nombres complexes (partie 3) - maths & tiques · 1) Écrire les nombres complexes suivants sous...
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NOMBRES COMPLEXES (Partie 3) Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/ABo2m52oEYw
I. Formules de trigonométrie 1) Formules d'addition Propriété : Soit 𝑎 et 𝑏 deux nombres réels quelconques. On a :
cos(𝑎 − 𝑏) = cos 𝑎 cos 𝑏 + sin 𝑎 sin 𝑏 cos(𝑎 + 𝑏) = cos 𝑎 cos 𝑏 − sin 𝑎 sin 𝑏 sin(𝑎 − 𝑏) = sin 𝑎 cos 𝑏 − cos 𝑎 sin 𝑏 sin(𝑎 + 𝑏) = sin 𝑎 cos 𝑏 + cos 𝑎 sin 𝑏
Démonstrations aux programmes : - 1ère formule : On considère un repère orthonormé (𝑂; 𝚤, 𝚥) du plan et le cercle trigonométrique de centre O. 𝑢5⃗ et �⃗�sont deux vecteurs de norme 1 tels que : (𝚤; 𝑢5⃗ ) = 𝑎 et (𝚤; �⃗�) = 𝑏. On a alors : 𝑢5⃗ 7cos 𝑎sin 𝑎8 et �⃗� 7cos 𝑏sin 𝑏8. Ainsi : 𝑢5⃗ . �⃗� = cos 𝑎 cos 𝑏 + sin 𝑎 sin 𝑏. On a également : 𝑢5⃗ . �⃗� = ‖𝑢5⃗ ‖ × ‖�⃗�‖ × cos(𝑢5⃗ ; �⃗�) = 1 × 1 × cos(𝑏 − 𝑎) = cos(𝑎 − 𝑏) D'où : cos(𝑎 − 𝑏) = cos 𝑎 cos 𝑏 + sin 𝑎 sin 𝑏. - 2e formule : cos(𝑎 + 𝑏) = cos=𝑎 − (−𝑏)>= cos 𝑎 cos(−𝑏) + sin 𝑎 sin(−𝑏) = cos 𝑎 cos 𝑏 − sin 𝑎 sin 𝑏 . - 3e formule :
sin(𝑎 − 𝑏) = cos ?𝜋2 −
(𝑎 − 𝑏)B
= cos ?7𝜋2 − 𝑎8 + 𝑏B
= cos 7𝜋2 − 𝑎8 cos 𝑏 − sin 7
𝜋2 − 𝑎8 sin 𝑏
= sin 𝑎 cos 𝑏 − cos 𝑎 sin 𝑏 - 4e formule : sin(𝑎 + 𝑏)= sin=𝑎 − (−𝑏)>= sin 𝑎 cos(−𝑏) − cos 𝑎 sin(−𝑏)= sin 𝑎 cos 𝑏 + cos 𝑎 sin 𝑏
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Méthode : Calculer des valeurs de cos et sin à l'aide des formules d'addition
Vidéo https://youtu.be/WcTWAazcXds Calculer : cos 5𝜋12 et sin 5𝜋12
cos5𝜋12 = cos 7
𝜋4 +
𝜋68 sin
5𝜋12 = sin 7
𝜋4 +
𝜋68
= cos𝜋4 cos
𝜋6 − sin
𝜋4 sin
𝜋6 = sin
𝜋4 cos
𝜋6 + cos
𝜋4 sin
𝜋6
=√22 ×
√32 −
√22 ×
12 =
√22 ×
√32 +
√22 ×
12
=√6 − √2
4 =√6 + √2
4 2) Formules de duplication Propriété : Soit 𝑎 un nombre réel quelconque. On a : cos(2𝑎) = cosH 𝑎 − sinH 𝑎 = 2 cosH 𝑎 − 1 = 1 − 2 sinH 𝑎 sin(2𝑎) = 2 cos 𝑎 sin 𝑎 Démonstrations : Cas particulier des 2e et 4e formules d'addition dans le cas où 𝑎 = 𝑏 : cos(2𝑎) = cosH 𝑎 − sinH 𝑎 sin(2𝑎) = 2 cos 𝑎 sin 𝑎 On a également : cosH 𝑎 + sinH 𝑎 = 1 donc : cosH 𝑎 − sinH 𝑎 = cosH 𝑎 − (1 − cosH 𝑎) = 2 cosH 𝑎 − 1 Et : cosH 𝑎 − sinH 𝑎 = 1 − sinH 𝑎 − sinH 𝑎 = 1 − 2sinH 𝑎 Méthode : Calculer des valeurs de cos et sin à l'aide des formules de duplication
