la forme exponentielle

La forme exponentielle

La forme exponentielle est une forme d’écriture permettant de représenter une multiplication répétée d’un même facteur.

2 3= 2 X 2 X 2

3 5= 3 X 3 X 3 X 3 X 3

10 6=

À l’inverse, 5 X 5 X 5 X 5 = 5 4

5 1

= 5

10 X 10 X 10 X 10 X 10 X 10

On ne multiplie pas les facteurs entre eux.

On écrit le facteur et l’exposant qui indique combien de fois le facteur s’est multiplié par lui-même.

VocabulaireLe nombre qui indique combien de fois un facteur (la base) se multiplie par lui-même s’appelle

On l’écrit plus petit et on le place en haut et à droite du facteur.

Le facteur qui se répète

s’appelle la

23

= 8

Le produit de cette multiplication répétée s’appelle la

l’exposant.

base.

puissance.

2 3= 2 X 2 X 2 = 8

Sous la forme exponentielle, l’exposant signifie le nombre de fois que l’on doit multiplier la base par elle-même.

C’est la loi la plus importante.

Loi 1 :

Formule les expressions suivantes sous la forme exponentielle.

5 X 5 X 5 X 5 X 5 X 5 = 56

2 X 2 X 3 X 3 X 3 X 7 X 7 X 7 = 22 X 33 X 73

Remarque : On regroupe ensemble les bases semblables;on les réunit par le signe de multiplication puisque c’est une multiplication de facteurs.

2 X 3 X 2 X 5 X 2 X 3 X 7 X 5 = 23 X 32 X 52 X 7

Remarque : On peut permuter (changer de place) les facteurs, car ils sont tous unis par le signe de multiplication.

2 X 2 X 2 X 3 X 3 X 5 X 5 X 7 = 23 X 32 X 52 X 7

1,25 X 1,25 X 1,25 = 1,253

2

5X

2

5X

2

5=

2

5

3

-7 X -7 X -7 X -7 = ( -7 )4 On met des parenthèses, car c’est toute la base -7 qui est affectée de l’exposant 4.

On met des parenthèses, car c’est toute la base qui est affectée de l’exposant 3.

2

5

Détermine la puissance des expressions suivantes.

25 = 32

avec la calculatrice, utiliser la touche :

53 = 125

106 = 1 000 000

xy

10 X 10 X 10 X 10 X 10 X 10 =

2 X 2 X 2 X 2 X 2 =

Exemple : 25 = 2 5 yx = : 32

yx ^ou ou

1,174 = 1,87388721

0,52 = 0,25

0,53 = 0,125

15 = 1 X 1 X 1 X 1 X 1 X 1 = 1

2

5X

2

5=

2

5

2

=

2

5X

2

5X

2

5=

2

5

3

=

Selon la loi sur la multiplication de fractions.4

25

8

125

(-2)2 =

(-2)3 =

(-2)4 =

(-2)5 =

-2 X -2 =

-2 X -2 X -2 =

-2 X -2 X -2 X -2 =

-2 X -2 X -2 X -2 X -2 =

4

- 8

16

- 32

Règle : Une base négative affectée d’un exposant pair donne toujours une puissance positive.

Qu’en déduis-tu ?

Une base négative affectée d’un exposant impair donne toujours une puissance négative.

Base négative :

23 = 21 X 21 X 21

23 X 22 = 25

soit 21+1+1

21 X 21 X 21 X 21 X 21 = 25

23+2 =

x . x . x =

Loi 2 : Lorsqu’on multiple des bases semblables, on additionne les exposants.

Exemple : 23 = 2 X 2 X 2 peut s’écrire

Un nombre, sans exposant écrit, signifie que l’exposant est 1 :

Une lettre , sans exposant écrit, signifie que l’exposant est 1 :

2 = 21

x = x1

21 X 21 X 21 = 23

Lorsqu’on multiple des bases semblables, on additionne les exposants.

= 23

x3

Loi 2 : am X an = am + n

Réduis les expressions suivantes.

