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Fonction exponentielle

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Les savoir-faire

La fonction exponentielle

Étude de la fonction exponentielle

Compléments sur la fonctionexponentielle Fonction exponentielle

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Fonction exponentielle

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Les savoir-faire

La fonction exponentielle

Étude de la fonction exponentielle

Compléments sur la fonctionexponentielle

Les savoir-faire

240. Connaître le sens de variation, le signe et la représentationgraphique de exp.

241. Transformer une expression en utilisant les propriétés de lafonction exponentielle.

242. Résoudre des équations ou inéquations contenant desexponentielles.

243. Représenter graphiquement les fonctions t 7−→ e−kt ett 7−→ ekt (k > 0)

244. Modéliser une situation par une croissance, une décroissanceexponentielle.

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Fonction exponentielle

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Les savoir-faire

La fonction exponentielle

Étude de la fonction exponentielle

Compléments sur la fonctionexponentielle

Définition

Propriété

Soit f une fonction définie et dérivable sur R telle quef(0) = 1 et f ′ = f . Pour tout x ∈ R :

f(x) × f(−x) = 1 et f(x) 6= 0

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La fonction exponentielle

Étude de la fonction exponentielle

Compléments sur la fonctionexponentielle

Définition

Propriété

Soit f une fonction définie et dérivable sur R telle quef(0) = 1 et f ′ = f . Pour tout x ∈ R :

f(x) × f(−x) = 1 et f(x) 6= 0

Théorème

Il existe une unique fonction f définie et dérivable sur R telleque f ′ = f et f(0) = 1.

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Fonction exponentielle

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Les savoir-faire

La fonction exponentielle

Étude de la fonction exponentielle

Compléments sur la fonctionexponentielle

Définition

Propriété

Soit f une fonction définie et dérivable sur R telle quef(0) = 1 et f ′ = f . Pour tout x ∈ R :

f(x) × f(−x) = 1 et f(x) 6= 0

Théorème

Il existe une unique fonction f définie et dérivable sur R telleque f ′ = f et f(0) = 1.

Définition

La fonction exponentielle est la fonction notée exp définiesur R par : exp’(x) = exp(x) et exp(0) = 1.

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La fonction exponentielle

Étude de la fonction exponentielle

Compléments sur la fonctionexponentielle

Relation fonctionnelle

Premières propriétés

Pour tout x ∈ R :

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La fonction exponentielle

Étude de la fonction exponentielle

Compléments sur la fonctionexponentielle

Relation fonctionnelle

Premières propriétés

Pour tout x ∈ R :

exp(−x) = .

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Les savoir-faire

La fonction exponentielle

Étude de la fonction exponentielle

Compléments sur la fonctionexponentielle

Relation fonctionnelle

Premières propriétés

Pour tout x ∈ R :

exp(−x) =1

exp(x).

exp(x) > .

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Fonction exponentielle

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Les savoir-faire

La fonction exponentielle

Étude de la fonction exponentielle

Compléments sur la fonctionexponentielle

Relation fonctionnelle

Premières propriétés

Pour tout x ∈ R :

exp(−x) =1

exp(x).

exp(x) > 0.

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La fonction exponentielle

Étude de la fonction exponentielle

Compléments sur la fonctionexponentielle

Relation fonctionnelle

Premières propriétés

Pour tout x ∈ R :

exp(−x) =1

exp(x).

exp(x) > 0.

Relations fonctionnelles

Pour tous réels x et y :

exp(x + y) = .

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Fonction exponentielle

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Les savoir-faire

La fonction exponentielle

Étude de la fonction exponentielle

Compléments sur la fonctionexponentielle

Relation fonctionnelle

Premières propriétés

Pour tout x ∈ R :

exp(−x) =1

exp(x).

exp(x) > 0.

Relations fonctionnelles

Pour tous réels x et y :

exp(x + y) = exp(x) × exp(y).

exp(x − y) = .

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Fonction exponentielle

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Les savoir-faire

La fonction exponentielle

Étude de la fonction exponentielle

Compléments sur la fonctionexponentielle

Relation fonctionnelle

Premières propriétés

Pour tout x ∈ R :

exp(−x) =1

exp(x).

exp(x) > 0.

Relations fonctionnelles

Pour tous réels x et y :

exp(x + y) = exp(x) × exp(y).

exp(x − y) =exp(x)

exp(y).

Pour tout n ∈ Z : exp(nx) = .

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Fonction exponentielle

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La fonction exponentielle

Étude de la fonction exponentielle

Compléments sur la fonctionexponentielle

Relation fonctionnelle

Premières propriétés

Pour tout x ∈ R :

exp(−x) =1

exp(x).

exp(x) > 0.

Relations fonctionnelles

Pour tous réels x et y :

exp(x + y) = exp(x) × exp(y).

exp(x − y) =exp(x)

exp(y).

Pour tout n ∈ Z : exp(nx) = (exp(x))n

.

