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Picchione Serge 2016-2017 / AM_OS

ÉQUATIONS POLAIRE

DES CONIQUES Table des matières

3.1 Coordonnées polaires d’un point du plan 1

3.2 Équation polaire d’une courbe dans le plan 2

3.3 Transformation : polaire -> paramétrique 5

3.4 Équations polaires des coniques 8

3.5 Les lois sur le mouvement des planètes 15

3.6 Projet « Mars Network » 18

3.7 Corrections des exercices 29

Picchione Serge 2016-2017 / AM_OS

P.S. / 2016-2017 1 Équations polaires des coniques / AM_OS

3 Équations polaires des coniques 3.1 Coordonnées polaires d'un point du plan Soit ( ; )P x y un point du plan en coordonnées cartésiennes, alors on peut également écrire ce point P en coordonnées polaires ,r avec 0r et 0 2 : Relation entre les coordonnées cartésiennes et polaires

x r cos( ) y r sin( ) 2 2 yx y r arctan oux

Exemples

a) 2 2Si r 2 et alors x 2 cos 2 2 et y 2 sin 2 24 4 2 4 2

b) 2 2 2Si x 2 et y 2 alors 2 2 2 r et arctan 42

2 5arctan4 42

c) 22 3Si x 1 et y 3 alors 1 3 2 r et arctan 1 3

3 2arctan1 3 3

Démonstration

2 2 2 2 2

xcos( ) x r cos( )rysin( ) y r sin( ) Trigo. dans le triangle rectangle.ry ytan( ) arctan ou x x

x y r x y r Thm.de Pythagore.

r

0

y

x

P


3.2 Équation polaire d'une courbe dans le plan Définition Une équation polaire est une équation en r et de la forme r = r() (r est fonction de ). L’angle est défini en radian et pas en degré. Exemples

a) La spirale d’Archimède est définie par l’équation polaire :

r( ) a *avec a et 0 Activité

1) Compléter le tableau des valeurs et tracer la courbe définie par

l’équation polaire 1r 2

pour 0;4 dans le repère cartésien orthonormé.

2) Tracer le graphique de la fonction 1r 2

dans le repère suivant :

en radian

r() en cm

(1) 0

(2) 4

(3) 2

(4) 34

(5)

(6) 54

(7) 32

(8) 74

(9) 2

(10) 24

(11) 22

(12) 324

(13) 2

(14) 524

(15) 322

(16) 724

(17) 2 2

0

0

y

x

r

0


Remarque La distance r entre l’origine O et un point P appartenant à la spirale d Archimède

est proportionnelle à l’angle entre le segment [OP] et l’axe horizontal. ra

b) La spirale logarithmique est définie par l’équation polaire :

br( ) a e * *avec a , b et 0 e lenombred ' Euler.

Autrement dit : La distance r entre l’origine O et un point P appartenant à la spirale croit de manière exponentielle.

Graphique de la fonction 0,2r( ) 1,25 e :

r

a = 1.25

b = 0.2


c) La rose de Grandi est définie par l’équation polaire :

r( ) a sin( b ) * *avec a , b et 0 Graphique de la fonction r( ) 4 sin( 2 ) :

d) Pour d’autres exemples voir la table C.R.M. ou Internet.

r

a = 4 b = 2


3.3 Transformation : Équation polaire Équations paramétriques A partir de l’équation polaire d’une courbe r r ( l'angle polaire) on peut obtenir les équations paramétriques x x et y y ( le paramètre) en posant :

x( ) r( ) cos( )y( ) r( ) sin( )

le paramètre

Explication On utilise la trigonométrie dans le triangle rectangle .

x( )cos( ) x( ) r( ) cos( )r( )

ety( )sin( ) y( ) r( ) sin( )r( )

Remarque

La transformation ci-dessus est possible si et seulement si le paramètre correspond à l'angle polaire . Exemple

A partir de l’équation polaire de la spirale d'archimède : 1r 2

,

on obtient les équations paramétriques en posant :

1x( ) cos( )21y( ) sin( )2

le paramètre

r()

0

y()

x()

P


Exercice 1

Calculer les coordonnées polaires et cartésiennes des sommets i iH et N . Réponse en valeur exacte.

Exercice 2 1) Représenter graphiquement, à l’aide de GeoGebra, les courbes suivantes en utilisant des équations polaires et paramétriques. a) la spirale d’Archimède avec comme valeur pour le paramètre : a 3 ; 0;6

b) la spirale logarithmique avec comme valeur pour les paramètres : a 2 ; b 0.15 ; 0;4

c) la rose de Grandi avec comme valeur pour les paramètres : a 4 ; b 5 ; 0;2

d) la courbe d’équation polaire r ( 0) avec comme valeur pour les paramètres 0;6

e) la Cardioïde avec comme valeur pour les paramètres : a 8 ; 0;2

2)

a) Considérons 2 points de la spirale d’Archimède du point 1a) définis par r et r 2 et 2.

i) Quelle est la distance entre ces 2 points ? (distance entre 2 spires consécutives).

ii) La distance entre ces 2 points dépend-t- elle de l’angle pour 2 ? b) Considérons la spirale logarithmique du point 1b). A quelle famille du règne animal vous fait penser cette courbe ? c) Considérons la rose de Grandi du point 1c). i) Que représente géométriquement la valeur a = 4 et b = 5 ? ii) Que peut on alors conclure si a = 4 et b = 6 ? iii) Proposer avec GeoGebra une animation tel que le paramètre d’animation est b. d) A quoi ressemble la courbe du point 1d) ? e) Considérons la Cardioïde du point 1e). Que représente géométriquement la valeur a = 8 et 2a = 16 ?