Vidéo https://youtu.be/RPtAUl3oLco Calculer cos 𝜋8 et sin 𝜋8 cos
𝜋4 = cos 72 ×
𝜋88 = 2 cosH
𝜋8 − 1
Donc :
cosH𝜋8 =
1271 + cos
𝜋48 =
12?1 +
√22 B =
2 + √24
et donc :
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cos𝜋8 =
J2 + √24
car cos 𝜋8 est positif.
sinH𝜋8 = 1 − cosH
𝜋8 = 1 −
2 + √24 =
2 − √24
et donc :
sin𝜋8 =
J2 − √24
car sin 𝜋8 est positif. Méthode : Résoudre une équation trigonométrique
Vidéo https://youtu.be/yx3yULqR_wI Résoudre dans [0; 2𝜋] l'équation cos(2𝑥) = sin 𝑥. cos(2𝑥) = sin 𝑥 soit 1 − 2 sinH 𝑥 = sin 𝑥 d’après une formule de duplication. On pose 𝑋 = sin 𝑥, l'équation s'écrit alors : 1 − 2𝑋H = 𝑋 Soit : 2𝑋H + 𝑋 − 1 = 0 Δ = 1H − 4 × 2 × (−1) = 9 L'équation du second degré possède deux solutions distinctes :
𝑋R =−1 + 34 =
12 𝑒𝑡𝑋R =
−1 − 34 = −1
Résolvons alors dans [0; 2𝜋] les équations : sin 𝑥 = 1
2 et sin 𝑥 = −1 :
sin 𝑥 =12 ⟺ 𝑥 =
𝜋6 𝑜𝑢𝑥 =
5𝜋6
sin 𝑥 = −1 ⟺ 𝑥 =3𝜋2
Ainsi :
𝑆 = X𝜋6;
5𝜋6 ;
3𝜋2 Y
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II. Forme exponentielle d’un nombre complexe 1) Définition Posons 𝑓(𝜃) = cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃. En prenant |𝑧| = |𝑧′| = 1, on a démontré dans la Partie 3 (III.) que : (cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)(cos 𝜃′ + 𝑖 sin 𝜃′) = cos(𝜃 + 𝜃′) + 𝑖 sin(𝜃 + 𝜃′) Soit : 𝑓(𝜃)𝑓(𝜃′) = 𝑓(𝜃 + 𝜃′). On retrouve ainsi la même équation fonctionnelle que celle établie pour les exponentielles : 𝑒`𝑒`a = 𝑒`b`a. Définition : Pour tout réel 𝜃, on a : 𝑒c` = cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃. Remarque : 𝑒c` est le nombre complexe de module 1 et d'argument 𝜃. Propriété : 𝑒cd = −1 Démonstration : 𝑒cd = cos 𝜋 + 𝑖 sin 𝜋 = −1 + 𝑖 × 0 = −1
Cette relation a été établie en 1748 par le mathématicien suisse Leonhard Euler (1707 ; 1783). Elle possède la particularité de relier les grandes branches des mathématiques : l'analyse (avec le nombre e), l'algèbre (avec le nombre i) et la géométrie (avec le nombre 𝜋).
