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7/24/2019 M02- Mathmatiques Appliques BTP-TSGT - Www.bac-Ofppt.blogspot.com

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OFPPTROYAUME DU MAROC

SECTEUR: BTP

SPECIALITE:TECHNICIEN SPECIALISE

GEOMETRE TOPOGRAPHE

NIVEAU: TECHNICIEN SPECIAL ISE

Juin 2006

MODULE N:02

M THEM TIQUES

PPLIQUEES

Off ice de la Format ion Professionn el le et de la Promot ion du Travai lDIRECTION RECHERCHE ET INGENIERIE DE FORMATION

RESUME THEORIQUE

&

GUIDE DE TRAVAUX PRATIQUES

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REMERCIEMENTS

La DRIF remercie les personnes qui ont contribu llaboration du prsentdocument.

Pour la supervision:

M. Khalid BAROUTI Chef projet BTPMme Najat IGGOUT Directeur du CDC BTPM. Abdelaziz EL ADAOUI Chef de Ple Btiment

Pour la conception:

M. Pavel Tsvetanov Formateur animateur CDC/BTP

Pour la validation:

M. Pavel Tsvetanov Formateur animateur CDC/BTP

Les utilisateurs de ce document sont invits communiquer la DRIF toutes lesremarques et suggestions afin de les prendreen considration pour lenrichissement et

lamlioration de ce programme.

DRIF



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Rsum de Thorie et

Guide de travaux pratiquesModule 02 : Mathmatique appliques

OFPPT/DRIF 1

SOMMAIRE

A. CALCUL VECTORIEL

1. Notion de vecteur1.1 Dfinition d un vecteur1.2 Composante dun deux vecteurs1.3 Somme de deux vecteurs

2 Produit scalaire de deux vecteurs3. Produit vectoriel de deux vecteurs

3.1 Expression analytique du produit vectoriel3.2 Mthode prodigue

4. Drive dune fonction vectorielle

4.1 Exercices dapplicationB. GEOMETRIE PLANE

5. Les droites5-1 Changement de repre5-2 Exercice dapplication5-3 Equation de la droite5-4 Positions relatives de deux droites

6. Les relations mtriques dans le triangle.6-1 Rappel sur les triangles

6-2 Droites remarquables6-3 Relations mtriques dans le triangle rectangle6-4 Relations mtriques.6-5 Relations trigonomtriques dans un triangle long.

7. Calcul daires par les intgrales

7-1 Approche de la notion7-2 Fonction positive.7-3 Remarque.7-4 Exercices dapplication7-5 Remarque laire entre deux courbes.

C. ETUDE DES FONCTIONS USUELLES

8. Etude de la fonction puissance x9. Fonction exponentielle de base

9-1 Dfinition9-2 Notation9-3 Remarque9-4 Exercice dapplication9-5 Etude de la fonction exponentielle de bas



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Rsum de Thorie et


OFPPT/DRIF 2

10. Etude de la fonction logarithme nprien10. 1 Rappel10.2 Dfinition10.3 Consquence

10.4 Application10.5 Proprits fondamentales10.6 Exercices dapplication.10.7 Etude de la fonction logarithme

11. Fonctions trigone triques11.1 Dfinition11.2 Etude de la fonction cosinus et sinus11.3 Etude de la fonction tangente11.4 Relations trigonomtriques

D. LES MATRICES12. Dfinition dun matrice

12.1 Les dterminants12.2 Proprits des dterminants

13. Range dune matrice13.1 Mineur dun dterminant13.2 Rang dun matrice

14. linnover dune matrice14.1 Thorme14.2 matrice des cofacteurs

E. Systmes dquations linaires15. Systme de deux quations du 1redes deux inconnues16. Systme de 3 quations 3 inconnues

16. 1 Systme linaire de quations inconnues.16.2. Reprsentation de la mthode de pi rot de GAURS

F. Les quations diffrentielles17. Rsolution des quations diffrentielles linaire du 1r ordre.

17.1 Rsolution de lquation: y- ay = 017.2 Rsolution de lquationdiffrentielle : y ay = b

17.3 Rsolution de lquation diffrentielle: y ay = gx18. Equation diffrentielle du 2m ordre avec coefficients constants y+ py+ qy = 0

18.1 Rsolution de lquation y+py = 018.2 Rsolution de lquation y + qy= 018.3 Rsolution de lquation y + py +qy = 018.4 Solution de lquation complte18.5 Exercices



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G. Traces gomtriques19. La perpendiculaire

19.1 Perpendiculaire par un point dune droite19.2 Perpendiculaire par un point hors dune droite

20. Mdiatrice21. Paralllistes22. Cercles Angles inscrits23. Cercles Angles inscrits24. Division proportionnelle25. Division du cercle.26. Polygones rguliers inserts27. Polygones semblait

valuation de fin de module

H. List bibliographique



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Dure : 36 H 60%: thorique40%: pratique

OBJECTIF OPERATIONNEL DE PREMIER NIVEAUDE COMPORTEMENT

COMPORTEMENT ATTENDU

Pour dmontrer sa comptence, le stagiaire doit entretenir les espaces verts, selon lesconditions, les critres et les prcisions qui suivent

CONDITIONS DEVALUATION

Individuellement A partir des questions de cours Ecrire. Exercices.

CRITERES GENERAUX DE PERFORMANCE

Bonne connaissance de mathmatique Respect de formules et raisonnement Bonne connaissance de la gomtrie Bonne connaissance des mthodes de tracs gomtriques.

Module 02 : Mathmatiques appliques



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OFPPT/DRIF 5

OBJECTIF OPERATIONNEL DE PREMIER NIVEAUDE COMPORTEMENT

PRECISION SUR LE

COMPORTEMENTATTENDU

A- Connatre le calcul vectoriel

B - Avoir des connaissances de basesur les thories mathmatiques de la

droite et du plan.

