4 le formulaire mpsi, mp... 6493233 isbn 978-2-10-051941-5 lionel porcheron ingenieur de...
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jrsquointegravegre
matheacutematiques
physique
chimie
sciences de lrsquoingeacutenieur
informatique
wwwdunodcom6493233isBn 978-2-10-051941-5
lionel porcheron
ingenieur de lrsquoenseeiht agrave toulouse
bull Toutes les formules et deacutefinitions du pro-gramme de mpsi et mp en matheacutematiques physique et chimie
bull pour chaque formule la signification des termes les uniteacutes les limites drsquousage
bull de tregraves nombreux scheacutemas des exemples et des conseils
bull un index fourni pour trouver rapidement lrsquoinformation rechercheacutee
Lrsquooutil indispensable pour reacuteviser
Le formuLairempsi mp
lionel porcheron4e eacutedition
Lionel Porcheron
4e eacutedition
Le formuLairempsi mp
1 500 formulesde matheacutematiquesphysique et chimie
Le for
mu
Lair
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1 500 formules de m
atheacutematiques physique et chim
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Porcheron 13x18indd 1 40808 145659
LE FORMULAIREMPSI MP
9782100519415_lim_P01-04 Page I Mardi 5 aoucirct 2008 314 15
9782100519415_lim_P01-04 Page II Mardi 5 aoucirct 2008 314 15
LE FORMULAIREMPSI MP
1 500 formules de matheacutematiquesphysique et chimie
4e eacutedition
Lionel PorcheronIngeacutenieur de lrsquoENSEEIHT agrave Toulouse
9782100519415_lim_P01-04 Page III Mardi 5 aoucirct 2008 314 15
copy Dunod Paris 2000 2003 2004 2008
9782100519415_lim_P01-04 Page IV Mardi 5 aoucirct 2008 314 15
ISBN 978-2-10-053787-7
Chapitre 0 mformulairetex 2772008 2251Page V
Table des matiegraveres
Avant-propos IX
Chapitre 1 Matheacutematiques 11 Algegravebre 1
11 Relations 112 Structures algeacutebriques 213 Nombres entiers nombres rationnels 514 Arithmeacutetique dans Z 715 Polynocircmes et fractions rationnelles 816 Geacuteneacuteraliteacutes sur les applications 1117 Applications lineacuteaires ndash Espaces vectoriels 1218 Matrices ndash Deacuteterminants ndash Systegravemes lineacuteaires 1719 Espaces vectoriels euclidiens 22110 Reacuteduction des endomorphismes 26
2 Analyse 2721 Espaces vectoriels normeacutes 2722 Nombres reacuteels 3123 Nombres complexes 3224 Suites 3425 Fonctions reacuteelles de la variable reacuteelle 3526 Deacuterivation 3827 Inteacutegration 4128 Eacutequations diffeacuterentielles 4429 Seacuteries 47210 Seacuteries entiegraveres 51211 Suites et seacuteries drsquoapplications 52
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VI Table des matiegraveres
212 Seacuteries de Fourier 57213 Fonctions de plusieurs variables 58
3 Geacuteomeacutetrie 5931 Courbes du plan 5932 Proprieacuteteacutes meacutetriques des courbes 64
Chapitre 2 Physique 65
0 Eacuteleacutements de matheacutematiques 6501 Diffeacuterentielles 6502 Eacutequations diffeacuterentielles 6603 Coniques 68
1 Eacutelectronique 6911 Lois geacuteneacuterales 6912 Reacutegime variable 7013 Montages avec amplificateur opeacuterationnel 73
2 Thermodynamique 7621 Gaz parfait 7622 Premier et second principes de la thermodynamique 7723 Changements de phase drsquoun corps pur 8124 Machines thermiques 8325 Diffusion thermique 8526 Rayonnement thermique 86
3 Meacutecanique du point 8831 Cineacutematique 8832 Changement de reacutefeacuterentiel 9033 Lois geacuteneacuterales de la meacutecanique 9134 Oscillateurs 9535 Mouvement drsquoune particule chargeacutee 9836 Systegravemes de deux points mateacuteriels 99
4 Meacutecanique du solide 10141 Cineacutematique du solide 10142 Theacuteoregravemes geacuteneacuteraux de la dynamique 10343 Contacts entre les solides 104
5 Optique 10551 Geacuteneacuteraliteacutes 10552 Optique geacuteomeacutetrique 10653 Interfeacuterences lumineuses 10954 Interfeacuteromegravetre de Michelson 11255 Autres dispositifs drsquointerfeacuterences 11556 Diffraction des ondes lumineuses 116
Chapitre 0 mformulairetex 2772008 2251Page VII
Table des matiegraveres VII
6 Eacutelectromagneacutetisme 11861 Eacutelectrostatique 11862 Magneacutetostatique 12163 Eacutequations de Maxwell dans le vide 12364 Conduction meacutetallique 12565 Induction dans un circuit fixe avec BBB variable 12666 Induction dans un circuit mobile soumis agrave BBB stationnaire 12867 Mateacuteriaux magneacutetiques 129
7 Ondes 13171 Oscillateurs coupleacutes 13172 Eacutequation de drsquoAlembert - Ondes stationnaires 13273 Ondes eacutelectromagneacutetiques dans le vide 13474 Dispersion ndash Absorption 13775 Ondes eacutelectromagneacutetiques dans les milieux mateacuteriels 138
Chapitre 3 Chimie 1411 Atomistique 141
11 Spectroscopie 14112 Modegravele ondulatoire 14213 Atome polyeacutelectronique 14314 Architecture moleacuteculaire 14515 Orbitales moleacuteculaires 147
2 Cineacutetique 148
3 Cristallographie 15031 Geacuteneacuteraliteacutes 15032 Mailles et sites dans les cristaux meacutetalliques 15033 Cristaux ioniques 152
4 Thermodynamique 15341 Fonctions drsquoeacutetat 15342 Potentiel chimique 15443 Grandeurs standards de reacuteaction 15544 Eacutequilibres chimiques 15745 Eacutequilibres liquidendashvapeur 16046 Reacuteactions drsquooxydoreacuteduction 163
5 Mateacuteriaux meacutetalliques 16551 Diagrammes drsquoEllingham 16552 Diagrammes potentiel-pH 16653 Courbes intensiteacutendashpotentiel 16854 Corrosion 170
Annexe A Primitives usuelles 173
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Chapitre 0 mformulairetex 2772008 2251Page VIII
VIII Table des matiegraveres
Annexe B Deacuteveloppements limiteacutes 175
Annexe C Formules trigonomeacutetriques 1771 Angles remarquables 177
2 Relations trigonomeacutetriques 178
Annexe D Opeacuterateurs vectoriels 1811 Notations 181
2 Gradient 182
3 Divergence 183
4 Rotationnel 183
5 Laplacien 184
6 Relations entre les opeacuterateurs 185
7 Theacuteoregravemes geacuteomeacutetriques 186
Annexe E Uniteacutes et constantes fondamentales 1871 Uniteacutes du Systegraveme International 187
11 Uniteacutes principales du systegraveme international 18712 Uniteacutes secondaires du systegraveme international 18813 Uniteacutes courantes du systegraveme international 18814 Multiples deacutecimaux pour les uniteacutes 188
2 Constantes fondamentales 189
3 Ordres de grandeurs 189
Annexe F Constantes chimiques 191
Annexe G Tableau peacuteriodique 193
Index 197
Chapitre 0 mformulairetex 2772008 2251Page IX
Avant-propos
La quatriegraveme eacutedition de ce formulaire rassemble les principaux reacutesultats descours de matheacutematiques de physique et de chimie eacutetablis tout au long desdeux anneacutees de classes preacuteparatoires dans la filiegravere MP Cette nouvelle eacutedi-tion srsquoameacuteliore encore un peu avec lrsquoapparition de la couleur Ce formulairesrsquoaveacuterera fort utile aussi bien pendant votre laquo preacutepa raquo que lorsque la peacuteriodefatidique des concours approchera
Il a eacuteteacute scindeacute en trois parties les parties relatives aux matheacutematiques agravela physique et agrave la chimie chacune drsquoentre elles rassemblant les principauxreacutesultats eacutetablis en cours pour chacune des filiegraveres auxquelles srsquoadresse cetouvrage Agrave la fin de lrsquoouvrage figurent en annexes les donneacutees qui ne sontpas neacutecessairement agrave connaicirctre mais qui sont neacuteanmoins fort utiles au quo-tidien
Un effort tout particulier a eacuteteacute fait pour rendre ces formules les plus laquo li-sibles raquo possible en deacutetaillant la signification de chaque symbole et en preacute-cisant bien agrave chaque fois les conditions drsquoapplication de ces formules Sou-lignons tout de mecircme que lrsquoapprentissage de ces formules ne se substituepas agrave lrsquoapprentissage du cours
Merci agrave tous ceux qui ont accepteacute de collaborer agrave cet ouvrage et en particu-lier agrave Pascal OLIVE et Jean-Marie MONIER pour leur consciencieuse relec-ture respective des parties physique et matheacutematiques agrave Bruno COURTETpour avoir parfaitement assureacute le suivi de ce nouveau venu dans la collec-tion laquo Jrsquointegravegre raquo
Lionel PORCHERONlionelporcheronfreefr
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Chapitre 1 mformulairetex 2772008 2251Page 1
Chapitre 1Matheacutematiques
1 Algegravebre
11 Relations
Proprieacuteteacutes drsquoune relation binaireSoitR une relation binaire dans E elle est dite reacuteflexive si et seulement si forallx isin E xRx
symeacutetrique si et seulement si forall(x y) isin E2 xRy =rArr yRx
antisymeacutetrique si et seulement si forall(x y) isin E2 xRyyRx
=rArr x = y
transitive si et seulement si forall(x y z) isin E3 xRyyRz
=rArr xRz
Relation drsquoordre
Une relation binaireR de E est dite relation drsquoordre si et seulement siR est reacuteflexive antisymeacutetrique et transitive
Relation drsquoeacutequivalence
Une relation binaireR de E est une relation drsquoeacutequivalence si et seule-ment siR est reacuteflexive symeacutetrique et transitive
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Chapitre 1 mformulairetex 2772008 2251Page 2
2 [1] Matheacutematiques
Classe drsquoeacutequivalence
SoitR une relation drsquoeacutequivalence dans E pour x isin E on appelle classedrsquoeacutequivalence de x (moduloR) lrsquoensemble deacutefini par
clR(x) = y isin E xRy
Ensemble-quotient
On appelle ensemble-quotient de E parR et on note ER lrsquoensembledes classes drsquoeacutequivalence moduloR
ER = clR x isin E
12 Structures algeacutebriques
Lois de compositions
On appelle loi interne toute application de Etimes Erarr E
Un loi lowast est dite associative si et seulement si forall(x y z) isin E3 x lowast (y lowast z) = (x lowast y) lowast z
Une loi lowast interne est dite commutative si et seulement si
forall(x y) isin E2 x lowast y = y lowast xOn dit que e est un eacuteleacutement neutre pour lowast si et seulement si
forallx isin E x lowast e = e lowast x = xOn appelle symeacutetrique de x isin E un eacutelement de E noteacute xminus1 veacuterifiant
xminus1 lowast x = x lowast xminus1 = eOn dit que rHE est stable par lowast si et seulement si
forall(x y) isin H2 x lowast y isin H
Groupe
Un ensemble muni drsquoune loi interne (G middot) est un groupe si et seule-ment si ndash middot est associative ndash middot admet un eacuteleacutement neutre e ndash tout eacuteleacutement de G admet un symeacutetrique pour la loi middotSi la loi middot est commutative on dit que le groupe G est abeacutelien ou com-mutatif
Chapitre 1 mformulairetex 2772008 2251Page 3
1 Algegravebre 3
Sous-groupe
Soit (G middot) un groupe Une partie H de G est un sous groupe de G si etseulement si ndash H est stable par la loi middot ndash H contient lrsquoeacuteleacutement neutre ndash forallx isin H xminus1 isin H
Groupe commutatif
ndash (ZnZ+) est un groupe commutatifndash lrsquoapplication pn Zrarr (ZnZ)
x 7rarr x mod n appeleacutee surjection canonique est
un morphisme surjectif de groupes
Geacuteneacuterateurs du groupe
Les geacuteneacuterateurs du groupe (ZnZ+) sont les k avec k isin Z et k and n =1
Groupe monogegravene ndash Groupe cyclique
ndash Un groupe G est dit monogegravene si et seulement srsquoil admet un geacuteneacutera-teur crsquoest-agrave-dire si et seulement srsquoil existe a isin G tel que G =lt a gtndash Un groupe G est dit cyclique si et seulement si G est monogegravene etfini
Anneau
Un ensemble A muni de deux lois internes noteacutees + et middot est un anneausi et seulement si ndash (A+) est un groupe commutatif drsquoeacuteleacutement neutre 0A ndash middot est associative et admet un eacuteleacutement neutre 1A ndash middot est distributive par rapport agrave + crsquoest-agrave-dire
forall(x y z) isin A3 x middot (y + z) = (x middot y) + (x middot z) (x + y) middot z = (x middot z) + (y middot z)
Si middot est commutative on dit que lrsquoanneau A est commutatifc copyDuno
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Chapitre 1 mformulairetex 2772008 2251Page 4
4 [1] Matheacutematiques
Anneau integravegre
On dit qursquoun anneau (A+ middot) est integravegre si et seulement si A est com-mutatif et
forall(x y) isin A2 (x middot y = 0A)rArr (x = 0A ou y = 0A)
Sous-anneau
Soit (A+ middot) un anneau B une partie de A est un sous-anneau si etseulement si ndash (B+) est un sous groupe de (A+) ndash B est stable par middot ndash 1A isin B
Ideacuteal drsquoun anneau commutatif
I est dit un ideacuteal de A anneau commutatif avec I sub A si et seulementsrsquoil veacuterifie les proprieacuteteacutes
I 6= emptyforall(x y) isin I2 x + y isin Iforalla isin A forallx isin I ax isin I
Corps
Un ensemble (K+middot)muni de deux lois internes est un corps si et seule-ment si ndash (K+ middot) est un anneau commutatif ndash Tout eacuteleacutement de K0K est inversible par la loi middot
Chapitre 1 mformulairetex 2772008 2251Page 5
1 Algegravebre 5
Espace vectorielUn ensemble E est dit un K-espace vectoriel si E est non vide et sion dispose de deux lois une loi interne noteacutee + et drsquoune loi externe(Ktimes Erarr E) veacuterifiant (E+) est un groupe abeacutelien1 forall(λmicro) isin K2 forallx isin E (λ + micro)x = λx + microx
2 forallλ isin K forall(x y) isin E2 λ(x + y) = λx + λy
3 forall(λmicro) isin K2 forallx isin E λ(microx) = (λmicro)x4 forallx isin E 1x = x
AlgegravebreOn appelle K-algegravebre tout ensemble A muni drsquoune loi interne noteacutee +drsquoune loi externe Ktimes Ararr A et drsquoune loi interne noteacutee lowast veacuterifiant 1 (A+ middot) est un K-espace vectoriel2 lowast est distributive par rapport agrave +3 forallλ isin K forall(x y) isin A2 λ(x lowast y) = (λx) lowast y = x lowast (λy)Cette algegravebre est associative si et seulement si lowast est associative com-mutiative si et seulement si lowast est commutative unitaire si et seulementsi A admet un eacutelement neutre pour lowast
13 Nombres entiers nombres rationnels
Factorielle ndash Deacutefinition
n =n
prodk=1
k n factorielle nPar convention 0 = 1
Permutations
cardS(n) = nn factorielle n nombre de per-mutations drsquoun ensemble agrave n eacuteleacute-ments
Arrangements
Apn =
n(nminus p)
(n p) isin N2 avec p 6 n
On note Apn le nombre drsquoarrange-
ments de p eacuteleacutements agrave partir drsquounensemble de n eacuteleacutements (crsquoest-agrave-dire le nombre de p-uplets com-poseacutes drsquoeacuteleacutements deux agrave deux dis-tincts)
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6 [1] Matheacutematiques
Combinaisons
Cpn =
np(nminus p)
(n p) isin N2 avec p 6 nOn appelle combinaison (noteacuteeCpn) toute partie de cardinal p drsquoun
ensemble agrave n eacuteleacutements
Combinaisons ndash Proprieacuteteacutes
Cpn = C
nminuspn forall(n p) isin NtimesN
Cpn + C
p+1n = C
p+1n+1 forall(n p) isin NtimesZ
Binocircme de Newton
(x + y)n =n
sumk=0
Cknx
kynminuskn isin N(x y) isin A2 et xy = yx avec A unanneau commutatif
Divisibiliteacute
Soit (a b) isin Z2 on dit que a divise b si et seulement si il existe c isin Ztel que b = ac
Division euclidienne
forall(a b) isin ZtimesNlowast exist(q r) isin Z2 tel que a = bq + r et 0 6 r lt b
Q est archimeacutedien
forallε isin Qlowast+ forallA isin Qlowast+ existN isin Nlowast Nε gt A
Q est dense
x lt y =rArr (existz isin Qx lt z lt y) forall(x y) isin Q2
Chapitre 1 mformulairetex 2772008 2251Page 7
1 Algegravebre 7
14 Arithmeacutetique dans Z
Plus Grand Commun Diviseur (PGCD)Soit (x1 xn) isin Zn une famille drsquoentiers relatifs non tous nuls la fa-mille des diviseurs communs agrave tous les (xi)iisin[1n] admet un plus grandeacuteleacutement appeleacute plus grand commun diviseur
Plus Petit Commun Multiple (PPCM)Soit (x1 xn) isin Nn la famille des multiples communs non nulsaux (xi)iisin[1n] admet un plus petit eacuteleacutement appeleacute plus petit communmultiple
Nombres premiers entre euxSoient (x1 xn) isin (Zlowast)n ces nombres sont premiers entre eux si etseulement si ils veacuterifient la proprieacuteteacute pgcd(x1 xn) = 1
Theacuteoregraveme de BezoutSoient (x1 xn) isin (Zlowast)n pour que tous ces entiers soient premiersentre eux il faut et il suffit qursquoil existe (u1 un) isin Zn tel quen
sumi=1
xiui = 1
Theacuteoregraveme de Gauss
a|bcpgcd(a b) = 1 =rArr a|c forall(a b c) isin (Zlowast)3
Produit du PGCD par le PPCM
pgcd(a b) middot ppcm(a b) = |a middot b| forall(a b) isin (Zlowast)2
Nombres premiersOn dit qursquoun entier p isin N est premier si et seulement si p gt 2 et srsquoilveacuterifie
foralla isin Nlowast (a|p =rArr (a = 1 ou a = p))
Deacutecomposition en nombres premiersTout entier n isin N 0 1 admet une deacutecomposition unique en un pro-duit de nombres premiers agrave lrsquoordre pregraves des facteurs
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8 [1] Matheacutematiques
15 Polynocircmes et fractions rationnelles
Support drsquoune suite ndash Deacutefinition drsquoun polynocircme
Pour toute suite (an)nisinN de KN on apelle support lrsquoensemble des n isinN tels que an 6= 0
On appelle polynocircme agrave une indeacutetermineacutee agrave coefficients constantstoute suite de KN agrave support fini
Polynocircme agrave une indeacutetermineacutee
On note K[X] le corps des polynocircmes agrave une indeacutetermineacutee X agrave valeursdans K Tout eacuteleacutement P de K[X] peut srsquoeacutecrire sur la base canonique(Xn)nisinN sous la forme P = sum
nanX
n
Degreacute drsquoun polynocircme ndash Deacutefinition
deg P = max n isin Nan 6= 0 deg P degreacute du polynocircme P
Degreacute drsquoun polynocircme ndash Proprieacuteteacutes
deg(P + Q) 6 max(deg P degQ)
(PQ) isin K[X]
Lorsque deg P 6= degQ alors deg(P+Q)=max(deg P+degQ)
deg(PQ) = deg P + degQ
Produit
PQ = sumncnX
n
cn =n
sump=0
apbnminusp
P = sumnanX
n isin K[X]
Q = sumnbnX
n isin K[X]
Chapitre 1 mformulairetex 2772008 2251Page 9
1 Algegravebre 9
Composition
P Q = P(Q) = sumnanQ
nP Q polynocircme composeacuteP = sum
nanX
n isin K[X]
Q isin K[X]
Deacuterivation
Pprime = sumngt1
nanXnminus1 P = sum
nanX
n isin K[X]
Pprime polynocircme deacuteriveacute de P
Division euclidienne
forall(A B) isin (K[X])2 exist(Q R) isin (K[X])2A = BQ + R avec deg R ltdeg BQ quotient de la division euclidienne de A par BR reste de la division euclidienne de A par B
Divisibiliteacute dans K[X]
On dit que A divise P deux polynocircmes de K[X] si et seulement srsquoilexiste Q isin K[X] tel que P = AQOn appelle plus grand commun diviseur de (Pk)kisin[1n] isin (K[X] 0)le polynocircme de plus haut degreacute parmi les diviseurs des PkSoient (PQ) isin (K[X])2 ils sont dits premiers entre eux si et seulementsi leur plus grand commun diviseur est 1
Proprieacuteteacute de Gauss Soient A B et C trois polynocircmes non nuls deK[X] si A divise BC et si A et B sont premiers entre eux alors A diviseCSi A est premier avec B et avec C alors A est premier avec BC
Eacutegaliteacute de Bezout pour deux polynocircmesSoient A et B deux polynocircmes non nuls de K[X] Ces deux polynocircmessont premiers entre eux si et seulement si il existe un unique couple(UV) de polynocircmes de K[X] tels que
AU + BV = 1
Polynocircme irreacuteductibleUn polynocircme P isin K[X] est dit irreacuteductible si et seulement si deg P gt 1et si P nrsquoadmet comme diviseurs que les eacuteleacutements non nuls du corps Ket les multiples de lui-mecircmec copyDuno
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Chapitre 1 mformulairetex 2772008 2251Page 10
10 [1] Matheacutematiques
Fonction polynomiale
Agrave tout polynocircme P = sumnanX
n on associe la fonction polynomiale
P ξ 7rarrsumnanξ
n
Racine drsquoun polynocircme
P(α) = 0α est appeleacutee racine du polynocircmeP isin K[X] si elle veacuterifie la proprieacuteteacuteci-contre
Soit (α)iisinI famille des racines deux agrave deux distinctes du polynocircme PCe polynocircme peut alors srsquoexprimer sous la forme P = Qprod
iisinI(xminus αi)
mi
ougrave mi est la multipliciteacute de la racine αi et Q un polynocircme nrsquoayant pasde zeacutero dans K
Multipliciteacute drsquoune racine drsquoun polynocircme
P(mminus1)(α) = 0
P(m)(α) 6= 0
α est une racine P de multipli-citeacute m si elle veacuterifie la proprieacuteteacute ci-contre
Polynocircme scindeacuteUn polynocircme P isin K[X] est dit scindeacute sur K si et seulement si il existeλ isin K 0 et une famille drsquoeacuteleacutements non neacutecessairement distincts(xi)iisin[1n] tels que
P = λn
prodi=1
(Xminus xi)
Theacuteoregraveme de drsquoAlembert amp ConseacutequenceLe corps C est algeacutebriquement clos tout polynocircme non constant deK[X] admet au moins un zeacutero dans CConseacutequence Tout polynocircme non constant est scindeacute sur C
Fraction rationnelle ndash Deacutefinition
R =sumnanX
n
sumnbnX
n
R isin K(X) fraction rationnelleK(X) corps des fractions ration-nelles(an bn) isin K2 coefficients
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1 Algegravebre 11
Zeacuteros et pocircles drsquoune fraction rationnelle
Soit R =P
Qisin K(X) avec (PQ) isin K[X]2 une fraction rationnelle
Si P et Q sont deux polynocircmes premiers entre eux - on appelle zeacuteros de R les zeacuteros de P- on appelle pocircles de R les zeacuteros de Q
Deacutecomposition en eacuteleacutements simples
R =P
Sα11 times middot middot middot times Sαn
n
R = E +n
sumi=1
αi
sumj=1
Cαi j
Sji
R isin K(X) une fraction ration-nelleSαi
i isin K[X] polynocircme irreacuteduc-tibles premiers deux agrave deux entreeuxforalliαi isin NlowastE isin K[X] partie entiegravere de R
16 Geacuteneacuteraliteacutes sur les applications
Application injective
forall(x y) isin E2
( f (x) = f (y) =rArr x = y)
Une application f est dite injec-tive si et seulement si elle veacuterifiela proprieacuteteacute ci-contre
Application surjective
forally isin F existx isin E f (x) = y
Une application lineacuteaire f de Edans F est dite surjective si etseulement si elle veacuterifie la pro-prieacuteteacute ci-contre
Composition de fonctions injectives de fonctions surjectives
g f injective rArr f injectiveg f surjective rArr g surjective f et g deux applicationsc copy
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12 [1] Matheacutematiques
17 Applications lineacuteaires ndash Espaces vectoriels
Espace vectoriel ndash DeacutefinitionSoit E un ensemble muni drsquoune loi interne noteacutee + drsquoune loi externeKtimes Erarr E noteacutee middot telles que (E+) est un groupe abeacutelienforallλ isin K forall(x y) isin E2 λ(x + y) = λx + λyforall(λmicro) isin K2 forallx isin E (λ + micro)x = λx + microxforall(λmicro) isin K2 forallx isin E λ(microx) = (λmicro)xforallx isin E 1x = xUn tel ensemble est appeleacute K-espace vectoriel
Sous-espace vectorielSoit E un K-espace vectoriel et F sub E F est dit sous-espace vectorielde E si et seulement si il veacuterifie les proprieacuteteacutes suivantes (1) F 6= empty(2) forall(x y) isin F2 x + y isin F(3) forallλ isin K forallx isin F λx isin F
Sous-espace engendreacute par une partie
Vect(A) =⋂
FsubEFsupA
F
E K-espace vectorielA sub EVect(A) sous-espace vectorielengendreacute par AAutrement dit Vect(A)est le pluspetit sous-espace vectoriel de Econtenant A ou si A 6= empty lrsquoen-semble des combinaisons lineacuteairesdes eacuteleacutements de E
Somme directe de sous-espaces vectoriels
E = sumiisinI
Ei
forall(i j) isin I2 Ei capsumj 6=i
E j = 0
(Ei)iisinI famille de sous-espacesvectoriels drsquoun espace vectoriel ESi la somme des Ei veacuterifie les deuxproprieacuteteacutes ci-contre elle est ditedirecteDans ce cas forallx isin E il existe uneunique deacutecomposition x = sum
