méthode d'éléments finis mixtes application aux équations

Université de Valenciennes et du Hainaut Cambrésis

LAMA V

N" d'ordre: 07/30

Méthode d'éléments finis mixtes : application aux équations de la chaleur

et de Stokes instationnaires

' THE SE

présentée et soutenue publiquement le 15 Novembre 2007

pour l 'obtention du

Doctorat de l'Université de Valenciennes et du Hainaut-Cambrésis

(spécialité mathématiques appliquées)

par

Réda KORIKACHE

Composition du jury

Rapporteurs :

Examinateurs :

Christine Bernardi Jean-Claude Nédélec

Van Casteren Emmanuel Creusé Serge Nicaise

Directeur de Thèse : Luc Paquet

Université Pierre-et-Marie-Curie Ecole Polytechnique, Palaiseau

Université de Antwerp Bélgique Université de Valenciennes Université de Valenciennes

Université de Valenciennes

Laboratoire de Mathématiques et leurs Applications de Valenciennes - EA 4015

Université de Valenciennes et du Hainaut Cambrésis LAMA V

N. d'ordre: 07/30

Méthode d'éléments finis mixtes • •

application aux équations de la chaleur et de Stokes instationnaires

THÈSE

présentée et soutenue publiquement le

pour l'obtention du

Doctorat de l'Université de Valenciennes et du Hainaut-Cambrésis

(spécialité mathématiques appliquéés)

Composition du jury

Rapporteurs :

Examinateurs :

par

Réda KORIKACHE

Christine Bernardi Université Pierre-et-Marie-Curie Jean-Claude Nédélec Ecole Polytechnique, Palaiseau

Van Casteren Emmanuel Creusé Serge Nicaise

Université de Antwerp Bélgique Université de Valenciennes Université de Valenciennes

Directeur de Thèse : Luc Paquet Université de Valenciennes

Laboratoire de Mathématiques et leurs Applications de Valenciennes - EA 4015

Remerciements

Je tiens à remercier en premier lieu Luc PAQUET qui a encadré ce travail de thèse. Par sa compétence et sa maturité scientifique, il a su me guider de façon pertinente dans mes recherches. Sa disponibilité, son écoute et ses qualités humaines m'ont permis d'avancer. Je lui suis infiniment reconnaissant d'avoir permis que cette période me soit agréable et d'avoir ainsi renforcé ma motivation à poursuivre dans la recherche.

Je remercie vivement Les professeurs Christine BERNARDI, Jean-Claude NÉDÉLEC, pour avoir bien voulu juger ce travail et apporter des suggestions.

Un grand merci aux professeurs Jan van CASTEREN, Serge NICAISE et Emmanuel CREUSÉ, d'avoir accepté non seulement de faire partie des membres du jury mais aussi d'avoir examiné attentivement le manuscrit.

Je tiens à remercier l'ensemble des doctorants ou anciens doctorants que j'ai pu côtoyer durant cette thèse.

Mes remerciements vont aussi à tous les membres du laboratoire LAMA V.

Je dédie cette thèse à mes proches.

Table des matières··

Introduction générale iii

1 Équation de la chaleur instationnaire 1

1.1 Introduction ...... ....... 1

1.2 Domaine ouvert borné lipschitzien . 3

1.2.1 Position du problème . . . . 3

1.2.2 Régularité en temps de. la soluÜon . 3

1.2.3 Formulation mixte duale 6

1.3 Domaine polygonal ........ 10

1.3.1 Régularité en espace de la solution 10

1.4 Problème semi-discret •• 1 ••••••• 12

1.4.1 Formulation mixte semi-discrète . . ; 14

1.4.2 Estimations d'erreurs .... 17

1.5 Problème complètement discrétisé . 29

1.5.1 Schéma implicite ...... 29

1.5:2 Stabilité du schéma implicite. 31

1.5.3 Estimations d'erreurs . . . . 37

1.5.4 Schéma de Crank-Nicolson . 49

1.5.5 Stabilité du schéma de Crank-Nicolson 52

1.5.6 Estimations d'erreurs . , .... 56

1.6 Exemple d'implémentation numérique . 67

i

TABLE DES MATIÈRES

2 Équations de Stokes instationnaires

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . .

2.2 Domaine ouvert borné lipschitzien .

2.2.1 ·Position du problème ....

2.2.2 Existence unicité et régularité

2.2.3 Forrimlation mixte duale

2.3 Domaine polygonal . . . . . . .

2.3.1 Régularité en espace de la solution

2.4 · Problème semi-discret ....

2.4.1 Estimations d'erreurs .

2.5 Problème complètement discrétisé

2.5.1 Schéma de Euler implicite

2.5.2 Stabilité du schéma implicite .

2.5.3 Estimations d'erreurs .....

3 Heat diffusion equation in a random medium

3.1 Introduction .

3.2 Preliminaries

3.3 Existence, uniqueness and time regularity .

3.4 The dual mixed formulation ....... .

,·

3.5 Semi-Discrete solution of the dual mixed formulation

3.6 Error estimates in the stationary case .

3.7 The elliptic projection .

3.8 A priori error estimates .

Bibliographie

ü

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83

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91

104

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113

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14~

156

166

172

176

Introduction générale

La résolution des équations aux dérivées partielles occupe une place importante en ingé

nierie et en mathématiques appliquées. Chacune de ces disciplines apporte une contribution

différente mais complémentaire à la compréhension et à la résolution de tels problèmes.

Il existe plusieurs techniques permettant de résoudre numériquement les problèmes

relatifs aux équations aux dérivées partielles. On pense par exemple aux méthodes de

différences finies, de volumes finis, aux méthodes spectrales, etc. On peut sans aucun doute

affirmer qu'aujourd'hui la plus largement répandue est la méthode des éléments finis. Cette

popularité n'est pas sans fondement. La méthode des éléments finis est très générale et

possède une base mathématique rigoureuse qui est fort utile, même sur le plan très pratique.

En effet, cette base mathématique permet de prévoir jusqu'à un certain point la précision

de notre approximation et même d'améliorer cette précision par l'utilisation de maillages

adaptés.

Parmi les problèmes les plus fréquents figurent ceux posé dans des domaines non ré-:

guliers. Des études théoriques montrent le comportement singulier de la solution d'un pro

blème au limites posé sur un ouvert polygonal non convexe au voisinage des sommets non

convexes; citons par exemple les travaux de Kondratiev, Maz'ya-Plamennvski, Grisvard,

Dauge, Stupelis, Kozlov-Maz'ya-Rossmann .... Ces singularités conduisent en général à un

ordre non optimal de convergence des solutions approchées si par exemple une méthode

d'éléments finis P1 ou P2 est utilisée lorsqu'il s'agit de l'opérateur de Laplace ou si l'on

utilise la méthode d'éléments finis de Hood-Taylor lorsqu'il s'agit du système de Stokes.

Pour remédier à cet inconvénient diverses méthodes ont été proposées pour restaurer l'ordre

optimal de convergence : adjonction de fonctions singulières à l'espace approchant (Strang

iii


et Fix, 1973), la méthode du raffinement de maillage (Babuska 1970, Raugell978, Dobo

rowolski 1982) et la méthode des fonctions singulières duales (Blum-Doborowolski 1982).

Dans ce travail on se propose d'établir des estimations d'erreurs a priori pour les solu

tions approchées d'équations d'évolution obtenues par la méthode d'éléments finis mixte

duale en espace et ce pour trois types de problèmes : le premier concerne le problème de

Cauchy pour l'équation de diffusion de la chaleur, le second est le problème de Stokes ins

tationnaire, et le dernier concerne le problème de Cauchy pour l'équation de diffusion de la

chaleur mais avec un coefficient de diffusion aléatoire. Pour ces trois types de problèmes,

il y a un certain nombre de raisons de préférer la méthode mixte duale en espace à une

méthode classique en espace; parmi elles la propriété fondamentale qu' est la conservation

locale, et par suite globale, de certaines quantités physiques (la quantité de mouvement,

la masse, la quantité de chaleur, ... ). Une autre raison bien connue pour adopter la mé

thode mixte duale en espace est qu'elle nous permet d'introduire des nouvelles variables : ---+

p(t) := V'u (t) le flux de chaleur à l'instant t p:our l'équation de diffusion de la chaleur,

cr (t) := Vû(t) le tenseur gradient du champ des vitesses à l'instant t pour le problème

de Stokes instationnaire, ces inconnues supplémentaires ayant un sens physique et une

importance particulière pour plus d'une application. Il est donc important de disposer

d'une méthode numérique donnant aussi de bonnes approximations de ces quantités. Nous

montrons que ces diverses quantités appartiennent à des espaces de Sobolev de fonctions

dépendant du temps, à poids appropriés en espace prenant en compte les singularités de

la solution apparaissant au voisinage des sommets non-convexes. Nous décrivons ensuite

des conditions de raffinement de maillage près des sommets qui permettent d'obtenir une

estimée d'erreur a priori optimale en espace entre une solution de l'équation d'évolution et

son approximation semi-discrète ou complètement discrétisée.

Le premier chapitre de notre travail est consacré à l'étude de l'équation de diffusion

de la chaleur dans un domaine polygonal de JR2 . En plus de l'inconnue traditionnelle u (t),

représentant la distribution de température dans le domaine à l'instant t, on introduit ---+

l'inconnue supplémentaire V' u ( t) (représentant le flux de la chaleur à l'instant t). Pour

chaque instant t dans l'intervalle de temps fixe [0, T], nous recherchons une approximation - . de l'inconnue supplémentaire V' u(t) dans chaque triangle K de la triangulation 1h du do-

lV

maine polygonal considéré, sous la forme d'un champ de Raviart-Thomas de degré 0 ayant

sa composante normale continue aux interfaces et une approximation de l'inconnue. u(t)

par une constante sur chaque triangle. Pour une famille régulière de triangulations (7h)h>O

satisfaisant à des conditions de raffinement appropriées, conditions auxquelles on peut sa

tisfaire en utilisant la technique de raffinement de maillage de G. Raugel, nous démontrons

des majorations d'erreurs optimales pour la solution du problème semi-discrétisé de l'ordre

de h en espace (h représentant la finesse du maillage).

En seconde partie du premier chapitre, nous donnons des estimations a priori d'erreur et

les preuves de stabilité pour la discrétisation complète de la méthode mixte duale pour

l'équation de diffusion de la chaleur obtenue en utilisant pour la discrétisation en temps

l'un des deux schémas : le schéma d'Euler implicite ou le schéma de Crank-Nicolson.

Dans le second chapitre, nous nous intéressons au système de Stokes instationnaire pour

un fluide visqueux incompressible dans un domaine polygonal. Nous étudions la formulation

mixte obtenue en introduisant en outre des inconnues traditionnelles : la vitesse ï/(t) et

la pression p(t), la nouvelle variable C7(t) := \lü(t) représentant le tenseur gradient du

champ des vitesses à l'instant t. Nous approximons chacune des deux lignes de u (t) par un

champ de vecteurs de Raviart-Thomas de degré 0 sur chaque triangle K de la triangulation,

avec continuité de la composante normale aux interfaces. La pression p (t) est approximée

par une constante sur chaque triangle de la triangulation et la vitesse ïl(t) par un champ

de .vecteurs constant sur chaque triangle. En utilisant, un raffinement de maillage à la

G. Raugel, nous obtenons une estimation de l'erreur de l'ordre de h en espace pour. le

problème semi-discrétisé, semblable à celle du cas des domaines à frontière lisse. Ensuite on

complète la discrétisation du problème à l'aide du schéma d'Euler implicite. On démontre

en premier lieu la stabilité du schéma implicite et nous démontrons ensuite des estimées

d'erreur d'ordre 1 en temps et en espace.

Dans le troisième et dernier chapitre de notre travail, nous présentons la méthode

mixte duale pour l'équation d'évolution de la chaleur dans un domaine polygonal D avec

un coefficient de diffusion aléatoire lC (x, w), x E D, le flux de chaleur à l'instant t étant

JC(>Vu (t) où (> dénote le produit de Wick. Du point de vue numérique, ce produit de

Wick a le grand avantage, contestable toutefois du point de vue physique, de n'introduire de

v


couplages entre Ies coefficients du développement de la solution du problème semi-discrétisé

(Ph, (t), uh (t)) en polynômes de chaos qu'avec ceux de multi-indice strictement plus petit.

Donc à chaque étape du calcul d'un coefficient du développement en polynômes de chaos, la

taille du système linéaire à résoudre est la même que dans le cas déterministe. En particulier

le calcul de la moyenne de (Ph (t), uh (t)) ne fait intervenir que les moyennes de Ph (t), de

uh (t), du coefficient de diffusion lC et du membre de droite, ce qui physiquement toutefois

peut laisser perplexe sur la validité du modèle. Nous démontrons des estimations d'erreur a

priori pour la solution du problème semi-discrétisé Wh (t), uh (t)) ayant un développement

en polynômes de chaos de dimension K et de degré N de la méthode mixte duale . En

raison du coin réentrant du domaine polygonal D, un raffinement de maillage approprié

doit être imposé à la famille de triangulations afin de restaurer l'ordre de convergence

optimal 1 de la méthode en espace.

vi

Chapitre 1

Équation de la chaleur instationnaire

1.1 Introduction

Le premier chapitre de notre travail est consacré à l'établissement d'estimées d'erreur

à priori pour les solutions approchées de la méthode mixte duale en espace, appliquée à

l'équation de diffusion de la chaleur (instationnaire) dans un domaine polygonal de JR.2

avec un coin réentrant. Dans la méthode mixte duale, en plus de l'inconnue u représen

tant la distribution de température à un instant, on introduit l'inconnue supplémentaire ~

\7 u représentant le flux de chaleur à un instant et l'on en recherche une approximation

sous la forme d'un champ de Raviart-Thomas de degré 0 sur chaque triangle de la trian

gulation avec continuité de la composante normale du champ approchant aux interfaces

de chaque triangle. Dans la formulation mixte duale, l'équation de balance de la chaleur

est exactement satisfaite en moyenne par la solution approchée, sur chaque triangle de

la triangulation du domaine polygonal dans lequel est posé le problème. Une différence

essentielle avec les travaux de Claes Johnson et Vidar Thomée [101, [71, est que les estima

tions d'erreur a priori que nous obtenons pour la solution du problème semi-dicrétisé, ne

supposent pas les régularités spatiales H 2 pour Ut(s) pour presque tout s dans l'intervalle

[0, t] et H 3 pour u(t) comme c'est le cas dans le théorème 2.1 p. 54 de [10] ou le théorème

17.2 p. 276 de [7], ces propriétés de régularité n'étant pas vraies en général pour l'équation

de diffusion de la chaleur dans un domaine polygonal. Notons aussi que les espaces d'ap-

1


proximations que nous considérons sont différents de ceux employés dans [10] ou [7] p.268.

Dans les estimations d'erreur a priori : le théorème 2.1 p. 54 de (10) ou le théorème 17.2

p. 276 de [7], le cas du plus bas ordre n'est pas considéré qui est cependant le cas le plus

pertinent dans un domaine polygonal en raison des singularités induites par la géométrie

du domaine sur la solution exacte. Dans notre contexte des domaines polygonaux, dû à la

présence de ces singularités de la solution exacte, nous devons travailler plutôt qu'avec des

espaces de Sobolev classiques avec des espaces de Sobolev à poids en espace comme H 2•a.

(voir le livre de P. Grisvard, section 8.4 (3]). En outre en raison de ces singularités spatiales

de la température u et du flux de chaleur p, nous devons raffiner de manière appropriée nos

maillages (11] au voisinage du coin réentrant de notre domaine polygonal, pour récupérer .

l'ordre de convergence 1 en espace des solutions du problème semi-discrétisé. De ce fait,

nous ne pouvons supposer comme dans [10], [7]1a famille de triangulations quasi-uniforme.

Dans une seconde étape, la formulation mixte duale semi-discrétisée de l'équation de dif

fusion de la chaleur, est discrétrisée en temps suivant l'un des deux schémas :le schéma

d'Euler implicite ou le schéma de Crank-Nicolson. Notons que le problème complètement

discrétisé n'est pas abordé dans [10], [7}. Nous commençons par démontrer pour chacun

de ces deux problèmes complètement discrétisés, l'existence et l'unicité de la solution, puis

nous démontrons la stabilité de ces deux schémas respectifs et finalement démontrons sous

les conditions de raffinement de maillages évoquées ci-dessus, des estimations d'erreurs a

priori d'ordre 1 en espace et en temps pour la solution du problème complètement discré

tisé par le schéma d'Euler implicite et d'ordre 1 en espace et 2 en temps pour la solution

du problème complètement discrétisé par le schéma de Crank-Nicolson. Nous terminons ce

chapitre en donnant un exemple de traitement numérique de l'équation de diffusion de la

chaleur par la méthode mixte duale en espace et le schéma d'Euler implicite en temps dans

un domaine "en forme de U, corroborant les estimées d'erreur théoriques obtenues dans ce

cas.

2

Domaine ouvert borné lipschitzien

1.2 Domaine ouvert borné lipschitzien

1.2.1 Position du problème

Soit n un ouvert borné de JR2. Pour T > 0 fixé, nous posons Q := n x ]0, T[ et E :=

r x ]0, T[. On considère le problème d'évolution de la chaleur sur n : étant donné j E

L2 (0, T; L2(f2)), gE H1(f2), trouver u E H 1 (0, T; L2(n)) n L2 (0, T; H1(f2)) solution de :

ut(x, t) - ~u(x, t) = f(x, t) dans Q

u(x, t) = 0 sur 'E (1.1)

u(x, 0) = g(x) , pour xE n. Du fait qu'on cherche une solution u E H 1 (0, T, L2 (0)) et puisque H 1 (0, T, L2 (0)) <--+

C([O, T]; L2(f2)), alors la condition initiale u(., 0) = g(.) E Îf1(0) a bien un sens.

D'autre part en introduisant la variable p = Vu, on peut réécrire l'équation de la chaleur

sous la forme :

div P(x, t) = Bu~, t) - f(x, t)

ce qui implique que p E L2 (0, T; H(div, 0)) puisque u E H 1 (0, T; L2 (0)), où

H( div, 0) := { q E L2(0)2; div q E L2(n)}.

1.2.2 Régularité en temps de la solution

Théorême 1.2.1 Le problème {1.1) admet une solution unique

Preuve: Pour la preuve complète, nous nous référons au livre de Grisvard [2}. Ici on

explique seulement pourquoi u E H1 (0, T,L2(0)).

Soit A l'opérateur -!J.. dans H = L2(0) defini par :

D(A) ={v E H1(0); ~v E L2 (0)} et Av= -!J..v 'ïlv E D(A).

3


A est un opérateur auto adjoint avec un inverse compact et soit (.\m)m;:::o la suite croissante

de ses valeurs propres, chaque valeur propre étant répétée un nombre de fois égal à sa

multiplicité. Soit W m E D(A) la fonction propre correspondante à la valeur propre Àm; on

a deme:

On suppose aussi que Wm est normalisé c.-à-d. que !!Wmllo,n = 1, (//-1/o,n est la norme dans

L2 (D)).

En termes des fonctions propres et des valeurs propres de l'opérateur A on peut écrire

la solution t ~---+ u(t) de l'équation de la chaleur avec f E L2 (0, T; L2(n)) comme second

membre et g E ifl(O) comme condition initiale sous la forme :

u(t) = m:Ëoo {e-Àmt(g, Wm) + lt e-(t-s)Àm(f(s), Wm)ds}Wm. m=l 0

Si on dérive par rapport au temps on a :

m=+oo m=+oo t

Ut(t) = 2::: e-Àmt(-.\m)(g, W m)W m + L {(f(t), W m)-1 e-(t-s)Àm Àm(j(s), W m)ds }W m· m~ =1 0

(1.2)

Mais m=+oo 2 m=+oo

L e-Àmt(-Àm)(g, Wm)Wm - L e~2Àmt,\;J(g,Wm)\2 (1.3) m=l o,n m=l

d'où:

m=+oo 2

L e-Àmt( -Àm)(g, Wm)Wm m=l LZ(o,T;P(n))

l m=+oo

- 2 L Àm /(g, Wm)/2 ~ \Jgll}rl(n)(1.4)

m=l

4

4


en utilisant le fait que D( J'="E) = H1 (0) ( [2], p.152).

D'autre part :

m=+oo 2 m=+oo L (f(t), Wm)Wm - :L j(f(t), Wm)l 2

= llf(t)ll~,n · m=l o,n m=l

Donc: 2

mfoo (!(.), Wm)Wm = 1T !IJ(t)ll~,n dt· m=l L2(0,T;L2(f2)) 0

Il reste à majorer :

(1.5)

1!:."'le-<'-'l'->.m(f(s), Wm)ds Wm 2

= mfl>-ml'l1t e-(t-s)>.m(J(s), Wm)ds!2

m=l 0 o,n m=l 0

< f, i>.,i' (J.' e-it-•1'-ds)

(1t e-(t-s)>.m if(s), Wml 2 ds) (1.6)

par l'inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée à :

Mais

Alors

m=+oo t 2 m=+oo t . .:L 1 e-(t-s)>.m Àm(f(s), Wm)ds Wm ~ L Àm 1 e-(t-s)Àm if(s), Wrri ds m:=l 0 o,n m=l 0

5

5


ce qui implique en intégrant de 0 à T :

+oo t 2 L 1 e-(t-s)Àm Àm(J(s), Wm)ds Wm m=l 0

Alors d'aprés (1.4),(1.5),(1.6) on a:

donc

(1.7)

• Introduisons maintenant la formulation mixte du problème de la chaleur.

1.2.3 Formulation mixte duale

On pose dans la suite X := H(div, 0); M := L2 (D) et on munit ces espaces de leurs

normes naturelles (Cf. [8]), on note 1 l'intervalle de temps de [0, T] . Si on introduit la

nouvelle variable p ='\lu, i.e. p = ( %~, tx:) T, on peut réécrire le problème de la chaleur

sous la forme :

6

6


Ut(X, t) -div p(x, t) = f(x, t) dans Q ,

u(x, t) = 0 sur :E

(1.8)

p(x, t) =Vu( x, t)

u(x, 0) = g(x) pour x E 0.

Pour tout qE X, on a:

l P(t).q dx + l u(t) divqdx = l (Vu(t).q+ u(t) divq)dx.

- ( u(t)q.iï ds, V't E !, lan

Comme u E L2 (0, T; ÎI1(D)), u(t)1an = 0 pour presque tout t dans I, nous obtenons

l'équation :

L p(t).lf dx +ln u(t) div q dx = 0 Vif EX, V't E !.

D'autre part, puisque Ut(t)- divp(t) = j(t), nous avons:

(v (Ut(t)- divp(t))dx = ( f(t) v dx, VvE M, V't E I k k D'où:

lv divp(t)dx = -L (f(t)- Ut(t)) v dx, VvE M, V't E I

Le système des deux équations (1.9) est appelé formulation mixte du problème (1.8). Si

u E H 1 (0, T; L2(0)) nL2(0, T; ÎI(O)) est la solution du problème (1.1) alors ( p := Vu, u) E

L2 (0, T; H(div, D)) x H1 (0, T; L2 (D)) et est solution de la formulation mixte:

7

7


InP'(t).qdx+fnu(t) divqdx=O, VqEX, V'tEI.

In v divp(t)dx =- InU(t)- Ut(t)) v dx, VvE M, V't E I, (1.9)

u(O) =gE Ïfl(rt).

Nous montrons maintenant que c'est la seule solution de la formulation mixte.

Théorème 1.2.2 Pour tout g E Ïfl(rt) et tout f E L2 (0, T; L2 (rt)) la formulation mixte

(1.9) admet une solution unique,

Preuve: D'après ce qui précède, nous savons que le problème (1.9) possède une solution.

Il reste à montrer que cette solution est unique. Pour cela montrons que si (p(·), u(·))

E L2 (0, T; H(div; 0.)) x H1(0, T; L 2 (rt)) vérifie:

{

InP'(t).qdx + Inu(t) divqdx = 0, VqE X, V't E I,

In v divp(t)dx = fn Ut(t) v dx, VvE M, V't E I,

et u(O) = 0, alors p= 0, et u =O.

(1.10)

Notons queuE H 1 (0, T; L2(0)) implique Ut(t) E L2 (rt) V't E I et donc que In Ut(t) v dx

a bien un sens VvE M, V't E I.

Prenant q = p(t) dans (l.lO)(i)• et v = u(t) dans (l.lO)(ii)• pour un t fixé dans I tel que

p(t) E H(div; 0) et Ut(t) E L2(rt), (1.10) nous donne :

D'où:

{

In \P'(t)\2 dx + fn u(t) divp(t)dx = 0

In u(t) divp(t)dx =In ut(t) u(t) dx

1\p(t)\2 dx + 1 ut(t) u(t) dx = 0

8

8

(1.11)


ce qui entraîne

r 1 d r Jn IP'(t)!

2 dx + 2 dt ln u(t)

2dx = 0 'ï!'t E J.

D'où

! 1 u(t) 2dx = -2Ljp(t)j2 dx:::;; 0, 'ï!'t E I

ce qui permet de conclure que la fonction t """'In u(t)2dx est décroissante.

De In u(0)2d.x = 0, suit alors :

(voir remarque qui suit).

De (1.11) on conclu alors que

fn!P(t)j 2 dx = 0 'ïl't E I ==} p(t) = 0 'ïl't E I.

Doncp=O, comme élément de L2(0,T;H(div;f2)). •

Remarque 1.2.3 La fonction W : t """' In u(t)2dx est absolument continue. Démontrons

le.

On a:

w'(t) = L 2 Ut(t) u(t) dx

Alors

forl\f!'(t)!dt < 2 forcfn!ut(t)l!u(t)jdx) dt.

< 1T cfn!ut(t)j 2 + \u(t)j2 dx) dt

- ··1T (fn!Ut(t)j 2 dx) dt+ 1T cfn ju(t)j2

dx) dt

- laT l!ut(t)!l;,n dt+ 1T l!tt(t)!l;,n dt= !Jujj~l(O,T;L2(n)) < +oa.

9

9


Donc W E L1([0, T]) et W' E U([O, T]) i.e. West absolument continue. West alors l'intégrale

de sa dérivée. Plus précisément, comme w(O) = 0, nous avons :

W(t) = 1t w'(s) ds

Comme nous avons w' ::; 0 =>west décroissante et puisque w ;:::: 0 et 'lr(O) = 0 on a bien

w(t) = 0 Vt E I i.e. In u(t)2dx = 0, Vt E I.

Nous avons donc démontré que le problème : étant donné g E ffl(D), trouver (P, u)

E L2 (0, T; H(div, 0)) x H 1(0, T; L'2(D)) tel que :

In:P(t).qdx +In u(t) divqdx = 0, WjE X, V't E I.

In v div p(t)dx =- fnCJ(t)- Ut(t)) v dx, VvE M, 'ïl't E J,

u(O) = g E H1 (D)

possède une et une seule solution, sous la seule condition sur D. n étant l'ouvert borné

lipschitzien de JR2 .

1.3 Domaine polygonal


Dans la suite, on suppose que n est un domaine de R2 à bord polygonal : an := Uf=_1 ri, où ri est un segment de droite ouvert 'il j = 1, 2, ... , N. Nous savons bien que les singularités

géométrique du domaine (angle) induisent en général des singularités sur la solution du

problème de Cauchy pour l'équation de diffusion de la chaleur. Pour plus de détails, voir

[2] et [3]. Comme c'est expliqué dans [2] et [3] on peut supposer que n n'a qu'un seul angle

non convexe à l'origine dont la mesure est notée w. Rappelons que H2·"'(D) est l'espace des

fontions de H1 (D) dont les dérivées secondes multiplie par ra: sont carré intégrable, avec r

dénotant la distance de l'origine de ffi.2 • On muni cet espace par sa norme naturelle. Pour

une définition plus précise de cet espace, voir par exemple [3] définition 8.4.1.1 et lemme

10

10

Domaine polygonal

8.4.1.2 p.388. Nous allons à présent démontrer un résultat de régularité de la solution de

notre problème par rapport aux variables spatiales.

Thêorême 1.3.1 Soit u la solution du problème de Cauchy (1.1). Alors pour tout a > 1-1L

w

lluilL2(0,T;H2•<>(0)) $; C (11 fiiL2(0,T;L2(Q)) + iiullHl(O,T;L2(Q))) ·

Preuve: Introduisant encore une fois l'opérateur fermé A dans L2 (0), défini par :

D(A) := {v E HJ(O); -l::l.v E L2(0)}, et Av = -l::l.v, 'iv E D(A).

Nous savons [3], [81 que D(A) '-> H2•a:(n) pour a > 1- ~ et que

(1.12)

D'après le théorème 1.1.1 le problème de la température sur 0 x [0, T] : étant donné

fE L2 (0, T; L2(0)) et g E H1(!.1), trouver u E H 1 (0, T; L2(0)) n L2 (0, T; H1(0)) solution

de Ut(x, t) -l::l.u(x, t) = f(x, t), dans Ox]O, T[

u(x, t) = 0, sur E,

u(x, 0) = g(x) , pour 'ix E 0.

possède une et une seule solution.

De l'équation :

Àu(t) = - f(t) + Ut(t) , 'V't E (0, T],

suit

l::l.u(t) E L2 (0), 'V't E ]0, T[.

Donc par (1.12), 'V't E JO, T[: u(t) E H 2•a:(n) et

llu(t)lln2,<>(n)::; c (l!f(t)ibcn) + l!ut(t)IIL2(n)) ·

11

11

(1.13)


En élevant les deux membres de cette inégalité au carré, puis en intégrant les deux membres

de 0 à T, on trouve queuE L2(0, T; H 2·o:(n)) et que

(œ > 1- 1r fixé) w

À fortiori:

(1.14)

•

1.4 Problème semi-discret

Avant d'écrire le problème semi-discret de l'équation de la chaleur, i.e. la discrétisation

en espace, nous allons d'abord préciser quelques notations. On se place en dimension deux

et on désigne par (7h)h une famille de triangulations de n formées de triangles K. En

particulier :

On note par hK le diamètre de K i.e.

hK = diam(K) = max lx1- x2i :Z:1,x2EK

où j.j désigne la norme euclidienne de JR2• Par PK, nous désignons la rondeur de K i.e.

PK= sup { diam(B); B disque de R2 et B C K}.

Le paramètre noté aussi h conformément à la tradition

h=: maxhK KETh

caractérise la finesse du maillage, et r(x) dénote la distance euclidienne entre le point x et

l'origine de JR2•

On note par Pk l'espace des polynômes en les ':'ariables x1 , x 2 à coeffièients réels et de degré

global inférieur ou égal à k.

Soit K un triangle arbitraire avec comme sommets successifs en tournant dans le sens

12

12

Problème semi-discret

trigonométrique := A(a1, a2), B(b1 + a1, b2 + a2), C(c1 + a1, c2 + a2).

Les couples entre parenthèse désignent leurs coordonées respectives.

Soit la transformation affine :

K---+K

C'est une bijection de K sur K, K désignant le triangle de référence :

On note:

On a dét BK > O.

D'autre part, pour transformer un champ de vecteurs sur Ken un champ de vecteurs sur

K ou l'inverse, on utilise la transformation de Piola : qui apparaît dans ([12] p.42) ou

d'une façon plus générale dans ((13] p.23).

Si 6 est un champ de vecteurs sur k son image par la transformation de Piola est le champ

de vecteurs sur K défini par :

Réciproquement : étant donné v un champ de vecteurs sur K son image par la transfor

mation de Piola est le champ de vecteur sur k défini par :

B(x) = det BK. B[/ v(FK(x)), 'ix E f<.

Dans la suite, nous considérons sur n, une famille de triangulations ('Th)h>o régulière dans

le sens suivant : (Cf. [4] 17.1 p.l31)

13

13


Définition 1.4.1 Une famille de tr·iangulations (Th)h > 0 est dite régulière s'il existe une

constante cr0 telle que hK

'\lh > 0, 'V K E n ' CTK := - :$ O"o • PK

1.4.1 Formulation mixte semi-discrète

Écrivons maintenant le problème semi-discretisê de (1.9) :trouver (pl., uh) E L2 (0, T; Xh) x

H 1 ( 0, T; lvh) tels que

fn ifh(t).ifh dx + fn uh(t) div ifh dx = 0 ,

fn vh divfih(t) dx = - fn(f(t)- uh,t(t)) vh dx, (1.15)

et la condition initiale : uh(O) = gh E Mh ,

qui sera précisée plus tard où

Xh := { fih E H(div, 0); V'K ETh ifh;K E RTo(K) }

où RT0(K) = P0(K)2 EBP0(K) (:~)désigne l'espace vectoriel de dimension trois des champs

de Raviart-Thomas de degré 0 sur K. (RT0 (K) est noté D1 (K) dans [5] p.550) et Po l'espace

vectoriel des fonctions constantes sur K.

Proposition 1.4.2 Le problème (1.15) possède une et une seule solution

14

14


Preuve: Remarquons tout d'abord, qu'ici la condition initiale 9h E Mh C L2(ü); donc 9h

' . ' al d H1 (("\) s . ;:{1) ;:{J) b d x (1) (K) b n est pas en gener ans 0 ~' • 01t qh , .•. , qh une ase e h, et vh , ... , vh une ase

de Mh. On écrit Ph(t) (resp. uh(t)) dans la base ( <t!)) j=l, ... ,Jde xh (resp. ( vik)) k=l, ... ,Kde Mh): .

J K

J)h(t) = 2::: aj(t)q};) , uh(t) = L f3k(t)vhk). j=l . k=1

La formulation mixte discrète (1.15) est équivalente à:

{

J -:f.j) ;:{j') K (k) . .Jj') ·' In L,j=l aj(t)qh .qh dx + fn L,k=l f3k(t)vh d1vqh dx = 0, 'VJ = 1, 2, ... , J

In v~k') (L,f=l aj(t) div qf;')) dx =- f0 (f(t) - L,~=l ;3k(t)v~k)) v~k') dx, Vk' = 1, 2, ... ,K.

Ce qui peut être réécrit sous la forme :

"C"'J ( r ;:{j) ;:{j') ) ( ) "'K ( r (k) d' ;:{j') ) (Q ( ) - 0 L.Jj=l Jn qh .qh dx ai t + L.Jk=l Jn vh rv qh dx JJk t - ,

V j' = 1, 2, ... , J,

'Vk' = 1, 2, ... ,K.

