Cours de Robotique

1

MODELE GEOMETRIQUE DIRECT 2.1 Introduction Les modèles géométriques sont très fondamentaux pour l’étude des systèmes robotisés. En effet, les relations géométriques représentant ces modèles sont généralement programmées dans le logiciel du robot. Pour des robots relativement simples ayant peu de degrés de liberté, les modèles géométriques peuvent être obtenus directement sans difficulté par application de la projection des relations vectorielles. Cette façon est très difficile à appliquer pour des robots industriels plus sophistiqués ayant un nombre de degrés de liberté suffisamment grand. Pour cela, il est utile de développer des méthodes générales et systématiques. Ainsi, l’objectif principal de ce chapitre est l’étude des techniques générales pour l’obtention des équations du modèle géométrique direct d’un robot multicorps sériel quelconque, i.e., déterminer la position et l’orientation de l’élément terminal. En robotique, le problème géométrique direct consiste à prévoir la position des différents points de la trajectoire suivant laquelle la pince ou l’outil d’un robot ainsi que son orientation (i.e. l’outil ou la pince,..) en fonction des paramètres d’entré de la chaîne d’asservissement (i.e. les variables articulaires). La position géométrique qui nous intéresse peut être par exemple l’extrémité d’une électrode de soudage par point ou du centre de gravité d’un outil manipulé. Il va sans dire que les méthodes de résolution des problèmes géométriques directs fournissent des bases pour résoudre les problèmes inverses. 1.2 Exemple simple Considérons un robot, destiné à réaliser la coupe des tôles métalliques, ayant deux degrés de liberté, une articulation rotoïde d’angle )(tθ et une coulisse avec un déplacement )(th telles que : °≤≤ 90)(0 tθ et Hth ≤< )(0 . (2.1) Les variables articulaires du système mécanique articulé qui décrivent à chaque instant l’état du robot articulé à deux degrés de liberté peuvent être notées de la manière suivante : Tthttq ))(),(()( θ= (2.2)

Ces composantes sont appelés aussi coordonnées généralisées.

Modèle géométrique direct Position des

axes articulaires

Position et orientation de l’effecteur dans l’espace opérationnel

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2

Le point central qui nous intéresse (Tool Center point, TCP), point remarquable du bras dont la trajectoire nous intéresse aussi, est évidemment l’extrémité du segment 2. Ce point remarquable (TCP), est décrit à chaque instant par les coordonnées globales par rapport au référentiel fixe. Ces coordonnées sont regroupées dans le vecteur suivant : TtytxtX ))(),(()( = . (2.3)

La définition des coordonnées du TCP en fonction des coordonnées articulaires peut se faire facilement au moyen d’équations bien connues : θθ sincos hrx −=

θθ cossin hry +=

(2.4)

C’est un système d’équations algébriques de la forme : )(qfX = (2.5) Application numérique : Le seul paramètre géométrique propre au système mécanique articulé est cmr 30= . Pour les valeurs des coordonnées généralisées )30,30( cmq °= , représenter graphiquement la configuration du système, c’est à dire son état géométrique. On observe, d’après cet exemple simple, que les équations peuvent être très complexes. Comme on peut le remarquer sans doute que l’augmentation du nombre de degrés de liberté du système rend son analyse plus difficile. Pour traiter ce type de problèmes, nous allons aborder dans les sections suivantes des méthodes qui sont préférables et dans la majorité des cas nécessaires, car elles demeurent indépendantes de la complexité et du nombre de degrés de liberté du système en question. Ces méthodes sont dites méthodes de transformation des coordonnées. On distingue : • Les matrices de rotation • Les matrices de transformation homogènes (développées par Denavit-Hartenberg (D-H),

1955 pour résoudre les problèmes de chaînes cinématiques).

