Lycée ‘’ Mihai Eminescu “ Iassy

Fonction logarithme Fonction exponentielle

Georgiana Mocanu Classe: le XI-ème A Prof. coordinateur : Cristina Anton

- 31 octobre 2011-

Les fonctions logarithmes et les fonctions exponentielles dans la vie quotidienne

chimie : pH, ...

acoustique : décibel, …

biologie : magnitude, …

musique : savart, construction des gammes, …en Physique (la radioactivité)

et bien d’autres applications encore …

Lexique

logarithme népérien fonction logarithmigue/fonction logarithme fonction exponentielle( de base a ) puissance logarithme décimal bijective surjective inversable asymptote horizontale asymptote verticale tableau de valeurs monotonie courbe axe de symétrie bissectrice domaine de définition équations inéquations

~ La fonction logarithmique

I)Définition et lois des LOGARITHMES

On sait que 3x = 27 x = log3 27

an = x n = loga xdonc

Par conséquent : loga 1 = 0

loga c = 1

(car a0 = 1)

(car a1 = a)

Ex.: log4 1 = 0 car 40 = 1

Ex.: log4 4 = 1 car 41 = 4

!!!!!!Remarques:->LN note le logarithme de base e ;en hommage à John Neper, mathématicien écossais, qui se trouve à l`origine des tables des logarithmes.->LG note le logarithme de base 10 ,ou le logarithme décimal. En outre, lorsque la base « a » du logarithme est 10, on écrit log x au lieu de log10 x. ou lg x et lorsque la base « a » du logarithme est e, on écrit lg x au lieu de loge x .

Soit a>1 ,a ≠1 et l`équation ax =n où n est un nombre réel strictement positif. Comme la fonction exponentielle est bijective, on en déduit que l`équation a une seule solution x, qui, par définition, est le logarithme de basse a de n.On note loga x

Proprietes des logarithmesNote : log3 x2 ≠ log3 2x

log3 x2 = log3 (x • x)

log3 2x = log3x • log3x

car

Exemples :

b) Simplifier log2 x2 – log2 x .

log2 x2 – log2 x = log2 x2

x

= log2 x

a) Simplifier .log2 9

log2 3

log2 9

log2 3=

log2 32

log2 3=

2 log2 3

log2 3= 2

c) Simplifier log6 2x4 + log6 3 . log6 (2x4 • 3)log6 2x4 + log6 3 = = log6 6x4

= log6 6 + log6 x4

= 1 + 4 log6 x

Propriétés de la fonction logarithmique( f(x)=loga x)1.f(1)=02.LA MONOTONIE ~si a>1 ,alors f strictement croissante,c`est-à -dire: tous x1,x2 qui appartient x1<x2=> loga x1< loga x2 ~si 0<a<1 ,alors f strictement décroissante,c `est-à -dire: tous x1,x2 qui appartient x1<x2=> loga x1> loga x23.LE SIGNE (conséquence de monotonie) ~pour a>1, loga x >0 si x>1 et loga x<0 si 0<x<1 ~pour 0<a<1 , loga x>0 si 0<x<1 et loga x<0 si x>1 On remarque que loga x si et seulement si a et x ont la même position par rapport à un.Plus précisément ,si la base et l`argument sont inférieurs à 1 ou supérieurs à 1 , à la fois ,alors loga x>0 ,sinon , loga x<0.Une manière très pratique d’exprimer ce résultat est la suivante :

sign(loga x)=sign(a-1)(x-1)

4. f est un fonction bijective donc, inversable.Sa fonction réciproque est la fonction exponentielle. Cela signifie que pour tout y réel, il existe un seul x= ay réel strictement positif,qui est la solution de l`équation:loga x=y. Réciproquement ,l`équation ax =y a une seule solution x=loga y pour tout y réel strictement positif.

5.LES TABLEAUX DE VARIATION:

Pour a>0

X 0 1 ∞

| ∞ ↘ 0 ↘ -∞

X 0 1 ∞

| -∞ ↗ 0 ↗ ∞

Pour 0<a<1

*On a la droite d`équation x=0 comme asymptote verticale.

