . . . . . . . . . . . 101

    5.2.2 Mthode d'Euler implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

    5.3 Les mthodes de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

    5.4 Contrle du pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

    5.5 Mthodes pas multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

    5.5.1 Mthodes d'Adams-Bashforth r + 1 pas . . . . . . . . . . . . . 109

    5.5.2 Mthodes d'Adams-Moulton r + 1 pas . . . . . . . . . . . . . . 111

    5.5.3 Mthode de prdicteur-correcteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

    5.6 Comparaison des mthodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

    5.7 Applications des problmes aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

    5.8 Schma de Newmark pour les problmes d'ordre 2 . . . . . . . . . . . . 114

    5.9 Exercices du chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

    6 Rsolution de systmes linaires 117

    6.1 Quelques remarques gnrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .