Cours fonction exponentielle : exercicesTS 11/12

Exercice 1

La courbe Cf suivante est la courbe représentative d’une fonction f définie et dérivable sur R (àvaleurs dans R).

Le but de cet exercice est d’émettre une conjecture reliant, pour tout x de R, f ′(x) et f(x). Poury parvenir des agrandissements de la courbe représentative de la fonction f et des tangentes àcelles-ci sont fournies dans l’exercice.

1) a) La droite ∆ ci-dessous est la tangente au point d’abscisse 0 de Cf .

Déterminer f ′(0) puis comparerf ′(0) et f(0).

1

b) La droite ∆ ci-dessous est la tangente au point d’abscisse1

2de Cf .

Déterminer une valeur approchée de f ′( 12 ) puis émettre une conjecture sur f′( 12 ) et f(

12 ).

c) La droite ∆ ci-dessous est la tangente au point d’abscisse 1 de Cf .

Déterminer une valeur approchée de f ′(1) puis émettre une conjecture sur f ′(1) et f(1).

d) La droite ∆ ci-dessous est la tangente au point d’abscisse −2 de Cf .

Déterminer une valeur approchée de f ′(−2) puis émettre une conjecture sur f ′(−2) et f(−2).

2

2) Quelle conjecture peut-on émettre reliant, pour tout x de R, f ′(x) et f(x) ?

3) Existe-il une unique fonction f dérivable sur R telle que pour tout x de R, f ′(x) = f(x) ?

Exercice 2

Le but de cet exercice est de construire pas à pas une approximation de la courbe représentativede la fonction exponentielle, c’est à dire de l’unique fonction f dérivable sur R qui vérifie f(0) = 1et, pour tout x de R, f ′(x) = f(x). La méthode que l’on va employer est appelée méthode d’Euler.

On rappelle que pour tout a de R on a :

f(a+ h) = f(a) + hf ′(a) + h ε(h)

avec limh→0

ε(h) = 0

où ε(h) est défini pour tout h suffisamment petit par ε(h) =f(a+ h)− f(a)

h− f ′(a) si h 6= 0 et

ε(0) = 0.

En négligeant h ε(h), on obtient l’approximation affine de f au voisinage de a :

f(a+ h) ' f(a) + hf ′(a) (∗).

1) Avec un pas de 1.

Remarque : tout au long de cette première question on veillera à compléter au fur et à mesurel’approximation de la courbe représentative de la fonction f obtenue sur le graphique ci-dessous(où figure aussi la représentation graphique exacte de la fonction exponentielle en pointillé):

a) Comment peut-on réécrire la relation (∗) lorsque h = 1 ?b) A l’aide de la relation obtenue à la question précédente, déterminer une valeur approchée de

f(1).

Remarque : on pourra utiliser le fait que f(0) = 1.

c) A l’aide de la relation obtenue dans la question a) et de la valeur approchée de f(1) obtenueà la question précédente, déterminer une valeur approchée de f(2).

d) Itérer le procédé pour déterminer des valeurs approchées de f(3) et f(4).

e) A l’aide de la relation obtenue dans la question a), déterminer une valeur approchée def(−1).Remarque : on pourra utiliser le fait que f(0) = 1.

f) En s’inspirant des questions d) et e) déterminer des valeurs approchées de f(−2), f(−3) etf(−4).

3

g) Comment peut-on compléter la figure ci-dessus pour obtenir une approximation de la courbereprésentative de la fonction f sur ]− 4;−3[, ]− 3;−2[, ]− 2;−1[, ]− 1; 0[, ]0; 1[, ]1; 2[, ]2; 3[et ]3; 4[ ?

2) Avec un pas de 0, 5.

a) Comment peut-on réécrire la relation (∗) lorsque h = 0, 5 ?b) En procédant comme dans la question 1) compléter le tableau suivant :

x −4 −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3f(x) '

c) Voici la courbe représentative approximative de la fonction f obtenue dans ce cas :

3) Avec un pas de 0, 2 voici la courbe représentative approximative de la fonction f obtenue :

Exercice 3

Soit a un réel fixé et soit x un réel. Le but de cet exercice est démontrer l’égalité :

exp (x+ a) = exp (x) exp (a).

4

On considère les fonctions suivantes :

τa : R −→ Rx 7−→ x+ a

etϕ : R −→ R

x 7−→ 1exp (a)

× exp (τa(x)) (=1

exp (a)× exp (x+ a))

1) Déterminer ϕ(0).