iisinIxi
avec xi isin Ei
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1 Algegravebre 13
Sous-espaces vectoriels suppleacutementaires
E =oplus
iisinIEi
(Ei)iisinI famille de sous-espacesvectoriels drsquoun espace vectoriel EIls sont dits suppleacutementaires si etseulement srsquoils sont en somme di-recte et que leur somme est eacutegale agraveE
Famille geacuteneacuteratriceSoit (xi)iisinI une famille de vecteurs drsquoun espace vectoriel de E sur KOn dit que cette famille est geacuteneacuteratrice si et seulement si tout eacuteleacutementx de E peut srsquoexprimer comme combinaison lineacuteaire des xi crsquoest-agrave-direqursquoil existe une famille (λi)iisinI telle que x = sum
iisinIλixi
Famille libre
sumiisinI
λixi = 0 =rArr foralli isin I λi = 0(xi)iisinI famille de vecteurs de E(λi)iisinI famille de scalaires de KUne famille est libre si elle veacuterifiela proprieacuteteacute ci-contre
Proprieacuteteacutes fondamentales des famillesndash Toute sur-famille drsquoune famille geacuteneacuteratrice drsquoune famille geacuteneacuteratriceest geacuteneacuteratricendash Toute sous famille drsquoune famille libre est une famille libre
ndash Si (x1 xn) libre et (x1 xn xn+1) lieacutee alors xn+1 =n
sumi=1
λixi
ndash Une famille comportant le vecteur nul est lieacutee
Base drsquoun espace vectoriel ndash DeacutefinitionUne base de E est une famille de vecteurs (xi)iisinI de E libre et geacuteneacutera-triceAutres formulations une base est une famille libre maximale ou en-core une famille geacuteneacuteratrice minimale
Theacuteorie de la dimensionUn K-espace vectoriel est dit de dimension finie si et seulement si Eadmet au moins une famille geacuteneacuteratrice de dimension finieSoit E un K-espace vectoriel de dimension finie alors 1 E admet au moins une base de dimension finie2 Toutes les bases de E sont finies et ont le mecircme cardinal appeleacute di-mension de E et noteacute dim E
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Theacuteoregraveme de la base incomplegraveteSoit E un K-espace vectoriel de dimension n et F = (x1 xr)unefamille libre de E Il y a au moins une faccedilon de compleacuteter F par nminus rvecteurs drsquoune base de E pour obtenir une base de E
Base duale deacutefinition
elowasti (e j) = δi j =
1 si i = j0 si i 6= j
E K-espace-vectorielElowast dual de EB = (e1 en) une base de EBlowast = (elowast1 e
lowastn) base de Elowast
Blowast est appeleacute base duale de BProprieacuteteacutes des familles libres et des familles geacuteneacuteratrices
Soient E un K-espace vectoriel de dimension nndash Toute famille libre de E comporte au plus n eacuteleacutementsndash Toute famille geacuteneacuteratrice de E comporte au moins n eacuteleacutements
Droite vectorielle ndash HyperplanOn appelle droit vectorielle tout sous-espace vectoriel de dimension 1On appelle hyperplan tout sous-espace vectoriel de dimension nminus 1drsquoun espace vectoriel de dimension n
CodimensionSoit F un sous-espace vectoriel de E il est dit de codimension finiesi et seulement si F admet au moins un suppleacutementaire de dimensionfinie dans E
Application lineacuteaire ndash Deacutefinition
forall(x y) isin E2 forallλ isin K
f (x + λy) = f (x) + λ f (y)
On dit que f est une application li-neacuteaire de E dans F si et seulementsi elle veacuterifie la proprieacuteteacute ci-contre
Forme lineacuteaire ndash DeacutefinitionOn appelle forme lineacuteaire une application lineacuteaire qui va de E dans lecorps de reacutefeacuterence K
Applications lineacuteaires et famille de vecteursforall f isin L(E F) et pour toute famille finie F drsquoeacuteleacutements de E ndash f (Vect(F )) = Vect( f (F ))ndash si F est lieacutee alors f (F ) est lieacutee
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1 Algegravebre 15
ndash si f (F ) est libre alors F est librendash si f est bijective pour toute base B de E f (B) est une base de F
Image et noyau drsquoune application lineacuteaire ndash Deacutefinition
Im f = y isin Fexistx isin E f (x) = yOn appelle image de f le sous-espace vectoriel de F noteacute Im f deacute-fini ci-contre
Ker f = x isin E f (x) = 0On appelle noyau de f le sous-espace vectoriel de E noteacute Ker fdeacutefini ci-contre
Noyau drsquoune forme lineacuteaire
Le noyau drsquoune forme lineacuteaire autre que la forme nulle est un hyper-plan
Rang drsquoune application lineacuteaire ndash Deacutefinition
Soient E et F deux espaces vectoriels sur K et f une application lineacuteairede E dans F Si Im f est de dimension finie dim Im f srsquoappelle rangde f et se note rg f
Formule du rang
dim E = rg f + dim(Ker f )
E espace vectoriel de dimensionfinief application lineacuteairerg f rang de fKer f noyau de f
Isomorphisme ndash Endomorphisme ndash Automorphisme
ndash Un isomorphisme drsquoespaces vectoriels est une application lineacuteairede E dans F bijective
ndash Un endomorphisme de E est une application lineacuteaire de E dans E
ndash Un automorphisme est un endomorphisme bijectif On note GL(E)lrsquoensemble des automorphismes de E
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16 [1] Matheacutematiques
Endomorphisme nilpotentOn dit qursquoun endomorphisme f drsquoun K-espace-vectoriel E est nil-potent si et seulement si existp isin Nlowast tel que f p = 0 Lrsquoordre de nilpotenceest alors le plus petit p isin Nlowast tel que f p = 0
Applications lineacuteaires ndash Cas de la dimension finie
(1) f isomorphisme(2) f injective(3) f surjective(4) rg f = n
E et F deux espaces vectoriels demecircme dimension n sur Kf isin L(E F)Les propositions ci-contre sontdeux agrave deux eacutequivalentes
(1) f automorphisme(2) f injective(3) f surjective(4) rg f = n
E espace vectoriel de dimensionn sur Kf isin L(E)Les propositions ci-contre sontdeux agrave deux eacutequivalentes
Image et noyau drsquoune application lineacuteaire ndash Proprieacuteteacutes
f surjective lArrrArr Im f = Ff injective lArrrArr Ker f = 0 f application lineacuteaire de E dans F
Projecteur ndash Deacutefinition
p2 = p (1)
Un projecteur est une applicationlineacuteaire veacuterifiant la relation (1)p est alors le projecteur sur Im pparallegravelement agrave Ker p
Symeacutetrie ndash Deacutefinition
s2 = IdE
Une symeacutetrie est une applicationlineacuteaire veacuterifiant la relation ci-contre
p = 12 (s + IdE) est un projecteur
s est la symeacutetrie par rapportagrave Ker(s minus IdE) parallegravelement agraveKer(s + IdE)
Une symeacutetrie est une applicationlineacuteaire veacuterifiant les proprieacuteteacutes ci-contre
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1 Algegravebre 17
Formule de Grassman
dim(A + B) = dim A + dim B minus dim(A cap B) ougrave A et B sont deuxsous-espaces vectoriels de E de dimensions finies
18 Matrices ndash Deacuteterminants ndash Systegravemes lineacuteaires
Ensemble des matrices
On noteMmn(K) lrsquoensemble des matrices agrave m lignes et n colonnes
Matrices et applications lineacuteaires
f (e j) =m
sumi=1
ai j fi
f application lineacuteaire de E dans Fdeux espaces vectoriels de dimen-sion finieM = (ai j)iisin[1m] jisin[1n] matrice as-socieacutee agrave lrsquoapplication lineacuteaire fB = (e j) jisin[1n] base de E
Bprime = ( fi)iisin[1m] base de F
Somme de deux matrices
γi j = αi j + βi j
M = (αi j) isin Mmn(K)
N = (βi j) isin Mmn(K)
M + N = (γi j) isin Mmn(K)
Produit drsquoune matrice par un scalaire
M = λN
(γi j) = (λ middot αi j)
λ isin KM = (αi j) isin Mmn(K)
N = (γi j) isin Mmn(K)
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18 [1] Matheacutematiques
Produit de matrices
β1 jβ2 j
βk j
βp j
αi1αi2 middot middot middotαik middot middot middotαip
γi j
M = (αik) isin Mmp(K)N = (βk j) isin Mpn(K)
MN = (γi j) isin Mmn(K)
γi j =p
sumk=1
αik middot βk j
Proprieacuteteacutes des opeacuterations sur les matrices
(M + N)P = MP + NP (MN) isin (Mmp(K))2 P isinMpn(K)
(microM)(λN) = microλ(MN)
M isin Mmp(K)N isin Mpn(K)
(λmicro)2 isin K2
(MN)P = M(NP)
M isin Mmp(K)N isin Mpn(K)N isin Mnq(K)
Attention En geacuteneacuteral MN 6= NM
Transposeacutee drsquoune matrice
A = (ai j) iisin[1n]
jisin[1p]
tA = (a ji) jisin[1p]iisin[1n]
A isin Mnp(K)tA isin Mpn(K) matrice transpo-seacutee de A
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1 Algegravebre 19
Changement de base
Aprime = Qminus1AP
Aprime matrice drsquoune application li-neacuteaire de E (dans la base base Bprime)vers F (dans la base base C prime)A matrice de la mecircme applicationlineacuteaire de E (dans la base base B)vers F (dans la base base C)P matrice de passage de B agrave BprimeQ matrice de passage de C agrave C primeDans le cas drsquoun endomorphismeQ = P (seulement deux bases sontneacutecessaires)
Exponentielle de matrice
exp(A) =+infin
sumk=0
1kAk
A isin Mn(K)exp(A) exponentielle de la ma-trice A
Deacuteterminant ndash DeacutefinitionUn deacuteterminant est une forme multilineacuteaire alterneacuteeMultilineacuteariteacute (det(α1V1 αnVn) = α1 middot middot middot middot αn det(V1 Vn))Alterneacutee Vi = Vj avec i 6= j =rArr det(V1 Vn) = 0Dans une base B = (e1 en) de E on note detB lrsquoapplication
detB(V1 Vn) = sumσisinSn
ε(σ)aσ(1)1 middot middot middot aσ(n)n
Avec Vj =n
sumi j=1
ai j jei j j
Deacuteterminant drsquoun produit de matrices
det(M middot N) = detM middot detN M isin Mn(K)N isin Mn(K)
Deacuteterminant et matrice inversible
M inversible lArrrArr detM 6= 0c copyDuno
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20 [1] Matheacutematiques
det(Mminus1) = (detM)minus1 M isin Mn(K) inversible
Deacuteterminant de Vandermonde∣∣∣∣∣∣∣
1 x1 x21 middot middot middot xnminus11
1 xn x2n xnminus1n
∣∣∣∣∣∣∣= prod
16 jlti6n
(xi minus x j) (x1 xn) isin Kn
Matrice inversible ndash DeacutefinitionUne matrice M isin Mn(K) est dite inversible srsquoil existe une matrice Ntelle que
M middot N = N middotM = InLa matrice N est alors appeleacutee inverse de M et se note Mminus1
Matrices inversiblesSoit A isin Mn(K) et f un endomorphisme repreacutesenteacute par A dans unebase Les proprieacuteteacutes ci-dessous sont deux agrave deux eacutequivalentes (1) f est bijective(2) A est inversible agrave gauche(3) A est inversible agrave droite(4) A est inversible(5) A est reacuteguliegravere agrave gauche(6) A est reacuteguliegravere agrave droite(7) A est reacuteguliegravere
Matrice des cofacteurs ndash Comatrice
comM = (detMi j)iisin[1n]jisin[1n]
comM comatrice de M (ou ma-trice des cofacteurs)Mi j matrice M laquo priveacutee raquo de sa ie
ligne et de sa je colonne
Matrice inverse
Mminus1 =1
detM
t
com(M)
M isin Mn(K) matrice inversiblecom(M) matrice des cofacteursde M
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1 Algegravebre 21
Systegraveme lineacuteaire ndash Deacutefinition
a11x1 + middot middot middot+ a1pxp = b1
an1x1 + middot middot middot+ anpxp = bn
On peut interpreacuteter ce systegravemecomme le produit de la matriceA = (ai j)iisin[1n] jisin[1p] par le vecteurX = (xi)iisin[1p] (vecteur inconnu)Ce produit est eacutegal au vecteur se-cond membre B = (bi)iisin[1n]
Systegraveme de Cramer
forall j isin [1 p] x j =det A j(b)
det A
Dans le cas drsquoun systegraveme de Cra-mer n = p = rg ALe systegraveme admet alors une so-lution unique donneacutee par les for-mules de Cramer ci-contreA j(b) est obtenue agrave partir de A enremplaccedilant le vecteur colonne c jpar b
Cas ougrave rg A = n lt p
Apregraves permutation des inconnues on peut supposer que la matriceAprime = (ai j)iisin[1n]
jisin[1n]
extraite de A est inversible On eacutetablit alors le systegraveme
suivant
a11x1 + middot middot middot+ a1nxn = b1 minus (a1n+1xn+1 + middot middot middot+ a1pxp)
an1x1 + middot middot middot+ annxn = bn minus (ann+1xn+1 + middot middot middot+ anpxp)
Ce systegraveme est de Cramer et admet donc une solution unique Cetensemble est un sous-espace affine de dimension pminus n
Cas ougrave rg A lt n
Soit on peut se ramener au cas preacuteceacutedent par combinaison lineacuteaire deseacutequations soit le systegraveme nrsquoadmet pas de solutionc copyDuno
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22 [1] Matheacutematiques
19 Espaces vectoriels euclidiens
Produit scalaire ndash Deacutefinition
Un produit scalaire euclidien surE est une application ϕ de E2 dansR veacuterifiant (1) ϕ est bilineacuteaire(2) ϕ est symeacutetrique(3) forallx isin E ϕ(x x) gt 0(4) forallx isin E ϕ(x x) = 0rArr x = 0
ϕ veacuterifiant (3) est dite positiveϕ veacuterifiant (4) est dite deacutefinieϕ veacuterifiant (3) et (4) est ditedeacutefinie-positiveOn note ce produit scalaire (middot|middot)
Forme quadratique
forallx isin E q(x) = ϕ(x x)ϕ une forme bilineacuteaire symeacutetriquesur Etimes Eq E rarr R forme quadratique as-socieacutee agrave ϕ
Matrice associeacutee
MatB(ϕ) = (ϕ(ei e j))iisin[1n]jisin[1n]
MatB(ϕ) matrice de ϕ dans BB base de Eϕ E times E rarr R forme bilineacuteairesymeacutetrique
Expression matricielle
ϕ(x y) =t XAY
ϕ E times E rarr R forme bilineacuteairesymeacutetrique(x y) isin E2
X = MatB(x)Y = MatB(y)
Norme euclidienne ndash Deacutefinition
x2 =radic
(x|x) middot 2 norme euclidienne sur Ex isin E
Ineacutegaliteacute de Cauchy-Schwarz
|(x|y)| 6 x middot y forall(x y) isin E2
Il y a eacutegaliteacute si et seulement si les vecteurs x et y sont lieacutes
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1 Algegravebre 23
Ineacutegaliteacute triangulaire ou de Minkowski
x + y 6 x+ y forall(x y) isin E2
Il y a eacutegaliteacute si et seulement si les vecteurs x et y sont positivement lieacutesou si x = 0
Relations entre produit scalaire et norme
forall(x y) isin E2 1 x + y2 = x2 + 2(x|y) + y22 xminus y2 = x2 minus 2(x|y) + y2
3 (x|y) =12
(x + y2 minus x2 minus y2
)
4 (x|y) =14
(x + y2 minus xminus y2
)
Vecteurs orthogonaux
Soit (x y) isin E2 on dit que ces deux vecteurs sont orthogonaux si etseulement si (x|y) = 0
Parties orthogonales ndash Orthogonal drsquoune partie
forall(x y) isin Atimes B (x|y) = 0
Aperp = x isin Eforally isin A (x|y) = 0
x y deux vecteurs respective-ment de A et de BA B deux parties orthogonalesde EAperp orthogonal de la partie A
Ineacutegaliteacute de Bessel
n
sumj=1|(e j|x)|2 6 x2
E espace vectoriel preacutehilbertienx vecteur de E(e j) jisin[1n] famille orthonormalede E
Projecteur orthogonal
Ker p = (Im p)perp
Im p = (Ker p)perpp projecteur orthogonal sur Im pparallegravelement agrave Ker p
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24 [1] Matheacutematiques
Attention un projecteur orthogonal nrsquoest pas une application ortho-gonale
Diagonalisation drsquoune matrice symeacutetrique
forallS isin Sn(R) exist(ΩD) isin On(R)timesDn(R) S = ΩDΩminus1
Sn(R) ensemble des matrices symeacutetriques de R
On(R) groupe orthogonal
Dn(R) ensemble des matrices diagonales de R
Valeurs propres de matrices symeacutetriques
Les valeurs propres drsquoune matrice S isin Sn(R) sont reacuteelles
Endomorphisme adjoint ndash Deacutefinition
forall f isin L(E) exist f lowast isin L(E) tel que
forall(x y) isin E2 ( f (x)|y) = (x| f lowast(y))
E espace vectoriel euclidienL(E) ensemble des endomor-phismes de Ef endomorphisme de Ef lowast lrsquoadjoint de fx y deux vecteurs de E
Automorphismes orthogonaux symeacutetriques antisymeacutetriques
(1) f lowast = fminus1(2) f lowast = f(3) f lowast = minus f
Un automorphisme f veacuterifiant ndash (1) est dit orthogonalndash (2) est dit symeacutetrique ou auto-adjointndash (3) est dit antisymeacutetrique
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1 Algegravebre 25
Proprieacuteteacutes des adjoints
Ker f lowast = (Im f )perp Im f lowast = (Ker f )perp
(λ f + g)lowast = λ f lowast + glowast
(g f )lowast = f lowast glowast
(IdE)lowast = IdE
( f lowast)lowast = f
( fminus1)lowast = ( f lowast)minus1
Mat f lowast =t Mat f
( f g) isin L(E)2 endomorphismesde E admettant des adjointsf lowast endomorphisme adjoint de E
Aperp orthogonal de A A eacutetant unepartie de E
Deacutefinition et proprieacuteteacutes des automorphismes orthogonaux
(1) forall(x y) isin E2 ( f (x)| f (y)) = (x|y)(2) forallx isin E f (x) = x(3) f isin O(E)
Les proprieacuteteacutes (1) (2) et (3) sonteacutequivalentes(1) traduit la conservation du pro-duit scalaire(2) traduit la conservation de lanorme
O(E) ensemble des automor-phismes orthogonaux de Ef isin L(E)
Caracteacuterisation des automorphismes orthogonaux
tM middotM = In ou M middott M = In
f lowast f = f f lowast = IdE
M matrice orthogonale deMn(K)f automorphisme orthogonal deEIdE application identiteacute de EIn matrice identiteacute deMn(K)c copy
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26 [1] Matheacutematiques
110 Reacuteduction des endomorphismes
Valeur propre ndash Deacutefinition
existx isin E x 6= 0 tel que
f (x) = λx
f isin L(E)λ isin K valeur propre de fAutre formulation f minus λ IdE estnon injectif
Spectre drsquoun endomorphismeSoit f isin L(E) on appelle spectre de f noteacute Sp( f ) lrsquoensemble
Sp( f ) = λ isin K existx isin E 0 f (x) = λxVecteur propre ndash Deacutefinition
x 6= 0 et existλ isin K
f (x) = λx
x isin E vecteur propre de ff isin L(E)(alors λ isinSp( f ))
Sous-espace propre ndash Deacutefinition
SEP( f λ) = Ker( f minus λ IdE)
SEP( f λ) sous-espace propre as-socieacute agrave λf isin L(E)λ isin Sp( f )
Polynocircme caracteacuteristique ndash Deacutefinition
χA(λ) = det(Aminus λIn)
χ f (λ) = det( f minus λIdE)
χA(λ) polynocircme caracteacuteristiquede Aχ f (λ) polynocircme caracteacuteristiquede ff isin L(E)A matrice drsquoordre n associeacutee agrave f
Polynocircme caracteacuteristique ndash Proprieacuteteacutes
ndash Le coefficient dominant est(minus1)nndash Le coefficient de λnminus1 est(minus1)nminus1 tr Andash Le terme constant est det A
A isin Mn(K)χA(λ) polynocircme caracteacuteristiquede Aλ indeacutetermineacutee du polynocircme
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2 Analyse 27
Diagonalisabiliteacute
1 f est diagonalisable2 Il existe une base de E formeacutee devecteurs propres de f 3 La somme des sous-espacespropres pour f est eacutegale agrave E4 La somme des dimensions dessous-espaces propres pour f esteacutegale agrave dim E
Les proprieacuteteacutes ci-contre sont deuxagrave deux eacutequivalentesE espace vectoriel de dimensionfinief isin L(E)
TrigonalisationSoit f isin L(E) les deux proprieacuteteacutes suivantes sont eacutequivalentes 1 f est trigonalisable2 χ f est scindeacute sur K
Drapeau
foralli isin 1 n dim(Ei) = iforalli isin 1 nminus 1 Ei sub Ei+1
E un K-espace-vectoriel(E1 En) famille de sous-espaces vectoriels de En = dim E
Theacuteoregraveme de Cayley - Hamilton
Le polynocircme caracteacuteristique de f annule f crsquoest-agrave-dire forall f isinL(E) χ f = 0
2 Analyse
21 Espaces vectoriels normeacutes
Norme ndash Deacutefinition
On appelle norme sur un K-espace vectoriel E toute application N Erarr R veacuterifiant les trois points suivants 1 forallλ isin K forallx isin EN(λx) = |λ|N(x)2 forallx isin E N(x) = 0 =rArr x = 03 forall(x y) isin E2 N(x + y) 6 N(x) + N(y)
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28 [1] Matheacutematiques
Normes eacutequivalentesDeux normes N1 et N2 sont dites eacutequivalentes si et seulement si il existe(αβ) isin Rlowast+
2 tels que
αN1 6 N2 6 βN1
Distance ndash DeacutefinitionSoit (E middot ) un espace vectoriel normeacute on appelle distance associeacutee agravela norme middot lrsquoapplication d E2 rarr R deacutefinie par d(x y) = xminus yLa distance possegravede les proprieacuteteacutes suivantes 1 forall(x y) isin E2 d(x y) = d(y x)2 forall(x y) isin E2 d(x y) = 0 =rArr x = y3 forall(x y z) isin E3 d(x z) 6 d(x y) + d(y z)4 forall(x y) isin E2 forallλ isin K d(λx λy) = |λ|d(x y)5 forall(x y z) isin E3 d(x + z y + z) = d(x y)
Distance drsquoun point agrave une partieOn appelle distance de x isin E agrave A une partie non vide de E R espacevectoriel le reacuteel deacutefini par
d(x A) = infaisinA
d(x a)
Boule ouverte ndash Deacutefinition
B(a r) = x isin Eaminus x lt r
Boule fermeacutee ndash Deacutefinition
B(a r) = x isin Eaminus x 6 r
Partie ouverte de E
On appelle ouvert de E toute partie X de E veacuterifiant la proprieacuteteacute
forallx isin X existr isin Rlowast+ B(x r) sub X
Partie fermeacutee de E
On appelle fermeacute de E toute partie de E dont le compleacutementaire dansE est un ouvert de E
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2 Analyse 29
Partie borneacutee ndash DeacutefinitionSoit (E middot ) un K-espace vectoriel une partie A de E est dite borneacuteesi et seulement si
existM isin R+ forall(x y) isin A2 d(x y) 6 M
VoisinageSoit a isin E un K-espace vectoriel on dit que V est un voisinage de a siet seulement srsquoil existe r gt 0 tel que B(a r) sub V
Inteacuterieur ndash Frontiegravere ndash AdheacuterenceOn appelle inteacuterieur drsquoune partie A sub E avec E unK-espace vectoriel A=
⋃
Ω ouvert de EΩsubA
Ω
On appelle adheacuterence de A (noteacutee A) la partie A =⋂
F fermeacute de EFsupA
F
On appelle frontiegravere de A la partie de A noteacutee partA la partie deacutefinie par
A AValeur drsquoadheacuterence
On dit que a est valeur drsquoadheacuterence de la suite de E (un)nisinN si et seule-ment srsquoil existe une suite extraite de (un)nisinN telle que uσ(n) minusminusminusminusrarrararr+infin
a
Caracteacuterisation de la continuiteacute pour une application lineacuteaireSoit f isin L(E F) ougrave E et F sont deux K-espaces vectoriels alors lesdeux propositions suivantes sont eacutequivalentes (1) f est continue(2) existM isin R+ forallx isin E f (x)F 6 MxE
Partie compacteOn dit que X sub E E eacutetant un K-espace vectoriel est une partie com-pacte de E si et seulement toute suite drsquoeacuteleacutements de X admet au moinsune valeur drsquoadheacuterence dans X
Partie compacte en dimension finieLes parties compactes drsquoun K-espace vectoriel de dimension finie sontles parties fermeacutees borneacutees
Normes en dimension finieToutes les normes sur un K-espace vectoriel de dimension finie sonteacutequivalentes
c copyDuno
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toriseacuteeestu
ndeacutelit
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30 [1] Matheacutematiques
Applications lineacuteaires en dimension finieSoient E et F deux K-espaces vectoriels normeacutes si E est de dimensionfinie alors toute application lineacuteaire Erarr F est continue
Suites de CauchyOn appelle suite de Cauchy dans un K-espace vectoriel normeacute toutesuite veacuterifiant
forallε gt 0 existN isin N forall(p q) isin NtimesNlowast p gt N =rArr up minus up+q 6 ε
Toute suite convergente dans un K-espace vectoriel normeacute est de Cau-chy
Partie complegravete ndash DeacutefinitionUne partie A drsquoun K-espace vectoriel normeacute est dite complegravete si etseulement si toute suite de Cauchy drsquoeacuteleacutements de A converge dans A
Partie complegravete ndash ProprieacuteteacutesToute partie X drsquoun K-espace vectoriel normeacute complet veacuterifie
X fermeacuteelArrrArr X complegraveteToute partie compacte drsquoun K-espace vectoriel normeacute est complegravete
Connexiteacute par arcsUne partie A drsquoun K-espace vectoriel normeacute de dimension finie est diteconnexe par arcs si et seulement si forall(x y) isin A2 existγ isin C0([a b] E) telque
γ(a) = x γ(b) = yforallt isin [a b]γ(t) isin A
Espace preacutehilbertien ndash Espace euclidienOn appelle espace preacutehilbertien tout couple (Eϕ) ougrave E est un K-espace vectoriel et ϕ un produit scalaire sur EOn appelle espace euclidien tout espace preacutehilbertien de dimensionfinie
