mathématiques sn module 6 la fonction exponentielle

Mathématiques Mathématiques SNSN

MODULE 6MODULE 6La fonctionLa fonction

EXPONENTIELLEEXPONENTIELLE

Rappels sur la notion d’exposantRappels sur la notion d’exposant

Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction EXPONENTIELLEEXPONENTIELLE - -

basebase exposantexposant = = puissancepuissance

TERMINOLOGIETERMINOLOGIE

Ex. :Ex. : 3322 = = 99

LOIS DES EXPOSANTSLOIS DES EXPOSANTS

aam m • • aann = a = am + nm + n

aamm

aann= a= am – nm – n

(ab)(ab)m m = a= am m bbmm

aa

bb==

aamm

bbmm

mm

a a - m - m ==11

aamm

(a(amm))n n = a= amnmn

Équations et graphiqueÉquations et graphique


f(x) = f(x) = ccxx (forme générale de BASE)(forme générale de BASE)

f(x) = f(x) = aaccbb(x – (x – hh)) + + kk (forme générale TRANSFORMÉE)(forme générale TRANSFORMÉE)

f(x) = f(x) = aaccx – x – hh + + kk (forme CANONIQUE)(forme CANONIQUE)

f(x) = 2f(x) = 2xxExemple :Exemple :

f(x) = 3 f(x) = 3 • • 224(x – 3)4(x – 3) + 5 + 5Exemple :Exemple :

f(x) = 3 f(x) = 3 • • 22x – 3x – 3 + 5 + 5Exemple :Exemple :



xx f(x)f(x)

00 11

11 22

22 44

33 88

-1-1 ½½

-2-2 ¼¼

f(x) = f(x) = 22xx (forme générale de BASE où (forme générale de BASE où c c 1 1 ) )

11

11



xx f(x)f(x)

00 11

11 ½½

22 ¼¼

33 0,10,1

-1-1 22

-2-2 44

f(x) = ( )f(x) = ( )xx (forme générale de BASE où (forme générale de BASE où c c ] 0 ,1 [ ] 0 ,1 [ ) )11

22

11

11



xx f(x)f(x)

00 - 1- 1

11 - 2- 2

22 - 4- 4

33 - 8- 8

-1-1 - ½- ½

-2-2 - ¼- ¼

f(x) = - f(x) = - 22xx (forme générale TRANSFORMÉE où a = -1)(forme générale TRANSFORMÉE où a = -1)

11

11



xx f(x)f(x)

00 11

11 ½½

22 ¼¼

33 ⅛⅛

-1-1 22

-2-2 44

f(x) = f(x) = 22-x-x (forme générale TRANSFORMÉE où b = -1)(forme générale TRANSFORMÉE où b = -1)

11

11



xx f(x)f(x)

00 - 4,3- 4,3

11 - 3- 3

22 11

33 1313

-1-1 - 4,8- 4,8

-2-2 - 4,9- 4,9

f(x) = f(x) = 22 •• 33x – x – 11 – – 55 (forme générale TRANSFORMÉE)(forme générale TRANSFORMÉE)

11

11

y = - 5 (asymptote)y = - 5 (asymptote)



f(x) = f(x) = aa ccbb(x – (x – hh)) + + kk (forme générale TRANSFORMÉE)(forme générale TRANSFORMÉE)

11

11

y = k (asymptote)y = k (asymptote)

y =y = kk Équation de Équation de l’l’asymptoteasymptote

Dom Dom ff = = Ima Ima ff = ] = ] k k , +∞, +∞

c c 1 1c c ] 0 ,1 [ ] 0 ,1 [

Résolutions d’équationsRésolutions d’équations


2 méthodes2 méthodes : : 1- Exprimer les 2 membres de l’équation avec la 1- Exprimer les 2 membres de l’équation avec la même base même base exponentielleexponentielle

2- Utiliser les 2- Utiliser les logarithmeslogarithmes

Exemple #1 :Exemple #1 : Trouver le zéro de la fonction f(x) = 11 (7Trouver le zéro de la fonction f(x) = 11 (72x – 12x – 1) – 539 .) – 539 .

7722 = 7 = 72x – 12x – 1

Exemple #1 :Exemple #1 : Trouver le zéro de la fonction f(x) = 11 (7Trouver le zéro de la fonction f(x) = 11 (72x – 12x – 1) – 539 .) – 539 .

