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Mathématiques – AN2 - Intégrales

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AN2 - Intégrales – Cours – Rev 2018

AN2 – Intégrales - Cours -


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1 INTÉGRALE : DÉFINITIONS 3

1.1 EXEMPLE D’APPROCHE 3

1.2 DÉFINITIONS 4

1.3 VALEUR MOYENNE D’UNE FONCTION 8

2 PRIMITIVES D’UNE FONCTION CONTINUE 9

2.1 DÉFINITION ET RÉSULTAT IMMÉDIAT 9

2.2 PRIMITIVES DE FONCTIONS USUELLES 9

2.3 LIEN ENTRE PRIMITIVE ET INTÉGRALE 10

2.4 UTILISATION DES SYMÉTRIES OU DE LA PÉRIODICITÉ 11

3 PROCÉDÉS D’INTÉGRATION 12

3.1 LE CHANGEMENT DE VARIABLE 12

3.2 L’INTÉGRATION PAR PARTIES 14

3.3 INTÉGRALES DOUBLES 15

3.4 INTÉGRALES TRIPLES 17

3.5 COMPLÉMENT : INTÉGRALES MULTIPLES ET CHANGEMENT DE VARIABLE 18

4 QUELQUES APPLICATIONS 20

4.1 LONGUEURS, AIRES, VOLUMES 20

4.2 AUTRES MESURES PHYSIQUES 25


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1 Intégrale : définitions

1.1 Exemple d’approche

On considère une lampe halogène à variateur de puis-

sance. Utilisée à puissance P constante, cette lampe

aura consommé, pendant un temps ∆t, une quantité

d’énergie E = P.∆t (P en watts, ∆t en secondes, E en

joules ; ou bien P en kW, ∆t en heures et donc E en

kW.h ; etc.). Le diagramme temporel ci-contre repré-

sente la situation décrite.

On remarque que la quantité d’énergie est alors géo-

métriquement l’aire du rectangle de largeur ∆t et de

hauteur P.

Que se passe-t-il si, cette fois, P devient variable

dans l’intervalle de temps considéré ?

Il n’y a plus de formule physique directe pour calcu-

ler la quantité d’énergie dépensée. Cependant,

cette quantité E vaut Pmoy.∆t… encore faut-il bien

définir la puissance moyenne dans l’intervalle [a ;

b].

La notion d’intégrales de Riemann, dont on parle

plus bas, nous aidera à comprendre que l’énergie

totale dépensée dans l’intervalle est à nouveau une

aire sur le graphique : l’aire comprise entre la

courbe de la fonction P, l’axe des abscisses et les deux droites « verticales » d’équations x = a et x = b.

Quant à la puissance moyenne, Pmoy, c’est celle qu’on aurait dû fixer (constante) si on avait voulu dépen-

ser autant d’énergie dans le même intervalle ; graphiquement : Pmoy permet de construire un rectangle

dont l’aire vaut celle présente sous la courbe.

On le voit, à partir de cet exemple physique extrêmement simple, savoir calculer l’aire « sous une courbe »

est primordial pour nombre d’applications pratiques. C’est un des objectifs du calcul intégral : le calcul inté-

gral permet de mesurer des longueurs, aires et volumes relativement à des courbes définies, des positions

de centres de gravité, mais il trouve également des applications dans de nombreux domaines scientifiques

et techniques par le calcul de grandeurs physiques, ou de géométrie du solide (moment statique, moment

d’inertie, produit d’inertie), etc.


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1.2 Définitions

1.2.1 La définition du Larousse

Intégrale définie d’une fonction f sur l’intervalle [a, b] : nombre obtenu comme limite d’une somme de

termes infinitésimaux et qui représente l’aire (algébrique) comprise entre la courbe représentative de la

fonction f , l’axe des x et les deux verticales d’abscisses a et b.

Ce nombre se note ( ).db

af x x∫ et est égal à ( ) ( )F b F a− où F est une primitive de f.

Fonction intégrale d’une fonction f : fonction g obtenue en considérant une intégrale définie de f comme

dépendant de la borne supérieure de l’intervalle d’intégration.

On la note ( ) ( ).x

ag x f t t= ∫ d

Intégrale d’une équation différentielle : fonction, solution de cette équation différentielle.

1.2.2 Intégrale selon Riemann

a. Les sommes de Darboux

Soit une fonction f définie et bornée sur un intervalle [a, b].

Soit X = {x1= a, x2, …xn-1, xn = b} une subdivision de [a, b]

On définit pour f dans X deux sommes de Darboux :

La somme inférieure s et respectivement la somme supérieure S :

( ) ( )1

, .infi

n

iI

i

s f X h f=

=∑ resp ( ) ( )1

, .supi

n

iIi

S f X h f=

=∑

où hi = xi - xi-1 est l’amplitude du ie sous-intervalle Ii = [xi-1 ; xi].