H1 H2

H3 H4

0

Carré de côté 10.

N1

N2 N3

N4

N5 N6

0

Hexagone régulier de côté 7.


Exercice 3

Proposer un « traceur de courbes » avec des équations polaires comme ci-dessous. On prendra comme cas particulier la courbe : « Rose de Grandi ».

r a sin( b ) x( ) r( ) cos( ) 0;ny( ) r( ) sin( )

Les paramètres d’animations sont : a , b et n.


3.4 Équations polaires des coniques Le théorème suivant combine les définitions de la parabole, de l’ellipse et de l’hyperbole dans une description unifiée des sections coniques. La constante e dans l’énoncé du théorème est l’excentricité de la conique. Le point F est un foyer de la conique, et la droite d est une directrice . Théorème des équations polaires des coniques

1) Une équation polaire qui a une des quatre formes suivantes est une section conique (parabole, ellipse, hyperbole) et un des foyers est situé à l’origine du système d’axe.

der ( )

1 e cos( )

der ( )

1 e cos( )

der ( )

1 e sin( )

der ( )

1 e sin( )

2) La conique est :

une parabole si e = 1

une ellipse si 0 < e < 1 e est l’excentricité de la conique

une hyperbole si e > 1

-15 -10 -5 5 10 15

-10

-5

5

10

-15 -10 -5 5 10 15

-10

-5

5

10

-10 -5 5 10

-15

-10

-5

5

10

15

-10 -5 5 10

-15

-10

-5

5

10

15


Exemple

6r

1 2 cos

avec d = 3 et e = 2 est l’équation polaire d’une hyperbole avec un des

foyers situé à l’origine du système d’axe car de la forme : der

1 e cos

avec e 1 .

(voir théorème des équations polaires coniques).

Transformons l’équation polaire en une équation cartésienne :

2 2

22 2

2 2 2

2 2

22

2 2

2 2

2 2 2 2

22 2 2

6r1 2 cos

r 1 2 cos 6

r 2r cos 6

r 6 2r cos

x y 6 2x

x y 6 2x

x y 36 24x 4x

3x 24x y 36

3 x 8x 16 y 0 36 48

3 x 4 y 0 12

x 4 y 01

4 12

x 4 y 0 x h y k1 De la forme: 1

2 a b12

Donc :

2 2h 4 ; k 0 ; a 2 ; b 12 ; c a b 4 Avec :

Centre : C h;k 4;0

Foyers : F( h c;k ) 0;0 F '( h c;k ) 8;0

Sommets : S( h a;k ) 2;0 S'( h a;k ) 6;0

Rappel : Transformation coordonnées polaires coordonnées cartésiennes

2 2 1

x r cos y r sin

yr x y tan oux


Pour représenter l ' hyperbole il suffit d ' évaluer pour 0;2 / / 3 ;5 / 36r θ =

1 2 cos θ

1 2/ 3 et 5 / 3 sont solutions del 'équa. 1 2 cos( ) 0 (divisionpar zéro)

et représentent lesdirectionsdes 2 asymptotesobliquesdel ' hyperbole.

L’ensemble 50 ;2 \ ;3 3

est le domaine de définition de l’équation polaire.

Les équations paramétriques sont :

x( ) r( ) cos( )y( ) r( ) sin( )

50 ;2 \ ;3 3

le paramètre

Avec GeoGebra :

r r x( ) r( ) cos( )y( ) r( ) sin( )


Démonstration

Montrons que der( )1 e cos( )

avec 0 < e < 1 est l’équation polaire d’une ellipse de foyer

F 0;0 .

Idée : Transformer l’équation polaire der( )1 e cos( )

en une équation cartésienne et vérifier

que l’équation obtenue est de la forme : 2 2

2 2

x h y k1 avec a b

a b

Rappel : Transformation coordonnées polaires coordonnées cartésiennes

2 2 1 yx r cos y r sin r x y tan oux

2 2

22 2

2 2 2 2 2 2 2

der( ) ( Equation polaireexplicite )1 e cos( )

r 1 e cos( ) de

r de e r cos( ) ( Tranformation coord. polaire coord. cartésienne )

x y de e x

x y de e x

x y d e 2de x +e x

2 2 2 2 2 22

2 2 2 2 2 42

22 2 2 2

2 2 4 2 2 2 2 42

2 22 2 22 2

1x 1 e 2de x + y d e ( On multiplie par )1 e

2de x y d e d ex - + ( On complète lecarrée en add . )1 e 1 e 1 e 1 e

2de x d e y d e d ex - +1 e 1 e 1 e1 e 1 e

2 2 2 2 2 42 2 2 2 2 2

2 2 22 2 2 2 2

22

2 2 22

2 2 2 2 2 2

2 22

d e 1 e d ede y d e d ex - ( On divise par )1 e 1 e 1 e 1 e 1 e

dex -1 e x h y ky 1 De la forme: 1 avec a b

d e d e a b1 e1 e


Par conséquent, la représentation graphique est une ellipse centrée au point h ;0 .

2 2 2 2 2

2 222 22

de d e d eAvec : h 0 ; k 0 ; a 0 ; b 01 e 1 e1 e

Translation vers la droite

Remarque: 2Ona 0 e 1 donc 1 e 0

De plus :

2 2 2 2 2 4 22 2 2

2 22 22 2

d e d e d e dec a b c1 e 1 e1 e 1 e

Foyer : F h c;k 0;0

On retrouve alors que : cea

et h c . (F est bien un foyer de l’ellipse).