Theacuteoregraveme de PythagorePour toute famille orthogonale finie (xi)iisinI drsquoun espace preacutehilbertien(E (middot|middot)) on a ∥∥∥∥∥sum
iisinIxi
∥∥∥∥∥
2
= sumiisinIxi2
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2 Analyse 31
22 Nombres reacuteels
Preacutesentation
(R+ middot) est un corps commutatif
6 est une relation drsquoordre total dans R
forall(a b c) isin R3
a 6 b =rArr a + c 6 b + ca 6 b0 6 c
=rArr ac 6 bc
Toute partie non vide majoreacutee de R admet une borne supeacuterieure dansR
Distance usuelle dans R
d RtimesRrarr R(x y) 7rarr |xminus y|
Le nombre reacuteel d(x y) est la dis-tance usuelle dans R
R corps archimeacutedien
forallε isin Rlowast+ forallA isin Rlowast+ existn isin Nlowast nε gt A
Partie entiegravere ndash Deacutefinition
forallx isin R
E(x) 6 x 6 E(x) + 1
x isin RE(x) partie entiegravere de xE(x) est lrsquounique entier relatif veacute-rifiant la proprieacuteteacute ci-contre
Densiteacute
forall(x y) isin R2
(x lt y =rArr (existd isin D x lt d lt y))
D sub RCette partie D est dite dense dansR si et seulement si elle veacuterifie laproprieacuteteacute ci-contreTheacuteoregraveme Q est dense dans Rc copy
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32 [1] Matheacutematiques
23 Nombres complexes
Forme carteacutesienne Forme polaire drsquoun nombre complexe
z = a + ib
z = ρeiθ
z nombre complexe (z isin C)a partie reacuteelle de z (a isin R) on lanote aussi Re(z)b partie imaginaire de z (b isin R)on la note aussi Im(z)ρ module de z (ρ isin R+)θ argument de z (θ isin R)
Nombre complexe conjugueacute ndash Deacutefinition
z = a + ib
z = aminus ib
z isin C nombre complexez isin C nombre complexe conju-gueacute de za partie reacuteelle de z et de zb partie imaginaire de z
Nombre complexe conjugueacute ndash Proprieacuteteacutes
z + z = 2Re(z)
zminus z = 2i Im(z)
z nombre complexez nombre complexe conjugueacute dez
z = z si z est reacuteel
z = minusz si z est imaginaire pur
Module drsquoun nombre complexe
|z|2 = z middot z |z| module de z
Module drsquoun produit ndash Module drsquoun quotient
|zzprime| = |z| middot |zprime|
zprime 6= 0∣∣∣z
zprime∣∣∣ =|z||zprime|
z isin C nombre complexezprime isin C nombre complexe
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2 Analyse 33
Ineacutegaliteacute triangulaire
|z + zprime| 6 |z|+ |zprime| z isin C nombre complexezprime isin C nombre complexe
Condition de cocycliciteacute ou drsquoalignement de quatre points
z4 minus z1z3 minus z1
z4 minus z2z3 minus z2
isin R
Mi point du plan drsquoaffixe zizi isin CLes points M1 M2 M3 et M4 sontcocyliques ou aligneacutes si et seule-ment si leurs affixes veacuterifient laproprieacuteteacute ci-contre
Formule de Moivre
(cos θ+ i sin θ)n = cos nθ+ i sin nθ θ isin Rn isin Z
Formule drsquoEuler
cos x =eix + eminusix
2
sin x =eix minus eminusix
2i
x isin R
Racines niegravemes drsquoun complexe
zk = nradicr(ei
ϕ+2kπn
)
Les zk sont les solutions de lrsquoeacutequa-tion zn = reiϕ(k n) isin N2 avec 0 6 k 6 nminus 1z isin Cr isin R+En particulier les racines niegravemes
de lrsquouniteacute zk = ei2kπn
Groupe des racines niegravemes de lrsquouniteacuteU = z isin C |z| = 1 est un groupe pour la multiplication
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34 [1] Matheacutematiques
24 Suites
Convergence ndash DeacutefinitionOn dit qursquoune suite numeacuterique (un)nisinN converge vers une limite l isin Ksi et seulement si
forallε gt 0 existN isin N foralln gt N isin N n =rArr |un minus l| 6 ε
On dit qursquoune suite numeacuterique (un)nisinN converge si et seulement si existl isin K forallε gt 0 existN isin N foralln isin N n gt N =rArr |un minus l| 6 ε
Suite borneacuteeUne suite complexe (un)nisinN est dite borneacutee si et seulement si
existM isin R+ foralln isin N |un| 6 M
Theacuteoregraveme drsquoencadrementSoient (un)nisinN (vn)nisinN (wn)nisinN trois suites reacuteelles telles que
existN isin N foralln isin N n gt N =rArr un 6 vn 6 wn
(un)n et (wn)n convergent vers une mecircme limite lAlors (vn)n converge aussi vers l
Suite arithmeacutetique
un = unminus1 + r
Sn =(u1 + un)n
2
un ne terme de la suiter raisonu1 premier terme de la suiteSn somme des n premiers termesde la suite un
Suite geacuteomeacutetrique
un = q middot unminus1
Sn =u1(q
n minus 1)qminus 1
q 6= 1
un ne terme de la suiteq raison de la suiteu1 premier terme de la suiteSn somme des n premiers termesde la suite un
Suites reacuteelles monotonesOn dit que (un)nisinN est croissante si et seulement si
foralln isin N un 6 un+1On dit que (un)nisinN est deacutecroissante si et seulement si
foralln isin N un gt un+1On dit que (un)nisinN est strictement croissante si et seulement si
foralln isin N un lt un+1On dit que (un)nisinN est strictement deacutecroissante si et seulement si
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2 Analyse 35
foralln isin N un gt un+1On dit que (un)nisinN est (strictement) monotone si et seulement si(un)nisinN est (strictement) croissante ou (strictement) deacutecroissanteToute suite reacuteelle croissante (respectivement deacutecroissante) et majoreacutee(respectivement minoreacutee) est convergente
Suites adjacentes
(un)nisinN est croissante(vn)nisinN est deacutecroissante(vn minus un) minusminusminusminusrarr
nrarr+infin
0
Si deux suites reacuteelles veacuterifient lesproprieacuteteacutes ci-contre ces suites sontdites adjacentesSi deux suites sont adjacenteselles convergent vers la mecircme li-mite
Suites extraitesOn appelle suite extraite de (un)nisinN toute suite (uσ(n))nisinN ougrave σ NrarrN est une application strictement croissanteSi une suite (un)nisinN converge vers l isin K alors toute suite extraite de(un)nisinN converge aussi vers l
Valeur drsquoadheacuterenceOn dira que a est une valeur drsquoadheacuterence drsquoune suite (un)nisinN si etseulement srsquoil existe une suite extraite telle que uσ(n) minusminusminusminusrarrnrarr+infin
a
Theacuteoregraveme de Bolzano-WeiertrassDe toute suite borneacutee de R on peut extraire une suite convergente
25 Fonctions reacuteelles de la variable reacuteelle
PariteacuteSoit X sub R veacuterifiant x isin X =rArr minusx isin X
forallx isin X f (minusx) = f (x)Une fonction f est paire si et seule-ment si elle veacuterifie la relation ci-contre
forallx isin X f (minusx) = minus f (x)Une fonction f est impaire si etseulement si elle veacuterifie la relationci-contre
PeacuteriodiciteacuteSoit f X rarr K avec X sub R on dit que f est T-peacuteriodique si et seule-ment si elle veacuterifie
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36 [1] Matheacutematiques
forallx isin X
x + T isin Xf (x + T) = f (x)
Application en escalierOn dit qursquoune fonction f [a b] rarr R est en escalier si et seulementsrsquoil existe une famille (ai)iisin[0n] telle que (a0 an) isin [a b]n+1 avecn isin Nlowast et une famille (λ0 λnminus1) isin Rn tels que
a = a0 lt a1 lt middot middot middot lt anminus1 lt an = bforalli isin 0 nminus 1 forallx isin]ai ai+1[ f (x) = λi
Application majoreacutee ndash minoreacutee ndash borneacuteeUne fonction f X rarr R est dite ndashmajoreacutee si et seulement srsquoil existe A isin R tel que forallx isin X f (x) 6 Andashminoreacutee si et seulement srsquoil existe B isin R tel que forallx isin X f (x) gt Bndash borneacutee si et seulement srsquoil existe (A B) isin R2 tel que forallx isin XB 6 f (x) 6 A
LimitesSoit f I rarr R une applicationOn dit que f admet une limite l en a isin I si et seulement si
forallε gt 0 existη gt 0 forallx isin I |xminus a| 6 η =rArr | f (x)minus l| 6 ε
On dit que f admet une limite l en +infin si et seulement si forallε gt 0 existA isin R forallx isin I x gt A =rArr | f (x)minus l| 6 ε
On dit que f admet comme limite +infin en a isin I si et seulement si forallA gt 0 existη gt 0 forallx isin I |xminus a| 6 η =rArr f (x) gt A
On dit que f admet comme limite +infin en +infin si et seulement si forallA gt 0 existB gt 0 forallx isin I x gt B =rArr f (x) gt A
On dit que f admet comme limite minusinfin en minusinfin si et seulement si forallA lt 0 existB lt 0 forallx isin I x 6 B =rArr f (x) 6 A
Continuiteacutesoit f I rarr K a isin I on dit que cette fonction est continue en a si etseulement si
forallε gt 0 existη gt 0 forallx isin I |xminus a| 6 η =rArr | f (x)minus f (a)| 6 ε
DiscontinuiteacuteSoit f I rarr K on dit que ndash f est discontinue en a si et seulement si elle nrsquoest pas continue en andash f admet une discontinuiteacute de premiegravere espegravece en a si et seulementsi f nrsquoest pas continue en a mais admet une limite finie agrave droite et unelimite finie agrave gauche en a
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2 Analyse 37
Si f nrsquoest pas continue et ne preacutesente pas de continuiteacute de premiegravereespegravece en a on dit que f admet une discontinuiteacute de seconde espegraveceen a
Composition et continuiteacute
Soient f I rarr R et g J rarr K ougrave I et J sont deux intervalles de R telsque f (I) sub J si f et g sont respectivement continues en a et f (a) alorsg f est continue en a
Continuiteacute sur un segment
Soient (a b) isin R2 tel que a 6 b et une fonction f [a b] rarr R Si f estcontinue alors f est borneacutee et atteint ses bornes
Continuiteacute uniforme
Soit f I rarr K on dit que cette fonction est uniformeacutement continuesur I si et seulement si
forallε gt 0 existη gt 0 forall(x1 x2) isin I2 |x1 minus x2| 6 η =rArr | f (x1)minus f (x2)| 6 ε
Lrsquouniforme continuiteacute implique la continuiteacute
Theacuteoregraveme de Heine
Soient (a b) isin R2 tels que a 6 b et une fonction f [a b]rarr R Si f estcontinue sur [a b] alors f est uniformeacutement continue sur [a b]
Applications lipschitziennes
Soient f I rarr R et k isin Rlowast+ on dit que la fonction f est k-lipschitzienne si et seulement si
forall(x1 x2) isin I2 | f (x1)minus f (x2)| 6 k|x1 minus x2|Si k isin [0 1[ lrsquoapplication f est dite contractanteUne application lipschitzienne est uniformeacutement continue
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38 [1] Matheacutematiques
Fonctions trigonomeacutetriques circulaires reacuteciproques
Arcsin [minus1 1]rarr[minusπ
2π
2
]
forallx isin]minus 1 1[
Arcsinprime(x) =1radic
1minus x2
Arccos [minus1 1]rarr [0π]forallx isin]minus 1 1[
Arccosprime(x) =minus1radic1minus x2
Arctan Rrarr]minusπ
2π
2
[
forallx isin R
Arctanprime(x) =1
1 + x2
-1 1
p
2p
2p
Arcsin
Arccos
Arctan
Fonctions hyperboliques
chprime x = sh x shprime x = ch x
thprime x =1
ch2 x= 1minus th2 x
26 Deacuterivation
Deacuteriveacutee en un pointSoient un point a isin I ougrave I est un intervalle et une fonction f I rarr K
On dit que f est deacuterivable en a si et seulement si limhrarr0
f (a + h)minus f (a)
hexiste et est finie Dans ce cas cette limite est appeleacutee deacuteriveacutee de f en aet est noteacutee f prime(a)
Deacuterivation et continuiteacuteSoient un point a isin I et une fonction f I rarr K si f est deacuterivable en aalors f est continue en a
Proprieacuteteacutes des deacuteriveacuteesSoient f et g deux fonctions de I dans K deacuterivables en a alors ( f + g)prime(a) = f prime(a) + gprime(a)
(λ f )prime(a) = λ f prime(a)
( f g)prime(a) = f prime(a)g(a) + f (a)gprime(a)
Chapitre 1 mformulairetex 2772008 2251Page 39
2 Analyse 39
g(a) 6= 0(1g
)prime(a) = minus gprime(a)
g2(a)
g(a) 6= 0(
f
g
)prime(a) =
f prime(a)g(a)minus f (a)gprime(a)g2(a)
(g f )prime(a) = gprime( f (a)) f prime(a)
Deacuterivabiliteacute drsquoune fonction sur un intervalle
f I rarr K ougrave I est un intervalle est dite deacuterivable sur un intervalleJ sub I si et seulement si foralla isin J f est deacuterivable en a
Formule de Leibniz
f I rarr K et g I rarr E on suppose que λ et f sont deacuterivables sur I
Alors f middot g est n fois deacuterivable sur I et ( f middot g)(n) =n
sumk=0
Ckn f
(k) middot g(nminusk)
Classe drsquoune fonction
Soient f I rarr K et k isin N on dit que f est de classe Ck sur I si etseulement si f est k fois deacuterivable sur I et f (k) est continue sur ISoient f [a b] rarr K avec a 6 b et k isin N on dit que f est de classe Ckpar morceaux sur [a b] si et seulement si ndash il existe une famille (a0 ap) isin Rp+1 telle que a = a0 lt a1 lt middot middot middot lt apminus1 lt ap = b
ndash Chaque restriction de f sur ]ai ai+1[ admet un prolongement declasse Ck sur [ai ai+1] foralli isin [0 pminus 1]
Theacuteoregraveme de Rollef [a b] rarr R continue sur [a b] et deacuterivable sur ]a b[ f (a) = f (b) alors il existe c isin]a b[ tel que
f prime(c) = 0
Theacuteoregraveme des accroissements finis
f [a b] rarr R avec (a b) isin R2 et a lt b continue sur [a b] et deacuterivablesur ]a b[ Il existe c isin]a b[
f (b)minus f (a) = (bminus a) f prime(c)c copyDuno
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Chapitre 1 mformulairetex 2772008 2251Page 40
40 [1] Matheacutematiques
Ineacutegaliteacute de Taylor-Lagrangef [a b]rarr (E ) et f de classe Cn sur [a b] (n+ 1) fois deacuterivable sur]a b[ et telle que forallt isin]a b[ f (n+1)(t) 6 M alors
∥∥∥∥∥ f (b)minusn
sumk=0
f (k)(a)
k(bminus a)k
∥∥∥∥∥ 6 M(bminus a)n+1
(n + 1)
Reste inteacutegral
f [a b]rarr (E ) de classe Cn+1 sur [a b] alors
f (b) =n
sumk=0
f (k)(a)
k(bminus a)k +
1n
int b
a(bminus t)n f (n+1)(t) dt
︸ ︷︷ ︸Reste de Laplace
Formule de Taylor-Young
f I rarr E I un intervalle de R ougrave f (n)(a) existe
f (x) =n
sumk=0
f (k)(a)
k(xminus a)k + o
xrarra((xminus a)n)
Diffeacuteomorphisme ndash DeacutefinitionSoient f I rarr J avec I J deux intervalles de R n isin Nlowast cup +infin on ditque f est un Ck-diffeacuteomorphisme de I sur J si et seulement si ndash f est de classe Ck sur Indash f est bijectivendash fminus1 est de classe Ck sur J
Convexiteacute ndash DeacutefinitionsSoit f I rarr K on dit que cette fonction est convexe si et seulement si forallθ isin [0 1] forall(x y) isin I2 f (θx + (1minus θ)y) 6 α f (x) + (1minus θ) f (y)
Ineacutegaliteacute de convexiteacute
Si f est convexe soit λ j gt 0 tel quen
sumj=1
λ j = 1 alors
f
(n
sumj=1
λ ja j
)6
n
sumj=1
λ j f (a j)
Fonction convexe ndash Fonction concaveUne fonction f est concave si et seulement si minus f est convexe
Chapitre 1 mformulairetex 2772008 2251Page 41
2 Analyse 41
27 Inteacutegration
Lineacuteariteacute de lrsquointeacutegrale
int b
a(λ f + g) = λ
int b
af +
int b
ag
f et g deux fonctions continuespar morceaux
Ineacutegaliteacute de la moyenne
∣∣∣∣int
[ab]f g
∣∣∣∣ 6 Sup[ab] | f |int
[ab]|g|
∣∣∣∣int
[ab]f
∣∣∣∣ 6 (bminus a) Sup[ab] | f |
f g deux fonctions continues parmorceaux sur [a b][a b] intervalle de R
Ineacutegaliteacute de Cauchy-Schwarz
(int b
af g
)2
6
(int b
af 2)(int b
ag2)
f g deux applications continuespar morceaux [a b]rarr R on a lrsquoin-eacutegaliteacute ci-contreSi exist(λmicro) isin R2(0 0) tel que λ f + microg = 0 il y a eacutegaliteacute
Sommes de Riemann
Sn =bminus a
n
nminus1sumk=0
f
(a + k
bminus a
n
)
limnrarr+infin
Sn =int b
af
f [a b] rarr E une fonction conti-nue
Inteacutegration par parties
int b
auvprime = [uv]ba minus
int b
auprimev
u v [a b] rarr E fonctions conti-nues C1 par morceaux sur [a b]c copy
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Chapitre 1 mformulairetex 2772008 2251Page 42
42 [1] Matheacutematiques
Inteacutegrabiliteacute ndash Deacutefinition
int
Jf 6 M
f [a b] rarr R fonction positivecontinue par morceauxf est dite inteacutegrable sur [a b] si etseulement srsquoil existe un M isin R+pour tout segment J inclus dans[a b] veacuterifiant lrsquoineacutegaliteacute ci-contre
Inteacutegrabiliteacute sur un segmentSoit f une fonction positive continue par morceaux de I dans R Lesproprieacuteteacutes suivantes sont deux agrave deux eacutequivalentes (i) f est inteacutegrable sur I(ii) Il existe M isin R+ tel que pour toute suite croissante de segments
(Jn)nisinNlowast dont la reacuteunion est eacutegale agrave I foralln isin Nlowastint
Jnf 6 M
Theacuteoregraveme de domination
0 6 f 6 g (1)
0 6
int
If 6
int
Ig (2)
Soient f et g deux fonctions conti-nues par morceaux de I dans R veacute-rifiant (1) et si g inteacutegrable alors fest inteacutegrable sur I et on a lrsquoineacutega-liteacute (2)
Exemple de Riemann
Fonctions de Riemann
f (x) =1xα
Une fonction de Riemann est inteacute-grable sur [1+infin[ si et seulementsi α gt 1Une fonction de Riemann est inteacute-grable sur ]0 1] si et seulement siα lt 1
Theacuteoregraveme drsquoeacutequivalence
Soient (a b) isin Rtimes R tels que a lt b f et g deux fonctions positivescontinues par morceaux de [a b[ dans R veacuterifiant en b f sim
bg alors f
est inteacutegrable sur [a b[ si et seulement si g lrsquoest
Regravegle xα f (x)
Inteacutegrabiliteacute en +infin ndash Srsquoil existe α isin]1+infin[ veacuterifiant lim
xrarr+infin
xα f (x) = 0 alors f est inteacute-
grable sur [a+infin[ avec a gt 0
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2 Analyse 43
ndash Srsquoil existe α isin] minusinfin 1] veacuterifiant limxrarr+infin
xα f (x) = +infin alors f nrsquoest
pas inteacutegrable sur [a+infin[ avec a gt 0Inteacutegrabiliteacute en 0 ndash Srsquoil existe α isin]minusinfin 1[ veacuterifiant lim
xrarr0xα f (x) = 0 alors f est inteacutegrable
sur ]0 a] avec a gt 0ndash Srsquoil existe α isin [1+infin[ veacuterifiant lim
xrarr0xα f (x) = +infin alors f nrsquoest pas
inteacutegrable sur ]0 a] avec a gt 0
Relation de Chasles
int c
af =
int b
af +
int c
bf
f une fonction continue par mor-ceaux inteacutegrable sur un intervalleI contennant les intervalles ou-verts ]a b[ ]b c[ et ]a c[
(a b c) isin R3
Croissance de lrsquointeacutegration
f 6 g =rArrint
If 6
int
Ig
f g deux fonctions continues etinteacutegrables sur I
Fonctions continues agrave valeurs complexesSoit f I rarr C une fonction continue On dira que f est inteacutegrable surI si et seulement si | f | lrsquoest
Inteacutegrale impropre
(a b) isin Rtimes (Rcup +infin)
int X
af
f fonction continue par morceauxsur [a b[On dit que cette inteacutegrale im-propre converge si et seulement sielle admet une limite finie lorsqueX tend vers b On note alors cette
inteacutegraleint b
af
Inteacutegrale deacutependant drsquoun paramegravetre ndash Deacutefinition
f (x) =int
IF(x t) dt
x paramegravetret variable drsquointeacutegrationI intervalle de R
c copyDuno
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ndeacutelit
Chapitre 1 mformulairetex 2772008 2251Page 44
44 [1] Matheacutematiques
Continuiteacute drsquoune inteacutegrale agrave paramegravetre
forallx isin A F(x middot) inteacutegrable sur I
f Ararr K est continue sur A
x 7rarrint
IF(x t) dt
F fonction continue sur Atimes I veacute-rifiant lrsquohypothegravese de domination Soient f g I rarr R continues
Si0 6 f 6 gg est inteacutegrable sur I alors
f est inteacutegrable sur I etint
If 6
int
Ig
Sous ces hypothegraveses F veacuterifie lesrelations ci-contre
Deacuterivation drsquoune inteacutegrale agrave paramegravetre
forallx isin A
F(x middot) et partFpartx
(x middot)inteacutegrables sur If
Ararr K est de classe C1 sur Ax 7rarr
int
IF(x t) dt
forallx isin A f prime(x) =intI
partFpartx (x t) dt
F fonction continue sur Atimes I veacute-rifiant une hypothegravese de domina-tion sur Atimes I Soient F g I rarr R continues
Si0 6 F 6 gg est inteacutegrable sur I alors
F est inteacutegrable sur I etint
IF 6
int
Ig
partFpartx
existe et est continue sur Atimes I
partFpartx
veacuterifie une hypothegravese de domi-
nation sur Atimes ISous ces hypothegraveses on a les rela-tions ci-contre
28 Eacutequations diffeacuterentielles
Eacutequations diffeacuterentielles lineacuteaires du premier ordre
αyprime + βy = γ (E)
αβγ I rarr K des applicationscontinuesy est une solution de cette eacutequa-tion sur J sub I si et seulement si yest deacuterivable sur J et si forallx isin J yveacuterifie (E)
Eacutequation reacutesolueUne eacutequation diffeacuterentielle lineacuteaire du premier ordre est dite normali-seacutee ou reacutesolue en yprime si et seulement si α = 1
Chapitre 1 mformulairetex 2772008 2251Page 45
2 Analyse 45
Solution drsquoune eacutequation diffeacuterentielle lineacuteaire du premier ordre
S = λeminusA + BeminusA λ isin K
La solution ci-contre est la solutionde lrsquoeacutequation reacutesolue avec α = 1A primitive de β
B primitive de γeA
La solution de (E) est la somme dela solution geacuteneacuterale de lrsquoeacutequationhomogegravene associeacutee agrave (E) et drsquounesolution particuliegravere de (E)
Meacutethode de reacutesolution de E
1 Reacutesolution de lrsquoeacutequation homogegravene associeacutee solution de la formeλy0(x)2 Reacuteinjecter la solution trouveacutee dans lrsquoeacutequation complegravete avec la meacute-thode de variation de la constante qui permet de trouver la fonctionqui veacuterifie lrsquoeacutequation complegravete
Nature de la solutionLrsquoensemble des solutions drsquoune eacutequation diffeacuterentielle lineacuteaire du pre-mier ordre est une droite affine dont la direction est donneacutee par lrsquoen-semble des solutions de lrsquoeacutequation homogegravene
Theacuteoregraveme de Cauchy-LipschitzSoient U un ouvert de Rtimes R f U rarr E une application localementlipschitzienne par rapport agrave sa seconde variable et continue un couple(t0 y0) isin USous ces conditions il existe une unique solution maximale au pro-blegraveme de Cauchy crsquoest-agrave-dire veacuterifiant
yprime = f (t y)y(t0) = y0
(problegraveme de Cauchy)
Et posseacutedant en plus les proprieacuteteacutes suivantes (solution maximale) ndash lrsquointervalle de deacutefinition est un ouvertndash toute solution du problegraveme de Cauchy est une restriction de cettesolution
Eacutequation diffeacuterentielle du second ordre homogegravene
αyprimeprime + βyprime + γy = 0αβγ fonctions continues I rarr Ky fonction de J sub I dans K solu-tion de cette eacutequation
c copyDuno
dL
apho
tocopie
nonau
toriseacuteeestu
ndeacutelit
Chapitre 1 mformulairetex 2772008 2251Page 46
46 [1] Matheacutematiques
Eacutequation diffeacuterentielle du second ordre agrave coefficients constants
yprimeprime + βyprime + γy = 0
(Ec) r2 + βr + γ
(βγ) isin R2 coefficients delrsquoeacutequation diffeacuterentielle
Soit (Ec) lrsquoeacutequation caracteacuteristiqueassocieacutee agrave lrsquoeacutequation diffeacuterentielleSi cette eacutequation caracteacuteristiqueadmet ndash deux racines distinctes r1 et r2les solutions de lrsquoeacutequation sont dela forme λ1er1x + λ2er2xndash une racine double r les solutionssont de la forme (λx + micro)erxndash deux racines complexes conju-gueacutees r = aplusmn ib les solutions sontde la forme(λ cos bx + micro sin bx)eax
Eacutequation du second ordre avec second membre eγxR(x)
yprimeprime + βyprime + γy = emxP(x)
(βγm) isin K3 coefficientsconstants de lrsquoeacutequation diffeacuteren-tielleP isin K[X]Lrsquoeacutequation diffeacuterentielle admetune solution de la forme emxS(x)avec S isin K[X] ndash deg S = deg P si m nrsquoest pas ra-cine de (Ec)ndash deg S = 1+ deg P si m est racinesimple de (Ec)ndash deg S = 2+ deg P si m est racinedouble de (Ec)
Reacutesolution gracircce aux seacuteries entiegraveresLorsque les coefficients et le second membre de lrsquoeacutequation diffeacuteren-tielle sont constitueacutes par des polynocircmes on peut chercher les solutionssous la forme de seacuteries entiegraveres on obtient ainsi une relation de reacutecur-rence sur les coefficients Une fois ces coefficients calculeacutes le rayon deconvergence deacutetermineacutes et si possible la somme calculeacutee on a unesolution de lrsquoeacutequation diffeacuterentielle
