Monte-Carlo-Simulation mit Copula

Quantitatives Risikomanagement

vorgelegt von

Kevin Schellkes und Christian Hendricks

Bergische Universitt Wuppertal

Fachbereich C - Stochastik

Dozent: M.Sc. Brice Hakwa

29. August 2010

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 2

2 Korrelationsansatz 2

2.1 Herleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Portfoliowert in K Tagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Monte-Carlo-Simulation mit Korrelationsansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Copulaansatz 5

3.1 Gau-Copula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2 t-Copula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.3 Tailabhngkeit Gau- und t-Copula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.4 Simulation der Renditen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.4.1 Bestimmung der Randverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.4.2 Copula-Parameterschtzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.4.3 Praktische Umsetzung mit einer Monte-Carlo-Simulation . . . . . . . . . 14

4 Numerische Tests 15

4.1 Berechnung des Value at Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2 Backtest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5 Fazit 17

1

1 Einleitung

Ziel dieser Arbeit ist es, basierend auf dem Working Paper von Patrick Deu zum ThemaMeasuring the Value at Risk of a Stock Portfolio - The Copula Approach zwei Verfahrenvorzustellen, mit denen an Hand von Monte-Carlo-Simulationen der Value at Risk eines Akti-enportfolios ermittelt werden kann. Das erste Verfahren baut auf dem herkmmlichen Ansatzauf, eine lineare Abhngigkeitsstruktur der Aktienrenditen anzunehmen, whrend der zweiteAnsatz die Abhngigkeit mittels einer Copula erklrt.

2 Korrelationsansatz

2.1 Herleitung

Der Standardansatz geht von einer Aktienkursbewegung aus, die sich gem der folgendenstochastischen Dierentialgleichung entwickelt:

dSit = i(St, t)dt+ i(St, t)idWit fr 0 t T und i = 1, ...I

Die Bewegung der Aktie i wird also durch einen deterministischen Updrift und eine Zufalls-komponente in Form eines Wiener Prozesses W it ermittelt, wobei W

it N(0, t) verteilt ist.

Whlt man die Funktionen i(St, t) und i(St, t) fest, ergibt sich die Darstellung

Sit = Si0idt+ iS

i0dW

it fr 0 t T

mit der analytischen Lsung

Sit = Si0exp

(i 122i ) =:i

t+ iWit )

(1) ln(S

it

Si0) = it+ iW

it (2)

In Matrixschreibweise, mit

St := (S1t , ..., S

It )

:= (1, ..., I)

Wt := (W1t , ...,W

It )

D :=

1 0. . .0 I

lsst sich die Lsung umschreiben

St =

S10...SI0

exp1...I

t+1 0. . .

0 I

W

1t...W It

2

Man erkennt leicht, dass die einzelnen Aktienkurse zum Zeitpunkt t unabhngig voneinandersind. In der Realitt trit dieses Verhalten allerdings nicht zu. Daher wollen wir im Folgendenannehmen, dass eine Korrelation innerhalb der Aktienkursdynamik besteht. Sie kann durchdie Kovarianzmatrix der beobachteten logarithmischen Renditen beschrieben werden undermglicht die Modellierung einer linearen Abhngigkeitsstruktur.

=

1,111 . . . 1,I1I... . . . ...I,1I1 . . . I,III

=

1 0. . .0 I

1 i,j. . .j,i 1

1 0. . .

