tp6: integrales. rappels formules dintégration a. exercices du syllabus q125: intègre
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TP6: Integrales
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Rappels
Formules d’intégration
)(²cos
1
ln1
1 dedifferent n pour 1
1
xtgdxx
xdxx
n
xdxx
nn
vuuvuv ''
)()()()( aFbFxFdxxf ba
b
a
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A. Exercices du syllabus
Q125: Intègre
dx
xx
x 2 dxx
dxx
2/3
21Cxx
2
1
2
1
2.22 Cx
x 4
2
dxx )32( 4 dxdxx 32 4 Cxx
35
25
dxexx )22( dxedx xx 22 Cexx
22ln
2
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A. Exercices du syllabus Q126: Calcule les intégrales indéfinies de: 2)
15)
23)
dxe x3
dueu3
1C
e x
3
3
dxx2²cos
4
duu²cos
2Cxtg )2(2
dtt
tt
²sin1
cossin
dxduxu 33
tdttdutu cossin2²sin1
duu
1
2
1 Ct ²sin1ln2
1
dxduxu 22
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A. Exercices du syllabus
Q127 13)Intègre ln²x
u=ln²x et v’=1 u’=2lnx/x et v=x u=lnx et v’=1 u’=1/x et v=x
Q128 : Calcule les intégrales indéfinies 5)
dxx ²ln Cdxxxx ln2²ln Cxxxxx 2ln2²ln
dxxxI 42² dxxx ²21
duu 4
1
xdxduxu 4²21
Cx
2
3
²213
2
4
1 Cx 2
3
²216
1
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A. Exercices du syllabus
8)
11)
xdxxI m ln
dxm
xx
m
x mm
1ln
1
1
Cm
xx
m
x mm
)²1(ln
1
11
dxe x1
1
dxe
edx
e
ex
x
x
x
11
1 Cex x 1ln
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A. Exercices du syllabus
Q131 1) Dessiner l’allure de la primitive de f qui s’annule en x=0
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A. Exercices du syllabus
f positive F croissante f s’annule en 0 f a un max en 0 point d’inflexion
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A. Exercices du syllabus
134 calcule mentalement 3)
Première intégrale nulle car fonction impaire sur un intervalle symétrique
dxxxxx )13sin2³cos22cos2³sin3(
21)3sin2³cos22cos2³sin3(
dxdxxxxx
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A. Exercices du syllabus
135: Soit f une fonction paire, positive, telle que domf=R et
Exprimez, en fonction de a et b F(0); F(-1);
F(0)=a/2 car 2F(0)=a F(-1)=a-b
bdxxf
1)(
abdxxfdxxfdxxf
2)()()(
11
1
1
adxxf
)( bFdxxfuF
u
)1(et )()(,
1
11)(;)( dxxfdxxf
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A. Exercices du syllabus
140 : La fonction P(t) est nulle hors de l’intervalle [-4;10] a) 5°
B) Calcule F(6),F(8),F(-4),F(15)
F(6)=-75 F(8)=-50 F(-4)=-50 F(15)=-25 Dessin : cf tableau
6
0)( dttP
-50
-25
0
25
50
-4 -2 0 4 6 8 10
0
6)( dttP
x
dttPxF0
)()(
50
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A. Exercices du syllabus
-100
-75
-50
-25
0
25
-5 -4 -2 0 4 6 8 10 11
-50
-25
0
25
50
-4 -2 0 4 6 8 10
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A. Exercices du syllabus
141. Donner l’allure du graphe de la fonction x
dttf0
)(
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A. Exercices du syllabus
f positive F croissante F(0)=0 f nulle extrema f a un extrema point d’inflexion
x -1 0 1 2
f + 0 - - - -1 - 0 +
f’ - - - - - 0 + + +
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A. Exercices du syllabus
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A. Exercices du syllabus
152: Calculer l’aire de la région comprise sous y=x(x-1)(x-3),l’axe des x, la droite x=3 et x=0
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0 1 2 3 4 5
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A. Exercices du syllabus
1
0
3
1)3²4³()3)(²( dxxxxdxxxx
3
1
341
0
34
2
²3
34
42
²3
34
4
xxxxxx
12
37
3
8
12
5
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A. Exercices du syllabus
155: y=x² et y=e-x+1 se coupent en P d’abscisse 1. 1) calcule l’aire entre ces deux courbes et l’axe x
2)Trouver deux abscisses a et b telles que les parallelles x=1, x=a, x=b partagent la région considérée au 1) en 4 parties égales
Aire= 1/3
1
11
0² dxedxx x
3
4
3
³1
11
0
xex
b
b
a
a
1
1
0
3/11
1 dxea x
3/11 dxeb
x3
2ln1 a
3
1ln1 b
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B. Exercices supplémentaires
1)f(x) toujours positive F(x) toujours croissante
F(0)=0
Tangente nulle en p+2kp
Points d’inflexion en kp
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B. Exercices supplémentaires
4)f(x) toujours positive F(x) toujours croissante
F(0)=2
F(-1)=1F(2)=5F(-2)=0F(-4)=-5
f(x) nulle en -1 => extremum
𝐹 (𝑥 )=− 2
𝑥
𝑓 (𝑡 )𝑑𝑡
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Test
Q1:B (1) maximum, mais pas nécessairement
global(2) fonction est tjs croissante (2) suffit à montrer que ce n’est pas un
extremum global Q2: D
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Test
Q3:A Q4:C Q5:B Q6:A Q7: E