9-4 Ulysse 95-112 Cours GB 2010 1

9 La complexité des activités mathématiques

9-4 La résolution des

problèmes linéaires

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1. La résolution algébrique des systèmes linéaires au collège

A rebours de l’ordre historique nous utilisons ici les expressions algébriques pour analyser les méthodes de l’arithmétique scolaire

• Méthode de substitution• L’une des équations est résolue par rapport à l’une des variables et

l’expression obtenue lui est substituée dans l’autre équation• Méthode d’égalisation• Les deux équations sont résolues par rapport à la même variable et

les expressions obtenues sont les deux membres d’une égalité• Méthode d’addition• Les deux équations sont multipliées par des nombres tels que les

coefficients d’une même variable y soient opposés. L’addition membre à membre des deux équations obtenues élimine cette variable

• Les méthodes sont parfois dérivées de la forme générale, parfois introduites par des cas plus réduits – i.e. d’où certains paramètres ont disparu, annulés ou égaux à 1.

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Forme générale

• Traditionnellement, les résolutions arithmétiques étaient introduites progressivement à partir de systèmes de moins en moins réduits:

Échanges, ax + b = cx + d

Partages inégaux additifs avecdes parts différentes

Partages proportionnels, (parts multiples)

etc.

a1x + b1y = r1

a2x + b2y = r2

x + y = r1

x - y = r2

x + y = r1

x + b2y = r2

x + y = r1

x/a + y/b = r2

ax + b = c

2 Organisation didactique traditionnelle de la résolution arithmétique des systèmes

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résolution par substitution

par addition ou soustraction

introduction à la multiplication par un coefficient etc.

Ensuite la résolution du cas général : la double vente: a quantités d’un produit, b quantités d’un autres, r prix d’un achat

La fausse supposition

Composition d’un mélangeQuelle proportion a1 de A à 18€/Kg et b1 de

B à 23€/Kg pour du mélange à 20€/Kg

x + b1y = r1

a2x + b2y = r2

x + b1y = r1

x + b2y = r2

x + y = r1

a2x + b2y = r2

a1x + b1y = r1

a2x + b2y = r2

a1x + b1y = r1

a2x + b2y = r2

a1x + b1y = r1

x + y = r1

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• a) La résolution arithmétique des problèmes linéaires d’ordre supérieur

• était traditionnellement abordée, principalement, avec les questions financières, les placements, l’escompte etc. Par exemple la « règle de compagnie » qui indiquait ce que chaque membre devait recevoir en fonction du temps et du montant de ses différents apports, etc.

• Elle était – avant le développement de l’algèbre de Viète - le moyen d’étendre et de systématiser l’usage de la « règle de trois » en « oubliant », les grandeurs lorsque la linéarité était établie

• L’enseignement de l’algèbre formelle a conduit à délester brutalement et radicalement les programmes d’enseignement des mathématiques de la considération des situations ordinaires.

• Or la mise en équation des problèmes reste une phase délicate de l’« application » du traitement mathématique aux situations quelconques.

• Il est heureux que sous le nom plus prestigieux de modélisation, le travail de mise en équation réapparaisse au niveau élémentaire pour achever le contournement de l’arithmétique élémentaire ancienne sans rien perdre de son utilité sociale

3 La modélisation est-elle le retour de l’arithmétique?

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• b) Rôle de la nature des grandeurs dans la résolution• La complexité des énoncés et des solutions peut être représentée

plus ou moins finement par celle de son expression : • - par exemple, grossièrement par le nombre de mots figurant dans

la solution minimale, • - ou moins grossièrement par sa complexité syntaxique…• - ou par celle de son graphe de situation et de résolution (Broin

2002) • - ou enfin par la mesure1 de sa formule algébrique ou de sa

résolution.• Cependant on peut se rendre compte que la nature des grandeurs

intervient très fortement dans les représentations des opérations qui guident les calculs en arithmétique, ou la mise en équation et donc qu’il faut la prendre en considération dans le calcul de la complexité.

• Voici une petite expérience que vous pouvez faire vous-même pour vous en convaincre.

• 1 de Kolmogorov

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c) Mise en évidence du rôle des grandeurs

• L’algèbre s’est développée en dégageant le choix des calculs de l’influence de la nature des grandeurs et du contrôle qu’elle exerçait sur leur conduite,. Le fait est bien connu, mais il mérite d’être visité.

• L’expérience consiste • - à considérer un énoncé correspondant au cas général à

attribuer aux coefficients des quantités et des mesures diverses, • - puis à générer une famille de problèmes obtenus en permutant

les places attribuées à ces données comme dans l’exemple ci-après (en 2).

• La formulation peut être adaptée, mais les grandeurs sont conservées.

• On observe alors que pour une même équation, il apparaît des modes de résolution plus faciles à concevoir que d’autres. Ces différences se manifestent par complexité des solutions qui en découlent

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• d) Intérêt de ce genre d’étude

• Des circonstances favorables (à déterminer) pourraient • - permettre à des élèves de se poser des questions sur

le rapport des grandeurs avec les calculs numériques en arithmétique dans les problèmes

• - Et les conduire ainsi à « inventer » l’algèbre.• Il ne s’agit pas de restaurer l’enseignement de ces types

de raisonnements mais de cerner ce que l’enseignement de l’algèbre permet:

• - d’abord d’économiser les raisonnements arithmétiques, - puis de réintroduire par l’enseignement de la modélisation, la connaissance des grandeurs et de leurs relations.

