en ap : la méthode de monte-carlo.monte-carlo
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Probabilités et statistique en TS
En AP : La méthode de Monte-Carlo.
Loi Normale
1. Comment centrer et réduire ?
Une variable aléatoire est dite centrée et réduite si son espérance est nulle et
si son écart type vaut 1.
Soit X une variable aléatoire discrète d’espérance m et d’écart type non nul.
La variable aléatoire X mZ
a une espérance nulle et un écart type égal à 1.
Ainsi, si X suit la loi binomiale ( , )B n p , alors Z aura pour espérance 0 et pour
écart type 1.
Théorème de Moivre-Laplace :
On suppose que pour tout entier n la variable aléatoire nX suit une loi binomiale ( , )B n p .
On pose (1 )
nn
X npZ
np p
, variable centrée réduite associée à nX .
Alors, pour tout réels a et b tels que a b , on a : 2
21lim ( )
2
xb
n anP a Z b e dx
La loi normale centrée réduite.
Définition : Une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite notée (0,1)N si,
pour tous réels a et b tels que a b , on a :
2
21( ) ( )
2
xb b
a aP a X b f x dx e dx
La f onction f défi nie sur R par 2
21
2
x
e
est appelée la f onction densité de la loi (0,1)N .
Calculer des valeurs avec les calculatrices :
Casio : Menu stat / Dist / Norm / Ncd
TI 83plus : Distr / Normal cdf
Défi nition :
Une variable aléatoire X suit la loi N (μ , σ2) lorsque la variable aléatoire
X
suit la loi normale N(0,1)
Connaître une valeur approchée des probabilités suivantes
2 2
3 3
( ) 0,68P X à 10-2 prés.
( 2 2 ) 0,95P X à 10-2 prés.
( 3 3 ) 0,997P X à 10-2 prés.
La variable aléatoire X suit la loi N(μ , σ2)
Intervalle de fluctuation. Intervalle de confiance.
Attention au vocabulaire !
Population
Echantillon
On connait une proportion p dans une population (par exemple la proportion p de femmes)
On calcule la fréquence de femmes f. Si f est dans l’intervalle de fluctuation de p, l’échantillon est dit représentatif de la population pour ce critère au seuil 1-
On sélectionne un échantillon de taille n par tirage au sort de la populationp est connu. On détermine un intervalle
de fluctuation.
Population
Echantillon
p est inconnuOn détermine
un intervalle de confiance
On calcule la fréquence de personnes étant sportives : f
On ne connait pas la proportion p de personnes étant sportives
A partir des données de l’échantillon on estime un paramètre inconnu de la
population par un intervalle de confiance
Intervalle de fluctuation
Intervalle de confiance