Exemples : 𝑒ce = cos 0 + 𝑖 sin 0 = 1 + 𝑖 × 0 = 1 𝑒c
fg = cos
𝜋2 + 𝑖 sin
𝜋2 = 0 + 𝑖 × 1 = 𝑖
Définition : Tout nombre complexe 𝑧 non nul de module 𝑟 et d'argument 𝜃 s'écrit sous sa forme exponentielle 𝑧 = 𝑟𝑒c`. Méthode : Passer de la forme algébrique à la forme exponentielle et réciproquement
Vidéo https://youtu.be/WSW6DIbCS_0 Vidéo https://youtu.be/tEKJVKKQazA Vidéo https://youtu.be/zdxRt5poJp0
1) Écrire les nombres complexes suivants sous la forme exponentielle : a) 𝑧R = −2𝑖 b) 𝑧H = −3 c) 𝑧i = √3 − 3𝑖 2) Écrire les nombres complexes suivants sous la forme algébrique : a) 𝑧j = 𝑒c
fk b) 𝑧l = 4𝑒c
fm
1) a) - |𝑧R| = |−2𝑖| = |−2| × |𝑖| = 2 × 1 = 2 - Pour déterminer un argument de 𝑧R, on peut utiliser le cercle trigonométrique.
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On fait un petit schéma à main levée en plaçant le point 𝑀 d’affixe 𝑧R et on lit graphiquement qu’un argument de 𝑧R est −d
H.
Ainsi, on a : 𝑧R = 2𝑒oc
fg.
b) - |𝑧H| = |−3| = 3 - On place le point 𝑀 d’affixe 𝑧H et on lit graphiquement qu’un argument de 𝑧H est 𝜋.
Ainsi, on a : 𝑧H = 3𝑒cd.
c) |𝑧i| = p√3 − 3𝑖p = q√3H+ (−3)H = √3 + 9 = √12 = 2√3
- Il n’est pas évident de déterminer graphiquement un argument de 𝑧i. La méthode consiste alors à calculer
rs|rs|
: 𝑧i|𝑧i|
=√3 − 3𝑖2√3
=√32√3
−3𝑖2√3
=12 −
3𝑖 × √32√3 × √3
=12 −
3𝑖 × √32 × 3 =
12 −
√32 𝑖
On cherche donc un argument 𝜃 de 𝑧i tel que :
cos 𝜃 =12 𝑒𝑡 sin 𝜃 = −
√32
Comme, on a :
cos 7−𝜋38 =
12 𝑒𝑡 sin 7−
𝜋38 = −
√32
L'argument 𝜃 = −
di
convient. Et ainsi : 𝑧i|𝑧i|
= cos 7−𝜋38 + 𝑖 sin 7−
𝜋38
Soit : 𝑧i = |𝑧i| 7cos 7−
𝜋38 + 𝑖 sin 7−
𝜋388 = 2√3 7cos 7−
𝜋38 + 𝑖 sin 7−
𝜋388 = 2√3𝑒oc
fs.
2)𝑎)𝑧j = 𝑒cfk = cos 7
𝜋68 + 𝑖 sin 7
𝜋68 =
√32 +
12 𝑖
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𝑏)𝑧l = 4𝑒cfm = 4 7cos 7
𝜋48 + 𝑖 sin 7
𝜋488 = 4?