C- Etudier correctement lesfonctions usuelles.

D- Savoir correctement le calculmatriciel

E - Connatre les systmes desquations linaires

F - Rsoudre parfaitement lesquations diffrentielles.

CRITERES PARTICULIERS DE

PERFORMANCE

Notions de vecteur Produit scalaire de deux vecteurs Produit vectoriel de deux vecteurs

Thormes de la droite. Relations mtriques dans le plan. Calculs des surfaces par les intgrales.

Etude correcte des diffrentes fonctionsusuelles :

- fonction avec puissance- fonction exponentielle- fonction logarithmique- fonction trigonomtrique

Connaissance pour une matrice :

- son dterminant- son rang- son inverse

Rsolution exacte des systmes desquations linaires :

- deux inconnues- plus de deux inconnues

Connaissance des principes dersolution des quations diffrentiellesdu :

- du premier ordre.- du second ordre.



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Rsum de Thorie et


OFPPT/DRIF 6

OBJECTIFS OPERATIONNELS DE SECOND NIVEAU

LE STAGIAIRE DOIT MAITRISER LES SAVOIRS, SAVOIR-FAIRE, SAVOIR-PERCEVOIR OU SAVOIR-ETRE JUGES PREA LABLES AUX APPRENTISSAGESDIRECTEMENT REQUIS POUR LATTEINTE DE LOBJECTIF DE PREMIERNIVEAU, TELS QUE :

Avant dapprendre connatre le calcul vectoriel (A):1. Connatre parfaitement les notions de vecteur2. Raliser correctement le produit scalaire de deux vecteurs3. Raliser correctement le produit vectoriel de deux vecteurs4. Calcul exactement la drive dun vecteur

Avant dapprendre avoir des connaissances de base sur les thories mathmatiques dela droite et du plan (B) :5. Rsoudre correctement des problmes pratiques de mathmatiques appliqus la droite.6. Rsoudre des problmes pratiques de mathmatiques appliqus au plan.7. Calculer des volumes par la mthode des intgrales

Avant dapprendre tudier correctement les fonctions usuelles (C) :8. Faire ltude correcte des fonctions avec puissance9. Etudier parfaitement les fonctions exponentielles.10. Faire ltude correcte des fonctions logarithmiques11. Etudier parfaitement les fonctions trigonomtriques.

Avant dapprendre savoir correctement le calcul matricielle (D):12.Dterminer correctement une matrice13.Calculer parfaitement le rang dune matrice14. Dterminer correctement linverse dune matrice

Avant dapprendre connatre les systmes des quations linaires (E) 15.Rsoudre parfaitement les systmes des quations linaires deux inconnues.16.Rsoudre convenablement les systmes des quations linaires plus de deux inconnues.

Avant dapprendre rsoudre parfaitement les quations diffrentielles (F)

17.Rsoudre parfaitement les quations diffrentielles du premier ordre.18.Rsoudre parfaitement les quations diffrentielles du second ordre.



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MODULE N 2 : CONNAISSANCE DESMATHEMATIQUES

RESUME THEORIQUE



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Le contenu du rsum thorique doit couvrir lensemble des objectifs viss par la

comptence relative au module en question en dveloppant :- Des concepts thorique de base (Dfinition, Schmas illustratifs, dmonstrations

dapplication..);- Des exercices dapplication;- Des valuations (Contrles continus).

A. CALCUL VECTORIEL

1. Notion de vecteur1.1 Dfinition:

Un vecteur AB et un segment de droite [A, B], orient qui a les caractristique suivantes :B

A- Origine : cest le point A- direction : cest la droite AB- sens : de A vers B- Module : cest la mesure du segment AB; Un module est un scalaire positif

Le vecteur U est un vecteur directeur port par le vecteur ABAB

U =

|| AB||

1.2 Composantes dun vecteur OM dans un repre orthonorm

- Soit un repre orthonorm (o, x, y, z) li une base (i ,j, , k )

OM = xi + yj + zk z- (x, y, z) sont les cordonns du point M

- xi, yj et zk sont les projections du M(x, y, z)vecteur OM sur les axes du repre k

iO



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OPRATION SUR LES VECTEURS

1.3 Somme de deux vecteursLa somme de deux vecteurs V1et V2est un vecteur V3tel que :

soit v1=x1I+y1j1+z1k} v1+v2=(x1+x2) i+ (y1+y2) j+ (z1+z2) k

v2=x2i+y2j+z2k} v3=(x1+x2)i+(y1+y2)j+(z1+z2)kv3 =x3i+y3j+z3k

En effet :Soient v1 et v2 deux vecteurs du mme origine. Et faisant entre eux angle x|v1+v2| 2=|v1| 2+|v2|2+2|v1| |v2|Cos x

V32=V1

2+v22+2v1v2Cos x



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2. Produit scalaire de vecteursa) Dfinition

Le produit scalaire est un scalaire tel que :

X tant langle form par les deux vecteurs V1et V2b) Expression analytique du produit scalaire.

Soient v1=x1i+y1j+z1kV2=x2i+y2j+z2k

V1.V2= (x1i+y1j+z1k) k j

V2. v2=x1.x2i.i+x1y2i.j+x1z2i.k i+y1x2j.i+y1y2j.j+y1z2j.k+z1x2k.j+z1y2k.j+z1z2 k.k

Or: i. i =||i ||.||i|| .Cos =1x1x1=1

i. i =j.j =k.k =1

i.j = ||i|| . || j ||.Cos /2= 1x 1x 0 = 0

de mme pour : j.i =i.k =k.i =j.k =k.j =0

Do:

3. Produit vectoriel de deux vecteursa) DfinitionLe produit vectoriel de deux vecteurs v1et v2est u n vecteur w; v1 et v2faisant entre eux un angle x.

