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Méthode de calcul du ferraillage des plaques et coques -

méthode analytique

La méthode de calcul du ferraillage des plaques et coques est basée sur la conception

présentée dans l'article de A.Capra et J-F. Maury, intitulé "Calcul automatique du ferraillage

optimal des plaques et coques en béton armé", dans les Annales de l'Institut Technique du

Bâtiment et des Travaux Publics, No.367, Décembre 1978.

Procédure de calcul

Si l'on connaît les valeurs des ferraillages Ax, Ay correspondant aux deux directions

perpendiculaires x et y, on peut prendre un ferraillage équivalent dans une direction

quelconque n suivant la formule :

où α est un angle entre la direction X et la direction N.

Comme les valeurs des forces sectionnelles (moments et efforts de membrane) M n , N n

peuvent être obtenues suivant les formules :

.

Par conséquent, l'inégalité présentée ci-dessous formule la condition du ferraillage corrigé.

Ferraillage qui doit supporter les forces internes dans une section arbitraire,

,

où :

Φ (Mn, Nn) se rapporte à la valeur du ferraillage nécessaire pour transférer les efforts calculés

dans la direction n - Mn, Nn.

Inéquation

Détermine sur le plan (Ax, Ay) la zone des valeurs admissibles du ferraillage Ax, Ay (demi-

plan). Après le calcul de cette zone pour une sélection de directions suffisamment dense „h"

on obtient le domaine des valeurs admissibles Ax, Ay (le logiciel effectue le contrôle tous les

10°).

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Le ferraillage pris par le logiciel est le ferraillage minimal, c'est-à-dire que la somme des aires

Ax+Ay est minimale.

Dans le cas où le type de structure ou la sélection des options de calcul peuvent entraîner la

réduction du jeu des efforts internes, la définition du ferraillage se fait à partir :

des moments Mn – la structure de type plaque ou l'option flexion simple dans la

structure de type coque

des efforts des membranes Nn – la structure en contrainte plane ou l'option

compression/traction dans la structure de type coque

du jeu de forces complet Mn, Nn – l'option flexion + compression traction dans la

structure de type coque.

L'attention est attirée sur le fait que dans le cas où l'on calcule le ferraillage dans une

direction, la méthode analytique se limite à calculer le ferraillage uniquement sur la direction

du ferraillage principale sans division en ‘n' directions. Cela signifie que le plaque est

dimensionnée uniquement pour le jeu de forces Mxx et Nxx.

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Méthode de calcul du ferraillage des plaques et coques - Wood

& Armer

La conception du calcul des moments équivalents a été formulée par Wood et Armer

(supplément à la norme européenne [ENV 1992-1-1 EC2 Design of Concrete Structures –

Annexe 2, point A.2.8 Reinforcement in Slabs]). La conception des moments dimensionnants

est conforme à la méthode proposée par Wood et Armer. Pour une explication détaillée de la

méthode, consultez par exemple R.H.Wood – "The reinforcement of slabs in accordance with

a pre-determined field of moments", Concrete, février 1968, août 1968 (correspondance).

Méthode de calcul

Dans le cas de la définition du ferraillage pour la structure de type plaque ou la sélection de

l’option de dimensionnement du panneau en flexion simple dans la structure de type coque, le

logiciel calcule les moments dimensionnants conformément à la méthode proposée par Wood

et Armer (les formules sont données ci-après).

Pour les directions X et Y, deux types de moments dimensionnants M* sont calculés : les

moments inférieurs (positifs, à l'origine de tension dans les parties inférieures) et les moments

supérieurs (négatifs, à l'origine de tension dans les parties supérieures). La méthode générale

est la suivante :

Détermination des moments inférieurs M xd *, M yd *.

M xd * = M x + |M xy |

M yd * = M y + |M xy |

Cependant, si M x < -|M xy | (c'est-à-dire, la valeur calculée M xd * < 0)

M xd * = 0

M yd * = M y + |M xy *M xy /M x |.

