méthode d'éléments finis et d'équations intégrales d'ordre
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CESTA-DSGA CAMBON Sébastien SMAI 2011 – Guidel 24/05/2011
Méthode d'éléments finis et d'équations intégrales d'ordre élevé pour les études de furtivité radar de
structures axisymétriques
CAMBON SébastienDoctorant 3ème année de l'I.N.S.A Toulouse
Thèse réalisée au CEA/DAM/CESTA – Le Barp (33)Janvier 2009 – Janvier 2012
Directrice de thèseDirectrice de thèseAnne-Sophie BONNET-BEN DHIA
EncadrantsEncadrantsFrancis COLLINO
Patrick LACOSTE
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I – Introduction II – L'axisymétrique III – Éléments finis IV – Études numériques V – Conclusions
Contexte et problématiqueContexte et problématique
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I – Introduction II – L'axisymétrique III – Éléments finis IV – Études numériques V – Conclusions
I-1) Le phénomène physique I-2) Modélisation
Onde PlaneAir
Nos objectifsNos objectifsSimuler la diffraction d'une onde plane par un objet à symétrie de
révolution en régime harmonique.
Évaluer les champs (resp. courants) électriques et magnétiques ;
Évaluer la surface équivalente radar à partir du champ lointain EE∞ ∞ .
Concevoir et réaliser un code de simulation.
Prendre en compte des objets complexes : formes, matériaux ;
Développer une méthode numérique « précise » ;
Réaliser un code de simulation « performant ».
Onde Diffractée
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I – Introduction II – L'axisymétrique III – Éléments finis IV – Études numériques V – Conclusions
I-1) Le phénomène physique I-2) Modélisation
Soit E (resp. H) le champ électrique (resp. magnétique) total dans R3 et le courant surfacique associé M (resp. J) sur Σ.
Le milieu Le milieu extérieurextérieur ΩΩ00
Le milieu Le milieu intérieurintérieur ΩΩ11
Σ
ΓΩ1
Ω0
A l'interfaceA l'interface ΣΣ
Notations :
P. Monk, “ Finite Element Methods for Maxwell's Equations ”, Numerical Mathematics and Scientific Computation, 2003D. Colton, R. Kress, “ Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory ”, AMS 93, 1992
Condition de conducteur parfait : Condition de « Silver-Müller » :
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Utilisation de la propriété de Utilisation de la propriété de symétrie de révolutionsymétrie de révolution
I – Introduction II – L'axisymétrique III – Éléments finis IV – Études numériques V – Conclusions
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I – Introduction II – L'axisymétrique III – Éléments finis IV – Études numériques V – Conclusions
F. Collino, “ Construction d'une nouvelle formulation pour l'amélioration des performances des codes axisymétriques ” , Rapport d'étude C.E.A, 2009
où,
et le noyau de Green,
Équations de Équations de Maxwell d'ordre deuxMaxwell d'ordre deux dans dans ΩΩ11
Représentations intégralesReprésentations intégrales dans dans ΩΩ00
II-1) Une formulation en 3D II-2) Formulation 2D axisymétrique
Formules de “Stratton-Chu”. Soit :
, , .
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Formulation variationnelleFormulation variationnelle
* V. Levillain, “ Couplage éléments finis équations intégrales pour la résolution des équations de Maxwell en milieu hétérogène ”, Thèse de Doctorat, École Polytechnique, 1991
Trouver tels que :
Avantages :Avantages : Formulation symétrique ; Domaine de calcul réduit ;
Champ électrique complet en volume ; Prise en compte d'objets complexes ;
I – Introduction II – L'axisymétrique III – Éléments finis IV – Études numériques V – Conclusions
II-1) Une formulation en 3D II-2) Formulation 2D axisymétrique
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Formulation variationnelleFormulation variationnelle
Problème intérieurProblème intérieur
* V. Levillain, “ Couplage éléments finis équations intégrales pour la résolution des équations de Maxwell en milieu hétérogène ”, Thèse de Doctorat, École Polytechnique, 1991
Trouver tels que :
Problème d'unicité ?Problème d'unicité ?Présence de fréquences irrégulières.