Tel que :

- w= vd1.v2. Sin x

- Le vecteur w est un vecteur perpendiculaire v1et v2 (au plan forme par les deux vecteursv1et v2)

- Le tridre form par les trois vecteurs (v1, v2, w) est un tridre droit.3.1 Expression analytique du produit vectoriel

-Soit un repre orthonorm (o, x, y, z) li une base (i, j, k)

- v1=x1i+y1j+ z1k

V1 V2= ||V1|| ||V2|| Cos x.

V1.V2=x1x2+y1y2+z1z1

v1v2=w



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OFPPT/DRIF 11

-- v2=x2i+y2j+z2k-- v1v2 =x1x2ii +x1y2ij +x1z2ik-

+y1x2ji+ y1y2jy+y1z2jk

+z1x2ki +z1y2kj +z1z2kk

Or: ii =j j =k k =0=0

I j =k , kj =-k

Jk =i; kj =-i

Ki =j; ik =-jV1v2 = (y1z2-z1y2)i +(z1x2-x1z2)j +(x1y2-y1x2)i

3.2 Mthode pratique

x1 x2y1 y2v 1v2 z1 z2 = (y,z2z1y2)i+(z1x2-x1z2)j+(x1y2-y1x2)k

x1 x2y1 y2

4. Drive dune fonction vectorielle.La drive dune fonction vectorielle et une fonction vectorielle.Soit v (t) =xi +y (t) +z (t) kV (t) =x (t) i +y (t) +y (t) j+ z (t) k

4.1 ApplicationSoit le vecteur OM= (3t2+4t) i +6tj +2kCalcule le vecteur v =OMV= (6T+4) i+6j)

-Exercices dapplicationSoient deux vecteurs x =3i+2j+4k et v2=2i+2j+3k calculer1- Calculer v1et v22- Calculer le vecteur S= v1+v2et s3- Calculer le produit scalaire v1x v24- Dduire langle form entre v1et v25- Calculer le produit vectoriel v

1 v

2

V1v2 = (y1z2-z1y2) i+ (z1x2-x1z2)j+x1y2-y1x2)i



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OFPPT/DRIF 12

1. v 1 = 32+22+42 = 9+4+16 = 29 =5,38

v2= 22+22+32= 4+4+9 = 17 = 4, 12

2. S= v1 +v2 =5i+4j+7k

S= 25 +16 +49 = 90 = 9, 48

3. v 1 x v2 =(3x2 ) +( 2x2 ) + (4x3) =6+4 +12 =224. v 1 x v2 =v1 x v2x cos x

cos x = v1 .v2 = 22 = 0,9925v1.v2 5, 38 x 4, 12

x = Arc Cos (0, 9925) 7B .GEOMETRIQUE ANALYTIQUE PLANE5. Les droites5.1 Changement de repre

J OI

Oa) Changement dorigineConsidrons un repre (o, i,j ) et un point o de coordonnes (n0, y0) dans ce repre.Dsignons par (x,y ) et (x,y ) les coordonnes du point M dans les repres (o,i,y ) et (o,i,y )

De OM = OO+OM nous dduisonsXi +yj = (x0+x)i + (y0 +y) j

Do les formules

b) Changement de reprele problme gnrt du changement de repre Mnonce: in point Ma pour coordonnes (x,y)dans un repre (o,i,j ) et (x,y ) dans un repre((o,i,j ).

Connaissant les coordonnes de o,i, j dans le repre (o,i,j ) Exprimer x et y en fonction de x, y5. 2 Exercice dapplication:

Le repre (o,i,j ) est dfini dans le repre (o,i,y ) par o(2,-3 ) , i (3,-2) et j (5,1 ).2- quelle est dans ce repre lquation de la droite D lquation X+2Y +4=0 dans le repre (o, i, y).Solution:1- on a : OM = OO+ O.M

Sn1: xi +yj = 2i-3j+xi +y j = 2i3j +x (3i-2j) +y (5i+j) = (2+3x+5y)i+ (-3-2x+y)jDo les formules de changement de repre

X =x0+xY =y0+y

X =2+3x+5yY =-3-2x+u



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OFPPT/DRIF 13

Remplaons x et y par ces expressions dans lquations de D par rapport (o, i, y)2+3x+y +2(-302x+y)+4=0

soit : -x+7y =0Une quations Dans le repre (o, i, j) est donc :

5. 3 quation de droitesIl est ncessaire de Savoir crire sans calculs inutiles de quations de droites vrifiant des conditions

donnes et de savoir construire rapidement une droite connaissant une de ses reprsentations Rappelons lesprincipaux rsultats , le plan tant rapport un quel campe

A/ Reprsentations paramtrique.

On commence par crire les coordonnes du vecteur OM en fonction des donnes et dun paramtre a Droite dfinie par un point (x,y ) et un vecteur u (a, b )

AM= AU OM + OA +AU

Droite dfinie par deux points A(x0, y0) et B (x1 ,y 1)AM + Ab OM = (1-a) OA +a OB

Ces relations expriment que M est le barycentre des points A et B affects des coefficients (1-7) et a.Remarque : une droite admet une infinit de reprsentation paramtrique distincte, par exemple, le systme :x= (1-a) x0+ax1 y = (1-a)y0+ay1avec A 52,5 ET B (1,-2 ) M est donc le barycentre des points A et B affects des coefficients 1 et a ;lorsque a marie M dcrit la droite (A,B ) , lexception du point BLe systme x= 2+m

Y =5+7m Correspond la relation OM + OA +u BAReprsente la mme droite

B quations cartsiennesRappelons quune quation cartsienne dune droite D exprime une relation ncessaire et surfaisante entre

les coordonnes x et y dun point M pour que ce point appartienne DUne droite a une infinit dquation cartsiennes obtenus en multipliant les deux membres de lune delles

par rel nom nul et tout quation : ax +by +c=0 avec (a, b) (0,0) reprsente une droite donc un vecteurdirecteur est v (b,a)Droite passant par A(x0,y0 ) de vecteur directeur u (a, b) :