De même, lorsque M y < -|M xy | (c'est-à-dire la valeur calculée M yd * < 0) → (*)

M xd * = M x + |M xy *M xy /M y | → (*)

M yd * = 0 → (*)

Si parmi les moments M xd *, M yd * obtenus, un moment quelconque est négatif, il faut

prendre la valeur nulle (les moments dimensionnants pour la traction des fibres supérieures

sont calculés plus loin).

Détermination des moments supérieurs M xg *, M yg *.

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M xg * = M x - |M xy |

M yg * = M y - |M xy |

Si M x > |M xy | (c'est-à-dire la valeur calculée M xg * > 0) → (*)

M xg * = 0 → (*)

M yg * = M y - |M xy *M xy /M x | → (*)

De même, lorsque M y > |M xy | (c'est-à-dire la valeur calculée M yg * > 0)

M xg * = M x - |M xy *M xy /M y |

M yg * = 0.

Si parmi les moments M xg *, M yg * obtenus, un moment quelconque est positif, il faut

prendre la valeur nulle (ces moments dimensionneraient les armatures inférieures, ce qui est

déjà assuré par les moments « inférieurs » M xd *, M yd * calculés préalablement).

De même, pour les structures en contrainte plane ou si l’option de dimensionnement du

panneau en compression/traction est cochée, dans la structure de type coque le logiciel calcule

les efforts dimensionnants suivant les formules ci-dessous.

Pour les directions X et Y, deux types de forces N* sont calculées : la force "de traction"

(positive, à l'origine de la tension dans une coupe) et de compression (négative, à l'origine de

compression de coupe). La méthode générale est la suivante :

Calcul des forces "de traction" N xr *, N yr *.

N xr * = N x + |N xy |

N yr * = N y + |N xy |

Cependant, si N x < -|N xy | (c'est-à-dire, le calcul de N xd * < 0)

N xr * = 0

N yr * = N y + |N xy *N xy /N x |.

De même, si N y < -|N xy | (c'est-à-dire, le calcul de N yr * < 0) → (*)

N xr * = N x + |N xy *N xy /N y | → (*)

N yr * = 0 → (*)

Si parmi les forces N xd *, N yd * obtenues, une force quelconque est négative, il faut prendre la

valeur nulle (les forces dimensionnants la section par compression des armatures sont calculés

plus loin).

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Calcul des forces "de pression"' N xs *, N ys *.

N xs * = N x - |N xy |

N ys * = N y - |N xy |

Cependant, si N x > |N xy | (c'est-à-dire, le calcul de N xs * > 0) → (*)

N xs * = 0 → (*)

N ys * = N y - |N xy *N xy /N x | → (*)

De même, si N y > |N xy | (c'est-à-dire, le calcul de N ys * > 0)

N xs * = N x - |N xy *N xy /N y |

N ys * = 0.

Si parmi les forces N xs *, N ys * obtenus, une force quelconque est positive, il faut prendre la

valeur nulle (ces forces dimensionnaient la section par la traction des armatures, ce qui est

déjà assuré par les forces « de traction » N xr *, N yr *calculés préalablement).

Pour les contraintes complexes (coques où l'option de dimensionnement de panneau est

activée pour la courbure et la compression/tension), avec des moments de courbure (M xx , M

xy , M yy ) et des efforts de membrane (N xx N xy , N yy ) exercées simultanément, aucun

algorithme simplifié n'existe. Mais il arrive souvent que les coques modélisées travaillent en

tant que plaques (les efforts de membranes ne pas importants), c’est pourquoi, on a laissé la

possibilité d’effectuer les calculs des moments M xd *, M yd * suivant la méthode décrite. Le

logiciel applique les forces longitudinales N sur les moments dimensionnants : xx , N yy

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Méthode de calcul du ferraillage des plaques et coques -

méthode NEN

La méthode de dimensionnement suivant les moments équivalents donnés est la méthode

réglementaire de la norme hollandaise NEN 6720 (p. 7.3.2).

Méthode de calcul

L'algorithme suivant est une version simplifiée de l'algorithme de Wood & Armer.

