catalogue activités thématiques : mathématiques

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Les Maths en pratiquePuzzle de Loyd ................................................................................................................................ 1

Puzzle & paradoxe .......................................................................................................................... 5

Fractale 3D ....................................................................................................................................... 9

Carrelage & pavage ........................................................................................................................ 13

Théorie des graphes ...................................................................................................................... 15

Plan cartésien ................................................................................................................................. 17

SOMMAIRE

Fiche activité

Mathématiques

Puzzle de LoydOù l'on découvre que dans une aire, la somme des parties fait le tout !

Relais d’sciencesScience et Culture, Innovation

Campus Effiscience1 rue du bocage - 14460 Colombelles02 31 06 60 50

www.relais-sciences.org

ÉNIGME : LE PUZZLE DE SAM LOYD

Imprimez ou dessinez le patron ci-joint sur du papier cartonné. Découpez-le. Reproduisez avec les 5 morceaux qui constituent ce carré les formes suivantes : un autre carré, une croix, un parallélogramme, un triangle rectangle et un rectangle.

Calculez l'aire du carré puis celles de toutes les autres figures. À noter, pour simplifier l'activité, on peut créer un cadre dans lequel la figure sera placée.

L'ESPACE DES PROFS

Contenu scientifique

Figures planes, aires.

Sections du programme

• Primaire : Géométrie (les figures planes), grandeurs et mesures (les aires).• Collège/Maths : Géométrie (les figures planes), grandeurs et mesures (les aires).• Lycée/Maths : Translation et rotation.

Compétences du socle commun (pilier 3)

• Connaître les propriétés géométriques élémentaires ; raisonner logiquement, pratiquer la déduction ; manipuler et expérimenter.

Problématique/Pistes pédagogiques

• Quelles sont les principales figures géométriques planes ? Comment vérifier expérimentalement les égalités d'aires ? Quelles propriétés mathématiques permettent de passer d'une figure à une autre ?

• Introduction à la translation et à la rotation. Notion de vecteur de translation.

http://www.relais-sciences.org


ContactVirginie KLAUSERMédiatrice scientifique

02 31 06 60 [email protected]


APPLICATIONS

À partir du triangle, on peut, en principe, calculer l’aire de n’importe quel polygone, simplement en le découpant en triangles. Pour les aires de parties courbes comme un disque, les choses sont plus difficiles. La méthode consiste à encadrer ces surfaces entre deux polygones, de plus en plus finement. Ainsi, Archimède calculait l’aire d’un disque en l’encadrant par des polygones réguliers inscrits et circonscrits !

Réalisation : Relais d’sciences (2010).

À savoirDécouvrez d'autres fiches activité et de nombreuses autres ressources sur le portail de Relais d'sciences :


EXPLICATIONS

Il faut choisir une unité pour mesurer les aires (généralement, le cm2). L'aire est alors égale à un nombre positif d'unité. L'aire est additive, ce qui signifie que si l'on découpe une partie du plan en morceaux qui ne se recouvrent pas, l'aire du tout est égal à la somme des aires des parties. De même, l'aire d'une partie ne change pas si on la retourne, elle est invariante.

Pour simplifier les calcules des aires, les pièces orange et verts peuvent être découpées, par exemple, en triangle et en rectangle : la pièce orange donnera 2 triangles et 1 rectangle, et la pièce verte en 1 triangle et 1 rectangle.

MémentoAire d'un carréA = côté x côté = coté2

Aire d'un rectangleA = longueur (L) x largeur (l)

Aire d'un triangle rectangleA = base (b) x hauteur (h) / 2

UN PEU D'HISTOIRE...

On mesurait déjà des aires il y a 3 000 ans ! Les anciens Égyptiens recalculaient chaque année les limites des parcelles cultivées effacées par les crues du Nil. De même, les Chinois envisageaient les problèmes mathématiques, arithmétiques et géométriques comme des puzzles.

