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Acc616ration pour

Patrick VINCENT *

Andr6 ROGER *

des m6thodes de gradient utilis6es I'optimisation des antennes filaires

R6sum6

Une mdthode basde sur l'utilisation de lYtat adjoint est appliqude au cas des antennes filaires pour rechercher les valeurs des impedances localis~es qui permettent d'amdliorer la directivitd. Cette m~thode conduit quel que soit le nombre de paramktres recherchds ~ la rdsolution d'une seule ~quation int6grale pour le calcul du gradient. Des exemples num6riques sont donnds.

Mats cl6s : Antenne ill, Optimisation, M6thode gradient, Fonction coot, Directivit&

IV. Cas des impddances local&des.

V. Choix d'une fonction de co~t.

VI. Calcul numdrique.

Conclusion.

Bibliographie (4 rdf ).

I. P O S I T I O N D U P R O B L E M E

E N H A N C E M E N T OF G R A D I E N T M E T H O D S U S E D IN ANTENNA OPTIMIZATION

Abstract

A method based on the adjoint state is described for the determination of impedances that enhance the direetivity of wire antennas. This method needs only the resolution of one integral equation, whatever the number of parameters is. Numerical examples are given.

Key words : Wire antenna, Optimization, Gradient method, Cost function, Directivity.

Sommaire

I. Position du problOme.

II. Calcul du champ rayonnd par l'antenne.

III. Caleul du gradient.

Le calcul sur ordinateur du champ rayonn6 par une antenne filaire est maintenant d'une pratique courante. En dehors de cas particuliers pour lesquels le calcul alg6brique permet d'exhiber des formules approch6es donnant une pr6cision sutiisante on est amen6 /t r6soudre num6riquement une 6quation int6grale pour calculer le courant le long de l'antenne. Le champ proprement dit est alors donn6 par une int6grale portant sur le courant ainsi calcul6. Le probl6me inverse qui consiste h d6terminer la forme de l 'antenne produisant un diagramme de rayon- nement fix6 ~ l'avance est beaucoup plus difficile. En effet, du point de rue math6matique, on ne sait pas r6soudre ce probl6me inverse par une m6thode directe ni marne 6noncer quelles sont les conditions 5, imposer sur le champ pour assurer l'existence et l'unicit6 de la solution. D 'un point de vue pratique, on enes t donc r6duit b, utiliser des m6thodes it6ratives permettant d 'approcher la solution pas /~ pas en minimisant une fonction de cofit dont la valeur traduit l'6cart entre le champ souhait6 et le champ effectivement rayonn6 par l'antenne. Les m6thodes de ce type sont en g6n6ral des m6thodes de gradient qui font appel ~ chaque 6tape de l'it6ration au calcul des variations de la fonction cofit lorsque chacun des param~tres du probl6me varie. Dans le cas d 'une

* Laboratoire d'Optique Electromagn&ique, UA 843 CNRS, Universit6 d'Aix-Marseille III, Centre de Saint-J6r6me, 13397 Marseille Cedex 13, France.

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antenne d6crite par exemple par cinq param6tres g6om6triques diff6rents, on est donc amen6 5. r6soudre successivement cinq fois de suite l'6quation donnant le courant le long de l'antenne pour connaltre le gradient de la fonction de coot. Ce proc6d6 conduit en g6n6ral 5. des temps de calcul importants et la m6thode propos6e ici vise 5. 6viter cet inconv6nient.

avec :

(6) No(l) = - - (fi - - 0) exp(-- ikF - - ?').

Ces calculs sont classiques et nous avons utilis6 comme base de d6part le logiciel 6crit en Fortran par la soci6t6 Mothesim pour r6soudre le probl6me direct.