M (x,y ) E D

AM ET U sont colin2aires

B (x-x0)a(y-y0) =0

En particulier :

-x +7y =0

X =x0+7aY =y0+Ab

X + (1-a) x0+Ax1Y = (1-a) y0+a y1

Bx-ay =bx0-ay0



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OFPPT/DRIF 14

Si U +i Y + y0Si U +J X+ X0

Pour une droite non parallle yo y on peut utiliser U(1,m) et A(o,p) ,lquation devient:

M est coefficient directeur et p lordonne lorigine de DDroite passant par (x0, y0) et B(x1, y1)Prendre U= AB (y1-y0) (x-x0)(y-y0)=0

Si x1 x0et y1 l quation scrit aussi :

Exemple :Dterminer une quation de la mdiane (AM) du triangle ABC avec A (1,2) ,B (6,5) et C (2,3 ).M est le point de Cordonnes (6+3 , 5+3 ) =(4,4)

2 2a pour quation

x-1 y-2= ou

3 2

Cas particulier : une quation D coupant les axes en A (a, 0) et B (o, b )avec a 0 et b 0 est :

5. 4 Positions relatives de deux droitesa) Droites dquation y=mx+p

y =mx +p sontLes droites dquationParallles si et seulement sisi de plus , p=p elles concident .

Les droites dquations ax +by+c=0ax+by+c =0

Parallles si et seulement si les vecteurs directeurs (b,-a) et (b,-a) sent colinaires, do la condition

Y =m X+p

x-x0 y-y0=

x1-x0 Y1-Y0

2x-3y+4=0

X yA + b -1 =0

Ab ba=0

m=m



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OFPPT/DRIF 15

Il existe alors un rel K te que a =Ka, b =Kb ; si de plus c =Kc les droites concident.. En particulier la parallle D dquationax + by +c =0 passant par 0 a pour quation

Cette quation exprime aussi que le vecteur OM (x,y) appartient la droite vectorielle D associe D.Application : le vecteur U (x, B) est un vecteur directeur de D si et seulement si :UDa& +Bb =0

Exemple :Dterminer m pour que le vecteur u (m, 1,3) soit un vecteur de la droite D dquation 2x-5y+6=0

Solution :

Il faut que :2 (m+1)-5*3=0 ou :m=2

13

b) Droites concourantes

Les droites dquations

'' pxmy

pmxy

sont

Concourantes si et seulement si : 'mm

Les droites dquations

0'''

0

cybxa

cbyaxsont

Concourantes si et seulement si : 0'' abab Remarque :

Les coordonnes du point dintersection sont les solutions du systme form par les quations de deuxdroites.C) ExerciceInter-preter graphiquement le systme :

0432

0258

yx

yx

Solution :

3

42

5

28

x

y

xy

Un point de la droite D dquation 8x-5y+2 =0

A pour coordonnes

5

28, xx

Un point de la droite D dquation -2x+3y-4=0

A pour coordonnes

3

42, xx

Les deux droites sont scantes eu I(1,2 ).Soit M(x, y) Un quel conque du plan.

(x, y) est solution de (1){ M au dessous de D{M au dessous de D

ax +by =0



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OFPPT/DRIF 16

Len semble des points M sont les coordonnes (x, y) sont solutions de (1) est reprsent eu hachur sur lafigure.

y

6. Les Relations mtrique dans le triangle6. 1 Rappel sur les triangles

Trianglesa/ Dfinition. A

(Sommet)

c ctb

B angle

a C

Dans tout triangle, distingue :- trois sommets : A, B, C- trois cts : AB, BC, AC de longueur respective c, a, b.- trois angles :

b) Diffrentes sortes de triangles.Il existe 4 sortes de triangles :- Le triangle scalne (quelconque)- Le triangle isocle.- Le triangle quilatral- Le triangle rectangle.

1/ Triangles scalne : cest un triangle qui possde 3 cts ingaux (triangle quelconque) A

B C

x

D

D



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OFPPT/DRIF 17

6. 2 : Droite remarquablesLes droites remarquables dun triangle sont:

- La hauteur- La mdiane

- Ma mdiatrice- La bissectricea/ La hauteur : cest une droite qui passe par lun des sommets et perpendiculaire sur le ct oppos

.

b / La mdiane : cest une droite joignant un sommet an milieu du cts oppos

C/ La mdiatrice : cest une droite qui passe par le milieu dun cts et qui es ce ct

A BM =MCMD BC

B C

D / La bissectrice : c(est une droite qui coupe lun des angles en deux angles isomtriquesA

BC

Conclusion

A

B

C

BM=MC

B

A

C

La hauteur AH relativeAu cts BC

AH BC



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Rsum de Thorie et


OFPPT/DRIF 18

Un triangle a donc : 3 hauteurs, 3 mdianes, 3 bissectrices et 3 mdiatrices- Le point dintersection des hauteurs est appel orthocentre- Le point dintersection des 3 mdianes est centre de gravit.- Le point dintersection des 3 mdiatrices est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. - Le point dintersection des 3 bissectrices est le centre du cercle inscrit au triangle ABC.