Remarque : On peut faire une démonstration similaire pour montrer que l’on obtient une parabole (section conique) si e = 1 . (voir exercice 7) On peut faire une démonstration similaire pour montrer que l’on obtient une hyperbole (section conique) si e > 1 . (voir exercice 7)


Exercice 4

Considérons les 3 coniques définies par leurs équations polaires :

a) 4r( )1 cos( )

b) 1.8r( )1 0.9 cos( )

c) 9r( )1 1.5 cos( )

1) Calculer l’excentricité et classifier la conique. 2) Déterminer le domaine de définition de la conique. Que représentent, si elles existent, les valeurs de exclues de l'intervalle 0;2 . 3) Transformer l’équation polaire de chaque conique en équation cartésienne. 4) À l’aide de l’équation cartésienne obtenue au point précédant, déterminer les coordonnées cartésiennes du centre C , des foyers Fi et des sommets Si de chaque conique.

5) Représenter à l’aide de GeoGebra, les 3 coniques dans un même repère cartésien ainsi que le centre C , les foyers Fi et les sommets Si de chaque conique.

Indication : Utiliser des équations polaires et paramétriques. Exercice 5 Modifier le « traceur de courbe » de l’exercice 3 afin de tracer toutes les coniques d’équation

polaire : der ( )1 e cos( )

.

der ( )1 e cos( )

x( ) r( ) cos( ) 0;ny( ) r( ) sin( )

Les paramètres d’animations sont : d , e et n.


Exercice 6

Considérons les 3 coniques définies par leurs équations polaires :

a) 10r( )3 2 cos( )

b) 10r( )2 3 cos( )

c) 15r( )4 4 cos( )

1) Calculer l’excentricité et classifier la conique. 2) Déterminer le domaine de définition de la conique.

Que représentent, si elles existent, les valeurs de exclues de l'intervalle 0 ;2 .

3) Sans transformer l’équation polaire de la conique en équation cartésienne, déterminer les coordonnées cartésiennes du centre C , des foyers Fi et des sommets Si de chaque conique.

4) Déterminer les 2 types d’équations paramétriques permettant de décrire la conique. 5) Représenter, à l’aide de GeoGebra, les 3 coniques dans un même repère cartésien ainsi que le centre C , les foyers Fi et les sommets Si de chaque conique.

Indication : Utiliser des équations polaires et paramétriques. Exercice 7

a) Démontrer que der( )1 e cos( )

avec e = 1 est l’équation polaire d’une parabole de

foyer F 0;0 .

b) Démontrer que der( )1 e cos( )

avec e > 1 est l’équation polaire d’une hyperbole de

foyer F 0;0 . Indication : transformer l’équation polaire de en une équation cartésienne.


t1

t1+t t0 t0+t

A A

3.5 Les lois sur le mouvement des planètes Le système solaire est constitué d'un ensemble de planètes qui tournent autour du Soleil, dans le même sens, sensiblement dans un même plan, mais à des distances très diverses. Le dessin ci-contre donne une vision schématique (et fausse!) du système solaire. Le célèbre astronome Johannes Kepler ( Allemagne, 1571-1630 ) étudia et confirma l'héliocentrisme avancé par Copernic, s'opposant au géocentrisme de Ptolémée. Poursuivi tant pour ses idées que pour sa religion (protestante), il se réfugie (1600) à Prague où il poursuit ses recherches.

Il étudie à Prague les nombreuses observations de son maître, l'astronome danois Tycho Brahé (1546-1601, à droite), relatives à la trajectoire de la planète Mars, pour laquelle il remarque une excentricité, considérée comme une anomalie dans la mesure où l'on croyait jusqu'alors à des trajectoires circulaires.

Kepler découvre alors les célèbres lois sur le mouvement des planètes (Astronomia Nova, 1609-1619) :

1) La première de ces lois exprime que les planètes (P) décrivent une trajectoire elliptique dont un des foyers est le soleil (S). 2) La seconde : le rayon vecteur joignant S à P, balaie des aires A proportionnelles

au temps t employé pour la décrire. A k avec k une constantet

.

En particulier, en des temps de parcours égaux, la planète (P) balaie une portion d’ellipse identique en surface. Cela signifie qu’elle va plus vite au voisinage du Soleil et qu’elle ralentit en s'en éloignant . Sa vitesse est donc maximale à la périhélie et minimale à l'aphélie. Le périhélie perr et l’aphélie aphr sont définis comme les distances minimales et maximales, respectivement, de la planète au Soleil . 3) La troisième : le carré de la période de révolution sidérale T [s] d'une planète est proportionnel au cube du demi-grand axe a [m] de sa trajectoire elliptique.

11 3 1 2

30S

G 6.6726 10 [m Kg s ] constantedegravitation.et

M 1.99 10 [Kg] masseduSoleil.