1

1

1

1

6.Graphique: est trasé pqr des points . Gf admit des asymptotes.7.L`intersection avec l`xOy : 0 ( ) 0 log 0 1 (1,0)aGf Ox y f x x x A

8.Injectivité La fonction exponentielle est un fonction injective .On utilise l`injectivité pour résoudre d’inéquations:

1 2 1 2log log

log ( ) log ( ) ( ) ( )

a a inj

a a inj

x x x x

u x v x u x v x

9.Surjectivité: La fonction logarithmique est une fonction surjective .On utilise la surjectivité pour résoudre d’inéquations.

loga x=y=>x= ay

10.Bijectivité Note: Les represéntations graphiques de la fonction exponentielle

f: ->(0, ∞) , f(x)= ax

et de la fonction logarithmique f: (0, ∞)-> , ,f(x)= loga x

sont deux courbes qui ont comme axe de symétrie la première bissectrice

Équations logaritmiques et graphique

f(x) = logc x (forme générale de BASE)

f(x) = a logcb(x – h) + k (forme générale TRANSFORMÉE)

x = h (Équation de l’asymptote)

f(x) = log2 xExemple :

f(x) = 3 • log2 6(x – 1) + 5Exemple: :

x f(x)

0

1 0

2 1

4 2

8 3

½ -1

1)f(x) = log2 x

(forme générale de BASE où c 1 )

1

1

¼ -2

Asymptote x = 0

Exemple :

x f(x)

0

1 0

2 -1

4 -2

8 -3

½ 1

2)f(x) = log½ x (forme générale de BASE où c ]0, 1[ )

1

1

¼ 2

Asymptote x = 0

x f(x)

-4

-3 0

-2 1

0 2

4 3

3)f(x) = log2 (x + 4)

(forme c 1 et h = -4)

1

1

Asymptote x = - 4

1

1

Asymptote x = h

f(x) = a logcb(x – h) + k (forme générale TRANSFORMÉE)

x = h (Équation de l’asymptote)c 1

c ] 0 ,1 [

Dom f = ] k , +∞

Ima f =

x f(x)

-4

-3 0

-2 1

0 2

4 3

1) f(x) = log2 (x + 4)(forme c 1 et h = -4)

1

1

Asymptote x = - 4

Résolutions d’inéquationsExemple #1 : Résoudre log2 (x + 4) + 5 – log2 (x – 6) + 9 .

1

1

Asymptote x = 6

Asymptote x = - 4

log2 (x + 4) + 5 – log2 (x – 6) + 9 .

Exemple #1 : Résoudre log2 (x + 4) + 5 – log2 (x – 6) + 9 .

log2 (x + 4) + 5 – log2 (x – 6) + 9

log2 (x + 4) + log2 (x – 6) 9 – 5

log2 [ (x + 4) • (x – 6) ] 4

(x + 4) • (x – 6) 24

x2 – 2x – 24 16

x2 – 2x – 40 0

x1 – 5,40 x2 7,40

Il faut que x + 4 > 0 et que x – 6 > 0donc que x > - 4et que x > 6

À rejeter

Réponse : x [ 7,40 , +

Exemple #2 :

(x + 3) • log (1/2) ≤ (2x – 1) • log 5

Réponse : x [ - 0,12 , +

Résoudre (1/2)x + 3 ≤ 52x – 1 .

log (1/2)x + 3 ≤ log 52x – 1 .

(x + 3) • (- 0,3) ≤ (2x – 1) • (0,7)

- 0,3x – 0,9 ≤ 1,4x – 0,7

- 0,2 ≤ 1,7x

- 0,12 ≤ x

Base naturelle « e »Il existe un nombre irrationnel (comme ) qui se nomme :

e ≈ 2,7182818…

ex = y x = loge y

Donc, lorsque ce nombre constitue la base d’un nombre exponentiel, on a que :

Cependant, lorsque la base « c » du logarithme est e, on écrit ln x au lieu de loge x.