0 I

Ziel ist es nun, einen Zufallsvektor Y RI zu erzeugen, der der Verteilung Y N(t,t)gengt1. Y := t+ Wt erfllt diese Bedingung nicht, da t+ Wt N(t,T t). Erst dieCholesky-Zerlegung von = LLT fhrt auf das gewnschte Ergebnis:

at+ LWt N(t, LLT t) N(t,t)

1gem. (2) , um logarithmische Renditen zu simulieren

3

2.2 Portfoliowert in K Tagen

Nun mchten wir mittels Monte-Carlo-Simulation den Wert unseres Portfolios in K Tagenvorhersagen. Um verlssliche Daten zu erhalten, sollte die Anzahl N der ins Modell einieendenlogarithmischen Tagesrenditen deutlich grer sein als der vorherzusagende Zeitraum K. Andieser Stelle werden die tglichen log-Renditen auf den Zeitraum K transformiert, so dass spterin der Simulation t = 1 gesetzt werden kann, um den Assetkurs zum Zeitpunkt K zu erhalten.Wird mit i(l) fr i = 1, ..., I und l = 1, ..., N die logarithmische Tagesrendite der Aktie ibezeichnet, lsst sich die K-Tagesrendite mit K :=

N1K

durch

i,k =Kn=1

i(kK + n) fr k = 0, ..., K

berechnen. Gilt hierbei N mod K = c mit c 6= 0, so werden die letzten c Datenstze vernach-lssigt und nicht weiter bercksichtigt. Der Erwartungswertschtzer der K-Tagesrenditen vonAktie i ist gegeben durch

Ki =1

K + 1

Kk=0

i,k

Als Parameter fr unsere sptere Simulation erhalten wir damit K :=

K1...KI

. Die Kovari-anzmatrix wird aus der transformierten Beobachtungsmatrix XK := (i,k)i=1,...,I

k=0,...,K

gewonnen.

In Matlab z.B. mit dem Befehl cov(XK). Nachdem die Parameter geschtzt wurden, kann derPortfoliowert2 in K-Tagen mit einer Monte-Carlo-Simulation berechnet werden.

2.3 Monte-Carlo-Simulation mit Korrelationsansatz

Algorithmus 1: Monte-Carlo mit Korrelationsansatz

transformiere Beobachtungsmatrix auf logarithmische K-TagesrenditenSchtze die Verteilungsparameter K und K aus der neuen Beobachtungsmatrixfor j = 1 R doermittle Y = (y1, ..., yI) N(K ,K)for i = 1 I doSij = S

i0exp(yi)

end for

Sj =1I

Il=1 S

lj (Portfoliowert in der j-ten Simulation)

end for

S = 1RR

l=1 Sl (Portfoliowert gem. Monte-Carlo)

2fr ein gleichgewichtetes Portfolio

4

3 Copulaansatz

Im vorherigen Modell wurde eine lineare Abhngigkeit der einzelnen Renditen in Form derKorrelation unterstellt. Es ist allerdings fragwrdig, ob damit alle Formen der Abhngigkeiterklrt werden knnen. Im folgenden Beispiel sind Realisationen von 2 Zufallsvariablen ange-geben. In beiden Plots weisen die Zufallsvariablen neben den gleichen Randverteilungen auchdie gleiche Korrelation auf. Dennoch sind die Abhngigkeitsstrukturen unterschiedlich, wasbesonders deutlich im unteren und oberen Randbereich zu erkennen ist. Bei Nutzung des Kor-relationsansatzes wrde nur die lineare Abhngigkeit in Form der Korrelation bercksichtigt.Daher wird in diesem Abschnitt die Abhngigkeitsstruktur mittels einer Copula modelliert, diein der Lage ist auch komplexere Abhngigkeitsstrukturen zu erfassen. Wir verwenden dabei dieGau- und t-Copula.

Abbildung 1: Embrechts' Fallacies (siehe [1])

3.1 Gau-Copula

Die Gau-Copula ist deniert durch eine multivariate Normalverteilung I(0, P ) := IP derDimension I mit Korrelationsmatrix P, sowie der univariaten Standardnormalverteilung alsRandverteilungen .

CGaP (v1, ..., vI) = IP (

1(v1), ..., 1(vI))

=

1(v1)

. . .

1(vI)

1

(2)1/2|P |1/2exp

(12z

TP1z)dz1 . . . dzI

mit |P | als Determinante von P und zi = 1(vi) fr i = 1, ..., I

Die Dichte der Gau-Copula ist

cGaP (v1, ..., vI) = |P |1/2 exp

(12z

T (P1 IdI)z)

5

3.2 t-Copula

Weitgehend analog zur Gau-Copula ist die t-Copula deniert. Sie hat neben der Korrelatios-matrix P die Anzahl der Freiheitsgrade als weiteren Parameter.

