O4 : Diffraction à l’infini

1 Phénomène de diffraction

1.1 Mise en évidence

Si l’on cherche à "isoler" un rayon lumineux, modèle de l’optique géométrique, grâce à

une fente très fine de largeur a, on n’observe

– un élargissement de la tâche formée sur l’écran par diminution de a– une non uniformité de l’éclairement

Limitation de l’optique géométrique

Le phénomène de diffraction apparaît lorsque les distancescaractéristiques des obstacles à la propagation de la lumière

ne sont pas très supérieures à la longueur d’onde �.

1.2 Interprétation du phénomène

Interprétation quantique

Ondes secondaires

Huyghens, en travaillant par analogie avec l’observation des ondes à la surface d’un liquide, a expliqué la propagation d’une

onde par le fait que tout point atteint par une onde se comportait comme une source secondaire réemettant de "ondelettes"

dans toutes les directions.

Fresnel s’est ensuite basé sur ce modèle afin d’expliquer les phénomènes de diffraction.

La théorie des Ondes Electro-magnétiques validera ensuite cette hypothèse.

Principe de Huyghens-Fresnel

Soit une source S ponctuelle de lumière monochromatique et une surface d’onde �entourantS

– Toute surface élémentaire dSp entourant le point P de cette surface d’onde se com-

portera comme une source secondaire ponctuelle émettant de manière sphérique.– L’onde secondaire émise en P a la même phase que l’onde incidente atteignant P– L’amplitude de l’onde secondaire est proportionnelle à dSp ainsi qu’à l’amplitude de

l’onde incidente en P .

– Les sources secondaires sont cohérentes entre elles.

Le dernier point implique donc que les ondes issues des différentes sources secondaires vont interférer en un point M de

l’espace.

1.3 Vibration d’une source secondaire

On considère une vibration incidente en P . On note :

– si(P ) la vibration qu’aurait l’onde en P en absence d’objet diffractant

– s�i (P ) la vibration qu’aurait l’onde en P , en présence de l’objet diffractant, mais sans considérer le phénomène de diffraction.

1.3.1 Transparence de l’objet diffractant

L’objet diffractant peut avoir deux conséquences sur la vibration incidente :

– Un modification de l’amplitude j s�i (P ) j= t(P ) j si(P ) j avec 0 < t(P ) < 1. Les cas extrêmes sont 0 si l’objet est opaque

et 1 s’il s’agit d’un trou.

– Un retard de phase '�(P ) = '(P ) + (P )

Fonction transparence

On caractérise l’objet diffractant en P par une fonction transparencet(P ) = t(P ):ej: (P )Exemple : On considère une lame de verre d’epaisseur e(P ) en P et d’indice n constituant l’objet diffractant. Si l’on

considère la lumière incidente en incidence quasi-normale, cette lame entraine une différence de marche Æ(P ) = (n�nair):e(P ),mais aucune diminution de l’amplitude de la vibration. On obtient donc dans ce cast(P ) = ej:( 2:��0 :(n�nair):e(P ))1.3.2 Onde secondaire

Vibration en MUn élément de surface dSp entourant un point P de l’objet diffractant émet une onde

dont la vibration en un point M situé à grande distance de P s’écritdsp(M; t) = K:si(P ):e�j:'P!M2 Diffraction de Fraunhofer

Conditions d’étude de FraunhoferDans cette condition d’étude de la diffraction

– La source S éclairant l’objet diffractant est considérée à l’infini– Le point d’observation M est considéré à l’infini de l’objet diffractant

On parlera également de diffraction à l’infini.

Aspect expérimental On pourra se placer dans ces conditions avec le montage suivant

L0 LbS

M�fE

T O

2.1 Cas d’une fente très longue

2.1.1 Simplification du problème

On considère une fente de largeur a selon OX et de longueur très grande devant �0 selon la direction OY . La présence de

lumière diffractée se limitera donc à l’axe Ox sur l’écran, à l’ordonnée y = 0.En effet, en l’absence de fente, l’image de la source S se situe au centre de l’écran. La présence de la fente fait apparaitre un

étalement de la lumière selon l’axe où on limite les dimensions de passage de l’onde.

