algébre td (partie 1)

7/28/2019 Algbre TD (Partie 1)

1/61

MATHEMATIQUES (Semestre 4 )

ALGEBRE II

Travaux Dirigs -TD-

Professeur : M.REDOUABY


2/61

Srie dexercices


3/61

Partie 1


4/61

Exercice 1

On considre les trois matrices suivantes :

;

=

02A

=07

B

30 110

=

4005C


5/61

Exercice 1

1) Calculer :

- -

3


6/61

Exercice 1

2) Calculer :

; ; ; ;

1-

A

4

A

6

A

2

B

3

C


7/61

Exercice 1

3) Calculer : INnn

C)B(6A ++ ,

n

Peut-on parler de : ,++

n entier ngatif


8/61

Corrig

1) Les trois matrices sont diagonales, il

suffit de reporter les calculs sur lestermes diagonaux homologues des trois

:

=

550

054C3B-2A +


9/61

Corrig

Le dterminant dune matrice diagonale est

gal au produit des termes diagonaux :

01

33 2C))B-(det(A)2C)B-det((A +=+

220==-

1064822

3

==


10/61

Corrig

2) De mme :

630

02=

=det(A) ;

77

110

07=

=det(B)

2040

05==det(C)

;

.


11/61

Corrig

Les matrices sont diagonales, il suffit de

reporter les calculs sur les termes diagonaux :

0210211-

3/10301

4A

=

=

810

016

30

0)2(4

4


12/61

Corrig

=

=

729/10

064/1

300)2( 6

66

A

2B

=

=

121/10

049/1

)11(0

07

2

2


13/61


14/61

Corrig

La matrice 6A+B+C nest pas inversible :

000 ==++

dtCB6A

On ne peux parler de puissance ngative

que dans le cas o la matrice est inversible,ce qui nest pas le cas ici


15/61

Exercice 2

On considre la matrice suivante :

= 01/20

001-

D

31/00

Calculer :1-

D

8-

D

5

DnD

det(D); ;

; n entier relatif


16/61

Corrig

Il sagit dune matrice diagonale :

1001

323/100


17/61

Corrig

Pour inverser la matrice D, Il suffit dinverser

ses termes diagonaux :

-

=

300

020D1-

C


18/61

Corrig

==8

8

8

020

00(-1)

DD81-8-

)(

=

8100

02560

001

E i 2


19/61

Exercice 2

=5

5

5

31/(0001/20

00(-1)

D

5

)

=

31/900

01/320

001-


20/61

D est une matrice inversible, donc :

=n

n

01/2000(-1)

Dn

n31/(00 )

n entier relatif : - 3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, .

E i 3


21/61

Exercice 3

On considre la matrice suivante :

0010

0005

4000

0300

Calculer : ; ; ; ;

1-

D

3

D

2-

D)det(Dn

D

C i


22/61

Corrig

Il sagit dune matrice diagonale :

Le dterminant est gal au produitdes termes diagonaux :

604315 == det(D) ;

C i


23/61

Corrig

La matrice inverse est obtenue en inversant

les termes diagonaux :

00051

=

41000

03/100

00101-D

C i


24/61

Corrig

On reporte le calcul sur les termes

diagonaux :

000125

=

64000

02700

00103D


25/61

Corrig


26/61

Corrig

On reporte le calcul sur les termes

diagonaux ; n est un entier relatif :

n

000)5(

=

n

n

nnD

)4(000

0300

00)1(0

Exercice 4


27/61

Exercice 4

On considre les matrices suivantes :

et

= 020

001-

D

= 110

111

P

1) Calculer la matrice

2) Que pouvez-vous dire des matrices D etM ?

3) En dduire det(M) et4) En dduire , expliciter le cas n=8

DPPM1-

=

1-

MnM

Corrig


28/61

Corrig

1) On commence par calculer P-1 :

1111110

111

det(P) ===

100

Rappel : Le dterminant dune matricetriangulaire infrieure ou suprieure est gal au produit des termes diagonaux

Mthode de la comatrice


29/61

+

++

== 011

001

0011

1011

1011

0010

1010

1011

P)(Com

Mthode de la comatrice

++

1011

1011

1111

==

100

1-1001-1

PPP1-1-

)(

det(P)

1Com

t

On obtient :


30/61

On obtient :