Selon la légende, au 9ème siècle avant Jésus-Christ, la reine Didon/Elisha dut fuir la tyrannie de son frère Pygmalion après la mort de son époux. Elle débarqua alors sur les côtes tunisiennes où elle demanda d'acheter des terres. On lui concéda "autant de terre qu'une peau de bœuf pouvait en tenir". Ingénieuse, elle fît découper la peau en de si fines lanières qu'elle obtint une longueur de près de 4 km ! Ainsi naquit la ville de Byrsa (peau de bœuf en tunisien) qui deviendra la célèbre Carthage.

Carré Croix Rectangle

Triangle rectangleParallélogramme

Attention ! Les figures ne sont pas présentées à la même échelle.

mailto:[email protected]






Imprimez ou dessinez le patron ci-joint sur du papier cartonné avant de le découpez.

Fiche activité

Mathématiques

Puzzle & paradoxeOù l'on découvre que ce n'est pas la magie mais bien la précision des maths qui explique les disparitions...




ÉNIGME 1 : LE PUZZLE DE LEWIS CARROL

Imprimez ou dessinez le patron ci-joint sur du papier cartonné (figure 1). Découpez-le. Reconstituez un rectangle avec les 4 morceaux qui constituent le carré. Calculez les aires du carré et du rectangle. Sont-elles identiques ?

ÉNIGME 2 : LE TERRIER DU LAPIN BLANC

Imprimez le patron ci-joint sur du papier cartonné (figure 2). Découpez-le puis replacez les pièces, comme indiqué sur le schéma. Comment faire disparaître l'entrée du terrier en conservant la forme rectangulaire de l'ensemble ?

L'ESPACE DES PROFS


Figures planes, aires.


• Primaire : Géométrie (les figures planes), grandeurs et mesures (les aires).• Collège/Maths : Géométrie (les figures planes), grandeurs et mesures (les aires).


• Connaître les propriétés géométriques élémentaires ; connaître les théorèmes de géométrie plane ; raisonner logiquement, pratiquer la déduction ; manipuler et expérimenter.


• Comment expliquer la différence d'aire entre les deux figures ? Qu'est-ce que la suite de Fibonacci ? Le nombre d'or ? Comment construire d'autres puzzles paradoxaux ?

• Démontrer mathématiquement que le rectangle est faux (calculs d'aire, pentes des droites, théorème de Thalès, ...)

Figure 1 Figure 2



EXPLICATIONS

Dans le cas du puzzle de Lewis Carroll, en plaçant les pièces de deux façons différentes, on obtient un carré et un rectangle. Lorsque l'on calcule les aires de ces deux formes, elles sont différentes : 64 cm2 pour un carré de 8 cm de côté, 65 cm2 pour un rectangle de 13 cm par 5. Pourquoi ?

Si l'on calcule l'aire des 4 pièces qui constituent les formes, on obtient 64 cm2, la même aire que le carré. En réalité, le rectangle est faux. En effet, nous avons l'illusion d'un rectangle mais, au centre de celui-ci, existe un parallélogramme très fin dont l'aire est équivaut au centimètre carré perdu !

Anecdote : les dimensions du puzzle (3, 5, 8 et 13) font partie de la suite de Fibonacci qui implique également le nombre d'or, Phi égal à (1+√5)/2.




LA SUITE DE FIBONACCI

3, 5, 8, 13, 21, ... Les nombres qui apparaissent dans le puzzle de Carroll appartiennent à la suite de Fibonacci. Cette suite, découverte en 1202, est constituée de telle façon que chaque nombre est la somme des deux précédents. Elle conduit au nombre d'or, Phi, égal à 1,618034...

Ces nombres sont présents un peu partout : architecture, géométrie et même dans la nature. Ainsi, de nombreux scientifiques, tels que des botanistes et des biologistes, s'intéressent à ces concepts pour expliquer la croissance des plantes avec l'aide d'outils mathématiques.




MémentoAire d'un carréA = Côté x Côté = Coté2

Aire d'un rectangleA = Longueur (L) x Largeur (l)

Aire d'un triangle rectangleA = Base (b) x Hauteur (h) / 2UN PEU D'HISTOIRE...

