la fonction dutilité associée à la relation de préférence elle permet, pour le plus grand...
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La fonction d’utilité associée à la relation de préférence
Elle permet, pour le plus grand bonheur des micro-économistes en herbe, de résoudre des
problèmes d’optimisation grâce aux mathématiques
Une fonction d'utilité est une manière d'attribuer une valeur à chaque panier de consommation en accord
avec les préférences du consommateurs.
)y;x(U)y,x(U)y;x()y;x( 1111
U(Q) Q:U
La fonction d'utilité
Soit un panier Q de deux biens (x,y)
Multiplicité des fonctions d'utilités
La fonction d'utilité est un concept ordinal (par opposition à un concept cardinal).
Uln,e,a,baU,U U0
La fonction d’utilité d’un individu n’est pas unique. Le choix de la fonction est arbitraire. Seul importe le
respect de l’ordre de préférence.
Toute transformation monotone croissante d'une fonction d'utilité donne une nouvelle fonction d'utilité permettant de représenter les mêmes
préférences.
Les courbes d'indifférence correspondent aux courbes de niveau de la fonction d'utilité.
La courbe d'indifférence de niveau k correspond à l'ensemble des couples (x,y)
tels que : kxxu );( 21
Fonction d'utilité et courbe d'indifférence
5
Ex: y.x)y;x(U yk
yk)y;x(U
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 10 20 30
x1
x2
k=50 k=10 k=5
Carte d’indifférence
x
y
6
Le taux marginal de substitution et fonction d'utilité
xU
y,xUmx
alors xx x.y,xUmU
Pour déterminer le TMS, on cherche yx et tels que
car l’utilité est constante sur la courbe d’indifférence. On en déduit:
01 y.y,xUmx.y,xUmU yx
y,xUm
y,xUmxy
y
x
)y,xUmy,xUm
xy
TMSy
xx/y
Si
Exemple : fonction d'utilité Cobb-Douglas
2121 // y.x)y,xU
x
y)y,xUmy,xUm
xy
y,xTMSy
xx/y
y.xy,xU)y,xV 2
Soit V une seconde fonction d'utilité transformée monotone de U
x
yy,xVmy,xVm
xy
y,xTMSy
xx/y
Résumé de la première séance
• Une fonction d'utilité attribue une valeur à chaque panier de consommation en adéquation avec les préférences du consommateur.
• Pour un même ordre de préférence, il est possible de construire plusieurs fonctions d'utilité par transformations monotones croissantes de la fonction (intérêt dans la simplification des calculs).
• Le taux marginal de substitution des biens (TMS) mesure la pente d'une courbe d'indifférence. Il indique la quantité d'un bien qu'un consommateur doit recevoir pour compenser, du point de vue de sa satisfaction, la quantité perdue d'un autre bien.
• Le taux marginal de substitution du bien x au bien y est égal au rapport des utilités marginales.
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Nous avons déjà considéré les préférences. Il nous faut maintenant
poser le problème des ressources rares.
2) La contrainte budgétaire
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La principale ressource du consommateur n’est autre que son budget. Ce budget étant limité, il
agit comme une contrainte sur le choix du consommateur.
Ce budget est d’abord considéré comme fixe (il pourra ensuite être augmenté si le
consommateur augmente son offre de travail)
La contrainte budgétaire
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La contrainte budgétaire
• Chaque consommateur dispose d’un revenu (R) pour financer ses achats
• On ne prend pas en compte la possibilité d’épargner une partie du revenu pour le dépenser plus tard (cadre d’analyse statique)
• Le consommateur maximise donc son utilité en dépensant l’intégralité de son revenu (il sature sa contrainte)
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La contrainte budgétaire
Lorsqu’il n’a que 2 biens, cette contrainte devient :
n
ixix xpR
i
La contrainte d’un consommateur s’écrit:
yx ypxpR
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Nb repas
Dépenses Repas
Nb Films
Dépenses ciné
0 0 5 502 10 4 404 20 3 306 30 2 208 40 1 1010 50 0 0
0
1
2
3
4
5
6
0 2 4 6 8 10 12
Nb Repas
NB
Film
s
Prix de la séance (y) : 10
Prix du repas (x) : 5
R = 5 x+ 10 y = 50
Revenu : 50
AB
C
D
E
F
La droite de budget
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Bien Y
Bien X
max1x
max1
1
Rx
P Quantité maximale que l’agent
peut consommer de bien y
La droite de budget (Construction graphique)
ypR
ymax maxy
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Bien y
Bien x
max2
2
Rx
P
Quantité maximum que l’agent peut consommer de bien x
Quantité maximum que l’agent peut consommer de bien x
La droite de budget (construction graphique)
xpR
xmax
maxy
maxx
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La droite de budget (construction graphique)
Bien y
Bien x
Droite de Budget
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Bien y
Bien x
Elle a pour origine = R/Py
Elle a pour pente = ΔV / ΔH
= - (R/Py) / (R/Px)
= - (R/Py) × (Px/R)
= - (Px / Py)
Elle s’écrit:
yy
x
pR
xpp
y
R/py
R/px
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La contrainte budgétaire
Bien y
Bien 2max2x
max1x
Droite de Budget
Ensemble budgétaire
La modification de la contrainte budgétaire sous l’action du revenu
Le revenu augmente
Le revenu diminue
R/px
R/py
X
Y
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La modification de la contrainte budgétaire lorsque le prix de x se modifie
R/px
R/py
x
y
R/px’R/px’’
Px diminue
Px augmente
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Le choix du consommateur
max2x
Quel panier choisir ?
