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Comparaison analytique vs numeriqueDynamique des plaques de Kirchhoff-Love
Flambement
Elements finis isogeometriques
Nicolas Thiry
Ecole Polytechnique de Louvain
March 26, 2010
Nicolas Thiry Elements finis isogeometriques
Comparaison analytique vs numeriqueDynamique des plaques de Kirchhoff-Love
FlambementAnalyse de convergence
Plan
1 Comparaison analytique vs numeriqueAnalyse de convergence
2 Dynamique des plaques de Kirchhoff-LoveEquations de la dynamiqueModes et frequences propresVibration libre
3 FlambementGeneralitesPlaques de Von KarmanCoques cylindriques de Von Karman
Nicolas Thiry Elements finis isogeometriques
Comparaison analytique vs numeriqueDynamique des plaques de Kirchhoff-Love
FlambementAnalyse de convergence
Taux de convergence theorique: || eh ||m= Chp−m+1
0 0.51 1.52 2.53 3.54
00.511.522.533.5405e-111e-10
1.5e-102e-10
2.5e-103e-10
3.5e-104e-10
erreur
1e-11
1e-10
1e-09
1e-08
1e-07
1e-06
1e-05
1 10 100
erro
r(L2
nor
m)
1/h
0 0.51 1.52 2.53 3.54
00.511.522.533.54-8e-05-7e-05-6e-05-5e-05-4e-05-3e-05-2e-05-1e-05
0
solution B-Splines
0 0.51 1.52 2.53 3.54
00.511.522.533.54-8e-05-7e-05-6e-05-5e-05-4e-05-3e-05-2e-05-1e-05
0
solution exacte
Figure: Comparaison entre solution analytique et B-Splines d’ordre 3
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Flambement
Equations de la dynamiqueModes et frequences propresVibration libre
Plan
1 Comparaison analytique vs numeriqueAnalyse de convergence
2 Dynamique des plaques de Kirchhoff-LoveEquations de la dynamiqueModes et frequences propresVibration libre
3 FlambementGeneralitesPlaques de Von KarmanCoques cylindriques de Von Karman
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Flambement
Equations de la dynamiqueModes et frequences propresVibration libre
Pour passer du cas statique au cas dynamique, il faut effectuer lechangement p ⇒ p − ρwh et considerer que les variables decontrole dependent desormais du temps:
wh = wh(x , y , t)
=
n∑i=1
Wi (t)φi (x , y)
On arrive alors a un systeme de la forme:
MW (t) + KW (t) = F (t)
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Equations de la dynamiqueModes et frequences propresVibration libre
Plan
1 Comparaison analytique vs numeriqueAnalyse de convergence
2 Dynamique des plaques de Kirchhoff-LoveEquations de la dynamiqueModes et frequences propresVibration libre
3 FlambementGeneralitesPlaques de Von KarmanCoques cylindriques de Von Karman
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Flambement
Equations de la dynamiqueModes et frequences propresVibration libre
En cherchant une solution homogene a l’equation dynamique, onobtient un probleme aux valeurs propres:
(K − ω2i M)Qi = 0
0 0.51 1.52 2.53 3.54
00.511.522.533.540
0.05
0.1
0.15
0.2
mode 1 ω = 401.48 rad/s
0 0.51 1.52 2.53 3.54
00.511.522.533.54-0.2-0.15
-0.1-0.05
00.050.1
0.150.2
mode 2 ω = 1014.6 rad/s
0 0.51 1.52 2.53 3.54
00.511.522.533.54-0.2-0.15
-0.1-0.05
00.05
0.10.15
0.2
mode 3 ω = 1014.6 rad/s
0 0.51 1.52 2.53 3.54
00.511.522.533.54-0.2-0.15
-0.1-0.05
00.050.1
0.150.2
mode 4 ω = 1618.6 rad/s
Figure: Modes et frequences propres d’une plaque de Kirchhoff-Love
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Figure: Vibration libre d’une plaque initialement chargee
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GeneralitesPlaques de Von KarmanCoques cylindriques de Von Karman
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Definition
Lorsqu’on parle de l’etat d’equilibre d’une structure, on recherchegeneralement le champ de deplacement qui annule la differentiellede son energie potentielle V pour tout deplacement δu par rapporta cet etat:
δV = 0 ∀δu
Lorsqu’on parle de flambement, on s’interesse a la stabilite d’un teletat d’equilibre, ce qui revient en pratique a repondre a la question:jusqu’a quelle charge de compression un systeme mecanique est-ilstable?
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Flambement
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Criteres de flambement
Critere de neutralite:
δ2V = 0 ∀δu (1)
Critere de Trefftz:δ(δ2V ) = 0 ∀δu (2)
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Flambement
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Equations
A partir des hypotheses cinematiques de Von Karman, on arrive al’expression suivante:
δ2V = δ2Um1 + δ2Um2 + δ2Ub
δ2Um1 = A
∫ ∫[δu2
x + δv2y + 2νδuxδ +
1 − ν
2(δuy + δvx )2]dxdy
δ2Um2 = −
∫ ∫[Nxδw
2x + Nyδw2
y + 2Nxyδwxδwy ]dxdy
δ2Ub = D
∫ ∫[δw2
xx + δw2yy + 2νδwxxδwyy + 2(1 − ν)δw2
xy ]dxdy
On remarque le decouplage entre les parties dans le plan et horsplan. En appliquant le critere de Trefftz, on obtient un problemeaux valeurs propres:
(K − NxKPx − NyKPy − NxyKPxy )W = 0
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Flambement
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Modes et efforts critiques de flambement
00.511.522.533.54
00.511.522.533.54-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
mode 1 Fx = 5.716e+06 Newtons
00.511.522.533.54
00.511.522.533.54-0.2-0.15
-0.1-0.05
00.05
0.10.15
0.2
mode 2 Fx = 9.1239e+06 Newtons
00.511.522.533.54
00.511.522.533.54-0.15
-0.1-0.05
00.050.1
0.15
mode 3 Fx = 1.7004e+07 Newtons
00.511.522.533.54
00.511.522.533.54-0.2-0.15-0.1
-0.050
0.050.1
0.150.2
mode 4 Fx = 2.3225e+07 Newtons
00.511.522.533.54
00.511.522.533.54-0.15
-0.1-0.05
00.05
0.10.15
mode 5 Fx = 2.8007e+07 Newtons
00.511.522.533.54
00.511.522.533.54-0.15
-0.1-0.05
00.050.1
0.15
mode 6 Fx = 2.9547e+07 Newtons
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Flambement
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δ2V = δ2Um1 + δ2Um2 + δ2Um3 + δ2Um4 + δ2Ub
δ2Um1 = A
∫ ∫[u2
x + v2y + w2/r2 + 2vy w/r
+ 2ν(ux vy + ux w/r) +1 − ν
2(v2
x + u2y )]dxdy
δ2Um2 = A
∫ ∫[[ux + ν(vy + w/r)]w2
x + [(vy + w/r) + νux ]w2y
+ (1 − ν)(vx + uy )wx wydxdy
δ2Um3 = 2A
∫ ∫[[ux + ν(vy + w/r)]wx wx + [(vy + w/r) + νux ]wy wy
+1 − ν
2(vx + uy )(wy wx + wywx)]dxdy
δ2Um4 =A
2
∫ ∫[(3w2
x w2x + 3w2
y w2y + w2
x w2y + w2
x w2y + 4wxwy wx wydxdy
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