2) Justifier que la fonction ϕ est dérivable sur R, et établir que, pour tout x de R, ϕ′(x) = ϕ(x).

3) Que peut-on déduire des deux questions précédentes ?

4) Conclure.

Exercice 4

On définit le réel e par e = exp(1).

1) A l’aide de la représentation graphique fournie ci-dessous, donner une valeur approchée de e.

2) Démonter que, pour tout entier relatif p :

exp (p) = ep.

3) On décide de prolonger cette égalité, vraie sur Z, à l’ensemble des nombres réels par la con-vention d’écriture suivante :

Convention : pour tout réel x, exp (x) = ex.

Avec cette nouvelle notation, comment se réécrive les relations fonctionnelles vues dans le cours ?

4) Quel immense avantage cette notation offre-t-elle ?

Exercice 5

Le but de cet exercice est de déterminer les fonctions f dérivables sur R telles que :

(E)

{• Pour tous réels x et y, f(x+ y) = f(x)× f(y)• f ′(0) = 1

1) La fonction exponentielle est-elle solution de (E) ?

5

2) Soit maintenant f une fonction dérivable sur R et solution de (E)(ATTENTION : les seules informations dont on dispose sur la fonction f est qu’elle est dérivablesur R et solution de (E), rien de plus).Soit a un réel fixé. On considère les fonctions suivantes :

τa : R −→ Rx 7−→ x+ a

etϕa : R −→ R

t 7−→ f(τa(t))− f(t)× f(a) (= f(t+ a)− f(t)f(a))

a) Justifier que ϕa est dérivable sur R et en exprimant de deux manières la dérivée de ϕa établirque, pour tout t de R :

0 = f ′(t+ a)− f ′(t)f(a).

b) En déduire que :f ′(a) = f(a).

Indication : choisir le “bon t” dans la relation précédente.

Remarque : l’égalité f ′(a) = f(a) étant établie pour un réel a quelconque, on peut réécrirele résutlat précédent ainsi :

Pour tout réel x on a : f ′(x) = f(x).

c) En déduire f(0). Quel résultat obtient-on finalement sur la fonction f ?

Exercice 6

Le but de cet exercice est de démontrer que, pour tout x de R, on a ex ≥ x+ 1 et d’interpréter cerésultat graphiquement.

On considère la fonction f suivante :

f : R −→ Rx 7−→ ex − x− 1

1) a) Déterminer les variations de f .

b) Déterminer f(0).

c) Conclure.

2) a) La courbe C suivante est la courbe d’équation y = ex (ie C est la courbe représentative dela fonction exponentielle) :

Le point A est le point d’abscisse 0 de C. On note ∆ la tangente à C en A. Déterminerl’équation réduite de ∆ et construire ∆ sur la figure précédente.

6

b) Comment s’interprète graphiquement le résultat obtenu à la question précédente ?

c) On considère la fonction g suivante :

g : R −→ Rx 7−→ x+ 1

Que représente la fonction g pour la fonction exponentielle ?

Exercice 7

Soit u une fonction définie sur un intervalle I (à valeurs dans R).

1) Déterminer l’ensemble de définition de la fonction exp ◦ u.

2) Soit l un réel. Soit α un réel ou +∞ ou −∞. On suppose que la fonction u est définie auvoisinage de α.Compléter les énoncés suivants :

Si limx→α

u(x) = −∞ alors limx→α

exp (u(x)) = . . .

Si limx→α

u(x) = l alors limx→α

exp (u(x)) = . . .

Si limx→α

u(x) = +∞ alors limx→α

exp (u(x)) = . . .

3) On suppose de plus dans cette question que u est dérivable sur I. Justifier que f = exp ◦ u estdérivable sur I et exprimer, pour tout x de I, f ′(x).

Exercice 8

Soit b un réel. Le but de cet exercice est de prouver que l’ensemble des solutions de l’équationdifférentielle y′ = b est l’ensemble des fonctions x 7→ bx+C où C est une constante réelle quelconque.

On cherche donc à prouver la proposition suivante :

Proposition 1Soit f est une fonction définie et dérivable sur R.On a f ′(x) = b, pour tout x de R, si et seulement si il existe une constante réelle C telle que, pourtout x de R, f(x) = bx+ C.

1) Démontrer la condition suffisante.

2) Démontrer la condition nécessaire.

Indication : étant donnée une fonction f solution de l’équation différentielle y′ = b, on pourraintroduire la fonction suivante :

ψ : R −→ Rx 7−→ f(x)− bx

7