(mathématicien allemand, 1826-1866)


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Définition :

Considérons l’ensemble Sa,b de toutes les subdivisions possibles de [a, b].

f est dite Riemann-intégrable sur [a, b] ssi les deux nombres suivants sont égaux :

( ) ( ),

sup ,a b

ba

X S

s f s f X∈

= et ( ) ( ),

inf ,a b

ba

X SS f S f X

∈= .

Ce nombre est alors appelé intégrale de Riemann de f sur [a, b] et se note : ( ).b

af x x∫ d

b. La somme de Riemann

Il n’est pas aisé de calculer s et S. Plutôt que d’envisager dans chaque sous-intervalle Ii les valeurs supé-

rieure et inférieure de f, choisissons un réel λi dans chaque intervalle Ii, et écrivons ce que l’on nomme

la somme de Riemann correspondante :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )... ...i i i n nR x a f x x f x x f b x fλ λ λ λ− −= − + − + + − + + −1 1 2 1 2 1 1

Théorème

Si f est Riemann-intégrable sur [a, b], alors les sommes de Riemann tendent vers ( ).b

af x x∫ d lorsque la

finesse de la subdivision tend vers 0.

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1.2.3 Propriétés immédiates

a. Encadrement :

b. Permutation des bornes :

c. Relation de Chasles :

(pour tous réels a, b, c)

d. Somme de deux fonctions :

e. Généralisation : propriété de linéarité : (λ et µ réels quelconques fixés)

f. Comparaison de deux fonctions :

( ) ( )( ) ( ) ( ). . .d d db b b

a a af x g x x f x x g x x+ = +∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ). . .d d db c b

a a cf x x f x x f x x= +∫ ∫ ∫

( ) [ ]( ) ( ) ( ) [ ]( )inf , . sup ,db

ab a f a b f x x b a f a b− ≤ ≤ −∫

[ ] ( ) ( ), . .b b

a af g a b f x x g x x≥ ≥∫ ∫Si sur , alors d d

( ) ( )( ) ( ) ( ). . . . . . .d d db b b

a a af x g x x f x x g x xλ µ λ µ+ = +∫ ∫ ∫

( ) ( ). .d db a

a bf x x f x x= −∫ ∫

2

3


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g. Signe d’une intégrale :

Fonction positive : fonction négative :

Intégrale positive. * Intégrale négative. *

* pour des fonctions intégrées de gauche à droite

h. Intégrale de la différence de deux fonctions :

Considérons une fonction f et une fonction g in-

férieure à f sur [a,b].

L’intégrale ( ) ( )( ).b

af x g x x−∫ d est l’aire de la

zone située entre les deux courbes.

En résumé, l’intégrale d’une fonction f d’une variable sur un intervalle [a, b] est l’aire

algébrique de la surface délimitée par sa courbe, l’axe des abscisses et les deux

droites verticales d’équation x = a et x = b.


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1.3 Valeur moyenne d’une fonction

1.3.1 Cas général

Théorème et définition : Soit f une fonction bornée sur [a, b] par les réels m et M.

Si f est intégrable sur [a, b], alors il existe un nombre µ appartenant au segment [m, M] tel que :

( ) ( ).db

af x x b aµ= −∫

µ est appelé valeur moyenne de la fonction f sur [a, b], et

Remarque : on sait qu’il existe au moins un réel ξ dans [a, b] tel que µ = f (ξ).

On a : [ ] ( ) ( ), . . .b b b

a a ax a b m f x M m x f x x M x∀ ∈ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤∫ ∫ ∫d d d

Soit : ( ) ( ) ( ).b

am b a f x x M b a− ≤ ≤ −∫ d , c’est à dire : ( )1

.b

am f x x M

b a≤ ≤

− ∫ d

1.3.2 Fonctions périodiques

Définitions :

Soit f une fonction périodique de période T. et x0 un réel quelconque fixé.

Valeur moyenne de f : Valeur efficace de f :

( )0

0

1.

x T

moy xf f x dx

T

+= ∫

( )( )0

0

21.

x T

eff xf f x dx

T

+= ∫

La notion de valeur efficace intervient en électricité, et plus généralement lorsqu'il est question de déter-

miner l'énergie d'un système.

Application : calculer la valeur moyenne et la valeur efficace d’un signal sinusoïdal d’amplitude A et de pé-

riode 2π (une fois le calcul intégral vu…).

( )1.d

b

af x x

b aµ =

− ∫

4

5 6


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2 Primitives d’une fonction continue

2.1 Définition et résultat immédiat

Définition :

Soit une fonction f définie et continue sur une intervalle [a, b].

Dire qu’une fonction F est une primitive de f sur [a, b], c’est dire que pour tout x ∈ [a, b],

( ) ( )F x f x′ =

Exemple :

Soit la fonction f définie sur ℝ par f (x) = 6x – 5.

