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  • 8/18/2019 Analyse Num Cours

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    Université Claude Bernard, Lyon I   Licence Sciences, Technologies & Santé 43, boulevard 11 novembre 1918   Spécialité Mathématiques

    69622 Villeurbanne cedex, France   L. Pujo-Menjouetpujo@math.univ-lyon1.fr

    Analyse numérique Troisième année de licence

    1

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    Préambule

    L’analyse numérique a commencé bien avant la conception des ordinateurs et leur utilisation quotidienne que nous connaissons aujourd’hui. Les premières méthodes ont été développées pour essayer de trouver des moyens rapides et efficaces de s’attaquer à des problèmes soit fastidieux à ré- soudre à cause de leur grande dimension (systèmes à plusieurs dizaines d’équations par exemple), soit parce qu’il n’existe pas solutions explicites connues même pour certaines équations assez simples en apparence. Dès que les premiers ordinateurs sont apparus, ce domaine des mathématiques a pris son envol et

    continue encore à se développer de façon très soutenue.Les applications extraordinairement nombreuses sont entrées dans notre vie quotidienne directe- ment ou indirectement. Nous les utilisons désormais sans nous en rendre compte mais surtout en ignorant la plupart du temps toute la théorie, l’expertise, le développement des compétences et l’in- géniosité des chercheurs pour en arriver là. Nous pouvons téléphoner, communiquer par satellite, faire des recherches sur internet, regarder des films où plus rien n’est réel sur l’écran, amélio- rer la sécurité des voitures, des trains, des avions, connaître le temps qu’il fera une semaine à l’avance,...et ce n’est qu’une infime partie de ce que l’on peut faire. Le but de ce cours et s’initier aux bases de l’analyse numérique en espérant qu’elles éveilleront de l’intérêt, de la curiosité et pourquoi pas une vocation.

    FIGURE 1 –  Entre le Tintin dessiné à la main dans les années 6 par Hergé et celui mis à l’écran  par Spielberg, un monde numérique les sépare. Un peu comme les premiers développements à la

    main des pionniers du numérique et les effets dernier cri des plus puissants des ordinateurs.

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    Table des matières

    1 Les systèmes linéaires 5

    1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    1.1.1 Gestion des erreurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Exemple de problème menant à la résolution d’un système linéaire . . . . . 6

    1.2 Quelques rappels sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Lien avec les applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.3 Opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.4 Trace et déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.5 Matrice et produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.6 Valeurs propres, vecteurs propres et réduction de matrices . . . . . . . . . 16

    1.3 Normes vectorielles et matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    1.3.1 Rappels sur les normes vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.2 Boules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.3 Normes matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.4 Conditionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    1.4 Méthodes directes de résolution de systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4.1 Principe des méthodes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.4.2 Pivot de Gauss - Décomposition LU   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.4.3 Cas des matrices symétriques définies positives :la factorisation de Cholesky 28 1.4.4 Factorisation QR   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    1.5 Méthodes itératives de résolution de systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.5.1 Principe des méthodes itératives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.5.2 Trois méthodes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.5.3 Critère général de convergence, étude des suites d’itérées de matrices . . . 31 1.5.4 Quelques cas particuliers de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    1.6 Méthodes numériques de calcul de valeurs propres et vecteurs propres . . . . . . . 33 1.6.1 Motivation : modes propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.6.2 Difficultés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.6.3 Conditionnement spectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.6.4 Méthode de la puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    1.6.5 Généralisation de la méthode de la puissance : la méthode QR   . . . . . . . 37 3

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    TABLE DES MATIÈRES TABLE DES MATIÈRES

    2 Résolution approchée d’équations non linaires 41

    2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    2.2 Dichotomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3 Méthode de type point fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    2.3.1 Théorème-énoncé général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3.2 Construction de méthodes pour f (x) = 0   . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3.3 Vitesse de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    2.4 Méthode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.4.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.4.2 Théorème de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    2.5 Méthode de la sécante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.6 Ordre d’une méthode itérative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.7 Systèmes d’équations non linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    2.7.1 Point fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.7.2 Méthode de Newton dans Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.7.3 Retour sur les systèmes linéaires et aux méthodes itératives . . . . . . . . . 48

    3 Interpolation et approximation (polynomiales) 49

    3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2 Interpolation polynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    3.2.1 Interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2.2 Interpolation d’Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

    3.3 Approximation polynomiale au sens des moindres carrés . . . . . . . . . . . . . . 54

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    Chapitre 1

    Les systèmes linéaires

    (a)   Johann Carl Friedrich Gauss (1777- 1855), mathématicien, as- tronome et physicien allemand. Considéré comme l’un des plus grands mathématiciens de tous les temps, nous utiliserons ici une mé- thode numérique qui porte son nom.

    (b) Charles Gustave Jacob Ja- cobi (1804-1851), un mathéma- ticien allemand surtout connu pour ses travaux sur les inté- grales elliptiques, les équations aux dérivées partielles et leur application à la mécanique ana- lytique. On lui doit une mé- thode que l’on présentera ici

    (c)   André-Louis Cholesky (1875- 1918 ), polytechnicien et officier français, ingénieur topographe et géodésien. On lui doit une méthode que l’on présentera ici

    FIGURE 1.1 – Quelques mathématiciens célèbres liés à l’étude des nombres entiers, rationnels et réels.

    1.1 Introduction

    1.1.1 Gestion des erreurs

    Il arrive souvent lors de calcul que nous soyons obligés de donner une valeur approchée de la

    solution (0,333 pour 1/3 par exemple), c’est ce que l’on appelle la représentation des nombres 5

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    1.1 Introduction Les systèmes linéaires

    en virgule flottante (8 ou 16

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