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• Il s’agit de considérer une même équation et d’interpréter ses variables et ses coefficients par la permutation d’une famille de grandeurs différentes

• On constate que le mode de résolution arithmétique le plus facile à concevoir ou à mettre en œuvre change. Cette expérience montre les deux faces de la réalisation des expressions algébriques.

2. une expérience sur la complexité des raisonnements

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• Conditions générales

• Situation• Sur le marché un vendeur de disques n’a que deux catégories de

prix : les disques « bon marché » et les « chers ».

• Profil. Les disques valent suivant la catégorie p(a) € et p(b) € • Chaque achat {i,j} est représenté par une formule qui détermine le

nombre de disques q de chaque catégorie {a,b} • Ex. Le premier achat comprend q(a,i) disques à pa euros et q(b,j)

disques à pb euros et son prix total est Ti. • La formulation algébrique du problème général est alors q(a,i). pa + q(b,i). pb = Ti

q(a,j). pa + q(b,j). pb = Tj • Le choix des variables (i.e. des coefficients inconnus) détermine les

différents types de problème.

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Enoncé 0: Zoé fait un échange avec Aglaé. Elle donne 3 disques chers à 7 euros et 5 bon marché contre 2 disques

chers, 6 bon marché et 3 € . Quel est le prix d’un disque bon marché ?

Le profil de cet énoncé de problème…: 1 naturel 1décimal mesure q(a,i). pa + q(b,i). pb = q(a,j). pa + q(b,j). pb + S 3 . 7 + 5 . x = 2. 7 + 6. x + 3 … l’apparente à un système d’ordre 2Solution du problème 0 • Zoé a donné 1 disque cher, elle a reçu un bon marché et 3 €. Le

disque bon marché vaut 3 € de moins que le disque cher, qui vaut donc 7+3 = 4 €

Un profil de la solution du problème 0 est• [q(a,i) - q(a,j)]. pa + [q(b,i) - q(b,j)]. pb = S• [3.7 – 2.7] + [5x – 6x] = 3• 7 - x = 3• X = 4

•Note Cette solution peut être décomposée en un processus plus détaillé

Problème 0 les échanges

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Méthodes imprévues : L’exhaustivité, la « chance »… • Qu’a fait une élève naïve pour résoudre ce problème ? : • « Le disque le plus cher vaut 7 euros ». Elle choisit une valeur

arbitraire inférieure (6 euros). • Effectue les calculs • Elle constate que la valeur arbitraire ne convient pas, elle corrige et

vérifie que 4 convient »• Elle n’a utilisé aucune des méthodes envisagées • La méthode d’exhaustivité est valide aussi.• Le professeur lui donne un autre problème similaire mais avec un

plus grand nombre de possibilités pour décourager les tâtonnements

• L’élève se met alors à remarquer qu’elle peut simplifier l’échange • Une autre élève donne directement la solution : « Je ne sais pas, j’ai

essayé et ça a marché ! » Ce n’est pas ce qu’attendait le professeur mais la réponse est valide

• En mathématique c’est seule la solution qui compte, en enseignement non!

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Énoncé 1.1: Zoé achète 3 disques chers et 5 disques bon marché pour 41 euros

• Aglaé achète 2 disques chers et 6 disques bon marché et les paie 38 € • Quel est le prix d’un disque bon marché et celui d’un disque cher ? Profil de l’énoncé: q(a,i). pa + q(b,i). pb = PZ inconnues: pa et pb

q(a,j). pa + q(b,j). pb = PASolution arithmétique du problème 1.1: les combinaisons linéaires • Si Zoé avait fait 2 achats identiques et si Aglaé en avait fait 3 elles auraient

chacune 6 disques chers• Deux achats comme celui de Zoé coûtent (41x2 = 82), 82 € et ils

comprennent (2.3 = 6), 6 disques chers et (2.5 = 10), 10 disques bon marché.• Trois achats comme celui d’Aglaé coûtent (3. 38 = 114) 114 € et

comprennent 6 disques chers et 18 disques bon marché. • La différence est (114 – 82 = 32), 32€ • C’est le prix des (18 – 10 = 8) 8 disques bon marché supplémentaires • 1 disque bon marché coûte donc (32/8 = 4) 4€ • 6 disques bon marché coûtent à Aglaé (6.4=24) 24 euros. Ses deux disques

chers lui coûtent (38 – 24 = 34) 14 euros • 1 disque cher coûte (14 :2=7) 7 euros

