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9 La complexité des activités mathématiques

9-3 Façons de calculer

la division

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• L’algorithme de la division organisée pour permettre le calcul rapide au XIXe siècle était exigeante en temps d’apprentissage et coûteuse en échecs.

• Elle était globalement économique car elle se rentabilisait socialement et individuellement par le nombre d’individus qui l’utilisaient fréquemment.

• Elle n’est plus adaptée à l’usage actuel. On devrait utiliser aujourd’hui une méthode à la fois plus fiable, plus ergonomique (demandant moins de concentration) et plus économique (en temps d’apprentissage), et donc plus adaptée aux fréquences d’usages actuels.

Recherche d’une division ergonomique • Exercice : énumérer les sources d’erreurs comme nous

l’avons fait pour la multiplication et envisager les observations à faire

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Division « classique», cas difficile

• 14 456 665 divisé par 481Préparation 14 45’6 665 481Première tentative • 14 456 665 481• 9 62 2• 483 Résultat : le premier chiffre du

quotient est 3

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3

Pour l’élève c’est une sorte d’échec : il doit rayer une partie de son travail

1443 00026

Et il reprend

Les professeurs qui aiment les cahiers sans ratures préfèreraient une disposition « sans erreurs » où les calculs auxiliaires et les essais seraient intégrés dans une présentation honnête.

La division exige des tentatives risquées… Elles sont parfois sanctionnées comme des fautes. Il faut rayer ou recommencer ailleurs, ou calculer mentalement et faire une pari.

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.

• 14 456 665 481 3 0 0 5 5

• 14 43

• 00026 66 La source d’erreur

• - 24 05 est là et là

• 02 615

• - 2 405

• 0 210

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Propriétés

• Et au lieu d’utiliser la méthode d’apprentissage préconisée par Condorcet, basée sur l’amélioration des soustractions successives (méthode que nous avons reprise avec un franc succès), la division est introduite par une progression « rationnelle » d’apprentissages formels des sous algorithmes : division avec diviseur d’un chiffre et quotient à un chiffre, puis à quotient à deux…, puis division par un diviseur à deux chiffres, etc.

• France, 1960 : La division sans poser les soustractions et sans ratures :

• 14456665 481• 002666 30055• 2615• 210 combien d’heures d’apprentissage?

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Division « ergonomique »Quatre zones de travail

dividendequotient Partie

décimalesoustractions

diviseur

produits

L’élève choisit le quotient en première estimation : 2 et effectue le calcul

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1ère tentative de quotient : 2 , mais le reste est trop grand

Mais on peut déjà voir le nombre de chiffres du quotient : 5

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L’élève peut ajouter 1 au quotient sans effacer le calcul précédent

Et continuer la soustraction dans la même colonne

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Il peut soustraire ses retraits successifs dans la même colonne

Le reste 26 est insuffisant, 266 aussi

2666 convient

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L’élève peut se hésiter sur le quotient et calculer plusieurs options

2886 est trop grand 2405 convient, le quotient est 5… Mais 5 quoi ? Où le placer ?

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Le quotient partiel, 5 se place en haut de la colonne des unités de la soustraction partielle. Sa place ne dépend pas de l’absence des précédents

L’élève peut utiliser plusieurs fois le même produit sans refaire le calcul

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Il reste à calculer le

quotient :

Chaque chiffre du quotient est la somme des quotients partiels

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Opération terminée

QUOTIENT

RESTE

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Comment inventer et apprendre

la division ergonomique

Sens 1: partage• soustraction de parts déterminées (recherche du

nombre de parts)• Répétition de distributions égales

(recherche de la valeur d’une part)

Sens 2 : recherche du terme inconnu d’un produit: essais de multiplications

Sens 3 : recherche du reste (C20)

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Effet de variables ergonomiques

Ébauches à propos de

la soustraction, de la division

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Situations : ergonomie et fiabilité

• Une situation est un ensemble d’états permis et de règles.

• La résolution d’une situation est une suite de choix d’états permis, qui, partant de l’état initial aboutit à l’état final gagnant.

• Chaque choix de l’actant est le produit d’une connaissance de l’actant au sujet de l’état de la situation.

• Il demande un certain effort et comporte un certain risque

• Ces deux paramètres interviennent dans le calcul de l’intérêt et du coût des solutions, et dans le choix des modes de résolution et des solutions optimales.

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Les équations de l’apprentissage

• Nous avons vu dans le diaporama précédent (9-1) que « la » complexité de la résolution d’une situation et de l’action qui la résout ne se réduit pas à celle de son organigramme.

• Cette complexité dépend des connaissances de l’actant et par conséquent de l’amortissement du coût de leur acquisition, lequel dépend des caractères des situations…

• Les équations de l’apprentissage, et par conséquent celles de l’enseignement, devront intégrer en même temps l’ensemble de ces processus… en attendant…

• Voici quelques extraits d’études de la complexité entre l’arithmétique élémentaire et l’algèbre linéaire

• Après le dénombrement et l’addition…

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La soustraction• Les méthodes de résolution d’une soustraction • Le dénombrement direct du reste ou du manque si on y a

accès par manipulation ou par vision mentale • La recherche du complément par surcomptage• Le décomptage ; le surcomptage à rebours• La recherche du reste par décomposition décimale : recours à

une table de soustraction• La recherche du complément par décomposition décimale :

recours à la table d’addition • Il existe d’autres méthodesSuivant les valeurs des deux termes de la soustraction l’une ou

l’autre de ces méthodes peur se révéler mieux adaptée que les autres

Par exemple s’il s’agit de soustraire 8 à 93 , le décomptage de 3 puis de 5 est moins complexe pour un humain que la recherche du complément.