Lors du calcul de l'armature d'une structure de plaque ou si l'option de dimensionnement du

panneau en simple courbure et en coque est sélectionné, les moments sont calculés selon la

norme NEN (voir formules ci-dessous).

Détermination des moments inférieurs M xd *, M yd *.

M xd * = M x + |M xy |

M yd * = M y + |M xy |

Détermination des moments supérieurs M xg *, M yg *.

M xg * = M x - |M xy |

M yg * = M y - |M xy |

De même, pour les structures en contrainte plane ou si l’option de dimensionnement du

panneau en compression/traction est cochée, dans la structure de type coque le logiciel calcule

les efforts dimensionnants suivant les formules ci-dessous.

Calcul des forces de traction N xr *, N yr *.

N xr * = N x + |N xy |

N yr * = N y + |N xy |

Calcul des forces de pression N xs *, N ys *.

N xs * = N x - |N xy |

N ys * = N y - |N xy |

Pour les contraintes complexes (coques où l'option de dimensionnement de panneau est

activée pour la courbure et la compression/tension), avec des moments de courbure (M xx , M

xy , M yy ) et des efforts de membrane (N xx N xy , N yy ) exercées simultanément, aucun

algorithme simplifié n'existe. Mais il arrive souvent que les coques modélisées travaillent en

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tant que plaques (les efforts de membranes ne pas importants), c’est pourquoi, on a laissé la

possibilité d’effectuer les calculs des moments M xd *, M yd * suivant la méthode décrite. Le

logiciel applique les forces longitudinales N sur les moments dimensionnants : N xx , N yy.

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Remarques concernant les méthodes de définition de

l’armature des plaques et coques.

Etat de contrainte complexe

Les méthodes simplifiées utilisées dans le logiciel Robot permettent d’accélérer les calculs

dans le cas de l’état de flexion simple (plaques fléchies) ou de membrane (contrainte plane

compression/traction). Pour les états complexes (coques) dans lesquels des contraintes de

membrane supplémentaires (N x N xy , N y ) sont exercées, aucun algorithme simplifié n’a pas

été développé. L’implémentation de l’approche analytique est la seule action autorisée.

Comme les plaques modélisées travaillent souvent comme des plaques (avec de légères

contraintes de membrane en exercice), il est possible de calculer les moments suivant la

méthode simplifiée sélectionnée existante, ces moments étant superposés aux contraintes

longitudinales N x , N y .

Il faut souligner que cette procédure est justifiée seulement pour les efforts de membrane peu

importants, seul l’utilisateur est responsable des effets de son utilisation.

Comparaison des méthodes

Dans les tests effectués, en ce qui concerne les résultats pour le ferraillage, les différences

entre la méthode analytique et les méthodes simplifiées sont inférieures à 5 % de la section

d’acier (les méthodes simplifiées donnent le ferraillage maximal un peu plus important).

Dans le logiciel Robot, la méthode analytique est une méthode de calcul de ferraillage la plus

compliquée du point de vue des calculs. La durée des calculs suivant la méthode analytique

(excepté les calculs des plaques ferraillées dans une direction) en comparaison aux méthodes

Wood&Armer ou NEN peut augmenter de façon importante (en fonction de la structure, la

durée peut augmenter de 100 % jusqu’à 500 %).

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Flèches des plaques et coques - calculs

L'algorithme de calcul des flèches des dalles BA consiste à utiliser les calculs de la dalle

isotrope élastique faite en matériau élastique, pour lesquels on prend ensuite en compte les

changements de la rigidité du matériau due à la fissuration. Les déplacements primaires sont

calculés par le biais de la Méthode des éléments finis (MEF). Ensuite, ils sont modifiés.

Les calculs sont effectués séparément pour chaque panneau. Ce principe est correct si le

panneau peut être identifié avec un élément de structure (panneau, segment du plancher).

Dans le cas contraire, les valeurs de la rigidité mises en moyenne dans le cadre du panneau

peuvent être perturbées. Cette situation peut entraîner l’influence d'éléments très éloignés sur

les déplacements de l’EF analysé. L’influence de ce type de perturbations sur les valeurs

extrêmes n’est pas très importante, pourtant les cartographies des déformations (flèches)

doivent être considérées avec prudence.

