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  • Mcanique Quantique

    Frdric Le QurEquipe de Chimie Thorique

    Labo de Modlisation et Simulation Multi EchelleBt Lavoisier, bureau K35 (3me tage)

    [email protected]

  • semaine mardi jeudi38 Cours39 Cours TD40 TD Cours41 TD Cours42 TD Cours43 TD Cours4445 TD Partiel46 11-nov Cours47 TD Cours48 TD Cours49 TD Cours50 TD Cours51 TD TD5212 TD

    Organisation : PartielDocument autoris : Une feuille A4 manuscrite

    ExamenDocument autoris :Une copie double A4 manuscrite

    Photocopies interdites

  • Bibliographie P.H. Communay physique quantique Groupe de recherche et dition. Berkeley Cours de physique vol 4 : Mca quantique Armand Colin

    C. Leforestier Introduction la Chimie Quantique Dunod Y. Ayant E.Belorizky Cours de mcanique quantique Dunod

    C. Cohen Tanoudji, B. Diu, F. Lalo Mcanique Quantique Herman.

    http://alpha.univ-mlv.fr/meca

  • INTRODUCTIONI) Pourquoi a-t-on besoin de la mcanique Quantique ?

    A la fin du XIXme sicle, les lois de la nature semblaient totalement connues travers la thorie de la gravitation (Newton) et de llectromagntisme (Maxwell). Deux types de mouvements mutuellement exclusifs taient connus : Mouvement ondulatoire :

    Caractris par la frquence et la longueur donde dun signal oscillant. La lumire est considre comme une onde cause des phnomnes

    dinterfrences (Young). Mouvement dun solide :

    Caractris par sa masse, sa position et sa quantit de mouvement.

    Il restait juste quelques petits points obscurs .

  • Premier problme : la catastrophe ultra violette.

    Lorsque lon chauffe un solide parfait (appel corps noir), il met des ondes lectromagntiques dans un domaine de longueurs dondes caractristique de sa temprature.

    MExprimentalement la courbe prsente un maximum li la temprature par la relation de Wien :

    M *T = 2,9.10-3 m.K

    En 1900, Rayleigh ne parvient pas expliquer thoriquement ce phnomne. Son calcul amne une quation qui diverge dans lultra violet (catastrophe).

  • Le soleil est un corps noir imparfait. Certains de ses constituants (principalement atomiques)absorbent des radiations (raies de Fraunhofer sur spectre jaune).Les molcules de latmosphre absorbent galement des radiations (spectre rouge).

    Raies de Fraunhofer.

    NaFe HH

  • Second problme : leffet Photolectrique.

    Des lectrons sont jects de certains mtaux lorsque ceux ci sont clairs !

    Interprtation classique : rsonance entre loscillation de londe de lumire et une oscillation (hypothtique) des lectrons.

    Si on augmente lintensit de londe, les lectrons devraient tre jects plus facilement.

  • Rsultats exprimentaux :

    Ce nest pas lintensit de la lumire qui compte, mais sa frquence !

    Il y a une frquence minimale pour que le phnomne apparaisse.

    Ce nest donc pas un phnomne de rsonance mcanique

  • Troisime problme : Le spectre atomique

    Les atomes absorbent et mettent de la lumire dune manire discontinue. Seuls certaines longueurs dondes sont absorbes oumises.

    Le modle plantaire classique ne permet pas dexpliquer cela.

    Trs mauvais modle !

    Celui lAussi !

  • La solution ces problmes :

    LE PHOTON

  • Le photon : une particule de lumire.

    Max Planck introduit lide de photon dans son tude thorique du corps noir. Chaque photon transporte une nergie proportionnelle la frquence de londe qui lui est associe.

    Ephoton= h Il introduit la constante de proportionnalit h : constante de Planck

    h=6,62 10-34 J s Il parvient alors trouver la forme thorique de la courbe du corps noir

    et la loi de Wien sexprime par :

    O k (constante de Boltzmann) et c (vitesse de la lumire) sont des constantes dj tablies.

  • Max Planck (1858 1947)

  • Explication de leffet photolectrique (Einstein 1905)

    Si le photon est une particule il entre en collision avec les lectrons dans le mtal. Si son nergie est suffisamment forte pour surpasser lnergie de liaison de llectron, celui ci sera arrach (effet de seuil).

    Comme lnergie du photon dpend de sa frquence daprs la formule de Planck, il est normal que lnergie cintique de llectron arrach augmente avec la frquence

    On obtiens lquation simple pour lnergie cintique de llectron :

    Ecin = h - Eextraction

  • La pente des droites est gale h dans tous les cas.

  • Spectres atomiques Un modle simple utilisant le photon serait de considrer que latome ne peut

    prendre que certains tats (niveaux) dnergie et quil peut passer dun tat un autre en absorbant ou mettant un photon.

    Reste comprendre lorigine de ces tats particuliers

    Hydrogne

  • Young

    Et les figures dinterfrences de Young ?