Maintenant, posons

""' = fo v, v, dx·' ,:;;' = fn qh q, ~ ~ c;'"' = fn (div q, )v, dx

{

(k) (k') ;:{j) ;:{j') . df) (k')

'VJ,J -1,2, ... ,J, ,Vk,k -1,2, ... ,K.

Avec ses notations, le système différentiel précédent peut-être réécrit :

15

15


'ï!k' = 1, 2, ... ,K.

En prenant aussi :

A= (akk'h~k',k~K matrice symétrique et définie positive, A E JRKxK;

B = (bj'J) 1~j'J9 matrice symétrique et définie positive, BE ]RJxJ;

C = (cj'kh~J'9,1~k~K, CE RJxK,

et :

!31 (t)

/3(t) = E JRK, a(t) = E JRJ, F(t) =

f3K(t) Les équations précédentes peuvent être réécrites :

D'où

{

A ~(t) = 0Ta(t) + F(t),

B a(t) + C (3(t) =O.

a(t) = -B-1C {3(t).

Injectant (1.17) dans la première équation, on obtient

{

A ~(t) =-CT B-1C {3(t) + F(t),

a(t) = -B-10 (3(t).

16

16

(1.16)

(1.17)


Donc il suffit de résoudre le système différentiel ordinaire inhomogène

{

A ~(t) + crs-1C j3(t) = F(t)

/3(0) = f3o (i.e.)

où (30 E RK est le vecteur de JRK tel que

K

'L,(f3o)kv~k) = gh E A1h. k=l

On peut encore écrire ce systéme différentiel K x K sous la forme :

Ceci implique :

t f3(t) = e-A-lCrB-lCt/30 + lo e-A-lCTB-1C(t-r)A-lF(T) dT.

Par vérification directe, il s'en suit que :

Puisque a(t) = -B-1C(3(t) donc a E C([O, T]; JRJ) et a E U(O, T; JRJ). D'où

1.4.2 Estimations d'erreurs

•

Notre objectif, dans cette section, est de démontrer certaines estimations d'erreùrs sur

la solution du porblème semi-discrétisé. Dans ce qui suit, (p, u) désigne la solution du pi:o'

blème continu (1.13) et (ph. , uh) désigne la solution du problème semi-discret (1.15). Pour

cela nous avons besoin d'introduire un problème intermédiaire appelé projection elliptique,

et nous allons tout d'abord comparer la solution exacte (P(t), u (t)) à la solution de la

projection elliptique à l'instant t. La définition de la projection elliptique est similaire à

celle donnée par Vidar Thomée dans son livre ([7}, (17.26) p.276).

17

17

Êquation de la chaleur instationnaire

Définition 1.4.3 On appelle projection elliptique de (P(t), u(t)) V't E J, la solution

(i5~(t), uh(t)) de la formulation mixte discrétisée du problème elliptique stationnaire avec

comme second membre : -.6.u(t) = -div p(t) = j(t) - Ut(t) E L2(0.).

Autrement dit : (Ph(t), uh(t)) E xh x Mh est la solution du problème suivant :

{

In p. (t) .ijh" dx +In Ùh (t) div iih dx = 0, 1/ijj, E xh.

fn vh divph(t))dx =- fn -l::.u(t) vh dx, Vvh E Mh.

(1.18)

Notons que f(t)- Ut(t) = -.6.u(t) et puisque Ut E L2(0, T; L2(0.)), donc pour presque tout

t dans I : j(t) - Ut(t) = -.6u(t) E L2(0.). On peut alors pour presque tout t dans J,

résoudre le problème elliptique discrétisé (1.18) :

Proposition 1.4.4 Le problème (1.18) admet une solution unique, V't E I ,(jh(t), üh(t)) E

Xh x Mh. De plus~ E L2 (0, T; Xh) et uh E L 2 (0, T; Mh)·

Preuve: Nous utilisons les même notations que la démonstration précédente, écrivons

(Ph(t), üh(t)) dans les bases ( q};)) i=l, ... ,J de Xh et (vlk)) k==l, ... ,x de Mh:

J K

Ph(t) = 2: Erj(t)i/,!) , uh(t) = L i3~c(t)vlk) j==l k=l

Nous avons cette fois-ci le système d'équations (V't E J) :

{

B a(t) + c i3(t) = o

cT &(t) + F(t) = o,

18

18

(1.19)

où

(1.19) est équivalent à

Alors

j0(f(t)- Ut(t))v~1 ) dx

F(t) =

f0 (J(t)- Ut(t))viK) dx

{

a(t) = -B-1C ffi(t),

cT a(t) + F(t) =o.

'ï!'t E I,

'll't E I.

Regardons de plus près la matrice cr s-1c E JlKxK .

Soit ~ E ffi.K\ {0} :


où ma:xcr(B) désigne le maximum des valeurs propres de B. Notons que CT B-1C ~ E

ffi.K et que B-1c ~ E :rre . L'inégalité précédente implique que

Pour démontrer que CT B-1C est définie positive, il suffit en vertu de l'inégalité précédente

de vérifier que le vecteur ( C ~) E JlJ est non nul, \;/~ E ffi.K\ {0}.

Pour cela supposons que C Ç =O.

Alors:

19

19


0 ~1) ~2) ~J) r qh ' qh ' ..... 'qh forment une base de xh.

On a donc 'ifk E Xh K

f (div%)(L vlk)çk) dx =O. ln k=l

Mais L:~=l Çkvik) E Mh et alors par le lemme (1.2) p.612 de [8], il s'en suit que

K

LÇkvik) = 0 k=l

ce qui implique

6 = 6 = ...... = f.x = 0 donc Ç=O.

Ceci démontre que la matrice CT B-1C est symétrique et définie positive.

D'où:

Comme FE L2(0, T; JR.K), $ E L2(0, T; JR.K) et par conséquent & E L2(0, T; ~J) par (1.19).

D'où

• Dans la suite, on a besoin, dans l'estimation de l'erreur, de plus de régularité sur la

solution du problème (1.13) ainsi que sur sa projection elliptique. Pour cela on suppose

que:

On a alors le résultat suivant :

Proposition 1.4.5 Avec les hypothèses ci-dessus on a :

et

(1.21)

20

20


Preuve:

Par hypothése * E L2 (0, T; L2 (D)). Soit v E H1(0, T; L2(0)) n L2(0, T; H1(D)) la

solution de l'équation de la chaleur :

d df dt (v(t)) = ~(v(t)) + dt (t) dans Q

v(O) =Ag+ f(O) dans il

Puisque

alors d'aprés le théorème 1.1.1, v existe et est unique. De plus d'après le résultat de régu

larité (1.14) appliqué au problème de Cauchy ci-dessus :

Posons

u(t) = 1t v(s)ds + g.

On vérifie de suite que u ainsi définie est la solution de (1.1). De plus, ~~ =v. Des propriétés

de régularité de v suit alors (1.20).

D'autre part nous avons vu dans la démonstration de l'existence et l'unicité de la projection

elliptique que

on a

d -dtj3(t)

21

21


D'ou d - 2 K dt(J(t) E L (0, T; lR ).

Il s'en suit que,

puisque

et par conséquent

ce qui achève la démonstration. • Remarquons que la projection elliptique (ph(t), ûh(t)) n'est que la solution de la for

mulation mixte discrète pour le Laplacian avec comme second membre

-6u(t) = -div p(t) = j(t) - Ut(t) E L2(D),

Il découle du théorème 1.13 p.619 et du théorème 1.17 p.623 de [8] :

Proposition 1.4.6 Soit {7h} une famille de triangulations régulière sur 0 satisfaisant

pour un a E ] 1 - ;; , 1 [ fixé : 1

(i) hx :::; aHï=; pour tout triangle K E 1h admettant l'origine comme sommet,

(ii) hx:::; cr(infxEKra(x))h pour tout triangle K E 1h sans sommet à l'origine.

Alors il existe une constante c > 0 indépendante de h telle que :

et

(1.22)

(1.23)

Proposition 1.4. 7 Soit a E] 1 - ;;, 1 [fixé et soit {Th} une famille de triangulations sur

0 possédant les mêmes propriétés que dans la proposition 1.4.6. Il existe une constante

positive /3* indépendante de h telle que V't E I :

(1.24)

22

22


où Ph désigne l'opérateur de projection orthogonale de M sur Mh.

Preuve: Rappelons les deux problèmes (1.9), (1.15) :

la formulation mixte :

{

InP(t).qdx+ fnu(t) divqdx = 0,

In v divP(t)dx =- InU(t)- ut(t)) v dx,

le problème semi-discret :

VqEX,

VvEM,

{

InPh(t).lfh dx + fn uh(t) div iih dx = 0 ,

In Vh divph(t)dx =- InU(t)- uh,t(t)) vh dx,

En prenant q = % dans (1.9)(i) on obtient

r p(t).ijhdx + r u(t) div iih dx =o. Jn Jn · Puisque div ifh est constant sur chaque K E 7h, Vifh E Xh, nous avons :

l u(t) div ijh dx - L 1 u(t) divlfk dx KE'Jh K

D'où (1.25) devient

(1.9)

(1.15)

(1.25)

kp(t).ijhdx+ kPh(u(t))divifh dx=O VifhEXh,V'tEI, (1.26)

et en faisant la différence entre (1.26) et (1.15)(i), on obtient

L (p(t)- fh(t)) .rfhdx +ln (Phu(t)- uh(t)) div qh dx = 0, Vijh E xh, V't E I. (1.27)

23

23


Maintenant du corollaire 1.15 de [8] i.e. de l'inégalité inf- sup uniforme et de (1.27) suit :

lluh(t) -Ph u(t) llo,n ~ ;* II.P(t) - Ph(t)il V't E I,

avec (3* désignant la constante apparaissant dans l'inégalité inf- sup uniforme. D'où (1.24),

ce qui complète la preuve .

• Le résultat suivant concerne une majoration bien connue de l'erreur d'interpolation

lorsque l'interpolation est la moyenne sur chaque triangle (voir par exemple inégalité (45)

p.624 de [81).

Proposition 1.4.8 Soit {7h} une famille régulière de triangulations sur n, il existe une

constante c > 0 indépendante de h telle que pour tout t E I :

llu(t)- Ph u(t)llo,n :S: ch \u(t)IHl(r!)· (1.28)

Proposition 1.4.9 Soit {7h} une famille régulière de triangulations sur 0, jouissant des

propriétés (i) et (ii) de la proposition 1.4.6. Pour a E] 1- ;, 1 (, :3 c > 0 indépendante de

h telle que pour tout t E I :

Preuve: En appliquant les estimations (1.28), (1.24) on a

'i't E I,

::; chju(t)!Hl(fl) + ;* (li.P(t)- Ph(t)iio,n)

Ce qui implique, en utilisant (1.22) pour presque tout t dans I :

24

24


Mais comme u E H1 (0, T, L2 (0)) <.....+ C([O, T]; L2(0)), il s'en suit que u- uh est continue.

Donc l'inégalité précédente est vraie pour tout t dans I. Ce qui achève la démonstration .

• Nous sommes maintenant en mesure de démontrer l'estimée finale c-â-d de majorer

II.P(t)- Pf.(t)Jio,n et iiu(t)- uh(t)llo,rP par O(h). Nous avons les estimations à priori d'er

reurs suivantes :

Théorème 1.4.10 Supposons les hypothèses de la proposition 1..4..5 vérifiées i.e. f E

H 1 (0, T; L2 (0)) et !::..g + f(O) E H1(0). Prenons uh(O) = üh(O) comme condition initiale

du problème semi-discret et soit {'lh} une famille de triangulations sur 0, avec les mêmes

propriétés que dans la proposition 1.4.6 pour a E J 1- ~' 1 [. Alors il existe une constante

c > 0 indépendante de h telle que pour tout t E I :

li.P(t)- Ph(t)\\ $ch( ju(t)IH2·"'(n) + ~~~~~~ ) (1.30) L2(0,T;H2·"'(n))

et

!\u(t)- uh(t)\1 $ch( Ju(t)!Hl(n) + Ju(t)IHZ·"'(n) + llddull ). (1.31) t L2(0,T;H2•"'(n))

Preuve: Tout d'abord on a besoin de réécrire les deux problèmes (1.15) et (1.18)


{

InPh(t).ëjh dx +In uh(t) div% dx = 0,

Invh divph(t)dx =- fn(f(t)- uh,t(t)) vh dx,

(1.15)

et la projection elliptique :

{

InPh(t).qj. dx +In üh(t) div qi. dx = 0,

In vh divph(t)dx =- fn(f(t)- ut(t)) vh dx,

(1.18)

Une soustraction de (1.18)(i) de (1.15)(i), nous donne:

ln (.Ph(t)- Ph(t)) .qi. dx + l (uh(t)- üh(t)) div qi. dx = 0' V't E I 'Vqj. E xh.

25

25


On pose dans la suite

Alors l'équation précédente peut être réécrite :

14(t).qh dx + 1 Oh(t) div% dx = 0, Vt E I, Vqh E Xh· (1.32)

Dans l'équation précédente, nous avons écrit Vt E I. En effet d'après la proposition 1.4.2

et la proposition 1.4.5, on a 4 E H 1(0, T; Xh), eh E H 1(0, T; Mh) qui sont donc continues

de [0, T] dans Xh respectivement Mh.

Dérivant les deux membres par rapport à t nous obtenons :

1 ~th,(t).qh dx + L !eh(t) div% dx = 0, 'ï!'t E [ 'vq;. E xh.

En prenant%= 2ëh(t) on a:

2 ln :tëh(t).ëh(t) dx + L 2 :teh(t) div €h,(t) dx = 0 V't E I,

donc

De façon similaire, en faisant la différence entre (1.15)(ii) et (1.18)(ii), nous aurons :

Pour faire apparaître, à partir de (1.34), le deuxième terme de l'équation (1.33), choisissons _ 2deh(t) d' , .

Vh- --;u-• OU.

(1.35)

26

26


(1.33) (1.35) et Finégalité de Cauchy-Schwartz impliquent que

V't E 1

En simplifiant les deux membres, on obtient :

Maintenant on intègre les deux membres de 0 à t, d'où :

/nlfh(t)l2 dx ~ /nlth(0)\2

dx +fat k ( :t (üh- u)(t)) 2

dx dt. (1.36)

D'autre part, en prenant üh(O) = uh(O), on obtient Oh(O) = uh(O)- üh(O) =O. (1.32) pour

t = 0 nous donne alors :

Prenant ifh = tk(O) il s'en suit :

donc f;.(O) = 0 .

Alors (1.36) devient :

ln \tk(0)\2

dx = 0

fnit;.(t)i' iL" < l (lut (u- üh)(t))' dx) dt

- l (l [~(t)- (~(t)) J dx)

27

27


puisque les opérateurs 1t et (.)~ commutent, nous obtenons:

fnit.(t)l' dx s[ll :(t)- ( :(t)) I.n dt

Donc il suffit de majorer ~~~~(t)- (~~(t))~llo,n. Comme nous avons supposé que:

Il suit de la proposition 1.4.5 que

Et Comme la projection elliptique de Ut (t) n'est rien d'autre que la solution du problème

mixte discret stationnaire avec comme second membre -!lut (t) (t fixé), d'aprés la propo

sition 1.4.6, il existe une constante c > 0 indépendante de h telle que

du (du ) -(t)- -(t) <ch dt dt h -o,n (\

du(t) \· 1 du(t) 1 )

~ Hl(n) + --a:t H2,a(n) .

De ceci et de l'inégalité ci-dessus suit :

l!~(t)llo,n $ch Il ddu \1 , V't E [0, T]. t L2(0,T;H2,o:(f2))

D'où, par la proposition 1.4.6 et l'inégalité précédente :

< ch (lu(t)IH2·"'(n) +Il~~ Il ) . L2(0,T;H2•"(n))

De (1.29) et de la majoration ci-dessus sur ll~(t)l! suit:

llu(t)- uh(t)ilo,n:::; ch ( lu(t)!Hl(n) + lu(t)IH2,a(n) + llddull ) · t L2(0,T;H2·"(n))

•

28

28

Problème complètement discrétisé


Maintenant, nous allons compléter la discrétisation du problème de la chaleur. Pour

cela nous subdivisons l'intervalle de .temps [0, T] en N sous-intervalles [tn-b tn] (n étant

un nombre entier positif ou nul), tels que :

0 = to $ · · · $ tn < · · · $ t N = T,

Avec /}.t = tn - tn_1 dénote le pas de temps fixe. nous désignons par uK l'approximation

de la température u au temps tn =nAt dans Mh . Pour l'approximation de ~~ au temps

tn, nous utilisons la formule suivante :

où u~-1 est l'approximation de la température u au temps tn-l·

1.5.1 Schéma implicite

Nous commençons notre étude par le schéma implicite. Ainsi le problème complètement

discrétisé de l'équation de la chaleur instationnaire s'écrit comme suit : trouver (p{:, u~)nEN

tel que:

(1.37)

u~ (c.i.), donnée.

On supposera que u~ = uh(O), montrons que le problème (1.37) admet une solution unique

(P'f::, uK)nEN E Xh X lv1h.

Proposition 1.5.1 Le problème (1.37) possède une et une seule solution (p{:, u~)nEN E

xh x A:h.

29

29


Preuve:

Posons

F(vh) :=-~t 1 (.6.t f(tn) + uh-1) Vh dx. (1.38)

Le problème (1.37) est équivalent à trouver (p7:, uh)neN E Xh x Mh tel que :

uR (c.i.), (donnée).

Si l'on considère l'application <Ph de Xh x Mh dans son dual: qui associe à chaque élément

(ph, uh) l'élément de l'espace x~ x M~ qu'on notera <I?h(fh, uh) tel 9-Ue:

Pour montrer que l'application linéaire <Ph est bijective il suffit de montrer l'injectivité.

Soit alors (Ph, uh) E Xh x Mh tel que :

ln Ph·èfh dx + ln Uh div èfh dx - 0, v èfh E xh, (1.40)

l vh div Phdx- ~tl uh Vh dx = 0, Vvh E l\1h. (1.41)

Prenons f!h = iJh dans (1.40), et vh = uh dans (1.41), il s'en suit que :

et donc Ph = 0 et uh = 0.

Donc <Ph est bijective, ce qui nous permet de résoudre séquentiellement (1.39) pour n =

1,2,3, .... •

30

30


Remarque 1.5.2 Pour n = 0, u~ étant donnée~ est déterminé par la seule équation

(1.39)(i) :

ln ~.ifh dx +ln u~ div ifh dx = 0, 'ï!ifh E Xh.

C'est une forme linéaire continue sur Xh, espace vectoriel de dimension finie, que nous

munissons du produit scalaire L2• Xh ainsi muni est un espace de Hilbert. Donc par le

théorème de représentation de Ri_ez, il existe un unique p~ E Xh tel que :

l j!~ .ifh dx = -Lu~ div iJh dx, 'ïllfh E xh.

1.5.2 Stabilité du schéma implicite

Avant de procéder à l'étude de l'estimation de l'erreur, nous allons tout d'abord dé

montrer la stabilité du schéma complètement discrétisé de la formulation mixte duale pour

l'équation de la chaleur. Nous avons le résultat suivant :

Théorème 1.5.3 Considérant le schéma implicite (1.37), on a

(1.42)

pour l::.t ::; ~.

Preuve: Prenons vh = u~ dans l'équation d'équilibre (1.37)(ii) alors :

r n d' -+nd ln uh lVPh x = -L (J(tn)- Buh)uh dx,

(1.43)

- un un-1 puisque ôu'h = h-Al . Mais par l'équation (1.37)(i) avec ifh = pf: suit :

l uh divphn dx =-L I.Phnj 2 dx. (1.44)

31

31


Par (1.43) et (1.44) , on obtient :

Donc:

Et alors:

À fortiori :

d'où

~ti Juhl 2 dx- ~tl uh-1uh dx + fnl.Phl 2

dx = 1 j(tn) uh dx.

r f(tn) uh dx + } r uh-luh dx, ln ~tJn .

Sommant ces inégalités depuis n = 1 jusqu'à m, on obtient

m m

2::: (Jiuhll~,n -lluh-1 \l~.n) ~ 2!:l.t L llf(tn) llo,n lluhllo,n · n=l n=l

Donc m

lluhJI~.n ~ llu~~~~.n + 2!:l.t L JJJ(tn)llo,n JiuhJio,n · n=l

Par l'inégalité de Young appliquée au membre de droite, nous obtenons alors :

m m

JiuhJI~,n ~ llu~\\~.n + !:l.t L lif(tn)ll~.n + !:l.t L lluhll~.n · n=l n=l

En vue d'appliquer l'inégalité de Gronwall discrète, faisons passer le terme en liu~ li~ n du ,

membre de droite dans le membre de gauche. Par conséquent

m m-1

(1- l:l.t) lluhll~,n ~ \\u~\l~.n + !:l.t L lif(tn)ll~,n + !:l.t L lluhll~,n (1.45) n=l n=l

32

32


Et si de plus on suppose que !lt:::; Î ce qui n'est pas très gênant, alors

lluhlli.n ::0 2 (!Ju~JJ:,n +/::,tt, 11/(t.)lli,n) + ~ 2è.t lluhlli,n · (1.46)

Appliquons à ce stade l'inégalité de Gronwall discrète ([18] p.VI-9) on obtient

lluJ:'IIi,n ::0 2 (!Ju~JJ:.n +/::,tt, IIJ(t.llli.n) exp(~ 2/::,t)

< 2 exp (2T) (!Ju~JJ:.n +/::,tt, llf(tn)ll;,n) · D'où

.:~)luh llo,n :::; y'2 exp (T) ( IJug llo,n + t, /::,t IIJ(t.) ll:,n) . (1.4 7)

• Remarque 1.5.4 En passant de l'inégalité (1.45) à (1.46), on peut majorer !lt 2:~=1 llf(tn)ll~,n par (T maxn=l, ... ,N llf(tn)ll~,n). Si on fait cela on obtient alors que

0~~~N 1\u~\\o,n < J2 exp (T) ( \\u~\lo,n + nn~~; 1\f(tn)\lo,n) , (1.48)

:$ J2 exp (T) ( \\u~\\o,n + vT llfl1Loo(o,T;L2(n))) ·

La majoration (1.47) est l'analogue de la majoration (20) p.354 de [20}: llu\IL2(o,T;L2(0)) ~ llgiiP(n) + IIJIIL2(0,T;L2(0)) pour le problème de Cauchy de diffusion de la chaleur.

J~~=l flt IIJ(tn)ll~,n est l'analogue pour le problème discrétisé en temps de IIJIIL2(0,T;L2(n))'

et si [0, T] -+ ffi. : t f--t l!f\1 2 Riemann-intégrable alors E~=l ~t l!f(tn)ii;,n tend vers

foT l!f(t) 112

dt = IIJII~2(0,T;L2(n)) lorsque N-+ +oo.

Maintenant on passe à la majoration des Pf:, 'ï!n 2: 1 pour achever notre étude sur la

stabilité du schéma implicite (1.37).

Théorème 1.5.5 Soit le schéma implicite (1.37), il existe une constante C > 0 telle que :

t,/::,t IIPi:'ll;,n 5 C (Jiu~ilo,n + t,/::,t 11/(t.)ll;,n) (1.49)

33

33


Preuve: Prenons % = 'hn dans l'équation (1.37)(i) et vh = u~ dans l'équation (1.37)(ii)·

Nous obtenons

1 ifthnl 2 dx + 1 (Buh- f(tn))uh dx =O. (Lso)

Multiplions les deux membres par le pas de temps !lt, alors :

Sommant ces équations membre à membre pour n = 1, 2, 3, ... , N, nous obtenons:

Mais

= ~ lluhll~,n- ~ liuh- 1 ll~,n ·

D'où:

Il suit donc de (1.51) qu'à fortiori :

N

2: llt 11Phl2 dx + ~ iiufll~,n- ~ iiuRII~.n

n=l n

N

< 2: llt IJJ(tn)llo,n llui:llo,n n=l

(1.52)

< C [ (t, b.t llf(tn) ll;,n)' liu~ llo,n

+ t, b.t llf(tn)lli,n ]· (1.53)

34

34


En effet, voici comment l'on passe de (1.52) à (1.53) : N N

E~t llf(t,..)l!o,n lluhllo,n - L (~t)~ llf(t,..)llo,n (~t)! l!uhllo,n n=l n=l

1

~ (t, Àt 111 (t.) ll;,n) ' C ste (t, f>.t \lu~ll:.n (1.54)

1

+ t, Àt t, Àt Il f ( t.) ll~.n) ' par la majoration ( 1. 42)

< Cste [(t, f>.til !( t.) lli,n r \lu~ llo,n + t, Llt Il! (t.) 11:.n] ·

D'où (1.53).

Reste à majorer le premier terme du membre de droite de l'inégalité (1.53). En utilisant

l'inégalité ab 5 a2 + b2 nous obtenons : 1

(t, Àt Il/ ( t.) u:.n)' liu~ llo,n ~ liu~ ll:.n + t, Àt Il! ( t.) u:.n- (1.55)

De (1.55) et (1.53) suit que

t,Àt IIPh'll:,n + ~ 1\ul:'ll:.n ~ Cste (11u~11:.n + t, Àt llf(t.)ll:.n) · {1.56)

D'où à fortiori on a (1.49) en laissant tomber le second terme du membre de gauche de

l'inégalité (1.56) . •

La majoration 1.49 peut être vue comme une majoration de la norme L 2 de la fonc

tion discrète du temps lliJh'll· nous démontrons maintenant une majoration en norme de

supremum en temps.

Proposition 1.5.6 Soit le schéma implicite (L37), nous avons alors :

II.Pfllo,n ~ llfii?llo,n + ~,..;!t~N llf(tn)llo,n · (1.57)

35

35


Preuve: Appliquant l'opérateur de différence rétrograde 8 sur (1.37)(i)' on trouve :

1Bpf:.?fh dx + foau/! div% dx = 0, 'ï!?fh E Xh, 'ï!n 2: 1. (1.58)

Prenons ifh = fihn dans (1.58), et vh = 8uh dans l'équation (1.37)(ii)' on obtient le système

suivant:

{

In Bpf:. fhdx +In 8uh div pf: dx = 0,

(1.59)

In 8uh divfr.ndx +In f(tn) 8uh dx- fn 18ui!l2 dx =O.

Soustrayant (1.59)(ii)de (1.59)(i)' il s'en suit que :

Ceci implique :

Il f!:ll~,n -IIP':-lll~,n + 2.6.t !l'Bu/! 112 ~ 2.6.t L f(tn) Bui! dx, (1.60)

Sommant (1.60) membre à membre pour n = 1, 2, 3, ... , N, nous obtenons:

N N

llftll~,n -llfii?l\~.n + ~ 2.6.t IIBu/!11 2 < ~ 2.6.t l f(tn) Buh dx

N

~ 2.6.t L llf(tn)llo,n !18uh[lo,n n=l

N N

< ~tL llf(tn)ll~.n + 2.6.t L ll8uhll~.n n=l n=l

N

< T max !lf(tn)ll~n + 2.6.t ~ [[8uh[l~n · 2 n=l, ... ,N ' •

n=l

D'où:

• 36

36



Maintenant nous entamons notre étude sur l'estimation à priori de l'erreur. Nous sup

posons que fE H 1 (0, T; L2(0)) et que Àg + f(O) E H1(0) de sorte que par la proposition

1.4.5 : Ut E H1(0, T; L2(0)). En particulier, f et Ut sont des fonctions continues de [0, T]

à valeurs dans L2 (D). Par une démarche similaire à celle du cas semi-discret, et avant

de donner le résultat sur l'erreur d'approximation de u(t), solution du problème continu

par u'h, nous commençons tout d'abord par majorer iiu'h- uh(tn)llon, où (Ph(tn), üh(tn)) '

E Xh x Mh est la solution du problème de projection elliptique à l'instant tn : trouver

(Ph(tn), üh(tn)) E Xh x Mh solution de

{

In Ph(tn)·% dx +In üh(tn) div qh dx = 0, V<jh E Xh, (1.61)

In Vh div Ph(tn)dx =- fn(J(tn)- Ut(tn)) vh dx, Vvh E Mh.

Par soustraction des équations correspondantes de (1.37), on obtient pour les écarts B~ :=

u'h- uh(tn) et fh := phn- Ph(tn), le système d'équations aux erreurs :

{

In rr:.~ dx +In e~ div<jh dx = 0, v~ E xh,

In vh div fi: dx + fn ( ut(tn) - Bu'h) vh dx = 0, Vvh E Mh.

Théorème 1.5. 7 Il existe une constante c > 0 indépendante de h telle que :

Preuve: En remplaçant~ par fh dans (1.62)(i) on obtient :

{ if"hni 2 + { Bh: div f!: = 0, Jn Jn .

et aussi en remplaçant Vh par BI! dans (1.62)(ii) on a :

ce qui implique

{ Bh: div~ dx + { (ut(tn)- Buh:) Bh: dx = o, Jn Jn .

fn14nl 2 + l (Buh(tn)- Ut(tn)) eh dx = -l (8eh) B'h dx.

37

37

(1.62)

(1.64)

(1.65)


Lisant cette égalité de droite à gauche, nous obtenons :

L (B/:)2

dx- L e~-1 8/: dx = -l::..t fn1€kl 2- l::.t L BJ:(Büh(tn)- Ut(tn)) dx

D'où

Après simplification des deux membres par IIBh'll, on obtient :

Posons pour la suite :

wn = (8u(tn));- Ut(tn)

où (Bu(tn)); = Büh(tn), désigne la projection elliptique de Bu(tn).

Pour démontrer que (Bu(tn)); = Büh(tn).

En effet:

Considérons le problème elliptique à l'instant (tJ) quelconque:

{

InPh(tj)·% dx +In üh(tj) div% dx = 0, V% E xh,

In vh div Ph(tJ)dx =- f0 (f(tJ)- ut(tj)) vh dx, Vvh E Mh.

définissant la projection elliptique (Ph(tn), üh(tn)).

Ceci implique que pour (af;h(tJ),Büh(tJ)), on aura les équations:

-In Bph(tj)·% ~x+ In Büh(tj) div% dx = 0, V% E xh,

38

38

(1.66)

(1.67)


D'autre part on a

f(tj)- f(tj-1) Ut(tj)- ut(tJ-1) At D..t

( -D..u(ti))- ( -Au(tj-1)) D..t

- -àD..u(tj) = -D..àu(tJ)·

Donc

(1.68)

D'où

(1.69)

Revenons à (1.67) et posons :

' { wï = (8u(tn))~- au(tn), Wn := wf + Wz OU

w~ = au(tn) - ut(tn) .

(1.70)

Pour wî on a:

- 1\(Rh- I) u(tn) :~(tn-1) !loo ,

- ~t II(Rh- I) ltn ut(s) dsll tn-l 0,0

où, par analogie avec le livre de Vidar Tho mée [7}, "Rh de" dénote ici la composante dans

Afh du couple de Xh x Mh "projection elliptique de".

39

39


Donc

n

~t 2: llwillo,n j=1

< ch t. ((Il u,(s)I!H'.•(OJ ds)

< ch 1:~0 Il Ut(s)IIH2,«(n) ds.

Maintenant, il reste à majorer w2. On a:

1 - ~t llu(tn)- u(tn-1)- ~t Ut(tn)llo,n

- ~tIl rtn (tn-1- s) Utt(s) dsll ltn-1 o,n

r, :::; Jt. !lutt(s)llo,n ds.

tn-1

D'où

!lt t.llwillo,o $ b..t /.,~ l!u,(s)llo,o ds ·

Remplaçons dans (1.66), on obtient alors

Mais puisque :

grâce à l'estimation (40) p.623 de [8].

Alors

ll8hllo,n:::; ch (1:~0 Il ut(s)IIH2·"'(!1) ds) + b.t 1:~0 llutt(s)llo,n ds.

Ce qui acheve la démonstration.

(1.71)

• Nous sommes maintenant en mesure de donner l'estimation de l'erreur llu(tn)- uhllo,n.

40

40


Théorème 1.5.8 Soit {7h} une famille régulière de triangulations sur 0, jouissant des

propriétés (i)_ et (ii) de la proposition 1.4.6. Pour a E ]1- ~' 1[, il existe une constante

c > 0 indépendante de h telle que pour tout n ~ 1 :

llu(tn)- uhllo,n :5 ch ( Ju(tn)IHl(n) + ju(tn)IH2,<>(!1) + 1t" llut(s)IIH2,a(n) ds)

+~t 1t"' I!Utt(s)JI ds. (1.73)

Preuve: Il suffit d'appliquer l'inégalité triangulaire :

En utilisant l'inégalité (1.63) obtenue précédemment et l'inégalité (1.23) on obtient la

majoration (1.73). •

Maintenant nous passons à l'estimation de l'erreur concernant les pf:. En suivant une

démarche similaire, nous commençons par démontrer un résultat concernant l'approxi

mation de Ph(tn) par fhü,n· Pour cela nous adaptons la technique exposée dans [7] p.13,

relative à la formulation classique de l'équation de la chaleur à la méthode mixte duale

pour l'équation de la chaleur.

Proposition 1.5.9

(1.74)

Preuve:

On sait que

1 (2 ( -n ;:on-1) IJ-nJI2 ~~-n-1112 ) - bot ê h ' ch - ê h o,n - ê h o,n

1 (JI-nll2 ll .... n-1112 2 ( .... n -.n-1)) - - bot ê h o,n + ê h o,n - ê h , ê h · (1.75)

41

41


Mais

Ce qui implique :

ll -.nll2 + ll ... n-1112 2 ( ->n -+n-1) > 0 ch o,n ch o,n - ch , ch - ·

De (1.75) et (1.76) suit :

Proposition 1.5.10

Preuve:

Par la première équation du système aux erreurs (1.62), il suit :

ln ËJfh.% dx +ln ËJB'h div% dx = 0, V% E Xh .