6. 3 Relations mtriques dans le triangle rectangleRappel sur le triangle semblableSoit deux triangles quelconques ABC et EDF

a / DfinitionDeux triangles sont semblables si leurs angles sont respectivement isomtriques si les mesures de leurs ctshomologues sont respectivement proportionnelles

B / Cas de similitude1erCas A Nous avons

E=

B=D

D F

B C

Donc les triangles ABC et EDF sont Semblables et par consquent C= F AB = AC = BC = kTh : Si deux angles du triangle DEF sont respectivement isomtriques 2 angles du triangle ABC,alors ces 2 triangles sont semblables

2me Cas A E

Nous avons : = etEF

AC

ED

AB donc les triangles ABC et EDF sont semblables et par consquent :

{B=D et C=FAB = AC = BC

ED EF D F

A

B C

E

FD

=B=dC=F

kDF

BC

EF

AC

ED

AB



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OFPPT/DRIF 19

Th : si les menus des 2 cts du triangle DEF sont respectivement proportionnelles auxmesures des deux cts du triangle ABC. Et si les angles dfinis par ces cts sontIsomtriques, alors ces 2 triangles sont semblables.

3meCasNous avons : AB =AC =BC =K donne les triangles ABC et EDF sont semblables et par

ED EF DFConsquent : = B=D; C=FTh : si les mesures des 3 cts du triangle DEF sont respectivement proportionnelles aux mesures

des 3 cts des triangles ABC, alors ces 2 triangles sont semblables

RELATIONS METRIQUESDANS LE

TRIANGLE RECTANGLE

6.4 Relations mtriquesSoit [A, H] La hauteur relative lhypotnuse [B, C] dun triangle ABCRectangle en A

Thorme fondamentala) Les triangles ABH et ABC ont :- Un angle commun : (BA, BH) B- Un angle droit : (HA, HB) ;(AC, AB) H-AIls sont donc semblables daprs le 1ercas de similitude

b) Les triangles ACH et ABC ont :- Un angle commun : (CA, HC) (AB, AC) H-A

Ils sont donc semblables daprs la 1re similitude.c) Les triangles ABC et ACH tant tous deux semblables au triangle ABC sont semblables entre eux.

Thorme: La hauteur dun triangle relative lhypotnuse dtermine dans ce triangle deux trianglessemblables au premier et semblables entre eux.

Ecrivons Les rapports des cts homologues des triangles semblables ABH et ABC ; ABH et APour les triangles :

- ABH et ABC nous

CA

AH

AB

BH

CB

AB (1)

- ACH et ABC nous avonsBA

AH

AC

CH

BC

AC (2)

- ABH et ach nous avonsCH

AH

AH

BH

AC

AB (3)

Thorme IConsidrons la proportion forme par les deux premiers rapports de la ligne



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Rsum de Thorie et


OFPPT/DRIF 20

AB BH(1) = AB2=BC*BH

CB ABDe mme considrons les deux premiers rapports de (2)

AC CH AC2= BC *CH.

BC = AC

6.5Relations trigonomtriques dans un triangle quelconque

a) Relations entre les cts et les angles

On considre un triangle quel conque ABC a, b, c tant les mesures refectives des cts BC, AC, ABDmontrons la relation :

a2=b2=c2-2bc cos A:

Rap : produit scalaire de deux vecteurs AB .BC faisant entre eux un angle x

AB *BC = ABBC CES XBC = BA +AC dou BC = AC ABBC2 = BC *BC = BC. BC CES 0

= BC = a2( ACAB )2AC22AC x AB +AB =AC2 +AB2-2ACxABx COS

a2= b2 +c2-2bc cos

De mme : AC= ab +bc =ABCBAC2=(ab-cb)2B2=AB-2ABxCB+CB2

Dou: b2=c2+a2-2ac cos bDe mme:

BA =BC+CA=BC-ACBA2 = BC2+AC2-1BCxAC

=BC2+AC2-2BCxACx COS C

Do: c2 =a2+b2-2ab cos c

b)proportionnalit des cts dun triangle et sinus des angles oppose.

-A = angles inscrits interceptant le mme arc- langle BCA est inscrit dans un demi-cercle donc il est droit A



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OFPPT/DRIF 21

sin = sin A =R

a

2do 2R

Sin

aet de mme

2R = AINSICc

Bb

sinsin

RC

c

B

b

a2

sinsinsin

Thronine : les cts duntriangle sont proportionnels aux sinus des angles opposs.

c) Expression de laire dun triangle

/ soit H la projection de B sur AC. Les angles A et BAH sont gaux.hsin = do h =c sin

c

par suite, laire du triangle ABC est

S =2

1.

2

1hb b x c. sin

De mme : S = CabBac sin2

1sin2

1

CabSCaha

hC sin

2

1sinsin

BcasBahB ah

sin.2

1

sin'sin

Ainsi : CabBacbcs sin.2

1sin

2

1sin

2

1

2/ Soit I le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC ;r son rayon on a

1aire BIC = 2 a,r (1)

1

aire CIA = 2 b,r (2)



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Rsum de Thorie et


OFPPT/DRIF 22

aire Ai B = 1 c,r (3)2

Additionons (1) + (2)+(3)+(4)

1S = r (a+b+c)2

Or : a+b+c est le primtre p du triangle.1

do://S = p.r//2

Laire dun triangle est gale au demi-produit du primtre par le rayon du cercle inscrit dans le triangle.7. Calcul daires par les intgrales

7-1Approche de la notion :Soit la fonction, F : x[2,4 ] 3Reprsente dans le repre orthonorm in contre.Dsignonspar E lensemble des points du plan affine euclidien tels que:

30

42

y

x

A ce ensemble E on peut associer le rel A(E)= , aire de lensemble E4Remarquons que : 6).(7 dxx 7-2- Fonction positive

Si une fonction 7 est intgrable sur [a, b] et positive sur cet intervalle, lensemble des points M (x), du planeuclidien rapport

)(0 xfy

bxa

est quarrable et A (E)= b

a dxxf ).('

7-3- Remarque.Soit une fonction intgrable sur [a,b] et ngative sur E [a,b] ,F (x) 0 do 0)(, xFbax Dsignons par E lensemble des points M(x,y) du plan affine euclidien tels que :

)(0 xFy

bxa

et par E lensemble des points M (x,y) du plan affine euclidien tels que:

Les ensembles E et E tant isomtriques, puis que E est quarrable,E est quarrable et A(E).