2 2

3S

T 4 π=a G M


Soleil

y

x 0

rper

r()

Comète

Notons que l'explication donnée par Kepler de cette théorie elliptique n'est pas gravitationnelle (ce sera le fait de Newton) mais magnétique : le Soleil provoquerait une sorte de tourbillon magnétique forçant les planètes à tourner autour de lui et ces dernières exerceraient également sur le Soleil une attraction ou une répulsion (à la façon d'un aimant) suivant le pôle qu'elles lui présentent. Modèles Mathématiques

De nos jours, on peut démontrer mathématiquement en utilisant les lois du mouvement de Newton et les propriétés de conservation de l’énergie mécanique E et du moment cinétique L

au cour du temps, que la trajectoire d’un point (planète) située dans un champ de force centrale (gravitation) d’un centre attracteur (Soleil) est une conique (parabole, ellipse et hyperbole). On peut penser à d’autres problèmes à 2 corps comme : une comète et une étoile. un satellite et une planète.

Exercice 8

Montrer que la trajectoire d’une comète située dans le champ de gravitation du Soleil peut-être décrite par l’équation polaire : ( perr = le périhélie)

perr 1 er( )1 e cos( )

Exercice 9

Montrer que la trajectoire d’une comète située dans le champ de gravitation du Soleil peut-être décrite par l’équation polaire : (a = demi-grand axe de l’ellipse)

2a 1- er( )

1- e cos( )

(pour une trajectoire elliptique ) Exercice 10

Exprimer l’aphélie aphr en fonction du périhélie perr et de l’excentricité e. (pour une trajectoire elliptique)


Exercice 11 L’anglais Edmund Halley ( 1656-1742 ) étudia la comète de 1682 ainsi que les précédentes ; il constata en regroupant les travaux des anciens astronomes qu’une comète avait été observée dans la même zone du ciel en 1456, 1531 et 1607. Il en conclut qu’il devait s’agir de la même comète qui revenait environ tous le 75 ans. Cette proposition était alors révolutionnaire . Il justifia par ailleurs que sa rare visibilité devait être la conséquence d’une orbite très elliptique. Il annonça donc que cette comète réapparaîtrait en 1758, cela fut vérifié mais il était alors décédé. En hommage à ses travaux, on attribua le nom de Halley à la célèbre comète.

Comète de Halley

Considérons les trois comètes situées dans le champ de gravitation du Soleil : Comète de Halley : perr 0,5871 [UA] e 0,9673

Comète 1959 III : perr 1,251 [UA] e 1,003

Comète 1973.99 : perr 0,142 [UA] e 1,000 avec 1 [UA] 148'800'000 [km] (distance moyenne entre la Terre et le Soleil ) Pour chaque comète, déterminer : (réponse en [UA]) a) Le type de trajectoire. b) Les équations paramétriques décrivant la trajectoire. Remarque : Dans les 3 cas, l’origine du système d’axe doit correspondre au centre de gravité du Soleil qui est un foyer de la conique. c) L’aphélie aphr et la longueur du demi-grand axe a (pour une trajectoire elliptique). Les asymptotes obliques (pour une trajectoire hyperbolique). d) A l’aide des équations paramétriques déterminées ci-dessus représenter les trois comètes et le Soleil dans un même repère en utilisant GeoGebra. e) A l’aide de la 3 ème loi de Kepler, déterminer la période de révolution de la comète de Halley autour du Soleil en année/mois et en déduire le prochain passage au périhélie sachant que le précédent s’est produit en février 1986 .


3.6 Projet « Mars Network » Introduction

Le projet appelé « Mars Network », actuellement au stade d'étude conceptuelle, comprend la mise en place d'un réseau de satellites autour de Mars conçu pour servir de relais aux futures missions de reconnaissance globale, aux missions de retour d'échantillons, aux postes avancés robotiques et aux futures missions habitées. Ce projet pourrait devenir un élément du programme « Mars Surveyor » de la NASA. Le réseau permettrait : De développer les

capacités de communication par un accroissement substantiel des débits de transfert des données vers la Terre.

De développer les

capacités de navigation sur Mars en améliorant la précision de la localisation pour l'approche, l'atterrissage et le déplacement à la surface de la planète.

L'architecture à l'étude prévoit une constellation de micro-satellites appelés Microsat et un ou plusieurs gros satellites relais en orbite géostationnaire appelés MARSat. Définition

Une orbite géostationnaire est une orbite telle que le satellite reste toujours à la verticale du même point de la surface de la planète. Si l’orbite du satellite est géostationnaire alors la période de révolution sidérale du satellite est égale à la période de rotation sidérale de la planète et la trajectoire est forcément circulaire et comprise dans le plan de l’équateur.


Description des satellites

Les Microsats serviront à la fois, d'aide à la navigation, et de relais de communication avec la Terre, aux systèmes d'exploration au sol (atterrisseurs, astromobiles, ballons, avions etc.…). Pour tenir dans le faible volume disponible sur Ariane 5, ces satellites seront, comme leur nom l'indique, très petits. Les dimensions seront d'environ 2506080 cm, et la masse, carburant inclus, sera d'environ 220 kg.

Les satellites appelés MARSat, ressembleront aux satellites de communication à très haut débit actuellement en orbite autour de la Terre.

Leur orbite sera aréostationnaire (orbite géostationnaire martienne) et permettra un contact permanent avec les éléments d'exploration au sol ( le satellite restera toujours à la verticale du même point de la surface de Mars ).

En utilisant une parabole à grand gain orientable ainsi que plusieurs petites antennes fixes, le taux de transfert pourrait atteindre 1 mégabit par seconde et donc permettre la transmission de vidéo en continu.

Ce taux de transfert combiné à une transmission continue des données permettra de décupler le volume d'informations recueillies par rapport aux Microsats seuls.

Pour atteindre l'orbite aréostationnaire il faut une grande quantité de carburant, ce qui rendra les MARSats assez volumineux et lourds. La masse des MARSats est estimée entre 800 et 1000 kg.