Ct,P (v1, ..., vI) = tI,P (t

1 (v1), ..., t

1 (vI))

=

t1 (v1)

. . .

t1 (vI)

(+I

2 )

(2 )

()I |P |

(1 + z

TP1z

)+I2dz1 . . . dzI

mit als Gammafunktion und zi = t1 (vi).

Die Dichte der t-Copula ist

ct,P (v1, ..., vI) = |P |1/2

((+I

2 )

(2 )

)[(2 )

(+1

2 )

]I (1+ zTP1z )+I2Ii=1

(1+

z2i

)+12

0 0.20.4 0.6

0.8 1

0

0.5

10

0.5

1

X

Verteilungsfunktion GauCopula mit =0.5

Y0 0.2

0.4 0.60.8 1

0

0.5

10

1

2

3

X

Dichtefunktion GauCopula mit =0.5

Y

0 0.20.4 0.6

0.8 1

0

0.5

10

0.5

1

X

Verteilungsfunktion tCopula mit =0.5 und =5

Y0 0.2

0.4 0.60.8 1

0

0.5

10

2

4

X

Dichtefunktion tCopula mit =0.5 und =5

Y

Abbildung 2: Verteilungs- und Dichtefunktion der bivariaten Gau- und t-Copula

6

3.3 Tailabhngkeit Gau- und t-Copula

Bei der Simulation eines Portfolios sind fr uns vor allem die Wahrscheinlichkeiten von ex-tremen Verlusten von Bedeutung. Eine Mazahl fr diese Extrema ist der untere bzw. obereTail-Abhngigkeitskoezient.

Denition 1. allgemeine Tailabhngigkeit Fr zwei stetige Zufallsvariablen X und Y mit

Randverteilungen FX und FY ist, sofern der Limes existiert, der untere Abhngigkeitskoezientdeniert durch

L(X,Y ) := limq0+

P (X F1X (q)|Y F1Y (q))

und der obere Koezient durch

U (X,Y ) := limq1

P (X > F1X (q)|Y > F1Y (q))

Denition 2. Tailabhngigkeit mit Copula Fr zwei stetige Zufallsvariablen X und Y mit

Randverteilungen FX ,FY und Copula C ist fr q = FX(a) = FY (b) der untere Abhngigkeits-koezient deniert durch

L := limq0+

C(q, q)

q

und der obere Koezient durch

U := limq1

1 2q + C(q, q)1 q

Ist die Korrelation zwischen zwei Zufallsvariablen 6= 1, so folgt fr die Gau-Copula L =U = 0. Daraus folgt, dass selbst bei einer extrem starken positiven oder negativen Korrela-tion 6= 1 zweier Zufallsvariablen, extreme Ausprgungen bei der Gau-Copula unabhngigvoneinader auftreten. Auf Grund dieser asymptotischen Unabhngigkeit eignet sie sich nichtzur Modellierung von Risiken mit Tail-Abhngigkeiten. Bei der t-Copula gilt fr > 1 stets > 0. Extreme Ausprgungen treten also tendenziell gleichzeitig auf, was die t-Copula geeigneterscheinen lsst, um Risiken mit Tail-Abhngigkeit zu simulieren3.

3gem. [5]

7

3.4 Simulation der Renditen

Die Simulation der Gau- und t-Copula erfolgt weitgehend analog und wird an dieser Stellemit Hilfe des Satzes von Sklar dargestellt.

Satz 1. Satz von Sklar Sei F eine gemeinsame Verteilungsfunktion mit Randverteilungen

F1, ..., FI , dann gibt es eine Copula derart, dass

F (z1, ..., zI) = C(F1(z1), ..., FI(zI))

fr alle z1, ..., zI R. Falls die Randverteilungen stetig sind, ist C eindeutig. Andernfals ist Cnur auf dem kartesischen Produkt der Wertebereiche von Fi fr i = 1, ..., I eindeutig bestimmt.