L'auteur de "Alice au pays des merveilles", Lewis Carroll, était mathématicien ! De son vrai nom, Charles Lutwidge Dodgson, Lewis Carroll a marqué le 19ème siècle par ses romans. Mathématicien britannique, il mêlait son univers aussi bien aux mathématiques et à la logique qu'à l'humour.

Dans le cas du terrier, on obtient le même résultat surprenant : le carré semble avoir disparu mais si on mesure les longueurs des deux rectangles, on se rend compte qu'elles sont différentes. En regardant attentivement le rectangle plein, on se rend compte qu'il existe un léger espace sur le côté dont l'aire totale correspond à celle du trou du terrier.

A, B, C et D sont les angles intérieurs du rectangle. A=D et B=C, par contre A≠B et C≠D.

8

5 85

5

5 5

3

3

A

D

C

B

D

A

C

B







Imprimez ou dessinez le patron ci-joint sur du papier cartonné avant de le découpez.

Fiche activité

Mathématiques

Fractale 3DOù l'on découvre comment reproduire un motif à l'infini... ou presque !




RÉALISATION

Imprimez ou dessinez le patron ci-joint. Découpez les lignes continues et pliez les lignes en pointillés. Pliez la feuille en deux et collez une feuille de couleur sur l'envers. Pour finir, formez les rectangles un par un en commençant par les plus petits pour faire apparaître la structure en escaliers.

L'ESPACE DES PROFS


Figures planes, périmètres, aires.


• Primaire : Utilisation d'instruments et de techniques, géométrie (les figures planes), grandeurs et mesures (les périmètres et les surfaces).

• Collège/Maths : Géométrie (les figures planes), grandeurs et mesures (les périmètres et les aires), reproduction et construction de figures usuelles simples.

• Lycée/Maths : Les suites.


• Connaître les propriétés géométriques élémentaires ; manipuler et expérimenter ; effectuer des tracés à l'aide des instruments usuels ; rigueur et précision.


• Quel est le lien entre une fougère et un flocon de neige ? Quels sont les éléments de la nature qui font appel à des fractales (arbres, pommes de pin, poumons, ...) ?

• Comment calculer le périmètre d'une côte à l'aide des fractales (ex : la Bretagne) ?

• Fractales et suites numériques en mathématiques.

Pour aller plus loin, vous pouvez essayer de retrouver les règles de construction du patron. Y a-t-il des symétries ?



EXPLICATIONS

Vous venez de réaliser de la géométrie fractale. Mais qu'est-ce que c'est ? C'est la répétition d'un même motif à des échelles de plus en plus réduites. La structure initiale est identique à la structure finale : on parle d'autosimilarité.

Le flocon de neige de Von Koch (ou courbe de Von Koch) est un bon exemple. En partant d'un triangle équilatéral, on divise chaque côté en 3 segments égaux. On ajoute un triangle équilatéral en plaçant la base sur le segment médian puis on supprime cette base. Si on répète ce processus à l'infini, on obtient un dessin dont la longueur est infinie mais qui semble finie parce qu'elle reste confinée à l'intérieur d'une aire finie. C'est un paradoxe !




APPLICATIONS

Le monde des fractales est très vaste, apparaissant dans de nombreux domaines comme la médecine, l'économie, la météorologie, l'art ou la compression d'images.

Aujourd'hui, la géométrie fractale est utile aux médecins (identification des structures fractales cancéreuses) et aux industriels du textile (création de motifs originaux). Nathan Cohen l'a même utilisée pour réduire la taille des antennes de réception de nos outils de communication qui deviennent ainsi capables de recevoir un large spectre de fréquences.

Réalisation : Relais d’sciences (2011) / Source image : Stock.xchng



UN PEU D'HISTOIRE

En 1975, Benoît Mandelbrot décrit et tente de définir ce qu'est une fractale ou un objet fractal. Ce mot est dérivé du mot latin "fractus" qui signifie "irrégulier" ou "brisé". En mathématiques, un objet fractal est une répétition à l'infini de la même structure à des échelles de plus en plus petites. L'ensemble de Mandelbrot est la figure emblématique de la géométrie fractale, au même titre que le cercle l'est pour la géométrie euclidienne.