La fonction F0 : x → 3x² - 5x est une primitive de f puisque F0’(x) = f (x).

Mais la fonction F4 : x → 3x² - 5x + 4 est aussi une primitive de f puisque F4’(x) = f (x).

Puis la fonction F-2,5 : x → 3x² - 5x – 2,5 en est aussi une puisque F-2,5’(x) = f (x).

Théorème :

* La fonction f admet une infinité de primitives ;

* F et G sont deux primitives de f ⇔ G = F + k (où k est une constante réelle)

* F est une primitive de f ⇔ toutes les primitives de f sont les toutes les fonctions de type G = F + k

(où k est une constante réelle)

2.2 primitives de fonctions usuelles

f F f F

xα

α réel ≠ −1

xα

α

+

+

1

1 + k

x− 2

1

1 ( )arcsin x k+

x

1

u

u

′

ln(|x|) + k

( )ln u k+

x+ 2

1

1 ( )arctan x k+

ax b+e ax b

e ka

+ +1

x+ 2

1

1 ln x x k+ + +21

xa ( )ln

xa

ka

+ ( )cos x

1 ln tan

xk

π + + 2 4

( )cos ax b+ ( )sin ax b

ka

++ ( )sin x

1 ln tan

xk

+ 2

( )sin ax b+ ( )cos ax b

ka

− ++

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2.3 Lien entre primitive et intégrale

Soit une fonction f définie et continue sur un intervalle [a, b].

Définissons la fonction F sur [a, b] par : ( ) ( ).x

aF x f t t= ∫ d .

On a alors : ( ) ( ) ( ).x h

xF x h F x f t t

++ − = ∫ d (1) (si bien sûr x+h ∈ [a, b])

Or d’après la relation de la moyenne on sait qu’il existe un réel x + λh, λ ∈ [0 ;1], tel que

( )( )

.x h

xf t t

f x hh

λ+

= +∫ d (2).

(1) et (2) donnent : ( ) ( ) ( )F x h F x

f x hh

λ+ −

= +

La limite de ce nombre, lorsque h tend vers zéro, existe et est la même par valeurs inférieures comme par

valeurs supérieures, puisqu’il s’agit de f (x), valeur d’une fonction continue.

Donc le nombre dérivé de F existe et vaut f (x).

Nous obtenons donc le résultat suivant :

( ) ( ) ( ).x h

xF x h F x f t t F f

++ − = ⇔∫ d est une primitive de

ou avec des notations plus convenues :

( ) ( ) ( ) ( ). , .

est une primitive de

d pour tout couple deb

a

F f sur I

f x x F b F a a b I

⇔

= −∫

Remarque 1 : on vérifie alors la propriété b. citée en 1.3.2 : ( ) ( ). .b a

a bf x x f x x= −∫ ∫d d

Remarque 2 : ( ) ( )F b F a− se note aussi ( ) b

aF x .

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2.4 Utilisation des symétries ou de la périodicité

Fonctions paires, impaires :

La fonction est paire : ( ) ( ) ( ) ( ). .a a

af x f x f x x f x x

+

−− = =∫ ∫0d 2 d

La fonction est impaire : ( ) ( ) ( ).d 0a

af x f x f x x

+

−− = − =∫

Fonctions périodiques :

Pour les fonctions périodiques, on pourra faire « glisser » les bornes d’intégration si elles sont

espacées d’une période :

( ) ( ) ( ) ( ). . ,T T

T d da b

a bf x f x f x x f x x a b

+ ++ = = ∀∫ ∫

Si on calcule l’intégrale sur un nombre n entier de périodes on aura :

( ) ( ) ( ) ( ). .a n a

a af x n f x f x x n f x x

+ ++ = = ×∫ ∫

T T

T d d

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3 Procédés d’intégration

Il est rare que la primitive recherchée puisse se trouver directement et rapidement (certains diront « dom-

mage » !). On présente en 3.1 et 3.2 deux moyens pour surmonter cette difficulté, dans certains cas… Dans

les parties 3.3, 3.4 et 3.5, on traite de cas utilisant plus d’une variable.

3.1 Le changement de variable

Considérons une fonction f , Riemann-intégrable de a à b, continue sur ]a, b[, dont on cherche à trouver

l’intégrale définie ( ).db

aI f x x= ∫ .

Il est possible de faire un changement de variable ( )gt x g t→ = de sorte que l’intégrale « en t » soit

calculable plus aisément que celle « en x ».