Chapitre 1 mformulairetex 2772008 2251Page 47
2 Analyse 47
Systegraveme drsquoeacutequations diffeacuterentielles du premier ordreSoit I un intervalle de R B = (bi)iisin[1n] un vecteur de E etA = (ai j)iisin[1n]
jisin[1n]
I rarr E une application continue On appelle systegraveme
drsquoeacutequations diffeacuterentielles du premier ordre le systegraveme
yprime1(t)
yprimen(t)
=
a11(t) middot middot middot a1n(t)
an1(t) middot middot middot ann(t)
y1(t)
yn(t)
+
b1(t)
bn(t)
Reacutesolution dans le cas ougrave A est diagonalisableDans le cas ougrave A isin Mn(K) si A est diagonalisable le systegraveme homo-gegravene admet une solution du type
Y =n
sumi=1
cieλitVi
λi valeur propre de Aci constante lieacutee aux conditions initialesVi colonne de la matrice de passage de A agrave la matrice diagonale asso-cieacutee
29 Seacuteries
Deacutefinition
SN =N
sumn=0
un
On appelle seacuterie le couple((un) (Sn))SN somme partielle drsquoordre Nun terme geacuteneacuteral de la seacuterie
Condition neacutecessaire de convergenceUne condition neacutecessaire mais non suffisante de convergence drsquouneseacuterie est que lim
nrarr+infin
un = 0 Si le terme geacuteneacuteral de la seacuterie ne tend pas
vers zeacutero la seacuterie est dite grossiegraverement divergente
Changement drsquoindice de deacutepart
Soit sumngt0
un une seacuterie de E et n0 isin N les seacuteries sumngt0
un et sumngtn0
un sont de
mecircme nature
c copyDuno
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toriseacuteeestu
ndeacutelit
Chapitre 1 mformulairetex 2772008 2251Page 48
48 [1] Matheacutematiques
Seacuterie geacuteomeacutetrique
S =+infin
sumn=0
un =1
1minus u0(1)
u0 terme geacuteneacuteral de la suite derang 0un terme geacuteneacuteral de la suiteun = (u0)
n
Une condition neacutecessaire et suf-fisante de convergence drsquoune telleseacuterie est |u0| lt 1 Dans ce cas laseacuterie veacuterifie (1)
Seacuterie agrave termes positifsUne seacuterie agrave termes positifs converge si et seulement sila suite dessommes partielles est majoreacutee
Seacuterie de Riemann
sumngt1
1nα
(1)
Une seacuterie veacuterifiant (1) est dite deRiemann Une telle seacuterie convergesi et seulement si
α gt 1
Valeur remarquable +infin
sumn=1
1n2
=π2
6
Seacuterie de Bertrand
+infin
sumn=2
1nα(ln n)β
On appelle seacuterie de Bertrand la seacute-rie deacutefinie ci-contreCette seacuterie converge si et seule-ment si α gt 1α = 1 et β gt 1
Comparaison de deux seacuteries agrave termes positifs
foralln isin N
0 6 un 6 vn (1)
un terme geacuteneacuteral de la seacuterie Svn terme geacuteneacuteral de la seacuterie SprimeSi (1) est veacuterifieacutee et si Sprime convergealors S convergeRemarque Si S diverge et (1) estveacuterifieacutee la seacuterie Sprime diverge
Chapitre 1 mformulairetex 2772008 2251Page 49
2 Analyse 49
Regravegle de drsquoAlembert
Soit une seacuterie de terme geacuteneacuteral un telle que∣∣∣∣un+1
un
∣∣∣∣ minusminusminusminusrarrnrarr+infin
β
ndash Si β lt 1 la seacuterie de terme geacuteneacuteral un converge ndash Si β gt 1 la seacuterie de terme geacuteneacuteral un diverge grossiegraverement ndash Si β = 1 on ne peut rien dire de la nature de la seacuterie
Regravegle de CauchySoit une seacuterie de terme geacuteneacuteral un reacuteel positif telle que n
radicun minusminusminusminusrarr
nrarr+infin
β
ndash Si β lt 1 la seacuterie de terme geacuteneacuteral un converge ndash Si β gt 1 la seacuterie de terme geacuteneacuteral un diverge grossiegraverement ndash Si β = 1 on ne peut rien dire de la nature de la seacuterie
Seacuteries de mecircme natureSoit sum un et sum vn deux seacuteries reacuteelles agrave termes positifs telles que au voi-sinage de +infin vn gt 0 et un sim vn Alors on a eacutegalement un gt 0 au voi-sinage de +infin et les deux seacuteries sont de mecircme nature (elles convergentou divergent en mecircme temps)
Seacuterie alterneacutee
∣∣∣∣∣+infin
sumn=p+1
un
∣∣∣∣∣ 6 |up+1|
Une seacuterie de terme geacuteneacuteral unest dite alterneacutee si et seulementsi la suite (minus1)nun est de signeconstantUne telle seacuterie converge si 1 lim
nrarr+infin
un = 0
2 la suite (|un|)nisinN est deacutecrois-santeSous ces hypothegraveses la seacuterie veacuteri-fie la relation ci-contre
Critegravere de Cauchy
forallε gt 0 existN isin N forall(p q) isin N2
N 6 p lt q =rArr∥∥∥∥∥
q
sumn=p+1
un
∥∥∥∥∥ 6 ε
Le critegravere ci-contre est une condi-tion neacutecessaire et suffisante deconvergence pour une seacuterie dansun espace de Banach (K-espacevectoriel normeacute complet)
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Chapitre 1 mformulairetex 2772008 2251Page 50
50 [1] Matheacutematiques
Formule de Stirling
n sim(ne
)nradic2πn
n isin NLa formule de Stirling fournit uneacutequivalent simple de n en +infin
Convergence absolue ndash Semi convergenceUne seacuterie est dite absolument convergente si et seulement si la seacuteriede terme geacuteneacuteral |un| convergeUne seacuterie alterneacutee est dite semi-convergente si et seulement la seacuteriede terme geacuteneacuteral un converge alors que celle de terme geacuteneacuteral |un| di-verge
Seacuteries doubles ndash Interversion des sommationsSoit une suite double drsquoeacuteleacutements de K (upq)(pq)isinN2 que lrsquoon supposesommable (crsquoest-agrave-dire existM isin R+forallJ sub N sum
pisinJqisinJ
upq 6 M) alors
1 forallq isin N sumpgt0
upq est convergente et la seacuterie sumqgt0
(+infin
sump=0
upq
)est conver-
gente
2 forallp isin N sumqgt0
upq est convergente et la seacuterie sumpgt0
(+infin
sumq=0
upq
)est
convergente
3 sum(pq)isinN2
upq =+infin
sump=0
(+infin
sumq=0
upq
)=
+infin
sumq=0
(+infin
sump=0
upq
)
Produit de Cauchy
wn =n
sumk=0
uk middot vnminusk (1)
+infin
sumn=0
wn =
(+infin
sumn=0
un
)(+infin
sumn=0
vn
)(2)
On appelle produit de Cauchy desdeux seacuteries de terme geacuteneacuteral un etvn la seacuterie dont le terme geacuteneacuteralveacuterifie (1)Si les deux seacuteries de terme geacuteneacuteralun et vn sont absolument conver-gentes alors la seacuterie wn est elleaussi absolument convergente etveacuterifie (2)
Chapitre 1 mformulairetex 2772008 2251Page 51
2 Analyse 51
210 Seacuteries entiegraveres
Seacuterie entiegravere
S(z) =+infin
sumn=0
anzn
S(z) somme de la seacuterie entiegraverean coefficient de la seacuterie entiegraverez variable de la seacuterie entiegravere
Rayon de convergence ndash Deacutefinition
I = r isin R++infin
sumn=0|an|rn converge
La borne supeacuterieure de lrsquointervalleI dans R est appeleacutee rayon deconvergence de la seacuterie sum anz
n onle note R = Sup I
Seacuterie entiegravere somme
Soient deux seacuteries entiegraveres sumngt0
anzn et sum
ngt0bnz
n on appelle seacuterie entiegravere
somme la seacuterie sumngt0
(an + bn)zn
Soit Ra et Rb les deux rayons de convergence respectifs de ces deuxseacuteries on a Ra+b gt min(Ra Rb) (avec eacutegaliteacute si Ra 6= Rb)
Lemme drsquoAbel
Soit r0 gt 0 si la suite (|an|rn0)nisinN est majoreacutee alors forallr isin [0 r0[ la seacuteriesum |an|rn est convergente
Deacuterivation drsquoune seacuterie entiegravere
Sprime(x) =+infin
sumn=0
(n + 1)an+1xn
S seacuterie de terme geacuteneacuteral anxn
Sprime deacuteriveacutee de la seacuterie SLa seacuterie deacuteriveacutee a le mecircme rayonde convergence que la seacuterie agrave deacuteri-ver
Inteacutegration drsquoune seacuterie entiegravere
int x
0
(+infin
sumn=0
anzn
)dz =
+infin
sumn=0
ann + 1
xn+1La seacuterie des inteacutegrales a le mecircmerayon de convergence que la seacuterieinteacutegreacuteec copy
Duno
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Chapitre 1 mformulairetex 2772008 2251Page 52
52 [1] Matheacutematiques
Deacuteveloppement en seacuterie entiegravere drsquoune fonctionUne fonction f Rrarr R est dite deacuteveloppable en seacuterie entiegravere autourdrsquoun point x0 isin R si et srsquoil existe une seacuterie entiegravere sum
ngt0anx
n de rayon de
convergence R gt 0 telle que
forallx isin]x0 minus R x0 + R[ f (x) =+infin
sumn=0
an(xminus x0)n
Le deacuteveloppement en seacuterie entiegravere est unique
Deacuteveloppement en seacuterie entiegravere drsquoune fraction rationnelleUne fraction rationnelle R est deacuteveloppable en seacuterie entiegravere autour de0 si et seulement si 0 nrsquoest pas un pocircle de cette fraction rationnelle Lerayon de convergence du deacuteveloppement en seacuterie entiegravere est alors eacutegalau plus petit module des pocircles complexes de la fraction rationnelle
211 Suites et seacuteries drsquoapplications
Convergence simple ndash Deacutefinition
forallε gt 0 forallx isin D existn0 isin N foralln gt n0
| fn(x)minus f (x)| 6 ε
( fn X rarr E)nisinN suite drsquoapplica-tionsE un K-espace vectoriel normeacutef limite de la suite drsquoapplicationsdans D (domaine de convergence)D domaine de convergence
Convergence uniforme ndash Deacutefinition
forallε gt 0 existn0 isin N forallx isin D foralln gt n0
| fn(x)minus f (x)| 6 ε
( fn X rarr E)nisinN suite drsquoapplica-tionsE un K-espace vectoriel normeacutef limite de la suite drsquoapplicationsdans D (domaine de convergence)
Convergence uniforme et convergence simpleSi ( fn)nisinN converge uniformeacutement vers f sur X il y a eacutegalementconvergence simple de ( fn)nisinN vers f dans ce mecircme domaine
Chapitre 1 mformulairetex 2772008 2251Page 53
2 Analyse 53
Proprieacuteteacute de la convergence uniforme
Si les fonctions fn sont continues (respectivement admettent une li-mite en a) alors la limite uniforme (si elle existe) de ces fonctions f estcontinue (respectivement admet une limite en a)
Convergence uniforme et inteacutegration sur un segment
f est continue sur [a b]
(int b
afn
)
nisinN
converge dans E
int b
af = lim
nrarr+infin
int b
afn
( fn X rarr E)nisinN suite drsquoapplica-tions continues convergeant uni-formeacutement vers f sur XE un K-espace vectoriel normeacutef limite de la suite drsquoapplicationsSous ces hypothegraveses f veacuterifie lesproprieacuteteacutes eacutenonceacutees ci-contre
Convergence uniforme et deacuterivation
( fn)nisinN converge uniformeacutementsur tout segment de I vers f
f est de classe C1 sur If prime = g
( fn X rarr E)nisinN suite drsquoapplica-tions C1 convergeant simplementvers f sur X( f primen)nisinN converge uniformeacutementvers une application noteacutee gSous ces hypothegraveses f veacuterifie lesproprieacuteteacutes eacutenonceacutees ci-contre
Soit ( fn X rarr E)nisinN une suite drsquoapplications C1 surX convergeantsimplement vers f sur X
Soit ( f primen)nisinN une suite de fonctions qui converge uniformeacutement surtout segment de X vers une application g
Soit f la limite de la suite drsquoapplications veacuterifiant les hypothegraveses preacute-ceacutedentes Sous ces hypothegraveses on a f de classe C1 sur X et f prime = g
c copyDuno
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Chapitre 1 mformulairetex 2772008 2251Page 54
54 [1] Matheacutematiques
Theacuteoregraveme de convergence monotone
int
If = SupnisinN
int
Ifn = lim
nrarr+infin
int
Ifn
foralln isin N fn est continue par mor-ceaux et inteacutegrable sur I( fn)nisinN veacuterifie une hypothegravese demonotonie foralln isin N fn 6 fn+1( fn)nisinN converge simplement surI vers une application noteacutee fcontinue par morceaux sur ISous ces hypothegraveses f est inteacute-grable si et seulement si la suite(int
Ifn
)
nisinN
et veacuterifie alors les pro-
prieacuteteacutes ci-contre
Theacuteoregraveme de convergence domineacutee
int
If = lim
nrarr+infin
int
Ifn
foralln isin N fn est continue par mor-ceaux sur I( fn)nisinN converge simplement surI vers une application noteacutee fcontinue par morceaux sur I( fn)nisinN veacuterifie une hypothegravese dedomination foralln isin N | fn| 6
ϕ ougrave ϕ est une fonction conti-nue par morceaux positive et inteacute-grable sur ISous ces hypothegraveses f veacuterifie laproprieacuteteacute ci-contre
Premier theacuteoregraveme de WeierstrassPour toute application continue f [a b] rarr K il existe une suite (Pn [a b] rarr K)nisinN de polynocircmes convergeant uniformeacutement vers f sur[a b]
Deuxiegraveme theacuteoregraveme de WeierstrassPour toute application continue f R rarr K et T-peacuteriodique il existeune suite (Tn [a b]rarr K)nisinN de polynocircmes trigonomeacutetriques conver-geant uniformeacutement vers f sur R
Chapitre 1 mformulairetex 2772008 2251Page 55
2 Analyse 55
Seacuteries drsquoapplications convergence simple ndash Deacutefinition
On dit qursquoune seacuterie drsquoapplications converge simplement si etseulement si la suite des sommes partielles (Sn(x))nisinN avec
Sn(x) =n
sumk=0
fk(x) converge simplement
Seacuteries drsquoapplications convergence absolue ndash Deacutefinition
On dit qursquoune seacuterie drsquoapplications converge absolument si etseulement si la suite des sommes partielles (Sn(x))nisinN avec
Sn(x) =n
sumk=0 fk(x) converge absolument
Seacuteries drsquoapplications convergence uniforme ndash Deacutefinition
On dit qursquoune seacuterie drsquoapplications converge uniformeacutement si et seule-ment si la suite des sommes partielles (Sn(x))nisinN avec Sn(x) =n
sumk=0
fk(x) converge uniformeacutement
Seacuteries drsquoapplications convergence normale ndash Deacutefinition
existn0 isin N
sumngtn0
fninfin converge
On dit que sumn
fn converge norma-
lement et seulement si elle veacuterifiela proprieacuteteacute ci-contre
Convergences normale uniforme et simple
La convergence normale entraicircne la convergence uniforme qui elle-mecircme entraicircne la convergence simple
Convergence uniforme ndash Limite et continuiteacute
Si sumngt0
fn converge uniformeacutement sur X et si foralln isin N fn est continue en
a (respectivement admet une limite en a) alors sumngt0
fn est continue en
a (respectivement admet une limite en a)c copyDuno
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apho
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Chapitre 1 mformulairetex 2772008 2251Page 56
56 [1] Matheacutematiques
Convergence uniforme et inteacutegration sur un segment
+infin
sumn=0
fn est continue sur [a b]
sumngt0
(int b
afn(x) dx
)converge dans E
int b
a
(+infin
sumn=0
fn(x)
)dx =
+infin
sumn=0
int b
afn(x) dx
( fn)nisinN seacuterie drsquoapplications avecfn continue sur [a b]+infin
sumn=0
fn converge uniformeacutement sur
[a b]Sous ces hypothegraveses la seacuterie defonctions veacuterifie les proprieacuteteacutes ci-contre
Convergence uniforme et deacuterivation
sumngt0
fn converge uniformeacutement
sur tout segment I
+infin
sumn=0
fn est de classe C1 sur I
(+infin
sumn=0
fn
)prime=
+infin
sumn=0
f primen
sumngt0
fn seacuterie drsquoapplications
convergeant simplement sur Ifn I rarr E de classe C1sumngt0
f primen converge uniformeacutement sur
tout segment de ISous ces hypothegraveses fn et f primen veacuteri-fient les proprieacuteteacutes ci-contre
Inteacutegration sur un intervalle quelconque des fonctions
+infin
sumn=0
fn est inteacutegrable sur I
int
I
∣∣∣∣∣+infin
sumn=0
fn
∣∣∣∣∣ 6+infin
sumn=
int
I| fn|
int
I
+infin
sumn=0
fn =+infin
sumn=0
int
Ifn
sumngt0
( fn) seacuterie drsquoapplications
convergeant simplement sur Ifn I rarr E fonction continue parmorceaux sur I
sumngt0
int
I| fn| converge
Sous ces hypothegraveses fn veacuterifie lesproprieacuteteacutes ci-contre
Chapitre 1 mformulairetex 2772008 2251Page 57
2 Analyse 57
212 Seacuteries de Fourier
Coefficients de Fourier exponentiels
cn( f ) =12π
int 2π
0f (x)eminusinx dx
cn coefficient de Fourier exponen-tielf fonction 2π-peacuteriodique conti-nue par morceaux agrave valeurs com-plexesn isin Z
Coefficients de Fourier trigonomeacutetriques
an( f ) =1π
int 2π
0f (x) cos(nx) dx
bn( f ) =1π
int 2π
0f (x) sin(nx) dx
an coefficient de Fourier trigono-meacutetrique en cosinusbn coefficient de Fourier trigono-meacutetrique en sinusf fonction dont on souhaite obte-nir les coefficients de FourierLorsque la fonction f est paire(respectivement impaire) les co-efficients bn (respectivements an)sont nuls
Theacuteoregraveme de Dirichlet
Si f est de classe C1 par morceaux et 2π-peacuteriodique pour tout reacuteel xon a lrsquoeacutegaliteacute suivante
S(x) =+infin
sumn=minusinfin
cneinx =a02
++infin
sumn=1
an cos nx ++infin
sumn=1
bn sin nx
S(x) =12
(f (xminus) + f (x+)
)
Dans ce cas il y a convergence simple de la seacuterie vers S(x)
Eacutegaliteacute de ParsevalSi f est continue par morceaux on a lrsquoeacutegaliteacute suivante
12π
int 2π
0| f (x)|2 dx =
|a0|24
++infin
sumn=1
|an|2 + |bn|22
=+infin
sumn=minusinfin
|cn|2
Convergence normale
Si f est continue et de classe C1 par morceaux sur R la seacuterie de Fourierde f est normalement convergente sur R et a pour somme f
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Chapitre 1 mformulairetex 2772008 2251Page 58
58 [1] Matheacutematiques
213 Fonctions de plusieurs variables
Deacuteriveacutee partielle
D j f (a) =part fpartx j
(a) = limtrarr0t 6=0
f (a1 a j + t an)minus f (a1 an)
t
f une fonction de plusieurs variablesOn deacutefinit ci-dessus la deacuteriveacutee partielle par rapport agrave la variable x j (saje variable) de la fonction f en un point a = (a1 an)
Deacuteriveacutee selon un vecteurOn dit que f admet une deacuteriveacutee en a selon un vecteur v que lrsquoon notedv f (a) si et seulement si la limite suivante existe
limtrarr0
1t
( f (a + tv)minus f (a))
Si elle existe cette limite est dv f (a)
Theacuteoregraveme fondamental
Soit U un ouvert de Rp si f U rarr Rn est de classe C1 sur Rp alorsf admet en tout point a de Rp une deacuteriveacutee selon tout vecteur h et
Dh f (a) =p
sumj=1
h jD j f (a)
Gradient
grad f =
(part fpartx
(x y)part fparty
(x y))
f U rarr R fonction de classe C1sur UU ouvert de R2
grad f gradient de fAlors Dv f (a) = (grad f (a)) middot v
Diffeacuterentielle drsquoune fonction de deux variables
d f =part fpartx
dx +part fparty
dyf U rarr R fonction de classe C1sur UU ouvert de R2
Applications de classe CkOn dit que f est de classe Ck avec k isin Nlowast sur U si et seulement si fadmet des deacuteriveacutees partielles successives sur U jusqursquoagrave lrsquoordre k et cequel que soit lrsquoordre de deacuterivation et chacune de ces deacuteriveacutees partiellesest continue sur U
Chapitre 1 mformulairetex 2772008 2251Page 59
3 Geacuteomeacutetrie 59
Theacuteoregraveme de Schwarz
part2 fpartx jpartxi
=part2 f
partxipartx jf fonction C2 sur Rp
Point critique
Soit U un ouvert de R2 a isin U et f U rarr R une fonction de classe CnOn dira que a est un point critique pour f si et seulement si toutes lesdeacuteriveacutees partielles de f existent et srsquoannulent en a
Extremum local
On dira que f U rarr R2 admet un extremum local sur X sub U en unpoint a isin X si et seulement si forallx isin X f (x) 6 f (a) ( f admettant alorsun maximum en a) ou forallx isin X f (x) gt f (a) ( f admettant alors unminimum en a)
Theacuteoregraveme des fonctions implicites
Soient x = (x1 x2) isin U ougrave U est un ouvert de R2 f U rarr R une
fonction de classe Ck sur U telle que f (x) = 0 etpart fpartx2
(x) 6= 0 alors il
existe deux intervalles ouverts J et K respectivement centreacutes en x1 et x2tels qursquoil existe une unique fonction de classe C1 ϕ J rarr K telle que
forall(x y) isin J times K ( f (x y) = 0lArrrArr y = ϕ(x))
3 Geacuteomeacutetrie
31 Courbes du plan
Point reacutegulier ndash Point bireacutegulier
Un point M(t) est dit reacutegulier si et seulement srsquoil veacuterifie f prime(t) 6= 0 ilest dit bireacutegulier si et seulement si la famille ( f prime(t) f primeprime(t)) est libre
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ndeacutelit
Chapitre 1 mformulairetex 2772008 2251Page 60
60 [1] Matheacutematiques
Tangente ndash Deacutefinition
M0PM0PM0P = λfffprime(t0)
Si fprimefprimefprime(t0) 6= 0 la tangente en unpoint M de coordonneacutees t0 estlrsquoensemble des points P veacuterifiant laproprieacuteteacute ci-contre avec λ isin RSi cette limite nrsquoexiste qursquoent+0 (respectivement en tminus0 ) ondira que la courbe admet unedemi-tangente en M(t+0 ) (res-pectivement en M(tminus0 )) Si leslimites en t+0 ) et en tminus0 sont dif-feacuterentes la courbe admet deuxdemi-tangentes en M
Position drsquoun arc par rapport agrave la tangente
Dans les figures ci-dessous f (p)(t0) et f (q)(t0) repreacutesentent les deuxpremiers vecteurs deacuteriveacutes non nuls
f (t)(p)
f (t)(q)
M(t) f (t)(p)
f (t)(q)
M(t)
p impair q pair allure geacuteneacuterale p impair q impair point drsquoin-flexion
f (t)(p)
f (t)(q)
M(t)
f (t)(p)
f (t)(q)
M(t)
p pair q pair point de rebrousse-ment de seconde espegravece
p pair q impair point de rebrous-sement de premiegravere espegravece
Chapitre 1 mformulairetex 2772008 2251Page 61
3 Geacuteomeacutetrie 61
Branche infinie ndash DeacutefinitionOn dit que la courbe Γ admet une branche infinie en t0 si et seulementsi lim
trarrt0 f (t) = +infin
Direction asymtotique ndash AsymptoteSi la branche infinie forme un angle θ0 par rapport agrave lrsquoaxe des abscissespour savoir srsquoil srsquoagit drsquoune asymptote ou drsquoune direction asympto-tique on eacutetudie la limite
Y = limθrarrθ0
ρ sin(θminus θ0)
Si cette limite vaut +infin il srsquoagit drsquoune direction asymptotique si lalimite vaut 0 il srsquoagit drsquoune asymptote si la limite vaut b avec b isin Rla droite drsquoeacutequation y = θ0x + b est asymptote agrave la courbe
x
O
y
Branche paraboliqueO dira que la courbe Γ admet une branche parabolique quand t tendvers t0 si cette mecircme courbe admet une direction asymptotique quandt tend vers t0 mais pas drsquoasymptote
SymeacutetriesSoit ϕ t 7rarr ϕ(t) une fonction de changement de parameacutetrage Ondonne ci-dessous les symeacutetries classiques qui permettent de limiterlrsquointervalle drsquoeacutetude de la courbe
x(ϕ(t) = x(t)y(ϕ(t) = y(t)
Identiteacute
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Chapitre 1 mformulairetex 2772008 2251Page 62
62 [1] Matheacutematiques
x(ϕ(t) = minusx(t)y(ϕ(t) = minusy(t) Symeacutetrie par rapport agrave lrsquoorigine
x(ϕ(t) = y(t)y(ϕ(t) = x(t)
Symeacutetrie par rapport agrave la premiegraverebissectrice
x(ϕ(t) = minusx(t)y(ϕ(t) = y(t)
Symeacutetrie par rapport agrave lrsquoaxe desordonneacutees
x(ϕ(t) = x(t)y(ϕ(t) = minusy(t)
Symeacutetrie par raport agrave lrsquoaxe desabscisses
Coordonneacutees polaires
ρ =radic
x2 + y2
x = ρ cos θ
y = ρ sin θ
Mr
ur
uq
q
xxM
yM
y
O
Eacutequations en coordonneacutees polairesLa droite
ρ =1
λ cos θ + micro sin θ
(λmicro) isin R2
Cette eacutequation repreacutesente ladroite drsquoeacutequation carteacutesienneλx + microyminus 1 = 0
Le cercle
ρ = λ cos θ + micro sin θ
(λmicro) isin R2
Cette eacutequation repreacutesente le cerclecentreacute enO drsquoeacutequation carteacutesiennex2 + y2 minus λxminus microy = 0
Conique dont le foyer est agrave lrsquoori-gine
ρ =p
1 + e cos(θminusϕ)
p paramegravetre de la coniquee excentriciteacute de la coniqueθ angle polaireϕ phase
Chapitre 1 mformulairetex 2772008 2251Page 63
3 Geacuteomeacutetrie 63
Branches infinies ndash DeacutefinitionsSi lim
θrarrplusmninfin
ρ = 0 on dit que O est un point-asymptote de la courbe
Si limθrarrplusmninfin
ρ = a on dit que le cercle de centre O et de rayon |a| est uncercle-asymptote agrave la courbeSi lim
θrarrplusmninfin
ρ = plusmninfin on dit que la courbe admet une branche-spirale