2.1.2 Vibration diffractée par une source secondaire

P (X)OFente

M(x)�H 0 xX

�a2

a2On considère donc une source dSp en un point P (xP ; 0) de la

fente.

– En O et P , les sources secondaires émettent dans toutes les

directions, mais les rayons interférant en M sont colinéaires

– On choisit comme référence pour les phases la vibration inci-

dente arrivant en O. L’onde secondaire arrivant en M s’écritds0(M) = K:S0:dxP :ej:(!:t+�0)– La vibration issue d’une source secondaire P aura donc une

différence de marche par rapport à l’onde de référence enM : Æ = (PH 0), étant donné que O et H 0 appartiennent à

une même surface d’onde.Æ = (PH 0) = �X:sin� � �X: xf 0– On peut donc écrire la vibration issue de la source élémen-

taire, arrivant en P :dsP (M) = ds0(M)ej:( 2:�:Æ�0 )Les sources secondaires étant supposées toutes cohérentes, on en déduit la vibration en M en sommant l’ensemble ( une

infinité) des vibrations issues des sources secondaires :s(M) = K:S0:ej:(!:t+�0): Z a2�a2 :ej:��2:�:xP :xf 0:�0 �:dxPs(M) = K:S0:ej:(!:t+�0):264 f 0:�0�2:j:�:x:ej:��2:�:xP :xf 0:�0 �:375 a2�a2s(M) = K:S0:a:ej:(!:t+�0): f 0:�0�a:�:x:ej:���:a:xf 0:�0 � � ej:��:a:xf 0:�0 �2:j = K:S0:a:ej:(!:t+�0):sin a:�:xf 0:�02.1.3 Eclairement en MI(M) = 12 :s(M):s�(M)I(M) = 12K2:S20 :a2:�sin a:�:xf 0:�0 �2

x

I(x)

λ0.f′

a

−λ0.f′

a

2.λ0.f′

a

−2.λ0.f′

a

2.λ0.f′

a

Figure de diffraction par une fente

La tâche centrale a une largeur2:�0:f 0a , centrée au niveau de l’image géométrique de

la source ( image prévue par l’optique géométrique).Les tâches secondaires, beaucoup moins lumineuses, ont des largeurs deux fois plus

petites.

2.1.4 Étalement du faisceau par diffraction

La tâche centrale correspond à 90% de l’intensité lumineuse totale. On peut donc considérer que le faisceau sur l’écran a une

largeur égale à 2:xmax = 2:�0:f 0a .

Or un rayon arrivant en un point d’abscisse x sur l’écran fait un angle � avec l’axe optique en sortie de la fente tel que� � tan� = xf 0Étalement angulaire

Un faisceau de lumière parallèle subit une ouverture angulaire � = ��0aLorsque a >> �0, on pourra donc négliger le phénomène de diffraction.

2.1.5 Cas d’une source hors de l’axeP�!u i O �!u

Fente

H H 0

x

I(x)

xs +λ0.f

′

axs −

λ0.f′

a

2.λ0.f′

a

Image géométrique de la source On note S0 l’image de S(xs) par le système

optique, obtenue dans l’hypothèse de l’optique géométrique. De même que l’on

obtenu x = sin�:f 0, On peut facilement obtenirxs = sin�:f 0( On travaille ici sur des angles orientés)

Retard de l’onde issue de P Par analogie à l’atude précédente, on obtientÆ = (HP ) + (PH 0) = xP :sin�� xP :sin� � xP :xs � xf 0Eclairement On obtient doncI(M) = 12K2:S20 :a2:�sin a:�:(x� xs)f 0:�0 �2

Source hors de l’axeLorsque la source est hors de l’axe, la figure de diffraction est identique à celle

obtenue pour une source sur l’axe, centrée sur l’image géométrique de S par lesystème des deux lentilles.