Pour cela, il faut que g soit définie et continue sur un intervalle [α, β], à valeurs dans [a, b], dérivable sur

]α, β[, et enfin que g’ soit Riemann-intégrable de α à β.

changement de variable : ( )x g t=

* changer les bornes de l’intégrale : ( ) ( )1 1,g a g bα β− −= =

* changer la différentielle dx : ( ).x g t t′=d d

* changer (au besoin) l’expression de la fonction : ( ) ( )( )f x f g t=

( )( ) ( )( )

( )1

1. .

g b

g aI f g t g t t

−

−′= ∫ d

Exemple : ( )( ) ( )

cos ln. ln

e

1d avec

xI x u x

x

π

= =∫ :

* arctan(0) = 0 , arctan(1) = 4

π * ( )( )tan .= + 2d 1 dx t t

Substituons dans l’expression initiale :

( )( )( ) ( ) ( )tan

. . cos .tantan

2

24 4 42 20 0 02

1d d d

11

t dtI t t t t

tt

π π π+= = =

++∫ ∫ ∫

( ) ( )cos sin.

44

00

1 2 2 2d

2 2 4 8

t ttI t

ππ + π += = + =

∫

10

11


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Réciproquement :

Il est possible de changer de variable « en sens inverse » en posant : ( )" "ux u u x→ = ,

toujours dans l’objectif d’obtenir une expression « en u » plus aisée à calculer.

Exemple : .x

x

xI x

x

=

=

=+∫

1

2

0

d1

Sur cette expression vous « flairez » une expression en u

u

′, ce qui peut « inspirer » le changement de

variable suivant : u(x) = 1 + x².

* x = 0 : u(0) = 1 , x = 1 : u(1) = 2 * du = 2x.dx

L’expression de notre intégrale est donc :

( ) ( ) ( )( ). lnln ln ln ,

1 2 22

2 10 1 1

d d 1 d 1 1 22 1 0 34657

1 2 2 2 2 2

x u u

x u u

x x u uI u

x u u

= = =

= = =

= = = = = − = ≈ +∫ ∫ ∫

Remarque : On aurait pu dans cet exemple déterminer directement une primitive de

x → ( )21

xf x

x=

+ : ( ) ( )lnF x x Cste= + +21

12

12


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3.2 L’intégration par parties

On connaît l’expression de la dérivée du produit de deux fonctions : (uv)’ = u’v + uv’ (1).

Il est possible que l’on puisse exprimer la fonction à intégrer sous la forme d’un produit de deux fonctions

bien choisies : f (x) = u(x).v’(x).

La relation (1) nous permet alors d’écrire : f (x) = (u.v)’(x) – u’(x).v(x),

relation que l’on peut intégrer (si les fonctions sont intégrables…) :

nb : pour alléger les écritures, on omet celles de "(x)" et ".dx"

sans bornes : recherche d’une primitive de f

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). . . .d df x x u x v x u x v x x k′= − +∫ ∫

avec bornes : calcul d’une intégrale de f :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ). . . .d db bb

aa af x x u x v x u x v x x′= − ∫ ∫

Cette méthode est utile si la fonction u’v est plus facilement intégrable que la fonction uv’, ou si elle donne-

ra lieu, utilement, à une nouvelle intégration par parties.

Exemple : ( ).arctan .1

0dI x x x= ∫

On peut poser : ( ) ( )arctanu x x= ( )u xx

′⇒ =+ 2

1

1

( )v x x′ = ( ) xv x⇒ =

2

2

Soit alors :

( ) ( ).arctan . .arctan .x x x

I x x x x x xx x

π + −= = − = − + + ∫ ∫ ∫

12 2 2

1 1 1

2 20 0 00

1 1 1 1d d d

2 2 1 8 2 1

.1 1 1

2 20 0 0

1 1 1 1 d1 d d

8 2 1 8 2 2 1

xI x x

x x

π π = − − = − + + + ∫ ∫ ∫

[ ] ( )arctan11

0 0

1 1 1 2

8 2 2 8 2 8 4I x x

π π π π −= − + = − + =

13

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3.3 Intégrales doubles

Nous traitons ici d’intégrales sur deux variables.

3.3.1 Intégrale double sur un domaine rectangulaire

Dans le cas des intégrales simples, nous travaillons sur un intervalle d’intégration [a, b] (on dit qu’on intègre

la fonction sur un segment).

Pour les intégrales doubles nous travaillerons sur une aire d’intégration, ici un rectangle, produit de deux

intervalles : [a, b]×[c, d].

Ainsi on crée un quadrillage du rectangle grâce à

une subdivision de [a, b] : , , , ..., , , ..., ,i i n nx a x x x x x x b− −= =0 1 2 1 1

et une subdivision de [c, d] : , , , ..., , , ..., ,j j p py c y y y y y y d− −= =0 1 2 1 1

Ceci permet de formuler sur le rectangle d’intégration la somme de Riemann suivante où f est une fonction

des deux variables x et y :

( ) ( ) ( ). . ,j pi n

i i j j ij iji j

R x x y y f λ µ==

− −= =

= − −

∑ ∑1 1

1 1

dans laquelle : [ ] [ ], ,ij i ii n x xλ −∀ ∈ ∈ 11 et [ ], ,ij j jj p y yµ − ∀ ∈ ∈ 11

Rendons la subdivision infinitésimale :

( ),..., ,..., , ,..., ,...,1 1 1 1 1 1 0i i n j j pMax x a x x b x y c y y d y− − − −− − − − − − → .