II. CALCUL DU CHAMP RAYONNI~ PAR L'ANTENNE

III. CALCUL DU GRADIENT

En partant de l'expression des potentiels 5. partir de la fonction de Green g :

(1) g(F - - ?') = - - exp(ik(P - - ?'})/{P - - F'},

les approximations classiques des antennes filaires [1](*) conduisent 5. une 6quation intdgrale du type Poklington pour le courant. Nous l'6crirons :

U

(2) t M(l, l')l(l')dl'= s(/),

s(l) repr6sente les sources dispos6es le long de l'antenne en fonction de l'abscisse curviligne l, I(l') est le cou- rant le long de l'antenne, le noyau M(l, l') de l'6qua- tion int6grale s'exprime en fonction de la fonction de Green g par l'expression :

(3) ( i t~e)-I /,~. ~ [ g ( ~ , pt) at. ~1 _ _ i to ~x •. t~' g(?, F'),

dans laquelle fi et fi' sont les vecteurs unitaires tangents au fil aux points d'abscisse curviligne l et l'.

Cette 6quation est projet6e sur une base de fonc- tions triangulaires Tn(l) lin6aires par morceaux. Deux fonctions successives se recouvrent partiel- lement l'une et l 'autre donc, ne formant pas de base orthogonale. Cependant cette base reprdsente un bon compromis entre la facilit6 de calcul et la pr6cision de la repr6sentation. La projection de l'6quation int6grale conduit 5. un syst6me d'6quations lin6aires que l 'on r6sout au moyen d 'un classique algorithme de Gauss-Jordan. Le nombre de fonc- tions de base utilis6 d6pend du probl~me trait6, mais l'exp6rience num6rique montre que, en g6ndral, dix fonctions par longueur d'onde suffisent pour obtenir un r6sultat correct.

Une fois le courant I(l) connu, l'amplitude de diffusion 5- l'infini est donn6e par le produit scalaire qui s'6crit :

(4) /~ = i R(l)l(l)d(l),

En utilisant un syst~me de coordonn6es sph6riques (r, 0, q~) la composante Eo du champ 61ectrique est donn6e par une int6grale analogue :

(5) Eo = ! No(1)I(l)dl,

(*) HARRINGTON (R. F.). Matrix methods for field problems.

La relation entre la forme de l'antenne et le dia- gramme de diffusion 5- l'infini n'est pas simple, puisqu'un changement de forme change le chemin d'int6gration suivi pour calculer l'int6grale curvi- ligne dans l'6quation (2). De marne, il n'est pas possible d'expliciter directement le lien entre une variation des termes de source s(l) et le champ rayonn& II n'est donc pas question d'inverser directement cette relation et on est contraint d'utiliser une m6thode de recherche de param6tres. Une idde simple consiste 5- s'int6resser 5- la liaison entre les petites variations des param6tres de l'antenne et celles du champ rayonn6. Le calcul de ce gradient peut atre consi- ddrablement acc616r6 par l'utilisation des propri&6s des op6rateurs adjoints, propri6t6s souvent utilis6es en thdorie de l'optimisation. En 61ectromagn6tisme, les propri6t6s des op6rateurs adjoints ont ddj5- 6t6 employ6es pour r6soudre des probl6mes de synth6se d'antenne pour lesquels il est possible d'exhiber des solutions propres sous forme alg6brique [2], ou en association avec la technique des modes carac- tdristiques [3].

Nous proposons ici d'utiliser directement l'6quation adjointe de l'6quation int6grale (1) v6rifi6e par le courant pour calculer le gradient de la fonction coot que l 'on veut minimiser. Pour cela, on suppo- sera que cette fonction est d6finie 5. partir du champ rayonn6 dans diff6rentes directions par l'antenne. Pour des raisons de simplicit6 nous expliciterons les calculs dans le cas o/a une seule composante Eo du champ rayonn6 suffit 5. d6finir la fonction de coot, mais il est 6vident que la m6thode s'dtend imm6- diatement au cas o~a plusieurs composantes inter- viennent dans sa d6finition.