Si la branche infinie forme un angle θ0 par rapport agrave lrsquoaxe des abscissespour savoir srsquoil srsquoagit drsquoune asymptote ou drsquoune direction asympto-tique on eacutetudie la limite
Y = limθrarrθ0
ρ sin(θminus θ0)
Si cette limite vaut +infin il srsquoagit drsquoune direction asymptotique si lalimite vaut 0 il srsquoagit drsquoune asymptote si la limite vaut b avec b isin Rla droite drsquoeacutequation y = θ0x + b est asymptote agrave la courbe
Symeacutetries
Soit T la peacuteriode de ρ (crsquoest-agrave-dire ρ(θ + T) = ρ(θ)) Srsquoil existe Tprime telque ρ(θ + Tprime) = minusρ(θ) Tprime est appeleacute antipeacuteriode de ρ
ρ(minusθ) = ρ(θ)
Symeacutetrie par rapport agrave lrsquoaxe desabscisses On fait varier θ dans[0+infin[ avant drsquoeffectuer la symeacute-trie
ρ(αminus θ) = ρ(α)
On fait varier θ dans[α
2+infin
[
puis on effectue la symeacutetrie parrapport agrave la droite passant par Oet drsquoangle polaire α2
ρ(minusθ) = minusρ(θ)
Symeacutetrie par rapport agrave lrsquoaxe desordonneacutees On fait varier θ dans[0+infin[ avant drsquoeffectuer la symeacute-trie
ρ(αminus θ) = minusρ(α)
On fait varier θ dans[α
2+infin
[
puis on effectue la symeacutetrie parrapport agrave la droite passant par O
et drsquoangle polaireα
2+
π
2
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Chapitre 1 mformulairetex 2772008 2251Page 64
64 [1] Matheacutematiques
32 Proprieacuteteacutes meacutetriques des courbes
Abscisse curviligne
forallt isin I s(t) =int t
t0 f prime(u) du
f t 7rarr M(t)s t 7rarr s(t)
Longueur drsquoun arc
l(AB) =int b
a f prime(t) dt l(AB) longueur de lrsquoarc AB
Rayon de courbure ndash Courbure
R =dsdα
γ =1R
R rayon de courbures abscisse curviligneα = (iii TTT) ougrave TTT est le vecteur tan-gentγ courbure au point M(t)
Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 65
Chapitre 2Physique
0 Eacuteleacutements de matheacutematiques
01 Diffeacuterentielles
Deacuteveloppements limiteacutes
Soit f x 7rarr f (x) alors f (x + δx) = f (x) + δx f prime(x) +(δx)2
2f primeprime(x) +
middot middot middotDiffeacuterentielle drsquoune fonction de plusieurs variables
Soit f une fonction des variables x et y alors
d f =
(part fpartx
)
y
dx +
(part fparty
)
x
dy
On peut eacutetendre cette deacutefinition de d f pour une fonction de n va-riablesOn a par deacutefinition du gradient
d f = (grad f ) middot dMMMc copyDuno
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Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 66
66 [2] Physique
Theacuteoregraveme de Schwarz
part2 f (x y)partxparty
=part2 f (x y)
partypartx
(les deacuteriveacutees croiseacutees drsquoune fonction C2 sont eacutegales)
02 Eacutequations diffeacuterentielles
Eacutequation de relaxation
yprime(t) +y(t)
τ= γ (ougrave γ est
une constante) Sa solution esty(t) = γτ + (y(0)minus γτeminustτ
y t( )
t
Eacutequation de lrsquooscillateur harmonique
yprimeprime(t) + ω20y(t) = 0 Sa solution est
y(t) = λ cos(ω0t) + micro sin(ω0t) ouy(t) = δ cos(ω0t + ϕ)
y t( )
t
Eacutequation drsquoun systegraveme explosif
yprimeprime(t) minus ω20y(t) = 0 Sa solution est
y(t) = λ ch(ω0t) + micro sh(ω0t)
y t( )
t
Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 67
0 Eacuteleacutements de matheacutematiques 67
Eacutequation de diffusionpartypartt
= D∆y Les solutions deacutependent des conditions aux limites et des
conditions initiales On la reacutesoud geacuteneacuteralement en reacutegime permanentougrave la solution est sinusoiumldale
Eacutequation de preacutecession
partuuupartt
= ωωω and uuu uuu est en rotation autour duvecteurωωω
wu
Eacutequation du second ordre
ayprimeprime(t) + byprime(t) + cy(t) = g(t)
Le discriminant de son eacutequation caracteacuteristique ((Ec) ar2 + br + c = 0)est ∆ = b2 minus 4ac Soient r1 et r2 les deux racines de cette eacutequation ca-racteacuteristiqueDans un premier temps inteacuteressons nous au cas ougrave g(t) = γ uneconstante
Si ∆ gt 0 les deux racines r1 et r2 sontreacuteelles la solution est du type apeacuteriodique
y(t) = λer1t + microer2 t +γ
c
y t( )
tSi ∆ lt 0 les deux racines de lrsquoeacutequationcaracteacuteristique sont complexes conjugueacuteesla solution est alors pseudo-peacuteriodique
y(t) = (λ cos(βt) + micro sin(βt))eαt +γ
cavec α et β respectivement partie reacuteelle etpartie imaginaire de r1
y t( )
t
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Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 68
68 [2] Physique
Si ∆ = 0 le reacutegime est critique lrsquoeacutequationcaracteacuteristique admet une racine double
La solution est y(t) = (λt + micro)er1t +γ
c
y t( )
tSi g(t) est une excitation sinusoiumldale on reacutesout en complexes en posanty(t) = Ye jωt pour obtenir une solution particuliegravere
03 Coniques
Eacutequation polaire drsquoune conique avec origine au foyer
r(θ) =p
1 + e cos θ
r distance du point courant agravelrsquoorigineθ angle polairep paramegravetree excentriciteacute
Nature de la conique
ndash une ellipse si 0 lt e =a
blt 1 ab
O
ndash une parabole si e = 1
ndash une hyperbole si e gt 1
Aire drsquoune ellipse
S = πabS surface de la coniquea demi grand axeb demi petit axe
Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 69
1 Eacutelectronique 69
1 Eacutelectronique
11 Lois geacuteneacuterales
Loi de Pouillet
i =E
sumk
Rk
i intensiteacute du courant dans lecircuitE tension deacutelivreacutee par le geacuteneacute-rateurRk reacutesistance k du circuit
Loi des nœuds
La loi des nœuds en N srsquoeacutecrit n
sumk=1
ik = 0
Ni1
in
ik
i4
i2i3
Loi des mailles
La loi des mailles sur la maille ci-
contre srsquoeacutecrit n
sumk=1
uk = 0 u1
u2
u3
u4
unuk
Theacuteoregraveme de Millman
Le theacuteoregraveme de Millman appliqueacuteen N donne
u =
n
sumk=1
Gk middot uk +p
sumj=1
i j
n
sumk=1
Gk u1 unu2 uk
uG1 GnG2 Gk
Ni1
i2 ijip
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Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 70
70 [2] Physique
Theacuteoregraveme de superposition (Helmholtz)Dans un reacuteseau de dipocircles lineacuteaires comportant n sources la tensionaux bornes de chaque dipocircle est la somme algeacutebrique des tensions qursquoily aurait aux bornes de ce dipocircle si une seule source autonome fonction-nait De mecircme lrsquointensiteacute dans une branche drsquoun circuit est la sommedes intensiteacutes qui regravegneraient dans la branche si une seule source au-tonome fonctionnait
12 Reacutegime variable
Puissance reccedilue par un dipocircle
p(t) = u(t)i(t)
lt pgt=1T
int T
0p(t) dt
lt pgtsinusoiumldal= Ueff Ieff cosϕ
On se place en convention reacutecep-teurp(t) puissance instantaneacutee reccediluepar le dipocirclelt p gt puissance moyenne reccediluepar le dipocircleu(t) tension aux bornes de ce di-pocirclei(t) intensiteacute traversant le dipocircleUeff tension efficace aux bornesdu dipocircleIeff intensiteacute efficace traversant ledipocircleϕ deacutephasage entre la tension etlrsquointensiteacute ϕ = arg Z ougrave Z est lrsquoim-peacutedance complexe
Impeacutedance complexe et phase des composants usuels
Reacutesistance
Z = R
ϕ = 0
Bobine
Z = jLω
ϕ = +π
2
Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 71
1 Eacutelectronique 71
Condensateur
Z =1
jCω
ϕ = minusπ
2
Z impeacutedanceR valeur de la reacutesistanceC capaciteacute du condensateurL inductance de la bobineω pulsationϕ deacutephasage de u par rapport agrave i
Fonction de transfert
H( jω) =s
e
H( jω) fonction de transferts signal de sortiee signal drsquoentreacutee
Gain en deacutecibels ndash Phase
H(ω) = |H( jω)|
GdB = 20 log |H( jω)|
ϕ = argH
H(ω) gainGdB gain en deacutecibelsH( jω) fonction de transfertϕ phase (avance de la sortie surlrsquoentreacutee)
Diagramme de BodeLe diagramme de Bode en gain (respectivement en phase) consiste agraverepreacutesenter le gain en deacutecibel (respectivement la phase) en fonction de
logω
ω0ou de logω
Filtre passe-bas du premier ordre
log(w)log(w )0
G (dB)
log(w )0 log(w)
jp2
2
4-p
-p
H(ω) =H0
1 + jω
ω0
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Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 72
72 [2] Physique
Filtre passe-haut du premier ordre
log(w )0
log(w)
G (dB)
log(w )0
log(w)
jp
p2
4
2-p
H(ω) =H0 j
ω
ω0
1 + jω
ω0
Filtre passe-bas du deuxiegraveme ordre
log(w )0
log(w)
Q gt Q1 2 Q gt Q2 3
Q3
G (dB) log(w )0 log(w)Q gt Q1 2
Q3
j
0
2-p
-p
Q =1 gt Q2 3Ouml2
H(ω) =H0
1 +
(jω
ω0
)2+ j
ω
Qω0
Filtre passe-haut du deuxiegraveme ordre
log(w)
Q gt Q1 2
Q gt Q2 3
Q3
G (dB)
log(w )0
log(w )0 log(w)
Q gt Q1 2
Q3
j
0
2p
p
Q =1 gt Q2 3Ouml2
Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 73
1 Eacutelectronique 73
H(ω) =
H0
(jω
ω0
)
1 +
(jω
ω0
)2+ j
ω
Qω0
Filtre passe bande du deuxiegraveme ordre
log(w)
Q gt Q1 2
Q gt Q2 3
Q3
G (dB)
log(w )0
log(w )0
log(w)
Q gt Q1 2
Q3
jp
0
2
2-p
Q =1 gt Q2 3Ouml2
H(ω) =H0
1 + jQ
(ω
ω0minus ω0
ω
)
13 Montages avec amplificateur opeacuterationnel
GeacuteneacuteraliteacutesPour un amplificateur opeacuterationnel ideacuteal en reacutegime lineacuteaire ndash ε = V+ minusVminus = 0lArrrArr |uS| 6 Vsatndash Si ε lt 0 uS = minusVsat si ε gt 0 uS = Vsat on est en reacutegime satureacutendash Lrsquointensiteacute entrant par les bornes + et minus est nulle
Suiveur de tension
+yen-e
uSuE
iS
uS = uE
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Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 74
74 [2] Physique
Amplificateur inverseur
+yen
-
R2
uSuE
iER1 e
uS = minusR2
R1uE
Amplificateur non inverseur
+yen-
R2
uSuE
iEiS
R1 e
uS =
(1 +
R2
R1
)uE
Convertisseur courant-tension
+yen-
R
uSuE
iE iSe
uS = minusR middot iE
Comparateur simple
+yen-
uSu2 u1
e
Si u1 gt u2 uS = +VsatSi u1 lt u2 uS = minusVsat
Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 75
1 Eacutelectronique 75
Inteacutegrateur theacuteorique
+yen-R
C
uSuE
e uS =
minus 1RC
int t
t0uE(t) dt + us(t0)
Deacuterivateur theacuteorique
+yen-
R
uSuE
C e
uS = minusRCduEdt
Comparateur agrave hysteacutereacutesis
ε =R1
R1 + R2uS minus uE
ndash Si uS = +Vsat rArr ε gt 0rArr uE ltR1
R1 + R2Vsat
ndash Si uS = minusVsat rArr ε lt 0rArr uE gt minus R1
R1 + R2Vsat
ndash Si uE isin]minus R1
R1 + R2Vsat
R1
R1 + R2Vsat
[alors le montage est bistable
(uS = plusmnVsat)
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Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 76
76 [2] Physique
Sommateur inverseur
+yen-
R2
uS
uE1 uE2 uE3
uE1
i1
i2
i3
R11
R1 2
R1 3
e
ik =uEk
R1kuS = minusR2 sum
k
uEk
R1k
2 Thermodynamique
21 Gaz parfait
Eacutequation drsquoeacutetat
pV = nRT
p pression du gazV volume du gazR = N middot k constante des gaz par-faitsT tempeacuteraturen quantiteacute de matiegravere
Vitesse quadratique moyenne
12mu2 =
32kT
m masse atomique du gazu vitesse quadratique moyennek constante de BoltzmannT tempeacuterature
Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 77
2 Thermodynamique 77
Coefficients thermoeacutelastiques
α =1V
(partVpartT
)
p
β =1p
(partppartT
)
V
χT = minus 1V
(partVpartp
)
T
α coefficient de dilatation isobareβ coefficient drsquoaugmentation depression agrave volume constantχT coefficient de compressibiliteacuteisothermep pressionT tempeacuteratureV volume
Relation entre les coefficients thermoeacutelastiquesα = pβχT
Modegravele de Van der Waals
(p +
n2a
V2
)(V minus nb) = nRT
a b constantes positivesn quantiteacute de matiegraverep pressionT tempeacuteratureV volumenb covolumeR constante des gaz parfaits
22 Premier et second principes de la thermodynamique
Premier principe
∆U = W + Q
∆U variation drsquoeacutenergie interneW transfert meacutecaniques reccedilus parle systegravemeQ transferts thermiques vers lesystegravemec copy
Duno
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Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 78
78 [2] Physique
Travail reacuteversible des forces de pression
W = minusint V f
Vi
p dV
W travail des forces de pressionVi volume initialV f volume finalp pressionSi la transformation est isobarealors W = minusp∆V
Enthalpie
H = U + pV
H enthalpieU eacutenergie internep pressionV volume du systegravemeLrsquoenthalpie est une fonction drsquoeacutetat
Premiegravere loi de Joule pour un gaz parfait
dU = CV dT
dU variation drsquoeacutenergie interneCV capaciteacute thermique agrave volumeconstantdT variation de tempeacuterature
CV =
(partUpartT
)
V
Autre formulation U ne deacutependque de T
Seconde loi de Joule pour un gaz parfait
dH = Cp dT
dH variation drsquoenthalpieCp capaciteacute thermique agrave pressionconstantedT variation de tempeacuterature
Cp =
(partHpartT
)
p
Autre formulation H ne deacutependque de T
Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 79
2 Thermodynamique 79
Gaz parfait monoatomique
U =32nRT
H =52nRT
U eacutenergie interneH enthalpien quantiteacute de matiegravereR constante des gaz parfaitsT tempeacuterature
Bilan sur les eacutecoulements permanents
(h2 + ek2+ ρgz2)minus (h1 + ek1
+ ρgz1) = wm + qm
wm
qm
Cette relation est aussi appeleacuteerelation de ZeunerOn indexe par 1 et 2 les grandeursrelatives au fluide respectivementen amont et en aval de la machine
hi enthalpie massiqueeki
eacutenergie cineacutetique massiqueρgzi eacutenergie potentielle de pesan-teur massiquewm travail reccedilu par lrsquouniteacute demasse de fluide qui traverse la ma-chineqm transfert thermique reccedilu parlrsquouniteacute de masse de fluide qui tra-verse la machine
Deacutetente de Joule Gay-Lussac
eacutetat initial
eacutetat final
∆U = 0
U eacutenergie interne
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80 [2] Physique
Deacutetente de JoulendashKelvin
h1 + ek1= h2 + ek2
En eacutecoulemement lent (eki≪ hi)
la deacutetente est isenthalpique (h2 =h1)
Rapport des capaciteacutes thermiques
γ =Cp
CVgt 1
Cp =γR
γminus 1
CV =R
γminus 1R constante des gaz parfaitsγ rapport des capaciteacutes ther-miques
Second principe ndash Entropie
dS =δQ
TΣ
+ δSirrev
S entropieQ transferts thermiques vers lesystegravemeTΣ tempeacuterature de surface dusystegravemeδSirrev gt 0 creacuteation drsquoentropieLrsquoentropie est une mesure statis-tique du deacutesordre
Identiteacutes thermodynamiques
dU = T dSminus p dV
dH = T dS +V dp
dU variation drsquoeacutenergie internedH variation drsquoenthalpiedS variation drsquoentropiep pression du gazV volume du systegravemeT tempeacuterature
Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 81
2 Thermodynamique 81
Lois de Laplace
p Vγ = cste1
T Vγminus1 = cste2
Tγp1minusγ = cste3
Ces lois deacutecrivent lrsquoeacutevolution desparamegravetres thermodynamiquespour une transformation isentro-pique (adiabatique reacuteversible) degaz parfaitp pression du gazV volume du systegravemeT tempeacuteratureγ rapport isentropique
23 Changements de phase drsquoun corps pur
Diagramme drsquoeacutetat
vapeur
C
T
T
p
liquidesolide
Le point C est le point critique au delagraveduquel on ne fait plus la diffeacuterence entrela phase liquide et la phase vapeur (eacutetatfluide)Le point T est le point triple ougrave toutes lesphases coexistentp pressionT tempeacuterature
Nomenclature des changements de phase
vapeurliquidesolidefusion
sublimation
condensation
solidification liqueacutefaction
vaporisation
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Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 82
82 [2] Physique
Diagramme drsquoeacutequilibre liquidendashvapeur
vapeur
T T= C
T gt TC
T lt TC
liquide+
vapeur
C
vvl
vv
VLM
p
V
liquide
courbe drsquoeacutebullition
courbe de roseacutee
vapeur
p = pC
p gt pC
p lt pC
liquide+
vapeur
C
ssl s
v
VL
M
T
S
liquide
courbe drsquoeacutebullition
courbe de roseacutee
Titre de vapeur ndash Titre de liquide
xv =mv
m=
LM
LV
xl =mlm
=MV
LV
xl titre massique de liquidexv titre massique de vapeurml mv masse de liquide et de vapeurLM LVMV distance LM LVMVmesureacutees sur un des deux diagrammesdrsquoeacutetat preacuteceacutedent
On a eacutegalement la relation xl + xv = 1
Expression des fonctions drsquoeacutetat
u = x1u1 + x2u2
h = x1h1 + x2h2
s = x1s1 + x2s2
xi le titre massique du corps pur dansla phase iui hi si lrsquoeacutenergie interne massiquelrsquoenthalpie massique et lrsquoentropie mas-sique du corps dans la phase iu h s lrsquoeacutenergie interne massique lrsquoen-thalpie massique et lrsquoentropie massiquedu corps
Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 83
2 Thermodynamique 83
Chaleur latente
l1rarr2 = h2 minus h1 = T(s2 minus s1)
l1rarr2 chaleur latente massique de pas-sage de la phase 1 agrave la phase 2hi enthalpie massique du corps dans laphase isi entropie massique du corps dans laphase iT tempeacuterature de cœxistance desphases
Relation de Clapeyron
l1rarr2 = T(v2 minus v1)partppartT
l1rarr2 chaleur latente massique de pas-sage de la phase 1 agrave la phase 2vi volume massique du corps dans laphase ip pressionT tempeacuterature de changement drsquoeacutetat
24 Machines thermiques
Machines dithermes
machine
QC
W
QF
TC TF
TC tempeacuterature de la source chaudeQC transfert thermique algeacutebrique dela source chaude vers la machineTF tempeacuterature de la source froideQF transfert thermique algeacutebrique de lasource froide vers la machineW transfert meacutecanique reccedilu par la ma-chine
Premier et second principes appliqueacutes sur un cycle
∆U = 0
∆S = 0
Sur un cycle la variation drsquoeacutenergie in-terne (U) et drsquoentropie (S) est nulle(fonctions drsquoeacutetat)c copy
Duno
dL
apho
tocopie
nonau
toriseacuteeestu
ndeacutelit
Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 84
84 [2] Physique
Ineacutegaliteacute de Clausius
QC
TC+
QF
TF6 0
(Second principe appliqueacute agrave la machine)TC tempeacuterature de la source chaudeQC transfert thermique algeacutebrique dela source chaude vers la machineTF tempeacuterature de la source froideQF transfert thermique algeacutebrique de lasource froide vers la machine
Efficaciteacute de Carnot du moteur ditherme
eC = 1minus TFTC
e 6 eC
eC efficaciteacute de Carnot (machine reacutever-sible)TC tempeacuterature de la source chaudeTF tempeacuterature de la source froidee efficaciteacute reacuteelle
Efficaciteacute de Carnot du reacutefrigeacuterateur ditherme
eC =TF
TC minus TFe 6 eC
eC efficaciteacute de Carnot (machine reacutever-sible)TC tempeacuterature de la source chaudeTF tempeacuterature de la source froidee efficaciteacute reacuteelle
Efficaciteacute de Carnot de la pompe agrave chaleur
eC =TC
TC minus TFe 6 eC
eC efficaciteacute de Carnot (machine reacutever-sible)TC tempeacuterature de la source chaudeTF tempeacuterature de la source froidee efficaciteacute reacuteelle
Repreacutesentation du cycle
p
V
Le transfert meacutecanique reccedilu par la ma-chine correspond agrave lrsquoaire inteacuterieure de lacourbe dans le diagramme de Clapey-ron (pV) Cette aire doit donc ecirctre neacute-gative (parcourue dans le sens horaire)pour obtenir un moteur (w lt 0)
Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 85
2 Thermodynamique 85
T
S
Le transfert thermique reccedilu correspondagrave lrsquoaire inteacuterieure agrave la courbe dans le dia-gramme (S T)
25 Diffusion thermique
Flux thermique
Φth =intint
Sjjjth middotnnn dS
Φth flux thermiquejjjth vecteur courant de diffusionthermiquennn normale agrave la surface dS
Loi de Fourier
jjjth = minusλgradT
jjjth vecteur courant de diffusionthermiqueT tempeacuteratureλ conductiviteacute thermique
Eacutequation de la chaleur
partTpartt
= κ∆T
κ =λ
ρC
κ diffusiviteacute thermiqueT tempeacuterature∆ laplacien scalaireλ conductiviteacute thermiqueρ masse volumiqueC capaciteacute thermique
Convection
jc = minush(Tint minus Text)
jc courant de convection algeacutebriqueh coefficient de convectionTint tempeacuterature inteacuterieureText tempeacuterature exteacuterieure
c copyDuno
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nonau
toriseacuteeestu
ndeacutelit
Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 86
86 [2] Physique
Conductance thermique
Φ = G(Tint minus Text)
G = heqS
heq =
(
sumi
1hi
+ sumj
e j
λ j
)minus1
En reacutegime permanent on deacutefinitainsi la conductance thermiqueΦ flux thermique totalG conductance thermiqueTint tempeacuterature inteacuterieureText tempeacuterature exteacuterieureh coefficient de convectionλ conductiviteacute thermiquee j epaisseur de la paroi de conduc-tiviteacute λ j
26 Rayonnement thermique
Flux thermique
ϕi︸︷︷︸incident
= ϕr︸︷︷︸reacutefleacutechi
+ ϕa︸︷︷︸absorbeacute
ϕp︸︷︷︸partant
= ϕe︸︷︷︸eacutemis
+ ϕr︸︷︷︸reacutefleacutechi
+ ϕt︸︷︷︸transmis
Fi
Fr Fd
Ft
Fa
Loi de Planck
Fλ(λ T) =2πhc2
λ51
ehc
kλTminus1
Fλ(λ T) eacutemittanceλ longueur drsquoondeT tempeacuteratureh constante de Planckc vitesse de la lumiegravere dans levidek constante de Boltzmann
Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 87
2 Thermodynamique 87
Repreacutesentation graphique de la loi de Planck
F ( T)l l
lieu des maximums
T T1 2gt
T T2 3gt
T T3 4gt
T4
l
Loi du deacuteplacement de Wien
λmT = 2 897 8 microm middotKλm longueur drsquoonde ougrave lrsquoeacutemis-sion est maximaleT tempeacuterature
Loi de StefanCette loi est valable pour tout corps agrave lrsquoeacutequilibre thermodynamique etagrave lrsquoeacutequilibre thermique pour ϕp
ϕe =int +infin
0Fλ(λ T) dλ
ϕe = σT4
ϕe flux eacutemisFλ(λ T) luminance (deacutecrite parla loi de Planck)σ constante de Stefanλ longueur drsquoondeT tempeacuterature
Corps noir
Un corps noir absorbe le flux incident pour toute longueur drsquoonde etquelque soit son incidence Il est en eacutequilibre radiatif (ϕp = ϕi etϕe = ϕa ougrave ϕp est le flux partant ϕi le flux incident ϕe le flux eacutemiset ϕa le flux absorbeacute) et thermique
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toriseacuteeestu
ndeacutelit
Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 88
88 [2] Physique
3 Meacutecanique du point
31 Cineacutematique
Coordonneacutees carteacutesiennes
OMOMOM = xiii + yjjj + zkkk
x abscissey ordonneacuteez cote
vvv =dOMOMOMdt
=
xyz
aaa =d2OMOMOMdt2
=
xyz
M
i
kj
z
x
zM
xM
yMy
O
Coordonneacutees cylindriques
OMOMOM = ruuur + zuuuz
r rayon polaireθ angle polairez cote
vvv =dOMOMOMdt
=
rrθz
uuur
uuuθ
uuuz
aaa =d2OMOMOMdt2
=
rminus rθ2
2rθ + rθz
uuur
uuuθ
uuuz
M
i
ur
uz
uq
kj
q
z
x
zM
xM
yM y
r
O
Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 89
3 Meacutecanique du point 89
Coordonneacutees spheacuteriques
OMOMOM = ruuur
r rayonθ colatitude variant dans [0π]ϕ longitude variant dans [0 2π]
vvv =dOMOMOMdt
=
rrθ
r sin θϕ
uuur
uuuθ
uuuϕ
M
ur
uj
uq
i
k
j
j
q
x
z
r
zM
xM
yM yO
Mouvement circulaire uniforme
OMOMOM = ruuur
r rayon polaireθ angle polaireωωω vitesse angulaire uniforme(ωωω = ωuuuz)
M
v(M)
a(M)ur
uq q x
z
y
O
vvv = ωuuuz andOMOMOM = ωruuuθ aaa = minusω2ruuur = minus v2
ruuur
c copyDuno
dL
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ndeacutelit
Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 90
90 [2] Physique
32 Changement de reacutefeacuterentiel
x
xrsquo
z zrsquo
y
yrsquo
O Orsquo
Composition des vitesses
vvv(M)R = vvv(M)Rprime︸ ︷︷ ︸vitesse relative
+vvv(Oprime)R + ΩΩΩ andOprimeMOprimeMOprimeM︸ ︷︷ ︸vitesse drsquoentraicircnement
ΩΩΩ vecteur de rotation instantanneacutee de Rprime par rapport agrave R
Composition drsquoacceacuteleacuteration
aaa(M)R = aaa(M)Rprime+ 2ΩΩΩ and vvv(M)Rprime︸ ︷︷ ︸acceacuteleacuteration de Coriolis (ac)
+aaa(Oprime)R + ΩΩΩ and(ΩΩΩ andOprimeMOprimeMOprimeM
)+
dΩΩΩ
dtandOprimeMOprimeMOprimeM
︸ ︷︷ ︸acceacuteleacuteration drsquoentraicircnement (ae)
Forces associeacutees
fffe = minusmaaae
fffc = minusmaaac
fffe force drsquoentraicircnementfffc force de Coriolisaaae acceacuteleacuteration drsquoentraicircnementaaac acceacuteleacuteration de Coriolis
Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 91
3 Meacutecanique du point 91
Reacutefeacuterentiel en rotation uniforme autour drsquoun axe fixe
fffe = mΩ2ruuur
(force centrifuge)
fffc = minus2mΩΩΩ and vvv(M)Rprime
W t
W
z = zrsquo
x
yrsquo
xrsquo
yO
Reacutefeacuterentiel galileacuteenDans un reacutefeacuterentiel galileacuteen un point mateacuteriel isoleacute est soit au repossoit animeacute drsquoun mouvement rectiligne uniforme
33 Lois geacuteneacuterales de la meacutecanique
Principe des actions reacuteciproques
FFF1rarr2 = minusFFF2rarr1
M1M2M1M2M1M2 and FFF1rarr2 = 000
FFFirarr j force de i sur jMi point drsquoapplication de la forceFirarr j
Principe fondamental de la dynamique
dpppdt
= sumi
fffi
ppp = mvvv quantiteacute de mouvementdu systegravemefffi force appliqueacutee au systegravemesumi
fffi reacutesultante des forces
Quantiteacute de mouvement drsquoun systegraveme fermeacute
ppp = sumi
mivvv(Pi) = Mvvv(G)
ppp quantiteacute de mouvement du sys-tegravememi masse associeacutee au point mateacute-riel PiM masse du systegravemeG centre de masse du systegraveme
c copyDuno
dL
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Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 92
92 [2] Physique
Theacuteoregraveme du moment cineacutetique en un point fixe
dLLLO
dt=MMMO
(
sumi
fffi
)LLLO moment cineacutetique au point dereacuteduction O
MMMO
(
sumi
fffi
) moment de la reacutesul-
tante des forces en O
Moment cineacutetique ndash Moment cineacutetique barycentrique
LLLB = LLLA +BABABA andmvvv(M)
LLLlowastsystegraveme = LLLG
LLLP moment cineacutetique en Pm masse du systegravemevvv(M) vitesse du point MLLLlowastsystegraveme moment cineacutetique bary-centrique du systegraveme
Theacuteoregraveme de Kœnig du moment cineacutetique
LLLA = LLLlowast +AGAGAG andMvvv(G)
LLL(P) moment cineacutetique en PLLLlowast moment cineacutetique barycen-triqueM masse du systegravemevvv(G) vitesse du centre de graviteacutedu systegraveme
Moment de forces
MMMB(fff) =MMMA(fff) +BABABA and fff MMMP moment de force en Pfff force appliqueacutee au systegraveme
Theacuteoregraveme du moment cineacutetique en un point mobile
dLLLAdt = MMMA (sumi fffi)
minusvvv(A) andmvvv(P)
LLL moment cineacutetique
MMM(
sumi
fffi
) moment de la reacutesul-
tante des forcesm masse du systegravemevvv(P) vitesse de P
Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 93
3 Meacutecanique du point 93
Puissance drsquoune force
P = fff middot vvvP puissance de la force ffffff forcevvv(G) vitesse du point mateacuteriel
Eacutenergie cineacutetique drsquoun point et drsquoun systegraveme de points
Ek =12mv2
Ek = sumi
mi
2v2i
Ek eacutenergie cineacutetiquem masse du systegravememi masse du point mateacuteriel Piv vitesse du systegravemevi vitesse du point mateacuteriel Pi
Theacuteoregraveme de lrsquoeacutenergie cineacutetique
dEkdt
= PEk eacutenergie cineacutetiqueP puissance des forces appli-queacutees au systegraveme
Theacuteoregraveme de Kœnig de lrsquoeacutenergie cineacutetique
Ek = Elowastk +12mv2(G)
Ek eacutenergie cineacutetiqueElowastk eacutenergie cineacutetique barycen-triquem masse du systegravemev(G) vitesse du centre de graviteacutedu systegraveme
Eacutenergie meacutecanique
Em = Ek + Ep
Em eacutenergie meacutecaniqueEk eacutenergie cineacutetiqueEp eacutenergie potentiellec copy
Duno
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Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 94
94 [2] Physique
Eacutenergies potentielles
ndash eacutenergie potentielle de pesanteur
Eppes = MgzG
Eppes eacutenergie potentielle de pe-santeurm masse du systegravemeg acceacuteleacuteration de la pesanteurzG cote du centre de graviteacute dusystegraveme
ndash eacutenergie potentielle eacutelastique
Epelas=
12k(∆l)2
Epelas eacutenergie potentielle eacutelastique
k constante de raideur du ressort∆l allongement du ressort
ndash eacutenergie potentielle de gravitation
Epgrav = minusGm1m2
r
Epgrav eacutenergie potentielle de gra-vitationG constante universelle de gravi-tationm1 m2 masses en interactionr distance seacuteparant les deuxmasses
ndash eacutenergie potentielle eacutelectrique
Epel= qV
Epel eacutenergie potentielle eacutelectrique
q charge ponctuelleV potentiel au point ougrave se trouvela charge
Eacutequilibre
dEp
dx(x0) = 0
x0 position drsquoeacutequilibreEp eacutenergie potentielle
Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 95
3 Meacutecanique du point 95
Eacutequilibre stable ndash Eacutequilibre instable
d2 Ep
dx2(x0) gt 0
x0
Ep
xO
Minimum drsquoeacutenergie potentielle eacutequilibre stable
d2 Ep
dx2(x0) 6 0
x0
Ep
xO
Maximum drsquoeacutenergie potentielle eacutequilibre instable
Forces conservatives
FFFcons = minusgradEp Les forces conservatives deacuteriventdrsquoune eacutenergie potentielle
Theacuteoregraveme de lrsquoeacutenergie meacutecanique
dEm
dt= Pext non cons +Pint non cons
Em eacutenergie meacutecaniquePext non cons puissance des forcesexteacuterieures au systegraveme nonconservativesPint non cons puissance des forcesinteacuterieures au systegraveme (dans lecas drsquoun systegraveme de points) nonconservatives
34 OscillateursOn se reportera eacutegalement aux oscillateurs eacutelectriques dans la partie eacutelec-tronique de cet ouvrage
c copyDuno
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toriseacuteeestu
ndeacutelit
Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 96
96 [2] Physique
Oscillateur harmonique
d2 Adt2
+ ω20A = 0
A = α cosω0t + β sinω0t
A = γ cos(ω0t + ϕ)
Un oscillateur harmonique est reacute-git par lrsquoeacutequation ci-contre ougrave A grandeur physiqueω0 pulsation de lrsquooscillateurαβγϕ constantes deacutetermineacuteespar les conditions initiales
Portrait de phase drsquoun oscillateur harmonique
A
Aw0
0
Le portrait de phase drsquoun oscilla-teur harmonique est constitueacute decercles concentriques
Oscillateur harmonique amorti
d2 Adt2
+ω0
Q
dAdt
+ ω20A = 0
A grandeur physiqueω0 pulsation de lrsquooscillateur har-moniqueQ facteur de qualiteacute de lrsquooscilla-teur
Reacuteponses drsquoun oscillateur harmonique amorti
Q gt 12 les deux racines delrsquoeacutequation caracteacuteristique r1 et r2sont reacuteelles la solution est du typeapeacuteriodique A(t) = λer1t + microer2t
A( )t
t
Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 97
3 Meacutecanique du point 97
Q = 12 on est en reacutegimecritique lrsquoeacutequation caracteacuteristiqueadmet une racine double r La so-lution est A(t) = (λt + micro)ert
A( )t
t
Q lt 12 les deux racinesde lrsquoeacutequation caracteacuteristiques sontcomplexes conjugueacutees la solu-tion est alors pseudo-peacuteriodique A(t) = (λ cos(βt) + micro sin(βt))eαt
avec α et β respectivement partiesreacuteelle et imaginaire de la solution
A( )t
t
Portrait de phase drsquoun oscillateur amorti
Qgt1
2
Q=12
Q
lt12
A
Aw0
Oscillations forceacutees
d2 Adt2
+ω0
Q
dAdt
+ ω20A = E(t)
A grandeur physiqueω0 pulsation de lrsquooscillateur har-moniqueQ facteur de qualiteacute de lrsquooscilla-teurE(t) excitationSi lrsquoexcitation est sinusoiumldale onreacutesout une telle eacutequation en utili-sant la notation complexe et en po-sant A(t) = A0e
jωtIl ne peut y avoir reacutesonance que siQ gt 1
radic2
c copyDuno
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ndeacutelit
Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 98
98 [2] Physique
35 Mouvement drsquoune particule chargeacutee
Force de Lorentz
FFF = q(EEE + vvv andBBB)
FFF force de Lorentzq charge de la particulevvv vitesse de la particuleBBB champ magneacutetiqueEEE champ eacutelectrique
Mouvement dans un champ magneacutetique stationnaire uniforme
R =
∣∣∣∣mv0qB
∣∣∣∣
ω =
∣∣∣∣qB
m
∣∣∣∣
Ces lois deacutecrivent la trajectoire cir-culaire drsquoune particule de masse met de charge q abandonneacutee dansun champ magneacutetique avec unevitesse vvv0 orthogonale au champmagneacutetique BBBR rayon de la trajectoireω vitesse angulaire de la parti-cule
Un champ magneacutetique ne fait que deacutevier une particule il ne lrsquoacceacutelegraverepas
Effet Hall
EEEHall = minusvvv andBBB
UHall =BI
nqℓ
EEEHall champ eacutelectrique creacuteeacute pareffet HallUHall diffeacuterence de potentiel quiapparaicirct aux bornes de la sondevvv vitesse des particulesBBB champ magneacutetiqueI intensiteacute du courant traversantla sonden densiteacute particulaireq charge de la particuleℓ largeur de la sonde
B
EHall
I l
+++++++
ndashndashndashndashndashndashndash
Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 99
3 Meacutecanique du point 99
36 Systegravemes de deux points mateacuteriels
Systegraveme isoleacute de deux points mateacuterielsPour eacutetudier un systegraveme isoleacute de deux points mateacuteriels de masse m1 etm2 on eacutetudie le mouvement drsquoune particule eacutequivalente dans le reacutefeacute-
rentiel barycentrique et de masse micro =m1m2
m1 + m2situeacutee en un point M
tel que GMGMGM = M1M2M1M2M1M2 = rrr
GM1GM1GM1 =minusm2
m1 + m2M1M2M1M2M1M2
GM2GM2GM2 =m1
m1 + m2M1M2M1M2M1M2
(m1 + m2)vvv(G) = cstecstecste
mi masse de la particule se trou-vant en Mimicro masse reacuteduiteG centre de graviteacute du systegravemevvv(G) vitesse de ce centre de gra-viteacutevvvi vitesse de la particule se trou-vant en Mi
Conservation du moment cineacutetique
LLLO = mCCC
ppp = CsteCsteCste
Dans le cas drsquoun systegraveme isoleacute dedeux particules il y a conserva-tion du moment cineacutetique et de laquantiteacute de mouvementLLL moment cineacutetiqueP point fictif (repreacutesentant le mo-bile eacutequivalent)vvv(P) vitesse de ce pointm masse du systegravemeCCC constante des aires
Planeacuteiteacute de la trajectoire ndash Loi des aires
La trajectoire est plane et la vitesseareacuteolaire est constante
dAdt
=C
2laquo Pour des temps eacutegaux les airesbalayeacutees sont eacutegales raquo
v( )M
d aire balayeacuteependant dA
t
O
c copyDuno
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ndeacutelit
Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 100
100 [2] Physique
Eacutenergie potentielle efficace
Elowastm =12micror2 + Epe f f = E0
Epe f f =microC2
2r2+ Epint (r)
Pour un systegraveme isoleacute de deuxpoint mateacuteriels il y a conserva-tion de lrsquoeacutenergie meacutecanique bary-centriqueElowastm eacutenergie meacutecanique barycen-triqueEpe f f eacutenergie potentielle efficaceEpint (r) eacutenergie potentielle inteacute-rieure
micro masse reacuteduite(
micro =m1m2
m1 + m2
)
r = M1M2C constante des aires
Formules de Binet
vvv = minusCdudθ
uuur + Cuuuuθ
aaa = minusC2u2
(d2 udθ2 + u
)uuur
u =1r
vvv vitesseaaa acceacuteleacuterationC constante des airesθ angle polaireuuur vecteur radialuuuθ vecteur orthoradial
Trajectoires newtonniennes en coordonneacutees polaires
r(θ) =p
1 + e cos(θminus θ0)
p paramegravetre de la coniquee excentriciteacute de la coniquee et θ0 sont deacutetermineacutes par lesconditions initiales
Lois de KeplerCes lois deacutecrivent les trajectoires des planegravetes en supposant le reacutefeacuteren-tiel de Kepler centreacute sur le soleil galileacuteen et les trajectoires des diffeacute-rentes planegravetes indeacutependantes1 Les orbites des planegravetes sont des ellipses ayant le soleil pour foyer2 La vitesse areacuteolaire est constante pour des temps eacutegaux les airesbalayeacutees sont eacutegales
Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 101
4 Meacutecanique du solide 101
3 Le carreacute de la peacuteriode est proportionnelle au cube du grand axe
T2 =4π2a3
GMsoleil
4 Meacutecanique du solide
41 Cineacutematique du solide
Champ de vitesse du solide
vvv(A t) = vvv(B t) +ABABAB andΩΩΩ(t)
vvv vitesse du point du solideconsideacutereacuteΩΩΩ vecteur instantaneacute de rotationdu solide
Roulement sans glissement
vvvg S1S2= vvv(IS1 )minus vvv(IS2 ) = 000
vvv(ISk) vitesse du point appar-
tenant au solide Sk et coiumlncidentavec le point I de contact entre lesdeux solidesvvvg S1S2
vitesse de glissement deS1 par rapport agrave S2
Eacutenergie cineacutetique du solide
Ek =12mv2(G)︸ ︷︷ ︸translation
+12J∆Ω2
︸ ︷︷ ︸rotation propre
Ek eacutenergie cineacutetiquem masse du solidev(G) vitesse du centre drsquoinertieJ∆ moment drsquoinertie par rapportagrave lrsquoaxe de rotation instantaneacute dusolide dans le reacutefeacuterentiel barycen-triqueΩΩΩ vecteur vitesse de rotation ins-tantaneacute
c copyDuno
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ndeacutelit
Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 102
102 [2] Physique
Moment drsquoinertie
Moment drsquoinertie par rapport agravelrsquoaxe ∆
J∆ =intintint
solider2 dm
Eacuteleacutements cineacutetiques L∆ = J∆Ω (Moment cineacutetique)Ek = 1
2 J∆Ω2 (Eacutenergie cineacutetique)D
W
r
Theacuteoregraveme drsquoHuygens
J∆ = JG + ma2
J∆ moment drsquoinertie par rapportagrave lrsquoaxe de rotationJG moment drsquoinertie par rapportagrave lrsquoaxe passant par G et parallegravele agrave∆
D
Wa
G
Quelques moments drsquoinertie classiques
D
R
D
R
h
D
l 2 l 2
sphegravere pleinehomogegravene de masse
m
cylindre pleinhomogegravene de masse
m
tige mincehomogegravene de masse
m
Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 103
4 Meacutecanique du solide 103
J∆ =25mR2 J∆ =
12mR2 J∆ =
112
mℓ2
42 Theacuteoregravemes geacuteneacuteraux de la dynamique
Theacuteoregraveme du centre drsquoinertie
mdvvvGdt
= sumi
fffivvvG vitesse du centre drsquoinertie dusolidefffi force exteacuterieure appliqueacutee ausolide
Theacuteoregraveme du moment cineacutetique
dLLLO
dt= sum
i
OMOMOMi and fffi
LLLO moment cineacutetique du solideen O point immobilefffi force exteacuterieure appliqueacutee ausolideMi point drsquoapplication de la forcefi
Moment cineacutetique ndash Moment cineacutetique barycentrique
LLLB = LLLA +BABABA andmvvv(P)
LLLlowastsystegraveme = LLLG
LLL moment cineacutetiquem masse du solidevvv(P) vitesse du point PLLLlowastsystegraveme moment cineacutetique bary-centrique du solide
Theacuteoregraveme de Kœnig du moment cineacutetique
LLLA = LLLlowast +AGAGAG andmvvv(G)
LLL moment cineacutetiqueLLLlowast moment cineacutetique barycen-triquem masse du systegravemevvv(G) vitesse du centre de graviteacutedu solide
Theacuteoregraveme de lrsquoeacutenergie cineacutetique
dEkdt
= PextEk eacutenergie cineacutetiquePext puissance des forces exteacute-rieures appliqueacutees au solide
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dL
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nonau
toriseacuteeestu
ndeacutelit
Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 104
104 [2] Physique
Puissance des forces appliqueacutees agrave un solide
P = FFF middot vvv(G) +MMMG middotΩΩΩ
P puissance des forces appli-queacutees au solideFFF force reacutesultantevvv(G) vitesse du centre drsquoinertiedu solideMMM moment des forces exteacuterieuresen GΩΩΩ vecteur de rotation instantaneacuteedu solide
Theacuteoregraveme de Kœnig de lrsquoeacutenergie cineacutetique
Ek = Elowastk +12mv2(G)
Ek eacutenergie cineacutetiqueElowastk eacutenergie cineacutetique barycen-triquem masse du solidevvv(G) vitesse du centre drsquoinertiedu solide
Theacuteoregraveme de lrsquoeacutenergie meacutecanique
dEm
dt= Pext non cons
Em eacutenergie meacutecaniquePext non cons puissance des forcesexteacuterieures non conservatives
Liaison pivotPour une liaison pivot parfaiteM∆ = 0 ougraveM∆ est le moment desactions de contact
43 Contacts entre les solides
Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 105
5 Optique 105
Roulement sans glissement
vvvg de S1S2= vvv(IS1 )minus vvv(IS2 ) = 000
vvv(ISk) vitesse du point appar-
tenant au solide Sk et coiumlncidentavec le point I de contact entre lesdeux solidesvvvg de S1S2
vitesse de glissementdu solide S1 par rapport au solideS2
N
T I
S1
S2
Lois de Coulomb1 La reacuteaction normale NNN est dirigeacutee vers lrsquoexteacuterieur du support2 Condition de roulement sans glissement
TTT lt fsNNNougrave TTT est la reacuteaction tangentielle ou force de frottement NNN la reacuteactionnormale et fs le coefficient de frottements statiques3 Srsquoil y a glissement TTT est dans la mecircme direction que la vitesse deglissement et de sens opposeacute Alors
TTT = fdNNNougrave fd est le coefficient de frottement dynamique souvent confonduavec fs
5 Optique
51 Geacuteneacuteraliteacutes
Propagation dans le vide drsquoune onde lumineuse
λ = cT =c
ν
λ longueur drsquoonde du signalc vitesse de la lumiegravere dans levideν freacutequence du signalT peacuteriode du signal
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Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 106
106 [2] Physique
Propagation dans un milieu transparent isotrope homogegravene
v =c
n
λ = vT =v
ν
v vitesse de la lumiegravere dans le mi-lieun indice du milieuT peacuteriode du signalν freacutequence du signal
Spectre
l (nm)
l (m)
f (Hz)
infrarougemicro ondes
ondes hertziennes
ultraviolet
rayons X
violet indigo bleu vert jaune orange rouge
vis
ible
10ndash9
400
1017
1016
1015
1014
1013
1012
1011
1010
10ndash8
450
10ndash7
480
10ndash6
530
10ndash5
590
10ndash4
620
10ndash3
700
10ndash2
52 Optique geacuteomeacutetrique
Loi de SnellndashDescartes
i2
i1 rn1
n2
n1 sin i1 = n2 sin i2
r = i1
Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 107
5 Optique 107
Prisme
sin i1 = n sin r1
sin i2 = n sin r2
r1 + r2 = Ai1
A
D
r1
i2
n
r2
Deacuteviation du prisme
D = i1 + i2 minus A
Dm = 2 arcsin(n sin
A
2
)minus A
D deacuteviationA angle au sommet du prismeDm minimum de deacuteviationi angle drsquoincidence au minimumde deacuteviation
Approximation de GaussPour se placer dans lrsquoapproximation de Gauss il faut des faisceaux peuouverts et des angles drsquoincidence petits
Dioptre spheacuteriquen1pprimeminus n2
p=
n1 minus n2r
p abscisse du point objetpprime abscisse du point imageR = SC rayon algeacutebrique dudioptre
CS
n1 n2
I
r
Miroirs spheacuteriques
C S
I
r
CS
I
r
Miroir concave (R = SC lt 0) Miroir convexe (R = SC gt 0)
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Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 108
108 [2] Physique
Relation de conjugaison des miroirs spheacuteriques
1pprime
+1p
=2R
R rayon algeacutebrique du miroir(R lt 0 pour un miroir concave etR gt 0 pour un miroir divergent)pprime distance algeacutebrique de S aupoint imagep distance algeacutebrique de S aupoint objet
Miroir plan
pprime = minusp
pprime distance algeacutebrique de S aupoint imagep distance algeacutebrique de S aupoint objet
Lentilles minces
B
Brsquo
ArsquoA O FFrsquo
B
Brsquo
Arsquo
A OF
Frsquo
Lentille divergente Lentille convergente
Relation de conjugaison des lentilles minces
1pprimeminus 1
p=
1f prime
f prime distance focale de la lentille( f prime lt 0 pour une lentille diver-gente et f prime gt 0 pour une lentilleconvergente)pprime distance algeacutebrique du foyerau point imagep distance algeacutebrique du foyer aupoint objet
Relation de Descartes ndash Relation de Newton
f prime
pprime+
f
p= 1 f f prime = (pprime minus f prime)(pminus f )
(relation de Descartes) (relation de Newton)
Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 109
5 Optique 109
Grandissement
γ =pprime
p
γ grandissementpprime distance algeacutebrique de O aupoint imagep distance algeacutebrique de O aupoint objet
53 Interfeacuterences lumineuses
Obtention drsquointerfeacuterencesOn ne peut obtenir drsquointerfeacuterences qursquoavec des rayons lumineux is-sus de deux sources coheacuterentes secondaires obtenues avec une seulesource par division ou du front drsquoonde ou de lrsquoamplitude
Chemin optique dans un milieu homogegravene isotrope
[SM] = c middot τSM
[SM] chemin optique de S agrave Mc vitesse de la lumiegravere dans levideτSM temps mis par le signal pourparcourir la distance SM
Diffeacuterence de marche
δ = [SP1M]minus [SP2M]δ diffeacuterence de marche[SPjM] chemin optique du rayonpassant par Pj
Vibration lumineuse
s(M) = s0 cos(ωtminusϕS minus 2π
λ [SM])
s(M) vibration lumineuse en MS0 amplitude de la vibrationω pulsation de la vibration lumi-neuseϕS phase de la vibration agrave lasourceλ longueur drsquoonde[SM] chemin optique de S agrave M
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Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 110
110 [2] Physique
Vibration complexe
s(M) = S0ei(ωtminusϕs)eminus
2iπλ
[SM]
s(M) vibration lumineuse com-plexe en MS0 amplitude de la vibrationω pulsation de la vibration lumi-neuseϕS phase de la vibration agrave lasourceλ longueur drsquoonde[SM] chemin optique de S agrave M
Plan drsquoondeOn appelle plan drsquoonde un plan ougrave tous les points sont dans le mecircmeeacutetat vibratoire
Theacuteoregraveme de MalusLes rayons lumineux sont perpendiculaires en tout point aux surfacesdrsquoondes
Eacuteclairement
E(M) = αs2(M)
E(M) =12αs(M)slowast(M)
E(M) eacuteclairement au point Mα = cε0 une constante positive(E est en fait le vecteur de Poytingvoir cours drsquoeacutelectromagneacutetisme)s(M) vibration lumineuse en Ms(M) vibration lumineuse com-plexe en M
Interfeacuterences
E(M) = 2E0(1 + cos∆ϕ(M))
E(M) eacuteclairementE0 eacuteclairement de la source∆ϕ(M) deacutephasage en MLrsquoeacutecran est brillant si ∆ϕ = 2kπk isin ZLrsquoeacutecran est noir si ∆ϕ = (2k + 1)
π
2 k isin Z
Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 111
5 Optique 111
Ordre drsquointerfeacuterence
p =∆ϕ
2π=
δ
λ
p ordre drsquointerfeacuterence∆ϕ deacutephasage en Mδ diffeacuterence de marcheλ longueur drsquoondeLrsquoeacutecran est brillant si p isin Z
Lrsquoeacutecran est sombre si p isin Z +12
Contraste
C =Emax minus Emin
Emax + Emin
C contrasteEmax eacuteclairement maximumEmin eacuteclairement minimum
Trous drsquoYoung
M x( )
x
a
D
S
δ(x) =ax
D(diffeacuterence de marche)
E(x) = 2E0
(1 + cos
2πλ
ax
D
)
i =λD
a(interfrange)
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Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 112
112 [2] Physique
54 Interfeacuteromegravetre de Michelson
Scheacutema
miroir M2
miroir M1seacuteparatrice SP
source S
Scheacutemas eacutequivalents avec une source ponctuelleCoin drsquoair Lame drsquoair
M2
M1
M1rsquo
SP
M x y( )
S1
S2
S
y
x
eM2
M1
M1rsquo
SP
S
y
x
M x y( )
a
S1 S2
Source ponctuelle ndash Source eacutetendueDans la suite nous consideacutererons que lrsquointerfeacuteromegravetre est eacuteclaireacute avecune source eacutetendue les interfeacuterences sont localiseacutees agrave lrsquoinfini (ob-servables dans le plan focal image drsquoune lentille convergente) alorsqursquoelles sont deacutelocaliseacutees avec une source ponctuelle
Lame drsquoair
δ = 2e cos iδ diffeacuterence de marchei angle drsquoincidencee laquo eacutepaisseur raquo entre les miroirs
e
i
Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 113
5 Optique 113
Figure drsquointerfeacuterence
rn
rn =
radicλ f prime
e
radicn
Par symeacutetrie des anneauxrn rayon du ne anneauλ longueur drsquoondee laquo eacutepaisseur raquo entre les miroirsf prime distance focale de la lentille uti-liseacutee pour lrsquoobservation(valable si le centre de la figuredrsquointerfeacuterence est brillant)
Coin drsquoair
δ = 2αxδ diffeacuterence de marcheα angle entre les deux miroirs(quelques dixiegravemes de degreacutes)x abscisse du point du miroirconsideacutereacute
x
O
a
Figure drsquointerfeacuterence
i
i =λγ
2α
Par symeacutetrie des frangesi interfrangeλ longueur drsquoondeα angle entre les deux miroirsγ grandissement de la lentille uti-liseacutee pour lrsquoobservation