Dans ce cas, si R converge vers une limite finie I, on dit que la fonction f est intégrable sur le rectangle [a,

b]×[c, d] et on appelle I intégrale double de la fonction f sur [a, b]×[c, d].

On note : ( ) ( ), . . , . .x b y d y d x b

x a y c y c x aI f x y y x f x y x y

= = = =

= = = == =∫ ∫ ∫ ∫d d d d

Le calcul d’une telle intégrale double se ramène à celui de deux intégrales simples :

( ) ( ), . . , . .d d d dx b y d y d x b

x a y c y c x aI f x y y x I f x y x y

= = = =

= = = = = = ∫ ∫ ∫ ∫

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Interprétation des intégrales doubles

Si la fonction à intégrer est constante et égale à 1 on détermine des aires (voir l’aire du disque).

On pourra calculer la masse d’une plaque matérielle correspondant au domaine d’intégration et dont la

densité variable est exprimée par la fonction f. Ou encore cette intégrale peut s’interpréter comme le volume limité par la surface d’équation

z = f (x, y), le plan (xOy) et le cylindre de génératrices parallèles à (Oz) ayant pour base la courbe C délimi-

tant le domaine d’intégration.

Surface z = f (x, y)

Exemple 1 : sin .cos . .2

0 0d d

y x

y xI x y x y

π= =π

= == ∫ ∫ (variables séparées, dissociation des intégrales)

sin .cos . . sin .cos . .2 2

0 0 0 0d d d d

y x y x

y x y xI x y x y x y x y

π π= =π = =π

= = = = = = ∫ ∫ ∫ ∫

On note bien que le terme cosy est une constante lorsqu’on intègre par rapport à x :

cos . sin . .2

0 0d d

y x

y xI y x x y

π= =π

= = = ∫ ∫

et on note que la valeur de l’intégrale entre crochets ne dépend pas de y, c'est-à-dire qu’elle n’est

qu’une constante multiplicative de l’intégrale sur y :

[ ] [ ]sin . . cos . cos . sin2 20 00 0

d d 2 1 2x y x y

x yx yI x x y y x y

π π=π = =π =

= == = = = − = × = ∫ ∫

Exemple 2 : ( ).cos . .1

2

0 0d d

y x

y xI y xy x y

π= =

= == ∫ ∫ (variables non séparées)

( )( ) ( ).cos . . sin .1 1

2 2

00 0 0d d d

y x y x

xy x yI y xy x y xy y

π π= = = =

== = == = ∫ ∫ ∫

[ ] ( )sin . cos2 200

d 0 1 1y y

yyI y y y

π π= =

=== = − = − − − =∫

17

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3.3.2 Intégrale double généralisée

Nous intégrons sur un domaine non rectangulaire. Dans ce cas les bornes d’intégration d’une variable dé-

pendent de la valeur de l’autre. On démontre que l’on peut définir, de la même manière que pour un rec-

tangle, les suites de Riemann dont la limite est égale à l’intégrale double considérée.

Exemple : .23

21 1

1.d d

x y x

x yx y

y

= =

= =∫ ∫

. . .

2

23

3 3 3

2 21 1 1 111

d 1 1 1 1 4d d 1 d 3 1 1

3 3

xx y x x

x y x

yx x x x

y y x x

= = =

= = =

= − = − = + = + − − = ∫ ∫ ∫ ∫

Le problème principal est, en amont du calcul, de définir correctement les variables d’intégration et

d’éventuellement faire les bons choix de méthode d’intégration.

Coordonnées cartésiennes ou coordonnées polaires

Dans certains cas de figure, un domaine non rectangulaire sera plus facilement exprimable en coordonnées

polaires.

Rappel des relations (x, y) / (ρ, θ) :

.cos; . . .

.sind d d d

xx y

y

ρ θρ ρ θ

ρ θ=

==

3.4 Intégrales triples

On peut développer une théorie analogue à la précédente pour les fonctions de trois variables définies sur

une partie bornée de 3ℝ . On écrit, avec le domaine D sur lequel on intègre,

( ), , . . .d d dD

f x y z x y z∫∫∫

Toutes les propriétés des intégrales doubles s’appliquent aux intégrales triples, et donc on est « simple-

ment » amené de la même manière au calcul de deux ou trois intégrales successives.