2.2 Cas d’une pupille rectangulaire

Le principe d’étude va être le même que précédemment, mais la diffraction aura cette fois lieu selon les axes Ox et Oy.

P�!u i O �!u

Fente

H H 0

Différence de marche

– On prend toujours comme référence le rayon passant par l’origine O. Le rayon issu

de la source secondaire située en P aura alors une différence de marche, en M :Æ = (HP ) + (PH 0) = �!u i:��!OP ��!u :��!OPDans le cas particulier du schéma, on doit ajouter deux retards, or �!u :��!OP < 0,ce qui explique le signe -.

– On a �!u = ��!02MO2M avec O2 le centre de la seconde lentille et M le point sur l’écran où

interfèrent les rayons étudiés. Les angles étant faibles, on peut assimiler O2M à f 0,par conséquent �!u = x:�!ux + y:�!uyf 0

– En désignant par S0(xs; ys) l’image de la source sur l’écran, et par analogie avec

l’étude précédente, on obtient �!ui = xs:�!ux + ys:�!uyf 0– De plus

��!OP = xP :�!ux + yP :�!uy. On en déduit donc l’expression de la différence de

marche Æ = xP :(xs � x) + yP :(ys � y)f 0Vibration en M On considère l’ensemble des sources élémentaires dS = dxP :dyP , interférant enM . La vibration résultante

est alors s(M) = K:S0:ej:(!:t+�0): Z xP= a2xP=�a2 ej:�2:�:xP :(xs � x)f 0:�0 �:dxP Z yP= b2yP=�b2 ej:�2:�:yP :(ys � y)f 0:�0 �:dyPOn reconnait les formes intégrales rencontrées lors de l’étude de la fente longue. On en déduit donc rapidement ques(M) = K:S0:a:b:ej:(!:t+�0):sin a:�:xf 0:�0 :sin b:�:yf 0:�0Éclairement en M L’intensité lumineuse en un point M(x; y) de l’écran s’écrit alorsI(M) = 12K2:S20 :a2:b2�sin a:�:xf 0:�0 �2 :�sin b:�:yf 0:�0�2Exemple : si b = 2:a

3 Résolution en optique géométrique

3.1 Diffraction par une pupille circulaire

L’étude théorique de ce cas est hors programme, on donne donc directement l’allure de la figure.

Tâche d’Airy

La figure de diffraction d’une pupille circulaire dediamètre D est constituée d’un disque très lumineux

de rayon égal à 1; 22:�0:f 0D entourée d’anneaux moins

lumineux. Ce disque est nommé tâche d’Airy

Alors que l’optique géométrique prévoit une image ponctuelle de la source par le système des

lentilles, un diaphragme fera apparaître une tâche d’Airy. L’image de deux sources ponctuelles sont

donc susceptibles de former des tâches se "mélangeant". Il y a donc une limitation au pouvoir de

résolution d’un appareil optique.

3.2 Limite de résolution d’un appareil optique

L’observation de deux sources ponctuelles à l’infini, vues sous un angle �, se fait grâce à une lentille de distance focale f 0placée derrière un diaphragme de diamètre D. L

�Diaphragme

Centré sur chacune des images géométriques, on observera donc des figures de diffraction du diaphragme. Vu la symétrie du

problème, on peut représenter l’intensité à une cote z sur l’écran

| |�:f 0 xI(x)

| |�:f 0 xI(x)

On observe en trait plein l’intensité résul-

tante sur l’écran. Dans le premier cas, on ne pourra pas dissocier les deux images.

Critère de Rayleigh

Il y aura séparation de deux tâchesdes pics de diffraction est au moins� > 1; 22:�0D

Application Un télescope est constitué d’un miroir principal de rayon R = 6m, éclairé avec une longueur d’onde moyenne� = 500 nm. Son pouvoir séparateur sera alors défini par l’angle minimum sous lequel pourront être dissociées les images de

deux étoiles � > 1; 22:500:10�96 = 1:10�7 rad = 0; 02 seconde d’arc

Il est à noter que la résolution sera limitée par d’autres facteurs, tels que les perturbations atmosphériques.