Il est recommandé que chaque segment du plancher dans lequel les extrêmes locaux des

flèches peuvent se produire soit modélisé en tant qu’un panneau séparé. Le panneau doit être

défini dans les limites des appuis qui l’entourent (de même que les travées sont limitées par

les appuis en cas de poutres), mais pour le panneau, ces appuis ne doivent pas être continus

sur tout le contour du panneau.

La division en panneaux n’influence pas les résultats de la vérification par la méthode Avec

mise à jour de la rigidité (MEF), si l’on admet que les charges, la géométrie et les armatures

calculées sont identiques.

Les calculs sont effectués pour la combinaison sélectionnée (séparément pour les

déplacements inférieur et supérieur) ou pour le groupe de combinaisons, si cela est exigé par

la norme (combinaisons fréquentes, rares ou quasi-permanentes). La combinaison

sélectionnée pour les calculs est celle pour laquelle les déplacements élastiques maximaux

(séparément positifs et négatifs) ont lieu. Si le panneau ne peut pas être traité comme élément

de structure (il contient d’autres éléments), les cartographies des déformations (flèches)

doivent être considérées avec prudence. Toutefois, cela n’influence pas beaucoup les valeurs

extrêmes des flèches pour un panneau donné.

Les flèches peuvent être identifiées avec les déplacements uniquement pour les appuis non

déformés. Dans le module coques (3D), lors des calculs des flèches de la dalle BA, le

déplacement de l'appui le moins déplacé est soustrait des déplacements de chaque élément.

Cela signifie que les flèches sont mesurées par rapport au plan parallèle à la surface non

déformée de la dalle passant par un point d'appui de la dalle déformée.

L’attention est attirée sur les déplacements des autres appuis dans les coins de la dalle.

L'algorithme de calcul utilisé dans Robot est basé sur le principe que les flèches totales

(réelles) d’une dalle BA sont égales au produit de ses flèches élastiques et du coefficient de

rigidité D / B.

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où :

- les déplacements réels du enième point de calcul de la dalle prenant en compte la

fissuration et les armatures calculées

- les déplacements élastiques du enième point de calcul de la dalle

D - la rigidité de la dalle pour rigidité du matériau admise (comme dans les calculs MEF)

B - la rigidité équivalente d’une dalle BA, calculée avec la prise en compte de la fissuration

de l’élément, des effets rhéologiques, de l’adhérence des armatures calculées, etc. mise en

moyenne pour les deux directions.

En pratique, une telle approche est limitée à une mise à l’échelle linéaire des déplacements

élastiques spécifiques par le coefficient global de chute de la rigidité.

L’algorithme des calculs pour la méthode de rigidité équivalente (élastique) est le suivant :

Après l’analyse de la structure à l’aide de la MEF et les calculs de la quantité de ferraillage

théorique pour l’ELU, l’ELS (en ce qui concerne les calculs de la fissuration, des limites des

contraintes, ou les problèmes qui peuvent être envisagés localement) et l’ACC, le logiciel

calcule les rigidités pour chaque élément fini (EF). Les calculs de la rigidité sont effectués

pour les deux directions des armatures. L’étendue et la méthode de calcul de ces rigidités

dépendent des exigences détaillées d’une norme donnée. A la suite des calculs, deux valeurs

de la rigidité sont obtenues (dans la plupart des cas différentes) pour chaque élément fini.

Pour les calculs ultérieurs, la moyenne pondérée des rigidités composantes est utilisée. Le

poids de la mise en moyenne est le rapport des moments agissant sur un élément donné dans

les deux directions.

où :

Bx, By - les rigidités réelles calculées pour deux directions du ferraillage

cf - le coefficient de poids calculé d’après la formule :

1. si | Mxx | / | Myy | > 4, alors cf = 1

2. si 0,25 ≤ | Mxx | / | Myy | ≤ 4, alors

3. si | Mxx | / | Myy | < 0.25, alors cf = 0.