Pour les 2 types de satellites, le protocole de communication avec les éléments d'exploration au sol sera similaire à celui utilisé pour les communications Internet sur Terre.


Étude de la trajectoire des satellites La trajectoire d’un satellite dans le champ de gravitation de Mars est une conique, contenue dans le plan défini par 0 0v et r

(vecteur vitesse et position lors du lancement

du satellite). Les paramètres suivants influencent la trajectoire du satellite :

11 3 1 2

23M

6

G 6.6726 10 [m Kg s ] constante de gravitation .M 6.3986 10 [Kg] masse de Mars.R 3.3885 10 [m] rayon moyen de Mars.

00

h = altitude du satelilte lors du lancement [m]conditions intiales

v = vitesse du satellite lors du lancement [m/s]

On peut montrer que la trajectoire n’est pas influencée par : m la masse du satellite [Kg]

0 0 0 0

0 0

r h R v v

On supposera que lors du lancement

dessatellites r v .

On a les relations physiques suivantes :

0 0 0

0 0

20 0

0E.cinétique E.potentielle

L (h R) m v cte au cours du temps

(Moment cinétique lors du lancemnent du satellite) relation vérifiée si r v

1 G M mE m v cte au cours du temps2 (h R)

( Energie mécanique tota

20 0

2 2 3

2 2

3M

le lors du lancement du satellite)

2 E Le 1 ( Exentricité de la conique )G M m

T 4 Le carré de la période de révolution sidérale T [s] d'un satellite est a G M

proportionnel au cube du demi-grand axe a

[m] de sa trajectoire elliptique. ( 3ème loi de Kepler appliquée au problème à 2 corps: satellite planète )

m M

R


Résumons les trajectoires possibles prises par un satellite en augmentant progressivement la vitesse v0 : (h0 et m fixé)

Forme de la trajectoire Equation polaire de la

trajectoire et excentricité

Vitesse du satellite lors du lancement Vo [m/s]

Energie mécanique

totale Eo [J]

Rectiligne ( chute libre ) 0

0E 0

0( h R)(1 e)r( )1 e cos( )

elliptique : 0 e 1

0

0L

0

hG M 12 R h

vh R

0r( ) ( h R)

circulaire : e 0

C

0

G Mvh R

elliptique : 0 e 1

0( h R)(1 e)r( )1 e cos( )

parabolique : e 1

hyperbolique : e 1

P0

2 G Mvh R

0E 0

0E 0


Activité 1 Expliquer pourquoi la trajectoire du satellite située dans le champ de gravitation de Mars peut-être décrite par l’équation polaire : Remarque : Dans les 3 cas, l’origine du système d’axe correspond au centre de gravité de Mars qui est un foyer de la conique.

a) 0( h R ) ( 1 e)r ( )1 e cos( )

si un des foyer est situé entre le satellite et le centre de gravité de mars

b) 0r( ) h R si les foyers sont confondus au centre de gravité de Mars.


c) 0( h R ) ( 1 e)r ( )1 e cos( )

si il n’y a pas de foyers situés entre le satellite et le centre de gravité de Mars.


Activité 2 À l’aide des relations physiques démontrer que :

Si le satellite a une trajectoire parabolique alors sa vitesse lors du lancement est : p0

2 G Mvh R

.

Remarque :

Si le satellite à une vitesse p0

2 G Mvh R

il aura alors une trajectoire elliptique

et si p0

2 G Mvh R

il aura une trajectoire hyperbolique.


Activité 3 a) À l’aide des relations physiques démontrer que :

2

0 0h R ve 1G M

(l’exentricité e en fonction de la vitesse initiale v0 )


b) La trajectoire du satellite dépend-elle de sa masse m ? Justifier.


Activité 4 A l’aide de GeoGebra, représenter dans un repère orthonormé : - la planète Mars (cercle de rayon R). - le satellite. - les trajectoires du satellite dans le champ de gravitation de Mars (coniques). Pour cela, créer une animation en faisant varier v0 (vitesse du satellite lors du lancement). v0 doit pouvoir prendre des valeurs permettant d’afficher la trajectoire elliptique, parabolique et hyperbolique du satellite (en bleu) . Afficher la trajectoire du satellite pour les vitesses vL , vC et vP (en rouge) .

Indications /contraintes :

Utiliser des équations polaires et paramétriques.

Utiliser les résultats des exercices précédents ainsi que la commande SI (conditionnelle).

L’origine du système d’axe doit toujours correspondre au centre de gravité de Mars qui est un foyer de la conique.

Les constantes de l'animation sont :

11 3 1 2G 6.6726 10 [ m Kg s ] constante de gravitation

0

0L

0

hG M 12 R h

v [ m / s ]h R

70h 10 [ m ] altitude de lancement du satellite C

0

G Mv [ m / s ]h R

23MM 6.3986 10 [ Kg ] masse de Mars P

0

2 G Mv [ m / s ]h R

m 220 [ Kg ] masse d’un Microsat 6R 3.3885 10 [ m ] rayon moyen de Mars


Relations utilisées pour l’animation : a) Excentricité : b) Équations polaires : c) Équations paramétriques : d) Conditionnelles :

________________________________________________________________________________________________ P.S. / 2016-2017 29 Corrections Coniques polaires / AM_OS