Le rôle du mathématicien est souvent d'étudier des phénomènes compliqués dans leur incarnation la plus simple possible. Trouver un ordre derrière le désordre pour voir apparaître une géométrie. Il s'agit ici de trouver la formule fractale qui permet de répéter plusieurs fois le modèle pour obtenir d'intéressantes informations sur la façon dont les organismes fonctionnent.

On peut retrouver le même schéma dans la nature. Ainsi, les poumons ont une surface de captation de l’oxygène très grande par rapport au volume dans lequel ils sont rangés. L’organisation des poumons peut être comparée à celle d’un arbre dont les branches se divisent en 2 puis en 4 puis en 8, et ainsi jusqu’à 223. En se divisant, ces branches (ou bronches dans le cas des poumons) diminuent d'épaisseur et de longueur... Comme dans la géométrie fractale !







Fiche activité

Mathématiques

Carrelage/PavageOù l'on découvre comment remplir le plan avec un carrelage ...




ÉNIGME

Vous voulez carreler votre salon rectangulaire de 4,3 m de large par 5,6 m de long en utilisant des carreaux rectangulaires de 17 x 20 cm.

Sachant que ces carreaux ne sont disponibles que par lot de 35 unités et que vous devez placer la longueur du carreau dans le sens de la longueur de la pièce, combien devez-vous acheter de lots pour carreler votre salon ?

L'ESPACE DES PROFS


Figures planes, périmètres, aires, transformations géométriques.


• Primaire : Utilisation d'instruments et de techniques, géométrie (les figures planes), grandeurs et mesures (périmètres et surfaces).

• Collège/Maths : Géométrie (les figures planes, translation, rotations, symétries), reproduction et construction de figures complexes.

• Lycées : Les vecteurs.


• Connaître les propriétés géométriques élémentaires ; manipuler et expérimenter ; effectuer des tracés à l'aide des instruments usuels ; rigueur et précision.


• Qu'est-ce qu'un pavage ?

• Retrouver les transformations géométriques élémentaires du plan à partir de pavages. Construction de pavages. Pavages et arts (œuvres de M.-C. Escher). Pavages et constructions paysagères.

"Fishes and Birds" (M.-C. Escher)



EXPLICATIONS

On doit déterminer le nombre de carreaux que l'on peut placer dans un rectangle de 4,3 x 5,6 m, soit 430 x 560 cm :

• Nombre de carreaux en largeur : 430 / 17 ≅ 25,3, soit 26 carreaux.• Nombre de carreaux en longueur : 560 / 20 = 28 carreaux.

Au final, 728 carreaux (26 x 28) sont nécessaires pour recouvrir le salon. Il faut donc acheter 21 lots (728 / 35).

Les distributeurs de carrelage ne comptent pas les joints entre les carreaux. Ils divisent simplement l'aire de la pièce par celle d'un carreau pour obtenir le nombre théorique de carreaux nécessaires. Répétez le même problème en considérant un joint d'1 cm entre chaque carreau. Il ne vous faut plus que 19 lots pour carreler votre pièce !




APPLICATIONS

Les pavages du plan ou de l'espace sont connus depuis l'Antiquité et ont souvent été utilisés comme motifs décoratifs en architecture : les rues pavées des cités médiévales, les mosaïques des mosquées, ...

Dans notre quotidien, ils sont présents dans les motifs du papier peint, les nappes de table, les papiers cadeaux, les robes à fleurs, ... et même dans la nature comme dans les ruches d'abeilles ou les cristaux !





Les mathématiques des pavages furent d'abord explorées dans l'espace à 3 dimensions des cristaux. Leur développement comme motif décoratif s'est fait dans les pays de religions sémites, telles que l'Islam, où les artistes, interdits de représenter le vivant, se sont tournés vers des motifs abstraits.

Le graveur hollandais Escher, fasciné par les mosaïques et carrelages de l'Alhambra de Grenade, a réalisé ce qu'il appelera des "remplissages" qui feront son succès. Il n'était pas mathématicien mais le hasard a fait que sa femme était amie avec la femme du grand mathématicien Coxeter. C'est par ce biais qu'Escher a pu obtenir des compléments d'information et, vraisemblablement, une orientation vers une généralisation de ces pavages à celui du plan hyperbolique.

