cours integrales valeurs vectorielles

7/24/2019 Cours Integrales Valeurs Vectorielles

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4 avril 2002

Integrale des fonctions continues par morceauxa valeurs dans un Espace vectoriel norme de

dimension finie

4 avril 2002

Table des matieres

I Lintegrale des applications continues par morceauxsur un segment a valeurs dans un espace vectoriel

norme de dimension finie 2

1 Integrale definie dune applicat ion continue p ar morceau x 31.1 Proprietes operatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Positivite, croissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Inegalite de Cauchy-S chwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Sommes de Riemann 10

3 Primitives et integrales dune fonction continue 10

4 Inegalite des accroi ssements finis et applica tions 12

5 Integration par parties et applications 18

II Applications et complements 21

Page 1/26 Jean-Pierre Barani

4 avril 2002

6 Etude locale en un point critique dune application dun ou-vert de Rn dans R 21

7 Morphismes continus de R dansGLn(K) 23

Ce pa pier doit etre lu apres c elui sur la derivation des fonctionsa valeurs dans un espace vectoriel norme de dimension finie

Dans ce qui suit,K = R ou C, p recise s i necessaire. Eest unKespacevectoriel de dimension finie.

Les lettres I , Jdesignent des intervalles non reduits a un point. La theorie de lintegrale vue en premiere annee es t suppos ee connue. La d efinition des applications continues ou de classe Cn par morceaux

sur un intervalleI a valeurs dansEest analogue a celle des fonctions avaleurs scalaires (dansK), cest-a-dire quon definit dabord les appli-cations continues ou de classe Cn par morceaux sur un segment vialessubdivi sions d icelu i, le cas general sobtenant par l intermediaire desrestrictions aux segments de I. Les lecteurs prouveront alors, a titredexerc ice, les pr oprietes suivantes qui seront r appelees dan s la suite : Toute combinaison l ineaire de f onctions Cn par morceaux sur I lest

encore. Si (u1,

u2, . . . ,un) est un syst eme de vecteurs deEet si (f1, f2, . . . , f n)

est un systeme daplicati ons Cn par morceaux de I dans K, il en estde meme de

nj=1 fj

uj . Siu est continue resp de classe Cn de I dans F (K-espace vectoriel

de dimension finie) et si fest continue par morceaux resp de classeCn par morceaux de I dansE, il en est de meme de u f: I F.

Une application f : I E f est continue par morceaux resp declasseCn par morceaux sur Isi et seulement si il en est de meme detoutes ses composantes dans une base de E.



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Premiere partie

Lintegrale des applicationscontinues par morceaux sur unsegment a valeurs dans unespace vectoriel norme dedimension finie

1 Integrale definie dune application continue

par morceaux

Definition 1. Soitfune application continue par morceaux deI dansE.Soit(e) = (e1 ,

e2 , . . . ,en )une base deE, dont la base duale, base des formes

coordonnees dans(e), est notee(1, 2, . . . , n). Posons :

fj = j f iet I,

f(t) =n

j=1

fj(t)ej

Lesfj sont donc des applications continues par morceaux deIdansK. Alors,sia etb son t deux element s deI, le vecteur :

nj=1

ba

fj(t) dt

ej

ne d epend pas de la base(e)choisie, on le note

ba

f(t) dt

de sorte que, pour1 j n :

j

ba

f(t) dt

=

ba

(j f) (t) dt (1)


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On remarquera alors que, si une forme lineaire su rE. Alors f: I Kest continue par morceaux surI et :

ba

f(t) dt

=

ba

( f) (t) dt (2)

Demonstrat ion. Pour etablir que le vecteur

nj=1b

a fj(t) dt

ej ne dependpas de la base (e) choisie, il suffit de faire un calcul de changement de base.

Comme toute forme lineaire sur Eest combinaison lineaire des (j), leresultat g eneral (2) r esulte de (1).

Proposition 1. Sif C1(I, E), a, b Ialors : ba

f(x) dx=

f(b)

f(a) note au ssi [f]ba

Demonstrat ion. Immediat p ar passage au x composant es.

Remarque 1. Ce resultat est faux d ans un contexte p lus general qu e l on aetudie pour les f onctions a valeurs scalaires. Il reste vrai sif est continueet C1 par morceaux. Lors de lapplication de cette formule les hypothesesdoivent etre clairement explicitees. .

Definition 2 (Integrale dune forme differentiell e entre deux bor nes) .Soientg C0(I, E), f C1(I, K) , en notantdf la differentielle def, onpeut definir la forme differentielle :

= g df

Cest a dire que la valeur de(t)au pointt Iest la fo rme lin eaire surR :

g(t)f(t) dt ie hg(t)

f(t) h

Les symboles : ba

=

ba

gdf=

ba

g(t)df(t)

Designent la valeur de lintegrale :

ba

g(t)f(t) dt

Remarque 2. Ces notatio ns sont parti culierement commodes lors des c han-gements de variables.



