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ECS-ENSEA CReSTIC'

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Observateur non lineaire a modes glissants

pour des systemes a commutations autonomes

avec sauts

Hassan SAADAOUI

saadaoui@ensea.fr

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Plan• Motivations

• Position du Probleme

- Classe des systemes consideres

- Rapelle sur l’observabilite

- Hypotheses

• Synthese de l’observateur

- Observateur a mode glissant d’ordre 1

- Observateur a mode glissant d’ordre 2 “Super TwistingAlgorithm (STA)”

- Structure generale de l’observateur

- Preuve de convergence

• Resultats de simulation

• Conclusion et perspectives

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Motivations et Position du Probleme

- Observateur et observabilite des systemes hybrides- Estimation de l’etat continu et de l’etat discret- Garantir la stabilite et la robustesse

Observateur Hybride

Xˆ

YSAC (X,qi)

Observateur de l'état

continu

Observateur du mode

(état discret)

qiˆ

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Classe des systemesConsiderons le systeme hybride autonome et nonlineaire suivant

χ = Fq(χ) pour χ ∈ Ωq(χ) (1)

y = Hq(χ) (2)

χ(t+c ) = ξpq(χ(t−c )) (3)

avec χ ∈ <n, le vecteur d’etat, y ∈ <, la sortie, Ωq est le domained’evolution de la dynamique Fq, et ξpq est une fonction de saut.

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Diffeomorphismepour aboutir a un systeme hybride sous la forme canonique d’observabiliteon utilise le diffeomorphisme suivantPour q = 1, . . . , p,

x = Φq(χ) =(y, y, . . . , y(n−1)

)T

(4)

=[Hq(χ), LFqHq(χ), . . . , Ln−1

FqHq(χ)

]T

(5)

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Systeme hybride sous la forme canonique d’observabilite

x1 = x2

...

xn−1 = xn

xn = fq(x) si x ∈ Iq(x)

(6)

y = hq(x) = x1 (7)

x(t+c ) = Γpq(x(t−c )) (8)

ou le champs de vecteur fq(x) avec q ∈ 1, ...., p, et la fonction de sortiehq(x) sont suffisamment lisses, Iq est le domaine d’evolution de ladynamique fq. Γpq est une fonction lineaire ou nonlineaire qui caracterise lesaut de l’etat discret p vers q.

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Rapelle sur l’observabilite(Boutat et al)soit les dynamiques du systeme commute

χ = F1(χ) et y = H1(χ) si χ ∈ Ω1 = x/σ(x) ≤ 0χ = F2(χ) et y = H2(χ) si χ ∈ Ω2 = x/σ(x) > 0

(9)

il est evident que sur les condition d’observabilite de chaque sous-systems etsi on reste suffisament lengtemps sur un sous systeme alors apartir de laconnaissance de l’etat discret on retoruve tout l’etat continue.

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on applique un diffeomorphisme sur le systeme precedent on obtient laforme canonique suivante

z1i = z1

i+1 pour i = 1 : n− 1

z1n = f1(z1

1 , z12 , ..., z1

n)(10)

si σ1 := σ(z11 , z1

2 , ..., z1n) ≤ 0, et

z2i = z2

i+1 pour i = 1 : n− 1

z2n = f2(z2

1 , z22 , ..., z2

n)(11)

si σ2 := σ(z21 , z2

2 , ..., z2n) > 0.

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Soit les sous ensembles suivantes

M = v ∈ <n/f1(v) = f2(v)S = v ∈ <n/σ1(v) = σ2(v)

L =χ ∈ <n/F1(χ) = F2(χ) = 0Le theoreme obtenu par Boutat et al. est le suivant

Theoreme 1 i) If M is a discrete set then system (9) is observable forany switch σ for which we have σ(L) ≤ 0 or else σ(L) > 0.

ii) If dynamics (10) and (11) are transverse to M except on a discretesubset then the system is observable for any switch σ for which we haveσ(L) ≤ 0 or else σ(L) > 0.

iii) If S = <n then system (6) is observable.

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Hypotheses et RemarquesHypothese 1Le temps de sejour τq, dans chacun des sous-systemes est mesurable.Hypothese 2Chaque sous-systemes est localement regulierement observable.