Mit Hilde des Satzes von Sklar kann die Simulation der Renditen grob in 2 Schritte aufgeteiltwerden.

Schritt 1: Modellierung der Einzelrenditen bzw. der Randverteilungen F1, ..., FI

Schritt 2: Wahl einer geeigneten Copula, sowie Anpassung ihrer Parameter - Modellierung derAbhngigkeit der Einzelrisiken

Abbildung 3: Aufspaltung nach Sklar

Denieren wir V1 := F1(Z1), ..., VI := FI(ZI), ergibt sich aus dem Satz von Sklar eine Berech-nungsmethode der Copula durch die Inversen der Randverteilungen

C(v1, ..., vI) = F (F11 (v1), ..., F

1I (vI))

Algorithmus 2: Simulation Copula

1. Generiere Z F und erhalte Realisation z = (z1, ..., zI)T

2. Wende Randverteilung Fi auf jeden Eintrag zi des Vektors z an und erhalte v =(F1(z1), ..., FI(zI))

T

Der Vektor v erfllt v C, denn:

Z F verteilt und Zi Fi verteilt, wobei Fi eine stetige und monoton wachsende Randver-teilung ist. Daraus folgt, dass Vi U(0, 1) verteilt, also gilt fr die gemeinsame Verteilungs-

8

funktion FV

FV (v1, ..., vI) = P (V1 v1, ..., VI vI)= P (F1(Z1) v1, ..., FI(ZI) vI)= P (Z1 F11 (v1), ..., ZI F

1I (vI))

= F (F11 (v1), ..., F1I (vI))

Fr F = IP und F1i =

1 bzw. F = t, und F1i = t

1 ergeben sich damit die Gau- bzw.

t-Copula.

Um damit unsere logarithmischen Renditen X = (X1, ..., XI) FX mit der entsprechendenVerteilung zu ermitteln, fhren wir die Schritte 1 und 2 in umgekehrter Reihenfolge aus undes ergibt sich der folgende Algorithmus:

Algorithmus 3: Simulation abhngiger Renditen

1. Generiere V C mit Algorithmus 2 und erhalte Realisation v = (v1, ..., vI)T

2. Wende Inverse der empirischen Randverteilung Fi auf jeden Eintrag vi des Vektors van und erhalte x = (F11 (v1), ..., F

1I (vI))

T

Der erhaltene Vektor x erfllt die gewnschte Verteilung und simuliert damit die logarithmi-schen Renditen mit der entsprechenden Abhngigkeit, denn:

FX(x1, ..., xI) = P (X1 x1, ..., XI xI)= P (F11 (V1) x1, ..., F

1I (VI) xI)

= P (v1 F1(x1), ..., vI FI(xI))= C(F1(x1), ..., FI(xI)) da V C

9

3.4.1 Bestimmung der Randverteilungen

Zur Simulation der Randverteilungen bieten es sich an, entweder eine Verteilungsannahme zumachen und daraufhin die Parameter zu schtzen oder alternativ die empirischen Randvertei-lungen zu nutzen. Wir wollen uns innerhalb dieser Arbeit auf die zweite Variante beschrnken.Die empirischen Randverteilungen werden aus den historischen Daten ermittelt. Bezeichnenwir mit X := (xi,j)i=1,...,I

j=1,...,Ndie Beobachtungsmatrix, die an Eintrag i, j die logarithmische Ta-

gesrendite der Aktie i in der j-ten Beobachtung enthlt, so ist die empirische Randverteilungdeniert durch:Denition 3. empirische Randverteilung

Fi,N (x) :=1

N + 1

Nn=1

1{xi,nx}(x) fr i = 1, ..., I

1{xi,nx}(x) bezeichnet dabei die Indikatorfunktion. Es wird durch den Faktor N + 1 dividiert,um Fi,N [0, 1) zu gewhrleisten.