H1 H2

H3 H4

0

5

5

– 5

– 5

3.7 Corrections des exercices

Équations polaires des coniques Correction Exercice 1 Rappel :

ysin( ) y r sin( )r Trigo.xcos( ) x r cos( )r

2 2 2 2 2x y r r x y Pythagore

1y ytan( ) tanx x

(aussi : 180 )

Coord cartésiennes : Coord polaires :

1 1x 1 yH H ;H avec 1x1 y

H 5H 5

2 2r 5 5 5 2

4

2 2 x 2 yH H ;H avec 2 x2 y

H 5H 5

r 5 2

34

3 3 x 3 yH H ;H avec 3x3 y

H 5H 5

r 5 2

54

4 4 x 4 yH H ;H avec 4 x4 y

H 5H 5

r 5 2

74

y

x

r

P

0


N1

N2 N3

N4

N5 N6

0

7 h60°

7 a = 8

Coord cartésiennes : Coord polaires :

3h 72

(hauteur du triangle équilatéral de côté 7)

1 1x 1 yN N ; N avec 1x1 y

N 7N 0

r 7

0

2 2 x 2 yN N ;N avec 2x

2 y

1N 72

3N 72

r 7

3

3 3 x 3 yN N ;N avec 3x

3 y

1N 723N 7

2

r 7

23

4 4 x 4 yN N ;N avec 4 x4 y

N 7N 0

r 7

5 5 x 5 yN N ;N avec 5 x

5 y

1N 72

3N 72

r 7

43

6 6 x 6 yN N ;N avec 6 x

6 y

1N 72

3N 72

r 7

53


Correction Exercice 2 2a) i) r 2 r 3 2 3 3 2 6

ii) Non, car le paramètre s’annule.

2b) Famille des mollusques : Coquillages.

60 40 20 20 40 60x

60

40

20

20

40

60y

15 10 5 5 10 15x

15

10

5

5

10

15y


2c) i) a = 4 est la longueur d’une pétale. b = 5 est le nombre de pétales.

ii) a = 4 est la longueur d’une pétale.

b = 6 n’est pas le nombre de pétales mais 2b = 12 oui !

iii) Voir fichier GeoGebra. Paramètre d’animation : b

4 2 2 4x

4

2

2

4

y

4 2 2 4x

4

2

2

4

y


20 10 10 20x

20

10

10

20y

2a = 16

a = 8

2d) C’est une spirale d’Archimède qui s’enroule dans le sens contraire des aiguilles d’une montre.

2e)

r( 0 ) 8( 1 cos( 0 )) 16

r( / 2 ) 8( 1 cos( / 2 )) 8

20 10 10 20x

20

10

10

20y


Correction Exercice 4

der( )1 e cos( )

a) 4 4 1r( )1 cos( ) 1 1 cos( )

d=4 et e=1

1) e 1 donc c’est une parabole.

2) 1 cos( ) 0 cos 1 0 donc Dom 0,2 3) Transformons l’équation polaire de la conique en une équation cartésienne :

2 2

22 2

2 2 2

2

2

2

2 2

4r1 cos( )

r 1 cos 4

r r cos 4

r 4 r cos

x y 4 x

x y 4 x

x y 16 8x x

y 16 8x

y 8x 16

y 0 8 x 2

y 0 4 2 x 2 De la forme: y k 4 p x h

4) Donc : h 2 ; k 0 ; p 2 Avec :

Sommet : S h;k 2;0

Foyers : F( h p;k ) 0;0


b) 1.8 2 0.9r( )1 0.9 cos( ) 1 0.9 cos( )

d=2 et e=0.9

1) e 0,9 donc c’est une ellipse. 2) 1 0.9 cos( ) 0 cos 1.1 pas de solution donc Dom 0;2 3) Transformons l’équation polaire de la conique en une équation cartésienne :

2 2

22 2

2 2 2

2 2

22

2 2

1.8r1 0,9 cos

r 1 0,9 cos 1,8

r 0,9 r cos 1,8

r 1,8 0,9 r cos

x y 1,8 0,9x

x y 1,8 0,9x

x y 3,24 3,24x 0,81x

0,19x 3,24x y 3,24

0,19 x 17 x 72,25 y 0 3,24 13,73

0,19 x 8,5 y 0 17

x 8,59

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

y 01

0 17

x 8,5 y 0 x h y k1 De la forme: 1

9,5 4,1 a b

4) Donc :

2 2h 8,5 ; k 0 ; a 9,5 ; b 4,1 ; c a b 8,5 Avec :

Centre : C h;k 8,5;0

Foyers : F( h c;k ) 17;0 F '( h c;k ) 0;0

Sommets : S( h a;k ) 18;0 S'( h a;k ) 1;0


c) 9 6 1.5r( )1 1.5 cos( ) 1 1.5 cos( )

1) e 1,5 donc c’est une hyperbole.

2) 21 1.5 cos( ) 0 cos 0,843

donc Dom 0;2 \ 0,84;0,84

3) Transformons l’équation polaire de la conique en une équation cartésienne :

2 2

22 2

22 2

2 2 2

2 2

22

2 2

9r 31 cos2

3r 1 cos 92

3r r cos 92

2r 18 3r cos

2 x y 18 3x

4 x y 18 3x

4 x y 18 3x

4x 4 y 324 108x 9x

5x 108x 4 y 324

5 x 21,6 x 116,64 4 y 0 324 583.2

5 x 10,8 4 y 0 259.2

x 10,8

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

y 01

51.84 64.8

x 10,8 y 0 x h y k1 De la forme: 1

7.2 8 a b

4) Donc :

2 2h 10,8 ; k 0 ; a 7,2 ; b 8 ; c a b 10.8 Avec :

Centre : C h;k 10,8;0

Foyers : F( h c;k ) 0;0 F '( h c;k ) 21.6;0

Sommets : S( h a;k ) 3.6;0 S'( h a;k ) 18;0



a)

1)

1010 10 23r( ) e 1223 2 cos( ) 31 cos( )3 1 cos( )

33

c’est une ellipse.