33 X 32 = 35

x2 X x2 = x4

2x X 2x = 2 X x X 2 X x = 22 x2 = 4 x2

On ne multiplie pas les bases entre elles; on additionne les exposants.

1,252 X 1,25 = 1,252 X 1,251 = 1,253

3

4

53

4

3

X3

4

2

=

(-8)2 X (-8) = ( -8 )3

(ab)2 X (ab)2 = (ab)4

(x + 3) X (x + 3)2 = (x + 3)3


22 X 3 X 23 X 5 X 32 X 52 = 25 X 33 X 53

24 X 12 =

32 X 52 X 2 X 33 X 23 X 52 = 24 X 35 X 54

Écris les multiplications suivantes sous la forme exponentielle en utilisant des facteurs premiers.

2 X 3 X 6 X 9 X 4 = 2 X 3 X 2 X 3 X 32 X 22 = 24 X 34

23 X 3 X 22 X 3 = 25 X 32

x4 ÷ x3 =

Loi 3 : Lorsqu’on divise des bases semblables, on soustrait les exposants.

Exemple : 25 ÷ 22 =

Lorsqu’on divise des bases semblables, on soustrait les exposants.

x 4 – 3 =

Loi 3 : am ÷ an = am - n

25 – 2 =

Démonstration

Écrivons 25 ÷ 22 sous la forme d’une fraction :25

22Une division est une fraction.

Développons : 25

22=

2 X 2 X 2 X 2 X 2

2 X 2

Simplifions les facteurs communs au numérateur et au dénominateur :

= 23

23

x


35 ÷ 32 = 33

27 ÷ 23 = 24

x2 ÷ x

=x

4x3 ÷ 2x2 =

x3 ÷ x2 = x

22 x3 ÷ 2 x2 = 2x

6x3

x2= 6x

( a + 3 )1 = ( a + 3 )3 ÷ ( a + 3 )2 = ( a + 3 )

22 ÷ 22

=22 – 2 = 20 = 1

22 ÷ 23 = 1

22-1 =

?

Lorsqu’on divise des bases semblables, on soustrait les exposants.

27 ÷ 23 = 27 – 3 = 24

Loi 4 : Une base affectée de l’exposant 0 est toujours égale à 1.

On doit rendre l’exposant positif en inversant la base.

Démonstration

8 4 2 1

23 22 21 20 2-1 2-2

-1

Diminuer de 1 l’exposant, c’est diviser le puissance par la base.

-1 -1 -1 -1

2

1

÷ 2

4

1

÷ 2 ÷ 2÷ 2 ÷ 2

2-1 = 2-2 = =4

1

2

1

2

1X

2

1

Loi 4 : a0 = 1

Un exposant négatif signifie que l’on travaille avec une base inverse.Loi 5 :

a-1 =a

1Loi 5 :

2

1 1

=2

1 2

=1

2 -1

=1

2 -2

=

Calcule les expressions suivantes.

5-3 = 5

1

-3

=1

5

3

=1

5X

1

5X

1

5=

1

125

1

2

-2

=2

1

2

=2

1X

2

1= 4

2

3

-2

=3

2

2

=3

2X

3

2=

9

4= 2,25

a

b

-3

=b

a

3

=b3

a3

b

aX

b

a=X

b

a

5

10

-2

=1

2

-2

=2

1

2

= 4

2-2

3-1= car

2-2

3-1=

2-2

1X

1

3-1=

1

22X

31

1=

3

22=

3

4

Règle : Dans une expression fractionnaire, si un facteur au numérateur est affecté d’un exposant négatif, on le place au dénominateur pour le rendre positif et vice-versa.

2-2

3-1=

31

22

a-2 =1

a2

2

3-1=

Le numérateur est alors 1.

2 X 31 = 6

2-2

3=

1

22 X 3=

1

4 X 3=

1

12

2-1 X 3 X 5-2 X 7 = 3 X 7

2 X 52=

21

50= 0,42

2-2 X 2 X 3-2

5 X 3-1

= 2 X 3

22 X 5 X 32

= 1

30

1

2 X 5 X 3=2 X 3

2 X 2 X 5 X 3 X 3=

3

4,

Sous la forme exponentielle, l’exposant signifie le nombre de fois que l’on doit multiplier la base par elle-même.