Fig. 2.1b Fig. 2.1a

x

y

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3

1.3 Hypothèses de base pour le calcul du M.G.D. Pour être rigoureux, on doit tenir en compte certaines hypothèses supplémentaires pour le calcul du modèle géométrique direct : 1. La base du robot est fixe, 2. Le repère de référence 0R est lié à la base du robot,

3. La position et l’orientation de l’effecteur doivent être atteignables par ce dernier : toute tâche doit être située dans le volume de travail du robot en question,

4. Il n’existe pas d’obstacles dans le volume de travail du robot, Supposons alors que la tâche à exécuter est décrite par la position et l’orientation de l’outil (élément terminal) telle que : T

mm xxxxxX ),,...,,,( 1321 −= relativement à 0R , (2.6)

où m est le nombre de composantes indépendantes nécessaires à décrire géométriquement la tâche. Nous rappelons que ce nombre doit être inférieur ou égal à 6, ( 6≤m ). Ces coordonnées sont dites opérationnelles. Au départ, elles n’ont aucune relation avec les coordonnées articulaires. Exemple : Supposons qu’une tâche donnée à exécuter soit « Positionner un objet solide en un point M décrit par ses coordonnées cartésiennes 0/),,( Rzyx ».

Le vecteur des coordonnées opérationnelles est TzyxX ),,(=

et on a 3=m . Fig. 2.2 Maintenant, on considère qu’un robot est choisi pour réaliser cette tâche, ayant un nombre n de degrés de liberté dont les variables sont organisées dans le vecteur suivant : T

nn qqqqqq ),,...,,,( 1321 −= (2.7)

Dans l’objectif de calculer le M.G.D., considérons une succession de corps indéformables iS formant une chaîne mécanique articulée modélisant mathématiquement le robot en question. Précisons que le corps 0S , représentant la base du robot, est lié complètement au repère 0R .

(Ce dernier étant considéré fixe). Le corps final nS ainsi que chaque corps intermédiaire

iS sont connus (géométriquement) dans leurs propres repères orthonormés iR mobiles par

rapport à la base 0R

. Fig. 2.3 : Système mécanique articulé ( SMA)

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4

Il est commode de réaliser le découplage entre l’orientation de l’effecteur et la position du point central de l’effecteur. C’est pourquoi dans la suite nous traiterons de manière découplée les deux questions, l’orientation et la position de l’effecteur. 1.4 Systèmes de paramétrage de l’orientation Nous rappelons que le mouvement d’un solide indéformable est identique à celui du repère qui lui est attaché. D’où, l’orientation de l’effecteur sera décrite par celle de la base vectorielle ),,( nnnn zyxb

rrr= associée au repère nR lié à cet effecteur. Pour plus de clarté,

considérons le poignet de la figure 2.4 sur lequel on a implanté une base orthonormée. Cette dernière permet de représenter le poignet pour son orientation par rapport à un repère de référence 0R .

Fig. 2.4 Choix d’une base associée au poignet Notre objectif est la description de la base nb de nR par rapport à la base 0b de 0R . Plusieurs

méthodes existent permettant de faire ce paramétrage et on distingue la méthode des cosinus directeurs, les angles d’Euler et les angles de Bruyant (dits aussi de Cardan). 1.4.1 Les cosinus directeurs

La base ),,( nnnn zyxbrrr= peut être exprimée dans la base ),,( 0000 ZYXb

rrr= en utilisant les

cosinus directeurs de la manière suivante :

010101 ZYXxn

rrrr γβα ++=

020202 ZYXyn

rrrr γβα ++=

030303 ZYXzn

rrrr γβα ++=

(2.8)

Sous forme matricielle, les relations (2.8) peuvent être représentées comme suit :

=

321

321

321

γγγβββααα

P

(2.9)

La matrice P est dite matrice de passage de 0b à nb et sera notée par la suite comme : nQ0 .

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5

Les nombres réels iα , iβ et iγ représentent les composantes des vecteurs de la base nb ,

attachée à l’élément terminal du manipulateur, dans 0R . Ces coordonnées sont dites cosinus

directeurs de la base nb relativement à 0b . Pour connaître l’orientation de l’effecteur, il faut

avoir les valeurs de ces coordonnées qui sont en nombre de 9. Par ce que la base nb est

orthonormée, nous avons en plus les relations suivantes : 1=nx

r 0. =nn yx

rr

1=nyr

0. =nn zyrr

1=nzr

0. =nn xzrr

(2.10)

Cela se traduit par l’existence de 6 relations supplémentaires. Par conséquent, il nous reste seulement 3=9-6 inconnues pour la connaissance de l’orientation de l’effecteur. Ceci se traduit par les 3 degrés de liberté en orientation pour un corps solide rigide. Exemple : Ecrire la matrice des cosinus directeurs de la base nb

Par rapport à la base 0b de 0R .