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1.1 Proprietes operatoires

Proposition 2. Soientf,g continues par morceaux deIdansE. Sia ,b,cIet, K, il vient :

ba

f(x) dx=

ca

f(x) dx+

bc

f(x) dx (Chasles)

ab

f(x) dx=

ba

f(x) dx

aa

f(x) dx= 0

ba

(f+ g)(x) dx=

ba

f(x) dx+

ba

g(x) dx (Li near ite de lint egra le)

Demonstrat ion. Immediates par pass age aux coordonnees dan s une base.

Proposition 3. Soitfune application continue par morceaux deIdansE

et(u1, u2, . . . , un) un sy steme de vecteurs de E et si( f1, f2, . . . , f n) est unsysteme dap lications continues par morceaux deIdansK, il en est de memeden

i=1 fiui et :

ba

ni=1

fi(t)uidt=

ni=1

ba

fi(t) dt

ui

Demonstrat ion. On munitEdune base (ei)1inde base duale (i)1in. Ilsuffit dappliquer j aux deux membres de la relation a prouver et dutiliserla relation (1).

Proposition 4. Soitf continue par morceaux deI dansE, u L(E, F).Alorsu fest encore continue par morceaux deI dansFet, sia etb sontdeux elements deI:

u

b

a

f(t) dt

=

b

a

(u f) (t) dt


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Demonstrat ion. On choisit une base (e) deE:

f(t) =

nj=1

fj(t)ej

b

a

f(t) dt=n

j=1

b

a

fj(t) dt

ej

u

ba

f(t) dt

=

nj=1

ba

fj(t) dt

u (ej)

qui vaut encore, dap res la proposition3 :

ba

nj=1

fj(t) u (ej)

dt

Dou le resultat puisque :

uf(t)=

n

j=1

fj(t) u (ej)

Exemple 1. Soitt M(t) une application continue par morceaux de[a, b]dansMn(K). ce qui signifie que les coefficients ai,j(t) qui representent lescomposantes deM(t) dans la base canonique deMn(K) sont des fonctionscontinues par morceaux sur[a, b].SiP Mn(K), la pplication definie par :

XP X

est un endomorphisme deMn(K). Il sensuit :

P

b

a

M(t) dt

=

b

a

P M(t) dt

SiP GLn(K), la pplication definie par :

XP1XP



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est un endomorphisme deMn(K). Il sensuit :

P1 b

a

M(t) dt

P=

ba

P1M(t)Pdt

De m eme, on aurait :

Tr

ba

M(t) dt

=

ba

Tr(M(t)) dt

Proposition 5. Les integrales de deux fonc tions conti nues par morceaux de[a, b] dansE qui concident sauf au plus s ur une partie finie sont egales. On

peut donc definirba

f(t) dt oufest definie sur[a, b] {t0, t1, . . . , tp} et se

prolonge en une fonction continue par morceaux sur[a, b].

Demonstrat ion. Deja vue.

1.2 Positivite, croissance

Proposition 6. Soientf , g C0([a, b], R) aveca < b. Sif 0 sur[ a, b](resp f g) alors:

ba

f(x) dx 0 resp

ba

f(x) dx

ba

g(x) dx

Demonstrat ion. Deja vue.

REMARQUE IMPORTANTE 1. ATTENTION A LORDRE DESBORNES DINTEGRATION.

Proposition 7. Sous les memes hypoth eses (f 0) et sil existec [a, b]

tel quef(c)> 0 alorsba

f(x) dx > 0. Ce qui peut au ssi s ecrire :

f C0([a, b], R), f 0 et b

a

f(x) dx= 0 f= 0

Demonstrat ion. Deja vu.


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Proposition 8 (Corollaire). Sif est continue sur[a, b] (a < b) a valeursreel les :

ba

f(x) dx

ba

|f(t)| dt

Cette in egalite devient un e egal ite si et s eulement sifa un signe constant.

REMARQUE IMPORTANTE 2. ATTENTION A LORDRE DESBORNES DINTEGRATION.

Demonstrat ion. On applique la croissance de lintegrale a linegali te |f| f |f|. Su pposons maintenant legalite. Quitte a changerfen son op posee,

on peut supposerba

f(x) dx 0. La fonction |f| f est continue sur [a, b],positive, dintegrale nulle, elle y est donc null e dapr es 7.