Sie kann ezient und einfach fr die einzelnen Beobachtungen xi,j fr i = 1, ..., I und j =1, ..., N berechnet werden, wenn man ausnutzt, dass

Nn=1

1{xi,nx}(xi,j) = rank(xi,j)

Fi,N (xi,j) =rank(xi,j)

N + 1

In Matlab kann die Berechnung mit folgender Funktion implementiert werden:

function U = Randverteilung(data)

[I,N] = size(data);

U = zeros(I,N);

for i=1 : I

temp1 = [data(i,:)', (1:N)'];

temp1 = sortrows(temp1,1);

temp1 = [temp1, (1:N)'./(N+1)];

temp1 = sortrows(temp1,2);

U(i,:)= temp1(:,3)';

end

Damit erhalten wir die Randverteilungsmatrix U = (ui,j)i=1,...,Ij=1,...,N

mit ui,j = Fi,N (xi,j) der

Beobachtungen.

10

0.03 0.02 0.01 0 0.01 0.02 0.030

0.2

0.4

0.6

0.8

1

FD

t. T

elek

om,4

0(x)

0.03 0.02 0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.050

0.2

0.4

0.6

0.8

1

logarithmische Rendite

FR

WE

,40(

x)

0.2 0.15 0.1 0.05 0 0.05 0.1 0.150

0.2

0.4

0.6

0.8

1

FD

t. T

elek

om, 1

000(x

)

0.2 0.15 0.1 0.05 0 0.05 0.1 0.150

0.2

0.4

0.6

0.8

1

FR

WE

,100

0(x)

Abbildung 4: empirische Randverteilgungen

11

3.4.2 Copula-Parameterschtzung

Um die Copula gem Algorithmus 2 simulieren zu knnen, mssen die Parameter der Copulaerst entsprechend geschtzt werden. Bei der Gau-Copula gilt es die Korrelationskoezientenund bei der t-Copula neben den Korrelationskoezienten noch die Anzahl der Freiheitsgradezu schtzen.

Maximum-Likelihood-Methode

Wir bedienen uns an dieser Stelle des Maximum-Likelihood-Schtzers. Idee dieses Schtzers istes, diejenigen Parameter zu whlen, die auf Grund der gemachten Beobachtungen bzw. Reali-sationen am plausibelsten erscheinen. Wird mit der Parameter der Copula und werden miti fr i = 1, ..., I die Parameter der Randverteilungen bezeichnet, so lsst sich unter der An-nahme, dass von stochastisch unabhngigen, identisch verteilten Beobachtungen ausgegangenwird, der Maximum-Likelihood-Schtzer als Maximum der folgenden Funktion aufschreiben

L(x, , 1, ..., I) =

Ni=1

c(F1(x1,i, 1), ..., FI(xI,i, I), )

Ij=1

fi(xj,i, j)

wobei c die Dichte der Copula ist, mit

c(v1, ..., vI , ) =IC(v1, ..., vI , )

v1...vI

Nutzt man aus, dass der Logarithmus monoton ist und das Maximum der logarithmischenDichte an der gleichen Stelle angenommen wird wie von der nicht logarithmierten Rendite undvernachlssigen wir die Dichten der Randverteilungen, da ihre Parameter schon implizit durchdie empirischen Randverteilungen geschtzt wurden, so folgt der Log-Maximum-Likelihood-Schtzer

l(x, ) =

Ni=1

ln(c(F1(x1,i), ..., FI(xI,i), ))

Da die genauen Randverteilungen nicht bekannt sind, sondern nur ihre empirischen Randver-teilungen, die in der Matrix U berechnet wurden, wird mit den Pseudorealisationen der Rand-verteilungen in den beobachteten Realisationen gearbeitet. Es wird die sogenannte Pseude-Log-Maximum-Likelihoodfunktion bezglich maximiert

l(x, ) =Ni=1

ln(c(u1,i, ..., uI,i, )) mit uk,j = Fk(xk,j)

Gau-Copula-Parameterschtzung

Das Maximum des Log-Likelihood-Schtzers kann bei der Gaucopula4 fr den Parameter Pmittels

1(U) :=

1(u1,1) . . .