Prenons lfh = fh, d'où :

ln ËJ?f:.fh dx = -ln (div ?f:) ËJB'h dx

- L ( -wn - ËJB'h) ËJB'h dx (d'après (1.62)(ii) et (1.67))

< ~[Jwnll6,n- ~[[ËJB'hll6,n·

42

42

''.· ... ;·

. (1. 76)

•

(1. 77)

Problème complètemènt discrétisé

En utilisant (1. 7 4) il s'en suit :

À fortiori

• Pour pouvoir démarrer les itérations utilisant l'inégalité Blltrll2 ~ llwnjl2 que nous

venons de démontrer, il nous faut majorer l!f,;ll c'est le but de la proposition suivante.

Proposition 1.5.11 fl existe une constante c > 0 indépendante de h telle que :

Preuve:

Puisque u~ = uh(O) ~ eg =O. Grâce à ce choix de u~, on a

Appliquant le système d'équations aux erreurs avec n = 1 nous donne :

{

In f,;.lfh + fn B~ div% = 0,

In vh div 4 - fn(w 1 + 8eü vh

43

43

(1.78)


Prenant ifh = f,: et vh = &'h, nous obtenons :

lltlll~.n = k tlfl = r 81 dl·v.;:-1 -ln h '"'h

Donc

Mais si nous appliquons l'estimée (1.66) avec n = 1, nous obtenons :

avec eR = 0 et Bùh(tl) - Ut(tl) = w1.

Donc

Mais (1.79) et (1.80) impliquent

Donc

44

44

(1.79)

(1.80)


Et puisque:

par ( 40) p.623 de [8]

D'où

D'autre part

Mais par la formule de Taylor avec reste intégral :

u(t1)- u(to)- b.tut(t1) = -1t1

Utt(s) sds.

45

45


D'où

JJ8u(tl)- ut(tl)Jio,n < ~t lt1

11Utt(s)ll0,n sds

< L (t liu,(•) u;.n ds) l (t s'd•) 1

< L ( "';') t llutt(·)IIL'(O,~•L'(O))

Donc

yfi;j JJ8u(tl)- Ut( tl) llo,n ~ f:j,t llutt(s)IIP(O,LH;L2(0)) ·

De (1.81),(1.82) et (1.83) suit:

Nous pouvons maintenant démontrer l'estimée de llfhnllo,n·

Théorème 1.5.12 Il existe une constante c > 0 indépendante de h telle que :

Preuve:

Appliquons récursivement l'inégalité 8 lifr!l~.n ~ llwn!l~,n· On a donc :

11~11 2 - 11~11 2 ~ f:j,t llw2 ll2

llf~ll 2 -lltT.II2 ~ f:j,t llw3 !12

46

46

(1.83)

•


Sommant ces inégalités membre à membre, nous obtenons :

Donc j=n

llfknl\~,n ~ ll~ll~,n +~tL llwijJ~.n · (1.85) j=2

En utilisant le fait que wi = w{ + wg où w{ et wg ont été définis en (1. 70), on a

j=n j=n j=n

~tL Jjwill~,n ~ 2~t "2: llw{\l~,n + 2~t L llw~ll~,n · j=2 j=2 j=2

Comme

- -::\

3

(Rh- I) ut(s) ds, 1 lt· ut tj-1

et donc

llwtllo,n ~ 1 lt· ~t tj~l II(Rh- I) ttt(s) llo,n ds

h ltj ::; ~t . llut(s)IIH2·"(n)ds. t,-1

Ceci entraîne

j=n

llt ~;, ~ (t, Il u,(s) IIH'·•IOJ ds) 2

~tL llwill~,n < j=2

< ~t~2 ~ ltj l\ut(s) 11~2·"(!1) ds t j=2 tj-1

- itn h

2 Il ut( s) ll~·"(n) ds . h

47

47


Pour les w~ on a

j=n

D-t L ll~ll~,n j=2

j=n

= ~tL \\Bu(tj)- Ut(tJ)\\~,n j=2

Par la formule de Taylor avec reste intégral, on obtient :

D'où

Alors

D'où:

u(tJ-1) = u(tj) +Ut(tJ)(tj_1 -tj) + lt;-1

Utt(s)(tj_ 1 - s)ds. )

j=n

~tL \jwi\\~,n j=2

< (f, llu..(s)llo,n i(tJ-1- s) Ids) 2

< (( llu,(s)ll;,nds) ,;:

j=n j=n

< 2/:1t L 1\wi\\~,n + 2D.t L \\w~l\~,n j=2 j=2

De (1.85) suit alors

j=n

llfhll~,n < \\el \l~,n + D.t L 1\wi\\~,n j=2

48

48


par la proposition précédente.

Donc on a bien

Et pour terminer on sait déjà par la proposition 1.4.6 que

jj.P(t)- Ph(t) lj ~ch lu(t)IH2,<>(n), V't E I. 1 o,n

•

En vertu de l'inégalité 1.84 il suffit donc d'appliquer l'inégalité triangulaire pour majorer

II.P(tn) - .Ph' llo 11 , 'Vn ~ 1. En conclusion, nous avons établi le théorème : '


propriétés (i) et (ii) de la proposition (1.4.6). Pour a E J 1- ~, 1 [, il existe une constante c > 0 indépendante de h et de fit telle que pour tout n ~ 1 :

II.P(tn) - Phnllo,n :::.; c ( h (iu(tn)IH2•"(11) + llutiiL2(0,t.,;H2,<>(11))) +fit !lutti!L2(0,t,..;L2(11)) ) ·

(1.86)

Toujours dans notre étude du problème complètement discrétisé de l'équation de la

chaleur, nous allons développer une autre méthode de schéma implicite. Il s'agit du schéma

de Crank-Nicolson, adapté à la méthode mixte.

1.5.4 Schéma de Crank-Nicolson

Avant de donner la formulation mixte complètement discrétisée par le schéma de Crank

Nicolson, nous allons tout d'abord définir de nouvelles variables. On pose :

(1.87)

49

49


Considérons alors le problème suivant :

1

fn vh divp:- 2dx =- j0(f(tn_~)- Bu'h) vh dx, Vvh E Mh, Vn ~ 1 (1.88)

uR (c.i.), donnée.

1 1

Remarquons que dans (1.88) apparaît Phn- 2 , u~- 2 , u'h et u~-1 . On peux donc choisir comme 1

inconnues les p:-2 , u'h pour n ~ 1. Une autre alternative est de considérer que les inconnues

sont les pf: pour n ~ 0 et u'h pour n ~ 1. u~ étant la condition initiale est connu et ~ est

défini exceptionnellement par l'équation

l ~.% dx +lu~ divifh dx = 0, Vifh E Xh.

Ce dernier choix des inconnues présente les avantages suivants :

- inconnues traditionnelles.

- symétrie en "fJ' et en "u" du problème.

(1.89)

Proposition 1.5.14 Le problème (1.88) admet une et une seule solution (Pf:, uh)neN E

xh x lt1h.

Preuve: Commençons par démontrer l'unicité. Pour cela, montrons que si (Ph', u~) E Xh x Mh vérifie

Uo- 0 h- ,

alors (p"f:, ujJ = O.

(1.90)

1 n 1 ..

En prenant lfh = p:--z dans la première équation de (1.90) et vh = uh --z dans la deuxième

équation de (1.90), on obtient

(1.91)

50

50


D'autre part, on a

- n-1 1 ( 1) ( ·1) 1 2 ( ) aun u 2 = - un - un- n + n- ( n) 1.92 h h 2.6.t h h uh uh = 2.6..t uh '

à condition d'avoir déjà démontré que u~-l =O. Prenons alors n = 1 dans (1.92) et puisque

u~ = 0 (condition initiale), par conséquent u1 = 0, et ainsi pour n = 2, 3, .... D'autre part, 1

d'après (1.89), u~ = 0 implique~= O. Et comme on sait déjà que ph2 = 0, par (1.91) avec

n = 1, il s'en suit que Pi; =O. Donc p~ = 0 par (1.91) avec n = 2 et ainsi de suite pour

tout n;::: 1.

Pour l'existence, on sait par le théorème de représentation de Riez que p~ existe (Cf.

remarque (1.5;2)).0n considère ensuite le système (1.88) avec n = 1, avec comme but de

construire P'l et uk sachant que u~ et p~ sont connus. On a

In vh div fldx - ~tIn uk vh dx = -In vh div Pf!dx- 1t In u~ vh dx- 2 In f (t1;2) vh dx,

'Vvh E Mh. (1.93)

Considérons donc l'application ll>h de Xh x Mh dans son dual X~ x M~, définie par:···

(P'l, u~) ~ (zh f---t ln P'l-iih dx + ku~ div iih dx,

vh e---+ ln vh divfldx- ~t k Uh vh dx) .

Donc tout revient à démontrer que c'est un isomorphisme. Puisque 1Jh est linéaire de

Xh x .A1h dans son dual, et que les deux espaces Xh x Mh et X~ x M~ ont la même

dimension, il suffit de montrer que <Ph est injective pour démontrer sa bijectivité. :Soit

(Pl, uk) tel que :

1 fl.ifh dx +ln u~ divc]h dx = 0, Vc]h E Xh (1.94)

r d. """ 1d. 2 r 1 d o w M Jn vh 1v Ph x - .6..t Jn uh Vh x = , vvh E h· (1.95)

Dans (1.94) , prenons èfh = fl et vh = u~ dans (1.95), il s'en suit que :

l )P'l)2

dx +~tL )u1)2

dx =O. (1.96)

51

51


On obtient iJl = 0 et u~ = O. D'où l'injectivité et donc la bijectivité de <Ph.

Il suffit alors, d'appliquer <1>;;1 au couple de formes linéaires définies par les deux membres

de droite des deux équations du système (1.93) .

De manière similaire on construit ensuite (pf, u~) en considérant le système (1.88), avec

n = 2 et ainsi de suite. •

1.5.5 Stabilité du schéma de Crank-Nicolson

Maintenant on va démontrer le résultat de stabilité du Schéma Crank-Nicolson.

Théorème 1.5.15 Supposons b.t s ~' il existe une constante c > 0 indépendante de h

telle que :

Preuve: Considérons alors le problème suivant :

{

fnPh·Qh dx +In u~ div Qh dx = 0, V% E xh, \fn ~ 1

(1.97)

Jn vh div~n-~dx =- f0(f(tn-~)- Buh) vh dx, \fvh E lvfh, \fn ~ 1

Prenons vh = uh dans la deuxième équation. On obtient :

l ( -n + - n-1) 1 n

Unh d1'v Ph 2

Ph dx -- (f(t ) -aun) un dx - n-l - h h n 2

Par la première équation de (1.97), on a :

lu~ divph dx = -l1Ph12 dx, (1.99)

et:

(1.100)

52

52


De (1.98), (1.99) et (1.100), nous obtenons

1 f ,-nl2 d 1 f -n - n ld 1 r 1 nl2 d 1 f n 1 nd r f( ) nd 2Jn Ph x+2JnP . Ph- x+ t:;.t}n uh x- !lt}n uh- uh x= ln tn-~ uh x.

Donc

d'où:

2~t L iu/:l dx + 4~t L IP'h'l2 dx < l L \Phn-1\2 dx + 2~t fn\uJ::-112 dx

+~ fn j!Ctn-~)r dx + ~ fn iuJ!l2 dx.

On obtient:

Autrement, on a :

Et alors

N N N

2: (iiuhll~,n -\luh-1 \l~,n) + ~t 2:: (IIP'hll~,n -1\P'h'- 1 \\~,n) < /:;.tL iluhll~,n n=l n=l n=l

.,

N 2

+flt 2=: \\!Ctn-~)~lon · n=l '

Donc:

En vue d'appliquer l'inégalité de Gronwall discrète, faisons passer le terme /:;.t liu~ Jl~,n du

membre de droite au membre de gauche. On obtient : .

/:;, f:. N N 2

(1-/:;.t) llu~\\~,n+--; 1\P't\l~,n::; \lu~\J~,n+-; 1\P'~II~,n+/:;.t 2::= lluhl!~,n+/:;.t L IIJCtn-~)llo,n · n=l n=l

53

53


Supposons f:lt ::; ~' on a :

N N 2

1\ufll~,n + f:lt llfi'tll~,n ::; 2\\u~\l~,n + f:lt IIPi?ll~,n + 2/:lt L lluhll~,n + 2.6.t L IIJ(tn-~)'11~' 0 · n=l n=l '

Par l'inégalité de Gronwall discrète ([18} p.VI-9), avec :

'Pn = JJu~ll~,n + f:lt IJ~JI~.n m0 =2

m1 = · · · = mN-1 = 2/:lt

C = 2JJu~JI~n + f:lt Jlp~JI~n + 2/:lt:L:=l\\J(tn_!)\\2

, • • 2 o,n

on obtient

1\uf\l~.n + .6.t IIP'tll~.n

< (2JJu~Jl:.n + l>t ll~!l:,n + 2l>t t, IIJ(t•-tlii:P) exp(% m.,,)

- ( 2JJu~ ll:,n +l;t Il~ Il :.n + 2b.t t, Il f (tn-l) ll:.n) exp (2 + 2 ( N - 1) b.t) .

En particulier :

Et alors :

N 2

iiufll~.n + .6.t \\P't\\~,n ;S llu~ll~,n + f:lt \IP'~\I~,n + L f:lt 1\t(tn-~) llo,n' n=l Donc on a

• Proposition 1.5.16 Soit le schéma implicite (1.37), nous avons alors :

(1.101)

54

54


Preuve: Appliquant l'opérateur de différence rétrograde 8 sur (1.97)(i)' on trouve :

L Bph .?fr. dx + L auh div ifh dx = 0, 't/ifh E xh, 'tin ;:::: 1. (1.102)

1

Prenons ?fr. = ~n-2 dans (1.102), et vh = Buh dans l'équation (1.97)(ii)' on obtient le

système suivant :

{

In ap,.n.:fihn-!dx +In 8uhdiv p;:-~ dx = o,

In Buh: div 'h-! dx + In f ( tn) Buh: dx - In \Buh: \2 dx = O.

(1.103)

Soustrayant (1.103)(ii)de (1.103)(i)' il s'en suit que :

L B:fihn.p;-!dx + L \Buhl2

= L f(tn) Buh dx.

Nous avons donc:

l ( p,.n ~~h-1

) . ( Phn +2 :Phn-1

) dx + L j8uhl 2 = k f(tn) au;: dx,

et alors :

11 i:ll~.n -llir-lll~.n + 2~t ,,au;:jl2 = 2~t L f(tn) au;: dx. (1.104)

Sommant (1.104) membre à membre pour n = 1, 2, 3, ... , N, nous obtenons:

N

\1 ft\\~,n -11~\\~,n + 2: 2~t I!Buh\\2

n=l

N

< 2~t L llf(tn)llo,n iiouhllo,n n=l

N N

< ~t 2: llf(tn)ll~,n + 2~t I: i!Buh:i!~,n n=l . n=l

N

< ~ n!fl~N !lf(tn)li~,n + 2~t L \\Buh \\~,n · n=l

D'où:

• 55

55



Pour démontrer les résultats d'estimées d'erreurs, on utilisera une démarche analog11e

à celle employée pour le schéma précédent. Le problème elliptique (1.61) étant vrai pour

n et n - 1, en faisant la somme nous obtenons :

{

In fih(tn)+!h(tn-1) .ifh dx + fn Üh(tn)+;h(tn-d div qh dx = 0, V% E xh,

f V diVfih(tn)+fih(tn-1)dX = _ f (f(tn)+f(tn-1) _ Ut(tn)+ut(fn-d) V dX Jn h 2 Jn 2 _ 2 h '

Réécrivant le schéma de Crank-Nicolson : 1 1

In:P:-2 .ifh dx +In u~- 2 div qh dx = 0, 'ï/ifh E xh, Vn;::: 1

u~ (c.i.), donnée.

(1.106)

Notons les écarts BJ: := uh - üh(tn) et fh :=:Ph: - ~(tn)· Par soustraction on obtient le

système d'équations aux erreurs :

In lhn+;hn-1 .ifh dx +In Oh+~h-1 div qh dx = 0, V% E xh,

In Vh div ë',:'+;an-1 dx =- fn(f(tn-!)- f(tn)+{(tn l) - (auh- ut(tn)+;t(tn 1))) Vh dx,

\lvh E Mh. (1.107)

Proposition 1.5.17 Supposons que f, * E H1(0,T;L2(0)), b,g + f(O) E H1(fl) et aussi

b, (b,g + f(O)) + : (0) E H1 (0). Alors

Uttt E L2(0, T; L2(0))

Preuve: Soit w E H 1 (0, T; 12(0)) n L2 (0, T; L2 (fl)) la solution de l'équation de diffusion

de la chaleur

{ ~~(t) = b,w(t) + ~(t), V't E [0, T]

w(O) = b, (t::.g + f(O)) + *(0).

56

56


t d c

Posons v(t) = f0 w(s) ds + fl.g + f(O), d~ (t) = w(t) et v(O) = fl.g + f(O) E H 1(0).

Intégrant l'équation ~~(s) = fl.w(s) + ~(s), V's E [0, T] de 0 à t, nous obtenons:

w(t)- w(O) =tl. (v(t)- fl.g- f(O)) +dt (t)- : (0)

1.e. dv df df df dt (t)- tl. (fl.g + f(O))- dt (0) = fl.v(t) -tl. (b.g + f(O)) + dt (t)- dt (0).

Simplifiant les 2 membres nous obtenons que v est la solution du problème de Cauchy :

{

: (t) = fl.v(t) + ~(t) v(O) = ôg + f(O) E Îfl(O).

Mais nous avons vu dans la preuve de la démonstration de la proposition 1.4.5 que v = ~~. Donc ~ = dv = w E H 2 (0 T· L2 (0)) D'où

dt<> dt ' ' ' •

• Maintenant on va démontrer le résultat de majoration de !lu'h- üh(tn)llo,n .

Théorème 1.5.18 Sous les hypothèses de la proposition précédente il existe une constante

c > 0 indépendante de h et de k telle que :

liu~- üh(tn)llo,n :::; ch (11uoiiH2·"(0) + 1tn llut(s)llw.a(n) ds) +

(L~Q~)

2fl.t2 (1t, l!uttt(s)llo,n ds + 1tn llftt(s)ilo,n ds) ·

Preuve: La première étape de cette démonstration est de majorer IIO'hll en fonction de

jje~- 1 Jlo,n et de llwnllo,n. Pour cela prenons vh = B'h + e~-1 dans la deuxième équation du

système (1.107) et ifh = fh + ~-1dans la première, on a donc :

r Ir:+ rr:-112 ln 2 dx (1.109)

- L (!(tn_~)- f(tn) +/(tn-1) - (au~- Ut(tn) +2Ut(tn-1)))

57

57


Regardons de plus près le terme Bu~ - ut(tn)+;t(tn-l); on a :

Et donc

Buh _ Ut(tn) +2ut(tn-1) + f(tn) +/(tn-1) _ f(tn-~)

- n ) - ( ) (- ) ) ) ut(tn) + Ut(tn-1) - aeh +(Rh- I âu tn + âu(tn - Ut(tn_~) + Ut(tn-~ - 2

+j(tn) +/(tn-1) _ j(tn-~) (1.110)

- BB/: +(Rh- I) Bu(tn) + (Ifu(tn)- ut(tn-~)) + L\ [u(tn-t)-% (u(tn) + u(tn-I))] ·

puisque L\u(t) + f(t) = ut(t), pour tout t >O.

Posons pour la suite wn := w1 + w2 + w'3, avec:

w3 = L\ [u(tn-t)- i (u(tn) +u(tn-1))].

De (1.110) et (1.109), suit que

r l€hn + r:-11

2

dx =- r (&eh+ wn) (eh+ eh-1) dx. (1.111) ln 2 ln

On obtient donc

Mais ll enll2 -llen-1

112 r -aen (en+ en-1) d - h h ln h h h x- L\t (1.112)

58

58


Alors:

(1.113)

D'où à fortiori (1.114), en laissant tomber le premier terme du membre de gauche de

l'inégalité (1.113), nous obtenons

(1.114)

Donc:

(1.115)

il suffit alors de majorer z;;n. Commençons par w~ . Par définition on a :

flt llw~llo,n = flt l!au(tn)- ut(tn-~) llo n '

Par la formule de Taylor on a :

et à l'instant tn-l :

Considérons la différence de ces deux égalités. Nous obtenons :

59

59


D'où

f:::.t21tn = 8 tn-

1

lluttt(s)llo,n ds.

Nous avons donc démontré que

f:::.t21tn !::.t IIW~IIon s;- lluttt(s)llo" ds. , 8 •'' tn-1

(1.117)

Maintenant cherchons à majorer llw311on· La formule de Taylor nous donne ,

En faisant la somme de ces deux égalités nous obtenons :

1 11tn 11tn-1 u(tn_l)-- (u(tn) + u(tn-d) = -- (tn- s)uu(s)ds-- (tn-1- s)uu(s)ds.

2 2 2 tn-~ 2 tn-~

Appliquant alors l'opérateur laplacien !::., nous obtenons :

1 rn li.tn-~ < 2 jt

1

(tn- s) ll!::.utt(s) llo,n ds + 2 tn-1

ltn-1- slll!::.utt(s) llo,n ds n-~

f:::.t ltn < 4 ll!::.uu(s) llo,n ds.

tn-1

60

60


D'où f1t21t"

11t llw311o,n :::; 4 ll11utt(s) llo,n ds. tn-1

(1.118)

Reste à majorer llwfllo,n où rappelons-le :

Rappelons aussi que Rh désigne l'opérateur de projection elliptique défini par (1.18) suivi

de l'opérateur de projection de Xh x Mh sur Mh· Et donc, par la proposition 1.4.9 il existe

une constante c > 0 indépendante de h telle que :

- ch llltn Ut(s)dsll . tn-1 H2•"'(fl)

D'où

1tn

11t I!Wfllo,n:::; ch tn-l llut(s) IIH2·"(fl) ds. (1.119)

Reste à mettre les inégalités bout à bout : par l'inégalité (1.115) on sait que

n

< IIORIIo,n + 11t 2: llwillo,n' i=l

où, pour rappel, eR= u~- üh(O) =O. Par les inégalités (1.117), (1.118) et (1.119) , on sait

que: D.t2 t"

11t IIW~IIo,n :::; 8 ltn-1

lluttt(s)llo,n ds, (1.120)

61

61


(1.121)

(1.122)

D'où, rappelant que wi = wi + w~ + w~, l'on obtient :

l:::.t2 (1:"' lluttt(s) llo,n ds + iotn ll!:::.utt(s) llo,n ds)

Et puisque f:::.utt(s) = 1t22f:::.u(s) = Uttt(s)- ftt(s), dans l'inégalité ci-dessus, on peut rem

placer f:::.utt(s) par Uttt(s)- ftt(s).

Donc finalement nous avons trouvé qUe :

• Nous en déduisons l'estimation de l'erreur llu(tn) - uhiio,n :

Théorème 1.5.19 Sous les hypothèses de la proposition 1.5.17, soit {7h} une famille

régulière de triangulations sur 0, jouissant des propriétés ( i) et (ii) de la proposition 1.4.6.

Pour a E J 1- ;;, 1 [, 3 c > 0 indépendante de h telle que pour tout n?: 1 :

llu(tn)- uhllo,n ~ ch ( lu(tn)IHl(fl) + iu(tn)IH2·"(ü) + 1tn llut(s)IIH2,o:(n) ds)

+ 2!:::.t2 (1tn lluttt(s)llo,n ds + 1tn llfu(s)llo,n ds) . (1.123)

Preuve: Il suffit d'appliquer l'inégalité triangulaire :

62

62


Par l'inégalité {1.108) et l'inégalité (1.23) on obtient le résultat (1.123) . • Afin de démontrer l'estimée d'erreur dans le cas des ffttn, on a besoin du résultat,

analogue à la majoration de la proposition (1.5.10) dans le cas du schéma implicite. Mais

ici wn := wr +w~ +w3.

Proposition 1.5.20 Supposons fE H 1(0, T; L2(D)) et /::;.g + f(O) E HJ(O).

{1.124)

-n -n ;::: (t ) avec éh :=Ph -Ph n .

Preuve: Considérons le schéma de Crank-Nicolson pour la méthode mixte, écrit de manière

équivalente sous la forme :

{

Infihn.ifh dx +In uR div l]h dx = 0, Vl]h E xh, Vn ~ 1

In Vh div phn+:hn-l dx =- InU(tn_l)- auh) 'Vh dx, Vvh E Mh, 'ïln ~ 1. 2

(1.125)

Soustrayant membre à membre de (1.125)(i)' la première équation définissant la projection

elliptique

nous obtenons :

(1.126)

' l ->n -->n :::: (t ) en n - (t ) ou, pour rappe ' éh :=Ph -Ph n et h := uh - Uh n .

(1.126) étant vraie pour net n- 1, faisant la différence membre à membre et divisant par

le pas de temps nous obtenons :

(1.127)

Prenons ifh = ~n + ~n-l dans l'équation (1.127). Nous avons:

llfrl\~ n - lif:-lllo2 n = -D.t r div ( €h + ~n-l) aeh dx. ' ' ln

(1.128)

63

63


Calculons div ( 0tn + lf:-1) .

Par les égalités (1.107) et (1.110), on a:

r -n + --n-1 r ln Vh div ch 2e:h dx = ln (80~ + wn) Vh dx,

Vvh E Mh, en particulier pour vh = 1K, VK E 7h, d'où l'on obtient :

-n -n-1 div e:h +Eh -pO (-aen + wn) - fj()n + püz;;n 2 -h h - h h' (1.129)

- on on-1 puisque 80}; = h~t E Mh. Par (1.128) et (1.129) suit que

!lêhnll;,n -!iêhn-lil~,n = -2~t jj8Bï;!i 2- 2~t 1 P~wn BB~dx

On a démontré que

(1.130)

et en divisant les deux membres de l'inégalité (1.130) par le pas de temps ;j.t on obtient

donc:

• Corollaire 1.5.21 Sous les hypothèses de la proposition 1.5.17, il existe une constante

c > 0 indépendante de h et de jj.t telle que :

llihll2::; ch2 1tn llut(s) 11~2,<>(n) ds + c~t4 (1tn lluut(s)ll;,n ds + 1tn ll~utt(s) II;,D ds) ·

(1.131)

Preuve: Par l'inégalité (1.122), nous avons :

~t jjw{ llo,n:; ch it~ 1 J!ut(s) IIH2·"(n) ds. 3

(1.132)

64

64


et donc

t.t ~ IIWi Il' < c ~: ~ (f, 11 u.<' l IIJP.o(n) as)'

Par (1.120), on a :

< ch2 ~1ti llut(s)11~2,a(n)ds j=l tj-1

. flt21tj flt ll~llo,n ~ 8 tj-

1

lluttt(s)llo,n ds,

d'où, par des calculs similaires utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwartz, on a

Et aussi pour (1.121), on obtient :

Appliquons maintenant la proposition 1.5.20. On a donc

114112- 11~11 2 ~ !lt IIW1 ll 2

llt;ll2 -11~11 2 ~ flt IIW2 II 2

(1.133)

(1.134)

(1.135)

(1.136)

D'où, en sommant ces inégalités et en tenant compte de ce que f~ par (1.89) et uR =

uh(O), on j=n

11~11 2 ~ flt L llwjll 2 · (1.137)

j=l

65

65


De wn = wr + w~ + w~ suit alors

j=n j=n j=n

114nll 2 ~ 3~t L:: 11Will 2 + 3~t L:: 11~11 2

+ 3~t L:: llw~ll 2 . (1.138) j=l j=l j=l

Des inégalités (1.135), (1.134) et (1.133) suit l'assertion. • En conclusion, nous avons établi le théorème :

Théorème 1.5.22 Sous les hypothèse de la proposition 1.5.17, Soit {7h} une famille ré

gulière de triangulations sur n, jouissant des propriétés ( i) et (ii) de la proposition 1.4.6.

Pour a E J 1- -;, 1 [, :3 c > 0 indépendante de h et de fl.t telle que pour tout n 2 1 :

IIP'(tn) - Phiio,n

;S h (lu(tn)IH'.•(n) + llutllv(o,t.;H'·•(O)) + J,"llu,(s) ll~.•(n) ds) (1.139)

+M' ( J,'"lluttt( s) u;,n ds + l" Il ~utt( s) n;,n ds) .

Preuve: Par la proposition 1.4.6 et l'inégalité triangulaire, nous obtenons (1.139). •

66

66

Exemple d'implémentation numérique

1.6 Exemple d'implémentation numérique

Dans la suite, on suppose que n est le domaine «L-shape standard», voir figure 1.1.

!51

1

1

tl

1

! os!.

1 1

1 n 1 ! 0~ i !

1 1

-o5r 4 1

1

'1

1

1 1

-1 5i -1, ··1 -os 0~ 1 ~

FIG. 1.1 -Domaine 1-shape

Considérons alors le problème complètement discrétisé d'évolution de la chaleur sur n: trouver (p~, uh)nEN E xh x Mh tel que :

(1.140)

u~ (c.i.), donnée.

avec:

Xh = { ifh E H(div, n); VK E 7h : ifh;K E RTo(K) } ,

Mh . = { vh E L2(n); vh/K E Po , VK ETh},

Pour le choix des bases, on utilisera dans le sous-espace Mh la base v~1), ... , v~L) formée

par les fonctions caractéristiques de chaque triangle K de Th et donc L est égal au nombre

67

67


total des triangles. Pour le sous-espace Xh, on choisira comme base les champs de vecteur

i/;,_1), ... , i/;,_J) construite sur chaque arête E tels que

pour xE T±,

ailleurs.

Avec E est l'arête commune entre les deux triangles T+ et T_, telle que montrée dans la

figure 1.2; P±, les sommets opposés à l'arête E; \El, la longueur de l'arête E et \Tl, l'aire

du triangle T.

p B

/Jf-;

L \ \ E' L

A

FIG. 1.2- iJE est la normale associée à l'arête E. La direction de cette normale doit être

fixée au début de la simulation, nous avons considéré ici la normale extérieure à l'élément

T+·

Lemme 1.6.1 {50}

{

0 le long de (uE) \E, 1. i/;,_E) . VE = 1

le long de E;

avec E est l'ensemble de toutes les arêtes de la triangulation;

2. i/;,_E) EH (div, 0);

3. (1/;,E) : E E E) est une base de RTo (Th),

{

±J& 4. div i/;,_E) = 0 2IT±I

dans T±

ailleurs.

68

68


Problème

Écrivons maintenant la solution du problème (1.140) en fonction des éléments de base.

On a: J L

-n - '"" (t ) d,_j) n "Ç" /3 (t ) (!) Ph - ~ ai n qh et uh = L-J l n vh .

j=l l=l

avec J = card(t:), L = card (Th). La formulation discrète (1.140) est équivalente à :

f ""J ( ) ;:(j) ;:(j') f ""L ( ) (!) · .J.j') _ ·' _ Jn L..Jj=l Œj tn qh .qh dx + Jn L..JL==l f3z tn vh d1v qh dx - 0, 't/J - 1, 2, ... , J

'til' = 1, 2, ... , L.

Ce qui peut être réécrit sous la forme :

""J ( f ;:;(j) ;:(j') ) ( ) ""L ( f (l) · ;:(j') ) f3 ( ) L..Jj=l Jn qh .qh dx Œj tn + L..Jl=l Jo. vh d1v qh dx k tn = 0,

'tl j' = 1, 2, ... , J,

f ) (l') •;;:---L ( f (l) (l') ) ( ) -6-t Jn f(tn vh dx- L...l=l Jn vh vh dx f3t tn-1 , \1( = 1, 2, ... , L.

Maintenant, posons

{

al!'= In v~lvg'ldx , bii' =In cf;!lcfi'l dx, ci'z' = In(diviî}!'l)vrldx

\1 j,j' = 1, 2, ... , J, ;'tl l, l'= 1, 2, ... , L.

Avec ces notations, le système différentiel précédent peut être réécrit ainsi :

69

69


V j'= 1, 2, .. , J,

vz' = 1, 2, ... , L. (1.141)

En prenant aussi : A = (all')l:SZ',Z:SL E JRLxL; par construction A est donc une matrice

diagonale définie positive de la forme :

IKll 0

A=

0

B = (bj'jh:Sj',j:sJ E RJxJest une matrice symétrique et définie positive :

B=

enfin C = (cj'k)l:Sj':sJ,l:Sl:SL est une matrice J xL, de la forme :

C=

Les matrices B et C sont calculés à partir de matrices locales sur chaque triangle.

70

70


f3L(tn) ŒJ(tn) Les équations (1.141) peuvent être réécrites :

D'où

{

t::.tCTa(t)- A (3(tn) = -t::.tF(tn)- A f](tn_l),

B a(tn) + C (J(tn) =O.

Injectant (1.142) dans la première équation, on obtient

{

-!;tCT s-1~:( tn) - A {3 ( tn) ~ -!;tF( tn) - A {3( tn-1),

a(tn) - -B C (J(tn)·

(1.142)

Or, nous avons démontré dans la preuve de la proposition 1.4.4 que la matrice G :=

cr s-1c est symétrique et définie positive. Puisque A l'est aussi, alors A+ tltG est ainsi

une matrice symétrique et définie positive, il suffit alors de résoudre le système inversible

suivant:

{

(A+ !::.tG) !3(tn) = F*(tn) ,

(3(0)=f3o (i.e.)

OÙ F*(tn) = fltF(tn) +A f3(tn-1) .

Essai numérique :

Pour les essais numériques on choisi la solution exacte :

71

71


où (r, B) désigne les coordonnées polaires standards, avec r = Jxy +x~ et BE] 0, 3; [telle

que sin 8 = X2

. l'analyse mathématique précédente a été faite pour l'équation de la chaleur r

avec des conditions de Dirichlet homogènes sur le bord ; cependant avec des modifications

mineures on obtient une forme équivalente dans le cas des conditions aux bord de type

Dirichlet non homogènes. On a tracé la solution approchée de cette fonction (voir figure

1.5) pour T = 1, les figures 1.3 et 1.4 représentent respectivement fl!;,x et fl/;,y à l'instant

T= 1:

2.s 'Ft.

FIG. 1.3 - fl/; x , FIG. 1.4 - fl/;,y

On prend comme pas de temps fixe !:lt = 0.1 :

Maillages utilisés : On a utilisé 2 séries de maillages, une série de maillages uniformes

et une autre de maillages raffinés.

