tp6: integrales. rappels formules dintégration a. exercices du syllabus q125: intègre

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TP6: Integrales

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Page 1: TP6: Integrales. Rappels Formules dintégration A. Exercices du syllabus Q125: Intègre

TP6: Integrales

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Rappels

Formules d’intégration

)(²cos

1

ln1

1 dedifferent n pour 1

1

xtgdxx

xdxx

n

xdxx

nn

vuuvuv ''

)()()()( aFbFxFdxxf ba

b

a

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A. Exercices du syllabus

Q125: Intègre

dx

xx

x 2 dxx

dxx

2/3

21Cxx

2

1

2

1

2.22 Cx

x 4

2

dxx )32( 4 dxdxx 32 4 Cxx

35

25

dxexx )22( dxedx xx 22 Cexx

22ln

2

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A. Exercices du syllabus Q126: Calcule les intégrales indéfinies de: 2)

15)

23)

dxe x3

dueu3

1C

e x

3

3

dxx2²cos

4

duu²cos

2Cxtg )2(2

dtt

tt

²sin1

cossin

dxduxu 33

tdttdutu cossin2²sin1

duu

1

2

1 Ct ²sin1ln2

1

dxduxu 22

Page 5: TP6: Integrales. Rappels Formules dintégration A. Exercices du syllabus Q125: Intègre

A. Exercices du syllabus

Q127 13)Intègre ln²x

u=ln²x et v’=1 u’=2lnx/x et v=x u=lnx et v’=1 u’=1/x et v=x

Q128 : Calcule les intégrales indéfinies 5)

dxx ²ln Cdxxxx ln2²ln Cxxxxx 2ln2²ln

dxxxI 42² dxxx ²21

duu 4

1

xdxduxu 4²21

Cx

2

3

²213

2

4

1 Cx 2

3

²216

1

Page 6: TP6: Integrales. Rappels Formules dintégration A. Exercices du syllabus Q125: Intègre

A. Exercices du syllabus

8)

11)

xdxxI m ln

dxm

xx

m

x mm

1ln

1

1

Cm

xx

m

x mm

)²1(ln

1

11

dxe x1

1

dxe

edx

e

ex

x

x

x

11

1 Cex x 1ln

Page 7: TP6: Integrales. Rappels Formules dintégration A. Exercices du syllabus Q125: Intègre

A. Exercices du syllabus

Q131 1) Dessiner l’allure de la primitive de f qui s’annule en x=0

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A. Exercices du syllabus

f positive F croissante f s’annule en 0 f a un max en 0 point d’inflexion

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A. Exercices du syllabus

134 calcule mentalement 3)

Première intégrale nulle car fonction impaire sur un intervalle symétrique

dxxxxx )13sin2³cos22cos2³sin3(

21)3sin2³cos22cos2³sin3(

dxdxxxxx

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A. Exercices du syllabus

135: Soit f une fonction paire, positive, telle que domf=R et

Exprimez, en fonction de a et b F(0); F(-1);

F(0)=a/2 car 2F(0)=a F(-1)=a-b

bdxxf

1)(

abdxxfdxxfdxxf

2)()()(

11

1

1

adxxf

)( bFdxxfuF

u

)1(et )()(,

1

11)(;)( dxxfdxxf

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A. Exercices du syllabus

140 : La fonction P(t) est nulle hors de l’intervalle [-4;10] a) 5°

B) Calcule F(6),F(8),F(-4),F(15)

F(6)=-75 F(8)=-50 F(-4)=-50 F(15)=-25 Dessin : cf tableau

6

0)( dttP

-50

-25

0

25

50

-4 -2 0 4 6 8 10

0

6)( dttP

x

dttPxF0

)()(

50

Page 12: TP6: Integrales. Rappels Formules dintégration A. Exercices du syllabus Q125: Intègre

A. Exercices du syllabus

-100

-75

-50

-25

0

25

-5 -4 -2 0 4 6 8 10 11

-50

-25

0

25

50

-4 -2 0 4 6 8 10

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A. Exercices du syllabus

141. Donner l’allure du graphe de la fonction x

dttf0

)(

Page 14: TP6: Integrales. Rappels Formules dintégration A. Exercices du syllabus Q125: Intègre

A. Exercices du syllabus

f positive F croissante F(0)=0 f nulle extrema f a un extrema point d’inflexion

x -1 0 1 2

f + 0 - - - -1 - 0 +

f’ - - - - - 0 + + +

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A. Exercices du syllabus

Page 16: TP6: Integrales. Rappels Formules dintégration A. Exercices du syllabus Q125: Intègre

A. Exercices du syllabus

152: Calculer l’aire de la région comprise sous y=x(x-1)(x-3),l’axe des x, la droite x=3 et x=0

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 1 2 3 4 5

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A. Exercices du syllabus

1

0

3

1)3²4³()3)(²( dxxxxdxxxx

3

1

341

0

34

2

²3

34

42

²3

34

4

xxxxxx

12

37

3

8

12

5

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A. Exercices du syllabus

155: y=x² et y=e-x+1 se coupent en P d’abscisse 1. 1) calcule l’aire entre ces deux courbes et l’axe x

2)Trouver deux abscisses a et b telles que les parallelles x=1, x=a, x=b partagent la région considérée au 1) en 4 parties égales

Aire= 1/3

1

11

0² dxedxx x

3

4

3

³1

11

0

xex

b

b

a

a

1

1

0

3/11

1 dxea x

3/11 dxeb

x3

2ln1 a

3

1ln1 b

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B. Exercices supplémentaires

1)f(x) toujours positive F(x) toujours croissante

F(0)=0

Tangente nulle en p+2kp

Points d’inflexion en kp

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B. Exercices supplémentaires

4)f(x) toujours positive F(x) toujours croissante

F(0)=2

F(-1)=1F(2)=5F(-2)=0F(-4)=-5

f(x) nulle en -1 => extremum

𝐹 (𝑥 )=− 2

𝑥

𝑓 (𝑡 )𝑑𝑡

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Test

Q1:B (1) maximum, mais pas nécessairement

global(2) fonction est tjs croissante (2) suffit à montrer que ce n’est pas un

extremum global Q2: D

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Test

Q3:A Q4:C Q5:B Q6:A Q7: E