En carrelant votre salon vous venez de fabriquer un pavage. Si l'on décide de choisir comme figure de base un triangle équilatéral à la place d'un rectangle (voir ci-dessus), on peut créer un pavage à l'aide d'une rotation de 60° et de translations diverses.

On peut aussi obtenir ce pavage en effectuant des symétries par rapport aux côtés du triangle. Amusez-vous en créant différents pavages en changeant de forme de base : carré, parallélogramme, hexagone !







Fiche activité

Mathématiques

Théorie des graphesOù l'on découvre comment sauver la chèvre et le chou sans perdre son chemin...




ÉNIGME

Un passeur souhaite transporter un chou, une chèvre et un loup sur la rive opposé d'un fleuve. Malheureusement, sa barque étant très petite, il ne peut transporter qu'un seul d'entre eux à la fois.

Comment doit-il procéder afin de ne jamais laisser sans surveillance le loup et la chèvre ou le chou et la chèvre ?

L'ESPACE DES PROFS


Figures planes, périmètres.


• Primaire : Utilisation d'instruments et de techniques, géométrie (les figures planes), grandeurs et mesures (périmètres).

• Collège/Maths : Géométrie (les figures planes), reproduction et construction de figures usuelles simples.

• Lycées : La théorie des graphes.


• Etude des 7 ponts de Königsberg. Retrouver sur des plans de ville des chemins eulériens.

• Comment tracer un chemin sans lever le stylo et en finissant au point de départ ?

La théorie des graphes trouve son origine dans le problème des 7 ponts de Königsberg (Russie).



EXPLICATIONS

Cette énigme peut être interprétée sous la forme d'un graphe, c'est-à-dire un ensemble de points (sommets) reliés par des chemins (arêtes ou arcs).

Appelons "P" le passeur, "X" le chou, "C" la chèvre et "L" le loup. Les sommets du graphe sont ainsi des couples précisant qui se trouve sur la rive initiale et qui est sur la rive opposée. Ainsi, le coupe (XL, PC) signifie que le chou et le loup sont sur la rive initiale sans surveillance tandis que le passeur se trouve sur la rive opposée avec la chèvre.

On dessine une arête entre deux sommets lorsque le passeur peut effectuer une traversée. En transportant la chèvre, le passeur va ainsi du sommet (PCL, X)au sommet (L, PCX).

Les sommets pour lesquels le passeur est sur la rive initiale ne sont reliés qu'aux sommets pour lesquels le passeur est sur l'autre rive, car les éléments ne peuvent pas se transporter tout seuls. De même, les combinaisons interdites (CX ou CL) ne sont pas indiqués sur le graphe.




APPLICATIONS

Les réseaux de télécommunication, les circuits électroniques, tous les types de réseaux de distribution, courriers, eau, gaz... et de nombreux problèmes de logistique, de transport ou de production... sont modélisés et étudiés grâce à la théorie des graphes.





L'origine de cette énigme est un problème de pont en Russie. En effet, la théorie des graphes découle de la problématique des ponts de Königsberg (1736).

Dans cette ville, deux îles sont reliées entre elles et aux rives par 7 ponts. Est-il possible de faire une promenade en passant une et une seule fois sur chaque pont tout en revenant à son point de départ ?

Euler a étudié ce problème et démontré qu'il n'existait pas de solution.

Pour arriver à la solution de cette énigme, il suffit de trouver un chemin entre la situation initiale (PCXL, -) et la situation finale espérée (-, PCXL). Deux solutions sont représentées ci-dessus.

(PCXL, -) (PCL, X) (PCX, L) (PXL, C) (PC, XL)

(XL, PC) (C, PXL) (L, PCX) (X, PCL) (-, PCXL)

(PCXL, -) (PCL, X) (PCX, L) (PXL, C) (PC, XL)

(XL, PC) (C, PXL) (L, PCX) (X, PCL) (-, PCXL)

Solution 1 Solution 2







Fiche activité

Mathématiques

Plan cartésienOù l'on découvre comment retrouver une carte en utilisant un plan avec ses coordonnées...