∀ q = 1..p la codistribution

dHq, dLFqHq, ...., dL(n−1)Fq

Hq

est de rang n.

Remarque 1La forme canonique permet d’estimer x sans avoir besoin d’information surla derniere dynamique. Par consequent, ce n’est pas necessaire de connaitrel’etat discret q.Remarque 2On considere que le cas ou la dimension du vecteur d’etat x est n pourchaque sous-systemes (dim(x) = n,∀ q).

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Synthese des observateursobservateur a mode glissant d’ordre 1

˙x1 = x2 + λ1sign(x1 − x1)˙x2 = x3 + E1λ2sign(x2 − x2)...˙xn−1 = xn + En−2λn−1sign(xn−1 − xn−1)˙xn = fi(x1, x2..., xn) + En−1λnsign(xn − xn)

i ∈ 1, .., p si σi(x) est verifie.

(12)

xj = xj + (λj−1sign(xj−1 − xj−1))eq , j = 2 : n (13)

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Inconvinions d’observateur d’ordre 1- Probleme du chattering implique Mauvaise prise de decision

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2

2.5

3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2

2.5

3

4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 5.6 5.8 6−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

S

So

σ (x o

)

- Filtrage implique Apparition d’un retard

0 0.5 1 1.5 2 2.5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

x2t

x2

Sc

S

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Differentiateur Robuste (Super Twisting Algorithm)

x1 = x2

x2 = fq(x) si σq(x) est verifie

y = hq(x) = x1

(14)

l’observateur est de la forme suivante

u(ei) = u1 + λ |ei|12 sign(ei)

u1 = αsign(ei)

λ, α > 0

(15)

2xu = +

1x

Sobs

1x

111 xxe -=

_

structure du differentiateur d’ordre deux

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B1

Bn-2

3x

_

+2x2x

Sobs

2x_

+

1x

Sobs

1x

nx~

_

+

1-nx

1ˆ-nx

E1

En-2

Sobs

structure du differentiateur etage par etage

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Structure general de l’observateur hybride

˙x1 = x2 + λ1 |e1|1/2sign(e1)

˙x2 = α1sign(e1)˙x2 = E1

[x3 + λ2 |e2|1/2

sign(e2)]

˙x3 = E1α2sign(e2)...

˙xn−1 = En−2

[xn + λn−1 |en−1|1/2

sign(en−1)]

˙xn = En−2αn−1sign(en−1)˙xn = En−1

[θ + λn |en|1/2

sign(en)]

˙θ = En−1αnsign(en)

(16)

avec ei = xi − xi, et x1 = x1 pour i = 1, .., n, et Ei pour i = 1, ...n− 1 estdonne par

Ei = 0 si ei = xi − xi 6= 0, sinon Ei = 1 (17)

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Schema globale

qq IÎ=

=

=

-

)-

qn

n1n

21

q(x,if(x),fx

xx

xx

s&

&

&

x

y=x1

Hybrid System (x,q)In canonical form

ContinuousObserver

Hybrid observerDiscrete location

Decision

Function

Location

Identification

Logic

y

Real Hybrid System

(c,q)

)(

)(

c

cc

q

q

Hy

F

=

=&

x=Fq(c)

x

)(1

ˆ xq-

F=c

qc

q

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Analyse de convergenceTheoreme 2Considerons le systeme (6), suppose a etat borne en temps fini t < ∞,et l’observateur (16) base sur le Super Twisting Algorithm (15). Pourtoutes conditions initiales x(0), x(0), il existe un choix de λi et αi telque l’etat observe x converge en temps fini Tfs ¿ τq vers x et θ

converge aussi en temps fini vers fq(x).

