Les grandes découvertes scientifique qui ont

contribué à l’evolution de la société

L’algebre linéaire

Introduction: L’algébre linéaireHistoire du algébre linéaireDates sur les mathématiques qui ont

contribué au développement du algébre linéaire

Applications dans la vie quotidienne Bibliographie et sitographie

Sommaire

 est la branche des mathématiques qui s'intéresse à

l'étude des espaces vectoriels (ou espaces linéaires), de leurs éléments

les vecteurs, des transformation linéaires et des systèmes d'équations

linéaires (théorie des matrices).

L’algèbre linéaire

L'histoire de l'algèbre linéaire commence avec René Descartes qui le premier pose des problèmes de géométrie, comme l'intersection de deux droites, sous forme d'équation linéaire. Il établit alors un pont entre deux branches mathématiques jusqu'à présent séparées : l'algèbre et la géométrie. S'il ne définit pas la notion de base de l'algèbre linéaire qui est l'espace vectoriel, il l'utilise déjà avec succès.

Historique

Au XIXe siècle l'algèbre linéaire devient une branche des mathématiques à part entière. Carl Friedrich Gauss trouve une méthode générique pour la résolution des systèmes d'équations linéaires, Marie Ennemond Camille Jordan résout définitivement le problème de la réduction d'endomorphisme. En 1843, William Rowan Hamilton (inventeur du terme vector) découvre les quaternions.

Historique

Le début du XXe siècle voit la naissance de la formalisation moderne des mathématiques. Les espaces vectoriels deviennent alors une structure générale omniprésente dans presque tous les domaines mathématiques.

Historique

Dates sur les mathématiques qui ont contribué au développement du algébre linéaire...

 Eugène Rouché 

Joseph-Louis Lagrange 

Évariste Galois

Kronecker Cappelli

Les pricipales gens qui ont contribué à l’evolution

d’algébrique sont:

Eugène Rouché

Né le  18  août  1832 

Mort le 19 août 1910 

Hérault

VIE:Il est ancien élève de l'École polytechnique (1852). Il est professeur de mathématiques au lycée Charlemagne, à l'École centrale, et examinateur d’admission à l'École polytechnique.

Carrière:

Il est l'auteur du théorème de Rouché en analyse complexe, publié dans le Journal de l'École polytechnique (1862).

Joseph-Louis Lagrange

Né le 25 janvier 1736Mort le 10 avril 1813

Italien

Élève brillant issu d'un milieu aisé, il étudie au collège de Turin. Il prend goût pour les mathématiques par hasard à l'âge de 17 ans après la lecture d'un mémoire de Edmund Halley portant sur les applications de l'algèbre en optique.Il se consacre à des problématiques variées : Algèbre, calcul infinitésimal,probabilités, théorie des nombres, mécanique théorique,mécanique céleste, mécanique des fluides, cartographie... 

Est un mathématicien, mécanicien et astronome. Italien, mais de famille française par son arrière-grand-père, il passa trente ans dans le Piémont, puis vingt-et-un ans à Berlin, et le restant de ses jours à Paris.

Évariste Galois

Né le1811 Mort le1832

France

En étudiant le problème de l'équation algébrique, Galois met en évidence les premiers éléments de la théorie qui porte maintenant son nom. Ses écrits sont perdus ou tombent dans l'oubli. Un mémoire est finalement retrouvé par Liouville (1809 1882) qui le présente à l'Académie des sciences en 1843.

Galois, pour la première fois dans l'histoire des mathématiques, met en évidence une structure Abstraite qu'il appelle groupe.

À la différence de ses prédécesseurs, il n'étudie pas une incarnation particulière comme les permutations de Lagrange ou les groupes cycliques de Gauss, mais une structure générale définie par un ensemble et une loi.

Cette démarche, particulièrement novatrice, est à l'origine de l'algèbre moderne. Liouville en parle dans les termes suivants : « Cette méthode, vraiment digne de l'attention des géomètres, suffirait seule pour assurer à notre compatriote un rang dans le petit nombre des savants qui ont mérité le titre d'inventeur

Évariste Galois

Né le1811 Mort le1832

France

La théorie de Galois voit ses origines dans l'étude des équations algébriques. Elle se ramène à l'analyse des équations polynomiales. Une approche par des changements de variables et des substitutions a permis à des mathématiciens comme Al-Khwarizmi (783 850),Tartaglia (1499 1557), Cardano(1501 1576) ou Ferrari (1522 1565) de résoudre tous les cas jusqu'au degré quatre. Cette approche ne permet pas d'aller plus loin et deux siècles seront necessaries pour apporter de nouvelles idées.