Fig. 2.5 Quelques propriétés de nQ0 : 1. Puisque les bases sont orthonormées, la matrice nQ0 est orthogonale. Par conséquent :

Tnn QQ )()( 0

10 =− . (2.11)

2. Si la base nb est obtenue par k rotations simples successives, chacune est représentés par

une matrice ),...,1( kjjQ = , alors on a l’expression suivante :

∏=

=− ==

kj

jjkk

n QQQQQQ1

1210 ........

(2.12)

Exemples : Les rotations simples

• Rotation simple d’angle 0/ Xr

θ :

−=θθθθ

cossin0

sincos0

001

0nQ

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6

• Rotation simple d’angle 0/Yr

ϕ :

−=

ϕϕ

ϕϕ

cos0sin

010

sin0cos

0nQ

• Rotation simple d’angle 0/ Zr

ψ :

−=

100

0cossin

0sincos

0 ψψψψ

nQ

3. Expression d’un vecteur dans deux bases différentes :

Soit un vecteur Vr

de composantes ),,( cba relativement à la base nb et de composantes

),,( γβα relativement à 0b :

nnnn zcybxabVrrrr

++=)( et 0000 )( ZYXbVrrrr

γβα ++= (2.13)

Nous avons les relations suivantes : )(.)( 00 n

n bVQbVrr

= et inversement )(.)( 00 bVQbV nn

rr= (2.14)

En d’autres termes, la relation vectorielle (2.14a) s’écrit comme suit :

=

γβα

.

333231

232221

131211

QQQ

QQQ

QQQ

c

b

a

(2.15)

1.4.2 Les angles d’Euler La définition de la base nb , lié complètement à l’effecteur, est obtenue par trois rotations

simples successives à partir de 0R telles que :

Fig. 2.6 Angles d’Euler

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7

• rotation d’angle 0/ Zr

ψ : angle de précession,

• rotation d’angle ur

/θ : angle de nutation, • rotation d’angle nz

r/ϕ : angle de rotation propre

La matrice de passage qui décrit l’orientation de nb par rapport à 0b est obtenue par la

multiplication matricielle suivante : )().().(),,( 3210 ϕθψϕθψ QQQQn = (2.16)

),,(),,(),,(),,(),,( 00000 nnnnn zyxzwuZvuZYXQ

rrrrrrrrrrrr→→→= ϕθψϕθψ

−

−

−=

100

0cossin

0sincos

cossin0

sincos0

001

100

0cossin

0sincos

),,(0 ϕϕϕϕ

θθθθψψ

ψψϕθψnQ

(2.17)

−+−+−−

=θθϕϕθ

θψϕθψϕψϕθψϕψθψϕθψϕψϕθψϕψ

ϕθψcossincossinsin

sincoscoscoscossinsinsincoscoscossin

sinsincoscossinsincossincossincoscos

),,(0nQ

(2.18)

Questions d’inversion : Si les angles d’Euler θψ , et ϕ sont donnés, il est immédiat de calculer les valeurs des composantes de la matrice précédente. Posons :

=

333231

232221

131211

0

QQQ

QQQ

QQQ

Qn

(2.19)

où, les composantes ijQ , représentant les cosinus directeurs de la base nb , sont calculées

facilement en fonction des angles d’Euler par les formules données par l’expression matricielle (2.18). Inversement, si les valeurs de ijQ sont connues est-il simple de calculer les

valeurs des angles d’Euler.

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8

Pour répondre à cette question, nous utilisons la procédure suivante (2.20):

33cos Q=θ 233

2 1cos1sin Q−±=−±= θθ

θψθψ

sincossin.cos 23

23

QQ −=⇒=− (pour 0≠θ )

θψθψ

sinsinsin.sin 13

13

QQ −=⇒=

θϕθϕ

sincossin.cos 32

32

QQ −=⇒=

θϕθϕ

sinsinsin.sin 31

31

QQ −=⇒=

1.4.3 Les angles de Bruyant L’objectif principal de leur utilisation est toujours la représentation de l’orientation de l’élément terminal du robot industriel. Ils sont en nombre de trois et traduisent les trois degrés de liberté en rotation d’un solide indéformable. Ces angles sont notés λ , µ et ν tels que

• Rotation simple d’angle 0/ Xr

λ :

−=λλλλ

cossin0

sincos0

001

1Q

• Rotation simple d’angle λµ Yr

/ :