On peut interpréter le calcul d’une intégrale triple comme le calcul du volume de D lorsque la fonction à in-

tégrer est la fonction constante de valeur 1. Lorsque la fonction f correspond à une densité (donc positive)

on calcule ainsi la masse du volume considéré.

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Exemple :

Sur le domaine D suivant : [ ] [ ], , ,x a y zπ ∈ ∈ π ∈

0 0 2 02

, calculer .cos .sin . . .3 d d dD

I x z z x y z= ∫∫∫

Comme pour une intégrale double nous factorisons les constantes par rapport à chaque variable

d’intégration pour nous ramener au calcul de trois intégrales :

[ ] sin. cos .sin .

4 2 4 422 23 2

00 0 00 0

1d d d 2

4 2 4 2 4

ax a y z

x y z

x z a aI x x y z z z y

ππ= = π = π

= = =

π = = = π = ∫ ∫ ∫

3.5 Complément : intégrales multiples et changement de variable

Lors d’une intégration utilisant au moins deux variables et requérant des changements de variables, se pose

la question de l’expression des différentielles.

Supposons que nos variables de départ soient x1, x2, …, xn et que l’on effectue les changements de variables

suivants : x1 = φ1(u1, u2, … , un) , x2 = φ2(u1, u2, … , un) , … , xn = φn(u1, u2, … , un).

Les bornes d’intégration devront être modifiées, ainsi que l’expression de la fonction. Mais la principale dif-

ficulté réside en l’expression du produit dx1.dx2. … .dxn en fonction de du1.du2. … .dun.

On définit la matrice Jacobienne du changement de variables :

...

...

... ... ... ...

...

1 1 1

1 2

2 2 2

1 2

1 2

n

n

n n n

n

u u u

u u u

u u u

φ φ φ

φ φ φ

φ φ φ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂=

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

J

On a alors le résultat suivant :

dx1.dx2. … .dxn = det(J).du1.du2. … .dun

20


sur 26


Exemple :

Appliquons cela dans un cas simple en dimension 2 : celui du passage de coordonnées cartésiennes en

coordonnées polaires.

Soit à calculer l’intégrale double ( ). .21 1

2 2

1 0d d

x y x

x yx y x y

= = −

=− =+∫ ∫ , assez difficile à traiter sans changement

de variable. Imposons donc le passage en coordonnées polaires, et pour faire le parallèle avec la page pré-

cédente :

notre exemple

x = ρ.cosθ

y = ρ.sinθ

cos sin

sin cosJ

θ ρ θθ ρ θ

− =

dx.dy = (ρcos²θ + ρsin²θ).dρ.dθ = ρ.dρ.dθ

le cours

x1 = φ1(u1, u2)

x2 = φ2(u1, u2)

1 1

1 2

2 2

1 2

u u

u u

φ φ

φ φ

∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂

J

dx1.dx2 = det(J).du1.du2

Résolution de l’intégrale :

* Les bornes de y montrent clairement que le domaine d’intégration n’est pas rectangulaire et surtout qu’il

est à l’intérieur du cercle de centre (0, 0) et de rayon 1. De plus, x varie de -1 à 1 et à x fixé, y parcourt tout

le segment reliant l’axe (Ox) à ce cercle, positivement. Le domaine d’intégration est donc le demi-disque de

centre O, de rayon 1 et de points d’ordonnées positives.

Ainsi, les bornes de ρ seront 0 à 1 et celles de θ seront 0 à π.

* L’expression (x² + y²) devient ρ².

D’où :

( )

( ). . . . .

. .

x y x

x yx y x y

ρ θ

ρ θ ρ

ρ ρ ρ θ

ρρ θ ρ ρ ρ

= = − π

=− = = =

π

= = =

+ =

π= = π = π =

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

21 1 12 2 2

1 0 0 0

14

1 13 3

0 0 00

d d d d

d d d4 4

21

22


sur 26


4 Quelques applications

4.1 Longueurs, aires, volumes

Il s’agit de retrouver en utilisant le calcul intégral quelques formules de calcul de longueur, d’aire et de vo-

lume. Vous verrez sur ces exemples que tout l’art réside dans le bon choix :

- de l’élément d’intégration, c’est à dire la longueur, l’aire ou le volume élémentaire (dont au moins

une des dimensions est infinitésimale) – que vous allez sommer par intégration, de taille éventuel-

lement variable, mais sans créer de manques ni de chevauchements ! ;

- de la ou des variables, définies sur la/les dimension(s) infinitésimale(s) de l’élément, ce qui déter-

minera si vous traiterez votre cas par une intégrale simple ou multiple.

Cette approche est bien sûr valable dans de nombreux domaines scientifiques et techniques tels que

l’électricité ou la mécanique des solides et des fluides.

4.1.1 Périmètre du cercle

Pour parcourir la circonférence d’un cercle, on peut imaginer un segment de longueur élémentaire dL,

repéré par un angle θ et que l’on va répéter à l’identique sur tout le tour.

