Logarithme nprien - ExponentielleI/ Logarithme nprien

Une majorit de fonctions "classiques" possde une primitive : ainsi la primitive de est par exemple, ou encore celle de cos(x) est sin(x). Une fonction n'avait pas de primitive clairement dfinie, la fonction inverse , et c'est de cette faon qu'a t mis en place le logarithme nprien (du nom de John Napier ou encore Neper, mathmaticien anglais du XVIIme sicle) not , comme tant la primitive de sur qui s'annule en 1.

De ce fait, on peut dire que :

partir de cette premire dfinition se dgagent dj plusieurs caractristiques du logarithme nprien : Comme et que on sait que sur est strictement croissante. De ce fait, D'autre part, on a pour les limites en 0 et + :

partir de l, son tableau de variation est :

x0 1 +

Comme elle est croissante sur et que on en dduit rapidement que :

Sur Sur x0 1 +

Signe

de ln

Ainsi, la reprsentation graphique du logarithme nprien est :

Proprits du logarithme nprien

On dit que la fonction logarithme transforme les produits en somme.

DMONSTRATION :

On considre la fonction dfinie sur avec a un rel positif.

est une fonction compose, c'est--dire de la forme , ce qui se note , avec et . La drive d'une fonction compose est , soit , et va donner ici :

La fonction est une primitive de comme la fonction , elles vont donc diffrer d'une constante c, car une fonction possde comme primitive toute fonction de la forme , avec c une constante, telle que sa drive soit :

Si on prend on a rapidement :

Donc on a soit pour tout on a bien :

partir de cette proprit principale, plusieurs autres proprits du logarithme nprien se dgagent, si on considre a et b deux rels strictement positifs :

(en utilisant le fait que et )La dernire proprit est trs intressante, car elle permet de rsoudre des quations de la forme , avec a et b deux rels strictement positifs et x un entier relatif.Exemples : On applique le logarithme nprien de chaque ct :

En appliquant la proprit :

Pour rsoudre l'quation, on fait donc :

Cette proprit devient plus intressante lorsque x est un rel quelconque, et pour introduire ainsi la notion de puissance relle, on fait appel la fonction rciproque du logarithme nprien, la fonction exponentielle.

II/La fonction exponentielleOn dit que la fonction est une bijection de sur , c'est--dire que pour tout rel x de le rel appartient et pour tout rel k de , l'quation admet une seule solution. Graphiquement, si est la reprsentation graphique de , l'quation aura pour unique solution l'abscisse du point d'intersection de la droite d'quation et de .On note alors e l'unique solution de l'quation . Ce nombre s'appelle la base du logarithme nprien. On l'appelle galement nombre d'Euler. Sa valeur approche est Avec cette nouvelle constante, on peut dfinir le logarithme nprien d'une nouvelle manire, comme tant la fonction qui fait correspondre chaque nombre rel x le nombre rel y tel que .

Concrtement, on dfinit alors une nouvelle fonction, qui se note ou encore , qui s'appelle la fonction exponentielle. Cette fonction est la bijection rciproque de la fonction logarithme nprien, c'est--dire qu'elle associe chaque nombre rel le nombre rel x qui lui correspond. De ce fait, comme on a on aura .La fonction ln tant drivable et de drive non nulle, la fonction exponentielle, sa rciproque, est une fonction drivable et, pour tout :

Ainsi, la fonction exponentielle est dfinie sur , est strictement croissante sur et elle

est gale sa drive et on a . Comme elle est la bijection rciproque de , on a : et Graphiquement, la courbe de la fonction exponentielle est symtrique la courbe du logarithme nprien par rapport la droite d'quation :

Ainsi, la fonction exponentielle dfinit la notion de puissance relle, car elle lve le nombre e la puissance x, avec x un nombre rel. De cette faon, le nombre , avec a un nombre rel strictement positif et b un nombre rel quelconque est le rel dfini par :

De cette faon, on aura par exemple On peut partir de ce moment rsoudre n'importe quelle quation du type , avec a et b deux rels strictement positifs et x un nombre rel quelconque.Exemple : On rsout l'quation comme dans la premire partie, avec x un rel cette fois :

Proprits de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle possde plusieurs proprits lies au fait que c'est une fonction puissance : : : : : : +

-

0

+

-

+

-

0

0