0 = 11 (70 = 11 (72x – 12x – 1) – 539) – 539

Réponse :Réponse : x x { } { }

539 = 11 (7539 = 11 (72x – 12x – 1))

49 = 749 = 72x – 12x – 1

2 = 2x – 12 = 2x – 1

3 = 2x3 = 2x

= x= x33

22

33

22

Exemple #2 :Exemple #2 : Trouver le zéro de la fonction f(x) = (6Trouver le zéro de la fonction f(x) = (6x+1x+1) – 108 .) – 108 .11

22

0 = (60 = (6x+1x+1) – 108) – 10811

22

108 = (6108 = (6x+1x+1))11

22

216 = 6216 = 6x+1x+1

6633 = 6 = 6x+1x+1

3 = x + 13 = x + 1

2 = x2 = x

Réponse :Réponse : x x { 2 } { 2 }

( )( )44 = ( ) = ( )3x3x

Exemple #3 :Exemple #3 : Trouver le zéro de la fonction f(x) = 625 ( )Trouver le zéro de la fonction f(x) = 625 ( )3x3x – 1 . – 1 .11

55

0 = 625 ( )0 = 625 ( )3x3x – 1 – 111

55

= ( )= ( )3x3x11

625625

= x= x Réponse :Réponse : x x { } { }

11

55

= ( )= ( )3x3x11

5544

11

55

11

55

11

55

4 = 3x4 = 3x

44

3344

33

22-16x-16x = 2 = 2-10x + 18-10x + 18

Exemple #4 :Exemple #4 : Résoudre ( )Résoudre ( )8x8x = 2 = 2-10x + 18-10x + 18 . .

( )( )8x8x = 2 = 2-10x + 18-10x + 18

Réponse :Réponse : x x { -3 } { -3 }

(2(2-2-2))8x8x = 2 = 2-10x +18-10x +18

-16x = -10x + 18-16x = -10x + 18

-18 = 6x-18 = 6x

-3 = x-3 = x

11

44

11

2222

Résolutions d’inéquationsRésolutions d’inéquations


Exemple :Exemple : Trouver l’ensemble-solutions de -26 + 234 (3Trouver l’ensemble-solutions de -26 + 234 (3-0,08x-0,08x) ) < 52< 52 . .

-26 + 234 (3-26 + 234 (3-0,08x-0,08x)) < < 5252

y = - 26 (asymptote)y = - 26 (asymptote)

y = 52y = 52

33

1010

234 (3234 (3-0,08x-0,08x) ) < 78< 78

33-0,08x-0,08x <<

33-0,08x-0,08x < 3< 3-1-1

-0,08x -0,08x < -1< -1

x x 12,5 12,5

11

33

Réponse :Réponse : x x ] 12,5 , + ∞] 12,5 , + ∞

Recherche de l’équationRecherche de l’équation


Exemple :Exemple : Trouver l’équation de la fonction exponentielle à l’aide des Trouver l’équation de la fonction exponentielle à l’aide des

informations suivantes :informations suivantes :

a)a) La courbe passe par les points A(1, -20) et B(3, -500) et La courbe passe par les points A(1, -20) et B(3, -500) et

l’équation de l’asymptote est y = 0.l’équation de l’asymptote est y = 0.

A)A) À partir d’éléments du À partir d’éléments du GRAPHIQUEGRAPHIQUE



Réponse :Réponse : f(x) = - 4 (5)f(x) = - 4 (5)xx

a)a) La courbe passe par les points A(1, - 20) et B(3, - 500) et La courbe passe par les points A(1, - 20) et B(3, - 500) et


f(x) = f(x) = aaccxx + + kk (forme CANONIQUE où h = 0)(forme CANONIQUE où h = 0)

- 20 = ac- 20 = ac11 + 0 + 0 (avec le point (avec le point AA))

- 500 = ac- 500 = ac33 + 0 + 0 (avec le point (avec le point BB))

(1)

(2)

(2) / (1) :

Système Système d’équationd’équation

- 500 = ac- 500 = ac33

- 20 = ac- 20 = ac11

25 = c25 = c22

5 = c5 = c (3)

(3) dans (1) : - 20 = a(5)- 20 = a(5)11

- 4 = a- 4 = a



Réponse :Réponse : f(x) = 8 (3)f(x) = 8 (3)xx + 5 + 5

b) La courbe passe par les points A(1, 29) et B(4, 653) et b) La courbe passe par les points A(1, 29) et B(4, 653) et


f(x) = f(x) = aaccxx + + kk (forme CANONIQUE où h = 0)(forme CANONIQUE où h = 0)

29 = ac29 = ac11 + 5 + 5 (avec le point (avec le point AA))

653 = ac653 = ac44 + 5 + 5 (avec le point (avec le point BB))

(1)

(2)

(2) / (1) :

Système Système d’équationd’équation

648 = ac648 = ac44

24 = ac24 = ac11

27 = c27 = c33

3 = c3 = c (3)

(3) dans (1) : 24 = a(3)24 = a(3)11

8 = a8 = a

24 = ac24 = ac11

648 = ac648 = ac44

B)B) À partir d’un problème de « À partir d’un problème de « TAUX D’INTÉRÊTS TAUX D’INTÉRÊTS »» ……

Formule « utile » pour ce genre de problème…Formule « utile » pour ce genre de problème…