Loi 1 :

Loi 2 : Lorsqu’on multiple des bases semblables, on additionne les exposants.

Loi 2 : am X an = am + n

Loi 3 : Lorsqu’on divise des bases semblables, on soustrait les exposants.

Loi 3 : am ÷ an = am - n

Loi 5 : Un exposant négatif signifie que l’on travaille avec une base inverse.

a-1 =a

1Loi 5 :

Loi 1 : am = a X a X a X a X … m fois

On doit rendre l’exposant positif en inversant la base.

Loi 4 :

Loi 4 : a0 = 1

Une base affectée de l’exposant 0 est toujours égale à 1.

Simplifie les expressions suivantes.

am X an = am + n

am ÷ an = am - n

a-1 =a

1

am = a X a … m fois

a0 = 1

a2b0 = a2 X b0 = a2 X 1 = a2

(- 5)-2 = 1

25-

1

5

2

= -1

5X -

1

5=

3a X 3a X a = 32a3 =

2 X 5-1 = 1

5

2 X = 2

5

4a-1 = 4 X a-1 = 4 X 1

a=

4

a

x 23 X =

9a3

25-2

= 2 =1

5-2X 2 =52X50, car 2 X 5 X 5 = 50

3=

x -23x 23 1X

x -2=

1


am X an = am + n

am ÷ an = am - n

a-1 =a

1

am = a X a … m fois

a0 = 1

72 ÷ 7-2 = 72 - -2 = 72+2 = 74 =2 401, car 2 401

(2x)3 = 8x3, car (2x)3 = 2x X 2x X 2x = 23 x3 =

4

5

-1

= 1,25, car4

5

-1

=5

4

1

= 1,25

10-2 = 0,01, car 10-2 = 1

10

2

=1

100= 0,01

55 X 5-2 = 125 soit 55 + -2 = 55 -2 = 53 =

soit 55 X 5-2 = 55

52= 53 =55 X 1

52=

( 5 X 3 X 2 X 4 X 6 X 52 X 33 X 7 )0 = 1

70 X 72 = car49, 70 X 72 = 1 X 72 = 72 = 49

125

125

8x3

cb-3

= cb3

a-2 b3

= b3a2

a2 b-3

c-4 d2=

a2 c4

b3 d2

a-2 b2 a2 b-2 = 1

soit a-2 a2 b2 b-2 = a-2+2 b2+-2 = a0 b0 = 1 X 1 = 1

soit

a-2 b2 a2 b-2 =

a-2 b2 a2 b-2 = a2 b2

a2 b2=1

( x + 1 )

( x + 1 )= 1

( x + 1 )2

( x + 1 )=( x + 1 )

Que vaut l’exposant dans cette expression ? 4x = 1

16x = -2

On écrit les coefficients (les nombres) en premier.

-

5

3

=1

( - 5 ) -3 = 1-125

Attention

Inverser la base change le signe de l’exposant.

Inverser la base ne change pas le signe de la base.

( - 5 ) -2 =1+25

-

5

2

=1

Cependant,

Un exposant pair donne toujours une puissance positive.

Il faut bien connaître ses lois.

2 X 2

2 X 2 X 2 X 2=

2 X 2 X 2 X 2

2 X 2=

Précision

24

22

= 22 soit 24 ÷ 22 = 24 – 2 = 22

soit

24

22

=

24

22

=

22

24

=1

22

soit 22 ÷ 24 = 22 – 4 = 2-2 =1

22

soit

22

24

=

22

24

=

22

1

22

1

1

1

1

1

1

1

1

Loi 6 : Lorsqu’une puissance se retrouve à l’intérieur d’une parenthèse et que celle-ci est affectée d’un exposant, on multiplie cet exposant avec l’exposant de la base à l’intérieur.

Loi 6 : ( am )n = am X n

Exemples : (22)3 = 22 X 3 = 26

(a5)3 = a5 X 3 = a15

( (-5)3 )4 = (-5)3 X 4 = (-5)12

On met des parenthèses, car c’est toute la base -5 qui est affectée par les exposants.