Un pentagone en théorie de Galois est une figure d'un espace vectoriel rationnel de dimension quatre.

 Théorie de Galois

En arithmétique L'écriture, dite irréductible, d'un rationnel sous

la forme d'un quotient de deux nombre entiers premier entre eux.

La décomposition canonique d'un élément d'un anneau factoriel est son écriture comme produit d'éléments irréductibles.

Dans l'anneau des entiers relatifs, la décomposition canonique d'un entier est son écriture comme produit de puissances de nombres premiers.

Décomposition canonique

En arithmétique L'écriture, dite irréductible, d'un rationnel

sous la forme d'un quotient de deux nombre entiers premier entre eux.

La décomposition canonique d'un élément d'un anneau factoriel est son écriture comme produit d'éléments irréductibles.

Dans l'anneau des entiers relatifs, la décomposition canonique d'un entier est son écriture comme produit de puissances de nombres premiers (voir Décomposition en produit de facteurs premiers).

En mathématiques, plus précisément en analyse, le calcul intégral est l'une des deux branches du calcul infinitésimal, l'autre étant lecalcul différentiel.

Le calcul intégral permet la démonstration de la formule de l'aire d'un cercle. Il permet aussi dans un ensemble plus général le calcul d'aire de forme quelconque.

Calcul numérique

Simulation numérique d'une collision d'une voiture dans un mur

On entend souvent par calcul numérique un ensemble de calculs qui sont réalisés sur un système informatique, encore appelé système numérique (ou ordinateur). On réalise généralement des calculs numériques pour simuler par exemple des phénomènes naturels tels que déformations de matériaux sous l'effet de contraintes extérieures, etc.; autant de domaines pour lesquels le calcul à la main (sur une simple feuille de papier) prendrait des heures et des milliers et des milliers de feuilles de papier (Voir aussi : Simulation informatique, Ingénierie numérique).

L'algorithme du simplexe de George Dantzig est une technique à la fois fondamentale et très populaire pour les problèmes d'optimisation linéaire. Ainsi, étant donné un ensemble d'inégalités linéaires sur variables réelles, l'algorithme permet de minimiser (ou maximiser) une fonction objectif, qui est elle aussi linéaire.

Algorithme du simplexe

En termes géométriques, l'ensemble des inégalités linéaires définit un polytope dans l'espace à dimensions (polygone en 2 dimensions et polyèdre en 3 dimensions) et il s'agit de trouver le sommet optimal pour la fonction de coût donnée. En effet, la fonction que l'on cherche à minimiser étant linéaire sur le polytope, elle y est en particulier concave. Or une fonction concave et minorée sur un polytope admet un minimum en un des sommets du polytope. La recherche d'un point de minimum peut donc se restreindre aux sommets du polytope (qui peuvent être très nombreux néanmoins).

L'algorithme

Applications dans la vie quotidienne

Il s'agit de déterminer un maximum en fonction de contraintes économiques, par exemple un profit.

1/ Ecrire les inéquations de contrainte et la fonction économique2/ Transformer les inéquations de contrainte en équationsIntroduire des variables d'écart. Il y a autant de variables d'écart que d'inéquations de contrainte.3/ Mettre en forme matricielle : Base de depart PPT S10

Aplications:

Autres aplicati

ons:

Dans le monde actuel, où les télécommunications occupent une place cruciale, la cryptographie est un enjeu majeur.

Elle est aussi devenue une science complexe, qui ne peut se passer de mathématiciens de haut niveau.

Cryptage et décryptage :communiquer

en toute sécurité

En France, le secret des cartes à puce était protégé depuis 1985 grâce à une méthode de cryptage faisant intervenir un grand nombre N, constitué de 97 chiffres. Ce nombre N doit être le produit de deux grands nombres premiers, c’est-à-dire de nombres qui, comme 7 ou 19, ne sont divisibles que par 1 et par eux-mêmes. Le secret d’une carte bancaire est constitué précisément par ce couple de nombres premiers ; les calculer à partir de N était pratiquement impossible dans la décennie 1980. Mais avec l’augmentation de la puissance des ordinateurs et l’amélioration des méthodes mathématiques, la taille des nombres N dont on peut calculer les facteurs premiers en un temps raisonnable a dépassé la centaine de chiffres dans les dernières années du siècle (le record actuel, 158 chiffres).