I – Introduction II – L'axisymétrique III – Éléments finis IV – Études numériques V – Conclusions
II-1) Une formulation en 3D II-2) Formulation 2D axisymétrique
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Fréquence
S.E
.R
I – Introduction II – L'axisymétrique III – Éléments finis IV – Études numériques V – Conclusions
Formulation variationnelleFormulation variationnelle
ExempleExemple
* V. Levillain, “ Couplage éléments finis équations intégrales pour la résolution des équations de Maxwell en milieu hétérogène ”, Thèse de Doctorat, École Polytechnique, 1991
Trouver tels que :
II-1) Une formulation en 3D II-2) Formulation 2D axisymétrique
Problème d'unicité ?Problème d'unicité ?Présence de fréquences irrégulières.
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I – Introduction II – L'axisymétrique III – Éléments finis IV – Études numériques V – Conclusions
II-1) Une formulation en 3D II-2) Formulation 2D axisymétrique
(1) Coord. cylindriques
(2) Série de Fourier
(3) Angle
Formulation en 3D Formulation axisymétrique
B. Stupfel, P. Bonnemason, “ Solution of the scattering problem by axisymmetrical penetrable objects with a mixed boundary-element and finite-element method ”, JINA'90, 116-119
Soit e le champ électrique en coordonnées cylindriques.
Série de Fourier (2) Série de Fourier (2)
Soit m le courant associé dans la base .
Propriété de trace Propriété de trace
L'opérateur induit :
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I – Introduction II – L'axisymétrique III – Éléments finis IV – Études numériques V – Conclusions
Développement d'une méthode Développement d'une méthode d'éléments finis d'ordre élevéd'éléments finis d'ordre élevé
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0
0
0 0
PP 0
0 PP
0 0
I – Introduction II – L'axisymétrique III – Éléments finis IV – Études numériques V – Conclusions
Concevoir une méthode E.F d'ordre élevé ;
Raccord des E.F volumiques et surfaciques via l'opérateur ;
ObjectifsObjectifs
Pourquoi une propriété de raccord ?Pourquoi une propriété de raccord ?
* P. Lacoste, “Solution of Maxwell equation in axisymmetric geometry by Fourier series decomposition and by use of H(rot) conforming finite element.” Numer. Math. 84 (4), 577-609, 2000
Construire un changement de variables
naturel dans le cas d'un tore ;
obtenir des espaces fonctionnels “simples” : H(rot), H(div), H1.
L'idée [*]L'idée [*]
II-1) Introduction II-2) Changement de variables II-3) Exemples
Creux
Dense
Creux
Dense
P = IdP = Id
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Supposons que,
alors, .
La réciproque est fausse, sauf pour un objet torique ( ).
I – Introduction II – L'axisymétrique III – Éléments finis IV – Études numériques V – Conclusions
II-1) Introduction II-2) Changement de variables II-3) Exemples
Considérons la partie volumique de la formulation axisymétrique.
Soit n un mode de Fourier. On définit U et v telles que :DéfinitionDéfinition
PropriétéPropriété
Pour n non nul, la partie volumique devient :
où
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I – Introduction II – L'axisymétrique III – Éléments finis IV – Études numériques V – Conclusions
II-1) Introduction II-2) Changement de variables II-3) Exemples
E.F volumiqueE.F volumique
Soit K une maille triangulaire, Si une arête de celle-ci et “n” un mode de Fourier.
ORDRE R1-P1 pour n non nulORDRE R1-P1 pour n non nul
E.F de frontièreE.F de frontière
La propriété de raccord entre volume et La propriété de raccord entre volume et surface est respectée par construction.surface est respectée par construction.