= 110

111

020

001-

1-10

01-1

DPP1-

=

1/200

3/220

3-3-1-

M Triangulairesuprieure

Corrig


31/61

Corrig

2) Les matrices M et D sont semblables

3) Par consquent : M et D ont mmedterminant :

--ee ===

1-1-1-1-1-1- )(PDPMDPPM ==

Pour la matrice inverse :

PDPM

1-1-1-

=

Ainsi :


32/61

Ainsi :

= 110

111

01/20

001-

1-10

01-1

M1-

=

200

3/2-1/20

3/2-3/2-1-

M 1- Triangulairesuprieure

Vrification


33/61

Vrification

=

1 23/220

3-3-1-

23/2-1/20

3/2-3/2-1-

MM

1-

I1MM

100

010

001

==

4) Proprits des matrices semblables


34/61


11100(-1)01-1n

PDPMnn 1-

=DPPM1-

=

=

100110

1/200020

1001-10M

n

n

D1-

P P

On obtient :


35/61

On obtient :

=nnn

nnnnn

n 21)(21)((-1)

n200

ndsigne un entier : positif ou ngatif

Matrice Triangulaire suprieure

Application


36/61

Application

n = -1, on retrouve le rsultat prcdent :

3/2-3/2-1-

-

=

200-


37/61

Application


38/61

Application

n = 1, on retrouve la matrice M :

3-3-1-

M1/2003/220M ==

Application


39/61

Application

n = 2, on trouve :

3-3-1

=

1/400

etc


40/61

etc.

n = 8, on trouve :

255-255-1

=

1/25600

2560M 65535/256

Remarque importante


41/61

Remarque importante

Sur les matrices triangulaire

Les proprits vues dans le Cours sur les

gnralises au matrices triangulaires(infrieures ou suprieures)

Exercice 5


42/61

On considre les matrices suivantes :

et

= 030

003

D

= 201-

111

P

1) Calculer la matrice

2) Que pouvez-vous dire des matrices D etN ?

3) En dduire det(N) et4) En dduire , expliciter le cas n=5

DPPN1-

=

1-N

nN

Exercice 5


43/61

Exercice 5

5) Donner , N est telle que :NN'=

NN'2=

6) Donner , n entier naturelnN

Corrig


44/61

g

1) On commence par calculer P-1 :

201-

111

det(P)=

110

2130111

2111 =+=

+

=

On peut dveloppersuivant la 3me ligne


45/61

On obtient :


46/61

= 201-

111

030

003

-31-1-

2-02

DPP21

1-

=

21-0

360

2-2-3

N


47/61

Ainsi :


48/61

=

110201-

111

1/50001/30

001/3

1-1131-1-

2-02

2

1N

1-

=

610

3-20

225

151N 1-

Vrification


49/61

=

21-360

2-2-3

13-20

225

15

1NN

1-

INN

100

010

001

1 ==



50/61

PDPNnn 1-

=DPPN1-

=

1110032-02 n

n

D1-

P P

=

110-

5001-11-- n2

On obtient :


51/61

=nnnn

nnnnn

n)33(53530

)52(352(332

N 1)

nnnn 5335302

n dsigne un entier : positif ou ngatif

Application


52/61

Application

n = -1, on retrouve le rsultat prcdent :

225

=

6103-2015N

-

Application


53/61

pp cat o

n = 0, on retrouve le rsultat :

001

100==


54/61

Application


55/61

pp

n = 2, on trouve :

16-16-9

=

18-0


56/61

5) Donner :NN'=


57/61

5) Donner :

N est telle que :

NN =

NN'

2=

Utilisons la factorisation diagonale de N :

DPPN 1-= 1-QDQ=

avec :1-

PQ=ou

Gardons la premire criture avec les

notation de lexercice :


58/61

notation de l exercice :

DPPN 1-=

Daprs les proprits des matrices diagonales,si on pose :

=

500

030D'

On a : DD'2=

Et daprs les proprits des matrices


59/61

PD'PN'

1-=

Et d aprs les proprits des matrices

semblables, si on pose :

''21-2==

D

Finalement : PD'PN' 1-=

On obtient :


60/61

=

110201-

111

500030

003

1-1131-1-

2-02

PD'P 2

11-

=533530

)353(3530

)532()532(32

N'


61/61

6) Donner :n N

Mme raisonnement que le prcdent, il suffit

de remplacer la racine carre par laracine nime n

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