Or A (E) xb

adxF )(

et dxxFdxxF ba

b

a).()(

0)( yxF

bxa



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Rsum de Thorie et


OFPPT/DRIF 23

Do )().( EAdxxFa b

En consquence, le rel b

adxxF ).( est ngatif, il est apport aire algbrique de lensemble E laire de E est

dxxFa b

.)(

7-4- ApplicationSoit la fonction F reprsente ci- contre dans le plan affin euclidien rapport un repre orthonorm.Dsignons par E lensemble des points M(x,y) de la rgion hachure

Laire algbrique E est dxxFa b

.)( Laire A (E) est gale:

dxxFdxxF b

a

c

a.)(.)(

Exercice dapplication:Dans le plan rapport repre orthonorm, Soit C la courbe reprsentative de la fonction :F : x x2Dterminer tels que :

)(0 xFy

axa a R

7-5- Remarque :Soit deux fonction F et g intgrables sur [a,b ] telles que : )()(,, xgxFbax Les reprsentations graphiques de ces deux fonctions tant donnes dans le plan affin euclidien rapport unrepre orthonorm, laire du domaine plan limit par les courbes dquationY =F (x) et y =g(x) ainsi que par les droites dquations x =a et x=b est:

dxxFxgE b

a.)()()(

Exercice dapplicationDans le plan affin euclidien rapporte un repre orthonorm, dterminer laire du domaine. Plan dfini parles deux courbes dquations respectives :Y =-x2-x+2 et y=2x+2Elles droites dquations:

X=-3 et x=0A = dxxxx .222

0

3

2

A= dxxx .30

3

2

A= 0

3

2

3

02

23

3

xx

A= 29

2279



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Rsum de Thorie et


OFPPT/DRIF 24

C- ETUDE DES FONCTIONS USUELLES

8- Etude de la fonction puissance xn

Soit la fonction F (x) =xn pour E N- Si n est pair i (-n)ndonc la fonction est pair- Si n est pair i (-x)n=-xn donc la fonction est impair- Etudions la fonction xn, pour 0x .Elle est continue pour toute valeur de x car cest une puissance positive entire de la fonction x qui estcontinue.

- Soit x et x deux valeurs distinctes de la variable on a :'''

'''

xx

xx nn

>0

Thorme.La fonction xn est strictement monotone, croissant pour 0x , quand nxx ;

- Courbe reprsentative de xn

Pour x=0, on a : xn=0a) Si n est pair, OY est un are de symtrie

b) Si n est pair i o est un centre de symtrie

Exemple dapplication

Etudier la fonction F (x) =x2

F(x) = (-x)2=x2cest une fonction paire symtrie par rapport OY ? Lim x2 =0

x+

lim x2 =+ x

lim xrx

x

x

xFx

lim2lim)(

Branche paratolique de direction OY. F (x) =2x>0 00n F croissante. Tableau de narration

X 0

+(x2)

x2

0 Courbe reprsentative

9. Fonction exponentielle de base.9.1 Dfinition dune fonction exponentielle de base



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On appelle fonction exponentielle de base, la fonction rciproque de la fonction logarithme nprien.9. 2 Notion :

La fonction exponentielle de base est symbolise par exp Exp =exY=ex x =log y

xR] yR*

9. 3 Remarque :

a)2121

21

21

21 ;

xx

xx

eexx

eexX

RxR

b)*

log.*

.log).log(;

Rx

Rx

IERX

eIxeRx

Do: e= (Car log 1=0)e1= (Car log e=1)

c) baba eeeRbRa .,, )'

d) eRa ,

9.4 Applications1- R2 sourde dans r, lquation:2- (E):E2X+3EX-4+0On pose ex=x

(E) : x2+3x== 9+16 = 25x1= -3 + 5 = 1

2-3-5 = -4 ( liminer)

x2= 2

ex

>0 xR.Ex=x1=1 x=0S=0

2- Rsoudre dans R lquation :4e-3x-5e-x+ex=0

e3x(4e-3x-5e-x+ex)=0

e4x-5e2x=0on pose x=e2x=25-16=9x1=5+3=4 2x1=log4 x1=1,386

2x2=5-3=1 2x2=log x1 x2=0



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9. 5 tude de la fonction exponentielle de base.1. la fonction ex est une toijection de (R,+ )sur (R*,.).Elle est continue et strictement sur R.2. Recherche des limites.

A/

b/

c/

o pose ex=x

3. Tableau de narration de la fonction ex

x - +f(x)=exf(x)=ex

0

3. Reprsentation graphique

10. tude de la fonction logarithme nprien10.1 Dfinition de la fonction logarithme nprien

Rappel:Toute fonction continue un intervalle I, admet des primitives cet intervalle.

10.2- Dfinition:On appelle fonction logarithme nprien la primitive sur lintervalle 0,de la fonctionx+ 1 qui sannule pour x=1

xNotation :xR* . log = dt

10. 3 Consquences:x1R . X2*R*x1=x2log x1=logx2x1


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10.4 Application :a/ Dterminer lensemble de dfinition de la fonction :f: x+log(2x-3)

2x-3>0x2x>3x 3/2, +et x>0 x 0, +

Df = 3/2, +Log (2x-3)=logx2x-3=xx=3

C/ Rsoudre dans R, linquation.Log (2x-3>log(4-x)

2x-3>0 x 3/2,+et4-x>0 -x>-4 xlog (4-x)2x-3>4-x3x>7x73S= 7/3,4

10.5 Proprit fondamentale : logarithme dun produit.

10.6 Applicationlog (x-2)+log(x+3)=log6log (x-2)(x+3)=6x2+3x-2x-6=6x2+x-12=0= 1+48=59x1=-1+7=3

2x2

=-1+7=-4

la solution se trouve dans lintervalle .2, + do ://=3//Consquence de la proprit fondamentale.A/ xR, Br

B/ aR*, nZ,

aR ;bR* ;log ab =log a+log b.