J-C. Nédelec, “ Mixed finite elements in ”, Numer. Math. 35, 315-341, 1980
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I – Introduction II – L'axisymétrique III – Éléments finis IV – Études numériques V – Conclusions
II-1) Introduction II-2) Changement de variables II-3) Exemples
ORDRE R1-P2 pour n = 0ORDRE R1-P2 pour n = 0
E.F volumiqueE.F volumique E.F de frontièreE.F de frontière
La propriété de raccord entre volume et La propriété de raccord entre volume et surface est respectée par construction.surface est respectée par construction.
Soit K une maille triangulaire, Si une arête de celle-ci et “n” un mode de Fourier.
J-C. Nédelec, “ Mixed finite elements in ”, Numer. Math. 35, 315-341, 1980
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I – Introduction II – L'axisymétrique III – Éléments finis IV – Études numériques V – Conclusions
Validation de l'assemblage et Validation de l'assemblage et de la méthode d'éléments finisde la méthode d'éléments finis
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I – Introduction II – L'axisymétrique III – Éléments finis IV – Études numériques V – Conclusions
Cavité CylindriqueCavité CylindriqueCalcul des fréquences de résonance entre 750Mhz et 1350Mhz.
- hauteur : 0.294 m - rayon : 0.150 m
Comparaison avec différents ordres de la méthode. h = 10 mm
Comparaison avec différentes valeurs de h. Ordre R1-P1
IV-1) Fréquences de résonance IV-2) Cas test IV-3) Exemple avec la 3D
Fréquences (Mhz) Fréquences (Mhz)
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S.E.R monostatique à 0 degrés de 100Mhz à 20Ghz (δf=1Mhz).
- hauteur : 0.4 m - épaisseur matériau : 0.05 m - rayon : 0.2 m - caractéristiques matériau :
I – Introduction II – L'axisymétrique III – Éléments finis IV – Études numériques V – Conclusions
Temps CPU versus h
L'erreur est définie par :
Erreur relative versus h
Cylindre Diélectrique avec noyau conducteur parfaitCylindre Diélectrique avec noyau conducteur parfait
IV-1) Fréquences de résonance IV-2) Cas test IV-3) Exemple avec la 3D
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I – Introduction II – L'axisymétrique III – Éléments finis IV – Études numériques V – Conclusions
ALTR diélectrique avec noyau conducteur parfaitALTR diélectrique avec noyau conducteur parfait
h ~ Nombre d'inconnues Temps Nombre
0.01 m Volume Surface CPU de CPU
3D 1 288 825 175 455 3 337 s 128
2D axi 32 094 1 123 272 s 1
S.E.R bistatique de 0 à 360 degrés dont l'angle d'incidence est de 45 degrés et à 1 Ghz.
- épaisseur matériau : 0.05 m - caractéristiques matériau :
La montée en ordre donne des résultats précis ;
L'invariance par rotation est un atout :
- gain en mémoire, nombre et temps CPU,
- méthode aisée à paralléliser (sur les modes).
IV-1) Fréquences de résonance IV-2) Cas test IV-3) Exemple avec la 3D
Méthode d'ordre R3-P3R3-P3 avec h = 10 mmh = 10 mmErreur < 1%
BilanBilan
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I – Introduction II – L'axisymétrique III – Éléments finis IV – Études numériques V – Conclusions
Conclusions & PerspectivesConclusions & Perspectives
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I – Introduction II – L'axisymétrique III – Éléments finis IV – Études numériques V – Conclusions
ConclusionsConclusions
PerspectivesPerspectives
Montée en ordre aisée sur maillage en triangles ;
Méthode adaptée aux objets diélectriques complexes : hétérogène, anisotrope,
avec noyau conducteur ou impédant ;
Augmentation de la gamme de fréquences accessibles pour la simulation.
Compléter l'étude de l'existence et de l'unicité en axisymétrique ;
Palier au défaut des fréquences irrégulières ;
Améliorer les techniques d'intégration des noyaux singuliers.
S. Cambon, P. Lacoste, “ Équations de Maxwell en géométrie axisymétrique : Couplage éléments finis H(rot) en volume et éléments finis H(div) en surface. ”, Rapport CEA-R-6262, 2011
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Merci de votre attention