Problème 1 La double vente: 1. 1 La recherche du prix unitaire

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• 1 .2 La recherche des quantités Enoncé 1- 2 • Les disques « bon marché » sont à 4 € et les « chers » à 7 euros. • Zoé achète 8 disques pour 41 € • Quel est le nombre de disques bon marché et de disques chers achetés

par Zoé?• Profil de l’énoncé q(a,i). pa + q(b,i). pb = pz inconnues: q(a,i) et q(b,i) q(a,i). + q(b,i) = qz • Solution arithmétique du problème 1.2 la fausse supposition • Si Zoé n’avait acheté que des disques à 4€ elle aurait payé (4 x 8 = 32) 32€• Chaque fois qu’elle remplace un disque à 4€ par un disque à 7€ sa facture

augmente de 3€. Elle doit donc augmenter de (41- 32 = 9), 9€• Elle a donc acheté (9/3 = 3) 3 disques chers et 5 disques bon marché. • Profil de la solution arithmétique (1) 4.x + 7.y = 41

(2) x + y = 8 • 4.x + 7.y = 41 • 4 (x+y) = 32 • 4(x + 1) + 7( y - 1) = 4x + 4 + 7y - 7 = 4x + 7y - (7-4) = 41 – 3 remplacement • 4 ( x+y) = 32• 41 – [4x + 7y – 3] = 3• 41-32/ 3 = 9/3 =3

x = 8 – 3 = 5 x = 8 – 3 = 5 y = 8 – 5 = 3 y = 8 – 5 = 3

Solution algébrique 4 (x+y) = 4 x + 4 y = 32(4x + 7y) – (4x - 4y) = 41 - 32 = 3y y = (41 – 32)/3 = 3 x = 8-3 = 5

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• Aïdée a acheté 15 disques au prix moyen de 10 € par disque. Mais certains disques coûtent 8 euros, d’autres 13 €. Combien a-t-elle acheté de disque de chaque sorte ?

• Solution arithmétique : la Croix des mélanges (Autre illustration). • Le prix moyen d’un disque est 10 € • La vente à 10 € d’un disque à 13 € est une perte de 3 € ; (13-10) = 3

au total 3 fois le nombre de disques chers• Le gain sur la vente d’un disque à 8 € est 2€• Le gain sur les disque à 8 € est (10 -8) = 2 • La perte doit être compensée par les gains donc 3 fois le nombre de

disques chers est égal à 2 fois le nombre de disques bon marché.• Le nombre de disques bon marché est le 3/2 du nombre de disques

chers. • Sur 5 disques vendus, 3 sont à 10 € et 2 à 13 €• Pour 15 disques, il y en aura 9 à 8 € et 6 à 13

Enoncé 4 : L’abaque des mélanges

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Ex. La croix des mélanges 4x +7y = 41 (1)

• x + y = 8 (2)

• (4x +7y)/x+y = 41/8 (3)• 41/8 x + 41/8 y = 4x + 7 y • (41/8 – 4) x = (7 – 41/8) y• x/y = (7 – 41/8) /(41/8 – 4) • x/y = [(56 – 41)/8]/[(41 – 32)/8]• x/y = 15 / 9 • x + y = 8• x = 15/9 y • (15/9 +1) y = 24/9 y = 8• y = 8 . 9/24 = 3 • x = 5

• Une mesure de complexité de Kolmogorov d’une telle solution consiste à attribuer un poids aux symboles d’égalité, un autre aux opérations et un aux symboles numériques… Ces poids peuvent être inférés du résultats d’expériences•La mesure de Mc Cabe est similaire à celle de Kolmogorov

Traduction algébrique des solutions arithmétiques

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Que donnerait l’application à E3 de la méthode de La croix des mélanges

• Le prix moyen des disques achetés par Zoé est 41/8 • Chaque fois qu’elle paie 41/8 € pour un disque bon marché

elle perd 9/8 € car (41/8 – 4) = 41/8 – 32/8 = 9/8 • Mais chaque fois qu’elle paie 41/8 € pour un disque cher, elle

gagne • 7 – 41/8 € soit 7 – 41/8 = 56/8 – 41/8 = 15/8€. Cette perte

doit être compensée par le gain. Il faut 9/8 disques chers d’une quantité totale de disques pour équilibrer 15/8 disques bon marchés. Le rapport entre les quantités des deux disques (chers / bon marché) est donc (9/8) / (15/8) = 9/15 = 3/5 Par rapport à la quantité totale 8 disques il y a donc 3 disques chers pour 5 bon marché.

• Il est clair que la difficulté varie suivant la nature des mesures à manipuler : considérer un achat comme un mélange n’est pas aisé.

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Sans entrer dans le détail, les calculs montrent (ce que le bon sens indique) :

• Que les solutions arithmétiques (S.AR.) mobilisent une beaucoup plus grande variété de concepts que les algébriques (L’algèbre économise des apprentissages),

• Que l’algorithme algébrique (A.AL) le plus général est parmi les plus complexes… (désavantage à A.AL, à l’algèbre)

• Et qu’il est insensible aux nombres et à leur interprétation comme grandeurs, (avantage à S.AL)

• Que les solutions arithmétiques les moins complexes correspondent aux cas algébriques dégénérés. (L’économie liée à l’usage des S.AR est modérée)

• Les variations importantes de complexité des solutions arithmétiques constituent des sauts informationnels

Conclusions

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Fin du diaporama 9