La série de maillages uniformes est tout simplement obtenue en subdivisant chaque côté du

domaine n en n segments égaux et en coupant chaque carré obtenu en deux pour obtenir

des triangles (voir figure 1.6 où n = 4).

La série de maillages raffinés doit remplir les conditions de raffinement de maillage en

vue de la restauration de l'ordre de convergence optimal de la méthode. Pour obtenir un

maillage raffiné, nous utilisons la technique de raffinement de maillage de Raugel [11]. Or

on sait que pour tout t E [0, T] , u (t) E H 2·a (0) pour a > 1- Zi = 1- T,;- = i· On peut

2

72

72


1 -1

FIG. 1.5- Solution approchée

FIG. 1.6 - Maillage Uniforme

donc choisir a= 0.375 ce qui implique :

(voir figure 1.7 où où n = 4).

1 (3 := -- = 1.6.

1-a

73

73

FIG. 1. 7 - Maillage Raffiné


Résultats

Pour les erreurs jju (tn)- u'hllo,n et !!.P(tn)- ~llo,n, nous obtenons :

Maillage raffiné Maillage uniforme

n liu (tn)- uhllo,n li.P(tn)- ~JJo,n JJu (tn)- uhllo,n IJ.P(tn)- ~JJo,n

2 1.91e-01 1.55e- 01 1,04e-Ol 1, 73e- 01

4 4.97e-02 9, lOe- 02 5,20e-02 1, 16e- 01

8 2.47e-02 5, 12e- 02 2,59e-02 7,54e- 02

16 1.23e-02 2,81e- 02 1,29e-02 4,84e- 02

32 6,16e-03 1,52e- 02 6,43e-03 3, 08e- 02

64 3,08e-03 8, 15e- 03 3,21e-03 1, 95e- 02

On peut démontrer que pour cette famille régulière de traingulaion, il existe deux

constante strictement positives c1 , c2 (c1 < c2) indépendantes de n tels que .;;- :::; h :=

JP-E~ dian(K) :::; ~· Et pour montrer que : Erreur = chP, nous utilisons le logarithme,

on a donc ln( Erreur) = -p ln( n) + ln( c'). En traçant donc le logarithme des erreurs en

fonction du logarithme de n, on obtiendra une droite dont le coefficient directeur sera le taux

de convergence p. Ces droites sont tracées dans la figure 1.8 pour l'erreur Jiu (tn)- u'hilo,n et la figure 1.9 pour l'erreur JJ.P(tn) - ~llo,w

Pour la seconde erreur, on voit bien que les maillages uniformes ne présentent qu'un

taux de convergence de p = ~ alors que les maillages raffinés présentent un ordre optimal

de p = 1.

Par contre, pour la première erreur, on a un taux de convergence de p = 1 pour les

deux séries de maillages.

Précisions: Nous précisons que l'erreur calculée dépend de h mais aussi de l:::l.t et même

si nous sommes en schéma implicite où nous n'avons pas ce CFL. Nous avons donc pris un

pas de temps suffisamment petit pour ne pas voir la dépendance des erreurs en fonction

du temps. Nous avons aussi dû prendre une fonction pour laquelle l'erreur en temps sera

négligeable par rapport à l'erreur en espace, au moins jusqu'au n le plus grand que nous

ayons pris.

74

74


-1.5

-2

-2.5

-3

:ë é -3.5

""" ={"

~ -4 =

-4.5

-s

-5.$

-~L_.----~----~,~ .• ----~-----,~ .• ~--~----~ •. ~.----~----~4.5 log(n)

FIG. 1.8- \\u (tn)- uh\\o,n

75

75


-1.5

-2

-2.5

~ -3

d! d" ' Q.. -3.5

-4.5

~ 2/3

-i~.5----~----~,.5~--~----~2~.5----~----~3.75----~----74.5 log(n)

FIG. 1.9 -llff(tn)- ~lion

76

76

Chapitre 2

~

Equations de Stokes instationnaires

2.1 Introduction

Dans ce chapitre, on se propose d'établir des estimations d'erreurs a priori pour le

système de Stokes instationnaire pour un fluide visqueux incompressible dans un domaine

polygonal en utilisant la méthode d'éléments finis mixte duale en espace et le schéma d'Eu

ler implicite en temps : pour cela nous introduisant en outre des inconnues traditionnelles :

la vitesse Û(t) et la pression p(t), la nouvelle variable cr(t) := \lû(t) représentant le

tenseur gradient du champ des vitesses à l'instant t. Nous approximons chacune des deux

lignes de O" (t) par un champ de vecteurs de Raviart-Thomas de degré 0 sur chaque triangle

K de la triangulation, avec continuité de la composante normale aux interfaces. La pression

p (t) est approximée par une constante sur chaque triangle de la triangulation et la vitesse

Û(t) par un champ de vecteurs constant sur chaque triangle. Notons que Claes Johnson

et Vidar Thomée [10] traitent aussi le problème de stokes instationnaire mais en utilisant

la méthode symétrique, d'autant plus que leurs majoration d'erreur théorème 4.1 p. 71-72

ne fait pas apparaître clairement l'estimation d'erreur sur la pression et elles supposent

indirectement que "Vût(s) est dans H 1 pour s dans [0, T]. Précisons aussi que les espaces

d'approximations ne sont pas les mêmes puisqu'ils considèrent des éléments de base P 1,

alors que le choix du plus pas degré serait plus adapter. Et en raison du coin réentrant

du domaine polygonal D, nous imposons à la famille de triangulations un raffinement de

77

77

Équations de Stokes instationnaires

maillage approprié afin de restaurer l'ordre de convergence optimal 1 de la méthode en

espace. En seconde partie on étudie la stabilité du problème complètement discrétisé à

l'aide du schéma de Euler implicite, nous démontrons enfin des estimées d'erreur d'ordre

1 en temps et en espace.

2.2 Domaine ouvert borné lipschitzien

2.2.1 Position du problème

Soit n un domaine borné lipschitzien dans ~2 , posons Q := n x ]0, T[, avec T > O.

On considère le problème de Stokes instationnaire pour un fluide visqueux incompressible

confiné dans Q : étant donné f = (!1, /2) E L2(0, T; (L2(r2)) 2) une densité massique de

forces extérieures, trouver des fonctions ii= (u1,u2 ) E H 1(0,T;(HJ(r2))2), le champ de

vitesse du fluide, et p E L2 (0, T; L6(r2)), sa pression, solution du problème de Stokes :

iit(x, t) - vfl.ii(x, t) + gr-;d p(x, t) ={(x, t) dans Q,

divii(x, t) = 0 dans Q,

(2.1)

ii( x, t) = 0 surE:= âr2xJO, T[,

ii( x, 0) = ûo(x) pour xE n,

En introduisant la variable o- = grad ii, on peut réécrire les équations de Stokes sous la

forme: Ût- div(vo-- ptS) = f dans Q,

div ii= 0 dans Q, (2.2)

Ü= 0 surE,

û(O) = i10 dans n,

78

78


où 5 désigne le tenseur identité donné par 5 ~ ( ~ ~ ) . Rappelons que r étant un

tenseur, divr désigne le champ de vecteurs de composante (divr)i = Z:~=l ~~j (i = 1,2).

2.2.2 Existence, unicité et régularité de la solution

Avant de donner la preuve de l'existence de l'unicité ainsi que de la régularité de la

solution faible de ( 2.1), soit

Nous avons le résultat d'existence suivant :

Théorème 2.2.1 ([45] théorème Ill.J.l p.254)

Etant donné fE L2 (0, T; L2 (0) 2) et ü0 E L2 (0)2 à divergence nulle. Il existe une unique

fonction û E L2 (0, T; V) n C([O, T]; L2 (0) 2) telle que ü(O) = ü0 , i1 E L 2 (0, T; V') telle

que

!ca, v)+ v k va: Vv= fn f. v, \;fv EV. (2.3)

Soit alors (ü,p) la solution faible du problème de Stokes instationnaire (2.1), nous

avons:

Théorème 2.2.2 Sous les hypothèses: n étant l'ouvert borné lipschitzien, f' E L2 (0, T; L2 (n)2)

et il0 E V, on a :

(2.4)

De plus il existe une et une seule fonction p E L2 (0, T; L5(0)) que l'on appelle pression

telle que :

Preuve: V étant séparable, il existe donc une suite üh, w2 , ... , Wm, ... de vecteurs linéai

rement indépendants qui est totale dans V. Soit Üm(t) = '2.::1 gim(t) Wi, la solution du

problème de Cauchy pour le système d'équations différentielles

79

79


ln d:; (t) · Wj dx +v 1 \lüm(t) : \lwj dx = 1 f(t) · Wj dx, Vj = 1, ... , m (2.6)

de condition initiale Üm(O) = Üom, que l'on précisera dans la suite.

Ü' m(t), étant une combinaison linéaire de üh, ... , Wm il suit de (2.6)

Mais

D'où

ce qui entraîne

JJUim(t)JI:,n +V :t llitm(t)II~J(0)2 ~ jjf(t)JI:,n ·

Intégrons de 0 à T l'inégalité précédente :

1r JJüim(t)JJ:,n dt+ v llum(T)II~J<n)2 ~v llüm(O)II~ttcn)2 + 1r jjf(t)JJ:.n dt.

Si Üm(O) converge vers it(O) dans la norme de HJ(0)2, alors on aura llitm(O)!IHJ(0)2 ;S

llit(O) IIHJ(0)2 . Et donc

1T 2 1T 2 jjUim(t)jj dt ;Sv llit(O)!I~Jc~w + jj/(t)jj dt. 0 o,n 0 o,n

Donc la suite (Jm(t)) est bornée dans 12 (0, T; (12 (0))2) ce qui nous permet d'affirmer

m>l

qu'il existe un certain v -E 12(0, T; (12 (0))2) et une sous-suite que nous notons encore V!m

par un abus de notation usuel telle que Uim ~v dans L2 (0, T; (L2 (0)) 2) (au sens faible).

Soit alors 'P EV (]0, T[) et J* EV'. L'application de

L2 (0, T; V) ----t lR

§ ~------+ -1T (§(t), J*/v,v' 'P'(t) dt,

80

80


est une forme linéaire continue sur L2 (0, T; V). En effet :

I-1T (g(t), J*)v,v' r.p'(t) dt! ~ 1T ll§(t)iiv IIJ*IIvr lr.p'(t) 1 dt

T 1 T 1

< IIJ*IIvr (1 li§(t) ~~~ dt) 2

(folr.p'(t) 12

dt) 2

= C li§IIL2(0,T;V) ·

Comme Um ~ u dans L2 (0, T; V) d'après le théorème d'existence 2.2.1, il s'en suit que

- fT (um(t), J*)vv' r.p'(t) dt--+- fT (ü(t), J*)vv' r.p'(t) dt. (2.7) Jo ' Jo ' D'autre part, si l'on prend J* E (P(D,)2)*, alors l'application de

L2 (0, T; L2 (0) 2) --+ IR

h ~ - fT (h(t), J*) r.p(t) dt J 0 L2 (0)2 ,(L2(0)2)* '

est une forme linéaire continue sur L2 (0, T; (L2 (0))2). Comme üi m ~v dans L2 (0, T; (L2 (0))2

),

alors

fT (urn (t), J*) r.p(t) dt--- fT (v(t), J*)L2(n)2 (L2(n)2)* r.p(t) dt. (2.8) Jo L2(0)2,(L2(0)2)* Jo , Or, si J* E (L2 (0) 2)*, cela implique que J

1

;_r EV', donc on a

1T (tt m(t), J*) r.p(t) dt = \lT urn (t) r.p(t) dt, J*)

- - \1T u7-n (t) r.p'(t) dt, J*)

-1T (um(t), J*) r.p'(t) dt---> -1T (11(t), J*) r.p'(t) dt (2.9)

81

81


par (2.7).

De (2.9) et (2.8) suit :

-1T (u(t), J*) cp'(t) dt= 1T (v(t), J*) cp(t) dt, 'iJ* E (L2 (0) 2)*.

D'où

-laT u(t) cp'(t) dt= 1T v(t) cp(t) dt, V<p E D(]O, T[).

Ceci démontre (u)' =v au sens faible. Comme l'on sait que v E L2(0, T; (L2(0)) 2), on a

(u)' E L2 (0, T; (L2 (0)) 2). Nous avons donc démontré que

~~ E L2 (0, T; (L2 (0))2).

Venons-en maintenant à l'existence de la fonction pression p. Posons :

Comme

il s'en suit que :

... 1

..... du " ..... q = -dt +v~u.

~u E L2(0, T; (H-1(0)) 2).

De l'équation (2.11) et de (2.10) suit que ifE L2 (0, T; (H-1(0))2). Mais l'opérateur

.ç: L6(0) ---+ (H-1(0)) 2

(2.10)

(2.11)

est un isomorphisme de L5(0) sur V (le polaire de V) ([14], lemme 1.2.1 p.22). Or q(t) E V, 'i't E]O,T[ par(2.11) et (2.3). Donc il existe p(t) E L6(0) tel que if(t) = .çp(t).

Notons (v) -1: V---+ L5(0) l'opérateur inverse de .ç: L5(0) ~ V. Donc

p(t) = (.ç) -1

if(t).

Comme ifE L2(0, T; (H-1 (0))2), il s'en suit que p E L2(0, T; L6(0)). De (2.11) et if= .çp

suit (2.5). •

82

82


2.2.3 Formulation mixte duale du problème de Stokes instation-. na1re

Pour écrire la formulation mixte duale, on a besoin d'introduire les deux sous-espaces

suivants :

X:= { (1, q) E (L2(f2)) 2x

2 x L5(0) ; div(v1- qJ) E L2(0)2 }, Y:= (L2(0)) 2.

Ainsi la formulation mixte duale de (2.2) s'écrit : trouver (cr,p) E L2 (0, T; X) et ü E

H 1(0, T; Y), tels que :

v In cr(t) : T dx +In div(v1- qJ) · ü(t) dx = 0, 'ï/(1, q) EX, 'ï!'t E I,

In div(vcr(t)- p(t)8). vdx =- fn(/(t)- Ut(t)). vdx, 'ï!v E Y, V't E I, (2.12)

ü(O) = i1o.

Reste maintenant à vérifier les équations (2.12) de la formulation mixte, mais tout d'abord

montrons que (cr,p) E L2 (0, T; X). Rappelons que a = \l xÜ, et puisque ü E L2(0, T; (HJ(0))2),

alors

De plus, d'après l'équation (2.2)(i) on a

- _, du 2 2 )2 div(vcr- p8) = vb,.i1- \l p = - f + dt EL (0, T; (L (0) ),

donc on a bien (cr,p) E L2 (0, T;X). Examinons maintenant les équations (2.12).

Pour (2.12)(ii) c'est immédiat; reste à vérifier (2.12)(i)· Puisque

alors

ü E L2 (0, T; V) et donc div u(t) = 0 , V't E [0, T],

ln \lxi1: q8dx = 0 \fq E L2 (rl), V't E [0, T].

83

83


D'où

v 1 CJ(t): T dx - 1 "Vxil(t): (vr- q&)dx

= -1 il(t). div(vr- q&) dx

puisque il(t) E (HJ(0)) 2, V't E [0, T].

Donc

V(r, q) EX, V't E [0, T]

v 1 CJ(t): T dx + 1 il(t) · div(vr- qO) · il(t) dx = 0, V(r, q) EX, V't E [0, T].

Donc on a démontré que si (il,p) est une solution de (2.2) alors ((CJ,p), il) est une solution de

la formulation mixte (2.12) pourvu que il0 E V et que n soit un ouvert borné lipschitzien.

Reste à montrer l'unicité de cette solution et par conséquent l'équivalence entre le problème

(2.2) et la formulation mixte (2.12).

Soient alors ((CJ1 ,p1), il1), ((CJ2,p2), il2) deux solutions de la formulation mixte (2.12).

Considérons la différence ((CJ,p), il) := ((CJ1 - CJ2,P1- P2), il1- il2) de ces deux solutions.

Elle vérifie les équations suivantes :

v In CJ(t) : rdx +In div(vr- q5). il(t) dx = 0 V(r, q) Ex, V't E I'

In div(vCJ(t)- p(t)5). vdx = fn11t(t). vdx VvE Y, V't E I, (2.13)

il(O) =o.

Prenons (r, q) = (CJ(t),p(t)) dans l'équation (2.13)(i)· Puisque (CJ(t),p(t)) EX V't E [0, T],

alors

v L ICJ(t)l2 dx + L div (vCJ(t)- p(t)o) · ü(t) dx = 0, V't E I. (2.14)

Prenons maintenant v= il(t) dans (2.13)(ïi), ce qui est permis puisque V't E [0, T] : il(t) E

84

84

Domaine polygonal

Y = L2(0)2 ; ceci nous donne : 'V't E [0, T]

l div (vO"(t)- p(t)b). u(t) dx - l Üt(t). u(t) dx,

(2.15)

De (2.15) et (2.14) suit :

r 2 1d r _ 2 v ln jŒ(t)i dx + 2 dt ln iu(t)i dx = 0 (2.16)

et implique 1t In iü(t)i 2 dx S 0, donc In li1(·)12 dx est décroissante, et comme

fniu(·)i 2 dx E H 1 ([0, T]) <---7 C ([0, T]),

avec u(O) = 0, cela entraîne que ü(t) = 0 Vt E [0, T]. Par (2.16) on a également O" = O.

D'autre part, par l'équation (2.13)(ii), on a

ln Vxp(t) · iJdx = 0 pour tout iJ E (L2(0))2

.

Et puisque (O,p(t)) E X, donc p(t) E H 1(0) n L5(0). Choisissant iJ = V xP(t), il s'en

suit 'V xP(t) = 0 et donc p(t) = constante 'V't E [0, T], mais comme p(t) E L6(0), la seule

possibilité est p = O.

2.3 Dans un domaine polygonal

Dans la suite, on suppose que 0 est un domaine de 1Fk2 à bord polygonal: an:= U_f=1fj,

où rj est un segment de droite ouvert 'V j = 1, 2, ... , N. On suppose aussi que 0 n'a qu'un

seul angle non convexe dont la mesure est notée w ; par translation éventuelle on peut

supposer que le sommet de cet angle est situé à l'origine.

85

85



Supposant que fE L2(0, T; L2 (0)2 ) et u0 E H1 (0)2 avec divi10 = 0, il suit de la

proposition 1.2 p.267 du livre de Temam [45] que u' E L2(0, T; L2 (0)2). D'où

diviï(t) = o dans n, (2.17)

u(t) = o sur 80.

De la régularité de la solution du problème stationnaire, suit alors que ilE L2(0, T; H 2•0t(0) 2)

et p E L2 (0, T; H 1·o:(n) n La(D)) pour a E ]1 -ry0 (w), 1[ où

'T]o(w) = inf { Ç E IR~; z = Ç + i'T] vérifie sin2 wz = z2 sin2 w, z =1= 1}.

- - 0 2 Supposons maintenant que f E H 1(0, T; L2(0)2), que f (0) + vb..u0 E H 1 (0) et que

div f(o) =o. Soit ( w, () E L2 (0, T; V) x L2 (0, T; L5 (0)) la solution au sens faible ([45] p.253) de

dW - -dt (t)- v !:lw (t) + \7( (t) =J' (t), V't E )0, T[

divw(t) = 0 , V't E JO, T[

w(O) = {(0) + vb..uo .

Rappelons ([45] p.251) que V = {v E H1 (0)2; div v= 0} . Par le raisonnement ci-dessus

w' E L2(0, T; L2(0) 2 ) et (w, () E L2 (0, T; H2·a(0)2) x L2 (0, T; H 1·a(O) n L5(0)).

Posons v(t) = i10 + J;w(s) ds et q(t) =J;Ç(s) ds.

86

86


On vérifie qu'au sens faible :

dv - -dt (t)- vb..iJ(t) + Vq (t) = f (t), "v''t E ]0, T[

diviJ(t) = 0 dans 0, "v''t E ]0, T[

iJ(O) =ua .

Par unicité u = iJ et donc ~~ = w E L2 (0, T; H 2•a (0) 2). De même p - q et donc

: = ( E L2 (0, T; H 1•œ(O) n L6(0)).

Nous avons donc démontré le résultat de régularité suivant :

Proposition 2.3.1 Supposons fE H 1(0, T; L2 (0)2), que div {(0) = 0, et que la condition

initiale u0 EV du problème de Stokes instationnaire satisfasse la condition {(0) + vôuo E

fil (0)2 .

Alors la solution (u,p) E L2 (0,T;V) x L2 (0,T;L5(D)) du problème de Stokes instation

naire appartient à l'espace de Sobolev

(2.18)

pour tout a E ]1- rJo(w), 1[ où rJo(w) = inf{Ç ER:!'; z = Ç + i'T} vérifie sin2 wz = z 2 sin2 w,

z "11}.

2.4 Problème semi-discret

Pour introduire la formulation mixte semi-discrète du problème (2.12), considérons une

famille régulière de triangulations ('Ih)h den, et définissons des sous-espaces approximants

xh et yh des espaces x et y:

Xh = {(Th, qh) EX; Th(i,·) E RTo(K) \fi= 1, 2 et qh!K E Po(K), "v'K E 'Jh},

Yh = { vh E Y; vh!K E (Po(K))2, "v'K E 'Jh}.

87

87


Po dénote l'espace des fonctions constantes sur K et RT0(K) dénote l'espace vectoriel des

champs de Raviart-Thomas du plus bas degré sur K défini par :

Finalement, on a Üo,h = Phûo où Ph est l'opérateur de projection de (L2 (0)) 2 sur fiKETh (Po(K) )2•

On peut maintenant introduire le problème approché : trouver ( CTh, Ph) E L2(0, T; Xh),

ûh E L2 (0, T; Yh) tels que:

(2.19)

Avant d'examiner le problème semi-discret (2.19) nous allons tout d'abord rappeler

certains résultats relatifs aux équations de Stokes stationnaires (Cf. [9]) .

Nous considérons les équations de Stokes stationnaires :

{

-vb:..û + g;;,dp = f div ü = 0 dans n, Û= 0 sur r.

dans n, (2.20)

La formulation mixte de ce dernier problème consiste à trouver (CT,p) EX et û E Y tels

que

{

v In": T dx +In div(vT- qO) ~ ûlh: = 0, V(r,q) EX,

In div (vCJ- pb)· iJ dx =-In f · iJ dx ViJ E Y

(2.21)

Il est clair que la solution (ü,p) de (2.20) vérifie (CT,p) E X, où CT = 'lü et donc que

((CT,p), ü) est une solution de (2.21). De plus, d'après [9], la formulation mixte (2.21)

admet une solution unique.

Le problème approché pendant de (2.21) consiste à trouver ((CTh,Ph),ûh) E Xh x Yh tels

88

88


que

{

v In <'h ' rh dx + In div(vTJ. - qhO)~· üh dx = 0 , V (r,., qh) E x., ~ (2.22)

In div (vO"h- Ph6) · vh dx = -In f · vh dx, Vvh E Yh.

L'existence et l'unicité de la solution de ce dernier problème sont des conséquences de la

proposition 4.1.2 de [9].

Étant donné fE (L2 (0))2, on peut définir l'opérateur T par

T: Y____,. X x Y : lf-+ Tl= (r1 f.Tz fJ = ((O",p) ,ü) (2.23)

où ((O",p) ,il) est la solution de (2.21).

Aussi, nous définissons l'opérateur Th par

où ((O"h,Ph), ilh) est la solution de (2.22). Finalement, on démontre dans [9), le résultat

suivant sur les estimations d'erreurs à priori :


propriétés (i) et (ii) de la proposition 1.4.6, pour un a: E ]1- 'l']o(w), 1[. Soient Tf= ((O",p), ü) et Th f = ((ah,Ph), ilh)· Alors (a,p) E (H1•a(0))4 x (H1•a(n) n Lô(O)), et il

existe une constante C > 0 indépendante de h telle que

\\a- O"h\\o,n ~ Ch (!ü\Hz·"'(fJ)2 + \p\Hl,<>(n)) ,

IIP- Philo,n ~ Ch (1u1Hl·"(fl)2 + )PIHl·"'(n)) ,

\\u- uh\\o,n ::; Ch (!u\H2,e>(fJ)2 + IP\Hl,<>(n) + \ü\Hl(f!)2) .

(2.25)

(2.26)

(2.27)

Maintenant, on est en mesure de démontrer l'existence et l'unicité de la solution du

problème instationnaire semi-discret (2.19) ainsi que des estimations d'erreurs à priori.

Proposition 2.4.2 Le problème ('2.1 9) admet une et une seule solution ( ( O"h, Ph) , ilh)

dans L2 (0, T; Xh) x L2(0, T; Yh).

89

89


Preuve: Soit gE Y Considérons les opérateurs Th,l et Th,2 définis dans (2.22) :

Th,l : Y____. xh et Th,2 : Y ----+ Yh

g t---+ Th,lg =(ah, Ph) g f----+ Th,2 g = iih

où ( (ah, Ph), iih) désigne donc la solution du problème mixte stationnaire semi-discret sui

vant:

{

1/ In ah :Th dx +In (vrh- qhJ) . Uh dx = 0, v (Th, qh) E xh,

(2.28)

In (vah- Phb) . Vh dx =-In g. vh dx ' Vvh E yh·

Ce problème possède une et une seule solution Vg E (L2(D)) 2 :=Y Revenons au problème

d'évolution discret (2.19), si on applique la définition de Th, on obtient :

D'où

Montrer que ce problème possède une et une seule solution revient, en fait, comme nous le

verrons plus loin, à montrer que Th,2 est un opérateur défini positif sur Yh· Prenons donc

un élément lh E Yh, et considérons le problème mixte discret stationnaire de donnée f~ :

{

v In ah: Th dx + fo (vTh- qh8)· ihdx = 0' \1 (Th,qh) E xh,

- (2.29)

In (v ah - Ph8) · vh dx = -In fh · vh dx , Vvh E Yh.

Alors Th,2 f~ = iih et Th,l f~ = (ah, Ph), et on a

1 (rh,2!~) · f:dx = l 1: · iihdx -l (vah- Ph8) · iih dx

- v ln ah : ah dx =v fniahl2 ~ O.

En particulier In (Th,2 f~) · f~ dx = 0 implique ah = O.

Mais si ah= 0, et comme (vah- Ph8) E H(, D), alors Ph E H 1(D) implique V ph E ( L2(D) )2

•

90

90


Mais comme PhiK E Po(K), il s'en suit '\lph = 0 dans 0 et donc Ph = constante dans O. Mais puisque Ph E L5(0), alors Ph = O. Donc si ah = 0, cela entraîne que f~ = 0 par

l'équation (2.29)(ii)· En conclusion, si f~ # 0 alors

v fnlahl2 > 0

et fo ( Th,2 f~) · J~ dx > O. À fortiori, l'application Th,21Yh : Yh ---> Yh est injective donc

inversible.

On conclut que :

ûh(t) = exp(tAh)ûo,h -lot exp((t- s)Ah)AhTh,2l(s) ds

ûh(t) = ûo,h, avec Ah=- (Th,21Yh) -l.

ûh étant ainsi déterminé, le système (2.19) peut être employé pour déterminer (ah, Ph)· •

Nous avons donc démontré l'existence et l'unicité de la solution du problème mixte

discret.


Notre objectif, dans cette section, est de démontrer certaines estimations d'erreurs.

Dans ce qui suit, ((a,p), û) désigne la solution du problème continu (2.12) et ((ah,Ph), ûh)

désigne la solution du problème semi-discret (2.19). (va(t)- p(t)<5) E (L2 (0))2, V't E J,

car (a,p) E L2 (0, T;X).

Dans la suite, on a besoin d'introduire l'opérateur d'interpolation de Raviart·Thomàs et

l'appliquer à (va(t)- p(t)<5). Pour cela il faut que (va(t)- p(t)<5) E W 1•q(0)4 pour un

certain q > 1, V't E I. Ceci est vrai d'après les hypothèses (2.18).

Définissons :

7rh(a(t),p(t)) := (~ [1r~ (va(t)- p(t)J) +Ph (p(t)) <5], Ph (p(t))), V't E I,

où nous avons ([12] p.87) :

1 °) VK ETh: ~ (1rk (va(t)- p(t)J) +Ph (p(t)) J]IK = ~ [1rk (va(t)- p(t)J)IK + PhP(t)IK<5 JE

RTo(K?;

91

91


1rk dénote l'opérateur d'interpolation de Raviart-Thomas [9] et 7rk sa restriction au triangle

K.

2°) Ph désigne l'opérateur de projection orthogonale de L5(n) sur le sous-espace { qh E

L5(D) qhiK E Po(K), 'IIK E 'Jh} i.e. :

(phq)IK := PKq := l~l L qdx, 'IIK E 1h.

Pour notre étude sur l'estimation d'erreur on va travailler dans le cas où üh(O) = Phü(O).

On a alors le résultat suivant :

Proposition 2.4.3 Soit ('Jh)h une famille régulière de triangulations sur n, jouissant des

propriétés (i) et (i'i) de la proposition 1.4.6. Alors :

llcr(O)- crh(O)IIon::; llcr(ü)- cr~(O)IIon · ' '

(2.30)

où ((cr(O),p(O)) ,ü(O)) désigne la solution du problème mixte (2.12) à l'instant t = 0, et

(cr;;(t),p;;(t)) := 7rh(CT(t),p(t)).

Preuve: Appliquons l'équation (2.19)(i) à l'instant t =O. On obtient

Il 1 Clh(O): Th dx = - i (11Th- qho). uh(O) dx 'I!(Th,qh) E xh,

Par l'équation (2.12)(i) à l'instant t = 0 on a :

-ln (11Th - qhO) · u(O) dx = Il 1 0'(0) : Th dx,

on a donc '1/ (Th, qh) E Xh,

v ln ( Œ(O) - CTh(O)) : Th dx =O.

92

92

(2.31)


D'autre part on a

= k (a(O) - ah(t)) : (a(O)- ah(O)) dx +ln (ah(t)- ah(O)) : (a(O)- ah(O)) dx

Si on applique (2.31) avec Th= af:(O)-ah(O) E RT0 (K) 2 au membre de droite, on obtient:

lla(O)- ah(O)II~,n = ln (a(O)- ah(O)): (a(O)- ah(O)) dx

< lla(O)- ah(O)IIo,n lla(O)- ah(O)IIo,n ·

Par conséquent

• Remarque 2.4.4 a(O) a bien un sens car des hypothèses (2.18) suit

et donc

Soit ( ü( t), p( t)) la solution de ( 2.1) , pour t fixé. Posons

c'est-à-dire que ( ( &h (t) , Ph (t)); 7ih (t)) est la solution du problème semi-discret suivant :

{

v In ih(t) : Th dx +In div(vTh- qh8) . 7ih(t) dx = 0, ''ï/ (Th, qh) E xh,

In div (v&h(t)- Ph(t)c5) · vh dx +In( -vb.ü(t) + gr~p(t)) · vh dx = d, 'ïl't E I, 'ï/vh E Yh·

Retournons pour quelques instants au problème continu (2.1) et posons :

93

93


c'est-à-dire ( (ô-,p); -fr) est la solution du problème suivant :

{

v In ô-(t) : T dx +In div(vT- q5) · :fr(t) dx = 0 V't E J, V (T, q) EX,

ln div (vô-(t)- p(t)o) ·v dx +In( -v!:iû(t) + gr~dp(t)) ·v dx = 0 V't E J, VvE Y.

Comme

on a alors

il s'en suit que

é)û --- v.6.û + grad p = f é)t

- é)û -v.6.ü + grad p = f--

é)t

{

v In ô-(t): T dx +In div(vT- qJ) · :fr(t) dx = 0, V't E J, V (T, q) EX,

ln div (vô-(t)- p(t)5) ·v dx + lnU(t)- ~~(t)) ·v dx = 0, \f't E J, VvE Y,

Et par conséquent, grâce à l'unicité de la solution, on a

(Cô-,p);-fr) = ((cr,p);û) =T(-v!:iû+gr~dp).

(2.32)

(2.33)

Définition 2.4.5 On appellepr·ojection elliptique de ((cr(t),p(t));û(t)) Vt' E I, la solution

((êTh(t),p(t)); fih(t)) du problème mixte semi-discret stationnaire (t fixé) suivant :

{

v In ïh(t) : Th dx +In div(vTh- qhJ) · flh(t) dx = 0 V (Th, qh) E Xh,

(2.34)

In div (vo-h(t)- Ph(t)5) · vh dx =- InCJ(t)- ût(t)) · vh dx Vvh E Yh·

Avant de démontrer le résultat d'approximation de ((cr,p); ü) par ((crh,Ph); üh), on a

besoin des estimations d'erreurs entre la solution du problème de Stokes et la projection

elliptique. On a le résultat suivant :

Proposition 2.4.6 Soit (1h)h une famille régulière de triangulations sur 0, jouissant des

propriétés (i) et (ii) de la proposition 1.4.6 pour un a E ]1- 77o(w), 1[. Il existe une


(2.35)

94

94


et pour la pression on a :

(2.37)

Preuve: Ceci résulte immédiatement de la définition 2.4.5, (2.33) et des estimations

(2.25),(2.26) et (2.27) . • Nous sommes maintenant en mesure de donner l'estimation de l'erreur 1/cr(t) - crh(t)iio 11 ,

' en comparant le problème semi-discret (2.19) avec le problème définissant la projection el

liptique (2.34).

Théorème 2.4. 7 Soit (Th)h une famille régulière de triangulations sur D, jouissant des

propriétés (i) et (ii) de la proposition 1.4.6 pour un a E ]1- 770 (w), 1[. n existe une


li(J(t)- (Jh(t)!io 11 (2.38) '

< ch {sup (\u(t)\H2•"'(n)2 +\p(t)\Hl,<>(n)) +llddull +llddpll } . tS.T t L2(0,T;H2,o:(Q)2) t L2(Q,T;Hl,a:(f!))

Preuve: Avant de commencer la démonstration, rappelons les deux problèmes (2.19) et

(2.34) :


et la projection elliptique : V't E I

{

li In a-h(t) :Th dx +In div(!!Th- qh8). flh(t) dx = 0 v (Th, qh) E xh,

fn div (v&-h(t) - Ph(t)8) · vh dx =- I11 (l(t)- iZt(t)) · vh dx Vvh E Yh.