Proposition 9 (Cas des fonctions a valeurs vectorielles). Si f estcontinue par morceaux sur[a, b] (a < b ) a valeurs dansEet si || || est unenorme quelconque surE:

ba

f(x) dx

ba

||f(t)|| dt

Demonstrat ion. On suppose dabord fcontinue sur [a, b]. On verra plus loinque, pour une fonction continue sur un segment a valeurs vectorielles, lessommes de Riemann c onvergent vers l integrale [t heoreme1]donc :

ba

f(t) dt= lim

n

Rn

avec :Rn =

b a

n

nk=1

f

a+k

b a

n

Dou :

||Rn||

b a

n

nk=1

f

a+k

b a

n

En passant cette inegal ite a la limite , on a l inegalite voulu e.Sifest maintenant continue par morceaux sur [a, b], on considere une sub -division (x0, . . . , xn) de [a, b], adaptee af. Si fi C([xi1, xi]) telle que, pour



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x]xi1, xi[,fi(x) =

f(x) alors :

ba

f(x) dx

=

ni=1

xixi1

fi(x) dx

ni=1

xixi1

fi(x) dx

On peut applique r linegal ite precedente afi qui est continue sur [xi1, xi] : xixi1

fi(x) dx

xixi1

||fi(x)|| dx

Or x ||fi(x)|| est continue sur [xi1, xi] et concide avec ||

f(x)|| sur

]xi1, xi[, donc :

ni=1

xixi1

||fi(x)|| dx=

bxa

||f(x)|| dx

et linegalite voulue.

Proposi tion 10 (Inegalite de la moyenne). Soientfetg deux fonctionscontinues par morceaux sur[a, b] a valeurs dansE:

ba

f(x) dx

ba

||f(t)|| dt(b a)sup

[a,b]

||f||

Demonstrat ion. ||f|| est bornee sur [a, b] car elle y est continue par morceaux.Le resultat decoule du pr ecedent et d e la croissance de l integrale.

Remarque 3.Ces"formules de la moyenne", considerees par cer tain s commelalpha et l omega de s cours de calcu l d ifferentiel et in tegral, o nt d autantmoins dinteret que la fonction varie beaucoup sur le segment dintegration.Les majorations quelles induisent sont souvent trop pessimistes.

1.3 Inegalite de Cauchy-Schwarz

Pour memoire. Revoir cou rs sur les es paces pr ehilb ertiens .


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2 Sommes de Riemann

Theoreme 1. Soitf C([a, b], E). alors :

b

a

f(x) dx = lim

n

b a

n

n

k=1

fa+k b an

Demonstrat ion. On se ramene au cas des fonctions a valeurs scalaires parpassage aux coordonnees dans une bas e.

Exercice 1. Soitfune application continue dun intervalle[a, b]dans unRespace vectoriel no rmeE; on suppose quef([a, b]) Cconve xe ferme deE.Montrer que la valeur moyenne def sur[a, b] appartient aC.

3 Primitives et integrales dune fonction conti-

nue

Proposition 11. Soitf une application continue dun intervalleI dansEeta I. Alors lapplicationFa : I E:

x

xa

f(t)dt

est lunique primitive de f sur I telle que Fa(a) = 0. Si h est une autreprimitive def surI, alors, pourx I:

h(x)

h(a) =

Fa(x)

Demonstrat ion. Il suffit de prendre une base de Eet de se ramener au casdes fonctions numeriques.

REMARQUE IMPORTANTE 3. ATTENTION A BIEN PRECI-SER LA CONTINUITE DE f.

Proposition 12. Soientu etv deux applications de classeC1 dun intervalleJdansR etfune application continue dun intervalleIdansE. On suppose

queu(J) I etv (J)I. La fonctionG : J K definie par :

x

v(x)u(x)

f(x) dx



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est de classeC1 et

x J,G(x) = v (x)

f(v(x)) u(x)

f(u(x))

Demonstrat ion. Si a I etF(x) = xa g(t) dt ; G(x) = F(v(x))F(u(x))

et on ap plique le theoreme de d erivation des fonctions composees. La cl asseC1 sen deduit.

Remarque 4. La variable t du symboleba

f(x) dx est muette. Elle a le

meme statu t quune variable informatiqu e locale a une procedure c est a direinconnue en dehors del le. De meme, il peut y avoir des effets de bords si lon

utilise une notation du typev(x)u(x)

f(x) dx surtout avec plusieurs variables.

Remarque 5 (Extension aux fonctions continues par morceaux).Soit f une application continue par morceaux dun intervalle I dansE eta I. Alors lapplicationFa : I E:

x

xa

f(t)dt

est continue surI. En tout pointx0 Iqui nen est pas un plus petit element

resp un plus grand element , Fa admet une deri vee a gauche resp a droite quivaut

f(x0 0) = lim

xx0

f(x) resp

f(x0 0) = lim

xx0

f(x)

La preuve se fait par passage aux coordonnees dans une base.