Démonstration : (32)3 = 32 X 32 X 32 = 36

Donc, (32)3 = 32 X 3 = 36

Loi 7 : Pour élever un produit de facteurs à une puissance quelconque, il suffit d’élever chaque facteur à cette puissance.

Exemple :

( 22 X 3 )2 =

La première loi dit : Sous la forme exponentielle, l’exposant signifie le nombre de fois que l’on doit multiplier la base par elle-même.

( 22 X 3 ) X ( 22 X 3 ), donc 22 X 22 X 3 X 3 = 24 X 32

( 74 X 52 )3 = 74 X 3 X 52 X 3 = 712 X 56

( 2 X 5 )3 = 23 X 53

Donc, ( 2 X 5 )3 = (2 X 5 ) X ( 2 X 5 ) X ( 2 X 5 ) = 23 X 53

Exemples :

Loi 7 : (ab)m = ambm

2 X 5 X 2 X 5 X 2 X 5 =

( 10 )3 = 8 X 125

1 000 = 1 000

Cette loi n’est vraie que s’il n’y a que des facteurs dans la parenthèse.

Exemples : ( 23 X 32 )2 = 26 X 34 = 5 184

( 23 X 32 )2 = ( 8 X 9 )2 = 722 = 5 184

( 23 + 32 )2 = 26 + 34 = 145

( 23 + 32 )2 = ( 8 + 9 )2 = 172 = 289

Faux !

Attention : 22 X 23 = 22 + 3 = 25

( 22 )3 = 22 X 3 = 26

Loi 2 :

Loi 6 :

64 X 81 = 5 184

64 + 81 = 145

En calculant l’intérieur de la parenthèse en premier :

En calculant l’intérieur de la parenthèse en premier :

Problèmes

(63)2 = 66

(5-1)3 = car (5-1)3 = 5-3 = 1

53

(22 X 53)2 = 24 X 56

(3x2)2 = 9x4,

(-2y)2 = 4y2

(-2y)3 = -8y3

(-5xy)3 = -125x3y3

(xy)-2 =

(ab2a-3b4)-3 = car (ab2a-3b4)-3 = a-3 b-6 a9 b-12 = a6 b-18 = a6

b18

car (xy)-2 = x-2 y-2 =1

x2y2

car (3x2)2 = (31 . x2)2 = 32 . x4 = 9 . x4 = 9x4

1x2

1y2

X =

1

53,

1x2y2

,

a6

b18,

Si on peut insérer un exposant à l’intérieur, on peut aussi le sortir !

Écris les expressions suivantes selon la base exigée.

83 en base 2 : 29 , car 83 = (23)3 = 29

42 X 8-3 en base 2 :

94 en base 3 : 38 , car 94 = (32)4 = 38

2-5 , car 42 X 8-3 = (22)2 X (23)-3 = 24 X 2-9 = 2-5

Ici, on laisse l’exposant négatif, car on doit écrire l’expression en base 2.

Pour écrire l’exposant positif, on doit inverser la base; la base devient 1 et non 2.2

42 X 2-3 en base 2 : 2 , car 42 X 2-3 = (22)2 X 2-3 = 24 X 2-3 = 2

(36)3 en base 6 : 66 , car (36)3 = (62)3 = 66

33 X 73 en base 21 : 213 , car 33 X 73 = 213

123 en base 2 et 3 : 26 X 33 , car 123 = (4 X 3)3 = (22 X 3)3 = 26 X 33

(a(n+2))2 = a2n+4 , car (a(n+2))2 = a2(n+2) = a2n+4

(3 X 7)3 =

Petit défi

(a+b)(2n-6)2

÷ (a+b)(n-3)4

= 1, car (a+b)(2n-6)2

÷ (a+b)(n-3)4

= (a+b)2(2n-6) ÷ (a+b)4(n-3) =

(a+b)(4n-12) ÷ (a+b)(4n-12) = 1 Une quantité divisée par elle-même donne 1.