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Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 114
114 [2] Physique
Source eacutemettant un doublet
E(e) = 4E0
(1 +V(e) cos
(4πeλ0
))
V(e) = cos
(2π
δλ
λ20e
)
On observe des battements
E
e
Luminance
Entre les freacutequences ν et ν + dν lasource eacutemet
dE = L(ν) dν
L( )n
n
dn
n2n1
Source agrave raie spectrale
E(e) = 4E0
(1 +V(e) cos
(4πeλ0
))
V(e) = sinc
(2π
δλ
λ20e
)
E
e
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5 Optique 115
55 Autres dispositifs drsquointerfeacuterences
Le FabrymdashPeacuterotS
e
i
Le FabryndashPeacuterot permet de reacutealiser des interfeacuterences entre une infiniteacutedrsquoondes il est donc drsquoune tregraves grande preacutecision
Expression de lrsquoeacuteclairement drsquoun FabryndashPeacuterot
E(Φ) =E0
1 + 4r2(1minus r2)2
sin2(
Φ2
)
Φ =4πeλ0
cos i
F =4r2
(1minus r2)2 finesse
E
F2p 4p
Miroirs de Fresnel
miroir M2
miroir M1
sourceS
zonedrsquointerfeacuterence
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Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 116
116 [2] Physique
Expression de lrsquoeacuteclairement des miroirs de Fresnel
E(x) =E0
2
(1 + cos
(2πδ
λ
))
δ =2dαd + D
α angle entre les miroirsx abscisse drsquoun point de lrsquoeacutecrand distance entre la source et lrsquoar-recircte des miroirsD distance entre lrsquoarrecircte des mi-roirs et lrsquoeacutecranλ longueur drsquoonde
56 Diffraction des ondes lumineuses
Principe drsquoHuygensndashFresnelQuand une onde lumineuse traverse une ouverture (Σ) qui la limite pour deacutecrire lrsquoonde diffracteacutee au delagrave de (Σ) on suppose que chaquesurface eacuteleacutementaire (dΣ) autour du point courant P de (Σ) reacuteemet verslrsquoavant une ondelette spheacuterique ndash de mecircme freacutequence que lrsquoonde incidente ndash en phase en P avec lrsquoonde incidente ndash drsquoamplitude proportionnelle agrave celle de lrsquoonde incidente et agrave (dΣ)Crsquoest la superposition de ces ondelettes qui deacutecrit lrsquoonde diffracteacutee
Conditions de FraunhoferOn observe la diffraction agrave lrsquoinfini (crsquoest-agrave-dire agrave une distance tregravesgrande devant les dimensions de lrsquoobjet diffractant ou mieux au foyerobjet drsquoune lentille convergente)
Montage de la diffraction agrave lrsquoinfini
sourcedans le
plan focalobjet de ( )
S
L0
M
u
u0
lentille( )L0
lentille( )L
objetdiffractant
eacutecran( ) dans le planfocal image de ( )E
L
S
P
O
Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 117
5 Optique 117
Formulation pratique du principe drsquoHuygensndashFresnel
s(M t) = kS0ei(ωtminus 2π
λ[SOM])
intint
PisinΣt(P)ei
π
λnOPOPOP(uuuminusuuu0) dΣ
k constante de FraunhoherS0 amplitude de la vibration lumineuset(P) transparence de lrsquoobjet diffractantn indice du milieu (supposeacute homogegravene)λ longueur drsquoonde de la lumiegravere utiliseacutee
Diffraction par une ouverture rectangulaire
S
M XY( )
f
X
Y
ua
b
( )L0 ( )L
S
O
E(XY) = k2S20a2b2 sinc2
(πaX
λ f
)sinc2
(πbY
λ f
)
k constante de Fraunhofera longueur de la fenteb largeur de la fentef distance focale de la lentille utiliseacutee pour lrsquoobservationλ longueur drsquoonde de la lumiegravere utiliseacuteeOn suppose ici que t(P) = 1 en tout point de lrsquoouverture et que cettemecircme ouverture est plongeacutee dans un milieu drsquoindice uniforme 1
tache centrale
1 zeacuteroer
2 zeacuteroe
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Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 118
118 [2] Physique
Diffraction par un motif circulaire
La majoriteacute de la lumiegravere est dans un disque de rayon angulaire
θ = 0 61λ
r(tache drsquoAiry) ougrave θ est le rayon angulaire du premier an-
neau sombreCritegravere de seacuteparation de Rayleigh deux taches lumineuses sont seacutepa-reacutees si leur centres sont distincts de plus du rayon de la tache drsquoAiry
Diffraction par un objet opaque
On obtient la mecircme figure agrave lrsquoeacutecran que pour une ouverture de lamecircme forme si ce nrsquoest que le centre est tregraves brillant
6 Eacutelectromagneacutetisme
61 Eacutelectrostatique
Symeacutetries du champ eacutelectriqueLe champ EEE est symeacutetrique par rapport aux plans de symeacutetrie descharges et antisymeacutetrique par rapport aux plans drsquoantisymeacutetrie descharges
Champ et potentiel creacuteeacutes par une charge fixe
q
M
u
r
E(M)
V(M) =q
4πε0r
EEE(M) =q
4πε0r2uuu
EEE = minusgradV
q charge ponctuelle fixeε0 permeacuteabiliteacute du vider distance entre le point M et lachargeEEE(M) champ eacutelectrique en MV(M) potentiel eacutelectrique en M
Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 119
6 Eacutelectromagneacutetisme 119
Distribution discregravete ndash Distribution continueDistribution discregravete Distribution continue
EEE(M) = sumi
14πε0
qir2iuuui EEE(M) =
intintint 14πε0
ρ
r2uuu dτ
qi charge ponctuelle situeacutee en riε0 permittiviteacute du vide
ρ densiteacute de chargeε0 permittiviteacute du vide
Eacutequation de Poisson
∆V +ρ
ε0= 0
Eacutequation veacuterifieacutee par le potentieleacutelectrique en reacutegime permanentV potentiel eacutelectriqueρ densiteacute de chargeε0 permittiviteacute du vide
Theacuteoregraveme de Gauss
intcopyint
EEE(M)nnn dS =Qint
ε0
EEE(M) champ eacutelectrique au pointMnnn normale en M agrave la surfaceQint charges inteacuterieures agrave la sur-face fermeacuteeε0 permittiviteacute du vide
Theacuteoregraveme de Gauss pour la gravitation
intcopyint
GGG(M)nnn dS = minus4πGMint
GGG(M) champ de gravitation aupoint Mnnn normale en M agrave la surfaceMint masse inteacuterieure agrave la surfacefermeacuteeG constante universelle de gravi-tation
Champ eacutelectrique creacuteeacutes par un plan infini
EEE(M) = plusmn σ
2ε0uuuz
+ si z gt 0minus si z lt 0
EEE(M) champ eacutelectrique creacuteeacute en Mpar le planσ charge surfaciqueε0 permittiviteacute du videuuuz vecteur normal agrave la surface
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Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 120
120 [2] Physique
Condensateur plan
EEE = 0 agrave lrsquoexteacuterieur
EEE =σ
ε0uuuz agrave lrsquointeacuterieur
EEE champ eacutelectriqueσ charge surfaciqueε0 permittiviteacute du videOn deacutefinit la capaciteacute C ducondensateur
C =ε0S
e
S surface des armaturese distance entre les armatures
Dipocircle eacutelectrostatique
ppp = qNPNPNP
V(M) =p cos θ
4πε0r2=
ppp middotOMOMOM
4πε0OM3
EEE = minusgradV
q charge positiveN barycentre des charges neacutega-tivesP barycentre des charges posi-tivesppp moment dipolaireV(M) potentiel eacutelectrique du di-pocircleEEE champ eacutelectrique
q
N O P
u
r
E(M)
lignes de champeacutequipotentielles
Eacutenergie potentielle ndash Moment subi dans un champ exteacuterieur
Ep = minusppp middotEEEext(M)
M = ppp andEEEext(M)
Ep Eacutenergie potentielleM moment reacutesultant des forceseacutelectriquesppp moment dipolaireEEEext champ eacutelectrique auquel estsoumis le dipocircle
Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 121
6 Eacutelectromagneacutetisme 121
62 Magneacutetostatique
Symeacutetries du champ magneacutetiqueLe champs BBB est symeacutetrique par rapport aux plans drsquoantisymeacutetrie descourants et symeacutetrique par rapport aux plans drsquoantisymeacutetrie des cou-rants
Loi de Biot et Savart
dBdBdB(M) =micro0dCdCdC(P)
4πr2anduuuPM
dC
M
P
uPM
r
dCdCdC =
I dl pour un circuit filiformeqvvv pour une charge ponctuellejjj dτ pour un courant volumiquejjjS dS pour un courant surfacique
dBdBdB champ magneacutetique creacuteeacute parlrsquoeacuteleacutement de courant dCdCdCdCdCdC eacuteleacutement de courantmicro0 permeacuteabiliteacute du vider distance du point courant aupoint M
q charge ponctuellejjjS vecteur courant surfaciquejjj vecteur courant
Theacuteoregraveme drsquoAmpegravere
∮BBB(M) middotdldldl = micro0 Ienlaceacutee
BBB(M) champ magneacutetiquemicro0 permeacuteabiliteacute du videIenlaceacutee intensiteacute enlaceacutee par lacourbe fermeacutee drsquoAmpegraveredldldl choisi en accord avec lrsquoorienta-tion de lrsquointensiteacute
Champ magneacutetique creacuteeacute par une spire circulaire
BBB(M) =micro0 I
2Rsin3 αeeez
z
P
RM
B(M)
I
a
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Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 122
122 [2] Physique
Champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieur un soleacutenoiumlde infini
BBB = micro0nIeeez
BBB = micro0 jSeeez
BBB champ agrave lrsquointeacuterieur du soleacute-noiumlden nombre de spires par uniteacute delongueurI intensiteacute du courantjS courant surfaciqueeeez vecteur directeur sur lrsquoaxe dusoleacutenoiumlde orienteacute par le sens ducourantmicro0 permeacuteabiliteacute du vide
Moment magneacutetique drsquoune spire
mmm = ISnnn
mmm moment magneacutetique de laspireS surface de la spireI intensiteacute parcourant la spirennn normale agrave la spire dirigeacutee par lesens du courant
Eacutenergie potentielle ndash Moment magneacutetique
Ep = minusmmm middotBBB
M = mmm andBBB
Ep eacutenergie potentielle magneacute-tiquemmm moment de force exerceacute sur laspireBBB champ magneacutetique auquel estsoumis la spiremmm moment magneacutetique de laspire
Force de Laplace
dfdfdf = dCdCdC andBBBdfdfdf force eacuteleacutementairedCdCdC eacuteleacutement de courantBBB champ magneacutetique
Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 123
6 Eacutelectromagneacutetisme 123
63 Eacutequations de Maxwell dans le vide
Vecteur courant
jjj = npqvvv = ρvvv
jjjS = σ vvv
jjj vecteur courantjjjS vecteur de courant surfaciquevvv vitesse des porteurs de chargenp densiteacute particulaire de porteursq charge drsquoun porteurρ densiteacute volumique de chargeσ densiteacute surfacique de charge
Eacutequation de conservation de la charge
div j +partρ
partt= 0
jjj vecteur courantρ charge volumique
Eacutequations de Maxwell
div E =ρ
ε0
rot E = minus partBBBpartt
div B = 000
rot B = micro0jjj + micro0ε0partEEEpartt
Ces eacutequations portent les noms res-pectifs de ndash MaxwellndashGaussndash MaxwellndashFaradayndash sans nomndash MaxwellndashAmpegravere
Le terme ε0partEEEpartt
est appeleacute courant
de deacuteplacementEEEBBB champs eacutelectrique et magneacute-tiquejjj vecteur densiteacute de courantρ charge volumiqueε0 micro0 permittiviteacute et permeacuteabiliteacutedu vide
SuperpositionLes eacutequations de Maxwell sont lineacuteaires toute combinaison lineacuteairede solutions est encore une solution
Puissance des forces eacutelectromagneacutetiques
dP = jjjEEE dτ
dP puissance eacuteleacutementaire par uniteacutede volume dτjjj vecteur courantEEE champ eacutelectrique
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Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 124
124 [2] Physique
Densiteacute drsquoeacutenergie eacutelectromagneacutetique
Wem =ε0E
2
2+
B2
2micro0
Wem eacutenergie eacutelectromagneacutetiqueE champ eacutelectriqueB champ magneacutetiqueε0 permittiviteacute du videmicro0 permeacuteabiliteacute du vide
Vecteur de Poynting
ΠΠΠ =EEE andBBB
micro0
ΠΠΠ vecteur de PoyntingEEE champ eacutelectriqueBBB champ magneacutetiquemicro0 permeacuteabiliteacute du vide
Theacuteoregraveme de Poynting forme locale
minus partpartt
(ε0E
2
2+
B2
2micro0
)= jjjEEE + div
(EEE andBBB
micro0
)
La perte drsquoeacutenergie eacutelectromagneacutetique est due agrave lrsquoeffet Joule et au rayon-nement du vecteur de Poynting
Potentiel vecteur
BBB = rot A
AAA(M) =micro0
4π
int
circuit
i middotdldldlr
AAA potentiel vecteurBBB champ magneacutetiquei intensiteacute dans le circuit filiformer distance du point M au point cou-rant du circuitmicro0 permeacuteabiliteacute du vide
Expression geacuteneacuterale du champ eacutelectrique
EEE = minusgradV minus partAAApartt
EEE champ eacutelectriqueV potentiel eacutelectriqueAAA potentiel vecteur
Jauge de Lorentz
div A + micro0ε0partVpartt
= 0
AAA potentiel vecteurV potentiel eacutelectriqueε0 permittiviteacute du videmicro0 permeacuteabiliteacute du videCette jauge permet de fixer le poten-tiel V
Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 125
6 Eacutelectromagneacutetisme 125
Relations de passage
E2t = E1t
EEE2n minusEEE1n =σ
ε0nnn1rarr2
BBB2t minusBBB1t = micro0jjjS andnnn1rarr2
B2n = B1n
EEEin composante normale duchamp EEEiBBBit composante tangentielle duchamp BBBiσ charge surfaciquejjjS vecteur densiteacute de courant surfa-ciquennn1rarr2 normale agrave la surfaceε0 permittiviteacute du videmicro0 permeacuteabiliteacute du vide
64 Conduction meacutetallique
Loi drsquoOhm locale
jjj = γEEEjjj vecteur courantEEE champ eacutelectriqueγ conductiviteacute
Loi drsquoOhm globale
int B
AEEE middotdldldl = RAB middot I
EEE champ eacutelectriqueI intensiteacute circulant dans le circuit
R =ℓ
γS reacutesistance drsquoun circuit de
longueur ℓ et de section S
Proprieacuteteacutes locales des champs dans les meacutetaux1 ρ = 0 les charges sont surfaciques
2 f ≪ 1017Hz =rArr∥∥∥∥ε0
partEEEpartt
∥∥∥∥≪ jjjconduction3 En haute freacutequence les courants sont surfaciques (sur une eacutepaisseur
dite eacutepaisseur de peau δ =
radic2
micro0γω)c copy
Duno
dL
apho
tocopie
nonau
toriseacuteeestu
ndeacutelit
Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 126
126 [2] Physique
65 Induction dans un circuit fixe avec BBB variable
Force eacutelectromotrice
eAB =int B
A
(minus partAAA
parttmiddotdldldl)
eAB forceacute eacutelectromotriceAAA potentiel vecteur
Diffeacuterence de potentiel
V(B)minusV(A) = eAB minus RABi
eAB force eacutelectromotriceV(B) minus V(A) diffeacuterence de po-tentiel entre les points A et BRAB reacutesistance du circuit ABi intensiteacute du courant circulantdans le circuit
Flux de BBB agrave travers le circuit
Φ =intint
circuitBBB middotnnn dS
Φ flux de BBB agrave travers le circuitBBB champ magneacutetiquennn normale nnn au circuit compatibleavec le sens du courant
Loi de Faraday
ecircuit = minus partΦ
partt
Φ le flux de BBB agrave travers le circuitecircuit la force eacutelectromotrice ducircuit
Loi de LenzLes conseacutequences des pheacutenomegravenes drsquoinduction srsquoopposent toujoursaux causes qui leur ont donneacute naissance En terme de flux cela signifieque si le flux du champ magneacutetique varie lrsquoinduction va produire unchamp magneacutetique qui tendra agrave compenser cette variation de flux
Auto inductance drsquoun circuit
Φ = LiΦ flux de BBB agrave travers le circuitL coefficient drsquoauto inductancedu circuiti intensiteacute dans le circuit
Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 127
6 Eacutelectromagneacutetisme 127
Mutuelle inductance drsquoun circuit
Φ1rarr2 = Mi1
Φ2rarr1 = Mi2
Φirarr j flux du champ BBB induit parle circuit i agrave travers le circuit jik courant dans le circuit kM coefficient de mutuelle induc-tance
Flux total
Φ1 = Li1 + Mi2
Φ1 flux de BBB agrave travers le circuit 1L coefficient drsquoauto inductanceM coefficient de mutuelle induc-tanceik intensiteacute dans le circuit k
Eacutenergie magneacutetique
Wem =Li212
+ Mi1i2
Wem eacutenergie eacutelectromagneacutetiquestockeacutee dans le circuitL coefficient drsquoauto inductanceM coefficient de mutuelle induc-tanceik intensiteacute dans le circuit k
Proprieacuteteacutes du transformateur ideacuteal
1u2(t)
u1(t)=
N2
N1
2 Si le secondaire est en court-circuit alors∣∣∣∣i2i1
∣∣∣∣ =N1
N2
3 Le rapport de puissance du primaire au secondaire est de 100
4 On a Rvue du primaire =
(N1
N2
)2Rchargec copy
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Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 128
128 [2] Physique
66 Induction dans un circuit mobile soumis agrave BBB stationnaire
Changement de reacutefeacuterentiel
BBBprime = BBB
EEEprime = EEE︸︷︷︸minusgradV
+vvv andBBB
jjjsol = jjjcond
BBBprime champ magneacutetique dans le reacutefeacute-rentiel du conducteurBBB champ magneacutetique dans le reacutefeacute-rentiel du solEEEprime champ eacutelectrique dans le reacutefeacute-rentiel du conducteurEEE champ eacutelectrique dans le reacutefeacuteren-tiel du solvvv vitesse du conducteur par rap-port au soljjjsol vecteur densiteacute de courant dansle reacutefeacuterentiel lieacute au soljjjcond vecteur densiteacute de courantdans le reacutefeacuterentiel du conducteur
Champ eacutelectromoteur
EEEm = vvv andBBBEEEm champ eacutelectromoteurvvv vitesse du conducteurBBB champ magneacutetique
Force eacutelectromotrice
eAB =int B
A(vvv andBBB) middotdldldl
V(B)minusV(A) = eAB minus RABi
eAB force eacutelectromotrice du circuitRAB reacutesistance du circuiti intensiteacute du circuitvvv vitesse du conducteurBBB champ magneacutetiqueV(M) potentiel au point M
Loi de Faraday
e = minusdΦ
dte force eacutelectromotriceΦ flux de BBB agrave travers le circuit
Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 129
6 Eacutelectromagneacutetisme 129
67 Mateacuteriaux magneacutetiques
Aimantation
dmmm = MMMdτMMM aimantationmmm moment magneacutetique
Courants drsquoaimantation
jjjaimantation = rot M
jjjS aimantation = MMM andnnn
jjjaimantation vecteur courant drsquoai-mantationjjjS aimantation vecteur courant surfa-cique drsquoaimantationMMM aimantationnnn normale agrave la surface
Excitation magneacutetique
HHH =BBBmicro0minusMMM
BBB = micro0 (HHH +MMM)
HHH excitation magneacutetiqueBBB champ magneacutetiqueMMM aimantationmicro0 permeacuteabiliteacute du vide
Eacutequation de Maxwell ndash Ampegravere en ARQS
rot H = jjjconductionHHH excitation magneacutetiquejjjconduction vecteur courant deconduction
Aimantation des mateacuteriaux lineacuteaires
MMM = χmHHHMMM aimantationHHH excitation magneacutetiqueχm susceptibiliteacute magneacutetique
Diffeacuterentes cateacutegories de mateacuteriaux magneacutetiques
ndash diamagneacutetiques χm sim minus10minus5 lt 0ndash paramagneacutetiques χm sim 10minus4 gt 0ndash ceux pour lesquels χm ≪ 1 qui ne sont pas lineacuteaires
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Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 130
130 [2] Physique
Champ magneacutetique dans les mateacuteriaux lineacuteaires
BBB = micro0microrHHH
micror = 1 + χm
BBB champ magneacutetiqueHHH excitation magneacutetiquemicro0 permeacuteabiliteacute du videmicror permeacuteabiliteacute relativeχm susceptibiliteacute magneacutetique
Diamagneacutetiques
χm = minusnmicro0Ze2
6melt r2 gt
χm susceptibiliteacute magneacutetiquemicro0 permeacuteabiliteacute du viden densiteacute particulaireZ charge du noyaue charge eacuteleacutementaireme masse de lrsquoeacutelectronlt r2 gt distance moyenne de lrsquoeacutelec-tron au noyau
Paramagneacutetiques
χm =nmicro0m
2
3kT
χm susceptibiliteacute magneacutetiquen densiteacute particulairemicro0 permittiviteacute du videm moment magneacutetiquek constante de BoltzmannT tempeacuterature
Aimantation cycle drsquohysteacuteresis
M aimantationH excitation magneacutetiqueMr aimantation reacutemanenteHc champ coercitif
Dispositif de mesure de HHH et de BBB
RRC
e t( ) u2
u1
~
Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 131
7 Ondes 131
H(t) =N1
ℓRu1(t)
B(t) =RC
N2Su2(t)
H valeur de lrsquoexcitation magneacute-tiqueB valeur du champ magneacutetiqueN1 nombre de spires du primaireN2 nombre de spires du secondaireℓ longueur du toreS section du tore
7 Ondes
71 Oscillateurs coupleacutes
Couplage par un ressort
K km m
x1 x2
K mx1 = minusk(x1 minus x2)minus Kx1 (1)
mx2 = minusk(x2 minus x1)minus Kx2 (2)
ReacutesolutionDans ces cas simples on combine lineacuteairement les eacutequations (1) et (2)
s = (1) + (2)
d = (1)minus (2)
s + ω2s s = 0
d + ω2dd = 0
Modes propres
ωs =
radicK
mωd =
radic2k + K
m
Le systegraveme drsquooscillateurs coupleacutes vibre uniquement agraveωs si d = 0 crsquoest-agrave-dire si les oscillateurs sont lanceacutes en phaseLe systegraveme drsquooscillateurs coupleacutes vibre uniquement agraveωd si s = 0 crsquoest-agrave-dire si les oscillateurs sont lanceacutes en opposition de phase
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Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 132
132 [2] Physique
BattementsSi le couplage est fort et que lrsquoon eacutecarte un seul oscillateur de lrsquoeacutequi-libre on observe un pheacutenomegravene de battements
x
t
ReacutesonanceSi on force lrsquooscillateur agrave osciller on observera aux pulsations ωs et ωddes reacutesonances
x
wws wd
72 Eacutequation de drsquoAlembert - Ondes stationnaires
Eacutequation de drsquoAlembert
∆F =1c2
part2Fpartt2
F(rrr t) une grandeur physique quiveacuterifie lrsquoeacutequation de drsquoAlembertc vitesse de propagation de lrsquoonde∆ laplacien
Solutions de lrsquoeacutequation de drsquoAlembert agrave une dimension
F(x t) = f(tminus x
c
)+ g
(t +
x
c
) f partie onde progressive de la so-lutiong partie onde reacutegressive de la solu-tion
Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 133
7 Ondes 133
Onde stationnaire
F(rrr t) = f (r)g(t)Dans le cas drsquoune onde stationnaireil y a deacutecouplage entre le temps et lerepeacuterage spatial
Onde plane progressive harmonique (OPPH)
F = F0 cos (ωtminus kkk middotOMOMOM)
F = F0ei(ωtminuskkkmiddotOMOMOM)
kkk =ω
cuuu
Ces notations sont intrinsegraveques agravelrsquoOPPHF la grandeur physique qui deacutecritlrsquoondekkk vecteur drsquoonde donnant la direc-tion de propagationOMOMOM vecteur positionuuu vecteur unitaire selon la direc-tion de propagationω pulsation de lrsquoondec vitesse de propagation de lrsquoonde
Onde plane progressive harmonique notation complexe
partmiddotpartt
= iωmiddot
nablamiddot = minusikmiddot
Lorsqursquoon utilise la notationcomplexe les opeacuterateurs usuelsprennent des formes tregraves simples
Onde sur une file drsquoatomes ndash Onde sur une corde
part2ξn
partx2=
1c2
part2ξn
partt2
c =
radicka2
m
part2ypartx2
=1c2
part2ypartt2
c =
radicT0ρl
ξn le deacuteplacement du ne atomek constante de raideur des res-sortsa distance au repos entre deuxatomesm masse drsquoun atome
y ordonneacutee du pointT0 tension au repos de la cordeρl masse lineacuteique de la cordec copy
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Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 134
134 [2] Physique
73 Ondes eacutelectromagneacutetiques dans le vide
Eacutequations de propagation des champs
∆EEE =1c2
part2EEEpartt2
∆BBB =1c2
part2BBBpartt2
c =1radic
ε0micro0
EEE champ eacutelectriqueBBB champ magneacutetiquemicro0 permeacuteabiliteacute du videε0 permittiviteacute du vide
Vecteur drsquoonde drsquoune OPPH
kkk = kuuu
k =ω
c=
2πλ
kkk vecteur drsquoondeuuu vecteur unitaire directeurω pulsation de lrsquoondeλ longueur drsquoonde de lrsquoondec vitesse de propagation delrsquoonde
Champs transverses
div E = 0 = minusikkkEEE
div B = 0 = minusikkkBBB
kkk vecteur drsquoondeEEE champ eacutelectriqueBBB champ magneacutetiqueEEE et BBB sont orthogonaux agrave la di-rection de propagation
Relation de dispersion ndash Relation de structure
k =ω
cBBB =
kkkωandEEE
Repreacutesentation du champ eacutelectromagneacutetique dans le vide
z
E
B
x
y
Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 135
7 Ondes 135
Polarisation
ndash elliptique
EEE(z = 0 t) =
(E0x cosωtE0y cos(ωt + ϕ)
)x
y
EOy
Eox
Egauch
e
droi te
ndash circulaire
EEE(z = 0 t) =
(E0 cosωtE0 sinωt
)
ndash rectiligne
EEE(z = 0 t) =
(E0x cosωtE0y cosωt
)x
EOy
Eox
E
y
Lames agrave retard
Une lame 14 drsquoonde deacutephase deπ2ndash une onde polariseacutee rectilignementressort de ce type de lame polariseacuteeelliptiquementndash une onde polariseacutee elliptiquementressort de ce type de lame polariseacuteerectilignement