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PreuveCas du systems d’ordre 2Pour montrer la convergence de (x1, x2) vers (x1, x2) (i,e (e1, e2) → (0, 0))considerons la dynamique e1

)2(e1

·

1

2/1131

1

emax)e(2e

l

+a-=

·

1e·

A

)1(e1

)0(e1

)1(e1

·

)0(e1

·

1e

)3(t1

)2(t1

)1(t1

)0(t1

1

23

4

BD

C

E

courbe majorante de la convergence en temps fini

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−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−30

−20

−10

0

10

20

30de/dt=f(e)

courbe de la convergence en temps fini

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Posons ei = xi − xi et de (6) et (16), on a

e1 = x1 − ˙x1 = e2 − λ1 |x1 − x1|1/2sign(x1 − x1)

e2 = x2 − ˙x2 = g(x1, x2)− α1sign(x1 − x1)

avec gq(x1, x2) = fq(x)− fq(x1, x2) ∈ [−g+, g+]

et e1 = gq(x1, x2)− α1sign(e1)− λ12 |e1|−1/2

e1

avec(

d|x|dt = xsign(x)

)

qui conduit ae1 ∈ [−g+, g+]− α1sign(e1)− λ1

2 |e1|−1/2e1 ou g+ = maxgq(x1, x2) ∀ q.

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Premier etage

Premier cadran (e1 > 0 et e1 > 0)

La trajectoire de e1 = f(e1) reste dans le premier cadran e1 = 0, e1 = 0 etla courbe majorante est donnee par e1 = −(α1 − g+).

En choisissant α1 > g+ on assure que e1 < 0 et e1 decroıt et tend vers l’axex, correspondant a e1 = 0.

Soit e1(0) l’intersection de cette trajectoire avec e1 = 0 alorse1(0) = 1

2(α1−g+) e21(0)

Donc la trajectoire majorante pour e1 > 0 et e1 > 0 peut etre donnee parl’expression e2

1 = 2(α1 − g+)(e1(0)− e1).

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Deuxieme cadran ( e1 > 0 et e1 ≤ 0)

Dans ce cas, e1 = −g+ − α1sign(e1)− λ12 |e1|−1/2

e1 devient negative(e1 < 0) pour un bon choix de α1, ceci conduit aλ12 |e1|−1/2 |e1| < (g+ + α1).

La trajectoire majorante, est donnee par

e1 = e1(0) avec 0 ≥ e1 ≥ − 2λ1

(α1 + g+)e1/21

et e1 =e1(1) = − 2λ1

(α1 + g+)e1/21 (0)

avec e1 < − 2λ1

(α1 + g+)e1/21

e1(1) correspond a l’intersection de e1 = e1(0) et e1 = − 2λ1

(α1 + g+)e1/21 ,

Par consequent , |e1(1)||e1(0)| < 1 ce qui signifie que

λ1 > (g+ + α1)√

2α1−g+ ,

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Alors les conditions suffisantes garantissant la convergence de l’etat(i.e.(e1(i), e1(i) tendent vers e1 = e1 = 0) sont

α1 > g+ (18)

λ1 > (g+ + α1)√

2α1 − g+

(19)

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)2(e1

·

1

2/1131

1

emax)e(2e

l

+a-=

·

1e·

A

)1(e1

)0(e1

)1(e1

·

)0(e1

·

1e

)3(t1

)2(t1

)1(t1

)0(t1

1

23

4

BD

C

E

courbe majorante de la convergence en temps fini

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Convergence en temps finiLe temps parcouru par la trajectoir dans chaque cadran estCadran 1

t1(0) =1

(α1 − g+)e1(0) (20)

Cadran 2

t1(1) =2(α1 + g+) + λ2

1

λ1(α1 + g+)√

2(α1 − g+)e1(0) (21)

Cadran 3

t1(2) =2

λ1

√2(α1 − g+)

e1(0) (22)

Cadran 4

t1(3) =2(α1 − g+) + λ2

1)λ2

1(α1 − g+)

√α1 + g+

α1 − g+e1(0) (23)

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Soit Td(1) le temps pour aller du point A au point E,Td(1) = t1(0) + t1(1) + t1(2) + t1(3) = Ke1(0)Le temps de convergence dans cette configuration peut etre donne dans le casle plus defavorable parT1 =

∑∞i=1 Td(i) = 1

1−W Ke1(0)avecW = 2(α1−g+)