Exercice : rechercher les variables et les conditions limites

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La complexité de la soustraction dans N

Yy = x x - y = 5

0 5 10 20 30 40 80 160 320 X

Zones de meilleure efficacité (ZME)

ZME de la vision globale

ZME du dessin(Non confirmée)

ZME de la recherche du complément (surcomptage)

ZME du comptage à rebours

ZME du calcul

Les zones colorées

représentent X-Y X, Y naturels, X>Y

Zones théoriques de meilleure efficacité des méthodes de soustraction (confirmées par l’expérience)

Extrait de la Thèse d’Imana Katembera p.33

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Compréhension de la division des décimaux

• En présence de nombres décimaux les élèves reconnaissent s’il convient ou non de faire une division en se référant principalement…

1 au sens de la division euclidienne : les difficultés varient suivant La taille des nombres

2 et/ou à des représentations typiques mettant en œuvre des grandeurs ou des disposition géométriques

• 1. La division euclidienne perd son sens suivant la taille de d et q• - lorsque le quotient et ou le diviseur prennent des valeurs < 2

Voici les 18 cas engendrés par ces trois conditions • {[(q <1) ou (1 < q <2), ou (q > 2)] X [(d <1) ou (1 < d <2), ou (d > 2)]} X {(D>d) ou (D<d)}

• - lorsque les propriétés dans N sont violées Ex : quotient > au diviseur

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Dividende D

Diviseur d

Quotient q

0 d < 1 1< d 2 d > 2

0 q < 1 0,3 : 0,8

q = 0,37…

Grande difficulté

0,8 : 1,25

q = 0,64

380:450 q = 0,84

1< q 2 1,70 : 0,90

q = 1,88…

q > D

1,8 : 1,25 =1,44

Diffic. Moyenne

15:8 = 1,875

Compris comme 15:8

q > 2 0,3 : 0,8 = 2,6…

12 : 0,75 = 16

q > D

9 : 1,5 = 6 380 : 14,2 = 26,76

Compris comme 380:14

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2. Les difficultés suivant l’homogénéité de la signification (scalaires, mesures, mesures différentes) des nombres du diviseur du dividende et du quotient, par ordre croissant de difficultés a) quotient d’une mesure par un scalaireb) quotient de mesures de même nature (rapport décimal) Taux, homothéties géométriques,…c) quotient de mesures de natures différentes: équation aux dimensions : o prixo grandeurs dérivées (vitesse, densité), intégrales…d) quotients décimaux de scalairese) les mesures du temps

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• Conclusion pour la division: • 1. la connaissance de la division dans les naturels guide l’élève

dans le choix de l’opération à faire avec les grandeurs si le diviseur et le quotient sont supérieurs à 2

• Pour les autres cas, un autre modèle, un autre sens est indispensable, mais les résultats montrent que le modèle des naturels lui fait alors obstacle.

• Nous étudierons l’existence et l’importance de tels obstacles dans la conception, dans l’enseignement et dans l’apprentissage des mathématiques dans le prochain paragraphe de ce diaporama.

• 2. Au lieu de considérer les nombres comme un même et unique concept qui s’enrichit de sens contradictoires, il pourrait être utile, de mieux distinguer les types de nombres des l’école primaire.

• C’est ce que nous avons essayé de faire – avec succès - au cours des expériences avec divers curriculums pour la scolarité commune (5-14 ans). Mais beaucoup d’observations et d’expériences restent à faire et à rassembler.

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Peut-on étendre ce genre d’analyse

aux raisonnements et à l’algèbre ?

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Algorithmes et théories • Algorithmes et théories sont tous deux des exposés didactiques

composés d’expressions mathématiques valides. Ils servent à les communiquer et à les contrôler.

• Ils ont des structures logiques comparables en première approche: ce sont des collections d’expressions bien formées (ex. 34x6 = 204; (x-y)2 = x2 + y2 -2xy ) dont la validité est assurée par des « démonstrations » :

• « 34x6 = 204 » est vrai ; « 34x6 = 24 » est faux. • Le procédé standard de la démonstration de ces énoncés est le

calcul (algorithme ou règles de calcul direct) mais il y en a d’autres : • ex. le produit de deux naturels est plus grand que chacun d’eux • ou bien (x+y)2 = x2 + y2 +2xy [x+(-y)] 2 = (x-y)2 = x2 + (-y)2 -2x(-y))

etc. • Le présent chapitre a illustré les méthodes d’analyse ergonomique

de la résolution d’énoncés dans un algorithme. Les mêmes méthodes peuvent-elles s’étendre aux théories mathématiques?

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• Un algorithme est une collection d’énoncés dont la validité est directement établie par un schéma de démonstration unique, un même calcul.

• Nous avons vu que la validité d’une expression dans une théorie logique peut s’établir à partir des axiomes par des suites de théorèmes déjà établis c’est-à-dire par des démonstrations spécifiques.

• Une théorie mathématique est une organisation qui permet de prouver chaque énoncé par des énoncés établis précédemment, ce qui permet d’éviter de répéter les éléments d’une nouvelle démonstration.

• Il existe de nombreuses théories mathématiques distinctes pour un même ensemble d’énoncés valides, donc pour une théorie au sens logique.

• L’analyse ergonomique des théories mathématiques est évidemment beaucoup plus complexe que celle des algorithmes, mais elle est de même nature.

• Dans les deux cas il existe des modèles indépendants des capacités des utilisateurs et des modèles plus adaptés à des propriétés particulières des « utilisateurs »