Le point de d6part est l'6quation int6grale adjointe de l'6quation (2) :

U

(7) ! M(I" I) I*(1') d l '= No(l),

oCa I* d6finit la distribution de courant adjointe sur l'antenne lorsque l'on prend comme source la fonction N(l) qui intervient dans le produit scalaire (4) donnant te champ rayonn&

Une petite variation 31 du courant I le long de l'antenne, comme une petite variation de la forme de l'antenne, donc du terme N(I) dans le produit

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P. VINCENT. - METHODES DE GRADIENT UTILISI~ES POUR L'OPTIMISATION DES ANTENNES FILAIRES 253

scalaire produit une petite variation 8Eo de la compo- sante E0 du champ rayonn6. Par souci de simpli- cit6 nous supposerons que la g6om6trie de l'antenne reste fixe et que seul le courant I varie, c'est-h-dire que nous cherchons la valeur optimale des sources disposdes le long de l'antenne, mais la m6thode utilis6e permet, au prix d 'un calcul un peu plus compliqu6, de tenir compte d 'un changement dans la g6omdtrie de l'antenne. La variation de Eo s'6crit :

(8) ~Eo ---- f No(l) M(l) dl. .)

En explicitant N 5- l'aide de l'6quation adjointe, il vient :

(9) 3E0 = f l M(I, l') I*(l') ~I (1) dl dl'.

D'autre part, le calcul des variations sur l'6quation int6grale (2) donne la relation :

(10) O : i 3M(l, l ')I(l')dl' + i M(1, l')SI(l')dl'. ,) ,J

En reportant (10) darts (9), il vient :

(11) 8Eo = - - \ \ 8M(l', l) I*(I') I(1) dl dl'. 2,)

V. CHOIX D'UNE FONCTION DE COOT

La m6thode d6crite pr6c6demment est utilisable avec toutes les fonctions de coot dont le gradient peut &re exprim6 5. partir de 8Eo. Le choix d'une fonction de coot particuli~re d6pend du but pour- suivi. Notre seule ambition ici, est de d6montrer que la m6thode de l'6tat adjoint est efficace pour mettre en oeuvre un algorithme de recherche it6ratif, sans viser une application en particulier. C'est pour- quoi nous avons choisi, 5. titre d'exemples deux fonctions dont l'int6r~t peut paraitre un peu aca- d6mique, mais convenables pour d6montrer les possibilit6s de la m6thode.

La premi6re fonction de coot revient 5. prendre l'inverse de l'6nergie rayonn6e dans une fen~tre angulaire fixde a priori. On cherche donc 5- rendre cette 6nergie maximale.

La deuxi6me est calcul6e en faisant le rapport de l'6nergie totale rayonn6e par l'antenne dans toutes les directions 5- l'6nergie rayonn6e dans une fen~tre angulaire. En fait, il a sembl6 pr6f6rable d'utiliser une fonction susceptible de s'annuler lorsque le but fix6 est parfaitement rempli, et donc de calculer le logarithme de ce rapport.

Ainsi les petites variations du champ rayonn6 peuvent ~tre calcul6es 5- partir des petites variations du noyau de l'6quation int6grale, des valeurs du courant I et de celles du courant adjoint I*. Donc il est possible, en r6solvant seulement les 6quations int6grales (2) et (7) de calculer SEo quel que soit le nombre de param6tres dont d6pend 3M.

IV. CAS DES IMPI~DANCES LOCALISI~ES

Lorsque les seuls param6tres recherch6s sont les imp6dances localis6es dispos6es le long de l'antenne, le calcul des variations du noyau de l'6quation ~nt6- grale prend une forme particuli6rement simple. En effet, la matrice qui repr6sente ce noyau sur la base des fonctions Tn(1) s'6crit alors sous la forme de deux termes, l 'un ind6pendant de ces imp6dances et l'autre, une matrice diagonale dont les 616ments repr6sente les valeurs de celles-ci. En 6crivant ~Z~ la variation de l'imp6dance Z~ plac6e au point d'abscisse curviligne It, la relation (11) peut alors s'6crire :

02) ~Eo = - - E ~z, i* (t,) iq,). i

VI. CALCUL NUMI~RIQUE

Le programme fourni par la soci6t6 Mothesim a 6t6 modifi6 pour permettre la mise en ceuvre de cette m&hode. Nous avons utilis6 comme algorithme de recherche du minimum de la fonction de coot, la m6thode du gradient conjugu6. Ce choix a 6t6 dict6 plus par des raisons pratiques (nous avions 5. notre disposition un sous-programme 6crit par Fun de nous) que pour des raisons th6o- riques. En effet, ce sous-programme est pourvu de tests permettant de continuer le calcul par des moyens plus rustiques lorsque la m6thode du gra- dient conjugu6 diverge, et donc, poss6de une tr6s bonne stabilit6.