Proposition 13 (Changement de variable). Etant donn eef C(I, E)et C1([, ], R) aveca = () Ietb = () I, alors :

ba

f(x) d x=

f((t))(t) dt

Demonstrat ion. On se ramene aux fonctions numeriques par choix dunebase.

Remarque 6 (Extension aux fonctions continues par morceaux).dans le cas oufest simplement continue par morceaux surI, il est conseill ede se ramener au cas pr ecedent en considerant une subdivision de ([, ])


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4 Inegalite des accroissements finis et appli-

cations

Proposi tion 14 (I negalite des accroiss ements finis). On supposea < b.Sif C([a, b], E), de classeC1 sur]a, b[ etg C([a, b], R), de classeC1 sur

]a, b[ verifi ent lhy pothese :

t]a, b[, ||f(t)|| g(t) (3)

Alors :

||f(b)

f(a)|| g(b) g(a)

Demonstrat ion. f etg sont de classeC1 sur ]a, b[, on peut donc ecrire , poura < x < y < b :

||f(y)

f(x)||=

yx

f(t) dt

yx

||f(t)|| dt

yx

g(t) dt= g(y) g(x)

puisque les bornes sont dans le bon sens. Le r esultat voulu se deduit de lacontinuit e d efet g sur [a, b] en passant linegalite a la limite lorsque x apuisy b.

Proposition 15 (Extension). L inegalite d es accroissements finis subsist elorsquef etg sont continues et de classeC1 par morceaux sur[a, b]a condi-tion de remplacer Lh ypothese (3) par la suivante : il existe une subdivision(a= t0< t1< < tn= b), s imultanement adapt ee afetg telle que :

t [a, b] {t0, t1, . . . , tn}, ||D f(t)|| D g(t) ( 4)

Demonstrat ion. Soit (t0, . . . , tn) une subdivision de [a, b] adaptee a f et gsatisfais ant l hypothese (4) ci dessus. Il existe des applications ( f1, . . . , f n) et(g1, . . . , gn), avec fi C

1([ti1, ti], E) etgi C1([ti1, ti], R) telles que :

t]ti1, ti[, fi(t) =

f(t) et gi(t) = g(t)

Il en r esulte que ||fi(t)|| g

i(t) sur ]ti1, ti[ dou, dap res linegalite des

accroissements finis ci-dessus [proposition14]dontfi et gi verifient les hypo-theses :

||fi(ti)

fi(ti1)|| gi(ti) gi(ti1)



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Comme f et g sont continues sur [a, b], il vientfi(ti) =

f(ti) et

fi(ti1) =

f(ti1), de meme pour g donc :

||f(ti)

f(ti1)|| g(ti) g(ti1)

En sommant, il vient :

||f(b)

f(a)||

ni=1

||f(ti)

f(ti1)||

ni=1

g(ti) g(ti1) = g(b) g(a)

Remar que 7 (Interpretat ion ci nematique ). Si un mobile va moins vitequun autre, la distance quil parcours dans le meme laps de temps est moinsgrande.

Theoreme 2. Sif est une application continue de[a, b] dansE, de classeC1 sur]a, b]et sif admet une limite ena, alorsfest de classeC1 sur[a, b].

Demonstrat ion. Ce resu ltat a deja ete vu c omme cons equence du theor emedes accroissements finis pour les fonctions a valeurs reelles (th de la limi te de

la derivee). Le cas vectoriel peut sen deduire par passage aux coordonnees.Donnons en une preuve directe. Supposons lim

xa+

f(x) =

0 . Soit > 0, il

existe >0 tel que a + < b et :

x]a, a+[, ||f(x)||<

Fixonsx]a, a+[ et u]a, x[. L inegalite des ac croissements finis appliqueea la fonction vectorielle fet a la fonction reelle g :

tt

qui sont continues sur [a, x] et C1 sur ]a, x[, assure que :

||f(x)

f(a)|| (x a)

x etant libre dans ] a, a+[ et arbitraire, on a prouve :

> 0 , > 0 , x]a, a+[I ||f(x)

f(a)|| (x a)


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donc f(a) =

0 . La continuite de f sur [a, b] est alors i mmediate. Si

limxa+

f(x) = m , on applique ce quon vient de prouver a la fonction auxi-

liaire :x

f(x) xm

Proposi tion 16 ( Extension aux derivees successi ves). Si f est uneapplication continue de[a, b] dansE, de classeCn sur]a, b] et si, pour1 r n, Drf admet une limite ena, alorsfest de classeCn sur[a, b].