= -

Log an=n log a



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10.7 tude de la fonction logarithme nprien1) la fonction logarithme nprien est dfinie continue et drivable sur lintervalle 0,+ .

Sa drive est la fonction x 1/x , la fonction log est strictement croissante sur lintervalle 0,+Recherche des limites

A/ limite de log x quand x tend vers plus dfiniLim log x=+x+

b/ lim log x =-x0+

On pourra pose x 1/xC) lim log x =0+

x+ x

3) Tableau de variation.x 0 +

(logx)=1/Xlog x

+-

Remarque :-tude de la branche infinie.lim log n

x+ x =0+

Do la courbe admet une branche paratoilique de direction asymptotique laxe des abscisses- lim log =-x0+

Reprsentation graphique



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11. Fonction trigonomtriques11.1Dfinition :

Soit une cercle trigonomtrique de centre 0 muni dune orthonorme de sens po sitif (OA, OB).

Figure 3-1 cercles trigonomtriques

Si A est lensemble des angles (OA, OM) on dfinit la fonction O :R AX 0(x) = (OA, OM)La fonction sinus est dfinit comme suit :Sin R R

X si xAvec sin x= Sin (x) =OK

L a fonction cosinus est dfinit comme suit :Cos : R R

X C os x = C os (x) =OHConsquence :

OM2=OH2+OK2

x 1=cos x2 +(sin x)2

- cos 2x + sinx =1- -cos2x = sinx.- -sin2x = cos x



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11.2 tude la fonction cosinus et la fonction sinuscos : R -1,+1

x cos xa/ Domaine de dfi nation

xcos x : est dfinit Df =RCos est priodique de priode 2x cos (x) = cos (x+2k) kZon peut donc limiter ltude -,+ De plus xR cos x = cosx cos est une fonction paire laxe (yo y )

est un axe de symtrie de la courbe et ltude peut se limiter a 0,.b) limiteslim cos x =cos 0=1x0lim cosx=cos =-1

xc) Vrifier les sens de variationscos sin x sur 0,.cos x 0cos dcroissant.cos x=0-sin x=00 ou x=.Si x est voisin de 0 par valeur suprieure sin (x) >0-sinus (x) 0.X=0 est donc est un maximum de la courbe.De mme x =est un minimum de la courbe.Cherchons sil existe un point dinflexion.Cos x =-sin x=-cos x.Cos x =0 cos x=0x=2Au voisinage de /2 cos change de signe x=/2est un point dinflexion.d) Tableau de variation

Figure 3-2 courbes de la fonction cosinus

De mme on reprsente la fonction sinus

X 0 /2

cosx 0 -0

cos x 1 0 -1



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11. 3 tude de la fonction tangentDfinition :On appelle la fonction tangente la fonction qui associe tout nombre rel x le nombre sin x

cos xLorsquil existe.

On note tg x = sinxcosx

Si on considre les deux triangle (OHM) et (OAT) ce deux triangle semblables donc

OK = AT SIN = AT (OA =1) hm = AT ou hm = OKOH OA COS OH OA

tg x= AT si on considre laxe (tAT ) dorigine Aon peut associer chaque x sa tangente sur cet axedorigine A.Domaine de dfinition :Tg est dfinie pour x tel que cos 0x/2+K(kz)Df =R /2+kkz.On vrifier facilement que tg est priodique de priode x Dftg (-x) =sin(-x) = -sin,x =-tgx la fonction tg est une fonction impaire

cos (-x) cos xle pointr 0 centre de symtrie de la reprsentative .Letude peut donc se limiter lintervalle 0,/32.

b) lim tg x=tg0=0x 0lim tg x =-2 x=/2 asymptote de la coure .

x/2C) (tgx )= sin x cos cossin

Cos xTg x=cos x+sin x =1 =1+tg2x

Cos x cos xTgx >0tg est strictement l o elle est dfinie.

d) Tableau de variation

Figure 3-3 courbes de la tangent

X -/2 0

Tgx +

Tg x 0 +x



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Guide de travaux pratiquesModule N2 : Mathmatique appliques

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11.4 Relations trigonomtries

cos 2x+sn2x =1cosx =xsin2x

cos(/2-x)= sinxsin (/2-x)= cosxcos (/2+x)=-sinxsin (/2+X)=cosxcos(-2)=-cosxsin(-x)=sinxcos(3/2-x)=-cosxsin(3/2-X)=-sinxcos(3/2+X)=sinx

sin(3/2+X)=-cosxcos(a+b)=cosa.cosb-sina.sinbsin(a+b)=sina.cosb+cosa.sinbcos(a.cosb+sina.sinbsin(a-b)=sina.sinb-cosa.cosb

EXERCICE DAPPLICATIONSimplifier ler expressions suivantes:S=sin (/2-a) + cos(+a)-cos(a-/2)+sin(a-)S=2sin (a+) + cos(a-/2)-2cos(a+/2)-2cos(a+/2)+sin(a-)S= cosx + cos (x+2/3)+cos(x+4/3)

Driver les fonctions suivantes :Y=cos2xY=sin2xY=-2x

Cos3xY=tgx2Y=tg4 (3x2+1)Y=ecos2xY=log (tgx+1)2

Construire les courbes :Y=cosx+sinxY=1+sinx



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DLES MATRICES

12. Les dterminants

Soit une matrice carre dordren :a11 a12 a1j a1na21 a22 a2j a2n (1)

ai1 ai2 aij aim

an1 an2 anj ann

On appelle dterminant dordre n assori la matrice (1) :

a11 a12 a1j a1na21 a22 a2j a2n

= ai1 ai2 aij ain

an1 an2 anj ann

12.1 Proprits des dterminants

Une matrice est dite transpose de la matrice 1, si ses lignes concident avec les colonnescorrespondantes de la matrice (1) et inversement, autrement dit, la transpose de la matrice (1)est la matrice (2).

a11 a21 aj1 an1a12 a22 aj2 an2

(2)a1i a2i aji ani

a1n a2n ajn ann



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De mme le dterminant de la matrice transpose est de la forme :

a11 a21 aj1 an1= a12 a22 aj2 an2

a1i a2i aji ani

a1n a2n ajn ann

Proprit 1:Un dterminant concide avec son transpos.