On remarque que le calcul des courants adjoints I* ne requiert qu'un produit de matrice une fois la r6solution de l'6quation int6grale (2) faite par inversion de la matrice qui repr6sente le noyau M(l, l') sur la base des fonctions triangulaires Tn(l). En effet, la solution de l'6quation adjointe est alors directement obtenue 5. partir de la transpos6e de la matrice inverse. Pour des raisons li6es 5. la conser- vation de l'6nergie la m6thode ne converge 6videmment pas si on l'applique sans imposer de contraintes sur la partie r6elle des imp6dances. En fait, la partie r6elle tend vers l'infini au fur et 5- mesure de l'it6ration.

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254 r . VINCENT. - METHODES DE GRADIENT UTILISEES POUR L'OPTIMISATION DES ANTENNES FILAIRE5

Pour rem6dier h ce probl~me, nous avons choisi de fixer h l'avance la valeur des r6sistances et de rechercher seulement la valeur des parties imaginaires.

Dans une premiere 6tape, nous avons v6rifi6 la validit6 de notre programme en comparant les valeurs du gradient calcul6es en utilisant l '6quation adjointe avec celles obtenues par un calcul de diff6rences finies. Compte tenu des approximations inh6rentes

chacune de ces m6thodes, les r6sultats obtenus sont en excellent accord. Nous avons ensuite tent6 d'effectuer des calculs d'optimalisation dans des cas concrets.

Les figures 1 et 2 donnent le diagramme de diffrac- tion d 'une antenne rectiligne de 300 m de long, aliment6e ~t la fr~quence de 1 MHz par une source de 1 V plac6e au milieu de l'antenne. Les quatre imp6dances sont plac6es sym6triquement b. 50 et 100 m de la source et leur partie r6elle est choisie 6gale ~t z6ro. On a recherch6 la partie imaginaire des imp6dances successivement avec les deux fonctions de cofit d6crites plus haut, en prenant ~. chaque fois une fen~tre angulaire sym6trique par rapport au plan m6dian, de largeur 20 degr6s. On voit que la premiere fonction conduit ~ une 6nergie diffract6e dans la fen~tre plus grande qu'avec la seconde, mais aussi ~ une directivit6 moins bonne.

La figure 3 donne le diagramme d'une antenne de m~me longueur, avec la m~me source, mais cette fois on place six imp6dances aux points d'ordonn6es - - 1 2 0 , - - 8 0 , - - 4 0 , 40, 80, 120. La fen~tre angu- laire choisie est (400-50 ~ et on a utilis6 la premi6re fonction cofit.

0,3

0,2

0,1

0

-0,1

-0,2

-0,3

I I I I I

i I J I i 0,2 0,4 0,6

1 . 1 0 -2, I I I

O' I ~

-0'51

- 1 I i I 0 0,5 1 1,5 2.10 -2

FIG. 2. - - Comme pour la figure 1, mais on utilise la deu- xi6me fonction de coot qui rend maximal le rappor t 6nergie rayonn6e dans la fen6tre angulaire sur 6nergie rayonn6e totale. On a trouv6 cette fois pour les parties imaginaires : 180, 115,

115, 180.

As in figure 1, but the second cost function maximizing the energy in the angular window on total energy ratio is used. The

impedances are : 180, 115, 115, 180.

0,8 I I I/ I I /

0,6

0,4

0,2.