95

95

(2.39)

(2.40)


Une soustraction de (2.40) de (2.39), nous donne le système aux erreurs suivant :

{

li In éh(t): Th dx +In div(Z17h- QhO). ~(t) dx = 0, Vt E J, v (rh, Qh) E xh,

(2.41)

In div (v~h(t)- rh(t)o) · iJh dx =In ft (ïih (t)- ïi(t)) · iJh dx Vt E I, Vifh E Yh,

avec

Ensuite dérivons par rapport à la variable temps la première équation du système (2.41) :

v fn 8;t (t) :Th dx + 1 div(vrh- QhO). a:: (t) dx = 0, v (Th, Qh) E xh, V't E I (2.42)

En prenant vh = 2 8:t dans (2.41)(ii) et (rh,qh) = 2 (~h,rh) dans (2.42), on obtient

2v In 8;t (t) : E:h dx + 2 In div(vêh- rh8) · 8 fth (t) dx = 0

-2 In div (vêh(t)- rh(t)o). a~ï. (t)dx + 2 In ( ~(t) r dx = 2 In ~(t). a~-, (t) dx:

(2.43)

Après addition membre à membre des équations du système (2.43), on aboutit à

Donc

< 2 \\â~h\lon. â~ ât , o,n

~ \la~h ll:n + aë, 2

ât ' o,n

Et alors ',

(2.44)

96

96


En conclusion on a :

d r 2 1 1/ diJh 1/2 dt Jo lch(t) 1 dx :::; ; dt o,n. (2.45)

En intégrant (2.45) par rapport à t, nous obtenons

fn1<n( t )1 2 dx - fnien( 0) 12

dx '5 ~ lll d!' ll:.~s) ds,

Donc

(2.46)

Or on a

D'après (2.30), et la définition de 7rh(CT(t), p(t)), on a

IICJh(O)- CJ(O)IIon:::; IICJ(O)- CJ~(O)IIon ' ·'

- IICJ(O)- ~ [1rk (va-(0)- p(0)5) +Ph (p(O)) 5] llo n '

- ~~~ [(va(O)- p(O)) 8- 1rk (vCJ(O)- p(0)5)] + ~(p(O)- Ph (p(O)) 5llo,n

1 J2 < ; Il (vCJ(O) - p(0)8) - 1r~ (vCJ(O) - p(0)8) llo,n + ---;;-llp(O) -Ph (p(O)) llo,n.

Des estimations d'erreurs d'interpolation contenues dans la démonstration du Théorème

4.1.7 de [9], il s'en suit que

De (2.47), (2.48) et (2.35) pour t = 0 on a alors :

(2.49)

Revenons maintenant à (2.46) et rappelons que

lla:llon = '

dû d7ih ---dt dt o,n

97

97


Et remplaçant dans (2.46), on aura

Cette dernière estimation et les estimations (2.49), (2.36) pour le problème dérivé nous

donnent:

Alors on a

Finalement, l'inégalité triangulaire et l'estimation (2.35) nous donnent

~ch {sup (Jü(t)JH2•"(!1) + Jp(t)IH1·"(!1J) +Il ddü Il +Il ddpll } . t~T t L2(0,T;H2·"(0)2) t L2(0,T;Hl,c.(!1))

• Proposition 2.4.8 Soit {n} une famille régulière de triangulations sur S1. n existe une


JJü(t)- üh(t)llon ~ c ( _inf JJü(t)- vhllon + IJO'(t)- O'h(t)ilon). (2.5o) ' ~~ ' '

Preuve: La même démonstration que celle employée pour démontrer la proposition 4.1.9

[9] •

Théorème 2.4.9 Soit {Th} une famille régulière de triangulaùons sur S1, jouissant des

propriétés ( i) et (ii) de la proposition 1.4.6 pour un certain a E }1 - '1'/o(w), 1 [. Il existe une

98

98



llû(t)- ûh(t)llon (2.51) ,

< ch {sup (lü(t)IH2·"'(0) + jp(t)IH1·"'(n)) +Il ddüll +Il ddp Il } · t~T t L2(0,T;H2,o:(0)2) t L2(0,T;fll,<>(O))

Preuve: On vient de voir que

Prenons vh =Ph u(t) E Yh, où Vt E J, Ph ü(t) est la fonction dont la restriction sur chaque

triangle K de la triangulation Th est égale à la moyenne de û(t) sur K. À fortiori :

llü(t)- üh(t)llo,n :Sc ( llû(t)- Ph ü(t)llo,n + IICT(t)- O"h(t)llo,n) · (2.52)

Or on sait [9] qu'il existe une constante c > 0 indépendante de h telle que pour tout t E I :

jjü(t)- Ph û(t)ll :S ch (jü(t)1Hl(f2)2). (2.53)

Par conséquent il suit de (2.52), en utilisant cette dernière estimation et l'estimation (2.38),

que:

llû(t)- ilh(t)llo,n

< ch {sup (llû(t)IIH2,<>(n)2 +lp(t)!Hl,<>(n)) +~~~~~~ +11:11 } . tST L2(0,T;fl2,a(0)2) L2(0,T;H1•"' (f2))

• Maintenant, estimons l'erreur sur la pression approchée.

Théorème 2.4.10 Soit {Th} une famille régulière de triangulations sur Sl, jouissant des

propriétés (i) et (i'i) de la proposition 1.4.6 pour un certain a E ]1- 'flo(w), 1[ . fl existe

une constante C > 0 indépendante de h telle que pour tout t E I :

!IP(-)- Ph011L2(o,T;L2(f2)) :SC h (liû(·)IIP(o,T;H2,o:(n)2) + I!P(·)IIL2(o,T;Hl,o:(n)))

+Ch (l!u(O)!IH2,a(nJ2 + jjp(O)i!Hl,o:(n) + \\ddut_.(·)\1 + 1\ddpt(·)ll ) L2(0,T;H2•"'(f2)2) L2(0,T;H1·"'(0))

99

99

Équàtions de Stokes instationnaires

Preuve: Avant de commencer la démonstration, rappelons le système aux erreurs (2.41),

{

v In éh(t) :Th dx +In div(vTh- qh6). fh(t) dx = 0, 'lit E J, 'Il (Th, qh) E xh,

(2.54)

In div (vsh(t)- rh(t)o) · iJh dx =In ft (ïth (t)- ït(t)) · iJh dx Vt E I, 'llvh E Yh,

avec

Par la formule de Green, pour tout v E HJ(D)2, on a 'litE I:

= L (vsh(t) - rh(t)o) : '\lv dx- k vsh(t) : \lv dx. (2.55)

Or, il existe C > 0 telle que :

11 vsh(t): '\lvdxl::; C 1\sh(t)ilo,n · l\iJIIHl(n)2. (2.56)

On a aussi '\lv E HJ(D) 2 :

ln (vch(t) - rh(t)o) : \lv dx

(2.57)

par (2.54)(ii).

Par conséquent il existe C > 0 telle que :

lin (vch(t)- rh(t)o) :'\lv dxl ::; \\üt (t)- üh,t(t)\\o,n · \\PhiJ\\o,n

100

100


De (2.55) et des estimations (2.56) et (2.57) , suit :

D'autre part [46], [14] p.20, il existe une constante C > 0 telle que pour tout w E L6(rl) :

In V'w. vdx l/wi/L2(n) ~ C I/V'wiiH-l(n)2 = sup li-ll .

o V'EH5(n)2 V Hl(n)2 (2.60)

Et donc, d'après (2.59), on a

(2.61)

Puisque eh = ûh- ff,h et Ph= û- ff,h ' on peut aussi écrire :

Or on sait d'après (2.44) que :

(2.63)

En intégrant (2.63) suivant la variable tE I, on obtient

(2.64)

Réécrivons fois le système aux erreurs (2.54) en introduisant ~ et Ph dans la seconde

équation:

{

v In ch(t): Th dx +In div(vTh- qho). ~(t) dx = 0 Vt E I, \1 (Th, qh) E xh,

In div (ve:h(t)- rh(t)b) · iJh dx =In lh,t(t) · iJh dx- In fih,t(t) · vh dx Vt E I, Vvh E Yh.

Prenons vh = ~(t), Th = éh(t) et qh = rh(t). On obtient donc

{

2 -v In leh(t) 1 dx +In div (ve:h(t) - rh(t)o) . eh(t) dx = o,

In div (ve:h(t) - rh(t)o) · ~(t) dx =In ~,t(t) · ~(t) dx -In Ph,t(t) · ~(t) dx.

101

101


Ce système d'équations entraîne :

v ln /eh(t) /2 dx + i ~,t(t) · /h(t) dx = 1 Ph,t(t) · ~(t) dx,

i.e.

2 1 d Il - 112 r -v l!eh(t) llo,n + 2 dt Bh(t) o,n = ln Ph,t(t) · Bh(t) dx

Par l'inégalité de Gronwall il s'en suit qu'il existe C > 0 :

v 1T /kh(t)//~,n dt+)) ~(t)JJ:.n ~ C (loT /l,oh,t(t)i/~,n dt+ ll/h(o)ll:.n). (2.65)

Par (2.62), on a

1T lirh(t)11~5<n) dt::; ClaT (Jjth,t(t)\l:.n + i!Ph,t(t)ll~.n + l!eh(t)ii~.n) dt. (2.66)

D'après (2.64), (2.65), on obtient

lT llrh(t)Jih<n) dt::; C (for I!Ph,t(t)ll~.n dt+ lle:h(O)II;,n + j)t%Co)l!:.n) . (2.67)

D'autre part on a

= I!Phü(O)- ü(O)Iio,n + llu(O)- il:h(O) llo n. ,

De l'inégalité précédente, de (2.53), et de l'estimée (2.36), suit

~~~(o)j)o,n = )juh(O)- ~h(o)llo,n::; Ch (11u(O)JIH2·"(nJ2 + Jlp(O)I!Hl·"(n)). (2.68)

Par (2.49) :

l!e:h(O)i! = i!CTh(O)- &h(O)IIo,n ~Ch (iiu(O)IIH2,a(n)2 + i!p(O)i!Hl,a(n)). (2.69)

102

102


De plus, par (2.36), appliquée au problème dérivé

IIP'h,t(t)ll = jjut(t)- ITh,t(t)jj :::; Ch (llddut-(t)ll + llddpt(t)ll ) . (2.70) 0,!1 · H2,<>(f!.)2 Hl,<>(O)

Par l'inégalité triangulaire

llp(t)- Ph(t)llo,n:::; llp(t)- Ph(t)llo,n + lli>h(t)- Ph(t)llo,n,

Comme rh(t) = Ph(t)- Ph(t), en élevant les deux membres au carré, on a:

Et alors

1T llp(t)- Ph(t)ll~,n dt:::; 21T llp(t)- Ph(t)ll~,n dt+ 21T llrh(t)ll~,n dt. (2.71)

Ce qui implique d'après (2.37), (2.67), (2.68), (2.69) et (2.70)

1T llp(t)- Ph(t)ll~.n dt:::; C h2 (1T llü(t)11~2.<>(0)2 dt+ 1T llp(t)ll~l,<>(O) dt)

+C h2 (1111(0) 11~2·"(!1)2 + IIP(o) ll~l·"(n) + fT \1 ~~ (t) \\

2

dt+ fT Il dt (t) 11

2

dt) . lo H2,<>(fl)2 lo Hl•"(O)

Autrement dit, on a donc :

llp(t)- Ph(t)IIL2(ü,T;L2(n)) :::; Ch (11u(t)IIP(o,T;H2·"(fl)2) + llp(t)IIP(o,T;Hl·"(O)))

+Ch (llü(O)IIH2·"(n)2 + llp(O)IIHl,cx(n) + \\ddut-(t)\\ + 1\ddpt(t)l\ ) · ' L2(0,T;H2,<>(fl)2) L2(0,T;Hl,cx(O))

•

103

103



Pour le problème complètement discrétisé nous subdivisons l'intervalle de temps [0, T]

en N sous-intervalles [tn_1, tn] (n étant un nombre entier positif ou nul), tels que :

0 = to ::=; · · · ~ tn < · · · ~ tN = T,

Avec k = tn- tn_1 dénotant le pas de temps fixe. Notons par UR l'approximation de la

vitesse à l'instant tn = nk. Pour l'approximation de 8%t à l'instant tn, nous utilisons la

formule suivante :

2.5.1 Schéma de Euler implicite

Nous allons étudier le problème de Stokes complètement discrétisé en utilisant la mé

thode d'Euler implicite. Ainsi le problème discret des équations de Stokes instationnaires

s'écrit comme suit :

(2.72)

Proposition 2.5.1 Le problème (2. 72) possède une et une seule solution ((ah,ph:), üh) E

xh x Yh·

Preuve: Réécrivons (2.72) en posant :

Donc

{

v In crh : Th dx + In div(vrh - qhJ) · üh dx = 0,

In div (vaf:: - pf::8) . ih dx - i In üh . Vh dx = F( vh)' \:lvh E Yh.

(2.73)

104

104


Considérons l'application qui associe à chaque élément ((O"r,p~) ,UR) E Xh x Yh, l'élément

de l'espace dual x~ x y~ :

(

(Th, qh) ~-------> v ln O"h : Th dx +ln div(v'Th - qhb) · û/;: dx ) .

vh ~-------> In div (vO"h - P'hb) · vh dx - Î In UR · vh dx

Notons cet élément de x~ x Y~, <P ((O"h,ph) 'UR). Puisque <P est linéaire de xh x yh dans

son dual, ces deux espaces étant de même dimension, le fait de montrer que <P est injective

est suffisant pour établir sa bijectivité. Soit alors ( ( O"r, P'h) , üh) tel que :

Nous obtenons :

et donc:

{

v In O"h : '~h dx + In div(v'Th - qhb) · üh dx = 0,

In div (vO"h - p'hb) · vh dx - Î In ûh · vh dx = 0,

{

v In \O"h\ 2 dx +In div(vO"'h - p'hb) · üh dx = 0

In d'iv (vO"'h- p'hb) · üh dx = Î In \û/;:\ 2 dx,

v ln \O"h\2

dx + l ln \ûh\2 dx =O.

(2.74)

(2.75)

Ce qui implique üh = 0 et O"h = O. Maintenant, il nous reste à montrer que P'h = O. On a

phiK =ete, et du fait que O"h = 0, il s'en suit que phb E H(div, D) et donc Ph = ete sur D,

comme P'h E L6(D) cette constante ne peut être que nulle. •

2.5.2 Stabilité du schéma implicite

Avant de passer à la partie concernant l'estimation de l'erreur, nous allons vérifier la

stabilité du schéma (2. 72), et nous commençons par la majoration des champs de vitesse :

105

105


Proposition 2.5.2 Supposant k S ~.on a:

(2.76)

Preuve: Réécrivant le problème (2. 72), on a :

{

v In(}~ : Th dx +In div(vTh - qhr5) . üh dx = 0, v (Th, qh) E xh,

(2.77)

fn div (v()~- P'hb) · iJh dx + In(/(tn)- 8û7;) · iJh dx = 0, Vvh E Yh.

Prenons alors iJh = û7; dans (2.77, ii), donc :

ln div(vCJh - ph8) · üh dx = -ln (/(tn) - 8Uf.) · ûï; dx

-fn/(tn) · üh dx + 1 8ûï; · ûï; dx

- { {(tn) · i1h dx + { ~- u;:-l · ûï; dx ln ln k

= -ln f<tn) · üh dx + {ln /û/;/ 2 dx- {ln ûh · üh-1

dx.

Mais si on prend Th= (jh et qh = PR dans (2.77, i), et en utilisant l'égalité précédente, on

obtient :

et alors :

À fortiori on a

106

106


d'où

llühll~,n:::; /lüh- 1 //~,n + 2k 1/fctn)llo,n ·llühllo,n ·

Sommant ces inégalités depuis n = 1 jusqu'à N, nous avons :

Donc:

Dans le but d'appliquer l'inégalité de Gronwall discrète, faisons passer le terme \\ûf\\~,n dans le membre de gauche. Nous obtenons :

N N-1

(1- k) llûf:/l~,n:::; \1~1\~,n + k 2: IIRtn)l/on + k L 11~11-n=1 ' n=1

Supposant dans la suite que k:::; ~ce qui n'est pas trop gênant, on a donc :

Arrivant à ce stade, on peut appliquer l'inégalité de Gronwall et il s'en suit :

Alors:

[[ ùi:' [[~,n OS: 2 exp (2T) ( [[ ~ ll:,n + k ~ JJ!ct.) JJ:,n) · D'où le résultat 2.76. •

Pour les ah;, on a la majoration suivante :

Proposition 2.5.3 Il existe une constante C > 0 telle que

(2.78)

107

107


Preuve: Prenons dans (2.72) :

on a:

1/ fnJahJ 2 dx -1 (/(tn)- 81Jh) · ûh dx =O.

Multiplions les deux membres par le pas de temps k :

k fnv Jahl2 dx- k k (fctn)- ËJûh) · Uh dx =O.

Sommant ces équations membre à membre pour n = l...N, nous obtenons:

N N

v L k JJahJI~,n + L 1 (üh- ûh-1) · iJh dx = k 1 fctn) · ûh dx. (2.79)

n=l n=l n n

D'autre part :

- ln Jilhl2 dx -ln ilh-1

· iJh dx

il suit alors de (2.79), qu'à fortiori :

N - N

v L k !IŒhil~,n + t lluJ;II~,n- t ll~ll~,n ~ L k 1\fCtn) \\o,n ·llûhllo,n · (2.80) n=l n=l

108

108


Majorons le membre de droite de (2.80) :

N N

~ k llf(tn) llo,n · llùhllo,n = ~ k~ llfctn) llo,n · k~ llühllo,n

1 1

< (t, k I!Rtn) ll:.n r (t, k llilh ll~.n )'

< (t, k llf{t.) 11:.n) t Cte (Il ;q: 11:.n +kt, Il [(tn) 11:.n) ! par l'inégalité (2.76),

1 1

< Cte (t,k !!RtnJ!I:.n)' (11;q:11:.n +kt, I!Rt.J!I:.n)'

< Cte (t, k Il f{t.) 11:.n + llifi 11:.n + kt, !!J(t.) 11:.n) · Maintenant remplaçons dans (2.80). On obtient :

Y t, k liu~ Il~, + ~ llüf 11:.n S Cte (Il ;q: 11:, +kt, Il fëtn) 11:.n) ·

À fortiori:

• Nous sommes maintenant en mesure de majorer IIPhllo,n.

Proposition 2.5.4 Il existe une constante C > 0, telle que :

Pour démontrer ce résultat on a besoin du lemme suivant :

Lemme 2.5.5 [4 7} Il existe une constante C > 0, telle que \IT E H (div; 0 )2, satisfaisant :

i tr(T) dx = 0 (2.81)

109

109


on ait :

(2.82)

Preuve: Pour utiliser ce résultat sur le tenseur (ŒJ:- p~8), il faut vérifier qu'on a bien la

condition (2.81). Prenons dans (2.72)(i) :

Th = 0 et qh = 0 , où 0 = ( ~ ~ ) .

Par conséquent la première équation de (2.72) se réduit à

v ln tr(Œ/:) dx = 0

Et puisque p~ E L6(0), donc on a bien

ln tr(Œ/:- pho) dx =O.

On peut alors appliquer le résultat (2.82), d'où :

D'autre part, on a :

(

ln ln n ) = 2(7 h,ll - 2(7 h,22 0" h,l2 . n 1 n 1 n

. 0" h,21 2(7 h,22 - 2(7 h,ll

Désignant par 11·\lp la norme de Frobénius, on a Vx E 0:

\\(ah- p~8)D(x)\\~ (2.84)

= ~ (O"h,n(x))2 + ~ (O"h,22(x))

2 + (ah,lz(x))2 + (ah,21(x))

2- O"h,n(x)Œh,22(x)

< (ah,n(x))2 + (ah,zz(x))

2 + (ah,lz(x))2 + (Œh,21(x))

2 = \\Œh(x)\\~.

110

110


Intégrant les deux membres sur n, il s'en suit :

(2.85)

De (2.83) et (2.85) suit que

lia~- P'h8llo,n:::; C (lla~llo,n + lldiv(ah- Phb')llo,n) · (2.86)

D'autre part :

D'où:

(2.87)

Maintenant, il nous faut majorer lldiv(aJ:- ph6)llo,n. On a d'après (2.72)(ii) que \::!vh E Yh:

ln div (vah - P'hb') . vh dx = -ln ({(tn) - Büh) . Vh dx,

ce qui peut être réécrit :

où PZ désigne l'opérateur de projection orthogonale de L2 (0)2 sur Yh· D'où :

(2.88)

Les inégalités (2.88) et (2.87) entraînent que :

d'où il suit que :

(2.89)

Or, on a démontré dans la proposition 2.5.3, que :

(2.90)

111

111


Pour majorer le membre droit de (2.89), il nous reste à majorer "L~=l k JJ8ithJI~s1" Appli

quant 8 aux deux membres de la première équation du système (2. 72) , on obtient

1/ ln Ba~ : Th dx + ln div(vTh - qh8) 0 a~ dx = 0 (2.91)

Dans l'équation (2.91), prenant Th = crJ: et qh =ph, il s'en suit que :

1/ 1 Ba~ : (T~ dx + L div(vcr~ - Phb) 0 a~ dx =o. (2.92)

Prenons iJh = Büh dans (2.72)(ii). On obtient:

L div (va~ - ph8) · Bi7h dx + L ({(tn) - Bi7h) · Bü:h dx = O. (2.93)

Donc

Autrement dit on a:

(2.94)

Comme

r 8- n nd 1/ Il nll2 1/ r n-1 nd 1/ Il nll2 1/ Il n-1112 v ln ah : O"h x= k crh o,n - k ln crh : ah x ~ 2k O"h o,n- 2k crh o,n.

Multiplions par 2k chacun des deux membres de ces deux dernières inégalités on obtient :

D'où

v iiahl!~,n- v JJcrh-1 ll~,n + k J!&ü:hll~,n ~ k lj{(tn) ll:,n · Faisant la somme de ces inégalités membre à membre pour n = 1, .. , N, on obtient :

· N N 2

v JJa~JJ~,n -v JJa~JJ~,n + Lk JJ&iihJJ~,n ~ L k llf(tn)llon · n=l n=l '

112

112


D'où N N

Lk//B~II~,n ~ Lkll{(tn)l/:n +v//o-~/l~.n· n=l n=l '

(2.95)

Les inégalités (2.95) , (2.90) et (2.89) entraînent alors :

•


Afin de donner une majoration de l'erreur d'approximation de il par ûh en norme

(L2)2

, introduisons tout d'abord «le problème elliptique à l'instant tn»: trouver

((G-h(tn),ph(tn)); iJh(tn) E Xh x Yh tel que:

{

l/ In o-h(tn) : Th dx +In div(vTh- qh8) . iih(tn) dx = 0, v (Th, qh) E xh,

(2.97)

In div (vo-h(tn)- Ph(tn)8) · Vh dx + fn(f(tn)- ilt(tn)) · vh dx = 0, Vvh E Yh.

Théorème 2.5.6 Il existe c > 0 indépendante de h et de n telle que :

~~~- iih(tn)llo,n::; ch 1tn (iiitt (s)IIH2,<>(n)2 + iiPt (s)iiHl,<>(n)) ds + k 1tn iiütt (s)llo,nds.

(2.98)

Preuve: Pour alléger les notations, on va noter comme dans la partie précédente :

Soustrayant membre à membre (2.72) de (2.97), on obtient le système d'équations aux

erreurs :

{

v In r:h : Th dx +In div(vTh - Qh8) · ë};dx = 0

In div (vr:h- rh8) · vh dx =- In(Üt(tn)- Bilh) · vh dx, Vvh E Yh.

(2.99)

113

113


Choisissons

Alors (2.99) devient :

{

v In le:hl2

dx +In div(ve:h- rho) · Bhdx = 0,

In div (ve:f:- rho) ·Bk dx = -InUit( in)- Bith) ·Bk dx.

Alors:

D'où:

Ce qui implique :

Donc:

(2.100)

Posons pour la suite :

wn := ( afih(tn)- Üt(tn))

et wn := Wf + w~ avec wf = (afih(tn)- Bü(tn)) et w~ = (Bü(tn)- i1t(tn)). Commençons

par majorer !lwfllo n· Pour cela, on a besoin d'utiliser les opérateurs T et Th définis par '

(2.23) et (2.24). Donc on a :

114

114

D'où:

llw~llo,n

Autrement, on a:


Il (Th,2 - T2) ( [) {(tn) - Büt(tn)) llo n '

- ~~~ (Th,2- T,) (1:, };(s)ds -1:, ü.,(s)ds) IL < H<rh,2- T,) t, (J:(s)- ü.,(s)Hio,n

< ~ 1~:1 II(Th,2- T2) (h(s)- Ütt(s)) llo,n ds.

llw~llo,n::;-k1 rn ll~.h(s)-üt(s)ll ds. ltn-1 0,!1

Et d'après les résultats d'estimation d'erreur dans le cas stationnaire, il existe une constante

c > 0 indépendant de h telle que :

(2.101)

D'où

(2.102)

D'autre part :

11tn = k ( tn-1 - s) Ütt ( s) ds. tn-1

Et alors : rn Jlw~llo,n:::; ltn-

1

llütt(s) llo,n ds.

115

115


D'où: N ltn

k L ll~llo,n S k lliltt(s) llo,n ds. n=l 0

(2.103)

Par (2.103) et (2.102), on obtient :

llffhllo,n S llëRIIo,n +ch lotn (!iut (s)IIH2,<>(n)2 + i!Pt (s)I!Hl,a(n)) ds + k lotn lluu (s)llo,n.

Si on prend ~ = fi.h(t0), alors~= O. Par conséquent :

• Nous sommes maintenant en mesure de démontrer l'estimée finale c'est à dire de ma

jorer

llüh- il(tn)llo,n par O(h).

Théorème 2.5. 7 Soit (lh)h une famille régulière de triangulations sur n, jouissant des

propriétés (i) et (ii) de la proposition 1.4.6 pour un a E ]1- TJo(w), 1[. n existe une


liilh- u(tn)lio,n Sc h (lû(t)1Hl(f!)2 + lû(t)IH2·"Cf2)2 + lp(t)iHl·"(n))

+chlt" (!lut (s)IIH2,<>(!l)2 + IIPt (s)IIHl•"(!l)) ds + k tn llilu (s)llo,n ds. ~ ho

Preuve: Il suffit d'utiliser l'inégalité triangulaire, le résultat d'estimation d'erreur (2.36)

et la dernière estimation (2.98). •

Maintenant on passe à la majoration de llchllo,n. Pour cela on a besoin du résultat

suivant :

Proposition 2.5.8

(2.104)

Preuve: Appliquant (8) à la première équation du système aux erreurs (2.99), il s'en suit:

116

116


Prenons rh= fR et qh = r~, d'où :

v ln Bê'h: fh dx = -ln div(vf'h- rJ:5) · 8ë';:dx

- k ( c;r - aifh) . affh dx

par (2.99, ii)

- r c;r. affh dx -J]affk]] 2

.ln o,n

1 2 111---+11

2

11---+112

~ 2 llwnllo,n + 2 fJO'h o,n - 88'h o,n. Donc:

(2.105)

D'autre part, on a :

8 lléRII~.n- 2 i Béh: e:h dx = ~ (lléf:ll~.n -lleh- 1 ll~.n)- ~ln (e:h- fh-1) : e:R dx

Et donc

Par (2.105), on obtient :

(2.106)

À fortiori on a :

• Nous sommes maintenant en mesure de majorer l'erreur \leR\! 00 .

'

117

117


Théorème 2.5.9 Il existe une constante C > 0 telle que :

JJa;;- o-h(tn) llo,n (2.107)

< C ( h ( Jlut( s) JIL2(0,tn;H2,cx(n)2) + IIPt(s) JJL2(0,tn;Hl,a(f!))) + k Jlutt(s) JJL2(0,tn;L2(f2)2))

Preuve: D'après l'inégalité (2.104), on sait que :

BJJshll~n:::;! llwnll~n· ' v '

Sommant ces inégalités membre à membre pour n = 1, ... , N, nous obtenons :

N

llê~ll~.n :::; iis~il~,n + ~ L llwnll~.n n=l

< IIE~II~.n + 2vk (t, IIWïll:.n + t, IIW~II:,n) · (2.108)

Or, d'après l'inégalité (2.101), on a :

llw~llo,n:::; ch~ 1tn (llilt(s)JIH2·"(f2)2 + IIPt (s)IIHl·"(n)) ds. tn-1

(2.109)

Donc:

< 2ch2 1tN (llut(s)JJ~2,a(n)2 + IIPt (s)JJ~l,a(n)) ds. to

(2.110)

Maintenant on passe à la majoration de k L.::~=l Jlw~ll~,n. On a :

N N

k :E IJw;JI~.n k L jjëu(tn)- Ut(tn)ii~,n n=l n=l

N

~ L llu(tn)- u(tn-l)- k Ut(tn)ll~.n. n=l

118

118


Par la formule de Taylor avec reste de Laplace, on a :

1tn

ü(tn)- ü(tn-d- küt(tn) = (tn-1- s) Ütt(s)ds. tn-1

D'où:

llü(t,)-ü(t.)-kü,(t.)ll~.n - lit, (tn-1-s)iitt(•)dsll'

Alors:

< CJ.:.~, 1( tn-1 - s )illü~( s) llo~ ds )'

k3 tn < 3 }tn-1 llùtt(s) l!~,n ds.

De ces deux majorations et de l'inégalité (2.108) suit :

llêfl!~.n

< JJe~Jl:,n + 2k (t, IIWfll;,n + t, IIW2lli~) ·

(2.111) ·:':

< iie~~~~.n + 4ch2

( rN l!i1t(s)l!~2,oo(n)2 + !IPt (s)ll~l,<>(!l) ds) + 23k

2 1tN llüff(s) ll~,n ds. 11 lto 11 to

On a donc obtenu qu'il existe une constante C > 0 t~lle que :

llefllo,n ~ C ( h (llùt(s) IIP(O,tN;H2·"'(fl)2) + IIPt(s)llp(o,tN;Hl·"(n))) + k iiùtt(s)I!L2(0,tN;L2(~~,2(),

si l'on choisit 'i!lt = 1ih(to) cela implique erg= O:h(to) par les équations (2.74)(i) et (2.97)(i)

à l'instant ta. • À présent nous donnons la majoration finale de l'erreur entre cr~ et cr(tn)·

Théorème 2.5.10 Soit ('Ih)h une famille régulière de triangulations sur n, jouissant des

propriétés (i) et (ii) de la proposition 1.4.6 pour un a E ]1 -ryo(w), 1(. fl existe une

119

119



lier~- O"h(tn)llon '

< C (h (!u(t)!w.acn)2 + lp(t)!Hl,a(n) + l!ut(s)I!L2(0,t.,;H2,a(n)2) + I!Pt(s)!!L2.(0,tn;Hl·"'(!J)))

+ k lliïtt(s)IIPco,t,..;L2(n)2j)

Preuve: Comme dans le cas du théorème 2.5.7, il suffit d'utiliser l'inégalité triangu

laire, l'estimation découlant du cas stationnaire (2.35) et le résultat obtenu précédemment

(2.107). • Et finalement l'estimation de l'erreur pour la pression.

Théorème 2.5.11 Il existe une constante C > 0 telle que :

N

L k !!Ph- Ph(tn)ll~.n < C ( h (!liït(s)llpco,TN;H2,a(n)2) + liPt (s)IIL2(0,TN;Hl,a(n)) ds) n=1

(2.112)

Preuve: Rappelons le système d'équations aux erreurs (2.99) :

{

v In c/! : Th dx +In div(vrh - qh6) . Of;,dx = 0 v (Th, qh) E xh,

In div (veR- rh'5) · vh dx =- InCilt(tn)- Büh) · vh dx, Vvh E Yh,

(2.113)

avec eR= crh'- ih(tn), r'h =Ph- Ph(tn) et~= û'f!- .ffh(tn)· Prenons Th= 0 et qh = 0 dans

(2.113)(i). On obtient :

v k tr(c/:) dx = 0

Et puisque rh' E L5(0), donc on a bien

k tr(vc'h- r/:o) dx =O.

On peut alors appliquer le résultat (2.82), d'où :

llvc'h- r'h8llo,n ~ C (IICve'h- r/:o)Diio,n + lldiv(ve'h- r;:o)llo,n).

120

120

(2.114)


Avec la même méthode de démonstration que celle de la proposition (2.5.4) on peut dé

montrer que :

!lrl:llo,n ~ C (llêhllo,n + lldiv(vêl:- rh5)ilo,n) ·

Or d'après (2.113)(iit), on a:

div (Zieh- rJ:o) = P~ (&üh- itt(tn)).

Donc il nous faut majorer JJP~(à~- it.t(tn))JJo,n ·

D'autre part, d'après (2.106), on a:

JJ&e;:JJ~.n ~ llwnll~.n- v& llehll~,n ·

Et donc de (2.115), (2.116), (2.117) et (2.118), nous obtenons :

llr/:ll~.n::; C (llehll~.n + 21lwnll~.n- v& llehll~.n)

(2.115)

(2.116)

(2.117)

(2.118)

Faisant la somme de ses inégalités membre à membre pour n = 1, .. , N, on obtient :

Si l'on choisit ifJ. = ~h(t0 ), ce qui implique O"~ = érh(t0), on obtient :

~ k llri:ll~.n :;; c (~ k ll•hll~.n + 2 ~ k il'""ll:.n) . (2.119)

D'après (2.110) et (2.111), on a :

N 1tN ) k21tN Lkllwnll~,n::; ch2 - (11üt(s)II~2,Q(r!)2 + I!Pt(s)il~l,<>(n) ds+23 !lütt(s) ll~,nds.

n=l to to (2.120)

121

121


Il nous reste à majorer 2::=1 k llc~ll~.n. Or on a démontré que:

llchll~.n ~ ch2 (iotN IJ-üt(s)JJ~2,<>(n)2 + llPt (s)JJ~l,a(n) ds) + k2 itN ilutt(s) ll~.n ds.