Nous cherchons une longueur L.

L’élément d’intégration est un segment de longueur dL,

et ainsi L est la somme, l’intégrale, de cet élément :

dL L= ∫

Notre seule variable sera l’angle θ, défini sur la figure, que nous ferons

évoluer de 0 à 2π. Pour chaque valeur de θ on envisage une variation

infinitésimale dθ. Celle-ci produit, au niveau du cercle, un arc de longueur

infinitésimale dL = R.dθ.

Le périmètre du cercle est la somme de toutes ces longueurs d’arc infinitésimales dL, lorsque θ varie de

0 jusqu’à 2π : .2 2

0 0d dL L R

= π π

== =∫ ∫

θ

θθ .

Reste à calculer cette intégrale (d’une fonction constante) :

[ ]2

0L R

π= θ = R(2π – 0), d’où L = 2πR

dL

θd+θ θ

0 R


sur 26


4.1.2 Aire du disque

Il est possible de choisir plusieurs formes pour l’élément d’intégration.

Traitement à l’aide d’une seule variable :

Pour parcourir la surface d’un disque, on peut imaginer des anneaux d’épaisseur élémentaire dr, chacun

repéré par un rayon r et que l’on va empiler en faisant évoluer r.

Nous cherchons une aire S.

L’élément d’intégration est un anneau d’aire dS,

et ainsi S est la somme, l’intégrale, de cet élément :

dS S= ∫

Notre seule variable sera le rayon r, défini sur la figure, que nous ferons

évoluer de 0 à R. Pour chaque valeur de r on envisage une variation

infinitésimale dr. Celle-ci produit un anneau d’aire infinitésimale dS =

2πr.dr. (une fois « déroulé », l’anneau est assimilable à un rectangle)

Pour obtenir l’aire du disque, il faut sommer ces éléments :

.0 0

d 2 dr R R

rS S r r

=

== = π∫ ∫ .

.2 2 2

00

02 d 2 2

2 2 2

RR r R

S r r

= π = π = π −

∫ , d’où S = πR2

Un autre traitement est possible à l’aide d’une seule variable (voir diapo).

0 R

r

dr r+

23


sur 26


Traitement à l’aide de deux variables :

Pour parcourir la surface d’un disque, on peut imaginer des rectangles de longueur et de largeur élé-

mentaires, chacun repéré par un rayon r et par un angle θ, que l’on va empiler en faisant évoluer r et θ.

L’élément d’intégration est un rectangle d’aire dS (ou ici d²S car infini-

tésimal « d’ordre 2 » : ses deux dimensions sont infinitésimales), pro-

duit de sa largeur, dr, par sa longueur, r.dθ.

Pour θ fixé et r variant entre 0 et R, on crée un secteur élémentaire ;

puis on considère une variation de θ de 0 à 2π pour que ces secteurs

couvrent le disque.

On a alors :

( ). . . .2 2

2 2 22 2

0 0 0 0 0d d d d 2

2 2

r R r R

r r

R RS S r r R

θ θ θ

θ θ θθ θ

= π = = π = = π

= = = = == = = = π = π∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Remarque 1 : lorsque, dans une intégrale multiple, on peut séparer les variables par produit, on peut

alors séparer les intégrales simples et en faire le produit :

( ). . . .2

2 22

0 0 0 0d d d d 2

2

r R r R

r r

RS r r r r R

θ θ

θ θθ θ

= π = = = π

= = = == = × = × π = π∫ ∫ ∫ ∫

Remarque 2 : on pouvait aussi fixer r et faire varier θ de 0 à 2π, créant ainsi un anneau élémentaire et il

ne reste plus qu’à faire varier r de 0 à R :

( ). . .2

2 22 2

0 0 0 0 0d d d 2 d 2

2

r R r R r R

r r r

RS S r r r r R

θ θ

θ θθ

= = π = = π =

= = = = == = = π = π = π∫ ∫ ∫ ∫ ∫

S = πR2

θd+θ θ

0 R

rdr r+

24

25


sur 26


4.1.3 Aire de la sphère

L’élément d’intégration est une surface annulaire d’aire dS car

nous cherchons une aire S, qui est la somme, l’intégrale, de cet

élément : S S= ∫d

Nous choisissons une seule variable : l’angle θ, défini sur la figure,

que nous ferons évoluer de –π/2 à π/2. Pour chaque valeur de θ

on envisage une variation infinitésimale dθ.

Celle-ci produit un anneau (ici vu de profil, en gris) d’aire

infinitésimale dS = 2πr.Rdθ où r est le rayon de l’anneau, variable,

mais dépendant directement de θ (et une fois « déroulé »,

l’anneau est assimilable à un rectangle de largeur R.dθ et de

longueur 2πr).