Cette péripétie illustre l’importance considérable que revêt aujourd’hui la science du cryptage, c’est-à-dire du codage de messages en vue de les rendre illisibles par des personnes indiscrètes. Crypter et décrypter des messages secrets est une activité vieille de plusieurs siècles, voire millénaires. Et cette activité a largement débordé du cadre strictement diplomatique ou militaire pour investir des pans entiers de l’univers des communications civiles: procédures d’authentification, transactions bancaires, commerce électronique, protection de sites et fichiers informatiques, etc.

La cryptographie moderne,au croisement des mathématiqueset de l’informatique

Les dessousdu téléphone portable

Qui n’a jamais vu un portable ou téléphoné avec ? Mais rares sont ceuxqui ont une pensée pour la science et la technologie mises en jeu.

Le téléphone mobile est aujourd’hui d’un usage très courant dans beaucoup de pays.

En 1985, existaient un grand nombre de systèmes de téléphonie sans fil, mais ils étaient mutuellement incompatibles. Pour les rendre compatibles, il fallait donc se mettre d’accord sur une norme commune de specifications qui s’appele GSM (Global System for Mobile communications).

En particulier, les mathématiques et l’algorithmique jouent un rôle fondamental dans la conception et le bon fonctionnement des mécanismes internes des réseaux radio-mobiles. Les mathématiques fournissent le substrat théorique sur lequel s’appuient presque toutes les étapes fondamentales de traitement de l’information nécessaires à la gestion d’une communication téléphonique à partir d’un portable.

L’algorithmique, elle, permet de transformer ces résultats fondamentaux en protocoles effectifs et efficaces, pouvant être mis en oeuvre concrètement au sein d’un réseau radio-mobile.

Une antenne relais pour la téléphonie mobile GSM, en campagne, sur exploitation agricole. (Cliché REA)

Tout d’abord, toutes les données transmises au sein d’un réseau radio-mobile sont uniquement numériques : elles sont en effet constituées de « paquets », c’est-à-dire de suites de 0 et de 1 de longueur fixe, émis tous les quarts de seconde, qui contiennent l’ensemble des informations (parole, identification du portable, qualité de réception telle que la mesure le mobile, etc.) liées à une communication téléphonique donnée.

Des algorithmes pour numériserl’information, la découper enpaquets, la crypter, etc.

La grande différence entre la téléphonie mobile et la téléphonie fixe classique réside bien entendu dans le fait que les paquets d’information numérique sont transmis par ondes hertziennes et non par câbles ; cela a nécessité la mise au point d’un ensemble de techniques algorithmiques et mathématiques très spécifiques. Celles-ci font intervenir à la fois de l’algorithmique répartie, de l’optimisation combinatoire, du traitement numérique du signal, de la géométrie algorithmique ou du codage correcteur d’erreurs, pour ne citer que quelques domaines parmi beaucoup d’autres.

Les paquets d’information ne sont en effet pas transmis de manière brute. Pour assurer la confidentialité des communications, chaque paquet est crypté à l’aide d’un protocole cryptographique spécifié par la norme et utilisant des clefs secrètes propres à chaque opérateur (et l’on sait que les méthodes cryptographiques reposent sur des techniques et concepts algébriques ou géométriques souvent très élaborés).

L’apport de l’algorithmique et des mathématiques ne se limite pas à la chaîne de traitement de l’information numérique que nous venons (très rapidement) d’esquisser. Les techniques algorithmiques sont en particulier fondamentales pour gérer efficacement les fréquences radio dont dispose chaque opérateur.

Deux communications réalisées en même temps par deux portables différents, mais géographiquement proches, ne peuvent être acheminées sur des fréquences voisines sous peine d’interférences affectant la qualité des transmissions.

De la théorie des graphes pourallouer convenablement lesfréquences

Il est donc nécessaire de savoir répartir de façon optimale les fréquences disponibles parmi tous les utilisateurs — qui sont bien plus nombreux que les fréquences. On peut démontrer qu’un être humain n’est pas capable de résoudre exactement ce type de problème en un temps raisonnable. Les méthodes algorithmiques, fondées sur des modèles mathématiques tels que la théorie des graphes, ont ici été déterminantes pour réaliser des logiciels de planification qui permettent effectivement de résoudre — de manière approchée — ces problèmes d’allocation de fréquences.

Bibliographie • “Îmblânzirea infinitului- povestea matematicii”, Ian

Stewart, Humanitas

• La brochure “L’explosion des mathématiques”

• http://www.wikipedia.org

• http://www.astrofiles.net

• http://www.cosmovisions.com/calculdifferentiel.htm

• http://villemin.gerard.free.fr