λ21

√α1+g+

α1−g+ < 1

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Cas general( n > 2 )la convergence est assuree etage par etage dans cet ordre(e1 = e2, e1) → (0, 0) en temps finiT1 pour la premiere etage.(e2 = e3, e2) → (0, 0) en T2 dans le second etage.et (ei = ei + 1, ei) → (0, 0) en temps fini Ti pour l’etage i.Finalement, (en−1 = en, en−1) → (0, 0) en temps fini Tn−1 pour l’etage (n− 1).Le temps fini correspondant au convergence des etats des systemes est

Tfs =n−1∑

j=1

Tj (24)

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Resultats de simulationsExemple 1 Systeme a commutation sans sautSoit le systeme chaotique suivant

x1 = x2

x2 = x3

x3 =

−a(x2 + x3 − 1) si x1 > 0

−a(x2 + x3 + 1) si x1 ≤ 0

y = x1

(25)

avec a = 0.8

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−3−2

−10

12

3

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

x1,x2,x3

Chaos in 3-D portrait

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la convergence etape par etape en temps fini

0 1 2 3 4 5 6

−2

0

2x1 (*) and xc1 (+)

0 1 2 3 4 5 6

−15

−10

−5

0

5

x2 (*) and xc2 (+)

0 1 2 3 4 5 6

−1

0

1

2

3

x3 (*) and xc3 (+)

etats reels xi et etats observes xi

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Exemple 2 Systeme a commutation avec sauts

x = Aix i = 1, 2

y = Cx

x2(t+c ) = x2(t−c ) + ε

(26)

avec A1 =

1 −5

0 1

, A2 =

1 0

5 1

, et

C = [1,−2] , ε = 0.1, tc l’instant de commutation.

avec x ∈ Ω1 tel que Ω1 =

x ∈ R2/(x1 − 2x2 > 0 ∧ 2x1 + x2 > 0)

∨(x1 − 2x2 ≤ 0 ∧ 2x1 + x2 < 0)

et x ∈ Ω2 tel que

Ω2 =

x ∈ R2/(x1 − 2x2 > 0 ∧ 2x1 + x2 ≤ 0)

∨(x1 − 2x2 < 0 ∧ 2x1 + x2 > 0)

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&

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On applique le diffeomorphisme suivant

2,1,)( 11 === -- izTzx if

2,1,)( === ixTxz ifxAx 1=&

)(1,2 xS

)(2,1 xS

xAx 2=&

zAz 1=&

))(( 1

2,1 zxS-= f

zAz 2=&

))(( 1

1,2 zxS-= f

diffeomorphisme

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Alors on obtient le systeme hybride sous la forme canonique d’observabilitesuivant

z1 = z2

z2 = fi(z) = −z1 + 2z2 i = 1, 2.

y = z1,

z+2 = 0.25z−2 + 5 pour la commutaion de 1 a 2

z+2 = −z1 + 20 pour la commutaion de 2 a 1

avec les conditions de commutation sontz ∈ I1 tel que

I1 =

z ∈ R2/(z1 > 0 ∧ 3z1 − z2 > 0)

∨(z1 ≤ 0 ∧ 3z1 − z2 < 0)

et z ∈ I2 tel que I2 =

z ∈ R2/(z1 > 0 ∧ 3z1 − z2 ≤ 0)

∨(z1 < 0 ∧ 3z1 − z2 > 0))

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Simulations

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

* Real system+ Obs system

plan de phase sans reinitialisation

−1 −0.5 0 0.5 1 1.5−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

* Real system+ Obs system

plan de phase avec reinitialisation

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0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

−0.5

0

0.5

−0.5

0

0.5

1

e2=x2−x2o without Reinitialization

e2=x2−x2o with Reinitialization

l’erreur e2 dans le cas sans et avec reinitilisation

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Conclusion

• Exploiter les resultats sur les observateurs a modes glissants pour les SAC.• Synthese d’observateurs a modes glissants d’ordre superieur pour les SAC.• Convergence de l’erreur d’estimation etape par etape en temps fini.• Reconstruction de l’etat continu et de la dynamique discrete.• Etude de SAC avec et sans saut

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Perspectives

• Etude sur des systemes non autonomes avec et sans saut.• Etude du phenomne de zeno.• Elargir la classe de systemes hybrides consideres

- Retard.- incertains.

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