C’est une constante mathématique très utilisée en science et que l’on retrouve dans de nombreuses modélisations de phénomènes naturels.

loge x = ln x

La fonction Exponentielle

Définition Soit q un nombre réel strictement positif et x un nombre réel quelconque : Si x est un nombre rationnel, alors ax est défini. On veut attribuer un sens à ax pour x irrationelle.Pour cela, rappelons quelques résultats d’analiyse mathématique concernant les suites convergentes: 1. Pour tout nombre réel x , il existe deux suites des nombres rationnels

1 1( ) , ( )nn n nr s ,tel que

1 2 1 2 1.. ... ....n n nr r r x s s s s Note:On peut prendre les suites

1 1( ) , ( )nn n nr s comme les approximations

décimalesPar défaut ;respectivement par excès:

2.Si a est un réel, a>0 et 1

( )nn

ret 1( )n ns

est une suite convergente de nombres rationnels

alors la suite et est aussi convergente.1( )nr na 1( )ns na 3.Pour tous réels x et y, ex > ey x > yex = ey x = y ex > 1 x > 0 ex < 1 x < 0

Propriétés des logarithmes

( )

( )

( )

x y xy

x y xy

x x x

xx

x

xx y

y

a a a

a a

ab a b

a a

b b

aa

a

base exposant = puissance

TERMINOLOGIE

Ex. : 32 = 9

LOIS DES EXPOSANTS

am • an = am + n

am

an= am – n

(ab)m = am bm

a

b=

am

bm

m

a - m =1

am

(am)n = amn

Proprietes de la fonction exponentielle

1.f(0)=12.La monotonie de f- f strictement croissante pour a>1,ce qui équivaut à: tous

-f est strictement décroissante pour 0<a<1 ,ce qui équivaut à:

1 21 2 1 2, , x xx x x x a a

1 21 2 1 2, , x xx x x x a a

5.LES TABLEAUX DE VARIATION:

Pour a>0

X -∞ 0 ∞

f(x)= ∞ ↘ 1 ↘ 0

X -∞ 0 ∞

f(x)= 0 ↗ 1 ↗ ∞

Pour 0<a<1

*On a la droite d`équation x=0 comme asymptote verticale.

xa

xa

6.Graphique: est trasée pqr des points . Gf admet des asymptotes.7.L`intersection avec l`xOy

0 2 0xf xG O y x

8.Injectivité La fonction exponentielle est un fonction injective .On utilise l`injectivité pour résoudre d’équations.

9.Surjectivité: La fonction logarithmique est une fonction surjective .On utilise la surjectivité pour résoudre d’inéquations..

1 21 2

( ) ( ) ( ) ( )

x x

u x v x

a a x x

a a u x v x

log

x

a

a y

x y

10.Bijectivité Note: Les représentations graphiques de la fonction exponentielle

f: ->(0, ∞) , f(x)= ax

et de la fonction logarithmique f: (0, ∞)-> , ,f(x)= loga x

sont deux courbes qui ont comme axe de symétrie la première bissectrice

De plus, nous pouvons ln au lieu du log afin de résoudre des équations ou inéquations exponentielles.

Exemple :

Réponse : x { -1,7 }

3x = 2x – 1

log 3x = log 2x – 1

x • log 3 = (x – 1) • log 2

x • (0,477) = (x – 1) • (0,3)

0,477x = 0,3x – 0,3

0,177x = – 0,3

x = – 1,7

Avec LOGAvec LOG

Réponse : x { -1,7 }

3x = 2x – 1

ln 3x = ln 2x – 1

x • ln 3 = (x – 1) • ln 2

x • (1,1) = (x – 1) • (0,7)

1,1x = 0,7x – 0,7

0,4x = – 0,7

x = – 1,7

Avec LNAvec LN

Équations et graphique

f(x) = cx (forme générale de BASE)

f(x) = acb(x – h) + k (forme générale TRANSFORMÉE)

f(x) = acx – h + k (forme CANONIQUE)

f(x) = 2xExemple :

f(x) = 3 • 24(x – 3) + 5Exemple :

f(x) = 3 • 2x – 3 + 5Exemple :

x f(x)

0 - 4,3

1 - 3

2 1

3 13

-1 - 4,8

-2 - 4,9

1)f(x) = 2 • 3x – 1 – 5 (forme générale TRANSFORMÉE)

1

1

y = - 5 (asymptote)

2)f(x) = a cb(x – h) + k (forme générale TRANSFORMÉE)

1

1

y = k (asymptote)

y = k Équation de l’asymptote

Dom f = Ima f = ] k , +∞

c 1c ] 0 ,1 [

72 = 72x – 1

Exemple #1 : Trouver le zéro de la fonction f(x) = 11 (72x – 1) – 539 .