Loi 8 : Lorsqu’un quotient de puissance (une fraction) se retrouve à l’intérieur d’une parenthèse et que celle-ci est affectée d’un exposant, on multiplie cet exposant avec les exposants du numérateur et du dénominateur.

Loi 8 : ab

mab

m

m=

Démonstration :2

5

3

=2

5X

2

5X

2

5=

23

53Donc, 2

5

3

=

23

53


2

3

2

=22

32=

4

9

3a

4b2

3

=33 a3

43 b6=

27 a3

64 b6Attention : l’exposant multiplie chacun des facteurs.

3 X a

4 X b2

3

=


x2

y

3

=x6

y3

2x

3y

-2

=3y

2x

2

=

x-2

3y-1

2

=y

3x2

2

=

153 ÷ 53 =153

53=car 153 ÷ 53 =

(3 X 5)3

53=

33 X 53

53= 33 = 27

1

5a

2

=12

52 a2=

3

5

3

=27

125

car2x

3y

-2

=9y2

4x2

carx-2

3y-1

2

=y2

9x4

car1

5a

2

=1

25a2

3 y

2 x

2

=2

2 2

y

3 x

2

=2 2

27,

9y2

4x2,

y2

9x4,

1

25a2,

Les lois sur les exposants sont particulièrement intéressantes pour simplifier des expressions complexes.


42

18

2

=2 X 3 X 7

2 X 3 X 3

2

= 7

3

2

=49

9

216

36

2

=23 X 33

22 X 32

2

= (2 x 3)2 = 62 =36,

4

9

3

x3

4

3

=

car 216

36

2

= 36

22

32

3

X3

22

3

=33

26

26

36X =car

4

9

3

x3

4

3

=1

33=

1

27

9 000

50

2 500

300X

2 2

=

52 X 102

3 X 102

32 X 103

5 X 10X

2 2

=34 X 106

52 X 102X

54 X 104

32 X 104=

34 X 54 X 1010

32 X 52 X 106= 32 X 52 X 104 =

2 250 000,

2 250 000

9 000

50

2 500

300X

2 2

=car

27

1 ,

Les exposants fractionnaires

91

2 = 9 = 3

Un exposant fractionnaire signifie que l’on doit calculer une racine.

Avec ta calculatrice, calcule 9 : 3

Avec ta calculatrice, calcule 9 yx ( 1 ÷ 2) = 3

2

Avec ta calculatrice, calcule 8 yx ( 1 ÷ 3) = 2

Avec ta calculatrice, calcule 8 :3

La forme radicale

Vocabulaire

Le radical.

C’est le symbole qui indique que l’on doit extraire une racine.

L’indice.

Le radicande.

Il indique la grandeur de l’extraction.

83

= 2 La racine.C’est la réponse.

2 est donc la racine cubique de 8.

C’est le nombre que l’on doit extraire.

Remarque :3

se prononce la racine cubique.

se prononce la racine carrée.

L’indice est alors 2.

2

Par convention, on ne l’écrit pas, mais il faut se souvenir qu’il est là.

83

La forme radicale

Sens

signifie : quel est le nombre qui multiplié 3 fois par lui-même donne 8 ?

Ce nombre est 2, car 2 X 2 X 2 = 8.

25 signifie : quel est le nombre qui multiplié 2 fois par lui-même donne 25 ?

Ce nombre est 5 car 5 X 5 = 25.

83

peut donc s’écrire

25 peut donc s’écrire

L’expression est donc égale à 2.

L’expression est donc égale à 5.

81

3

.

251

2.

Remarque

La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas dans les réels.

Exemple : - 4 signifie : Quel est le nombre qui multiplié deux fois par lui-même donne – 4 ?

Ce nombre n’existe pas, car 2 X 2 = 4

-2 X -2 = 4

- 4 provient de 2 X -2 ;

La racine cubique d’un nombre négatif existe dans les réels.

Exemple : signifie : Quel est le nombre qui multiplié trois fois par lui-même donne – 8 ?

Ce nombre est -2, car

ce sont deux nombres différents.