ÉNIGME

Alice pose 16 cartes sur une table en formant un carré. Elle demande à Lucas de choisir une carte et de lui montrer la colonne dans laquelle elle se situe. Lucas indique la colonne 3.

Alice ramasse les cartes, colonne par colonne, et les redistribue dans l'ordre, ligne par ligne. Elle demande à nouveau de lui montrer dans quelle colonne se trouve la carte. Lucas indique la colonne 2. Alice a deviné de quelle carte il s'agit... et vous ?

L'ESPACE DES PROFS


Organisation et gestion des données.


• Primaire : Construction et/ou interprétation d'un plan, coordonnées d'un point.• Collège/Maths : Repérage sur un axe, représentation usuelles (graphiques).


• Lire, interpréter et construire des représentations simples (tableaux, graphiques).• Repérage sur un axe et dans le plan.


• Comment peut-on organiser et gérer des données en sciences ?• Quels sont les différents types de graphques, tableaux, diagrammes ?• Construire différents graphiques à partir de données identiques.

1 5 9 13

2 6 10 14

3 7 11 15

4 8 12 16

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16






APPLICATIONS

Les cases d'un jeu d'échecs sont repérées par des coordonnées marquées par une lettre et un chiffre. Dans la bataille navale un joueur doit deviner la position des cuirassés de l’adversaire dans un quadrillage.

Certaines grandes villes sont construites de sorte que les rues se croisent en formant un angle droit. On dit alors que cette ville suit un plan quadrillé ou un plan hippodamien. En France, des villes comme Nancy ou Le Havre sont construites ainsi, mais parmi le plus célèbres, on peut citer la ville de New York. Dans chacun de ces cas, tous les déplacements peuvent être notés et enregistrés.




EXPLICATIONS

Lucas a choisi le 3 de trèfle. Mais comment peut-on arriver à la solution ?

On peut localiser chacune des cartes par deux coordonnées : le numéro de la ligne et le numéro de la colonne. Lucas a choisi le 3 de trèfle situé dans la colonne 3. En redistribuant ligne par ligne, cette colonne devient la ligne 3. Vous connaissez donc la première coordonnée de la carte. En demandant encore une fois la colonne à votre ami, vous lui demandez la deuxième coordonnée de la carte et vous pouvez ainsi savoir sa position !

Une droite graduée est une droite sur laquelle on a choisi une origine (le point O) et un point unité. Chaque point d'une droite graduée peut être repéré par un nombre relatif. Le plan cartésien est un plan formé des deux droites perpendiculaires graduées, nommées axes. L’axe horizontal est appelé axe des abscisses (x) et l’axe vertical est appelé axe des ordonnées (y). Les axes se coupent en un point appelé origine (O) et ils coupent le plan en quatre quadrants.

La position d’un point est décrite au moyen de ses coordonnées qui sont exprimées par un couple (x,y). Par exemple, les coordonnées de l’origine sont (0, 0). Si on veut repérer, par exemple, le point (6, 1) dans le plan, on part de l’origine et on se déplace de 6 unités vers la droite, puis de 1 unité vers le haut. On commence toujours par l’abscisse.

UN PEU D'HISTOIRE

Descartes est un grand philosophe et mathématicien français du XVIIème. Une anecdote raconte que l'idée de définir des coordonnées du repère du plan à l'aide de carreaux lui serait venue en observant une mouche qui se promenait sur les carreaux d’une fenêtre. Il est ainsi possible de traiter les problèmes de géométrie en problèmes numériques : c'est la géométrie analytique. La grande idée de Descartes, c'est une nouvelle approche des sciences et, en particulier, des mathématiques. Il pense que tous les problèmes peuvent être résolus par les mathématiques et que un scientifique ne reconnaît comme vrai que ce qui est clairement démontré : la résolution d'un problème se fait consciencieusement, étape par étape, sans rien négliger.

Par son nom et sa méthode, Descartes nous laisse l’adjectif "cartésien" : on dit que quelqu’un possède un esprit cartésien s’il présente des qualités intellectuelles claires, logiques et méthodiques.







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