Grâce à ces formules, dans le cas d’une disproportion importante des moments (la proportion

du moment plus important par rapport au moment plus faible est supérieure ou égale à 4.0 -

par exemple les dalles fléchies dans un plan), c’est la rigidité de la direction où agit le

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moment plus important qui est prise en compte. Par contre, si les valeurs des moments sont

similaires, la rigidité de la direction donnée est affectée proportionnellement au rapport des

moments.

L’étape suivante des calculs consiste à calculer la relation de la rigidité élastique par rapport à

la moyenne pondérée des rigidités réelles, calculée de la manière présentée ci-dessus. Ce

calcul est effectué pour chaque élément fini :

Le coefficient de dalle (1 - n*n) est pris en compte dans les calculs de la rigidité B et D.

Les valeurs des rigidités réelles obtenues dans les calculs peuvent être suivies par l’activation

des cartographies de Coefficient de rigidité.

Si les propriétés des matériaux utilisés au cours de la conception sont identiques à ceux

utilisés dans un modèle, la valeur du coefficient D /B > 1,0. Ce dernier peut être interprété

(principalement pour les dalles soumises à une flexion unidirectionnelle) en tant que

multiplicateur de flexion. Si plusieurs matériaux sont utilisés dans un modèle et des calculs

(par exemple, avec différentes classes comme des bétons dont les modules de Young ou les

coefficients de Poisson diffèrent), la valeur du coefficient est corrigée automatiquement. Il est

alors possible que l’inéquation mentionnée ci-dessus soit perturbée.

L’étape suivante consiste à calculer la moyenne à partir des rapports de rigidités calculés

précédemment. Le rapport global final de rigidités, utilisé pour calculer les déplacements réels

de la dalle (c’est-à-dire la mise à l’échelle linéaire des déplacements élastiques), est le nombre

obtenu à partir de la prise de la moyenne des rapports de rigidités (à poids égal à 0,25) et du

rapport des rigidités enregistré pour l’élément sur lequel l’extrême du moment de flexion

agissant dans une direction quelconque est présent (à poids égal à 0,75).

L'algorithme de la méthode de rigidité équivalente (élastique) présume le moyennage de la

rigidité pour tous les éléments finis ; la forme de la ligne de flexion est, par conséquent,

identique à la ligne de flexion multipliée par le coefficient de rigidité.

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L’algorithme de la méthode avec mise à jour de la rigidité (non élastique) est identique à

l’algorithme de la méthode de rigidité équivalente (élastique) jusqu’au moment où la rigidité

calculée (différente pour la direction X et pour la direction Y).est affectée indépendamment

pour chaque élément fini. Une dalle anisotrope de rigidité variable est alors obtenue. Pour les

rigidités ainsi admises, le programme calcule la flèche de la dalle.

Dans la méthode avec mise à jour de la rigidité, chaque élément fini possède une rigidité

déterminée séparément, alors les lignes de flexion peuvent différer. Pour chaque élément fini,

on obtient une autre rigidité pour chaque direction.

Si l’option Correction du ferraillage sur l’onglet Paramètres ELS dans la boîte de dialogue

Type de ferraillage de plaques et coques est activée, pendant les calculs le logiciel augmente

la section d’acier pour augmenter la rigidité de l’élément ce qui, par conséquent, permet de

limiter les flèches de la plaque.

Les armatures sont réparties dans les deux directions en proportion inverse à la rigidité. Si la

limitation des flèches au-dessus de la valeur admissible définie par l’utilisateur n’est pas

possible (la correction du ferraillage pour la section d’acier admissible n’est pas possible),

après la fin des calculs de la section d’acier théorique, l’avertissement suivant s’affiche : ‘La

flèche admissible pour le panneau n° a été dépassée’.

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Dans le logiciel, aucune limitation concernant le ferraillage outre celle résultant de la norme

n’est définie, par conséquent, vous devez faire attention aux aspects économiques de la

solution obtenue et au fait que plus la flèche diffère de celle exigée, moins la méthode utilisée

est efficace.