2) 33 2 cos( ) cos pas de solution2

Dom 0,2

3) Coordonnées polaires des extrémités du grand axe : r( 0 ) 10 ; r( ) 2

Coordonnées cartésiennes des extrémités du grand axe : S 10;0 ; S ' 2;0

d S ,S ' 2a 12 a 6

Coordonnées cartésiennes du centre de l’ellipse : 10 2 4 donc C( 4;0 )2

Coordonnées cartésiennes des foyers : F( 0;0 ), F '( 8;0 )

4)

10x( ) cos3 2 cos( )

0;210y( ) sin

3 2 cos( )

ou x( t ) 6 cos( t ) 4

t 0;2y( t ) 20 sin( t ) 0

.


b)

1)

10 5 3r( ) e 132 3 cos( ) 21 cos2

c’est une hyperbole.

2) 2 22 3 cos( ) 0 cos( ) arccos3 3

2Dom 0;2 \ arccos3

3) Coordonnées polaires des extrémités de l’axe transverse : r( 0 ) 10 ; r( ) 2

Coordonnées cartésiennes des extrémités de l’axe transverse: S( 10;0 ) , S'( 2;0 )

d S ,S ' 2a 8 a 4

Coordonnées cartésiennes du centre de l’hyperbole : 10 2 6 donc C( 6;0 )2

Coordonnées cartésiennes des foyers : F( 0;0 ) , F '( 12;0 )

4)

10x( ) cos2 3 cos( ) 20;2 \ arccos

10 sin 3y( ) sin

2 3 cos( )

ou x( t ) 4 cosh( t ) 6

ty( t ) 20 sinh( t ) 0


c)

1)

1515 4r( ) e 1

4 4 cos( ) 1 1 cos

c’est une parabole.

2) 4 4 cos( ) 0 cos( ) 1 0 Dom 0;2

3) Coordonnées polaires du sommet de la parabole : 15r( )

8

Coordonnées cartésiennes du sommet de la parabole : 15S ;08

Remarque : 15p d S;F8

Coordonnées du foyer : F( 0;0 )

4)

15x( ) cos4 4 cos( )

0;215y( ) sin

4 4 cos( )

ou 22 15x( t ) t

t15 8y( t ) t



a) Démontrer que der( )1 e cos( )

avec e = 1 est l’équation polaire d’une parabole de

foyer F 0;0 .



que l’équation obtenue est de la forme : 2y k 4 p x h

Rappel : 2 2 1 yx r cos y r sin r x y tan oux

2 2

22 2

2 2 2 2

2 2

2 2

der1 e cos( )

dr avec e 11 cos( )

r 1 cos( ) d

r d r cos( )

x y d x

x y d x

x y d 2dx x

y 2dx d

dy 0 2d x De la forme: y k 4 p x h2

Par conséquent, la représentation graphique est une parabole .

d dAvec : h 0 ; k 0 ; p 02 2

Translation vers la gauche

Foyer : F p h;k 0;0


b) Démontrons que der( )1 e cos( )

avec e > 1 est l’équation polaire d’une hyperbole

de foyer F 0;0 .



que l’équation obtenue est de la forme : 2 2

2 2

x h y k1

a b

Rappel : 2 2 1 yx r cos y r sin r x y tan oux

2 2

22 2

2 2 2 2 2 2 2

der1 e cos( )

r 1 e cos( ) der de e r cos( )

x y de e x

x y de e x

x y d e 2de x + e x

2 2 2 2 2 22

2 2 2 2 2 42

22 2 2 2

2 2 4 2 2 2 2 42

2 22 2 22 2

1x 1 e 2de x + y d e ( On multiplie par )1 e

2de x y d e d ex + ( On complète lecarréeen add . )1 e 1 e 1 e 1 e

2de x d e y d e d ex +1 e 1 e 1 e1 e 1 e

22 2 2 2 2 2

2 22 2 2 2

22

2 2

2 2 2 2

2 22

de y d e d ex ( On divise par )1 e 1 e 1 e 1 e

dex1 e y 1

d e d e1 e1 e

Remarque : Si 2e > 1 1 e 0 et 2e 1 0 Ecrivons : 2 21 e e 1

22

2 2 22

2 2 2 2 2 2

2 22

dexe 1 x h y ky 1 De la forme: 1

d e d e a be 1e 1


Par conséquent, la représentation graphique est une hyperbole centrée au point h;0 .

2 2 2 2 2

2 222 22

de d e d eAvec : h 0 ; k 0 ; a 0 ; b 0e 1 e 1e 1

Translation vers la gauche

De plus

2 4 22 2 2

2 22

d e dec a b c 0e 1e 1

Foyer : F h c;k 0;0

On retrouve alors que : cea

et h c . (F est bien un foyer de l’hyperbole).



Par le théorème sur les équations polaires des coniques : der

1 ecos

.

De plus, per per per1

de der( ) r r de r 1 e1 e cos( ) 1 e

.

Conclusion : perr ( 1 e )r

1 ecos

.

Soleil

y

x 0

rper

r()

Comète

d

Directrice




1 ecos

.