1(u1,N )...

. . ....

1(uI,1) . . . 1(uI,N )

4gem. [4] Beispiel 5.53

12

und der Korrelation der Eintrge von 1(U) gefunden werden

P = (1(U))

Algorithmus 4: Parameterschtzung Gau-Copula

1. Bestimme die empirischen Verteilungsfunktionen Fi,N fr i = 1, ..., I

2. Wende die erhaltenen Verteilunsfunktionen auf die Beobachtungsmatrix X an undspeichere Ergebnisse in U RIN

3. Transformiere U auf 1(U)

4. Berechne die Korrelationsmatrix P [1, 1]II von 1(U)

t-Copula-Parameterschtzung

Der Parameter P der t-Copula kann ber die Beziehung zum Kendall'schen Rangkorrelati-onskoezienten gewonnen werden P = sin(2 (U)). Die Freiheitsgrade werden mittelsMaximum-Likelihood-Methode geschtzt

max

l(x, , P )

Algorithmus 5: Parameterschtzung t-Copula

1. Bestimme die empirischen Verteilungsfunktionen Fi,N fr i = 1, ..., I

2. Wende die erhaltenen Verteilunsfunktionen auf die Beobachtungsmatrix X an undspeichere Ergebnisse in U RIN

3. Berechne die Kendall'schen Rangkorrelationskoezienten mit P = sin(2 (U)) und

erhalte P [1, 1]II

4. Maximiere den Log-Maximum-Likelidhoodschtzer max

l(x, , P ) mit geeigneten nu-

merischen Methoden

13

3.4.3 Praktische Umsetzung mit einer Monte-Carlo-Simulation

Nachdem jetzt alle Einzelschritte beschrieben wurden, mssen diese noch praktisch umgesetztwerden. Da wir, hnlich wie im 2. Kapitel zur Simulation an Hand des Korrelationsansatzes,auch diesmal den Portfoliowert in K Tagen simulieren mchten, gilt es zunchst die tglichenlog-Renditen in logarithmische K-Tagesrenditen zu transformieren. Dies erfolgt analog zu dembereits bekannten Ansatz aus dem vorherigen Kapitel. Ausgehend von der nun erhaltenen Be-obachtunsmatrix XK werden die empirischen Randverteilungen berechnet, so dass wir die zurBeobachtungmatrix gehrenden Randverteilungsrealisationen in Matrix UK RIK erhalten.Nachdem die Copulaparameter geschtzt wurden, kann im Anschluss der Vektor v C mitAlgorithmus 2 simuliert werden. Dieser wird, gem Algorithmus 3, in die inversen Randver-teilungen eingesetzt. Hierbei ergibt sich das Problem, dass wir nur eine diskrete Darstellungder einzelnen F1i fr die Beobachtungen kennen, so dass im Allgemeinen gilt F

1i (vi) 6= xi,j

fr alle j {1, ..., N}. Ist N gro genug, so sind die Randverteilungen fast kontinuierlich, sodass

F1i (vi) xi,ji fr (3)ji = min

j{1,...,K}|ui,j vi| fr i = 1, ..., I (4)

also

F1i (vi) F1i (ui,ji ) = xi,ji (5)

gilt. Somit erhalten wir eine Annherung an die inversen Randverteilungen. Alternativ knnteman die Zwischenrume auch interpolieren.