Et donc:

tk llchll~.n ~ ch2T ( tN llitt(s)ll~2,a(n)2 + IIPt (s)ll~l,<>(n) ds) + k2T rN llutt(s) ll~.n ds. -1 ho ho

(2.121)

Grâce à cette dernière estimation et l'estimation (2.120) on obtient qu'il existe une constante

C > 0 telle que :

t k llrhll~.n ~ c (h2 ( rN lliZt(s)ll~2,a(n)2 + IIPt (s)ll~l,<>(n) ds) + k2 tN llutt(s) ll~.n ds).

~ k k Par conséquent, on obtient :

N

Lk llr~ll~.n < C ( h (11ut(s)IIL2(o,TN;H2·"(rl)2) + IIPt (s)IIL2(0,TN;Hl·"'(n))) n=l

• Théorème 2.5.12 Soit (7h)h une famille régulière de triangulations sur n, jouissant des

propriétés (i) et (ii) de la proposition 1.4.6 pour un a E ]1- rJo(w), 1(. Il existe une


(2.122)

Preuve: Remarquons que : .: .• ·~- i .. i/ ·'

N N 2

:l:k !!Ph- Ph(tn)li~,n < Lk [IIPh- Ph(tn)llo,n + llfih(tn)- p(tn)llo,n] n=l n=l

N N

~ 2 L k IIPh- Ph(tn)ll~,n + 2 'E k liPh(tn)- p(tn)!l~,n' n=l n=l

122

122


d'après l'estimation découlant du cas stationnaire (2.35) :

N

L k IIPh- Ph(tn)ll~,n n=l

En utilisant la majoration (2.112), nous obtenons (2.122). •

1 •.• i :' ''·.:. \ ~ .;j .•. ·/

123

123


124

124

Chapitre 3

Mixed finite element method for the

Heat diffusion equation in a random

medium

3.1 Introduction

In this paper, we investigate the dual mixed method for the stochastic heat diffusion

equation:

Ut -div ( JC 0 ~u) = f in Q := }0, T[ x D

u = 0 on ]0, T[ x 8D (3.1)

Ult=O = g .on D.

Here D denotes a bounded polygonal domain in JR2, f the random heat source, u the ran

dom temperature, g its random initial value and J( the random diffusion coefficient. g and

J( belong to som~ stochastic vector distributions spaces [26] ; in particular it is assumed

that the stochastic diffusion coefficient JC does not depend on the time variable t. Both f and u are functions of the time with values in stochastic vector- distributions spaces [26].

The question of a Wick product, here between the random heat diffusion coefficient J( and

125

125

Heat diffusion equation in a random medium

Vu, the gradient of the temperature, is addressed in the papers of T. G. Theting and al.

[23] and [49]; see also the book of Holden and al. [26]. The classical variational formulation

of the stochastic beat diffusion equation (3.1) and its numerical discretization have been

studied in [22]. A stochastic version of the dual mixed formulation for the corresponding

stationary problem to (3.1) has been studied in [23] and a priori error estimates have

been derived but for "regular solutions in the space variable" only (i.e. belonging to the

stochastic Sobolev space s-l,k,H2(D) (see (3.4) for its definition)).

Our contribution here consists in introducing a stochastic version of the dual mixed

formulation (see [48] for the nonstochastic case) for the stochastic beat diffusion equa

tion (3.1) in a polygonal domain with a reentrant corner and proving a-priori optimal error

estimates for the semi-discretized problem. Thus additionally to the unknown random tem--+

perature u, in the mixed formulation, the random beat flux p = JC 0 \7 u is considered as an

additional unknown. Dena ting by t ~---+ CP h ( t) , uh ( t)) the solution of the semi-discretized

problem, we establish rates of convergence for uh(.) and ph(.) in terms of the mesh width

h of the triangulation, the dimension K of the homogeneous polynomial chaoses and their

maximum arder N ([29], pp. 52-55). Using a regularity result on the solution u of (3.1)

expressed by the fact that u belongs to sorne spatially weighted Sobolev space taking into

account the singularities induced by the reentrant corner of the polygonal domain D, and

imposing appropriate refinement rules on our regular family of triangulations ('Ihh>o of

the polygonal domain D linked to that regularity of the solution u (on the spur of ([3],

section 8.4)), we derive 0 (h) error estimates in the spatial directions.

We also discuss algorithmic aspects of this numerical method. In particular we s4pw how the chaoses coefficients of each component of the semi-discretized solution ( uh (.),ph (.))

can be computed successively by solving a sequence of deterministic discrete evolution

mixed problems.

126

126

Preliminaries

3.2 Preliminaries on white noise analysis and stochastic

So bolev spaces

Let us recall sorne notations from (22}, (23} and [26}. I denotes the set of all sequences

a = (a)j;:::l E (No)N with compact support (for the discrete topology on N0) i.e. such that

:3 j 01 E No : ai = 0, 'Vj ;::: j 01 (! we use the notations of the "Norway-School" [26] : in

particular N = {1, 2, 3, ... } and N0 =NU {0} ). For a E I:

+oo (2Nt := rr (2itj ;

j=l

let us observe that this is in fact a finite product as a has compact support. For w E S' (JR2)

i.e. a tempered distribution on JR2 (S (JR2 ) denotes the Fréchet space of rapidly decreasing

functions on JR2 and S' (JR2) its dual [27] p.133), and a E I, we set :

+oo Ha (w) = TI ho:; ( (w, rJi)), (3.2)

i=l

where hO!; ( ·) denotes the ai - th order Hermite polynomial on lR

.l2dO!.i 12

ho:; : lR-+ lR: x 1-+ ( -1Y"•e2x dxa; (e-2x )

([26], p.18, 207, 208) monic and orthogonal with respect to the normalized Gauss measure

-1

- exp( -·n dx v'2i

and where (rJi)iEN CS (JR2) denotes the orthonormal basis in L2 (JR2; dx 1 0 dx2) constructed

by taking tensor products of the 1- D Hermite functions Çn (·):Ill-+ Ill defined by

'ix E JR, \ln = 1, 2, 3, ... ([26] p.19, 208 ) (it is weil known that the 1-D Hermite functions

(Çn (·))n;:::l which are the eigenfunctions of the "Harmonie Oscillator" since

- ~;; + x2i; = (2n -1) Çn, \ln~ 1,

belong to S (JR) the space of rapidly decreasing fun etions on JR, and form an orthonor

mal basis of L 2 (JR; dx) ([27] p.142) ([26] pp.207-208)). Morever if <P E S (JR2), the ex

pansion "Ej,: (</.> l77i)L2(JR2 ;d:z:1®dx

2) 71i converges in S (R2

) ((27] p.143), (this is also true for

127

127


S' (ffi-2) [27] p.143). By theorem 2.2.3 p.21 in [26], (Ha)aei is an orthogonal basis of our basic

probalitiy space:" the 1-dimensional (2-parameter) Gaussian white noise probability space

" L2 (S' (ffi-2) , Bs'(JR.2), p,) ([26] p.21) . Bs'(JR.2) denotes the Borel u-algebra of S' (JR2) i.e. the

a-algeb~a of S' (l~.Z) generated by all subsets of S' (JR2) of the form { w E S' (ffi-2) ; (w, 4>1) E

B1, ... , (w, 4>n) E Bn} for arbitrary numbers of functions r.f;1 , ... , <Pn ES (R2) and arbitrary

Borel sets B1, ... , Bn ofR p, is the normalized Gaussian measure on S' (JR2) also often called

the 1-dimensional (2-parameter) Gaussian white noise measure and may be defined by the

property that for an arbitrary orthonormal set { 4>1, ..• , <Pn} c S (R2) , orthonormal with

respect to the L2 (R2) scalar product, that its image by the mapping

S' (I~?) --+ Rn : w I-l' ( (w, r.P!), ... , (w, <Pn))

is the normalized Gauss measure on Rn : ([26] p.12)

(27r)-~ exp-Hxr+ .. ·+x~) dx1 0 ... 0 dxn.

Thus every f E L 2 (J..L) possesses a unique expansion : ([26] p.23)

(JI H ) 1 (JI Ha) 1

2

f = "" a L2(p.) H d 11!112 = "" L2(~>) LJ l a an L2(p.) LJ l , aEI a. aEI a.

as IIHalli2(p.) = a! := a1!a2!as! .... This expansion is called the Wiener-Itô chaos ex

pansion off ([26] p.23), ([29] p.42), ([41] p.6), [40]. The vector subspace spanned by the

{Han jaj = p} is called the polynomial chaos of order pandits closure in L 2 (p,) the Wiener

homogeneous chaos of arder p ([29] p.44), ([32], p.4), ([41] p.6), (see also [40]).

Remarque 3.2.1 {i) The Wiener-Itô chaos expansion theorem remains valid for rather

general L2 -spaces. Let us considera general (D, A, v) probability space and let (rJi)i~l denote

an i. i. d. {independant, identically distributed) sequence of normalized Gaussian random

variables. Similarly, as previously, we define the poynomial chaos .. ; ... ~ :. ·.

+oo . Ha (w) = f1 ha; ('TJi (w)), 't/w E D, 'Va E I.

i=l

Let us denote by Q c A, the u-algebra generated by the family of standard Gaussian

random variables (rJi)i~I· Thenfor every fE L2 (fl,Q,v), we have also {40] {[41},,~ .. 6):

1 1

2

(JI Ha) and 11!112 - "" L2(v) L2(v)- LJ ,-,l

aEI .....

128

128

Preliminaries

Consequently, all the results (except specifie examples using explicitely the probability spane

(S' (IR2) , Bs'(JR.2), J1) ) which follow in this paper remain valid when replacing L2 (S' (R2)rBS'(.JR.2), J1)

by L2 (n, Q, v). This flexibility is usefull in theory; for example the i.i.d. sequence of stan-

dard Gaussian random variables (rJi)i~l may appear from the Karhunen-Loève expansion

[29], {[1] pp. 37-43) {[15}, theorem 5 p. 251} of the random diffusion coefficient JC assumed

to be a Gaussian random field on a bounded open set of JR.I<! and in this case, may not be

imposed a priori. However, from the numerical point of view, this is of no importance : the

only important fact is that ( 7J )i;:::l is a i.i. d. {independent identically distributed) sequence of

standard Gaussian random variables. When simulating, we generate a sequence of numbers

that behaves as if each number where independently selected at random with the normal

distribution N (0, 1) ({16}, pp. 117, ... ) to obtain a realization of the sequence (rJ)i;:::I· This

last numerical procedure does not take into account the peculiarity of the i. i. d. sequence of

standard Gaussian random variables (rJ)i;:::l·

(ii} Let (V,(., .)v) denotes any real separable Hilbert space. It is easily seen that {3.3} re

mains true for every vector-valued function f E L2((n, Ç, v); V). The proof follows by

considering an arbitrary v* EV* and applying (3.3) to the scalar-valued function v* of.

Let us now recall the definition of the stochastic Sobolev spaces introduced by Y. Kondratiev [51],[26] that we will need to explain the classical variational formulation and

the mixed variational formulation for the Cauchy problem (initial boundary value problem

with homogeneous Dirichlet boundary condition) of the stochastic heat diffusioq, equation

(3.1). Let (V,(., .)v) denotes any real separable Hilbert space and k E IRj p E.[:::-;l,·L]: .• he

given parameters. We define the space

Sp,k,V := {1 = 2: fa.Ha.; fa. E V for a E I and lifiip,k,V < +oo} (3.4) a.EI .

where

llfll~,k,V := l:I llfall~ (2N)ka (a!)l+p · a.E

. (3:5)

Clearly the norm defined by equality (3.5) is induced by the sçalar product :

(f 1 g)p,k,V := E Ua. 1 Ua.)v (2N)ka. (a!)l+P. (3.6) a.EI

129

129


If k 2:: 0 and p 2:: 0, then it follows immediately from llfllp,k,V < +oo, that Lœei Ilia li~ a! <

+oo. Thus in this case, the series Laei !aH a is a Cauchy sequence and thus convèrgënJ·>>': 1

in L2 (p,, V). But in other situations for the parameters k and p; the series Laei fa.Ha

does not converge in L2 (t-t; V) and consequently must be considered as a ''formai series"

satisfying the summability COJ?-dition (3.5). In other words, we could define Sp,k,V in the

following manner :

sp,k,V := { f = Ua)aei; fœ Ev, Va E I and ll!llp,k,V < +oo} (3.7)

and thus Sp,k,V may be seen as an orthogonal countable direct sum of Hilbert spaces (copies

of V) with the positive weights (2N)ka (a!)l+P, a E I (wich is countable) ((31], volume 4,

p.114) ((27], p.40) ([37], p.114, last § of the introduction).

For k 2:: 0 and p ~ 0 : Sp,k,v C L2 (t-t; V). On the other hand f E L2 (~-t, V) =?

Laei Il! ali~ a! < +oo, and if p :s:; 0 and k :s:; 0, then a fortiori:

.E Il/ali~ (2N)ko: (a!)l+P < +oo. (3.8) aEI

Th us for p :s:; 0 and k :s:; 0, we have the inclusion in the reverse order : L2 (~-t; V) c Sp,k,V.

Let us also observe that, for k E JR, p E [-1, 1] , that

(3.9)

where ® denotes the algebraic tensor product completed for the projective norm ([30], p.93-

94).

Let D c JR2 be an open bounded set in IR2• If V= L2 (D), then we will note more shortly

the Hilbert space sp,k,L2(D) by sp,k,O(D) or sp,k,O. If v = H1 (D) (resp. H1 (D)), then

we will note more shortly the Hilbert space sp,k,Hl(D) (resp. sp,k,fil(D) ) by sp,k,l(D) or

Sp,k,l (resp. by S6'k'1 (D) or S6'k'1).

S0•0•0 (D) = L2 (t-t; L2 (D)) is not closed under the "Wick multiplication" 0 defined by

0: (J,g) f-t JOg := L "YEI

130

a,/3 E I

a+/3="(

130

Preliminaries

[37]. To provide conditions on f such that g 1-+ f(>g is a continuons linear operator in

s-l,k,o(D), we introduce the Banach space Fz (D) [37]. Given l E IR, we define the Banach

space [37], [24]

J=i.(D)=

f = EaeZ fœHa; fa: D---+ IR measurable Va E I

and

llfllz* := ess sup(E lfa (x)l (2N)1a) < +oo ' œED aEI

(3.10)

Fz (D) is a commutative Banach algebra for the Wick product ([37], prop.6, p.123) with 1

as unity. Moreover, if f E Fz (D) and g E s-l,k,o(D) with k ~ 2l, then the Wick product

is a well defined element of s-l,k,O(D) and llf<>BII-l,k,O ~ llfllz,* IIBII-l,k,O ([37], prop. 4, p.

120) [24].

For the mixed formulation, we will also need the space Sp,k,V with V= H (div; D); more

shortly we will denote it as in [23] p. 609, 1-f. (div; D). 2

Finally if f = Eaei faHa is in L2 (J.L; V) ===* Eaez llfallv a!< +oo, then by using lemma

2.1.2 p.l2 of [26], it follows that E (!) = fco,o, ... ) where E (!) denotes the mathematical

expectation off with respect to the white noise Gaussian measure f.1·

For that reason if f = Eo:ezfaHa belongs to Sp,k,v, we will caU generalized expectation

of j, the coefficient fco,o, ... ) and we will denote it E [!] ([26] p.64).

Note also that E [fôg] = E [!] E [g] ([26] p.64 and p.30).

Remarque 3.2.2 The vector space E generated by the stochastic monomials of arder p

coincides with the vector space F generated by the

{hp (~ti (·,T]i)) j (t1, ... ,tM) E IRM, ti+ .. · +t~ = 1},

where hp(·) denotes the 1- D Hermite polynomial of order p (it is in this manner that

the polynomial chaos of arder p in the random variables (-, 771), ..• , (·, 77M) is described in

([41] p. 6)).

That F is contained in E follows from proposition D.2 p. 210 of {26] which tells us that

(M ) ~ hp ~ti(·, Tli) = 2::: -ita Ho:(-) t=l Ci. a=(o:1,a2, ... ,aM ),

a1+ .. +o:M=p

131

131


for every t = (t1, ... , tM) E JRM such that tt+ .. · +tir= 1. To show that in fact F = E, in p-1

rr(M+r)

view of that proposition it suffices to show that if y E JRd (d = r=o 1 being the number p.

of all multi-indices ( a 11 ••. , aM) E Ngt such that a 1 + · · · + aM = p) is orthogonal to all

the vectors of ]Rd of the form

formed by the coefficients appearing in the right-hand side of the preceding equation, that

y= O. By homogeneity y is orthogonal to every vector (~) a=(a1,a2, ... ,aM), with (t1, ... , tM) E O<l+ .. +aM=P

JRM i.e.

This implies that

a=(a1,012, ... ,aM ), a1+·+aM=P

œ=(œl,œ2, ... ,œM ), a1+ .. +aM=P

for every (3 = ((31 , ... , f3M) E Ngt such that (31 + ... + f3M =p. Thusy= O. VVhat was to

be proved.

Remarque 3.2.3 If r.p ES (R2), then we can view it as the element (., r.p) E L 2 (J..t) defined

by:

It follows from lemma 2.1.2 of {[26] p. 12} that II'PIIL2(R2) =Il(., r.p)IIL2(~). Thus if(ip~Jn'?.~ 'is

a sequence in S (JR2) that converges to some function 'lj; E L2(R2), the sequence ( (., 'Pn) )n?.l

is also a Gauchy sequence in the Hilbert space L2 (J.L) and thus converges to sorne element

in L2 (J..t) that we still note (., 'lj;) {[26}, p.13}. The converse is also true. If (c.pn)~;:: 1 is

a sequence in S (JR2) such that the sequence ( (., 'Pn) )n?.l converges to some element g E

132

132

Preliminaries

L 2 (p,), the sequence ( (., tf'n) )n~l is a Cauchy sequence in L2 (f.1) and thus by the equality

= Il(., 'Pn) - (.,'Pm) IIL2(~)

the sequence ( tf'n')n~l is a Cau,chy sequence in L2(R2) and th us converges to sorne element

'1/J E L2 (JR2) what implies

g = (.,'1/J).

This proves that the Gaussian Hilbert space generated by the i.i.d. sequence of standard

normal variables ( ( ., 'T]j)) i~l is the space L2 (R2) isometrically imbedded in L2 (f.l) by the

mapping L 2 (JR2 ) -+ L2 (f.l) : '1/J ~ (., '1/J). Denoting by H:l: the closed vector subspace of

L 2 (p,) generated by the random variables (., 'l.j;), 'l.j; running among L 2 (JR2)} the so called

homogeneous Wiener chaos of arder 1 ([32}, p.4) ([29}, p. 44), we may write by identifying

every '1/J E L 2 (JR2) with (.,'if;) that H:l: = H := L 2 (JR2). Let us observe that for every

7/J E L2 (JR2 )"'-. {0}, that the square integrable random variable defined on the probability

space (S' (R2), BS'(JR2),p,)

is a normal. variable with mean 0 and variance~'I/JiiL2(JR2)· It ii also interesting to remark

that the mapping which sends every Borel set B of JR2 of finite Borel measure onto the

square integrable random variable defined on the probability space (S' (JR2), Bs'(JR2), f.1)

, (.,lB) :S' (lR2

) -+ R : w ~ (w, lB)

is a random orthogonal measure with the Borel measure on R2 as reference measure {[15},

p. 255}, ([17], p. 40).

Remarque 3.2.4 It follows immediately from the above rlefinition of the Wick product

that for every ru E S (JR2) belonging to the orthonormal basis of L2 (JR2) constructed by

taking tensor products of 1-D Hermite junctions that

133

133


where hn denote the Hermite polynomial of order n (e.g. r]J2 = fJ]-1, fJJ3 = 'fJ]-3fJJ, r]J4 = 'flf - 6r]J + 3, 'f/J5 = fJJ - 10f)j + 15, · · · ). ({26} p.18). In particular .,yn belongs to the

polynomial chaos of arder n ({32} p.1). The so called homogeneous Wiener chaos of order

two H:2: ([32}, p. 4) ({29}, p. 44) is the closed vector space generated by the h2 (r/j) = 'f/J2

and the h1 ( fJï) h1 ( 'f/J) = fJï'f/J = fJïÔfJJ for i =1= j. fJ] who se meaning is in fa ct < . , 'f/J >2 being

the square of a standard normeJ. random variable is a chi-square random variable with one

degree of freedom from which it is easy to derive that the probability density function of the

random variable .,J2 = h2 ( r/j) = 'f/J 2 - 1 is given by the function

{

1 e-~ v'21r v'l+x for x> -1,

R-+ JR+: x~--+

0 for x~· -1.

On the other hand by using the advanced change of variables by area formula (theorem

1.12 page 5 of [42]} and the fact that that ( < ., 'f/i > )ïeN is a i.i.d. sequence of standard

Gaussian random variables, we find that the product random variables fJi'rtJ (thus in fact

< .,'T'Ji >< .,'T'JJ >) have for i =1= j as probability density function: ~Ko(l.l), where Ko

denotes the modified Hankel function of arder 0 ({39} pp. 314-315) {Ko(x) is for x> 0 the

solution of the modified Bessel equation of order 0

Il 1 1

y +-y- y= 0 x

which has a regular singular point at 0 ([43}, p. 11-75), such that K 0(x) ,.... -ln(x) as

x-+ o+ ). Thus already the laws of probability of the random variables of the homogeneous

Wiener chaos of arder 2, H:2:, do not seem any more, at first sight at least, to belong to

sorne common stable family of probability laws like for H:l:.

We close this section by the following technicallemma, that we will need in section 3 :

Lemme 3.2.5 The two-dimensional 11Hermitefunctions" (7Jj)J2:lonR2 are uniformly boun

ded in j . In particular II'T'Jjlloo,R2 ~ 1, 'r/j EN. A fortiori ilfJalloo,R2 ~ 1, Va E I.

Preuve: Denoting temporarily by Hn the "physical form" of the Hermite polynomials

orthogonal with respect to the weight exp ( -x2) and with leading coefficient 2n, we have by

134

134

Existence, uniqueness and time regularity

inequality 22.14.17 p. 787 of {39}:

x2 n

IHn(x)l ::; exp( 2) k 22v'nï (3.11)

with k ~ 1. 086435.

N ow, we have the following formula wich links our Hermite polynomials hn manie and

orthogonal with respect to the Gaussian weight J; exp(-~2 )dx, the so called "probabilistic

form" of the Hermite polynomials, to the Hn:

-n (X) hn(x) = 22 Hn .J2 , 'ilx E lR, 'iln E No. (3.12)

On the other hand, for every n E N, the one-dimensional Hermite function Çn on IR is

linked to hn-1 by the formula ({26}, {2.2.2), p.18} :

Çn(x) = rr -,l ((n- 1)!)-~ exp(~1 x 2)hn-1 ( v'2x), 'ilx E lR.

From formulas (3.11) to (3.13) follows that :

k IÇn(x)j ::; - 1 ::; 0.82, 'ilx E lR.

rr4

(3.13)

Thus !IÇnlloo,R ::; 1, 'iln E N. As the Hermite functions 'l'Jj, j E N, on JR2 are simply tensor

products of the Hermitefunctions Çn on JR, we have also llrJjlloo,W' ::; 1, 'i/j EN. This implies

also that ll'~t'lloo W' $ 1, 'il a E I. • '

3.3 Existence, uniqueness and time regularity of the so

lution of the classical variational formulation of the

heat diffusion equation in a random medium

We firstly recall the ( classical) variational formulation of the heat diffusion equation in

a random medium and T.G Theting's result on existence and uniqueness [22]. Then we will

ghre a time regularity result for the solution. Let D C R2 be an open bounded set in R2 ( we

will restrict ourselves later to polygonal domains in IR2). Let T be a positive real number,

fixed. As already said in the previous section, for k E JR, S01·k,l (D) (or S01•k•1) denotes

135

135


the space s-l,k,fil(D) and s-l,k,O (D) (or s-l,k,O) the space s-l,k,LZ(D). In the following,

11·11-l,k,l (resp. 11·11-l,k,O) denotes the norm in Sol,k,l (resp. s-l,k,O) and (·, ·)-l,k,1 (resp.

(·, ·)-l,k,O) denotes the scalar product in 80l,k,l (resp. s-l,k,O).

By (2.12) p.5 of [22] the dual space of S()1'k,l(D) may be identified to Sl,-k,H-l(D) (we will

denote sometimes this space ~ore simply 8 1·-k·-1) under the pairing :

( (F, /)) = 2::: (Fa, fa) ad. aEI

It is immediately seen that this series is absolutely convergent as

~ I!FIIsl.-k.-1 llflls-l,k,l. 0

From this late inequality follows immediately that the mapping S01•k,l -+ R : j ~---+ ( (F, !) )

is a continuous linear form on S01•k•

1• Consequently, the norm and the inner product on

the dual space of s;l,k,l will be denoted ll·lll,-k,-1 and (·, ·h,-k,-1·

To introduce the classical variational formulation [22] of the stochastic heat equation, we

firstly need to recall the definition of Sobolev spaces comprising functions mapping time

in Hilbert spaces ([20], p.285, ... ) ([34], vol.8 p.577-579).

Définition 3.3.1 Let X be a real separable Hilbert space.

By W (0, T; X), we denote the space of all square-integrable function from [0, T] into X

having a weak time derivative square integrable from [0, T] into X' i.e. W (0, T; X) =

{7./J E L2 (O,T;X) ;1/J' E L2(0,T;X')}.

If H is another separable Hilbert space and if there is a continuous injection with

dense image from X into H, then ([34], vol. 8 p. 579) W (0, T; X) maps continuoustly into

C ((0, T]; H), the space of continuous functions from [0, T] into H endowed with the sup

norm. In particular

W ( 0, T; S01•k,l (D)) <-+ C ([0, T]; s-l,k,o (D))

136

136


Now let us suppose that f E L2 (0, T; 51~-k~- 1 (D)) and that the initial condition

g E s-1~k~o (D). Let us also suppose that the stochastic diffusion coefficient 1C E :Fi (D)

and that k :5 2l. We have the following existence and uniqueness rësult, which results from

theorem 4.10 p.l2 of T.G. Theting's paper [22], for the "classical" variational formulation

of the heat diffusion equation_ with stochastic diffusion coefficient JC :

Théorème 3.3.2 [22} Let us assume that the stochastic diffusion coefficient JC E :fi (D)

for some l E IR. and that its generalized expectation E [JC] is strictly positively lower bounded

i.e. that inf E [JC] > O. Let us suppose that k E lR. is choosen sufficiently small to satisfy to D

the condition 2 (~fE [.K:]) k < 2l + ln 2 ln 1\.K:Jb . (3.14)

Then Vf E L2 (O,T;S1~-k~- 1 (D)) and Vg E s-1 ,k~o (D), there exists one and only one

u E W ( 0, T; S01·k·

1 (D)) <--+ C([O, T]; s-1,k~o (D)) solution of the classical variational

formulation relative ta the heat equation with random diffusion coefficient lC (3.1) :

d ( - - ) -1 k 1 dt (u (·), v)_1,k,O + lCôV'u (·),V' v _

11k,o = (f (·), v)_11k,O, Vv E 50

1 ' (D)

(3.15)

u(O) = g.

M oreover we have the following energy inequality :

sup !lu (t)ll~1 k 0 + fT Jiu (t)!1~ 1 k 1 dt ;S (iJgJJ~lk 0 + fT ii! (t)JIÎ -k _ 1 dt) . (3.16) te[o,T] ' ' Jo ' ' ' 1 Jo ' '

Remarque 3.3.3 In (3.15), concerning the second term in the left-hand side, (· ·) ' -1,k10

denotes in fact the scalar product in s-l,k,o (D)2 •

Remarque 3.3.4 Due to our hypothesis (3.14) which implies that k :5 2l and lemma 4.9

p.12 of {22}, the bilinear form :

S01•k,l (D) x S01·k~1 (D) ~IR.: (u, v) ~-t (JCôflu, flv) (3.17) -l,k,O

is well defined and coercive on S01,k,l (D). Theorem 3.3.2 is then a consequence of theorems

1 and 2 chapter XVJJI, p.619 and 620 of {34}. Let us also mention that some existence and

137

137


uniqueness result for the Cauchy problem {3.15} could also be obtained by applying Lumer

Phillips' theorem ({6}, p. 14} in the Hilbert space s-l,k,o(D). Betting

D(A) = {u E S01•k•

1(D); div(K:'0\7u) E s-l,k,o(D)},

A: D(A)-+ s-l,k,o(D) : u ~ div(JC0\7u),

it follows by Lumer-Phillips' theorem {[6}, p. 14) (Lax-Milgram's lemma and the coercivity

of (3.17) , implies that R(I- A) = S'-l,k,O(D)}, under the hypothesis of Theorem 3.3.2, that

A generates a contraction semi-group in the Hilbert space s-l,k,o(D).

If we suppose the stronger condition on k that

2 ( iBf E [JC] ) k < 21 + ln 2 ln 1.5 lllCIIz,* '

it can even be shawn that A generates a holomorphie semi-group {[21], theorem 1 p.231}.

Example 3.3.5 Let us recall firstly the definition of the singular white noise field W =

(W (x))xeD (following {[15}, p.80}, we prefer to say 'Jield" instead of "process" because the

parameter x runs here over D a bounded subregion of the plane} : W (x) := 2::~~ 'r/i (x) Hep

x E D ([24}, p.4) ([26}, p.38) where êi E I denotes the multi-indice whose ith component

is 1 and whose other components are O.

As the two-dimensional "Hermite functions" (TJi)i;?:l on JR2 are uniformly bounded in i by

lemma 3.2.5, and as the series E!:~ (2ii converges iff l < -1, it results immediately from

the definition of J=i (D) (3.10) that W E J=i (D) for l < -1. ButE [W(x)] = 0, 'rfx E D.

Thus if we choose for the coefficient of diffusion K: the white noise field, the hypotheses of

T.G. Theting's theorem 3.3.2 could not be verified. Let us consider rather for K: its Wick

exponential : the so called singular positive noise field on D

+oc 1 JC = exp~ [W] := L 1w~n ([26}, p.67, p.65, p.166). (3.18)

n=O n.

ft follows easily by using the basic algebraic properties of the Wick product {[26}, lemma

2.4.5 p.42} that

JC - L 'r/a ~·)Ha ([24}, p. 11), aEI a.

138

138


where f/0 means rr:l ryfi and a! means rr:l ai!. Knowing by lemma 3.2.5 that IITJ0 IL)O::; 1,

Va E I, and using proposition 2.3.3 p. 31 of {26} (or {35}) which tells us that the se

ries L::"aei (2N)-aq converges iff q > 1, it follows easily that the positive singular noise

expôW(.) E Ji (D) for l < -1. Alternatively, this follows immediately from the fact that

W E J7. (D) for l < -1 and proposition 6, (ii) p.123 of {37} (an elementary operational

calculus result).

Also as E [JC] = 1, the hypothesis infn E [JC] > 0 of T. G. Theting's theorem 3.3.2 is trivially

satisfied. Thus T. G. Theting's theorem 3.3.2 applies in this case, if we take k sufficiently

negative for condition (3.14) to be satisfied.

Now we want to give sorne time regularity result :

Théorème 3.3.6 Additionaly to the hypotheses of theorem 3.3.2, we suppose that the right

hand side f and its time derivative~ belong to L2 (0, T; s-l,k,o (D)). We also suppose that

the initial condition g E S01'k,l (D) and satisfies div ( JCôVg) E s-l,k,o (D), this late

condition being satisfied for example if D..g E s-1,k,o (D) and V JC E :Fi (D) 2• Then the time

derivative r;;: of the solution of the classical variational formulation {3.15) has the following

regularity properties :

~~ E L2 ( 0, T; S01•k•

1 (D)) n C ([0, T]; s-l,k,o (D)) .

Preuve: Let us consider the Cauchy problem: find z E W(O, T;S01•k•

1 (D)) such that:

d ( - ... ) (11.. ) -1 k 1 'dt (z (-), v)_1,k,O + JC0\7 z (·),\lv -l,k,o = dt(·), v -l,k,o, VvE S0 ' ' (D)

(3.19)

z(O) = f(O) +div ( JCOVg)

As~ E L2 (O,T;S-l,k,o) <-+ L2 (O,T;S1·-k·-1) and z(O) E S-1,k,o (because f(O) E s-1,k,o

due to the hypotheses on f and~), it follows by theorem 3.3.2 that z E L2 ( 0, T; S01'k'

1) n

c ([0, T] ; s-l,k,O) and

llziiL2(o,T;.s-l,k,l)no([o,T];.S-l,k,o) ~ \lf(O) +div ( JCôVg) \1_ +Il ddlft Il . (3.20) o 1,k,O L2(0,T;.S-l,k,O)

139

139


Let us set u(t) = J; z(s)ds + g. ~~(t) = z(t) a.e. and by integrating both sides of equation

(3.19)(i) from 0 to t, taking into account the initial condition (3.19)(ii) and applying

Green's formula ([23], (2.10) p.611), we obtain equation (3.15)(i)· We have also u(O) = g

i.e. (3.15)(ii)· By unicity, it is thus the solution of the Cauchy problem (3.15).

We have c;; = z from which t~e stated regularity on ~~ follows. • To be able to establish error estimates for the semi-discrete solution of the dual mixed

method relative to the heat equation in a stochastic medium (3.l),we will need also sorne

spatial regularity of its solution u, in weighted Sobolev spaces.

Firstly, let us recall the definition of the weighted Sobolev spaces, H2•cxw (D), 0 < aw < 1.

Henceforth, we suppose that D is a plane domain, simply connected, with a

polygonal boundary r, the union of a fini te number N of linear segments Ï' i numbered

according to- the positive orientation. We denote by wi the aperture of the angle between ri and ri+l for i = 1, ... , N (rN+l := r 1). We suppose that D possesses only one reentrant

corner {SN} = Ï' N n Ï\. For simplicity we assume that SN is situated at the origin of our

cartesian frame. By r ( ·) we denote the distance function from an arbitrary point in the

plane IR2 to the origin and w denotes the aperture of our reentrant corn~r.

Définition 3.3.7 ([3], p.388) For aw E ]0, 1[, we denote by H 2•cxw (D) the space of all

functions in H 1 (D) such that in addition ra"' Df3u E L2 (D) for every /3 E N5 such that

1!31 = 2.