Demonstrat ion. On raisonne p ar recurrenc e sur r, en appliquant le theoremeprecedent aDrf.

Proposi tion 17 (Exemple d applicat ion :Methode de Newton) . Soit I

un segment, f C2(I, R)eta

I. On suppose quex I, f(x)= 0, et quef(a) = 0. Les fonctionsf etfsont bornees sur le compactI puisquelles ysont continues. Notons :

m1= infxI

|f(x)| M2= supxI

|f(x)|

m1> 0 puisquelle est atteinte. Soit lapplication deIdansR defini e, pour

x Ipar :

(x) = x f(x)

f(x)

Alors C1(I, R)et, pour toutx I :

|(x) a| M22m1

(x a)2 (5)

En particulier, il existe >0 tel queJ=]a , a+[ soit inclus dansIetstable par. La s uite recurrente(xn)definie par :

x0 J et, pourn 0, xn+1= (xn)

dont tous les termes sont dans J, converge vers a, de plus, il existe deuxconstantesA >0 etk ]0, 1[telles que :

n, |xn a| Ak(2n

)

Donc, six0 est choisi suffisamment pres dea , la suite(xn) converge "tr esvite"(ce qui na aucune signification scientifique) versa .



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Demonstrat ion. Soitx I, posonsg(x) = (x a)f(x) f(x). Il vient :

(x) a= g(x)

f(x)

g est de classeC1 surIet g (x) = (x a)f(x) donc :

|g(x)| M2|x a|

En fixant x > a et en appliquant linegalite des accroissements finis entre a

etx a g et t M2(ta)2

2 , qui sontC1 sur [a, x], il vient l inegalite

|g(x)| M2(x a)2

2

Dou lon dedui t linegal ite (5). Raisonnement analogue, si x < a , on consi-

dere alors linter valle [x, a] et les fonctions g et t M2(ta)2

2 . Commea est

interieur a I, il existe >0 tel que ]a , a+[I. = min(2m1M2

, ) (Sif nest pas affine ) convie nt (verification laissee aux lecteurs). L etude de lavitesse de convergence ainsi que des cas courants sera faite en exercice.

Remarque 8. Geometr iqu ement, xn+1est labscisse du point dintersectionde laxe desx et de la tangente au graphe def en son point dabscissexn(faire un dessin).

Proposition 18. Soientf C1(I, E), g C1(I, R) eta I. On supposeg 0 etf =o(g) auV(a)cest a dire :

> 0, > 0 /x I, |x a|< ||f(x)|| g(x)

Alors :

||f(x)

f(a)||= o (|g(x) g(a)|) auV(a)

Demonstrat ion. Supposons quea nes t pas plus grand element de Iet regar-dons la situation a droite de a . Soit > 0 auquel on associe > 0 tel que[a, a+[Iet :

xI, |x a|< ||f(x)|| g(x)

Soitx fixe dans ]a, a + [, on at [a, x], t[a, a + [ dou||f(t)|| g(t).

Les applications f etg sont C

1

sur [a, x], elles y sont donc justiciables delinegalite d es accroisse ments finis. Donc || f(x)f(a)|| (g(x) g(a)).Etude analogue a gauche de tout a Iqui nen est pas p lus petit element.(On remplace [a, x] par [x, a])


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.

Theor eme 3 (Integr ati on dun developpe ment limit e). Soit C1(I, E), admettant auV(a), a Iun developpeme nt limite d ordren de la forme :

(x) =

n

k=0

ak(x a)k +o ((x a)n)

Les ak sont des vecteurs de E. Alors admet au V(a) le developpeme ntdordren + 1 :

(x) =

(a) +

nk=0

akk+ 1

(x a)k +o

(x a)n+1

Demonstrat ion. On applique ce qui precede a droite resp a gauchede a auxfonctionsC1 surI:

f : x(x)

(a)

nk=0

akk+ 1

(x a)k

etg : x(x a)n+1 resp (a x)n+1

f =o(g) dou f= o(g) auV(a)

.

Theoreme 4 (Formule de Taylor-Young). Soitf Cn(I, E), a I. fadmet le developpement li mite suivant appele developpement de Taylor -Youngdef auV(a) :

f(x) =

nk=0

f(k)(a)

(x a)k

k! +o ((x a)n)

Demonstrat ion. On introduit la fonction :

: xf(x)

nk=0

f(k)(a)

(x a)k

k!

Cn(I, E) et (k)(a) = 0 pour 0 k n. On a (n) =o(1) au V(a) dou,

par application recurrente de 3,(nk)(x) = o

(x a)k

au voisinage de a

et la formule pour k = n.