Fhrt man die Einzelschritte R-mal hintereinander aus und ermittelt aus den erhaltenen Rendi-ten den Portfoliowert5, erhlt man zusammengefasst den folgenden Monte-Carlo-Algorithmus:

Algorithmus 6: Monte-Carlo-Simulation mit Copula

transformiere Beobachtungsmatrix auf logarithmische K-Tagesrenditenberechne empirische Randverteilungsmatrix UK

schtze Copula-Parameterfor j = 1 R doerhalte Vektor x = (x1, ..., xI) aus Algorithmus 3 unter Verwendung von (4) und (5)for i = 1 I doSij = S

i0exp(xi)

end for

Sj =1I

Il=1 S

lj (Portfoliowert in der j-ten Simulation)

end for

S = 1RR

l=1 Sl (Portfoliowert gem. Monte-Carlo)

5fr ein gleichgewichtetes Portfolio

14

4 Numerische Tests

4.1 Berechnung des Value at Risk

Innerhalb des Risikomanagements ist allerdings nicht der Portfoliowert von primren Interesse,sondern vielmehr das Risikokapital, das auf Grund gesetzlicher Bestimmungen ermittelt wer-den muss (z.B. zur Errechnung des Mindestkapitals/Solvenzkapitals). Der Value at Risk (VaR)dient diesbezglich als Mazahl des Risikos.

Denition 4. Value at Risk

V aR(X,) := F1X ()

F1X = min{x|FX(x) }

wobei F1X die Quantilfunktion der Verteilungsfunktion FX bezeichnet.

Interpretieren lsst sich der VaR als Verlust, der mit der Mindestwahrscheinlichkeit nichtberschritten wird. Vice versa betrgt die Wahrscheinlichkeit, dass Verluste, die grer als derVaR sind, hchstens 1 .

Um den VaR praktisch berechnen zu knnen, bentigen wir nicht den Portfoliowert, sonderndie einzelnen Ausgnge Sj fr j = 1, ..., R aus den Portfoliosimulationen, um daraus die Dichteapproximieren zu knnen. Die folgenden numerischen Experimente geben immer den prozen-tualen Wert des Portfolios gegenber dem Anfangswert von 1 bzw. 100%6 an. Das Portfoliobesteht aus den Aktien der 4 Gesellschaften Dt. Telekom AG, RWE AG, BMW AG und In-neon AG mit jeweils identischer Gewichtung und N = 1158 in der Zeit vom 02.01.2007 bis29.07.2011.

0.7 VaR 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.50

1

2

3

4

5

6K=20

0.7 VaR 1 1.2 1.4 1.6 1.80

2

4

6

8

10

12K=10

GewinnVerlust Verlust Gewinn

Abbildung 5: Dichte und VaR bei 100.000 Simulationen mit t-Copula fr = 0.99

Da die Verluste auf der linken Seite der Dichtefunktion liegen, wird der Value at Risk mittelsMatlab mit V aR = quantile(Sr, 1 ) berechnet.

6indem Aktienstartwerte Si0 = 1 gesetzt wurden

15

Tage Kondenzniveau COP Gau-Copula COP t-Copula CORK = 5 = 0.99 0.9076 0.9044 0.9245K = 10 = 0.99 0.8703 0.8655 0.8899K = 20 = 0.99 0.8158 0.8105 0.8394

Tabelle 1: VaR - Berechnung

Der VaR unter Verwendung der Copula-Anstze ist gegenber dem Korrelationsansatz in bei-den Zeitperioden niedriger. Im Vergleich der beiden Copulaanstze ist der VaR der t-Copulageringer. Fr den Praktiker bedeutet dies, dass bei der Verwendung der Copulas mehr Risiko-kapital vorgehalten werden muss.

4.2 Backtest

Im vorherigen Abschnitt konnte experimentell festgestellt werden, dass bei Verwendung derCopulaanstze in der Praxis mehr Risikokapital bereitgestellt werden musste. Es stellt sichdie Frage, ob dieses wirklich gemacht werden muss. Dies wollen wir innerhalb eines Backtestsbeantworten.