0

-0,2,

-0,4

-0,6 [

0,8 I J 0 0,4 0,8 1,2

FIG. 3 . - Diagramme de rayonnement optimalis6 pour une fen6tre angulaire (40 ~ 60 ~ avec une fonction de coflt analogue h celle de la figure 1. Les valeurs trouv6es dans ce cas sont :

234, 325, 363, - - 521, - - 511, - - 360.

Same as in figure 1 but the angular window is (40 ~ 60 ~ and the impedances are : 234, 325, 363, - - 5 2 1 , - - 5 1 1 , - - 3 6 0 .

FIG, 1 . - Diagramme de rayonnement d 'une antenne~situ6e sur l 'axe Oz, centr6e sur l 'origine et optimalis6e pour diffracter un max imum d'6nergie dans une fen~tre angulaire (dessin6e en traits interrompus) de 10 degr6s de par t et d 'aut re du plan xOy. On a port6 en coordonn6es polaires dans un plan m6ri- dien le carr6 du module du champ en fonct ion de l 'angle de diffraction pour une source de 1 V " les deux axes sont donc gradu6s avec la m6me 6chelle. En imposant aux imp6- dances dispos~es le long de l ' an tenne une partie r6elle nulle, on a trouv6 pour les parties imaginaires : - - 5 3 6 , - - 4 0 6 ,

- - 406, - - 536.

FIG. 1. - - Square modulus o f the f ieM scattered by an antenna lying on the z-axis, centered at the origin. The cost function optimize the energy propagating in the 20 degrees angle drawn in interupted lines. The impedances along the antenna

are: - - 5 3 6 ; - - 4 0 6 ; - - 4 0 6 ; - - 5 3 6 .

CONCLUSION

La m6thode de l'6tat adjoint nous a permis de calculer avec une grande efficacit6 le gradient de l'amplitude de diffusion /l l'infini d 'une antenne lorsque l 'on fait varier les imp6dances localis6es dispos6es le long de celle-ci. Elle peut donc ~tre utilis6e pour rendre plus performants les algorithmes utilis6s pour optimaliser le diagramme de rayon- nement des antennes. Nous l 'avons exp6riment6e pour rechercher la partie imaginaire des imp6dances

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en vue de renforcer le champ rayonn6 dans une direction donn6e. Sa caract6ristique principale est de ne pas n6cessiter une nouvelle r6solution du probl6me direct pour calculer chaque composante du gradient. En revanche, elle suppose que l 'on est capable d'expliciter la relation entre les variations de la fonction de coot que l 'on veut minimiser et le gradient de l 'ampli tude de diffusion.

Nous travaillons actuellement pour 6tendre nos programmes de fa~on ~ pourvoir rechercher simul- tan6ment la valeur des imp6dances et leur empla- cement optimal le long de l 'antenne.

REMERCIEMENTS.

Nous remercions la socidtd Mothesim qui a suggdrd et patronnd ce travail

Manuscrit recu le 30 novembre 1987,

acceptd le 23 mars 1988.

BIBLIOGRAPHIE BIOGRAPHIES

[1l ROUBINE (E.), BOLOMEY (J, C.). Antennes. Masson (1978). 12] INAGAKI (N.), GARBACZ (J.). Eigenfunctions of composite

Hermitian operators with application to discrete and continuous radiating systems. IEEE Trans. AP (1982), 30, pp. 571-575.

[3] POZAR (D. M.). Antenna synthesis and optimization using weighted Inagaki modes. IEEE Trans. AP (1984), 32, pp. 159- 165.

Patrick VINCENT, n6 le 19 septembre 1945, ing6nieur ENSPM (1968), agr6g6 de sciences physiques (1969), actuellement maitre de conf6rence h l'Universit6 d'Aix-Marseille III.

Andr6 ROGER, n6 le 29 mai 1952, ancien 616ve de l'Ecole nationale sup6rieure Saint-Cloud (1971), agr6g6 de sciences physiques (1975), actuellement charg6 de recherche au CNRS, d6tach6/l Elf-Aquitaine.

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