C(t) = CC(t) = Coo (1 + ) (1 + )ktktii

kk

Capital Capital accumuléaccumulé

Capital Capital initialinitial Nombre de Nombre de

fois de C(t) est fois de C(t) est capitalisécapitalisé

Taux Taux d’intérêtd’intérêtTempsTemps

Exemple :Exemple : On place 1000$ dans une banque pour 3 ans à un taux d’intérêt annuel On place 1000$ dans une banque pour 3 ans à un taux d’intérêt annuel de 5%. On t’offre trois options.de 5%. On t’offre trois options.

a)a) L’intérêt est ajoutée au capital L’intérêt est ajoutée au capital annuellementannuellement..

b)b) L’intérêt est ajoutée au capital L’intérêt est ajoutée au capital aux 4 moisaux 4 mois..

c)c) L’intérêt est ajoutée au capital L’intérêt est ajoutée au capital à chaque moisà chaque mois..

Laquelle est la plus avantageuse ?Laquelle est la plus avantageuse ?

C(t) : Ce qu’on chercheC(t) : Ce qu’on cherche

CCoo = 1000 $ = 1000 $

DonnéesDonnées

i = 5%i = 5%k = 1 fois par année (en a)k = 1 fois par année (en a)

3 fois par année (en b)3 fois par année (en b)

12 fois par année (en b)12 fois par année (en b)

C(t) = 1000 (1 + )C(t) = 1000 (1 + )1t1t

C(t) = 1000 (1,05)C(t) = 1000 (1,05)tt

C(3) = 1000 (1,05)C(3) = 1000 (1,05)33

Après 3 ans…Après 3 ans…a)a) Règle générale…Règle générale…

C(3) C(3) ≈≈ 1157,63 1157,63

Réponse :Réponse : 1157,63 $1157,63 $

0,050,05

11

Exemple :Exemple : On place 1000$ dans une banque pour 3 ans à un taux d’intérêt annuel On place 1000$ dans une banque pour 3 ans à un taux d’intérêt annuel de 5%. On t’offre trois options.de 5%. On t’offre trois options.

a)a) L’intérêt est ajoutée au capital L’intérêt est ajoutée au capital annuellementannuellement..

b)b) L’intérêt est ajoutée au capital L’intérêt est ajoutée au capital aux 4 moisaux 4 mois..

c)c) L’intérêt est ajoutée au capital L’intérêt est ajoutée au capital à chaque moisà chaque mois..

Laquelle est la plus avantageuse ?Laquelle est la plus avantageuse ?

C(t) = 1000 (1 + )C(t) = 1000 (1 + )3t3t

C(t) = 1000 (1,01667)C(t) = 1000 (1,01667)3t3t

C(3) = 1000 (1,01667)C(3) = 1000 (1,01667)3(3)3(3)

Après 3 ans…Après 3 ans…b)b) Règle générale…Règle générale…

C(3) C(3) ≈≈ 1160,40 1160,40

Réponse :Réponse : 1160,40 $1160,40 $

0,050,05

33

C(t) = 1000 (1 + )C(t) = 1000 (1 + )12t12t

C(t) = 1000 (1,0041667)C(t) = 1000 (1,0041667)12t12t

C(3) = 1000 (1,0041667)C(3) = 1000 (1,0041667)12(3)12(3)

Après 3 ans…Après 3 ans…c)c) Règle générale…Règle générale…

C(3) C(3) ≈≈ 1161,47 1161,47

Réponse :Réponse : 1161,47 $1161,47 $

0,050,05

1212

C(t) = 1000 (1 + )C(t) = 1000 (1 + )1t1t

C(t) = 1000 (1,05)C(t) = 1000 (1,05)tt

C(3) = 1000 (1,05)C(3) = 1000 (1,05)33

Après 3 ans…Après 3 ans…a)a) Règle générale…Règle générale…

C(3) C(3) ≈≈ 1157,63 1157,63

Réponse :Réponse : 1157,63 $1157,63 $

0,050,05

11

C)C) À partir d’un problème de « À partir d’un problème de « BACTÉRIES BACTÉRIES »» ……

Exemple :Exemple : Une bactérie double toutes les 5 heures. S’il y avait 500 répliques de Une bactérie double toutes les 5 heures. S’il y avait 500 répliques de cette bactérie au départ, après combien de temps y en aura-t-il plus cette bactérie au départ, après combien de temps y en aura-t-il plus de 128 000 ?de 128 000 ?

f(x) = 500 (2)f(x) = 500 (2)x/5x/5

128 000 = 500 (2)128 000 = 500 (2)x/5x/5

256 = (2)256 = (2)x/5x/5

2288 = 2 = 2x/5x/5

8 =8 = xx

55

40 = x40 = x

Réponse :Réponse : Après 40 heures.Après 40 heures.

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