−=

µµ

µµ

sin0sin

010

cos0cos

2Q

• Rotation simple d’angle nz

r/ν :

−=

100

0cossin

0sincos

3 νννν

Q

D’où la matrice d’orientation est donnée par :

),,(),,(),,(),,(),,( 00000 nnnnn zyxzZYXZYXZYXQ

rrrrrrrrrrrrr→=→→= ν

µλµµ

λλλνµλ

θ⇒

ψ⇒

ϕ⇒

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9

)().().(),,( 3210 νµλνµλ QQQQn =

(2.21)

−

−

−=100

0cossin

0sincos

.

cos0sin

010

sin0cos

.

cossin0

sincos0

001

),,(0 νννν

µµ

µµ

λλλλνµλnQ

(2.22)

+−−−−+

−=

µλνµλνλνµλνλµλνµλνλνµλνλ

µνµνµνµλ

coscossinsincoscossincossincossinsin

cossinsinsinsincoscoscossinsinsincos

sinsincoscoscos

),,(0nQ

(2.23)

Questions d’inversion Comme pour les angles d’Euler, si les valeurs des angles de Bruyant λ , µ et ν sont connues alors le calcul de la matrice d’orientation (2.23) peut être évaluée facilement par les expressions de la matrice (2.23). Cependant, dans le cas inverse si les composantes de cette matrice sont de valeurs connues, pour déterminer les valeurs de ces angles, i.e. les angles de Bruyant, nous devons utiliser la procédure suivante (2.24):

13sin Q=µ 213

2 1sin1cos Q−±=−±= µµ

µψµλ

coscoscos.sin 23

23

QQ −=⇒=−

µλµλ

coscoscoscos 33

33

QQ −=⇒=

µννµ

coscoscos.cos 12

12

QQ −=⇒=

µννµ

cossinsin.cos 31

13

QQ −=⇒=−

1.5 Définition de la position de l’organe terminal Soit C le point central de l’effecteur (TCP) connu par ses coordonnées locales dans

),,,( nnnnn zyxORrrr

et par ses composantes globales dans le référentiel fixe 0R .

ν⇒

λ⇒

µ⇒

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10

Selon la structure du robot, le point C sera défini par ses coordonnées cartésiennes,

),,( ZYX , cylindriques ),,( Zθρ ou sphériques ),,( ϕθρ relativement à 0R .

Coordonnées cartésiennes Coordonnées cylindriques Coordonnées sphériques 1.6 Détermination du M.G.D. Comme nous l’avons déjà dit, deux méthodes seront utilisées pour déterminer l’expression mathématique du modèle géométrique direct, )(qfX = . Pour la clarté, reprenons la figure (2.3) et utilisons la notation suivante :

),,,( iiiii zyxORrrr

: repère lié au corps iC , ijQ : matrice d’orientation de la base ib par rapport à la base jb , nQ0 : matrice d’orientation de la base nb , liée à l’effecteur du manipulateur, par rapport à 0b .

1.6.1 Méthode des matrices de rotation • Modèle géométrique pour l’orientation : L’orientation en question concerne celle de la base nb (liée au corps final : effecteur) par

rapport à 0b pour déterminer son expression suivant le raisonnement qui suit.

Si Vr

est un vecteur exprimé dans nb et on veut évaluer ses coordonnées dans la base 0b

(associée à la base fixe du robot), on a les relations matricielles suivantes :

)(.)( 00 nn bVQbVrr

= (2.25)

0R

C

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11

D’autre part, on peut suivre un autre chemin en passant par les différentes bases intermédiaires de la manière suivante :

)(.)( 11 nnnn bVQbV

rr

−− =

)(.)( 1122 −

−−− = n

nnn bVQbV

rr

…………………….

)(.)( 11

++= i

iii bVQbV

rr

)(.)( 11 iiii bVQbV

rr

−− =

…………………. …………………

)(.)( 2211 bVQbVrr

=

)(.)( 1100 bVQbVrr

=

Ce qui fournit :

)()()(1

10 n

ni

ii

ii bVqQbV

rr

= ∏=

=−

(2.26)

La matrice produit entre crochets est une matrice de composantes fonction des coordonnées articulaires )(tqi représentant les degrés de liberté du bras manipulateur.