    Mme en envoyant la lumire photon par photon (trs faible intensit), les interfrences se forment !=> En passant par une des fentes, le photon semble savoir que lautre fente est prsente ! La particule garde sa qualit donde.

  • Gnralisation

    Puisque la lumire que lon prenait pour une onde est aussi une particule, pourquoi les particules connues nauraient elles pas des comportements donde ?

    En 1923 Louis de Broglie propose cette dualit onde-corpuscule qui associe une onde toute particule. La longueur donde, , dpend de la masse et de la vitesse de la particule :

    cinmEh

    mvh

    ph

    2

  • Preuve exprimentale (1928)

    Les ondes associes des lectrons doivent pouvoir interfrer, mais il faut des fentes trs rapproches (quelques angstrms) !

    Davisson et Germer utilisent les structures cristallines pour leurs expriences de diffraction lectronique

  • Electron double slit experiment Diffraction lectronique

  • II) Comportement corpusculaire des ondes

    1) Formalisme mathmatique des phnomnes ondulatoires.Une onde monochromatique se propage dans un milieu homogne unidimensionnel (x) en vrifiant lquation :

    ))((cos0phasevxt

    phasev

    0 longation dun point x au temps tElongation maximale pulsation de londeVphase : vitesse de phase

  • Dfinitions

    : longueur donde (priode spatiale)

    : priode temporelle

    2T

    1T

    : frquence (s-1 ou Hz)

    : pulsation (rad s-1)

    0 cos( )t kx

    2k

    : nombre donde (rad m-1)

    =0

    Et on notera que la vitesse de phase phasev k

    (m s-1) , relie les parties temporelles et spatiales

    x=x0=0

    t=t0=0

  • On utilise galement souvent la forme complexe :

    o est un oprateur qui ne conserve que la partie relle de la fonction. Gnralement on omet de lcrire !Qui permet la rcriture en produit dexponentielles :

    ( )0

    i t kxe

    0i t ikxe e

  • 2) Superposition de N ondes : paquet dondes

    Les ondes vues prcdemment sont dlocalises sur tout lespace. Peut on obtenir des ondes localises dans lespace, ce qui saccorde mieux la notion classique dun objet localis un endroit ?

    Additionnons N ondes( )

    01

    n nN

    i t k x

    ne

    On peut choisir kn compris entre k0-k/2 et k0+k/2 et faire tendre N vers linfini. Supposons galement que lon connat une fonction de k qui permet dobtenir les valeurs On a alors :

    0

    0

    / 2( ( ) )

    0/ 2

    k ki k t kx

    k k

    dke

  • En faisant en toute gnralit un dveloppement de taylor de autour de k0 :

    0 0( ) ( ) ( ) .....dk k k kdk

    VgOn arrive la solution (voir les dtails sur site en bas de page) :

    0 0 0

    sin( ( ))2 exp( ( ))( )

    2

    g

    g

    k V t xi t k xk V t x

    Enveloppe. A t donn, tend vers zro quand x tend vers linfini => Localisation

    http://www.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/divers/paquet2.html

  • Evolution temporelle, avec k

    En rsum :

    Une onde peut tre localise dans lespace. Elle peut alors trereprsente par une somme infinie dondes dlocalises.

    On peut lui associer un dplacement qui va dpendre de (k)

  • III) Comportement ondulatoire des corpuscules

    1) Relation de de Broglie On a trouv une relation entre une proprit corpusculaire du

    photon et une proprit de londe associe.

    photonE h

    kVm Masse de la particule Vitesse de la particule

    nombredonde

    2h

    Louis de Broglie a propos une relation sappliquant une particule quelconque (de masse diffrente de zro). Si lon associe une onde de la forme )

    0

    i(kx te

    a cette particule, alors la relation liant la proprit corpusculaire la proprit ondulatoire est :

    (= h barre )

  • Soit :

    phoukp

    Quantit de mouvementLongueur donde

    et

    N.B pour lnergie dune particule relativiste (par exemple le photon !),il faut utiliser linvariant relativiste :

    Et en posant m=0 pour le photon, on obtient :

    et donc

    On retrouve la formule de lnergie du photon

    2 2 2 2 4particuleE p c m c

    hcE h

    E pc

    2 2 2

    2 2cin particulep kEm m

  • Pour un acarien de 10-8 kg se dplaant 0,1 mm s-1 on obtient :

    =6,6 10-22 m

    Pour dtecter cette onde par diffraction, il faudrait une fente avec une ouverture de lordre 10-22 m ! Seul laspect particule est visible.

    mpT 2

    2

    10150, 4 ( )( ) 102h eVm

    TmT

    Pour un lectron de masse m = 9,1 10-31 kg ayant une nergie cintique

    Rappel : 1 eV est lnergie acquise par un lectron soumis un potentiel d1 Volt.

    Dans un potentiel de 150,4 V on a donc T=150,4 eV et donc =10-10 mQui est une dimension caractristique du monde microscopique auquel appartient llectron.

  • donc lorsque v devient petit, augmente

    Pour obtenir une longueur donde =10-10 m avec une masse de 1 kg, il faut unevitesse

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