-2 X -2 X -2 = -8

- 83

Écrire une forme radicale en forme exponentielle.

83

Il faut se souvenir que l’exposant de 8 est 1.

1

Cet exposant est le numérateur de la fraction.

L’indice du radical est le dénominateur de la fraction.

= 81

3

Cette forme d’écriture est intéressante pour calculer rapidement certains radicandes.

Exemple :8

3

= 23

3

= 233 = 2

1

= 2

Loi 9 : amn

= amn


x4 = car x4 = x42 =

car64 =3

x2

64 =3

26 =3

263 = 2

2= 4

8 X 8 X 8 X 8 =3

car

8 X 8 X 8 X 8 =3

23 X 23 X 23 X 23 =3

212 =3

2123 = 2

4=16

16 =4 2

(2 ) =4

4 2 2 =

48 2 =4

8

22

= 4car

x =3

3

car x =3

3

x =

3

31

x =31 X

13

x 33

= x

16 =4 2

x2,

4 ,

16 ,

4 ,

x ,

Loi des radicaux

La forme radicale peut s’écrire en forme exponentielle, donc

les lois sur les radicaux sont les mêmes que les lois sur les exposants.

Nous allons nous attarder à deux lois en particulier :

Loi 10 : a X b = a b

b

aLoi 11 : a

b=

Loi 10 : a X b = a b

Démonstration : 4 X 9 = 36

2 X 3 = 6

= 6

Il est parfois plus précis d’utiliser cette loi.

Exemple : 3 X3 3

9 ≈ 1,442… X ≈ 2,08… ≈ 2,9993…

33 X =3 3

9 27 =3

33 =3

Mais,

Attention : La loi n’est vraie que si les indices des radicaux sont les mêmes.

3 X =3 3

9 273

4 X 9 = 36

3 X3

9 La loi ne s’applique pas.

b

aLoi 11 : a

b=

Démonstration :16

4=

4

16 = 24 =

16

4=

4

2= 2

Il est parfois plus précis d’utiliser cette loi.

Exemple : 20

5≈

≈ 4,47…

≈ 2,23…≈ 2,004…

Mais, 20

5=

5

20 = 24 =

Attention : La loi n’est vraie que si les indices des radicaux sont les mêmes.


25 X =3 3

5 52 X =3 3

5 52 X 5 =3

53 =3

5

322 X = 64 = 8

3

5

2

=3

5

2

=3

5

2

=

12

12

3

5=

22

22

3

5

16

25=

25

16=

4

5

27

64=

33

464

27=

3

3


8x3 =3

=x38 X3 3

x24 X =4x2 = 2 . x = 2x

ou simplement 4x2 = 2x

2 . x =

2xou simplement 8x3 =3

a2 + b2 La loi ne s’applique pas, car ce ne sont pas des facteurs.

a2 X b2 = b2a2 X = a X b = ab

2x

Quelques défis.

Donne la réponse en forme radicale.

a23 a

12÷ = a

23

12-

= a46

36-

= a16 = a

6

364 = 4 = 2

3(x4 y-1) =6 3

x24 y-6 = x24

3 y- 6

3 = x8 y-2 =

Calcule la valeur de cette expression.

Simplifie l’expression :

x8

y2

Soit

Soit3

(x4 y-1) =6 (x4 y-1)63

= (x4 y-1)2

= x8 y-2 =x8

y2

3(x4 y-1) 6

Réduis au maximum cette expression; donne la réponse en base 4 et en base 2.

64 2n + 1

4 3n - 1= 4

3n + 4

64 2n + 1

4 3n - 1=

64 (2n + 1)

4 (3n – 1)=

4 (2n + 1)

4 (3n – 1)=

3 4(2n + 1)

4 (3n – 1)=

3 46n + 3

4 (3n – 1)=

46n + 3

4(3n – 1)÷ = 4

6n + 3 - (3n – 1)= 4

6n + 3 - 3n + 1= 4

3n + 4

=43n + 4

=(22)3n + 4

et 26n + 8

22(3n + 4)

= 26n + 8

la forme exponentielle

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