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Proposi tion 19 (A pplicati on aux courbes parametrees). On se placedans un espace affine reelEdont la directionEest un es pace vectoriel normede dimension finie surR. Soit() : t m(t) : I Eun arc parametr e declasseCn avecn 1. Soitt0 I, on suppose que,

k { 1, . . . , n 1},

m(k)

(t0) =

0 et

m(n)

(t0)=

0

alors larc () admet au point de parametre t0 une tangente dirigee parm(n)(t0).

Demonstrat ion. On prouve lexistence dune demi-tangente a gauche et adroite enm(t0). Par exemple a droite, en supposant que ]t0, +[I=. Onapplique la formule de Taylor-Young a lordre n , au point t0, a la fonction

vectoriellef :I Edefinie par : t m(t0)m(t) :

f(t) =

f(n)(t0)

n! (t t0)

n + (t t0)n

(t)

ou : I Etend vers 0 quand t t0. On en d eduit :

limtt0

tI]t0,+[

f(t)(t t0)n

=

f(n)(t0)

n!

Dou, en vertu de la continuite de la norme :

limtt0

tI]t0,+[

f(t)

(t t0)n

=

f(n)(t0)

n!

= 0

Dou, en vertu du theoreme sur la limite du quotient dun e fonction vectoriel le

par une fonction scalaire de limite non nulle, ||f(t)||ne sannule pas dans un

voisinage de t0 et :

limtt0tI]t0,+[

f(t)

||f(t)|| =

f(n)(t0)

||f(n)(t0)||

[on remarquera que pour la demi-tangente a gauche on aurait un signe].


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5 Integration par parties et applications

Proposition 20 (Integration par parties). Soit u C1(I, K) et v C1(I, E) a, b I. La formule dintegration par parties secrit :

ba

u(t)v(t) dt= [uv]

ba

ba

u(t)v(t) dt

Ou encore, avec les n otations differentielles :

ba

u dv= [uv]ba

ba

v du

Cest encore vrai lorque u et v sont continues sur I et de classe C1 parmorceaux surI.

Demonstrat ion. uvetant de clas se C1, dapres la proposition 1 on p eut inte-grer la relation (uv) =uv+ vusous la f orme voulu e. Meme chose lorque uetv sont continues et C1 par morceaux (cfcours du debut de l ann ee).

REMARQUE IMPORTANTE 4. Lors d une in tegration par parties, onprecisera toujours la classe des fonctions qui interviennent sur lintervalle de

travail conten ant les bornes din tegration.

Exemple 2. Calculer

I=

10

arctan(t)

(t+ 1)2 dt

Les applications arctan et t (t+ 1)1 sont de classe C1 sur [0, 1]. Onpeut donc integrer par parties sous l a forme :

I=

10

arctan(t)d((t+ 1)1) = [arctan(t)(t+ 1)1]10+J

J=

10

(t+ 1)1 d(arctan(t)) =

10

dt

(t+ 1)(1 +t2)

(Achever le calcul).

Theoreme 5 ( Formule de Taylor avec reste i ntegral). Soitf Cn

(I, E),de classeCn+1 par morceaux surI. Soita Ialors, pour tout pointx I:

f(x) =

Tn(x) +

Rn(x)



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avec :Tn(x) =

nk=0

f(k)(a)

(x a)k

k!

Rn(x) = xa

f

(n+1)

(t)

(x t)n

n! dt

Demonstrat ion. Posons pour 0 k n :

Ik =

xa

f(k+1)(t)

(x t)k

k! dt

Les applications f(n) et t (xt)k

k! sont continues surIet de classe C1 par

morceaux sur I. On peut donc, pour k 1, integrer par p arties :

Ik =

xa

(x t)k

k! d

f(k)(t)

=

f(k)(t)

(x t)k

k!

xa

+Ik1

Ce q ui s ecrit :

Ik1

Ik =

f(k)(a)

k! (x a)k

I0 =

f(x)

f(a), puisquefest de classe C1 surI. En sommant ces relations

pour 1 k n, on obtient la formule.

Theoreme 6 (Inegal ite de Taylor Lagrange). Soit f Cn(I, E), declasseCn+1 par morceaux surI. Soienta, b des elements deI,||f(n+1)||etan tcontinue par morceaux sur le segment[a, b], elle y admet une borne s uperieureM. Il vient alors :

f(b)n

k=0

f(k)(a)

(b a)k

k!

M

(b a)n+1(n+ 1)!

Demonstrat ion. Sia = b cest clair, si a < b :

b

a

f(n+1)(t)

(b t)n

n! dt

b

a

f(n+1)(t) (b t)nn!

dt


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Par croiss ance de lintegrale (a < b), cette derniere est major ee par :

ba

M(b t)n

n! dt= M

(b a)n+1

(n+ 1)!