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Fonction exponentielle

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Les savoir-faire

La fonction exponentielle

Étude de la fonction exponentielle

Compléments sur la fonctionexponentielle

Notation e

Définition

On note e l’image de 1 par la fonction exp. Ainsi, exp(1) = e.Ce nombre est appelé constante de Neper ou nombre d’Euler.

Remarque : Le nombre e est irrationnel et vautapproximativement 2, 718.

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Fonction exponentielle

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Les savoir-faire

La fonction exponentielle

Étude de la fonction exponentielle

Compléments sur la fonctionexponentielle

Notation e

Définition

On note e l’image de 1 par la fonction exp. Ainsi, exp(1) = e.Ce nombre est appelé constante de Neper ou nombre d’Euler.

Remarque : Le nombre e est irrationnel et vautapproximativement 2, 718.

Notation

Pour tout p ∈ Z, exp(p) = exp(p × 1) = (exp(1)p) = ep.En généralisant cette écriture :Pour tout x ∈ R, exp(x) = ex.

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Les savoir-faire

La fonction exponentielle

Étude de la fonction exponentielle

Compléments sur la fonctionexponentielle

Notation e

Définition

On note e l’image de 1 par la fonction exp. Ainsi, exp(1) = e.Ce nombre est appelé constante de Neper ou nombre d’Euler.

Remarque : Le nombre e est irrationnel et vautapproximativement 2, 718.

Notation

Pour tout p ∈ Z, exp(p) = exp(p × 1) = (exp(1)p) = ep.En généralisant cette écriture :Pour tout x ∈ R, exp(x) = ex.

Exemples

Simplifier les écritures suivantes :

A =e4

× e4

e5et B =

(

e5)

−6

× e3. Vidéo

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Fonction exponentielle

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Les savoir-faire

La fonction exponentielle

Étude de la fonction exponentielle

Compléments sur la fonctionexponentielle

Variations

Propriété

La fonction exp est dérivable sur R donc continue sur R ;Pour tout x ∈ R, exp′(x) = exp(x) > 0 donc la fonctionexp est strictement croissante sur R.

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La fonction exponentielle

Étude de la fonction exponentielle

Compléments sur la fonctionexponentielle

Variations

Propriété

La fonction exp est dérivable sur R donc continue sur R ;Pour tout x ∈ R, exp′(x) = exp(x) > 0 donc la fonctionexp est strictement croissante sur R.

Conséquences

Pour tous réels a et b :

ea = eb ⇐⇒ ; ea < eb ⇐⇒

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Fonction exponentielle

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La fonction exponentielle

Étude de la fonction exponentielle

Compléments sur la fonctionexponentielle

Variations

Propriété

La fonction exp est dérivable sur R donc continue sur R ;Pour tout x ∈ R, exp′(x) = exp(x) > 0 donc la fonctionexp est strictement croissante sur R.

Conséquences

Pour tous réels a et b :

ea = eb ⇐⇒ a = b ; ea < eb ⇐⇒

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La fonction exponentielle

Étude de la fonction exponentielle

Compléments sur la fonctionexponentielle

Variations

Propriété

La fonction exp est dérivable sur R donc continue sur R ;Pour tout x ∈ R, exp′(x) = exp(x) > 0 donc la fonctionexp est strictement croissante sur R.

Conséquences

Pour tous réels a et b :

ea = eb ⇐⇒ a = b ; ea < eb ⇐⇒ a < b

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La fonction exponentielle

Étude de la fonction exponentielle

Compléments sur la fonctionexponentielle

Tableau de variations et courbe

x

exp’(x)

exp(x)

−∞ +∞

+

00

+∞+∞

0

1

1

e

−3 −2 −1 1 2

2

3

4

5

O

e0 = 1

e1 = e ≃ 2, 718

y = exp(x)

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La fonction exponentielle

Étude de la fonction exponentielle

Compléments sur la fonctionexponentielle

Exemples

Dérivée

Dériver les fonctions définies par :1. f(x) = 4x − 3ex 2. g(x) = (x − 1)ex 3.

h(x) =ex

xVidéo

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Fonction exponentielle

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La fonction exponentielle

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Compléments sur la fonctionexponentielle

Exemples

Dérivée

Dériver les fonctions définies par :1. f(x) = 4x − 3ex 2. g(x) = (x − 1)ex 3.

h(x) =ex

xVidéo

Equations, inéquations

1. Résoudre l’équation ex2

−3− e−2x = 0. Vidéo

2. Résoudre l’inéquation e4x−1 > 1. Vidéo

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Fonction exponentielle

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La fonction exponentielle

Étude de la fonction exponentielle

Compléments sur la fonctionexponentielle

Compléments sur la fonction exponentielle

Dérivée de eax+b

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.La fonction définie par f(x) = eax+b est dérivable sur I etadmet pour dérivée :

f ′(x) =

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La fonction exponentielle

Étude de la fonction exponentielle

Compléments sur la fonctionexponentielle

Compléments sur la fonction exponentielle

Dérivée de eax+b

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.La fonction définie par f(x) = eax+b est dérivable sur I etadmet pour dérivée :

f ′(x) = aeax+b