Proprit 2 :

Un dterminant est nul si tous les lment dune de ses lignes sont nuls (ou colonnes). Proprit 3:

En changeant deux lignes quelconques dun dterminant ce dernier change de signe.Proprit 4 :

Un dterminant ayant deux lignes identiques est nulProprit 5 :

En multipliant par un nombre k tous les lments dune ligne quelconque dun dterminantdordren, on obtient un dterminant dont la vecteur est k multipli par le dterminant initial.

Proprit 6 :Si les lments de deux lignes quelconque dun dterminant sont proportionnels, alorsce dterminant est nul.

Proprit 7 :Si lune des lignes dun dterminant dordre n est une combinaison linaire des autreslignes, alors ce dterminant est nul.

Proprit 8 :Un dterminant dordre n ne varie pas si lon ajoute aux lments de lune de ses lignesles lments correspondants dune autre ligne multiplie par un mme nombre.

Exercice dapplication.

Calculer le dterminant D= 1 x 5x

-2 2x x3 4x -x

Solution : D=x2

1 1 5 + 1 1 5D=x2 -2 2 1 = x2 -- 0 4 11 = x2 4 11

3 4 -1 + 0 1 -16 1 -16 = x2(-64 -11) = -75x2



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Remarque :Si tous les mineurs dordre k de la matrice A sont nuls, alors tous les mineurs dordresuprieur k de cette matrice annulent galement.13.2- Rang dune matrice.

-lordre le plus lev des mineurs non nuls dune matrice A est gal au rang de la ma trice A.- pour calculer le rang dune matrice, il faut passer des mineurs dordre intrieur ceux dordre plus lev. Un mineur dordre k non nulle une fois trouve il suffit de calculer les mineurs

dordre k+1contenant le mineur d. si tous ces mineurs dordre k+1 sont nul alors le rang dela matrice k est k.

Exemple.A = 2 -4 3 1 0

1 -2 1 -4 20 1 -1 3 14 -7 4 -4 5

le mineur dordre 2, se trouvant lintersection des deux premires lignes et deux premires

colonne de A est nul ,mais la matrice A pos de des mineurs dordre 2 non nul

Exemple : -4 3-2 1 0 le mineur dordre 3 qui contient d.

d= -4 3 1 0 -1 13-2 1 -4 = 0 -1 2 = -2 + 13 01 -1 3 1 -1 3

d le mineur dordre 4 qui contient d1

-4 3 1 0 2 -4 3 1-2 1 -4 2 ; d2 = 1 -2 1 -4

d1= 1 -1 3 1 0 1 -1 3-7 4 -4 5 4 -7 4 -4

d1 =0 d2 =0 le rang de A et 3

14. Calcul de linverse dune matrice.

14.1 Thorme :Une matrice carre A dordre n (n1) est inversible si et seulement si dterminantde A est 0

14.2 Matrice des cofacteurs.Soit A= (aij) 1


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E. SYSTEMES DEQUATIONS LINEAIRES

15. Systme de deux quations du 1redes deux inconnues



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16. Systme de 3 quations 3 inconnues



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16. 1 Systme linaire de quations inconnues.



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16.2. Reprsentation de la mthode de pi rot de GAURS



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1 -1 2 3 20 1 -2 -1 -40 0 1 -2 50 0 0 1 -1



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17.2 Rsolution de lquation diffrentielle: y ay = b



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17.3 Rsolution de lquation diffrentielle: y ay = gx



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18. Equation diffrentielle du 2m ordre avec coefficients constants y+ py+ qy = 018.1 Rsolution de lquation y+py = 0

Lquation quivalant y + py = constant = c donc y = e-pn+ c/p

18.2 Rsolution de lquation y + qy = 0



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18.3 Rsolution de lquation y + py +qy = 0



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18.4 Solution de lquation complte



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18.5 Exercices



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TRACES GEOMETRIQUES

19. La perpendiculaire19.1Perpendiculaire par un point dune droite



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Solution



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19.2Perpendiculaire ^par un point hors dune droit



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Solution



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20.Mdiatrice



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Solution



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21.Parallle



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Solution



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22.Bissectrice



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22.1Bissectricesommets accessibles

Solution



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22.2Bissectricesommets inaccessibles



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Solution



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23.Cercle angles inscrits

23.1Angles inscrits



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Solution



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Solution



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24.Divisions proportionnelles



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Solution



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25.Division du cercle



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26.Polygones rguliers inscrits



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MATHMATIQUE APPLIQUE

EVALUATION DE FIN DE MODULE



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LISTE BIBLIOGRAPHIQUE

AUTEUR TITLE EDITION

SERGE MILLES et JEANLAGOFUN

MATEMATIQUE APPLIQUEE 1992

LUCIEN LAPOINTE etGILLES MEYER

MATHEMATIQUE APPLIQUE AUXTRAVAUX PUBLIQUE, BTIMENTS

ET LEVERS URBAINS

1991

m02- mathématiques appliquées btp-tsgt - www.bac-ofppt.blogspot.com

Documents