Bien y
Bien x
U=10
U=20
U=5
P
Panier optimal
U
L’équilibre du consommateur
Q*(panier d’ équilibre)
X*
Y*
x
Y
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Le choix du consommateur
Bien y
Bien xmax2x
max1x
U=10
P
La droite de budget est tangente à U au point P
Définition du TMS au point P
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Le choix du consommateur
Récapitulatif
Le panier optimal P se situe au point de tangence entre U et la droite de budget
Donc, au point P, la pente de U est égale à la pente de la droite de budget
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Le choix du consommateur
Récapitulatif
La pente de U au point P est égale, par définition, au TMS au point P ( 1)
Donc, au point P, le TMS est égal à la pente de la droite de budget
Rappel: Utilité marginale et TMS
1 1 2 2
1 2
2 1
U Um x Um x 0
x Um
x Um
Le TMS est égal au rapport des utilités marginales (Par convention, on considère la valeur absolue du TMS)
y
x
yx
UmUm
xy
)(
yUmxUmU
0
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Le choix du consommateur
Récapitulatif
La pente de la droite de budget est égale à – Py / Px (rapport des prix)
Donc, au point P, le TMS est égal au rapport des prix
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Le choix du consommateur
Conclusion
Le consommateur choisit le panier P qui maximise son utilité en égalisant le TMS (le rapport des utilités marginales) au rapport des prix
pyUmy
pxUmx
soit
pypx
UmxUmy
pypx
UmyUmx
TMS
A l’optimum, le consommateur ne souhaite plus modifier la composition de son panier de
consommation.
Le taux d'échange pour lequel il est indifférent est égal au taux d'échange entre les bien établi par le marché,
c’est-à-dire au rapport des prix.
Le taux d’échange objectif est égal au taux d’échange subjectif du consommateur.
y
xx/y p
py/)y,x(Ux/)y,x(U
xy
)y,x(TMS
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Signification de la concavité des préférences sur le choix du consommateur
Qrepas
Qfilms
A
D
E
C
B
En cas de concavité des préférences, le
consommateur rationnel choisira une solution en
coin.
La convexité des préférences assure que les
consommateur a une préférence pour les
mélanges.
U1
Les modifications de l’équilibre du consommateur (effet de la variation du revenu)
Q*
X*
y*
Bien X
Bien Y
Q’*
X’*
y’*
U2
Le revenu R augmente
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Les effets sur la demande d'une variation du revenu
Bien y
Bien x
P
U=10
U=15
P'
U=18
P''
Chemin d'expansion du revenu(Courbe de consommation -
revenu)
U1
Les modifications de l’équilibre du consommateur (effet de la variation des prix relatifs)
Q*
x*
y*
Bien x
Bien y
U2
x’*
y’*
Le prix px augmente
Q’*
JP BIASUTTI 33Microéconomie - consommateur
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Le chemin d’expansion du prix
Bien y
Bien x
U=15
P'
U=10
P
U=20
P''
Chemin d'expansion du prix(Courbe de consommation – prix)
La variation du prix d’un bien a deux effets:
Supposons que px diminue et que py reste constant,
– Effet substitution (ou effet-prix):
Si le pouvoir d’achat du consommateur reste constant,
alors le consommateur va substituer du bien x au bien y car le bien x est « plus intéressant » que le bien y (le prix relatif du bien x a diminué)
– Effet revenu (ou effet pouvoir d’achat du revenu):
La variation du prix entraîne une modification du pouvoir d’achat que le consommateur répercute sur ses achats. La baisse de px l’incite à consommer plus de bien x et plus de bien y
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La variation du prix et l’effet de substitution (méthode de Hicks)
Bien y
Bien x
U=15
P'
U=10
P
P’’
ΔX’ΔX
ΔX = q2 – q0 Effet de substitution
q0 q2
ΔX’ = q1 – q2 Effet revenu
q1
Effet de substitution
Effet de revenu
La variation du prix et l’effet de substitution (méthode de Slutsky)
Bien y
Bien x
U=15
P'
U=10
P
ΔX’ΔX
U=12
P’’
ΔX = q2 – q0 Effet de substitution
q0 q2
ΔX’ = q1 – q2 Effet revenu
q1
Effet de substitution
Effet de revenu
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Les deux décompositions visent à isoler: - un effet de substitution (effet de compensation)
- un effet revenu (gain de pouvoir d’achat)
Les deux décompositions font différentes hypothèses :
H: Utilité ou satisfaction est constanteS: Budget (ou pouvoir d’achat) est tenu constant
Les deux décompositions ont des résultats différents :
H: Surestime l’effet revenu S: Surestime l’effet de substitution
Comparaisons entre les décomposition Hicks et Slutsky
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La fonction de demande
Ensemble des autres
biens
DVD
Quantité demandée de DVD
Prix du DVD
E2
E3
40 E’1
70 E’2
30E’3
E1