didacticiel - système d'équations

Guide de résolution des systèmes d’équations

linéaires

Créé par:Marc BeauparlantLisandre St-Amant

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Menu Principal

Méthodes de résolution

Guide complet

Comparaison

Élimination

Substitution

Combien de solutions?

Mettre les équations sous la forme:

y = mx + b

Est-ce que la pente est le même?

Oui Non

Menu

Aucune solution, ou une infinité!

Est-ce que les ordonnés à l’origine (b) sont identiques?

Retour

Oui Non

Menu

Aucune solution!

Vos deux droites ont la même pente et sont alors des droites parallèles! En conséquent, elles ne se croiseront

jamais!

Retour Montrez-moi!

Menu

Votre système a une solution unique!

Avant de continuer, est-ce que les ordonnés à l’origine (b) sont

identiques?

Retour

Oui Non

Menu

Voilà! Vous avez trouvez la solution!

Si les pentes ne sont pas égaux mais les ordonnés à l’origine le sont, alors

votre solution est l’ordonné à l’origine des deux droites!

( b , 0 )

Retour Montrez-moi!

Menu

Vos droites sont des droites confondues!

Les deux droites sont identiques. Les droites se croisent à chaque point et

possèdent donc une infinité de solutions!

Retour Montrez-moi!

Menu

Quelle méthode?

Cas 1:

Cas 2:

Cas 3:

Retour

y = m1x + b1

et

y = m2x + b2

a1x + b1y + c1 = 0et

a2x + b2y + c2 = 0

a1x + b1y + c1 = 0et

y = m2x + b2

Menu

Résolution par comparaison

Étape 1: Comparer les équations

y = m1x + b1 mais, y = m2x + b2

Puisque y = y, on a

m1x + b1 = m2x + b2

Exemple Retour

Menu


Étape 1 (exemple):

y = 2x - 1 et y = x + 1Puisque y = y, on a

2x - 1 = x + 1

Étape 2 Retour

Menu


Étape 2: Isoler “x”

Exemple:

2x - 1 = x + 1 2x - x - 1 = x - x + 1

x - 1 = 1x - 1 + 1 = 1 + 1

x = 2

Étape 3 Retour

Menu


Étape 3: Trouver la valeur de “y”

Remplace la valeur de “x” dans une des équations.

Solution

y = 2(2) - 1 y = (2) + 1 y = 4 - 1 y = 3 y = 3

Retour

x = 2

y = 2x - 1 y = x + 1

Menu


Bravo! Vous avez maintenant la solution.

Comme x = 2 et y = 3, la solution est:

( 2 , 3 )

Montrez-moi! Retour

Menu

Résolution par substitution

Étape 1: Remplace la valeur de “y”

Remplace “y” dans la deuxième équation

y = m1x + b1 et a2x + b2y + c2 = 0

a2x + b2y + c2 = 0

a2x + b2(m1x + b1) + c2 = 0

Exemple Retour

Menu

Résolution par substitutionÉtape 1 (exemple):

Subtituons y = 2x - 1 dans -x + y - 1 = 0

-x + y - 1 = 0-x + (2x - 1) - 1 = 0-x + 2x - 1 - 1 = 0

x - 2 = 0

Étape 2 Retour

Menu

x - 2 = 0x - 2 + 2 = 0 + 2

x + 0 = 2x = 2


Étape 2: Isoler “x”

Exemple:

Étape 3 Retour

Menu


Étape 3: Trouver la valeur de “y”

Remplace la valeur de “x” dans l’équation de forme “y = mx + b”.

y = 2(2) - 1 y = 4 - 1 y = 3

y = 2x - 1On pourrait aussi

remplacer “x” dans l’autre équation, mais ceci

requiert plus de travail!(Essaye-le!)

Solution Retour

Menu



( 2 , 3 )


Montrez-moi! Retour

Menu

Résolution par élimination

a1 = a2

ou

b1 = b2

a1x + b1y + c1 = 0 et a2x + b2y + c2 = 0

Quel cas?

a1 = -a2

ou

b1 = -b2

Ni l’un, ni l’autre

Retour

Menu


Étape 1: Soustraire une équation de l’autre

a1x + b1y + c1 = 0 - a2x + b2y + c2 = 0

Exemple Retour

Menu


Étape 1 (exemple):

-2x + y + 1 = 0 – -x + y - 1 = 0

-2x + y + 1 = 0 et -x + y - 1 = 0

-x + 0y + 2 = 0

-x + 2 = 0

Étape 2 Retour

Menu

x - 2 = 0x - 2 + 2 = 0 + 2

x + 0 = 2x = 2

Exemple:


Étape 2: Isoler “x” (ou “y”)

Étape 3 Retour

Menu

y = 2(2) - 1 y = 4 - 1 y = 3

y = 2x - 1

Étape 3: Trouver la valeur de “y” (ou “x”)

Remplace la valeur de “x” (ou “y”) dans l’équation

de forme “y = mx + b”.


x = 2

Solution Retour

Menu




( 2 , 3 )

Montrez-moi! Retour

Menu


Étape 1: Additionner une équation à l’autre

a1x + b1y + c1 = 0 + a2x + b2y + c2 = 0

Exemple Retour

Menu


Étape 1 (exemple):

-2x + y + 1 = 0 + x - y + 1 = 0

-2x + y + 1 = 0 et x - y + 1 = 0

-x + 0y + 2 = 0

-x + 2 = 0

Étape 2 Retour

Menu

x - 2 = 0x - 2 + 2 = 0 + 2

x + 0 = 2x = 2

Exemple:


Étape 2: Isoler “x” (ou “y”)

Étape 3 Retour

Menu

y = 2(2) - 1 y = 4 - 1 y = 3

y = 2x - 1

Étape 3: Trouver la valeur de “y” (ou “x”)

Remplace la valeur de “x” (ou “y”) dans l’équation

de forme “y = mx + b”.


x = 2

Solution Retour

Menu




( 2 , 3 )

Montrez-moi! Retour

Menu


Il faut isoler “y” (ou “x”) dans une des équations.

Maintenant que tu as une équation de la forme “y = mx + b” et l’autre de la forme “ax + by + c = 0, on peut utiliser la méthode de substitution pour résoudre le système d’équations.

Étape 1 Retour

Menu



y = x + 3 y = x

Les droites n’ont pas de point

d’intersection! Un tel système n’aura pas de

solution.

Retour

Menu



y = x + 3 y = x + 3

Les droites se touchent à

chaque point! Chaque point est une solution du

système.

Retour

Menu



y = x + 1 y = 2x - 1

Ce système admet une

solution au point (2, 3); le point d’intersection

des deux droites!

Retour

Menu



Les deux droites ont la même ordonnée à

l’origine! Elles se croisent donc à

se point!

y = -x + 2 y = 2x + 2

Retour

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