Calcul analogue pour b < a en intervertissant les bornes des integrales ma-jorantes.

Remarque 9 (Contextes dutilisation de ces formules). La formulede Taylor av ec reste integral, l inegal ite des accrois sements finis, linegal itede Taylor-Lagrange, sont des formules globales, permettant des majorationsexplicites et quantitatives (par exemple majorations derreurs). Au contrairela formule de Taylor-Young est locale et qualitative.

Exemple 3. Linegal ite de Taylor-Lagrange, appliquee a lordre2n + 2 a lafonction sinus entre0 etx = 0 secr it :sin x

nk=0

(1)k x2k+1

(2k+ 1)!

|x|2n+2

(2n+ 2)!

Car t outes les derivees du sinus sont, en va leurs absolues , majo rees par 1

surR. Commelimn

|x|2n+2

(2n+ 2)!= 0

On en d eduit la convergen ce de la serie de t erme general(1)k x2k+1

(2k+1)! et sa

somme :k=0

(1)k x2k+1

(2k+ 1)!= sin x

et ce, pour toutx reel pu isque c est clair s ix = 0 . En revanche, lutilisationde la formule de Taylor- Young pour p rouver le meme resultat donnerait lieua un raisonnement faux, laissant penser quil en est de meme pour toutefonction de classeC. Con siderons la fonc tion :

f(x) =

e

1x si x > 0

0 si x0

On a vu quef C(R, R) et n, f(n)(0) = 0. La serie de terme generalf(n)(0)xn

n! est donc convergente, de somme egale a0 et non af(x) comme on



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eut pu le penser a tort. La formule de Young affirme simplement que, pourn fixe, lapplication

n: R R :

n(x) =

f(x)xn

si x= 0n(0) = 0

est continue en 0, elle ne permet pas de majorer n(x) en fonction de npour un x donne, pas plus quelle ne permet de prevoir l e comportementasymptotique de la suite(n(x))nN. Si on fait un calcul direct, on sapercoitque, dans cet exemple :

x]0, 1[, li mn

n(x) = +

Les lecteurs traceront le graphe den et etudiera la suit e de te rme general :

un= supxR

|n(x)|

Deuxieme partie

Applications et complementsDans cette partie on ne met pas de fleche sur les vecteurs de Rn

6 Etude locale en un point critique dune ap-

plication dun ouvert de Rn dans R

Exemple 4 (Pratiq ue de letude lo cale). cf cours

Theoreme 7. Le produit scalaire canonique surRn est note( | ), la normeeuclidie nne associee es t notee || ||. On identifie une matriceM Mn(R)et son en domorphis me canoniquemen t associe.Soitfune application de classeC2 dun ouvertU Rn dansR. Soita U

un point critique def. NotonsH(a)lendomo rphisme canoniquement associea la matrice hessienne defena, ega lement noteeH(a) =

2f

xixj(a)1i,jn

.


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SoitUa= {h Rn / a + h U}. Pourh Ua, on a le developpeme nt l imitedordre2 suivant :

f(a+h) = f(a) +1

2(h|H(a).h) + ||h||2 a(h)

avec limh0 a(h) = 0.

Demonstrat ion. PourM Sn(R), posons :

|||S|||= sup||h||=1

|thSh| = sup||h||=1

|(h|Sh)|= sup||h||=0

|(h|Sh)|

(h|h)

dont l existenc e est assuree par la compacite de la b oule unite de Rn et parla continuite de lapplications bilineaire (h, k) (h|Sk) et de lapplicationlineaire h (h, h) en dimension finie, qui entrainent celle de h (h|Sh).On prouve aisement que ||| ||| est une norme sur Sn(R) et que |(h|Sh)| |||S|||.||h||2.Lapplication de U dans Sn(R) d efinie par x H(x) est continue car sescomposantes dans la base naturelle de Sn(R) le sont. Soit > 0, il existedonc >0 tel que :

||h||< h Ua et |||H(a+h) H(a)|||<

Fixons un tel h et appliquons la formule de taylor integral a lordre 2 a lafonction : [0, 1] R definie par (t) = f(a+th) entre 0 et 1.

(t) = df(a+th).h=n

j=1

f

xj(a+th) hj

Les fonctions fxj

sontC1 surU. La derivation de cette formule donne do nc :

(t) =

1i,jn

2f

xixj(a+th) hihj = (h|H(a+th).h)

Commea est un point critique de f, il vient

(0) = df(a).h= 0 dou :

f(a+h) = (1) =f(a) +1

2

10

(1 t) (h|H(a+th).h)) dt



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or : 10

(1 t) (h|H(a+th).h)) dt

10

(1 t) (h|H(a).h)) dt

1

0

(1 t) |(h|(H(a+th) H(a)).h)|dt

10

(1 t)|||H(a+th) H(a)|||.||h||2 dt

10

(1 t) ||h|| dt= ||h||2

2

donc |a(h)|< ce qui prouve le developpement l imite vou lu.