Pour obtenir l’aire de la sphère, il faut sommer ces éléments :

.2 2

2 2

2S dS r Rdθ θ

θ θθ

π π= =

π π=− =−= = π∫ ∫ .

La trigonométrie dans le triangle rectangle montre que r = R.cosθ.

On a alors :

[ ] ( )( ). cos . sin2 22 2 2 22

22 2

2 d 2 d 2 2 1 1 4S r R R R R Rθ

θθ θ θ θ

π π= π

π−π π=− −= π = π = π = π − − = π∫ ∫

S = 4πR2

dS

θ

dθ θ+

0 R

cosR θ

26


sur 26


4.1.4 Volume de la boule

L’élément d’intégration est un volume de mesure dV car nous cher-

chons un volume V, qui est la somme, l’intégrale, de cet élément :

dV V= ∫

Notre seule variable sera le rayon r, défini sur la figure, que nous

ferons évoluer de 0 à R. Pour chaque valeur de r on envisage une

variation infinitésimale dr. Celle-ci produit une « tranche

sphérique » de volume infinitésimal admis

dV = 4πr2.dr.

Pour obtenir le volume de la boule, il faut sommer ces éléments :

.2

0 0d 4 d

r R R

rV V r r

=

== = π∫ ∫ .

On a alors :

3 3 32 2

0 00

04 d 4 d 4 4

3 3 3

Rr R r R

r r

r RV r r r r

= =

= =

= π = π = π = π −

∫ ∫

34

3V R= π

0 R

r

+ dr r

27


sur 26


4.2 Autres mesures physiques

4.2.1 Calcul de la masse d’un corps

Imaginons un volume conique de gaz, d’axe (Oz), dans lequel

la masse volumique µ (kg.m-3) du gaz dépend de z (m) : µ =

4,5 – 0,6z, relation valable pour z ∈ [0 ; 3]. Le rayon R du

cône mesure 0,8 m et sa hauteur H 1,5 m. Quelle est la masse

de ce cône ?

L’équation aux dimensions [masse] = [masse volumique] ×

[volume] nous incite à travailler sur des volumes élémen-

taires dV du cône pour lesquels la masse volumique µ est

constante, d’obtenir la masse élémentaire correspondante

dm = µ.dV et de sommer cette dernière.

De tels volumes élémentaires peuvent être des tranches cir-

culaires du cône, orthogonales à (Oz), dans lesquelles z est

constant, et donc µ aussi.

Dans cette configuration : r H z

R H

−= , donc z

r RH

= −

1 et .z

V R zH

= π −

2

2d 1 d .

Notre élément d’intégration est donc :

( ) ( ). , , . , , , .

,, , , , .

2 2

2

3 2

2d d 4 5 0 6 1 d 0 64 4 5 0 6 1 d

3

0 80 64 2 8 6 6 4 5 d

3

zm V R z z z z z

H

z z z z

= µ = π − − = π − −

= π − + − +

La masse totale de gaz est donc :

, ,

,

,, , , , .

,, , , , ,

1 5 1 53 2

0 0

1 53

4 2

0

0 8d 0 64 2 8 6 6 4 5 d

3

0 20 64 2 8 3 3 4 5 4 298 kg

3 3

z

zM m z z z z

zz z z

=

=

= = π − + − +

= π − + − + ≈

∫ ∫

28


sur 26


4.2.2 Position d’un centre de gravité

Dans le plan xOy, il est possible de calculer les coordonnées d’une surface située entre la courbe d’une

fonction et l’axe des abscisses, ou d’une surface située entre les courbes des deux fonctions, par exemple.

Soit une fonction f continue et positive sur un intervalle [a ; b], et G le centre de gravité de la zone du plan

située entre la courbe de f et l’axe (Ox) et entre les droites d’équations x = a et x = b.

Alors les coordonnées de G sont :

( )( )

. .

.G

d

d

b

ab

a

x f x xx

f x x= ∫

∫ et

( )

( )

.

.

2

G

1d

2

d

b

a

b

a

f x xy

f x x=∫

∫

Soit deux fonctions f et g continues sur un intervalle [a ; b] et telles que sur cet intervalle f > g, et G le

centre de gravité de la zone du plan située entre les courbes des deux fonctions et entre les droites

d’équations x = a et x = b.

Alors les coordonnées de G sont :

( ) ( )( )( ) ( )( )

. .

.G

d

d

b

ab

a

x f x g x xx

f x g x x

−=

−

∫

∫ et

( ) ( )( )( ) ( )( )

.

.

2 2

G

1d

2

d

b

a

b

a

f x g x xy

f x g x x

−=

−

∫

∫

Exemple : déterminer la position du centre de gravité de la zone située entre la courbe de la fonction carré

et l’axe (Ox), sur l’intervalle [0 ; 1].

29

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