Rappelons qu’on a aussi un second passage, qualifié de direct, celui qui permet de définir directement sans passer par les segments du robot. Cette matrice peut être par exemple fonction des angles d’Euler, ou ceux de Bruyant ou fonction des cosinus directeurs. Cette matrice de passage est déjà noté : nQ0 telle que :

)()( 00 nn bVQbV

rr= (2.27)

Par identification des deux chemins (2.26) et (2.27), nous avons l’égalité suivante :

= ∏−=

=

+1

0

10 )(

ni

ii

ii

n qQQ

Espace de Espace du robot la tâche

(2.28)

Cette égalité matricielle permet de déterminer les relations mathématiques du M.G.D en orientation. (Voir les applications)

• M.G.D. en position La position en question est celle du point central de l’effecteur par rapport à 0R . Ce point est

supposé être connu par ses coordonnées dans le repère local nR . Ses composantes sont

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12

organisées dans le vecteur )( nn RCOr

. De la même manière que pour l’orientation, on a deux

chemins pour arriver à la position du point central de l’élément terminal. Le premier est celui qui permet de définir directement la position du point C par rapport au repère 0R en termes

de coordonnées cartésiennes, cylindriques ou sphériques. Le deuxième chemin est celui qui passe à travers les différents solides indéformables constituant le système mécanique articulé et on a :

)()(.....)()()( 00102101000 RCOROOROOROORCO nnn

rrrrr++++= −

Or , on a : )().()( 00 nnn

n RCOqQRCOrr

=

)().()( 111

001 −−−

− = nnnn

nn ROOqQROOrr

……………………………….

)().()( 12110021 ROOqQROO

rr=

)()( 010010 ROOROOrr

=

D’où, le calcul du modèle géométrique direct en position peut être évalué par les égalités suivantes :

)(),...,,(

)(),...,,(.....)()()()(

210

111211

012111001000

nnnn

nnnnn

RCOqqqQ

ROOqqqQROOqQROORCOr

rrrr++++= −−−

−

(2.29)

Exercice d’application : Considérons le robot à trois degrés de liberté rotoides, paramétré par les coordonnées articulaires, 1θ , 2θ et 3θ . Les caractéristiques géométriques du bras manipulateur sont

indiquées sur la figure suivante. La position du TCP du bras est décrite par les coordonnées cartésiennes ),,( zyx relativement au référentiel 0R lié à la base fixe du robot. Tandis que si

le système est utilisé pour orienter un objet donné ce sont les angles d'Euler ψ , θ et ϕ qui seront choisis pour décrire cette orientation. Déterminer le modèle géométrique direct séparément dans les deux cas, 1° on veut positionner un objet dans l’espace, 2° pour orienter un outil dans l’espace.

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13

Fg.2.8 Robot 3R

1.6.2 Méthode des matrices de passage homogènes Cette méthode repose sur la notion de coordonnées homogènes et consiste à prendre en compte simultanément les deux informations concernant la position du TCP et de l’orientation de l’effecteur. Illustration du principe de la méthode : Soit C le point central de l’élément terminal, connu par ses coordonnées relativement au repère ),,,( nnnnn zyxOR

rrr. Ce dernier étant identifié par les composantes de son origine nO

relativement au repère fixe de référence, 0R , et par celles de la base nb toujours par rapport à

0R .

Fig.2.9 Coordonnées homogènes

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14

Considérons la figure (2.9), on a les expressions vectorielles suivantes :

)()()( 00000 RCOROORCO nn

rrr+=

et )(.)( 00 nnn

n RCOQRCOrr

=

(2.30)

Posons :

• Tnn cbaRCO ),,()( =

r : coordonnées du vecteur COn

r dans nR représentent physiquement

les différentes distances (constantes quelque soit la configuration du système mécanique articulé) de l’origine de nR et sont données par le concepteur.

• TCBARCO ),,()( 00 =r

: coordonnées du point C relativement à 0R .

L’expression (2.30) peut s’écrire sous forme matricielle de la manière suivante :

( )

=

1

)()()( 00000

nnn

n RCOROOQRCO

rrr

(2.31)

=

1

10

)(

1

000

c

b

a

ROOQ

C

B

A

nn

r

(2.32)

On pose :

=

10

)( 0000

ROOQT n

nn

r

(2.33)

Le matrice nT0 est appelée matrice de passage homogène de 0R à nR .

