algébre 2 (partie 1)

7/28/2019 Algbre 2 (Partie 1)

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1

Universit Hassan IIFacult des Sciences Juridiques,

conomiques et Sociales deMohammedia

AnneUniversitaire2010/2011

MATHEMATIQUES (Semestre 4 )

ALGEBRE II

Professeur : M.REDOUABY


2/30


3/30

3

A. MATRICES PARTICULIERES

1) Matrices Diagonales

Une matrice carre dordre n est dite diagonale

si tous ses termes sont nuls sauf ceux qui se

trouvent sur la diagonale principale

Diagonale principale

LLMLLMMLLM

LL


4/30

4

1) Matrices diagonales

Exemple :

est diagonale

njiijaA

=

,1)(

=

000

050

002

D

0=ij

a jiavec si

Dans le cas gnral, une matrice diagonale ala forme suivante :

=

n

D00

00

001

O

IRn,...,1avec :

Bloc deZros

Bloc deZros


5/30

5

Proprits des matrices diagonales

La somme de deux matrices diagonales

D1 et D2 est une matrice diagonale :ses termes diagonaux sont obtenus en faisant

la somme des termes diagonaux homologues

des matrices D1 et D2

Somme de deux matrices diagonales

+

nn

00

00

00

00

00

0011

OO

+

+

=

nn

00

00

0011

O


6/30

6

Exemple

=

+

000

060

0010

000

010

0012

000

050

002


La multiplication dune matrice diagonale Dpar un nombre rel est une matrice diagonale

dont les termes diagonaux sont le produit par

ce nombre des termes diagonaux de la

matrice D


7/30

7

Multiplication par un nombre rel

n00

00

001

O

=

n

00

00

001

O

Exemple

=

700

060

0010

2/700

30

005

2


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8

Le produit de deux matrices diagonales

D1 et D2 est une matrice diagonale dont lestermes diagonaux sont le produit des termes

diagonaux homologues des deux matrices

D1 et D2


Produit de deux matrices diagonales

nn

00

00

00

00

00

0011

OO

=

nn

00

00

0011

O


9/30

9

Exemple

=

000

0150

002

1000

030

001

000

050

002

Le dterminant dune matrice diagonale

D est gal au produit des termes diagonauxde cette matrice



10/30

10

Dterminant dune matrice diagonale :

=

n

D

00

00

001

O

nDdt = ...1)(alors :

Ou encore :

n00

00

001

On

=...1


11/30

11

Exemple 1

42732

700

030

002

==

Exemple 2

0302

300

000

002

==


12/30

12


En consquence : si dans une matrice

diagonale, un des termes diagonaux est nul

cette matrice nest pas inversible

Ou encore : pour quune matrice diagonalesoit inversible, il suffit que sa diagonale ne

comporte aucun lment nul

Exemple

=

000

050

002

D nest pas inversible :

0052)( ==Ddt


13/30

13

Exemple

=

300

050

002

D est inversible :

30352)( ==Ddt


Linverse dune matrice diagonale D

lorsquelle existe est une matrice diagonaledont les termes diagonaux sont les inverses

des termes diagonaux homologues de la

matrice D


14/30


15/30

15

En effet

=

100

010

001

4/100

03/10

002/1

400

030

002

Matriceunit


D tant une matrice diagonale, Dn est une

matrice diagonale dont les termes diagonauxsont les puissances nimes des termes

diagonaux homologues de la matrice D


16/30

16

Puissance dune matrice diagonale

m

n

00

00

001

O

=

m

m

n

00

00

001

O

avec : m entier naturel

Exemple

=

6400

0270

008

400

030

002 3


17/30

17

Consquence

m

n

00

00

001

O

=

m

m

n

00

00

001

O

On peut gnraliser le rsultat prcdent : en vertu des proprits de linverse

dans le cas o les termes diagonaux sont non

nuls, avec : m entier positif ou ngatif

Exemple

=

300

050

001

D

=

=

2700

01250

001

)3(00

050

00)1(

3

3

3

3D


18/30

18

Exemple

=

=

9/100

025/10

001

)3(00

050

00)1(

2

2

2

2D

Remarque : 22 )( 1= DD


2) Matrices Semblables

Deux matrices A et B carres dordre n sontdites semblables sil existe une matricecarre P dordre n inversible telle que

PAPB1-

=


19/30

19

Exemple

Formule de changement de base

Voir cours Algbre I, Semestre 3

PMPMBB /'/

1=

Exemple : Formule de changement de base

P est la matrice de passage de la base B la base B :

B

Bainsi, si on pose : et

On obtient :

=P

/BMA =

/B'MB =

PAPB1-

=


20/30


21/30


22/30

22

Linverse de la matrice P est donne par :

=

111

111

111

2

11P

on obtient alors :

=

110

101

011

101

310

211

111

111

111

2

1f/B'

M

On utilise lassociativit pour calculer le

produit des trois matrices et on trouve :

Exemple

=

200

101231

f/B'M


23/30

23

Ainsi, les deux matrices suivantes :

Exemple

=

200

101

231

B

=

101

310

211

Aet

PAPB1-

=vrifient :

avec :

Exemple

Les deux matrices B et A sont semblables

=

110

101

011

P Matrice de passage de labase canonique la base B


24/30

24

Proprits des matrices semblables

Deux matrices semblables

ont mme dterminant

Preuve : Proprits du Dterminant

B)det(A)det(det(AB)=

1-1-(det(A)))det(A =

, .

)det()det( APPB1-

=

Deux matrices semblables

ont mme dterminant

APPB1-

=

))det()det(det( PAP1-

=

))det()det(det( APP1-

=

= 1)det(A=


25/30

25

Proprits des matrices semblables

Si A et B sont semblables alors An et Bnsont semblables (n entier naturel)

Preuve : =APPB

1-

APPAPPAPPB1-1-1-n

= ...

matriceunit

matriceunit

matriceunit

Preuve

donc An et Bn sont semblables

PAPBnn 1-

=


26/30


27/30

27

Preuve n entier ngatif

Ainsi :

-n est positif

Finalement :

P)(AP)(Bn-n- 1-1-1-

=

PAPBnn 1-

=

Bn et An sont semblables

A retenir

An et Bnsont semblables : n entier positif

PAPBnn 1-

=

APPB1-

= A et B sont semblables


28/30

28

Cas particulier : A est inversible

An et Bnsont semblables : n entier positif ou ngatifPAPBnn 1-

=

APPB1-

=

En particulier : PAPB1-1-1-

=

A et B sont semblables


3) Matrice diagonalisable

Soit A une matrice carre dordre n


29/30

29

Dfinition

On dit que A est diagonalisable si elle estsemblable une matrice diagonale :

matrice diagonale ; matrice inversible

telles que :

PD

PAPD1-

=

A =

Exemple

23

21

P =

13

12

P-1

=

23

11

5

1

P-1 A P =

23

11

5

1

23

21

13

12


30/30

On utilise lassociativit du produit :

P-1 A P =

23

11

5

1

=

112

18

=

10

04D

Matrice diagonale

Conclusion

A est diagonalisable car elle est

semblable une matrice diagonale :

P-1 A P = D

avec : D = et P =

10

04

13

12

23

21=

algébre 2 (partie 1)

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