√22 + 𝑖
√22 B = 2√2 + 2𝑖√2
2) Propriétés Propriétés : Pour tous réels et ,
a) 𝑒c`𝑒c`a = 𝑒c=`b`a> b) Rtuv
= 𝑒oc` c) tuv
tuva = 𝑒c=`o`a> d) 𝑒w`xxxx = 𝑒oc`
3) Formules de Moivre et d’Euler
Formule de Moivre : Pour tous réels et , pour tout entier naturel 𝑛 non nul : =𝑒c`>z = 𝑒cz`
Que l’on peut également écrire : (cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)z = cos(𝑛𝜃) + 𝑖 sin(𝑛𝜃) Méthode : Appliquer la formule de Moivre
Vidéo https://youtu.be/RU2C4i3n5Ik Exprimer cos(3𝑥) en fonction de cos 𝑥. cos(3𝑥) = 𝑅𝑒(cos(3𝑥) + 𝑖 sin(3𝑥)) Or, selon la formule de Moivre : cos(3𝑥) + 𝑖 sin(3𝑥) = (cos 𝑥 + 𝑖 sin 𝑥)i = cosi 𝑥 + 3𝑖cosH 𝑥 sin 𝑥 + 3𝑖H cos 𝑥 sinH 𝑥 + 𝑖i sini 𝑥, en appliquant la formule du binôme de Newton pour développer. Soit : cos(3𝑥) + 𝑖 sin(3𝑥) = cosi 𝑥 + 3𝑖cosH 𝑥 sin 𝑥 − 3 cos 𝑥 sinH 𝑥 − 𝑖 sini 𝑥 = cosi 𝑥 − 3 cos 𝑥 sinH 𝑥 + 𝑖(3cosH 𝑥 sin 𝑥 − sini 𝑥) On en déduit que : cos(3𝑥) = cosi 𝑥 − 3 cos 𝑥 sinH 𝑥 Or, sinH 𝑥 = 1 − cosH 𝑥, donc : cos(3𝑥) = cosi 𝑥 − 3 cos 𝑥 (1 − cosH 𝑥) = cosi 𝑥 − 3 cos 𝑥 + 3 cosi 𝑥 = 4cosi 𝑥 − 3 cos 𝑥 Formules d’Euler : Pour tous réels et :
cos 𝜃 =𝑒c` + 𝑒oc`
2 sin 𝜃 =𝑒c` − 𝑒oc`
2𝑖
Méthode : Appliquer les formules d’Euler
Vidéo https://youtu.be/p6TncUjPKfQ 1) Linéariser (*) l’expressioncosi 𝑥.
θ θ '
θ θ '
θ θ '
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2) En déduire une primitive de la fonction 𝑥 ⟼ cosi 𝑥. (*) Linéariser une telle expression consiste à la ramener comme somme d’expressions du type cos 𝑎𝑥 et sin 𝑎𝑥. 1) On applique une formule d’Euler :
cosi 𝑥 = ?𝑒c} + 𝑒oc}
2 Bi
=187=𝑒
c}>i + 3=𝑒c}>H𝑒oc} + 3𝑒c}=𝑒oc}>H + =𝑒oc}>i8, en appliquant la formule du binôme de Newton pour développer. Soit encore :
cosi 𝑥 =18 =𝑒
ic} + 3𝑒Hc}𝑒oc} + 3𝑒c}𝑒oHc} + 𝑒oic}>
=18 =𝑒
ic} + 3𝑒c} + 3𝑒oc} + 𝑒oic}>
=18(cos 3𝑥 + 𝑖 sin 3𝑥 + 3cos 𝑥 + 3𝑖 sin 𝑥 + 3cos 𝑥 − 3𝑖 sin 𝑥 + cos 3𝑥 − 𝑖 sin 3𝑥)
=18(cos 3𝑥 + 3cos 𝑥 + 3cos 𝑥 + cos 3𝑥)
=18(2cos 3𝑥 + 6cos 𝑥)
=14(cos 3𝑥 + 3cos 𝑥)
2) Ainsi, chercher une primitive decosi 𝑥 revient à chercher une primitive de Rj(cos 3𝑥 + 3cos 𝑥).
Une primitive de la fonction 𝑥 ⟼ 1
4 (cos 3𝑥 + 3cos 𝑥) est la fonction :
𝑥 ⟼14~13 sin 3𝑥 + 3sin 𝑥� =
112 sin 3𝑥 +
34 sin 𝑥
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