De plus, per aphde der r 2a r( 0 ) r( ) 2a 2a

1 e 1 e

22 2de( 1 e ) de( 1 e ) 2de2a 2a de a( 1 e )

1 e 1 e

.

Conclusion : 2a( 1 e )r

1 ecos

.


aph

perper

per peraph

r a c a ea a 1 er

r a c a ea a 1 e a1 e

r r ( 1 e )Donc r a 1 e 1 e

1 e 1 e

S=F

y

x 0

rper

r()

Comète

F’

raph

a a

c=ea

C


Correction Exercice 11 Comète de Halley : perr 0,5871 [UA] e 0,9673

a) trajectoire elliptique car 0 e 1 .

b) Equation polaire : perr ( 1 e ) 0,5871 ( 1 0,9673 )r

1 ecos 1 0,9673 cos( )

Equations paramétriques :

x( ) r( ) cos

0;2y( ) r( ) sin

c) peraphr ( 1 e )

r 35,32 UA1 e

; perra 17,95 UA

1 e

Comète 1959 III : perr 1,251 [UA] e 1,003

a) trajectoire hyperbolique car e 1 .

b) Equation polaire : perr ( 1 e ) 1,251 ( 1 1,003 )r

1 ecos 1 1,003 cos( )


x( ) r( ) cos

0;2y( ) r( ) sin

c) Calcul des asymptotes obliques : Coordonnées polaires des extrémités de l’axe transverse : r( 0 ) 835,3 ; r( ) 1.251

Coordonnées cartésiennes des extrémités de l’axe transverse: S( 835,3;0 ) , S '( 1,251;0 )

d S,S' 2a 834,05 a 417,03 UA

c e a 418,251 UA

Centre de l’hyperbole : C 418,25;0

2 2b c a 32,31 UA Équations cartésiennes explicites des asymptotes :

b 32,32y x h k x 418,25 0,078x 32,63a 417


Comète 1973.99 : perr 0,142 [UA] e 1,000

a) trajectoire parabolique car e 1 .

b) Equation polaire : perr ( 1 e ) 0,142 ( 2 )r

1 e cos 1 cos( )


x( ) r( ) cos

0;2y( ) r( ) sin

c) Pas d’aphélie et pas d’asymptotes obliques.

d) Voir fichier Mathematica. e) 3 ème loi de Kepler :

2 2 2 3

93

S S

T 4 4 aT 2,38 10 s 75,47 ans 75 ans et 6 mois a G M G M

Conclusion : février 1986+75 ans et 6 mois : en août 2061.


Correction Activité 1 (Mars Network) a)


1 ecos

.

Ici 0 0 0de der h R h R de h R 1 e

1 ecos 1 e

Conclusion : 0h R 1 er1 e cos

.

b)

Si la trajectoire est circulaire r est constant et ne dépend pas de , donc 0r h R .

F

y

x

r()

Satellite

F’

R h0

Mars

Satellite


c)


1 ecos

.

Ici 0 0 0de der h R h R de h R 1 e

1 ecos 1 e

Conclusion : 0h R 1 er1 e cos

.

F

y

x

r()

Satellite

F’

R h0

Mars

Satellite


Correction Activité 2 (Mars Network) Une trajectoire parabolique est le cas « limite » entre une trajectoire elliptique et hyperbolique. Trajectoire parabolique : e 1 donc :

2 2 2

0 0 0 0 0 002 2 3 2 2 3 2 2 3

2 E L 2 E L 2 E L1 1 1 1 0 E 0G M m G M m G M m

2p

0

2p

0

2p

0

p0

1 G M m0 m v2 ( h R )

1 G M mm v2 ( h R )

2 G Mv( h R )

2 G Mv( h R )


Correction Activité 3 (Mars Network) a) On a :

20 0

2 2 3

20 0

0

0 0 0

2 E Le 1 IG M m

1 G M mE m v II2 ( h R )

L ( h R ) m v III

Substitution : III II I

220 0 0

02 2 3

22 2 4 20 0 0 0

2 2

220 0

2

220 0

20 0

1 G M m2 m v ( h R ) m v2 ( h R )

e 1G M m

G M v h R 2GM h R vG M

v h R GM

G M

v h R GMG M

v h R GMG M

2

0 0h R v 1G M

(l’exentricité e en fonction de la vitesse initiale v0 )

b) La trajectoire du satellite dépend de l’excentricité e .

Mais 2

0 0h R ve 1G M

. La masse m du satellite n’intervient pas dans la relation.


Correction Activité 4 (Mars Network) Relations utilisées pour l’animation :

a) Excentricité : 2

0 00 0

h R ve v 1 v 0

G M

b) Équations polaires :

0 00

0 0

0 00

0 0

h R 1 e v 2 G Mr si v1 e v cos ( h R )

0;2

h R 1 e v 2 G Mr si v1 e v cos ( h R )

c) Équations paramétriques :

x r cos

0;2y r sin

d) Conditionnelle : On utilise une conditionnelle pour changer le signe de 0e v .

Test : 0 cv v

Notes personnelles _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________

Notes personnelles _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________

1234

/ColorImageDict > /JPEG2000ColorACSImageDict > /JPEG2000ColorImageDict > /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 300 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict > /GrayImageDict > /JPEG2000GrayACSImageDict > /JPEG2000GrayImageDict > /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict > /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile () /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False

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Équations polaire des coniques - site du collège sismondi · p.s. / 2016-2017 1 Équations...

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