Étude des recettes d’une société en fonction du temps

Problématique

• Pour un certain produit, à chaque instant t, correspond une recette r correspondant à ses ventes.

r(t) = t3 – 30t2 – 150t + 12 000où t est en mois et r la recette en milliers d’euros par mois.

Question : quelles sont ses recettes lorsque t varie de 10 à 20 mois.

Voici la représentation de la courbe r (t) = t3 – 30t2 – 150t + 12 000

où t est en mois et r la recette en milliers d’euros par mois.

Problématique

• On suppose que la recette r est une fonction continue du temps t.

• Comment calculer les recettes de l’entreprise sur la période de 10 à 20 mois ?

Simplification du problème…

Les variations de r(t) étant « compliquées » on va raisonner dans un cas plus simple

1. On va étudier le cas où r(t) serait constante.

2. On va étudier le cas où r(t) serait constante sur plusieurs intervalles; on parle de fonction « en escalier »

3. On va en déduire une solution générale du problème.

CAS 1 : Si r(t) est constante

Si r(t) est constante

• Si r(t) est constante égale à 8,5 alors la recette sur la période10ième – 20ième mois, soit pendant 10 mois, sera de

8,5 × 10 = 85 milliers d’euros

géométriquement cela représente l’aire d’un rectangle...

Si r(t) est constante géométriquement cela représente l’aire d’un rectangle...

CAS 2 : Si r(t) est « en escalier »

Si r(t) est « en escalier »

• Si r(t) est constante sur des intervalles:égale à 8,5 sur l’intervalle [10;16]puis égale à 6 sur l’intervalle [16;20].

la recette sur la période10ième – 20ième mois, soit pendant 10 mois, sera de 8,5 × 6 + 6 × 4 = 51+24 = 75 milliers d’euros

géométriquement cela représente l’aire de deux rectangles...

Si r(t) est « en escalier » géométriquement cela représente l’aire de rectangles...

Premier bilan…

Si r(t) est constante ou en escalier la recette représente l’aire sous la courbe

géométriquement cela représente l’aire de deux rectangles...

géométriquement cela représente l’aire d’un rectangle...

CAS 3 : cas général

• On est amené à chercher comment calculer l’aire sous la courbe dans le cas général.

CAS 3 : cas général

• On est amené à chercher comment calculer l’aire sous la courbe dans le cas général.

• On peut encadrer cette aire par des fonctions constantes

5 × 10 ≤ A ≤ 8,5 × 10

50 ≤ A ≤ 85

CAS 3 : cas général

• On est amené à chercher comment calculer l’aire sous la courbe dans le cas général.

• On peut encadrer cette aire par des fonctions « en escalier »

6 × 6 + 5 × 4 ≤ A ≤ 8,5 × 6 + 6 × 4

56 ≤ A ≤ 75

Deuxième bilan…On a obtenu les encadrements suivants :

50 ≤ A ≤ 85

puis

56 ≤ A ≤ 75

On admet

On admet que les découpages de plus en plus « fins »

donnent deux suites convergentes.

Leur limite commune est l’aire sous la courbe.

Calcul d’aire

• Le calcul d’ « aire sous la courbe » s’appelle le calcul intégral.

• Ce calcul est en lien avec le calcul de primitives…