Exemples • Matrice de passage homogène d’une transformation de translation pure de vecteur

Tn nmlROO ),,()( 00 = .

=

1000

100

010

001

0 c

b

a

T n

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15

• Rotation pure : 0/ Xr

θ

−=

1000

0cossin0

0sincos0

0001

0 θθθθnT

Propriétés des matrices de passage homogènes :

• Si on pose :

=

10

PQT où, Q et P représentent respectivement les matrices

d’orientation et de translation du repère mobile par rapport au repère de référence alors on a :

** Pour une rotation pure : TP )0,0,0(= et 0≠Q

** Pour une translation pure : TP )0,0,0(≠ et )3x3(IQ = : matrice unité 3x3.

• La matrice de rotation Q est orthogonale et on a :

−=−

101 PQQ

TTT

(2.34)

• Si un repère nR a subit k transformations géométriques ),...1( kj = à partir d’un repère de

référence 0R , la matrice de transformation homogène est obtenue par le produit

matriciel comme suit : n

nn

nn TTTTT 1

12

21

100 ...... −

−−= (2.35)

où jiT est la matrice de passage homogène du repère jR au repère iR .

Exemple : Translation + rotation 2

110

20 .TTT =

),().,( 002

0 θXRotdXTrTrr

=

−

=

1000

0cossin0

0sincos0

0001

1000

0100

0010

001

20 θθ

θθd

T

−=

1000

0cossin0

0sincos0

001

20 θθ

θθd

T

• Toute matrice homogène est décomposable en deux matrices homogènes, une de

translation pure et l’autre de rotation pure telle que :

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16

=

=

10

0.

10101x33x3 QPIPQ

T

(2.36)

Extraction du modèle géométrique direct

Il est commode d’ajouter un repère, noté 1+nR lié au corps terminal (poignet) d’origine le

point central de l’effecteur. Il est simple de voir que ce repère est en translation pure par

rapport au repère nR dont le vecteur est )( nn RCOr

par ce que les deux repères nR et 1+nR sont

tous les deux attachés complètement au même corps solide indéformable, l’effecteur.

Fig.2.10 Ajout d’un repère supplémentaire au point central, 1+nR

On pose :

=

++

10),,,,,(

101

0

PQzyxT

nn ϕθψ

(2.37)

avec P est le vecteur contenant les composantes, cartésiennes, cylindriques ou sphériques que l’on veut déterminer en fonction des variables généralisées du robot. 1

0+nQ est la matrice

d’orientation de l’effecteur du bras manipulateur exprimée en fonction des angles d’Euler, de Bruyant ou les cosinus directeurs. Nous rappelons que ces éléments, à savoir 1

0+nQ et P ,

contiennent les composantes de position et d’orientation qu’il faut évaluer en fonction des coordonnées articulaires. D’autre part, le calcul de la matrice de passage homogène à travers les différents repères intermédiaires s’effectue en faisant le produit matriciel tel que : 1

13

22

110 ..... +

−n

nn

n TTTTT .

Le modèle géométrique direct s’obtient en considérant l’égalité entre les deux chemins (fig.) et on a :

),,,,,(10 ϕθψzyxT n+

),,,(...... 1111)(

1)(

2)(

1)(

0

113

322

211

10

++++− → → → → →+

−nnnn

Tn

qTn

qTqTqT zyxCRRRRRRn

nnn

nrrr

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17

∏=

=

++−

++ ==

=

nj

jj

jj

nnn

nn

nn qTTqTqTqTqT

PQzyxT

0

1113

322

211

10

101

0 )().().....().().(10

),,,,,( ϕθψ

(2.38)

Dans cette égalité, il existe les deux informations recherchées à savoir, la position et l’orientation de l’élément terminal du robot manipulateur. Application : Reprendre l’exemple de la figure (2.8). Méthode de Denavit-Hartenberg (D-H) Cette méthode repose d’une part sur les matrices de passage homogènes et d’autre part sur un paramétrage particulier, appelé convention de Denavit-Hartenberg (D-H). Cette convention concernant la géométrie est employée pour la première fois en 1955 pour le paramétrage des systèmes mécaniques articulés. Son objectif global est, après avoir défini certaines grandeurs propres au système, de rendre le calcul systématique, i.e. automatique. Cette méthode est très utilisée en robotique. Le robot manipulateur est supposé être modélisé, au sens mécanique, par un système mécanique articulé (SMA). On rappelle que ce dernier est constitué par n corps solides indéformables articulés entre eux par des liaisons simples (prismatique ou rotoïde). Considérons alors la chaîne cinématique représentée sur la figure suivante. Les corps solides constituant la chaîne cinématique sont notés ),....,1( niCi = . Attachons à la liaison in° ,

existant entre les corps 1−iC et iC , un repère local ),,,( iiiii zyxORrrr

. On précise bien que ce

dernier est lié au corps 1−iC .