Théorème 3.3.8 We suppose that the right-hand side f and its time-derivative 1t belong

ta L2 (0, T; s-l,k,o (D)) , and that the initial condition g of the Cauchy problem (3.15)

belongs to

{ gE Sol,k,l(D); !::,gE s-l,k,o(D)}.

On the stochastic diffusion coefficient/(, we suppose that its generalized expectation E [K]

is strictly positively lower bounded i.e. that infD E [K] > 0 and that /(, Jc:>-1, g~, g:; E

Ft (D). Finally, we suppose that k E IR satifies inequality (3.14).

Then u solution of the Cauchy problem (3.15) satisfies :

u E L 2 ( 0, T; s-l,k,&•""'(D)) for all aw E] 1- :, 1 [.

140

140


Preuve: From the heat diffusion equation in a stochastic medium

Ut-div(JCovu) =f,

follows that

JC()D.u =Ut- f- VJC()Vu. (3.21)

Bytheorem3.3.6: Ut E L2 (0, T;S-l,k,o(D)) and bytheorem3.3.2: VuE (L2 (0, T;s-l,k,D(D))) 2•

Moreover VICE Ft (D)2 with l;;;:: ~· Thus VIC() VuE L2 (o, T; s-l,k,O(D)).

Consequently the right-hand side of equation (3.21) belong to L 2 (0, T; s-l,k,o(D)) . Mo

reover, by hypothesis, JC<>-l exists and also belongs to :Fz (D). Thus :

D.u = JC<>-lo (Ut- f- VIC() Vu) E L 2 (0, T; s-l,k,O(D)).

Let us seth:= JC0 - 1ô (Ut- f- VIC() Vu) .

Setting u(t) = Laei Ua (t) Ha and h(t) = Lœei ha (t) Ha be the chaos expansions of u(t)

and h(t) resp.ectively, V't E [0, T], we have:

b.ua (t) =ha (t), Va E I, V't E [0, T]. (3.23)

As Ua (t) E HJ (D) and ha (t) E L2 (D), V't E [0, T], we have by (8,4,1,7) p. 388 of

Grisvard's book [3], that Uœ (t) E H 2•a, (D) and by the closed graph theorem

(3.24)

with a constant (hidden in ;S) independant of a and t.

Taking the squares of each side of inequality (3.24), multiplying bath sides by (2Nla :==

Tit: (2j)ka;, summing over a E I, and integrating on the time variable t from 0 toT, we

obtain:

141

141


i.e.

lluJIL2(0,T;S-l,k,H2•"'"'(D)) ~ JlhiiL2(0,T;S01•1c(D)) ·

Thus u E L2 ( 0, T; s-l,k,lP•""'(D)) for ail aw E) 1- ~' 1 [.

(3.25)

•

Example 3.3.9 We give an e:cample of a stochastic diffusion coefficient /( satisfying the

hypotheses of theorem 3.3.8. Let cp E H 1 (R2) and let us set

J(, (x) = expO (W<P(x, .)) , Vx E D

where W<P(x, .) := (·, f/Jz), Vx E D and

cf>x: ~_2--+ R: y 1--+ cp (x- y).

Let us recall that W<P(x, .) := (., cf>x) is the element of L 2 (S' (R2) ,Bs'(JR.2) 1 J..L) defined by

continuity and density from S (R2) as explained in remark 3.2.3 {[26}, (2.1.g) p.13).

(W.p(x, .)).,eD := ((·, f/Jx))xED is called the smoothed white noise field ([26} p.13, 18, 66).

W<P(x,.) := (-, cf>x) has the following chaos expansion

+oc

W<P(x, .) := (-, f/Jx) = 2::: (f/Jxi7Ji)L2(JR.2) Hei (-) , (3.26) i=l

where êi denotes the multi-indice belonging to I with 1 on entry number i and 0 elsewhere.

It is easy to see that this series is convergent in L2 (J..L) and that its sum is a normal random

variable N (0, 114>112

) on the probability space L2 (S' (R2), Bs'(JR.2), J..L). From the definition of

the space Jl (D), the boundedness of the coefficients in the series (3.26) and as the series

2:!.~ (2il converges if l < -1, it follows immediately that

W<P E:F,(D),Vl < -1.

From ({26} (2.6.48) p. 66, (2. 7.6) p. 70) and (3.26), it follows that

(3.27)

142

142


where o:! :=IIi:.~ ai! and (q).!ry)a :=nt.~ (</>.!77i)~;(JR2). By formula {{26}, (2.6.49) p.65}, i{

follows that JC (x)0- 1 = expO. (-(·,<Px)) and thus replacing </> by -<Pin formula (3.27),, .we

obtain

(3.28)

where lo:l := Et.~ ai. We are' going to show that JC, .JC0-1, g~, g;; all belong to :Fi (D)

for l < -1. That JC and JCO.-l belong to :Fi (D) for l < -1 results from W.p E Fz (D) for

l < -1 and proposition 6, {ii) p.123 of [37} (an elementary operational calculus result).

By the definiton of the derivatives in the spatial variables x 1, x2 on elements of stochastic

Sobolev spaces (definition 3.4 p.8 [24]}, it follows from (3.27) and (3.26) that for i = 1, 2

g~ (x)= expO. (W.p(x, .)) OW ïft(x, .) '

= JC(x)OW M..(x, .). 8m;

(3.29)

We know already that JC belongs to :fi (D) for l < -1. By (3.26):

so that by the same reasoning as above follows that W Bt also belong to Jl (D) for l < -1 •

(i=1,2}. Jl (D) being a commutative Banach algebra for the Wick product (prop. 6 p.123

[31]} aJC . axi = JCOW ~' JC E Jl (D) for l < -1.

From (3.27) follows that E [JC (x)] = 1, Vx E D, so that the hypothesis infD E [.JC] > 0 of

theorem 3.3.8 is trivially satisfied in this case. Thus in conclusion for </> E H1 (IR2), the

stochastic diffusion coefficient JC defined by

JC (x)= exp0 (W.p(x, .)) , 'ix E D

satisfies for l < -1 all the hypotheses of theorem 3.3.8. Thus if k ER is choosen suffi

ciently negative to satisfy condition (3.14)' for sorne l < -1, if f, ~ E L2 (0, T; s-l,k,o (D)),

and if the initial condition gE {gE S01'k'

1(D); ô.g E s-l,k,O(D) }, then the weak solution

143

143


in the classical variational sense of

Ut -div ( exp0 wtP 0 Vu) = f in Q :=JO, T[ x D

u = 0 on ]0, T[ x âD

Ujt=O = 9 on D.

u E L2 ( 0, T; s-l,k,H2'""'(D)) for all Œw E ] 1- :. 1 [. Moreover by theorem 3.3.6, u and

tt;: E L2 ( 0, T; S01•k,l (D)) n C ([0, T]; s-l,k,o (D)).

Example 3.3.10 In the preceding example, whatever w ES' (JR2) is, due to the formula :

exp0 [(w,tf>x)] =exp ((w,1>x)- ~ ll1>1li2(JR2))

which is proved to be true in {26] {lemma 2.6.16 p.66) for every function 1> E L2 (R2), the

stochastic diffusion coefficient

is always strictly positive. Thus, it seems to be worthwhile to give an example of a diffusion

coefficient K, which can take negative values though satisfynig all the the hypotheses of

theorem 3.3.8 for k sufficiently negative. Let us consideras diffusion coefficient

K (x) = 1 + WtP(x, J, 'Vx E D

.1> being some function belonging to H1 (IR2). We know already from the previous example

that K,, g~ (i=1,2} belong to :fi (D) for l < -1. Let us find a condition on lC who assures

us that JCO-l exists and belongs to :fi (D) for l < -1. By proposition 6, {ii) p.123 of {37]

{an elementary operational calculus result) if IIWtPII1 * < 1, the series '

converges to some eliment of :Fz (D). Thus if IIWtflllz,* < 1, its Wick inverse wt-l exists and

belong to :F,(D) (l < -1). But this condition is rather abstract; we would like a condition

144

144

Existence, uniqueness and tirne regularity

directly on 4>. Thus, let us estimate IIW<t>IL : '

+oo W<J>(x, ·) = L: (4>x 1 'r/ih2(JR2)He1 ,

i=l .

where êi = ( 0, ... , 1(iè position) , ... , 0, ... ) , and

Hei: S'{IR2)--+ R : w ~-----+ (w,ryi)8 ,(R2),S(Ji.2).

From the definition of the norm in :Fz (D) follows that

IIW<t>llz,* = ~~E (~ 1 (4>x 1 'r/ih2(JR2) 1 (2Niei)

+oo · l l +oo ·l < 114>11L2(JR2) ~ (2t) = II4>11L2(JR2) 2 ?:: '/,'

-1 ·=1

this late series being convergent if l < -1. Thus if l is choosen sufficently negative so that

+oo 1 2l 2::: il < ' (3.30)

i=l llt;DIIL2cJR2)

the series L:~~ ( -1t w~n will be absolutely convergent in the Banach space Fz (D) to

w~-l (l < -1). In conclusion, if 4> E H 1 (IR2) and l < -1, then JC, g~, g~ E :Fz (D) and if

l satisfies moreover condition (3.30), then also JCô-l E :Fz (D) .Let us observe also in this

example that the generalized expectation E [X::] = 1. If k E IR satisfies

2 ( l+oo l) k < 2l - ln 2 ln 1 + II4>11L2(JR2) 2 t; i (3.31)

then conqition ( 3.14) is satisfied for this example. Supposing that </> E H 1 (IR2), that l < -1

and that conditions (3.30), (3~31) are satisfied, it follows by theorem 3.3.8, that if f, ~ E

L2 (0, T; s-l,k,O (D)) and if the initial condition gE { gE S01•k,l(D); b.g E s-l,k,O(D) },

then the weak solution u in the classical variational sense of

Ut -div ( (1 + W.p) 0 '\7u) = f in Q := ]0, T[ x D

u = 0 on ]0, T[ x 8D

UJt=O = g on D.

belongs to L2 (o,T;S-l,k,H2·"'"'(D)) for all a:w E ]1- ;, 1[. Moreover by theorem 3.3.6, u

and ~~ E L2 ( 0, T; S01•k,l (D)) n C ([0, T]; s-l,k,o (D)).

145

145


3.4 The dual mixed formulation for the beat diffusion

equation in a stochastic medium

In the following, to alleviate the notations, we will denote by H(div; D) the space

s-l,k,H(div;D) where H(div; D),= {~ E L2 (D)2; div~ E L2 (D)} this late space being en

dowed with its natural normand 'H(div; D) := s-l,k,H(div;D) with the corresponding norm. -+

Let us introduce the new variable p := JC()\lu. Under the hypotheses of T.G. Theting's

theorem 3.3.2, we have that u E L2 ( 0, T; S01,k,l (D)) , J( E :Fi (D) and k :5 2l; conse-

quently p:= JC()Vu E L2 ( 0, T; (S-l,k,o (D)) 2).

Let us now assume that the stronger hypotheses of theorem 3.3.6 are verified. In par

ticular ~~ E L2 (0, T; s-l,k,o (D)) . Applying equation (3.15)(i), it follows that :

div.P= ut-fE L2 (a, T;s-I,k,o (D)).

Thus pE L2 (o,T; (S-l,k,o(D)) 2) and divpE L2 (O,T;S-l,k,o (D)). Equivalently

p E L2 (0, T; 1t (div; D))::: L2 (0, T; s-l,k,H(div;D)).

Now, let us take sorne q E 1t (div; D) . We now assume in addition to the hypotheses

of theorem 3.3.6 that J(O-l E :Fi (D). For V't E [0, T], we have the equation JC0-1ôp(t) -

~ u (t) = O. Taking the scalar product with if in s-I,k,L2(!1)2

and then applying Green's

formula:

(JCO-l()p(t) 'i/) -l,k,O = 2: (v ua (t), ~) (2N)ka aEI 0

= - E (Ua (t), div i/a)0 (2N)ka aEI

- - (u (t), divq)_1,k,O,

we obtain the equation

(7C0 - 1ôp(t), tÏ) -l,k,O + (u (t), div q)_1,k,O = 0, Vq E 1t (div; D). (3.32)

Taking the scalar product in s-l,k,o (D) of both sides of the eq~ation

divp(t) =- (f(t)- Ut (t))

146

146

The dual mixed formulation

with any v E s-l,k,o (D), we obtain 'V't E [0, T] the equilibrium equation :

(divp(t), v)_l,k,O =- (f(t)- Ut (t), v)_l,k,O, 'VvE s-l,lc,O (D). (3.33)

Equations (3.32) and (3.33) form the mixed formulation of the stochastic heat equation

with random diffusion coefficient lC (and random heat sources and initial temperature also)

(3.1).

More precisely, the mixed formulation of the Cauchy problem in the polygonal domain D

with random heat source f and random initial temperature g, is the following problem:

find pE L2 (0, T; 'H. (div; D)), u E H1 (o,·T;S-l,k,o (D)) such that V't E [0, T]:

(JC0- 1ôp(t), i/) -l,k,o + (u (t), div q)_1,k,o = 0, Wj E 1-i (div; D),

(divp(t) 'v)_l,k,O =- (f(t)- Ut (t) 'v)_l,k,O' VvE s-l,k,O (D)'

(3.34)

and

u(O) = g.

We have already proved that under the hypotheses of theorem 3.3.6 and x:,O-l E :F, (D),

that problem (3.34) possesses at least one solution. It remains to prove uniqueness :

Lemme 3.4.1 Assuming that JCO-l E F 1 (D) and that k verifies condition (3.14), the

bilinear jorm

is also coercive.

Preuve: It suffi.ces of course to prove that the bilinear form

s-l,k,O(D) X s-l,k,O(D) ~ JR: (u,v) 1-+ (JCO-l()u,v)_l,k,O

is coercive. Let us set w = J(_t.>-1()u E s-l,k,O(D). Then :

(K:O-lôu, u)_l,k,o - (w, /Côw)_l,Jc,o = (JC<>w, w)_l,k,D

> c llwll:.l,k,o

147

147


where c > 0 is the constant of coercivity of the bilinear form

s-l,k,O(D) x s-l,k,O(D) -+ JR : (h, d) ~--' (JC(;h, d)_l,k,o

(see remark 3.3.4 or lemma 4.9 p. 12 of [22}).

But

llul!-l,k,o = llJCô (JC~- 1ôu) 11-l,k,O ::; JlX:IIz,,. Jlwll-l,k,o ·

Th us

llwll_t,k,o ~ IIJC!Iï,; l!ul!-t,k,O · Putting together these inequalities, it follows that :

(JC~-l(;u, u)_l,k,o ~ l!~iZ,,. !iull:t,k,O' VuE s-l,k,o(D).

This proves the coercivity of the bilinear form a(·,·). • Théorème 3.4.2 Under the hypotheses of theorem 8.3.6 and assuming also that x;o-t E

:Fz (D), the mixed formulation (3.34) possesses one and only one solution. Denoting by

u E W(O, T; S01'k'1 (D)) the unique solution of the classical variational solution (3.15), the

unique solution of the mixed formulation (3.34) is given by

(P(t),u(t)) = (x:o~u(t),u(t)), V'tE [O,T].

Preuve: We have already proved that if u E W(O, T; S01'k'

1(D)) is the unique solution of

the classical variational solution (3.15), that

(P(t), u (t)) := ( X:ô Vu (t), u (t)) , V't E (0, T]

is solution of the mixed formulation (3.34).

It remains to prove unicity. Thus we suppose that f = 0 in (3.34)(ii) and that g = 0 in

(3.34)(iii)· From (3.34) follows:

(JC0 -1ôp(t) 'p(t)) -l,k,O = - (Ut (t) 'u (t) Lt,k,O. (3.35)

Due to hypothesis. (3.14) on k, the bilinear form in the left-hand side of (3.35) is coercive.

This implies that d 2 dt !lu(t)il-l,k,O <O.

148

148

Semi-Discrete solution of the dual mixed formulation

As u E H1 (0, T;s-l,k,o(D)) by theorem 3.3.6, u is absolutely continuou~ from [0, TJ with

values in the separable Hilbert space s-l,k,0(D) ((22], lemma 2.3, p.5). It follows by inte

gration then, that

Thus u =O. By (3.35) and the coercivity of the bilinear form of its left-hand side, we now

obtain p= O. •

3.5 Semi-Discrete solution of the dual mixed formula

tion for the beat diffusion equation in a stochastic

medium

Let us consider a family of triangulations (7h)h>O on the polygonal domain D C R2

(let us recall that D possesses one and only one reentrant corner at the origin of JR2). For

Ka triangle belonging to the triangulation 7h, let us denote by hK the diameter of K and

by PK the interior diameter of K i.e. the diameter of the biggest dise included in K. As in

theorem 8.4.1.6 p. 392 of [3], we suppose that the family of triangulations ('lh)h>O has the

property that maxKeT,. l1K is bounded by a positive constant independent of the parameter .PK

h; in that case, one says usually that the family of triangulations is regular ( see for example

[4] (17.1) p.l31). In accordance with the tradition (see [4] remark 17.1 p 131) the parameter

h has also another significance: it may denotes instead maxKeTh hK. The true significance

of h .is al ways clear from the context.

Let us now defi.ne the semi-discretized problem. Firstly, let us defi.ne the following finite

dimensional vector subspaces Xh of X:= H (div; D), respectively Mh of M := L2 (D):

Mh = { Vh E L2 (D); VK ETh: vhiK E Po (K)},

149

149


where RT0 (K) := P0 (K)2 œ Po (K) ( :: ) denotes the S-dimensional vretorial sp""e on

R of all Raviart-Thomas vectorfields of degree 0 on the triangle K i.e vector:fields of the

form

where a, b, c are arbitrary real numbers. Po (K) denotes the 1-dimensional vectorial space

on R of ail constant functions on the triangle K (note that RT0 (K) is denoted D1 (K) in

[5] p. 550).

Now for N, KEN, we de:fine the "cutting'' Iw,K CI by

that is to S(l.Y Iw,K is the set of aU multi-indices a such that their index (index a :=

max {j; aj =f 0}) is smaller than or equal to K and their modulus (lai := ~;,: aj) is

smaller than or equal to N. This set can be shawn to contain <IJviJ:?' different multi-indices

([25] p. 9) ([29] p. 82). We are now in a position to define :finite dimensional vector subspaces

of 1-i (div; D), respectively of s-l,k,D(D) :

Note that these spaces do not depend on k.

We can now define the semi-discretized problem corresponding to the mixed formulation

of the stochastic heat equation (3.34) :

150

150

Semi-Discrete solution of the dual mixéd formulation

(3.36)

and

The initial condition gh E M~N,K) will be precised la ter. Let us fi.rst show that the above pro

blem (3.36) possesses one and ~nly one solution in L 2 ( 0, T; X~N,K)) x H 1 ( 0, T; M~N,K)) :

Théorème 3.5.1 Doing the hypotheses oftheorem 3.4.2, problem (3.36) possesses one and

only one solution :

Moreover Ph E H 1 ( 0, T; xt·K)). Preuve: Let qi1), ... , rlh,J) be a basis of Xh and v~1), • •• , V hL) be the special basis of Mh formed

by the characteristic functions of every triangle K E 7h. Then the ;fi) Ha. E X~N,K), j = 1, ... ' J, a E LN,K form a basis of x~N,K) and the Vkk) Ha., k = 1, ... 'L, 0! E LN,K form a

basis of Mt·K). Expanding Ph (t) , respectively uh (t) in these respective basis, we obtain :

J

Ph (t) = 2:: L (:ph (t))j,œ r/t) Ha (3.37) j=l aEIN,K

and L

uh (t) = 2:: L (uh (t)h,a Vkk) Ha., (3.38) k=l o.EIN,K

where (ph (t))j,a, respectively (uh (t))k,œ are sorne real coefficients. Note that J is equal to

the number of edges of the triangulation 7h on D and that L is equal. to the numhe:r of

triangles.

151

151


Equation (3.36)(ï) is equivalent to the set of ] x C'Jvt}R' = ] x C~+K equations obtained

by taking for ifh E x~N,K) an arbitrary element rf/:) Ha of the basis {t;!) Ha; j = 1, ... ' J,

a E IN,K} of X}!'•K):

~ " (( 0-1). ='J) ;;(!)) (p ( )) ~ ( (k) • ;;(!)) ( ( ) i~ f3+~a }(, 'Y qh , qh Ci,D h t i.P + {;:1

vh , d1v qh O,D Uh t) k,a = 0 (3.39)

Vl = 1, ... , J, Va E IN,K·

Each equation in (3.39) is a linear homogeneous equation in the unknowns (ph (t))i,/3, j = 1, ... , J, {3 E I with f3 ::::; a i.e. {3i ::::; aj, Vj E N. For each a fixed in IN,K, we have

J equations of the type (3.39). Let us rewrite these J equations in a matrix form. In this

respect for each 'Y E I, 'Y ::::; a, let us introduce the square symmetric matrix of dimension

J:

where

b 'Y. = ( (K0-1) qd.i) q;;(l)) = f (K0-1) q='J). qd.l) dx :;,l 'Y h ' h O,D . j D 'Y h h '

V j, l = 1, ... , J, and the rectangular matrix 0 with J rows and L columns :

where

C = ( Gz,k) 1 ::::; l ::::; J

1:5k:5L

Gz,k = (v~k), div ë&)) = f v~k). div ë&) dx. O,D }D

In a matrix form, the set of equations (3.39) for j = 1, ... , J and every a fixed in IN,K

may be rewritten :

a.s B'Y = B~. Let us now examine the heat balance equation (3.36)(ii)·

Equation (3.36)(ii) isequivalent to the set of L x C%+K equations obtained by taking for

152

152


From the definition of the matrix B 0 , it follows that Bo is a square matrix of arder J

whose elements are :

( ) ._· ( 1 dJ) d.,Z)) _ f 1 dJ) d.,Z) Boj,z·- E[JC]qh ,qh o,D- }DE[JC]qh·qh dx, 'ï!j,l=l, ... ,J .. (3.46)

But by the hypothesis infD E [K:] > 0, from which it follows that :

'ï/Ç = (Ç3 )J=1 E lRJ\ {0}, where

-"0) ·- 1 dJ) . -qh .- E [JC] qh ' '<~J - 1, ... 'J

((·, ·)o,D (resp. ll·llo,D) denotes the scalar product (resp. the norm) in L2 (D)). This shows

that Bo is a symmetric positive definite matrix and thus invertible. It now follows from

equations (3.45) that

ddt [(uh(t))ko] = -D-1CTB01C [(uh(t))ko] +D-1Fo(t). (3.47)

' l~k~L ' l~k~L

It is equivalent to rewrite (3.47) by multiplying both sides by D~ to the left, in the

"symmetric form" :

dd .ri~ [euh (t)h~] = -n-~cTB01CD-!n~ [(uh (t))ko] + n-~Fo (t), t ' l<k<L ' l<k<L ·

- - - - (3.48)

this time the linear operator -D-~CTB01CD-t being symmetric. Using the fact that

the divergence operator from Xh into Mh is in fact surjective ([8] p.612), it is easy to see

that the linear operator cT Bü1C : JRL -+-JRL is still positive definite despite the fact that

L < J. Thus the linear operator -D-~CT B 01cn-f in JRL is symmetric negative definite

and thus generates a contraction semigroup (Pt)t;::;o on JRL endowed with the euclidian norm.

The solution of the inhomogeneous linear system of differentiai equations (3.48) with the

initial conditions (3.45)(iii) is given in terms of this semigroup by :

154

153


From the definition of the matrix Bo, it follows that B 0 is a square matrix of arder J

whose elements are :

(3.46)

But by the hypothesis infD E [K:] > 0, from which it follows that :

tt, ( E ~ICJ qill' qfl) o,D Ç;ÇI ;:>: ijf E [/C] t ~)Ç; 2 > 0, o,D

'VÇ = (Çj)f=1 E lRJ\ {0}, where ·

-~~<(j) ·- 1 dJ) . -qh .- E [1C] qh ' 'VJ - 1, ... 'J

((·, ·)o,D (resp. ll·llo,D) denotes the scalar product (resp. the norm) in L 2 (D)). This shows

that B 0 is a symmetric positive definite matrix and thus invertible. It now follows from

equations (3.45) that

ddt [cuh(t)ho] = -D-1CTB01C [(uh(t))ko] +D-1Fo(t). (3.47)

' 15k$L ' l$k$L

It is equivalent to rewrite (3.47) by multiplying bath sides by D~ to the left, in the

"symmetric form" :

dd .ri~ [euh (t)hû] = -n-~cTB01CD-~D~ [euh (t))ko] + n-~Fo (t), t ' l<k<L ' l<k<L ·

- - - - (3.48)

this time the linear operator -n-~cT B 01cn-t being symmetric. Using the fact that

the divergence operator from Xh into Mh is in fact surjective ([8} p.612), it is easy to see

that the linear operator cT B[j1C : JRL - JRL is still positive definite despite the fact that

L < J. Thus the linear operator -n-t cT B 01cn-f in J.RL is symmetric negative definite

and thus generates a contraction semigroup (Pt)t~o on J.RL endowed with the euclidian norm.

The solution of the inhomogeneous linear system of differentiai equations (3.48) with the

initial conditions (3.45)(iii) is given in terms of this semigroup by :

154

154

Semi-Discrete solution of the dual mixed formulation

i.e.

By [28] p.256 and theorem 3.1 p.llO of [6], [(uh (·))ko] is Hôlder continuous of ex-' l<k<L

ponent ~ on [0, T]. Moreover, its derivative being given by the right-hand side of (3.47) is

inL2 (0,T;JRL).Thus [(uh(·)ho] EH1 (0,T;JRL). ' l<k<L ,

From equation (3.45)(i) and the fact that, as we have seen previously, B 0 is symmetric

positive definite and thus invertible, we have also that [CPh (·))jo] E H1 (0, T;RJ). ' 1$19

Let us now consider the case a =tf O. Reasoning by recurrence, we may suppose that we

have already computed all the

Equations (3.40), (3.43) and the initial conditions (3.44), give us the following system :

Bo[ph(t)J,ah:0:9 + C [ (uh(t))k,a] lSk~L =- I:13<a Ba-,l3[ph(t)J..eh~J9•

(3.51)

[Cuh(O)h,aL~ksL = [Cghh,aL~ksL · We can now proceed similary as in the case a = 0, using equation (3.51)(i) to eliminate

[ph(t)J,ahsJ9 in equation (3.51)(ii) obtaining

dd [(uh(t))k a] = -D-1CT B 01C [(uh(t)ha] + D-1 F~(t), (3.52) t ' l:Sk~L ' l~k~L

where

(3.53) t3<a

Note that equation (3.52) is completely analogous to (3.47) and F~(t) is completely known.

Reasoning like in (3.47) to (3.50), it follows from (3.52) and (3.51)(iii) that [Cuh(·))k a] E ' l<k<L

H1 (0, T; JR:L) . - -

Using (3.51)(i) and the invertibility of B 0 , we obtain that [(Ph(·) )3. {3] E H 1 (0, T; RJ) . ' 1:09

155

155


Having determined the J x C/S+K coefficients Ph(·)j,f3, j = 1, ... , J, (3 E IN,K and the

Lx C§+K coefficients (uh(·))k,œ, k = 1, ... , L, a E IN,K, and plugging them in the for

mulas (3.37) and (3.38), we obtain :Ph E H1 ( 0, T; xiN;K)) and uh E H 1 ( 0, T; Mt'K)) satisfying the equations (3.36). •

3.6 Error estimates for the dual mixed formulation in

the stationary case

We will need these error estimates for the "elliptic projection" of the dual mixed for

mulation relative to the heat equation with a random diffusion coefficient in a polygonal

domain with a reentrant corner. The dual mixed formulation for the stationary problem

has been studied in (23] but a priori error estimates have been derived only for "regu

lar solutions in the space variable" i.e. belonging at least to the stochastic Sobolev space

s-l,k,If2(D) which is not the case here due to the reentrant corner of our polygonal domain

D.

The following hypotheses are always tacitly assumed in this section :

on the stochastic diffusion coefficient JC, we suppose that JC, K,O-l E :Fi (D) and

that its generalized expectation E [K] is strictly positively lower bounded on D

i.e. that infD E [IC] > 0; finally, we suppose that k E lR satifies inequality (3.14).

These hypotheses will be strengthened when necessary.

We present in this section two methods to derive the error estimates in the stationary case

as the first method has the defect to require regularity on the spatial derivatives of the

right-hand side f. Thus, exceptionally in this section, we consider the system of equations: find p E 1t (div; D) ,

u E s-l,k,O(D) such that :

{

(K0 - 1(;p,ëÎ)_1,k,o + (u,divq)_1,k,o = 0, Vf/E 1t (div;D),

(divp, v)_l,k,O =- (!, v)_l,k,O' VvE s-l,k,O(D),

156

156

(3.54)

Error estimates in the stationary case

and its discretization : find Ph E xt·K)' Uh E M~N,K) such that :

{

(KO-lA.... .... ) + ( d' .... ) Q \../.... X(N,K) VPh, qh -l,k,O Uh, lV qh -l,k,O = ' v qh E h '

(3.55)

(div fh, vh) -l,k,o = - (J, vh) -l,k,o , 'v'vh E M~N,K).

Und er the above hypotheses , we have seen in lemma 3.4.1 that the bilinear form

is coercive. For the bilinear form

b (·,.) : s-l,k,O(D) x 1-l (div; D) -tll~.: (v, q) 1--+ b (v, q) := (v, div V-1 k 0' (3.57) '1

the inf-sup inequality : b (v, q)

sup Il ï1l ~ llvll_l k o, qE1i(div;D) q -l,k,div ' '

(3.58)

is proved in [23] (lemma 3. 7 p. 615) and in fact follows easily by applying the construction

used in the "deterministic case" to prove it for each coefficient Va E L2 (D) of the chaos

expansion of v. Thus by corollary 4.1 p. 61 of [14J, problem (3.54) is well-posed (the above

coercivity of a(·,·) on (s-l,k,o(D))2 implying of course the ellipticity in the sense of the

norm of 1-l (div; D) = s-l,k,H(div;D) on this subspace of divergence free vectorfields).

To prove that the discrete problem (3.55) is well-posed, being a finite dimensional problem,

it suffices to prove unicity. So let us suppose that f = 0 in (3.55)(ii)· Taking Ch = Ph in

(3.55)(i), using (3.55)(ii) with vh = uh and using the coercivity of a(·,·), we obtain 'Ph= O.

That uh = 0 follows now from (3.55) (i), knowing that ffh = 0 and the following proposition :

Proposition 3.6.1 (uniform inf-sup inequality {23} p.620}

Let (7hh>o be a regular family of triangulations over D. Then, there exists a constant c > 0

independent of h, N and K such that :

b ( vh, Ch) ~ Il Il 'ï/ E M(N,K) sup Il ... Il 7 c vh -l,k,o' vh h .

ifhEX~N,K) qh -l,k,div (3.59)

Preuve: As the domain D presents geometrie singÜlarities (D is a polygonal domain in

JR2 with one reentrant corner at the origin), we indicate our proof, based on our work [8J,

157

157


wich seems tous somewhat more clear than the proof given in [23]. Let vh E M~N,K) and

let us consider its expansion in chaos polynomials vh = :Ea:e:r (vh)œ Ha:. By lemma 1.14 N,K of [8], there exists for each a E IN,K sorne (lh)a: E Xh such that div (lih)a: = (vh)Cl! and

(3.60)

with a constant c > 0 independent of h.

Let us set iJh = L.:a:ei (ifh)a: Ha; ifh E x~N,K) and : N,K

b ( Vh, ifh) - ( Vh, div ik) -l,k,O

- (LaEINK (vh)a:Hœ,l:œEINKdiv(ifh)œHœ) • • -l,k,O

= :EœEIN,K (2N)ka: ((vh)o: ,div(ifh)a)L2(D)

- :EœEIN,K (2N)ka li(vh)œll~ = llvhll~l,k,O (3.61)

llifhll~l,k,div < l:œEIN,K (2N)ka IJ(ik)all~(div;D)

< C2

l:aeiN,K (2N)ka IJ(vh)a11~2(D) = C2 11vhll~l,k,O

by inequality (3.60) and the fact that div (qi.)œ = ( vh)a· Thus :

(3.62)

By inequalities (3.61) and (3.62) :

b (vh, ifh) 1 li-ll ~ -llvhii-l,k,o · qh -l,k,div C

• Let us observe that if for sorne element ifh E XAN,K), b ( vh, iih) = ( vh, div ikL1 ,k,O = 0

for every vh E Mt·K), then as div ifh itself belongs to Mt·K), it follows that div iih = 0 and

th us

IJ?fhll~l,k,div = JJ%JJ~l,k,O ;Sa(%, ifh)'

'iifh E { ifh E x~N,K); b ( Vh, ifh) = D, 'ivh E M~N,K)} with a constant (hidden in ;S) inde

pendent of h. Thus, the bilinear forma(.,.) is uniformly coercive on the family of subspaces

158

158


x~N,K) of 'H (div; D).

By this observation and proposition 3.6.1 ali the hypotheses of theorem II .1.1 p. 114 of

[14] are verified. Thus :

llf- Phli-l,k,div +liu- uhll-l,k,O ;S infqj,EX~N,K) 1\.P- fh11-l,k1div

+inf EM(N,K) llu-Vh\1-lkO' Vh h 1 1

(3.63)

Thus we are reduced to bound the right-hand side of the previous inequality. To do that,

we need sorne spatial regularity on p; we have the following result ( analogous to theorem

3.3.8, but in this section we are concerned with the stationary case) :

Théorème 3.6.2 Let us suppose that the stochastic diffusion coefficient JC satisfies :

i]5f E [K] > 0, JC, g~, g;;, JCO-l E :Fi (D), and that k E 1Ft satisfies inequality {3.14). We

also suppose that f E s-l,klo(D). Then the weak solution u E S01•k•1(D) := s-l,k,ii

1(D) of

the stationary equation with Dirichlet boundary condition :

- div ( JC 0 Vu) = f in D,

(3.64)

UjaD = 0 on 8D,

belongs to s-l,k,H2

·""w (D) for all aw > 1 - Zï (w denoting the opening of the reentrant corner

of the polygonal domain D at the origin). Consequently :

p = K 0 Vu E ( s-l,k,Hl,Otw(D)) 2.