0 20 40 60 80 100 1200.2

0.15

0.1

0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25K = 10

0 10 20 30 40 50 600.25

0.2

0.15

0.1

0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25K = 20

Abbildung 6: Backtest mit historischen logarithmierten K-Tages-Renditen

Betrachtet man die historischen logarithmischen Renditen im Vergleich zum VaR mit beidenAnstzen, so ist zu erkennen, dass der Korrelationsansatz (rote Linie) schlechter abschneidetals die Copulaanstze (grne Linie). Obwohl auch der VaR mittels Copula nicht alle Renditenabdecken kann, deckt er sie dennoch besser ab als der Korrelationsansatz. Das Risiko wird beimKorrelationsansatz deutlich unterschtzt, was dafr spricht, dass nicht alle Abhngigkeitendurch die Korrelation erfasst wurden.

Es bleibt noch zu klren, welche der beiden Copulaanstze bessere Ergebnisse erzielt. Gemder Arbeit von Patrick Deu erzielt die t-Copula bessere Ergebnisse, was er auf die starke untereTailabhngigkeit der Aktienrenditen zurckfhrt, die durch die t-Copula besser abgebildetwerden kann. Ob wirklich eine Tailabhngigkeit besteht, soll an dieser Stelle an einem Beispielmit dem unteren Tailabhngigkeitsschtzer getestet werden.

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Denition 5. Tailabhngigkeitsschtzer7

L(q) :=#{(x, y) Beob. : x < F1X (q) y < F

1Y (q)}

#{(x, y) Beob. : y < F1Y (q)}

U (q) :=#{(x, y) Beob. : x > F1X (q) y > F

1Y (q)}

#{(x, y) Beob. : y > F1Y (q)}

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

q

Bed

ingt

e W

ahrs

chei

nlic

hkei

t

Abbildung 7: unterer Tailabhngigkeitsschtzer fr tgliche logarithmische Renditen der Tele-kom AG und RWE AG

Es zeigt sich, dass im Testdatensatz eine starke untere Tailabhngigkeit herrscht und fr die-sen Datensatz die These der unteren Tailabhngigkeit von Aktienrenditen als wahr angesehenwerden kann.

5 Fazit

Innerhalb dieser Arbeit wurde sowohl der Korrelationsansatz und auch der Copulaansatz zurErmittlung des Value at Risk eines Portfolios praxisnah vorgestellt.

In dem anschlieenden numerischen Experiment konnte die berlegenheit des Copulaansat-zes, auch komplexere Abhngigkeitsstrukturen zu erfassen, an realen Daten getestet werden.Der Backtest zeigte, dass der herkmmliche Korrelationsansatz das Risiko systematisch un-terschtzt. Diese Unterschtzung fhrt im Praxiseinsatz zu zu niedrigen Risikokapitalreservenund hat bei Brsencrashs unter Umstnden dramatische Auswirkungen auf die Unternehmen.Daher sollte der Copulaansatz, trotz eventuell hherer Kapitalkosten, dem Korrelationansatzvorgezogen werden.

7gem. [2]

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Literatur

[1] Abhngigkeitsmessung: Neuere Entwicklungen und Anwen-dungen, (03. Dezember 2007) www.statistik.wiso.uni erlangen.de/lehre/diplom/versicherungsoekonomie/cops.pdf , Matthias Fischer

[2] Abhngigkeitsmodell anhand von Copulas, (28. Januar 2010) www.opt.math.tu graz.ac.at/ cela/V orlesungen/Risk09 10/praesentationSchitteretal.pdf , Lisa Stadl-mller, Christian Schitter, Peter Scheibelhofer, Wolfgang Draxler

[3] Measuring the Value at Risk of a Stock Portfolio - The Copula Approach, (Januar 2009)www.imacm.uni wuppertal.de/fileadmin/imacm/preprints/amna0902.pdf , PatrickDeu

[4] Quantitative Risk Management, (26. September 2005), A. McNeil, R. Frey, P.Embrechts

[5] Risikoanalyse: Modellierung, Beurteilung und Management von Risiken mit Praxisbei-spielen, Auage: 1 (15. September 2009), Claudia Cottin, Sebastian Dhler

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