Convention de Denavit-Hartenberg : Cette convention est basée sur la définition des repères attachés aux articulations. Cette définition pour le repère ),,,( iiiii zyxOR

rrr de la liaison iL est comme suit :

• iz

r est une vecteur unitaire de l’axe de la liaison iL ,

• ixr

est le vecteur unitaire de la perpendiculaire commune aux axes 1−izr

et izr

, orienté de

l’axe 1−izr

vers l’axe izr

. (Pour le cas particulier où les axes de 1−iL et iL sont concourants

ou confondus, l’orientation de ixr

est arbitraire)

• iO , origine de iR , est le pied de la perpendiculaire commune aux axes 1−izr

et izr

. (Si 1−izr

et izr

sont confondus, la perpendiculaire est choisie arbitrairement),

• iii xzyrrr ×= .

Cours de Robotique

18

Fig.2.11 Convention de D-H, 1955 La position et l’orientation du corps iC par rapport au corps 1−iC sont définies complètement

par les quatre paramètres suivants, dits paramètres de Denavit-Hartenberg : • ia : longueur de la perpendiculaire commune aux axes des liaisons iL et 1+iL . C’est la

distance ),( 1+ii zzrr

suivant le vecteur 1+ixr

. Cette distance est toujours positive ou nulle.

• iα : angle 11 /),( ++ iii xzzrrr

, dit angle de twist.

Nous notons que ces deux paramètres qui précédent sont intrinsèques au S.M.A. et ont des valeurs figées par le choix des formes géométriques des différents segments qui composent le système. Les deux autres paramètres qui dépendent de la configuration actuelle du S.M.A. sont les suivants : • ir : distance le long de iz

r du support de ix

r au support de 1+ix

r: distance ),( 1+ii xx

rr suivant

izr

. Cette distance constitue la variable de la liaison iL si cette dernière est prismatique.

Sinon cette distance est constante quelque soit la configuration géométrique du système. • iθ : angle ),( 1+ii xx

rr, mesuré autour de l’axe iz

r.

Remarques : • Le choix du repère 1R doit être tel que : 1z

r est porté par la première liaison.

• La méthode itérative, présentée ci dessus, nécessite la définition d’une direction 1+nL telle

que 1+nO soit le point central de l’élément terminal,

• La ième coordonnée généralisée iq s’identifie à :

• * iθ si la liaison iL est rotoïde

• * ir si la liaison iL est prismatique.

On pose alors : iiiii rq .. σθσ += avec iσ est une variable binaire : 1=+ ii σσ . (2.39)

Cours de Robotique

19

Matrice de passage homogène correspondante à la convention de D-H Pour faire coïncider le repère iR avec le repère 1+iR , on doit effectuer les transformations

suivantes (figure 2.11): • Translation de ir suivant iz

r : ),( ii rzTrans

r

• Rotation de iθ autour de izr

: ),( iizRot θr

• Translation de ia suivant 1+ixr

: ),( 1 ii axTrans +r

• Rotation de ia autour de 1+ixr

: ),( 1 iixRot α+r

D’où, la matrice de passage homogène associée :

=+1iiT ),( ii rzTrans

r. ),( iizRot θr

. ),( 1 ii axTrans +r

. ),( 1 iixRot α+r

(2.40)

−

−

=+

1000

0cossin0

0sincos0

0001

1000

0100

0010

001

1000

0100

00cossin

00sincos

1000

100

0010

0001

1

ii

ii

i

ii

ii

i

ii

a

rT

ααααθθ

θθ

(2.41)

Tout calcul fait, on a :

−−

=+

1000

cossin0

sinsincoscoscossin

cossinsincossincos

1

iii

iiiiiii

iiiiiii

ii r

a

a

Tαα

θαθαθθθαθαθθ

(2.42)