Preuve: From (3.64) follows :

--:: ---?

JCOD..u = -f- VJCO Vu. (3.65)

--+ ---?

Let us set g = f + V JC 0 Vu. As by hypothesis :

8}( ô}( -8

, -ô EFt(D), Xl X2

g E s-l,k,o(D) and

!ig\\-l,k,o ;S \\f\1-l,k,o

159

159


as JJull-l,k,l ~ llfJLl,k,o · As by hypothesis Je 0-l E :Fz (D) by prop. 4 p. 120 of [37] (or proposition 2.4 of [23}) ;

J( 0-10 g E s-l,k,o(D) and

Expanding u and g in chaos polynomials) we have : -~ua = (K 0-lo g) a) 'ï/a E I. By

(8)4),7) p. 388ofGrisvard'sbook[3], ua E H 2•a"' (D) and JJuo,IJw."'w(D) ;S jj(JC 0- 10 g)JL2(D),

for every a E I with a constant (hidden in ~) independent of a. Consequently :

2:= lluall~2,<>w(D) (2N)ko, ~ L Il (Je O-lo g) J~2(D) (2N)ka, aEI aEI

i.e.

liu11-l,k,H2·"w(D) ~ JIK O-lo gJJ-l,k,o ·

But, we have seen above that IIJC 0-10 giJ-l,k,o ;S IIBII-1,k,o ~ llfll_1,k,o .Thus

l!uJJ-l,k,H2,aw(D) ;S Jlfll-l,k,O' ~

and by pro p. 4 p. 120 of [37} (or proposition 2.4 of [23]) applied to p = JC 0 \7 u :

JIP1J-l,k,Hl,e>w(D)2 ;S IIJJI-l,k,O'

• Using (3.63), the preceding regularity result, and imposing appropriate refinement rules

on our regular family of triangulations ('Th)h>O linked to the regularity of the solution

(3.6.2), we are going to derive 0 (h) error estimates in the spatial directions; however to

be able to proceed in this way we will have to suppose that f E s-l,k,l(D) := S-l,k,H1(D).

Théorème 3.6.3 Under the hypotheses of theo rem 3. 6. 2, supposing th at our regular family

of triangulations ('h) h>O satisfies the following refinement rules : 1

(R1) hK ~ CJhl-o:w for every triangle K E 'Th which has one of its vertices at the origin;

(Rl) hK ~ CJ (infxEK raw (x)) h for every triangle K ETh without any vertice at the origin,

the constant CJ > 0 being independent of the triangle K and h, and finally supposing that

the right-hand side

f E s-l,k,l(D) n s-l,k+r,o(D),

160

160


for some k < 0 and r > 1 such that k + r E ffi. satisfies inequality (3.14), we have the

following a priori error estimate (with a constant hidden in ;S independent of h, N , the

chaos dimension K and r) :

where /44}

IIP- .Phll-l,k,div +liu- uhl!-l,k,O ;S BN,K (llul/_l,k+r,O + I/P11-l,k+r,div)

+h (!ui_l,k,l + 1P1-l,k,Hl,<>w(D)2 + 1/l-l,k,l) ' (3.66)

A(r)

K denoting the dimension of the polynomial chaos and N its degree.

Preuve: We bave to bound the rigbt-hand side of (3.63).

Firstly :

-l,k,div + inf

- EX(N,K) Qh h

2:: pa,Ha- iJh aEIN,K -l,k,div

by [44} (a substantial irnprovement of [38]) and where Ih denotes the Raviart-Thomas

interpolation operator of degree 0 [8}). Thus using our hypothesis that fE s-l,k,1 (D) :

_ i~t,K) IIP- ifhll-l,k,div {3.67) qhEXh

l

< BN,K IIP11-l,k+r,div + [J1I IIPa- IThPall~(div;D) (2Nla] 2

l

s.; BN,K IIP11-l,k+r,div +ch [Fei (2N)ka {1Pœl~l,<>w(D)2 + lfal~l(D)) J 2'.

s.; BN,K IIP1l-l,k+r,div + ch(1P1-l,k,Hl,<>w(D)2 + 111-l,k,Hl(D))

161

161


as by ((31) p.620 of [8])

and div (p~- IIhfa) = -Ua- Phfa), (where Ph denotes the orthogonal projection in

L2 (D) on Mh) which implies by inequality (45) of [8) that also : JJdiv(fi'a- IIhfa)llo,D $

ch lfa!Hl(D)'

Secondly:

inf !lu- vhl!-1 k 0 M (N,K) ''

VhE h

< -l,k,O -l,k,O

< BN,K JJul!_l,k+r,o + E UaHa - E PhuaHa aEIN,K aEIN,K -l,k,O

-l,k,O E (ua- Phua) Ha

aEIN,K < BN,K JJul!_l,k+r,O +

< BN,K l!ul!_l,k+r,o + [2: !!ua- Phuai!~,D (2N)ka] ~ aEI

< BN,K JJuJJ-l,k+r,O +ch [E JuaJ~l(D) (2N)ka] ~ · o:EI

< BN,K l!ull-l,k+r,O +ch JuLl,k,Hl(D)

by ( 45) of [8). Thus :

(3.66) follows from inequalities (3.67), (3.68) and (3.63). • Remarque 3.6.4 Let us observe that

BN,K =v A (r) K;_1 + B(r) 2;N (3.69)

tends to 0 exponentially with N -= the arder of the chaos and only polynomially with K : the

dimension of the polynomial chaos.

162

162


Now, we present another method to derive error estimates, wich does not require f to

belong to s-l,k,1(D).

Proposition 3.6.5

Ph - 2: IIhfi'œ Hœ ~ ff- 2::: IIhfi'œ Hœ œEIN,K -l,k,O œEIN,K -l,k,O

Preuve: Let us set ifh = l:œEI IThfi'œ Hœ. By the coercivity of the bilinear form N,K

a(·,·): (s-l,k,o(D))2 X (s-l,k,O(D))2-+ lR: (p, V r-t (Kô-l(;p, qJ -l,k,O' (3.70)

on the Hilbert space (s-l,k,o(D)) 2 :

(3.71)

On the other hand from equations (3.54)(i) and (3.55)(i) follows by subtraction :

(3.72)

By equation (3.55)(ii) :

divph =- 2::: PhfœHœ. œEIN,K

By equation (3.54)(ii) :

divcfh= 2: PhdivfiaHœ=- 2::: PhfœHw œEIN,K œEIN,K

Thus div (Ph- ifh) =O. Thus it follows from equation (3.72) that :

(.;:::: - ... .... ) 0 a V' - Ph, Ph - qh = · (3.73)

Adding (3.73) to the right-hand side of (3.71), we obtain:

Using the continuity of the bilinear form a(·,·), it now follows that:

IIPit- %11-l,k,O ~ IIP- %11-l,k,O.

• 163

163


Corollaire 3.6.6

-l,k,O

Preuve: By the triangular inequality :

II.P- fihll-l,k,O :::; p- 2:::: IThfaHa aEIN,K -l,k,O

+ Ph - 2:::: IThfaHa aEIN,K -l,k,O

< rv p- 2:::: IThfaHa aEIN,K -l,k,O

by proposition 3.6.5. • Théorème 3.6.7 We assume that f E s-l,k+r,o(D) for some k < 0 and r > 1 such

that k + r E lR satisfies inequality {3.14), and that the stochastic diffusion coefficient JC

satisfies the same hypotheses as in theorem 3.6.2. We suppose that our regular family of

triangulations (Th)h>O satisfies the refinement rules (Rl) and (R2) of theorem 3.6.3.

Th en

jjp- Phll-l,k,O ;S BN,K JJPJJ-l,k+r,O + h JJP1J-l,k,Hl,<>w(D)2

;S BN,K JjuJJ-l,k+r,l + h JjuJJ-l,k,H2,ocw (D)'

(3.74)

(3.75)

where the constants hidden in the symbol ;S are independent of h, N, K and r, and where

BN,K has been defined in theorem 3.6.3 ..

Preuve: By corollary 3.6.6, we are reduced to bound [\.P- LaEI IThfiaHa\\ . N,K -l,k,O By the triangular inequality :

P- 2:::: IThffaHa < + L (p-:x - IThfia) Ha aEIN,K -l,k,O -l,k,O aEIN,K -l,k,O

1

< BN,K IIP11-l,k+r,O + [1tx C2 h2 liial~l,O<w(D)2 (2Nta] 2

by [44] (a substantial improvement of [38]) and by (31) p. 620 of [8], c denoting a strictly

positive constant. Thus :

1\.P- LaEIN,K IThfiaHa\\_l,k,O:::; BN,K \\P11-l,k+r,O +ch 1P1-l,k,Hl,O<w(D)2

;S BN,K \Jul\-l,k+r,l + h lluii-l,k,H2,<>w(D) (3. 76)~

164

164


as p = JC<)Vu and JC E Fz (D) with l ~ 2(k + r) because by hypothesis k + r satisfies

inequality (3.14). •

To obtain an error estimate on uh, we need the uniform inf-sup inequality:

Proposition 3.6;8 (Th)h>D be'ing supposed to be a regular family of triangulations, one

has:

(3.77)

with a constant. {hidden in~) independent of h, N and K.

Preuve: In proposition 3.6.1, we have proved that

b(vh, qit) (N ) ~:,-,--;.....:;:.....:.- >-: Il Il 'Vvh E Mh ,K · sup 11""'11 ,_,. c Vh -l,k,o ' %,exj.N,K) qh -1,k,div ·

As II%IL1,k,O $ II%IL1,k,div' this late inequality implies a fortiori inequality (3.77) . •

Corollaire 3.6.9 Let us denote by p~N,K) the orthogonal projection in the space s-l,k,O(D)

onto the subspace M~N,K). (1h)h>O being supposed to be a regular family of triangulations

on D, we have:

ll pt•K)u- Uhll $l!p- Phll-1 k 0 • -l,k,O ' '

(3.78)

Preuve: From equation (3.54)(i) follows a fortiori for every% E x~N,K) :

(JCô-lOP,lfh)_l,k,o + (u,div%)-l,k,o = 0.

As· div qh E Mh(N,K) : (u- ph(N,K)u, div%) = 0, and thus we can replace ( u, div %)_lk 0 in -l,k,O • '

the preceding equation by (Pt·Klu, div%) getting in this way : -l,k,O

( vô-lA ...... ) + (p(N,K) d' ... ) Ü "-' yp, qh -1 k 0 h u, lV qh = . • • . -1,k,O

Subtracting equation (3.55)(i) from the preceding equation we obtain :

165

165


for every lfh E x~N,K). By the uniform inf-sup inequality : proposition 3.6.8, we now obtain :

ll p~N,K)u- uhll :::; IIK:ô-l~ Cff- fh)ll--l,k,O ·· l,k,O

;S IIP'- P~tll-l,k,O

by the hypothesis stated at the.beginning of this section on JÇ<>- 1. • Théorème 3.6.10 We assume that f E s-l,k+r,o(D) for sorne k < 0 and r > 1 such

that k + r E R satisfies inequality (3.14) and that the stochastic diffusion coefficient /(

satisfies the same hypotheses as in theorem 3.6.2. We suppose that our regular family of

triangulations ('lhh>o satisfies the refinement rules (Rl) and (R2) of theorem 3.6.3.

Then, the following error estimates hold on uh :

''p~N,K)u- uhll_l,k,o ;S BN,K \\u\L1,k+r,l + h l!ull_1,k,H2•""'(D), (3.79)

\lu- uhll-l,k,O ;S BN,K llu\1-l,k+r,l + h \\ull-l,k,H2,aw(D), (3.80)

where BN,K has been defined in theorem 3.6.3 and P~N,K) denotes the orthogonal projection

in the space s-l,k,O(D) onto the subspace Mt·K).

Preuve: (3.79) follows from (3.78) and {3.75). On the other hand:

\!u- P~N,K)u!!_ = 1\ L (ua- Phua) Hall l,k,O aEI ~-l,k,O

- [2: \!ua- Phuaii~,D (2Nla] ~ aEI

1

;S [Fez h2\ua\Î,D (2N)ka] 2

;S h \ul-l,k,l (3.81)

by (45) of [8].

From (3.79) and (3.81), we obtain (3.80). • ... t:: ....

3. 7 The elliptic projection in the context of the dual

mixed formulation

We will always assume in the following of this section, at least that the

coefficient of diffusion J( (-) E J=i(D) satisfies infD E[K] > 0, that fE L2(0, T; s-l,k+r,o(D))

166

166

The elliptic projection

for some r > 1 and k < 0 such that k + r E 1R satisfies inequality (3.14), and that our

regular family of triangulations (7h)h>O satisfies the refinement rules (Rl) and (R2) of

theorem 3.6.3. To get regularity on the time derivative ?f the solution ~~, we also assume

more regularity on the data f and g: we assume also, that * E L2(0, T; s-l,k+r,D(D)) and

that the initial condition

g E { g E s-l,k+r,1 (D); div ( }(, 0 V g) E s-l,k+r,D(D)}.

Under these hypotheses, we know by theorem 3.3.6 that:

~~ E L2 ( 0, T; Sël,k+r,l(D)) n C ([0, T]; s-l,k+r,o(D)).

We can now introduce the concept of elliptic projection in the setting of the dual mixed

method:

Définition 3. 7.1 We call elliptic projection at the fixed time t of the exact solution (ft(·), u (·))

of the mixedformulation of the evolution problem (3.34), the solution denoted (h (t), üh (t)) E

x~N,K) x M~N,K) of the discretized mixed formulation of the stationary problem (3.55) with .

right-hand side f(t)- ~~(t), i.e.

(JCO-l<)h (t), lfh) + (üh (t) , div lfh)_lk o = 0, 'Vlfh E X~N,K), -l~P ' '

(3.82)

(div ft h (t), vh) =- (J(t)- ~~(t), vh)_1 k 0 , 'Vvh E MiN,K). -l,k,O ' '

Note that due to our hypotheses, 'Vt E (0, Tj : f(t)- ~~(t) E s-l,k+r,o(D).

Comparing ("h (t), üh (t)) with (j(t), u (t)), we have the following error estimate (to

give a self-contained statement, we recall ali the hypotheses done at the beginning of this ·

section) :

Théorème 3. 7.2 We suppose that the generalized expectation E[JC} of the stochastic diffu

sion coefficient JC, is strictly positively lower bounded i.e. that infD E(JC} > 0 and that JC E

:F1 (D). We suppose that our regular family of triangulations (7h)h>o satisfies the re.finement

167

167


rules (Rl) and (R2) of theorem 3.6.3. We assume that f, · ~ E L2 (0, T; s-l,k+r,o(D)) and

that the initial condition

gE {gE S01'k+r,l (D); div ( lCô V g) E s-l,k+r,o (D)}

for sorne r > 1 and k < 0 su ch, th at k + r E lR satisfies inequality ( 3.14).

Then \:lt E [0, T] :

!IP: (t)- p(t) ''- ~ BN,K ]l.p(t)ll-l,k+r,O + h llp(t)11-l,k,Hl,a:w(D)2 l,k,O

~ BN,K liu (t)11-l,k+r,l + h liu (t)11-l,k,H2•"w(D), (3.83)

ilp~N,K)u (t)- Üh (t) ll_l,k,O ~ BN,K liu (t)ll-l,k+r,l + h liu (t)11-l,k,H2,a:w(D), (3.84)

liu (t)- Ûh (t)l!-l,k,O ~ BN,K liu (t)il-l,k+r,l + h !lu (t)11-l,k,H2,<>w(D). (3.85)

where PiN,K) denotes the orthogonal projection in the space s-l,k,O(D) onto the subspace

M (N,K) h •

Preuve: As ('h (t) 'üh (t)) E xt·K) x Ait·K) is simply the solution of the discretized

mixed formulation of the stationary problem (3.54) with right-hand side f(t)- ~~(t), the

above estimates (3.83) - (3.85) follow from the regularity theorem 3.3.6 which imply that

the right-hand side f (t)- ~~ (t) E S-l,k+r,o, \:lt E (0, T], theorem 3.6.7 and theorem 3.6.10

respectively. Il

The purpose of the next result is to prove under sorne assumptions, sorne regularity on

~~, wh.ich will be needed to bound the norm in s-l,k,O(D) of ~(t)- ~~in proposition 3.7.5.

Théorème 3. 7.3 Let us be given sorne r > 1 and k < 0 su ch that k + r E lR satisfies

inequality {3.14}. Let us assume that f,1Jt, !!;if E L2 (0, T; s-I,k+r,o(D)) ·and for the initial

condition g that

g E S()l,k+r,l(D), div ( lCô ""f} g) E s-l,k+r,o(D),

f(O) +div ( lCô V g) E S01•k+r,l(D), and

div ( JC(; V [!(0) +div ( JCô V g)]) E s-l,k+r,o(D).

168

168


Then for m = 0, 1, 2 :

~;: E L 2 (o, T;S01•k+r,l(D)) n C ([0, T] ;S~l,k+r,o(D)).

Preuve: We know already by theorem 3.3.6 that the thesis is true for m = 0, 1.

Let us consider the Cauchy problem : find ( E W ( 0, T; S01•k+r,l (D)) such that :

. l,k+r,O . -l,k+r,O {

tt(((·), v)_l,k+r,O + (K:ô ~((·),~v)_ = (c!?dt; (-),v) , 'Vv E S0l,k+r,l(D),

((0) = ~(0) +div ( Kô ~ [!(0) +div ( JCô ~ g)]) .

As by hypothesis *and tt(~) = ~ belong to L 2 (0, T; s-l,k+r,o (D)),

~ E 0 ([0, T]; s-l,k+r,o (D)) and *(0) E s-l,k+r,o (D). Thus Ç(O) E s-l,k+r,o (D).

By theorem 3.3.2, Ç( ·) E L2 ( 0, T; S01•k+r,l (D)) n 0 ([0, T]; s-l,k+r,o (D)) and :

ll(llc([o,T];S-l,k+r,o(D)) + IJ(IIL2( o,T;s01,k+r,l(D))

~ li d?dt~ Il . + Il ((0) lls-l,k+r,o(D) · L2 ( O,T;S-l.k+r,D(D))

Let us set

z(t) = 1t Ç(s)ds + f(O) +div ( JC~ ~ g) .

Due ta our hypothesis that f(O) +div ( JC(:; V g) E S01•k+r,l (D),

z E C ( [0, T]; S01•k+r,l (D)) , z(O) = /(0) +div ( Kô ~ g) ,

dz · dt (t) = ( (t).

(3.86)

(3.87)

Integrating bath sides of equation (3.86)(i) from 0 tot, we obtain : .• !. '• (•,,;:.

(( (t), v)_l,k+r,O- (Ç (0), v)_l,k+r,O +( K:(:; V z (t), V V) -l,k+r,O

-(lÇô V [f(O) +div ( K:ô V g) J , V V )-l,k+r,O -

- (dj (t) v) - (df (0) v) dt ' -l,k+r,O dt ' -l,k+r,O'

169

169


'ï/v E S01•k+r,1(D), 'v't E [0, T]. By Green's formula in the stochastic spaces s-l,k+r,H(div;D)' s-l,k+r,Hl(D) ([23], (2.10) p.

611) and (3.86)(ii)• the above equation simplifies to :

( : (t), v) + (IÇ ô~ z (t), ~v) = (: (t), v) , (3.88) -l,k+r,O . . -l,k+r,O -l,k+r,O

'ï/v E S01•k+r,l(D), Vt E [0, T].

Comparing (3.88) and (3.87) with the Cauchy problem stated in the proof oftheorem 3.3.6

shows us that z = ~~.

Th us

~~ = Ç E L2 ( 0, T; S01•k+r,1(D)) n C ([0, T]; s-l,k+r,o(D)) .

• Corollaire 3.7.4 Under the hypotheses oftheorem 3. 7.3, and supposing also that ~JC, 8

8JC, V:Z:l :Z:2

JCO-l E :Fz (D) , then :

du E c ([o T] . s-l,k+r,H2,o:w (D)) dt . , '

(this is already known to be true for u (.) by theorem 3.3.8).

Preuve: By the proof of theorem 3.7.3, z = ~~ E C (la, T]; S01'k+r,l(D)) and satisfies:

( ICô ~ z (t), ~v) =(ddlft (t) - ddzt (t), v) , V v E S01'k+r,1(D), (3.89) -l,k+r,O -l,k+r,O

'ï/t E [0, T}. ., ., '·'··'f ...

By theorem 3.7.3, : = ~~ E C ([0, T]; s-l,k+r,o(D)) and as by hypothesis : *' ~ E

L2 (O,T;S-1•k+r,o(D)), we have also that 1t E C([O,T];S-1•k+r,o(D)). Thus the right-

hand side in equation (3.89) belongs to s-l,k+r,o(D), 'ï/t E [0, T].

From equation (3.89) follows that in the weak sense

-div ( lCô ~ z (t)) = : (t)- ~: (t) E s-l,k+r,o(D), 'ï/t E [O,T]•.,' (3.90)

From the above considerations follows that ~ - ~ E C ([0, T]; s-l,k+r,o(D)). This im

plies that the mapping (0, T} --+ s-l,k+r,o(D) : t ~---+ -div (K Ô V z (t)) is a continuous

170

170


mapping. By theorem 3.6.2, and the "closed graph theorem" follows that the mapping

t 1----+ z (t) = ~(t) is continuous from [0, T] into s-l,k+r,H2

'00'"(D), for ail aw > 1- ~· ;, j.

Proposition 3. 7.5 Under the hypotheses of corollary 3. 1.4 and supposing that our regu

lar family of triangulations (îh)h>o satisfies the refinement rules (R1) and (R2) of theorem

3. 6. 3, we have :

Il ~~ (t)- d:: (t)ll ;S BN,K Il~~ (t)ll +hl!~~ (t)ll 1

-l,k,O -l,k+r,l -l,k,H2•a"' (D)

Vt E [0, T], where the constant hidden in ;S is independent of h, N, K, t.

Preuve: As a consequence of our hypotheses on J, 1t, ~' it follows that

fE C1 ([0, T]; s-l,k+.r,o(D)). By theorem 3.7.3, : E 0 1 ([0, T]; s-l,k+r,o(D)).

If we consider the finite dimensional stationary problem : given a linear form Fh on

M~N,K)' find Ph E x~N,K) l Uh E J\.1t,K) such that :

{

(JCO-l()ph, qi.) -l,k,O + ( Uh, div q',.)_l,k,O = Ü,

(div .Ph, vh)_1,k,o = -Fh (vh), Vvh E M~N,K).

(3.91)

(it is clear from the proof of theorem 3.5.1, that this problem does not depend on the

particular value of k E JR), and introduce the linear operator

Ah: ( lltt·K)y-+ xt·K) x M~N,K): Fh f-+ (Ph, uh)

solving the preceding problem ( Ah being a linear operator between finite dimensional

spaces is automatically also continuous), we see that Vt E [0, T] :

. (h (t), uh (t)) =Ah o p~N,K) (f(t) - ~~ (t)) .

Consequently,

and Vt E [0, T} :

( lff (t), d!' (t)) =A, o Pt,KJ (: (t)- ~~ (t)).

171

171


By theorem 3.7.3:

: (-)- ~~ (·) E C ([0, T]; s-l,k+r,o(D))

and thus a fortiori :

. dt (t) - ~~ (t) E s-l,k+r,o(D),

Vt E (0, T].

Thus we are allowed to apply theorem 3.6.10, wich gives us:

l'

du (t) ~ düh (t)ll < BNK ''du (t)ll +hlldu (t)ll dt dt -l,k,O"' ' dt -l,k+r,l dt -l,k,H2•"'w(D)

1

as ~~ (t) is the solution of the exact stationary problem aethe fixed time t corresponding

to (3.91) with datum

F (v)= (dd'f (t)- cFdt~ (t),'+p). , VvE s-l,k,o(D). · t .,.. -l,k,O .

(as can be seen by a similar reasoning for the exact problem as we have do ne for the

approximate problem). •

3.8 A priori error estimates for the semi-discrete solu

tion

In view to compare the solution at time t of the dual mixed semi-discretized problem

with the solution of the elliptic projection at time t, let us introduce the following quanti

ties :

. th (t) :=Ph (t)- fi h (t) and eh (t) := uh (t) - üh (t).

Subtracting equation (3.82)(i) from equation (3.36)(i) and equation (3.82)(u) from equation

(3.36)(ii)l we obtain the following _system in the quantities €h (t) and eh (t) :·

(K:0- 10fh (t), qh) -l,k,~ +(eh (t), div qk)_1,k,O = 0, 'rJqh E X~N,K),

(div ëh (t), vh)_l,k,o + (d (u ~ uh) (t), vh) = 0, Vvh E M~N,K). -l,k,C>

172

172

(3.92)

A priori error estimates

Morover, as we choose uh (0) = üh (0) as initial condition for the semi-discretized problem,

we have:

eh (O) =o. (3.93)

Choosing ~=th (t) in (3.92)(i) and vh = fh (t) in (3.92)(ii)• we obtain :

(JC0- 1ôf;. (t), f;. (t)) -l,k,O + (eh (t) , div th (t) )_1,k,O = Û (3.94)

(div th (t), tJh (t))_l,k,O + (d (u ~ uh) (t), eh (t)) = Û. ·(3.95) . -l,k,O

From equation (3.95) and (3.94), we obtain :

(JCO-lôth (t) '4 (t)) -l,k,O + ~ :t ueh (t)ll~l,k,O = (! (u- üh)(t), eh (t)) -l,k,O. (3.96)

Integrating both sides of this equation from 0 tot, taking into account (3.93), we obtain :

1t (JC0 -1ôf;. (s) 'th (s) )_1 k 0 ds + -21

lleh (t)ll~l,k,O = 1t (dd (u- üh)(s), eh (s)) ds. 0 ' ' 0 S -l,k,O

(3.97)

By Cauchy-Schwarz and Young inequalities, we obtain for e > 0:

1t (JC0- 1ôth (s), 4 (s)) -l,k,O ds + ~ ueh (t)ll~l,k,O (3.98)

< <'J,'ne,(s)l!'_,,,,o ds+ ~ J.ïl! (u-üh)(s)IL .• ,o"•· (3.99)

Due to hypothesis (3.14) and lemma 3.4.1, 3Ca > 0 such that :

. ·····' ..

(3.100)

To be able to absorb the term e2 J; IIBh (s)ll~1,k,o ds in the right-hand side of inequality

(3.98) by Ca J; 114 (~)ll:_1 ,k,o ds, term implicitely contained in the left-hand side,of.ineql.l~lJty

(3.98) due to (3.100), let us firstly prove that

I!Bh (s)!Ll,k,o ~ 114 (s)ll-l,k,o · (3.101)

By (3.62), there exists ~ (s) E xf'·K) such that div qi. (s) =Oh (s) and '·{.~_(; ,:

Il% (s)ll-l,k,o ~ IIBh (s)!Ll,k,o · (3.102)

173

173


Equation (3.92)(i) (with t replaced by s) is valid for any~ E X~N,K).

Thus we may choose ifh = qh ( s) , which gives us :

This last equation implies that :

lllh (s)ll~l,k,o ~ IIJC0-

1Ô€h (s)II-I,k,o llqh (s)II-I,k,o

~ IIJC0 -1ô€h (s)ll_l,k,O neh (s)ll-l,k,O by (3.102).

Th us

ll8h (s)ILl,k,o

~ ll€h(s)ll_l,k,o·

This proves (3.101). From (3.98), (3.100) and (3.101) follows the following result :

l..i.j.

~ : ~ . -f 1 •

' 'I ~ ~ ", .. ~. · .. ' i ·'

Proposition 3.8.1 Supposing that JC, ;cO-l E :F"z(D) and that k E R satisfies to hypo

thesis (3.14), the following inequality holds:

lt ll€h (s) 11:1,k,O ds + IIBh (t)ll:l,k,O ~ 1t Il :s (u- üh) (s) ~~~ ds, 0 0 l,k,O

Corollaire 3.8.2 Under the.hypotheses of proposition 3. 7.5

Preuve: This follows immediately from proposition 3.8.1 and proposition 3.7.5. •

Applying corollary 3.8.2 in conjunction with theorem 3.7.2, we obtain the following a

priori error estima tes on Ph ( ·) and uh ( ·) ( we recall all the hypotheses) :

174

174

A priori error estimates

Théorème 3.8.3 We suppose :

{i) that the stochastic diffusion coefficient JC(·), its Wick inverse J(/>-1, and its partial

derivatives g~, g~ all belong to :Fi (D) and that its generalized mean E [JC] is lower bounded

by a strictly positive constant on D;

{ii} that k < 0, r > 1, and thaf

2 (infD E (JC)) k + r < 2l + ln2ln IIJCIIL,• ;

{iii) that J, ~, ~ E L2 (0, T; s-l,k+r,0(D)) and that the initial condition g satisfies

gE S01'k+r,l(D), div (JC<:;"iJg) E s-l,k+r,o(D),

f(O) +div ( JCôVg) E Së1'k+r,l(D),

div ( JC()V(f(O) +div ( JC()Vg ))) E s-l,k+r,O(D);

(iv) that our regular family of triangulation ('Ih)h>O satisfies the refinement rules (Rl) and

(R2) stated in theorem 3.6.3 for sorne aw E J 1- ~' 1 [.

Then:

!lfth- p llL2(0,T; (s-l,k,O(DJ)2) + lluh- u!b(o,T; S-l,lo,O(D))

"',.r_,· ..

~ BN,K(I\ ddut \\. . + llui!Lz([O,TJ; s-I,k+r,l(D)) L2 ( O,T; s-l,k+r,l (D))

+h(ll dd~~~ + llullL2(0,T; s-l,k,H2•01"'(.0))) j L2(0,T; s-l,k,H2,aw (D))

lluh- ullc(ro,T]; s-l,k,o(n))

~ B N.x<\\ ~~ \\ · . + llullccro,TJ; ·s-l,k+r,l(D))) L2 ( O,T; S-l,lc+r,l (D))

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Rêsumê

Dans ce travail on se propose d'établir des estimations d'erreurs a priori pour les solutions approchées d'équations d'évolution obtenues par la méthode d'éléments finis mixte duale en espace et ce pour trois types de problèmes : le premier concerne le pro,blême de C~~ouchy pour l'équation de diffusion de l~~o chaleur, le second est le problème de Stokes instationnaire, et le dernier concerne le problème de Cauchy pour l'équation de diffusion de la chaleur mais avec un coefficient de diffusion aléatoire. Pour ces trois types de problèmes, il y a un certain nombre de raisons de préférer la méthode mixte duale en espace à une méthode classique en espace; parmi elles la propriété fondamentale qu'est la conservation locale, et par suite globale, de certaines quantités physiques (la quantité de mouvement, la masse, la quantité de chaleur, ... ). Une autre raison bien connue pour adopter laméthode mixte duale en espace est qu'elle nous permet d'introduire des nouvelles variables: p(t) = Vu(t) le flux de chaleur à l'instant t pour l'équation de diffusion de la chaleur, p(t) = ICOVu(t) le flux de chaleur à l'instant t pour l'équation de diffusion de la chaleur avec un coefficient de diffusion aléatoire IC, 0 dénotant le produit de Wick, CT (t) = "Vit(t) le tenseur gradient du champ des vitesses à l'instant t pour le problème de Stokes instationnaire, ces inconnues supplémentaires ayant un sens physique et une importance particulière pour plus d'une application. n est donc important de disposer d'une méthode numérique donnant aussi de bonnes approximations de ces quantités. Nous montrons que ces diverses quantités appartiennent à des espaces de Sobolev ou à des espaces de Sobolev stochastiques de fonctions dépendant du temps, à poids appropriés en espace prenant en compte les singularités de la solution apparaissant au voisinage des sommets non-convexes. Nous décrivons ensuite des conditions de raffinement de tnalllage près des so=ets qui permettent d'obtenir une estimée d'erreur a. priori optimale en espace entre une solution de l'équation d'évolution et son approximation semi-discrète ou complètement discrétisée.

Mots-clés: MEF duale mixte, Espaces de Sobolev, Estimations d'erreur à priori, Equation de diffusion de la chaleur, Coefficient de diffusion aléatoire, Problème de Stokes insta.tionnaire, Espaces de Sobolev stochastiques, EDPS.

Abstract

This work intends tc estab!ish a priori error estimates"for the approximate solutions of evolution equations obtained by the dual mixed method of finite elements in the spatial directions for tbree types of problems : the first one concerns the Cauchy problem for the hea.t diffusion equation; the second is the non-stationary Stokes problem and the la.st one concerna the Cauchy problem for the heat diffusion equation with a random diffusion coefficient. For these three types of problems, there is a certain number of reasons for prefering the dual mixed method in the spatial directions to a classical method in the spatial directions. Among these reasons, the funda.mental property is the local conservation, th.us a global one, of certain physical qua.ntities (the quantity of movement, the mass, the quantity of hea.t can be mentioned). Another well-known reason for adopting the dual mixed method in the spatial directions is the fact tha.t this method allows us to introduce new variables : p(t) = Vu(t) the hea.t flow a.t time t for the heat diffusion equation, p(t) = JCOVu(t) the heat flux a.t time t for the hea.t diffusion equation with random diffusion coefficient IC, or r;; (t) = "Vit(t) the gradient tensor of the velocity field at time t for the non-sta.tionary Stokes problem, these additional unknowns having a physical sense of particular importance for more than one application. It is thus important to dispose of a numerical method which gives good a.pproxi.Ina.tions of these quantities. These physical quantities will be shown to belong to Sobolev or Stochast!c Sobolev spaces of functions depending of the time variable, with appropriate weights in the spatial directions taking into account the singula.rities of the solutions appearing in the neighbourhood of the non-convex vertices of the physical domain. Appropriate refinement coaditions near the reentrant corners which allow obtaining optim;ù a-priori error estima. tes in the spatial directions between a solution of the evolution equation and the corresponding solutions of the semi-discretized or completely dicretized problems will be described.

Keywords: Dual mixed FEM, Sobolev spaces, a priori error estimatioa, Heat diffusion equation, Non-Sta.tiona.ry Stokes problem, Random diffusion coefficient, Stochastic Sobolev spaces, EDPS. ·

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méthode d'éléments finis mixtes application aux équations

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