0 = 11 (72x – 1) – 539

Réponse : x { }

539 = 11 (72x – 1)

49 = 72x – 1

2 = 2x – 1

3 = 2x

= x3

2

3

2

Exemple #2 : Trouver le zéro de la fonction f(x) = (6x+1) – 108 .1

2

0 = (6x+1) – 1081

2

108 = (6x+1)1

2

216 = 6x+1

63 = 6x+1

3 = x + 1

2 = x

Réponse : x { 2 }

( )4 = ( )3x

Exemple #3 : Trouver le zéro de la fonction f(x) = 625 ( )3x – 1 .1

5

0 = 625 ( )3x – 11

5

= ( )3x1

625

= x Réponse : x { }

1

5

= ( )3x1

54

1

5

1

5

1

5

4 = 3x

4

34

3

2-16x = 2-10x + 18

Exemple #4 : Résoudre ( )8x = 2-10x + 18 .

( )8x = 2-10x + 18

Réponse : x { -3 }

(2-2)8x = 2-10x +18

-16x = -10x + 18

-18 = 6x

-3 = x

1

4

1

22

Exemple : Trouver l’ensemble-solutions de -26 + 234 (3-0,08x) < 52 .

-26 + 234 (3-0,08x) < 52

y = - 26 (asymptote)

y = 52

3

10

234 (3-0,08x) < 78

3-0,08x <

3-0,08x < 3-1

-0,08x < -1

x 12,5

1

3

Réponse : x ] 12,5 , + ∞

À partir d’un problème de « BACTÉRIES » …

Exemple : Une bactérie double toutes les 5 heures. S’il y avait 500 répliques de cette bactérie au départ, après combien de temps y en aura-t-il plus de 128 000 ?

f(x) = 500 (2)x/5

128 000 = 500 (2)x/5

256 = (2)x/5

28 = 2x/5

8 = x

5

40 = x

Réponse : Après 40 heures.

Exemple : On place 1000$ dans une banque pour 3 ans à un taux d’intérêt annuel de 5%. On t’offre trois options.a) L’intérêt est ajoutée au capital annuellement.b) L’intérêt est ajoutée au capital aux 4 mois.c) L’intérêt est ajoutée au capital à chaque mois.Laquelle est la plus avantageuse ?

C(t) = 1000 (1 + )3t

C(t) = 1000 (1,01667)3t

C(3) = 1000 (1,01667)3(3)

Après 3 ans…b) Règle générale…

C(3) ≈ 1160,40

Réponse : 1160,40 $

0,05

3

C(t) = 1000 (1 + )12t

C(t) = 1000 (1,0041667)12t

C(3) = 1000 (1,0041667)12(3)

Après 3 ans…c) Règle générale…

C(3) ≈ 1161,47

Réponse : 1161,47 $

0,05

12

C(t) = 1000 (1 + )1t

C(t) = 1000 (1,05)t

C(3) = 1000 (1,05)3

Après 3 ans…a) Règle générale…

C(3) ≈ 1157,63

Réponse : 1157,63 $

0,05

1

Devoir: 1. Résoudre dans IR les équations suivantes :a)ex = 2 b)ln(x) = 3 c)e2x+3 = 1 d)e2x – 5

= e xe)ex = e4x²+5x+1 f) ln(2x+1) - ln(x-1) = 1

g)ln(x-2) + ln(x+1) = ln(3x-5)

2. On place 1000$ dans une banque pour 3 ans à un taux d’intérêt annuel de 5%. On t’offre trois options.a) L’intérêt est ajoutée au capital annuellement.b) L’intérêt est ajoutée au capital aux 4 mois.c) L’intérêt est ajoutée au capital à chaque mois.

Sources principales: http://matematicadnl.wikispaces.com/ www.wikipedia.com “Ghid pentru bacalaureatul bilingv francofon”-Sorina Danaila , Gabriela Siclovan,Gabriela Sandulescu

Programs utilisés: Microsoft Office 2007;Mathtype 6.7;Graph 4.3;Paint;