Proposition 21. Sous les hypoth eses du theoreme c i-dessus : SiH(a)est definie positive resp negative alorsa est un minimum resp

un maximum local. Sih est un vecteur propre deH(a) associe a une valeur propre = 0

alorsfadmet un minimum ou un maximum local dans la directionde h suivant que >0 ou 0 est la plus petite valeur propre de H(a), il vient :

(h|H(a).h) (h|h)

Dou, en choisissant ||h||assez petit pour que |a(h)| 2

:

f(a+h) f(a) =1

2(h|H(a).h) + ||h||2 a(h)0

ce quon voulait.

7 Morphismes continus de R dansGLn(K)

Theoreme 8. Soitt M(t)un morphisme continu du groupe(R, +)dansle groupe(GLn(K), )ie :

s, tR, M(s+t) = M(s)M(t)

alorsM est de classe C surR et, pour toutt R et pour toutx Rn

(identifie aMn,1(K)), M(t)xest la valeur a linstantt de lunique solution


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X: t X(t) du probleme de Cauchy :

dX

dt =M(0)X

X(0) =x

Demonstrat ion. On utilise une technique du type "integre r pour deriver".M(0)2 = M(0) donc, puisque M(0) est inversible, M(0) = In. De plus,dapres l a prop osition 11 :

limh0h>0

1

h

h0

M(t) dt= M(0) = In

De la continuite du determinant on deduit :

> 0 /t]0, [, det

1

h

h0

M(t) dt

>

1

2

Fixonsh ]0, [ donc h

0 M(s) ds, not ee U, est inversible, soit t R :

h0

M(t+s) ds=

h0

M(t)M(s) ds

qui vaut, dapres la proposition 4, exemple1,M(t)h0

M(s) ds. En faisant lechangement de variable t+s= x dans lintegrale de gauche, il vient :

t+ht

M(x) dx= M(t)

h0

M(s) ds

et donc :

M(t) =

t+ht

M(x) dx

U1

qui, par r ecurrenc e sur n, est de classe Cn pour toutn.Fixons alorst R. Les deux fonctions s M(s + t) et s M(s)M(t) sontegales et de cl asseC1 surR donc susceptibles dun developpement de Taylor-Youngcf th4 dordre 1 au voisinage de 0. Il existe donc deux applications 1



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et 2 : R Mn(R), tendant vers 0 quand s 0, telles que, pour toutreel s :

M(t) +M(t)s+s1(s) = [M(0) +M(0)s+s2(s)] M(t)

Compte tenu de M(0) = In, il reste, pour s = 0 :

M(t) +1(s) = M(0)M(t) +2(s)M(t)

En faisant tendre s vers 0, la continuite du produit matriciel assure:

M(t) = M(0)M(t)

Posons alorsA = M(0) etX(t) = M(t).x. Il vient :

dX

dt(t) =

dM

dt .x= AM(t).x= AX(t)

X(0) =M(0).x= x

Remarque 10. La reciproque de ce resultat (invarian ce des trajectoires partranslation) a ete etablie dans le cours sur les systemes differenti els lineairesa coefficients constants.

Voici un exercice dapplication de ce resultat qui fait revoir beaucoup dequestions.

Exercice 2 (Sous espaces de C(R, C) stables par les translations).SoitEun sous espace vectoriel de dimension finien deC (R, C) stable partranslation cest-a-dire :

f E, a R, Ta(f) E

ouTa(f)est la fonctionx f(x+a). On notera encoreTa l endomorphismeinduit parTa surE. On note(f1, . . . , f n) une base deE.

1. Montrer par r ecurrence quexis te(x1, . . . , xn) Rn tel que :

det[fi(xj)]1i,jn= 0


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2. SoitM(s) la matrice deTs dans la base(f1, . . . , f n). A laide des for-mules d e Cramer, demontrer que lappli cations M(s) est continuedeR dansMn(C). Montrer qu el le verifie les hypotheses du theoreme8. En deduire queE C(R, C).

3. Montrer queEest stable par limite simple. En d eduire quil est stable

par derivation . SoitD lendomorphisme induit surE par la d erivation.4. A laide dun polynome annulateur deD, dont on justifiera lexistence,

demontrer queEest exactement lensemble des solutions dune equa-tion differenti elle lineaire a coefficients constants.


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