Une lame 12 drsquoonde deacutephase deπndash une onde polariseacutee ellipti-quement droite ressort elliptiquegauche de ce type de lamendash une onde polariseacutee rectiligne-ment ressort symeacutetrique par rap-port agrave son axe lent de ce type delamec copy
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Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 136
136 [2] Physique
Vecteur de Poynting
ΠΠΠ = EEE and BBBmicro0
=E2
micro0cuuu =
εB2
cuuu
ΠΠΠ = EEE and BBBlowast
micro0
ΠΠΠ vecteur de PoyntingEEE champ eacutelectriqueBBB champ magneacutetiquemicro0 permeacuteabiliteacute du vide
Rayonnement dipolaire
M
uq
ur
p
uj
q
jx
z
y
r
O
BBB =micro0 sin θ
4πrcp(tminus r
c
)uuuϕ
EEE =micro0 sin θ
4πrp(tminus r
c
)uuuθ
BBB champ magneacutetiqueEEE champ eacutelectriquep moment dipolairemicro0 permeacuteabiliteacute du videc vitesse de la lumiegravere dans levide
Puissance rayonneacutee en reacutegime sinusoiumldal
ltPgt=micro0p
20ω
4
12πc
p = p0 cos(ω0t + ϕ)
lt P gt puissance moyennerayonneacuteep moment dipolairec vitesse de la lumiegravere dans levidemicro0 permeacuteabiliteacute du vide
Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 137
7 Ondes 137
74 Dispersion ndash Absorption
Relation de dispersion
k(ω) = kprime(ω) + ikprimeprime(ω)
k(ω) vecteur drsquoondekprime(ω) partie reacuteelle du vecteurdrsquoondekprimeprime(ω) partie imaginaire du vecteurdrsquoondeω pulsation de lrsquoonde
Vitesse de phase ndash Vitesse de groupe
vϕ =ω
kprime
vg =partω
partkprime
vϕ vitesse de phasevg vitesse de groupeω pulsation de lrsquoondekprime partie reacuteelle du vecteur drsquoondevϕ est la vitesse de propagation delrsquoamplitude et vg est en geacuteneacuteral lavitesse de propagation de lrsquoeacutener-gie
Absorption
δ =1|kprimeprime|
δ profondeur caracteacuteristique delrsquoabsorptionkprimeprime partie imaginaire du vecteurdrsquoonde
Repreacutesentation du champ eacutelectromagneacutetique dans les meacutetaux
z
E
B
x
y
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Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 138
138 [2] Physique
75 Ondes eacutelectromagneacutetiques dans les milieux mateacuteriels
Polarisation
PPP =dpppdτ
ρp = minusdiv P
jjjp =partPPPpartt
ppp moment dipolairePPP polarisationρp charges dues agrave la polarisationjjjp vecteur courant de polarisation
Aimantation
MMM =dmmmdτ
jjja = rot M
mmm moment magneacutetiqueMMM aimantationjjja vecteur courant drsquoaimantation
Vecteurs HHH et DDD
HHH =BBBmicro0minusMMM
DDD = ε0EEE +PPP
HHH vecteur excitation magneacutetiqueBBB champ magneacutetiqueDDD vecteur DEEE champ eacutelectriqueMMM aimantationPPP polarisationmicro0 permeacuteabiliteacute du videε0 permittiviteacute du vide
Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 139
7 Ondes 139
Milieux lineacuteaires
PPP = χeEEE
DDD = εrε0EEE
εr = 1 + χe
MMM = χmHHH
BBB = micrormicro0HHH
micror = 1 + χm
HHH vecteur excitation magneacutetiqueBBB champ magneacutetiqueDDD vecteur DMMM aimantationPPP polarisationEEE champ eacutelectriquemicro0 permeacuteabiliteacute du videmicror permeacuteabiliteacute relativeε0 permittiviteacute du videεr permittiviteacute relativeχe susceptibiliteacute eacutelectrique du mi-lieuχm susceptibiliteacute magneacutetique dumilieu
Eacutequations de Maxwell dans les milieux
div D = ρlibre
rot E = minus partBBBpartt
div B = 0
rot H = jjj +partDDDpartt
DDD vecteur DEEE champ eacutelectriqueBBB champ magneacutetiquejjj vecteur courant vraiρlibre densiteacute de charges libres
Relation de dispersion ndash Indice
k2 = εrω2
c2
n =radic
εr
vϕ =c
n
k vecteur drsquoondeεr permittiviteacute relativeω pulsation de lrsquoondec vitesse de la lumiegravere dans le viden indice du milieu(En utilisant ici comme dans les cascourants lrsquoapproximation micror sim 1)c copy
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Chapitre 2 mformulairetex 2772008 2251Page 140
140 [2] Physique
Reacuteflexion ndash Transmission
r =n1 minus n2n1 + n2
t =2n1
n1 + n2
R = r2 =
(n1 minus n2n1 + n2
)2
T = t2 =
(2n1
n1 + n2
)2
R + T = 1
r coefficient de reacuteflexion en ampli-tudet coefficient de transmission en am-plitudeR coefficient de reacuteflexion eacutenergeacute-tiqueT coefficient de transmission eacutener-geacutetiquen1 indice du milieu de lrsquoonde inci-denten2 indice du milieu de lrsquoondetransmiseR + T = 1 traduit la conservationeacutenergeacutetique
Un changement de milieu donne naissance agrave ndash une onde progressive (onde transmise)ndash une onde reacutegressive (onde reacutefleacutechie)
Relation de continuiteacute sur la seacuteparation de deux dieacutelectriques
B2B2B2 = B1B1B1
EEE2 t = EEE1 t
εr 2EEE2 n = εr 1EEE1 n
(loi de SnellndashDescartes)
On indice par 1 les grandeurs dumilieu de lrsquoonde incidente et par 2les grandeurs du milieu de lrsquoondetransmiseLe champ magneacutetique comme lacomposante tangentielle du champeacutelectrique est continue agrave la surfacedrsquoun dieacutelectriqueLe comportement de la composantenormale du champ eacutelectrique estdeacutecrite par la loi de SnellndashDescartes
Chapitre 3 mformulairetex 2772008 2251Page 141
Chapitre 3Chimie
1 Atomistique
11 Spectroscopie
Spectroscopie
Lors drsquoune transition eacutelectroniqueune particule eacutemet un rayonne-ment deacutecrit par
∆E = hν
Relation de De Broglie
λ =hmv
h constante de Planckν freacutequence du rayonnementeacutemis par la particuleλ longueur drsquoonde du rayonne-ment eacutemis par la particulem masse de la particulev vitesse de la particule
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Chapitre 3 mformulairetex 2772008 2251Page 142
142 [3] Chimie
La relation de Ritz eacutetablit que
ν = RH middot c(
1n2minus 1
m2
)(nm) isin N2
ν freacutequence de rayonnementRH constante de Rydbergn nombre quantique principal duniveau eacutenergeacutetique final de la par-ticulem nombre quantique principaldu niveau eacutenergeacutetique initial de laparticulec vitesse de propagation de la lu-miegravere dans le videndash n = 1 correspond agrave la seacuterie deLyman (ultraviolet) ndash n = 2 corres-pond agrave la seacuterie de Balmer (visible)ndash n = 3 correspond agrave la seacuterie dePaschen (infrarouge)
E (eV)
0
-136
-339
Lyman
Balmer
Paschen-151
-085
n = yenn = 4
n = 3
n = 2
n = 1
12 Modegravele ondulatoire
Principe drsquoincertitude de Heisenberg
∆x middot∆px gth
2π
∆x incertitude sur la position∆px incertitude sur la quantiteacute demouvement selon lrsquoaxe des xm masse de lrsquoatome
En meacutecanique quantique on ne peut pas connaicirctre preacuteciseacutement agrave lafois la position et la vitesse
Eacutequation de Schroumldinger en reacutegime stationnaire
H Ψ = E Ψ
intintint
espaceΨ2 dτ = 1
Ψ(rrr) fonction drsquoonderrr vecteur positionE eacutenergie totale de lrsquoeacutelectronH opeacuterateur hamiltonien appli-queacute agrave Ψ
|Ψ2| dτ repreacutesente la probabiliteacutede preacutesence de lrsquoeacutelectron dansun volume dτ autour drsquoun pointM(rrr)
Chapitre 3 mformulairetex 2772008 2251Page 143
1 Atomistique 143
Eacutenergie de lrsquoatome drsquohydrogegravene
En =minus13 6n2
Lrsquoeacutenergie de lrsquoatome drsquohydrogegraveneest quantifieacutee (n nombre quan-tique principal)
En = minus13 6Z2
n2
Deacutecrit lrsquoeacutenergie de lrsquoatome hydro-geacutenoiumlde (qui ne comporte qursquounseul eacutelectron)
Nombres quantiques
Principal n isin Nlowast
Deacutecrit le niveau eacutenergeacutetique delrsquoatome
En = minus13 6Z2
n2
Secondaire 0 6 l 6 nminus 1l isin N
Quantifie le module du momentcineacutetique LLL de lrsquoatome
|σσσ| =radic
l(l + 1)h
(h = h2π hconstante de Planck)
Magneacutetique minusl 6 m 6 lm isin Z
Quantifie la projection dumomentcineacutetique LOz = mh
Spin ms = plusmn 12
13 Atome polyeacutelectronique
Charge nucleacuteaire effective
Zlowasti = Zminus σi
Zlowasti charge nucleacuteaire effectiveZ numeacutero atomiqueσ constante drsquoeacutecran de Slaterc copy
Duno
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Chapitre 3 mformulairetex 2772008 2251Page 144
144 [3] Chimie
Position de lrsquoeacutelectronσi
s et pσid
mecircme couche 0 035couche gt n 0 0couche nminus 1 085 1couches lt nminus 1 1 1
Eacutenergie
Ei = minus13 6Zlowast2i
n2
Zlowasti charge nucleacuteaire effectiveEi eacutenergie de lrsquoeacutelectronn nombre quantique principal
E = sumi
Ei Eacutenergie totale de la moleacutecule
Diagramme eacutenergeacutetique
E
K
L
M
N
1s2s
2p
3s
3p
3d4s
4p
niveauxeacutenergeacutetiques
Chapitre 3 mformulairetex 2772008 2251Page 145
1 Atomistique 145
Regravegles de remplissage des niveaux eacutelectroniques
Principe de stabiliteacute on remplitles orbitales atomiques par ordredrsquoeacutenergie croissante (regravegle de Kle-chkowsky)Principe de Pauli sur une mecircmeorbitale atomique les deux eacutelec-trons sont de spin opposeacutesPrincipe de Hund lorsque plu-sieurs orbitales atomiques sontde mecircme niveau eacutenergeacutetique leseacutelectrons occupent le maximumdrsquoorbitales atomiques
Regravegle de Klechkowsky
1 s2 s p3 s p d4 s p d f
Eacutenergie drsquoionisation
Crsquoest lrsquoeacutenergie de la reacuteaction drsquoar-rachement drsquoun eacutelectron drsquounemoleacutecule sous forme gazeuse
X(g) = X+(g) + eminus
Affiniteacute eacutelectronique
Crsquoest lrsquoeacutenergie libeacutereacutee par la reacuteac-tion de capture drsquoun eacutelectron parune moleacutecule sous forme gazeuse
X(g) + eminus = Xminus(g)
14 Architecture moleacuteculaire
Regravegle de lrsquooctetLes eacuteleacutements de la deuxiegraveme peacuteriode du tableau peacuteriodique peuventsrsquoentourer au maximum de huit eacutelectrons
Charge formelle
n = ni minus nen charge formelle de lrsquoatomeni nombre drsquoeacutelectrons de valence dans lrsquoatome isoleacutene nombre drsquoeacutelectrons de valence dans lrsquoatome lieacute
MeacutesomeacuterieCrsquoest lrsquoensemble des formules meacutesomegraveres qui modeacutelise la reacutealiteacute
O S O O S O O S O+ +ndashndash
c copyDuno
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Chapitre 3 mformulairetex 2772008 2251Page 146
146 [3] Chimie
Niveau de repreacutesentativiteacute des formules meacutesomegraveresLes formules meacutesomegraveres qui veacuterifient la regravegle de lrsquooctet qui sontneutres ou dont la charge neacutegative est porteacutee par lrsquoatome le plus eacutelec-troneacutegatif sont plus repreacutesentatives que les autres
VSEPR
On compte les doublets drsquoun atome A AXpEq ougrave p nombre drsquoatomes directement lieacutes agrave A (X)q nombre de doublets libres porteacutes par A (E)Ces n = p + q doublets tendent agrave srsquoeacuteloigner au maximum les uns desautres (Theacuteorie de Gillepsie)
n = 2 moleacutecule lineacuteaire n = 3 moleacutecule trigonale
n = 4 moleacutecule teacutetraeacutedrique n = 5 moleacutecule bipyramidale agravebase triangulaire
Chapitre 3 mformulairetex 2772008 2251Page 147
1 Atomistique 147
n = 6 moleacutecule octaeacutedrique
15 Orbitales moleacuteculaires
Combinaison lineacuteaire des orbitales atomiques
La combinaison lineacuteaire de deuxorbitales atomiques de mecircmeeacutenergie donne naissance agrave deuxorbitales moleacuteculaires lrsquouneliante et lrsquoautre antiliante
Indice de liaison
i =nminus nlowast
2
n nombre drsquoeacutelectrons de lrsquoorbitalemoleacuteculaire liantenlowast nombre drsquoeacutelectrons de lrsquoorbi-tale moleacuteculaire antiliante
Diagramme des orbitales moleacuteculaires
Diagrammemoleacuteculaire des moleacute-cules A2 de la deuxiegraveme ligne dutableau peacuteriodique agrave partir de O2inclus Pour les autres moleacuteculesπx et πy sont plus stables que σp
2p
OM antiliante
OA2 OA1
OM liante
pz
pz
px
px
py
py
c copyDuno
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toriseacuteeestu
ndeacutelit
Chapitre 3 mformulairetex 2772008 2251Page 148
148 [3] Chimie
2 Cineacutetique
Avancement de la reacuteaction
dξ =dniνi
ξ avancement de la reacuteactionνi nombre stœchiomeacutetrique algeacute-brique (νi gt 0 pour un produit etνi lt 0 pour un reacuteactif)ni quantiteacute de matiegravere eacutechangeacutee
Quantiteacute de matiegravere en cours de reacuteaction
ni = ni0 + νiξ
ni quantiteacute de matiegravere agrave la date tni0 quantiteacute de matiegravere initialeνi nombre stœchimeacutetrique algeacute-briqueξ avancement
Vitesse de reacuteaction
r =1νi
dcidt
=1V
dξ
dt
r vitesse de la reacuteactionνi nombre stœchiomeacutetrique algeacute-briqueci concentrationξ avancementV volume du reacuteacteur
Ordre drsquoune reacuteaction
ν1A1 + ν2A2 rarr νprime1Aprime1 + νprime2A
prime2
v = k[A1]p1 [A2]
p2
k constante de vitesse de la reacuteac-tion[Ai] concentration de lrsquoespegravece Aipi ordre partiel en Ai
sumi
pi = p ordre global de la reacuteac-
tion
Chapitre 3 mformulairetex 2772008 2251Page 149
2 Cineacutetique 149
Deacutegeacuteneacuterescence de lrsquoordre
Si [A2]0 ≫ [A1]0 alors v =kprime[A1]
p1
kprime = k[A2]p20 constante de vitesse
apparente de la reacuteactionp1 ordre apparent de la reacuteaction
Loi de Vanrsquot HoffLorsque la reacuteaction est un processus eacuteleacutementaire les ordres partiels seconfondent avec les coefficients stœchiomeacutetriques et lrsquoordre total agrave lamoleacuteculariteacute
Loi drsquoArrheacutenius
dln k
dT=
Ea
RT2
k constante de vitesseEa eacutenergie drsquoactivationR constante des gaz parfaitsT tempeacuterature
Loi de vitesse drsquoune reacuteaction drsquoordre 1
c = c0eminuskt c concentration de lrsquoespegravece
c0 concentration initialek constante de vitesse
t12 =ln 2αk
Le temps de demi-reacuteaction estindeacutependant de c0 (α eacutetant lenombre stœchiomeacutetrique du reacuteac-tif limitant)
AEQS theacuteoregraveme de Bodenstein
d[A]
dt= 0
Conditions drsquoapplication de lrsquoAp-proximation des Eacutetats Quasi Sta-tionnaires ndash [A] tregraves faiblendash A espegravece tregraves reacuteactive (intermeacute-diaire reacuteactionnel)
Longueur de chaicircne
l =vitesse de disparition reacuteactif
vitesse drsquoinitiation
c copyDuno
dL
apho
tocopie
nonau
toriseacuteeestu
ndeacutelit
Chapitre 3 mformulairetex 2772008 2251Page 150
150 [3] Chimie
3 Cristallographie
31 Geacuteneacuteraliteacutes
Deacutefinitions
Reacuteseau disposition spatiale desnoeuds
Motif description des entiteacutes quioccupent ces noeuds
Compaciteacute Rapport entre le vo-lume de lamaille et le volume reacuteel-lement occupeacute par les entiteacutes de lamaille
Coordinence nombre drsquoentiteacutes encontact avec une autre entiteacute
Une maille est entiegraverement deacutecritepar son reacuteseau et son motif
32 Mailles et sites dans les cristaux meacutetalliques
Maille hexagonale compacte
Coordinence 12Compaciteacute 0 742 atomes par maille
Maille cubique agrave faces centreacutees
Coordinence 12Compaciteacute 0 744 atomes par maille
Chapitre 3 mformulairetex 2772008 2251Page 151
3 Cristallographie 151
Maille cubique centreacutee
Coordinence 8Compaciteacute 0 682 atomes par maille
Sites octaeacutedriques
Dimension rO = (radic2minus 1)r
ndash Au centre et au milieu de chaquearrecircte du la maille cubique face cen-treacutee (4 sites par maille)
ndash Agravec
4et
3c4
dans la maille hexago-
nale compacte (2 sites par maille)
Sites teacutetraeacutedriques
Dimension rT = (
radic32minus 1)r
ndash Au centre de huit petits cubes
drsquoarrecirctea
2dans la maille cubique
face centreacutee (8 sites par maille)
ndash Agravec
8et
7c8
sur chaque cocircteacute vertical
dans lrsquohexagonale compacte (4 sitespar maille)
c copyDuno
dL
apho
tocopie
nonau
toriseacuteeestu
ndeacutelit
Chapitre 3 mformulairetex 2772008 2251Page 152
152 [3] Chimie
33 Cristaux ioniques
Chlorure de ceacutesium (CsCl)
Les ions Clminus forment un reacuteseau cu-bique (1 atome par maille)Les ions Cs+ sont aux centres de cescubes (1 atome par maille)Coordination [8-8]Structure adopteacutee si radic
3minus 1 6r+rminus
lt 1
Cl-
Cs+
Chlorure de sodium (NaCl)
Les ions Clminus forment un reacuteseau cu-bique faces centreacutees (4 atomes parmaille)Les ions Na+ occupent les sites oc-taeacutedriques de ce reacuteseau (4 atomespar maille)Coordination [6-6]Structure adopteacutee si radic
2minus 1 6r+rminus
ltradic3minus 1
Cl-
Na+
Blende (ZnS)
Les ions Zn2+ forment un reacuteseaucubique faces centreacutees (4 atomes parmaille)Les ions S2minus occupent un site teacutetra-eacutedrique sur deux dans le reacuteseau preacute-ceacutedent (4 atomes par maille)Coordination [4-4]Structure adopteacutee si
0 6r+rminus
ltradic2minus 1
Chapitre 3 mformulairetex 2772008 2251Page 153
4 Thermodynamique 153
4 Thermodynamique
La thermodynamique a deacutejagrave eacuteteacute abordeacutee au cours du chapitre de physiqueIl est conseilleacute de se reporter agrave cette section les notions preacutealablement trai-teacutees nrsquoeacutetant pas agrave nouveau abordeacutees ici
41 Fonctions drsquoeacutetat
Deacutefinition
Xi =
(partXpartni
)
Tpn j 6=ni
X fonction drsquoeacutetat extensiveXi grandeur molaire partielle re-lative au composeacute Aini quantiteacute de matiegravere du consti-tuant Ai
Relation de GibbsndashDuhem
sumi
ni dXi Tp = 0
ni quantiteacute de matiegravere du consti-tuant AidXi Tp grandeur standard de reacute-action concernant le constituant Aiagrave T et p constantes
Grandeurs de reacuteaction associeacutees aux fonctions drsquoeacutetat
∆rX = sumi
νiXi =
(partXpartξ
)
Tp
∆rX grandeur de reacuteactionνi nombre stœchiomeacutetrique rela-tif au composeacute AiXi grandeur molaire partielle re-lative au corps Ai
Relation de GibbsndashHelmoltz
partpartT
(∆rG
T
)= minus∆rH
T2
∆rG enthalpie libre de reacuteaction∆rH enthalpie de reacuteactionT tempeacuterature
c copyDuno
dL
apho
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ndeacutelit
Chapitre 3 mformulairetex 2772008 2251Page 154
154 [3] Chimie
42 Potentiel chimique
Deacutefinition
microi =
(partGpartni
)
Tpn j 6=ni
microi =
(partUpartni
)
VSn j 6=ni
microi =
(partHpartni
)
pSn j 6=ni
microi =
(partFpartni
)
VTn j 6=ni
microi potentiel chimique du com-poseacute AiUH FG eacutenergie interne enthal-pie eacutenergie libre enthalpie libreT pV tempeacuterature pression vo-lumeni quantiteacute de matiegravere du com-poseacute Ai
Condition drsquoeacutequilibre physique
microϕ1 = microϕ2
Le potentiel chimique du corps purdans les deux phases est le mecircmemicroϕi potentiel chimique du corpspur dans la phase i
Eacutevolution vers un eacutetat drsquoeacutequilibre
Srsquoil nrsquoest pas agrave lrsquoeacutequilibre le corps pur passe irreacuteversiblement de laphase de plus haut potentiel chimique vers la phase de plus bas po-tentiel chimique et ce jusqursquoagrave lrsquoobtention de lrsquoeacutegaliteacute preacuteceacutedente
Potentiel drsquoun gaz
microi(g) = micro0i(g) + RT ln
pip0
microi(g) potentiel chimique du gazAi
micro0i(g)
potentiel chimique standard
du gaz Ai (agrave la pression p0)R constante des gaz parfaitsT tempeacuteraturepi pression partielle du gaz Ai
p0 pression standard (1 bar = 105Pa)
Chapitre 3 mformulairetex 2772008 2251Page 155
4 Thermodynamique 155
Potentiel drsquoun soluteacute
microi(s) = micro0i(s) + RT ln
cic0
R constante des gaz parfaitsT tempeacuteratureci concentration du composeacute Ai
c0 concentration standard(1 mol middot Lminus1)
43 Grandeurs standards de reacuteaction
Enthalpie standard de reacuteaction
∆rH0 = sum
i
νiH0i
∆rH0 enthalpie standard de reacuteac-
tionνi nombre stœchiomeacutetrique ducomposeacute Ai
H0i enthalpie standard molaire de
Ai pris dans son eacutetat standard
Entropie standard de reacuteaction
∆rS0 = sum
i
νiS0i
∆rS0 entropie standard de reacuteac-
tionνi nombre stœchiomeacutetrique ducomposeacute Ai
S0i entropie standard molaire deAi pris dans son eacutetat standard
Enthalpie libre standard de reacuteaction
∆rG0 = sum
i
νiG0i
∆rG0 enthalpie libre standard de
reacuteactionνi nombre stœchiomeacutetrique ducomposeacute Ai
G0i enthalpie libre standard mo-
laire de Ai pris dans son eacutetat stan-dard
c copyDuno
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ndeacutelit
Chapitre 3 mformulairetex 2772008 2251Page 156
156 [3] Chimie
Relation entre grandeurs de reacuteaction
∆rG0 = ∆rH
0 minus T∆rS0
∆rS0 entropie standard de reacuteac-
tion∆rH
0 enthalpie standard de reacuteac-tion∆rG
0 enthalpie libre standard dereacuteactionT tempeacuterature
Premiegravere loi de Kirchhoff
d∆rH0
dT= ∆rC
0p = sum
i
νiC0pi
∆rH0 enthalpie standard de reacuteac-
tionC0pi capaciteacute thermique mo-
laire du constituant Ai agrave pressionconstanteνi nombre stœchimeacutetrique ducomposeacute AiT tempeacuterature
Deuxiegraveme loi de Kirchhoff
d∆rS0
dT=
∆rC0p
T= sum
i
νiC0pi
T
∆rS0 entropie standard de reacuteac-
tionC0pi capaciteacute thermique mo-
laire du constituant Ai agrave pressionconstanteνi nombre stœchimeacutetrique ducomposeacute AiT tempeacuterature
Relations de GibbsndashHelmoltz
∆rS0 = minusd∆rG
0
dT
∆rH0 = minusT2 d
dT
(∆rG
0
T
)
∆rS0 entropie standard de reacuteac-
tion∆rH
0 enthalpie standard de reacuteac-tion∆rG
0 enthalpie libre standard dereacuteactionT tempeacuterature
Chapitre 3 mformulairetex 2772008 2251Page 157
4 Thermodynamique 157
Relation de Hess
∆rH0 = sum
i
νi∆ fH0i
∆rG0 = sum
i
νi∆ fG0i
∆rH0 enthalpie standard de reacuteac-
tion∆rG
0 enthalpie libre standard dereacuteaction∆fH
0 enthalpie standard de for-mation du composeacute Ai (nulle pourles corps purs)∆fG
0 enthalpie libre standard deformation du composeacute Ai
Cycle de BornndashHaberCrsquoest un cycle thermodynamique qui permet de calculer avec la loide Hess lrsquoenthalpie de standard de reacuteaction en deacutecomposant les reacuteac-tifs en atomes et en recomposant ces mecircmes atomes pour former lesproduits
44 Eacutequilibres chimiques
Deacutefinition de lrsquoaffiniteacute chimique
A = minussumi
νimicroi = minus∆rG
A affiniteacute chimique∆rG
0 enthalpie libre standard dereacuteactionνi nombre stœchiomeacutetrique ducomposeacute Aimicroi potentiel chimique du com-poseacute Ai
Expression de lrsquoaffiniteacute
A = A0 minus RT ln
(
prodi
aνi
i
)
A affiniteacute chimiqueA0 affiniteacute chimique standardai activiteacute du composeacute Aiνi nombre stœchimeacutetrique ducomposeacute AiR constante des gaz parfaitsT tempeacuterature
c copyDuno
dL
apho
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Chapitre 3 mformulairetex 2772008 2251Page 158
158 [3] Chimie
Condition drsquoeacutequilibre
A = 0
Dans ce cas
A0 = RT lnK0 = RT ln
(
prodi
aνi
i
)
K0 est la constante drsquoeacutequilibre dela reacuteaction
Sens drsquoeacutevolution
A middot dξ gt 0
Si A gt 0 dξ gt 0 il y a eacutevolution
dans le sens 1minusrarrSi A lt 0 dξ lt 0 il y a eacutevolution
dans le sens 2larrminusConstante drsquoeacutequilibre
K0(T) = prodi
aνi
i eacutequilibre
K0(T) constante drsquoeacutequilibre de lareacuteaction qui ne deacutepend que de latempeacuteratureai eacutequilibre coefficient drsquoactiviteacute ducomposeacute Ai agrave lrsquoeacutequilibreνi nombre stœchiomeacutetrique ducomposeacute Ai
Tempeacuterature drsquoinversion
∆rG0(Ti) = 0
K0(Ti) = 1
Agrave cette tempeacuterature la reacuteaction
preacutepondeacuterante passe du sens 1minusrarrau sens 2larrminus
Effet de la tempeacuterature loi de Vanrsquot Hoff
dlnK0
dT=
∆rH0
RT2
K0 constante drsquoeacutequilibre de la reacute-action∆rH
0 enthalpie standard de la reacute-actionR constante des gaz parfaitsT tempeacuterature
Une augmentation de la tempeacuterature deacuteplace la reacuteaction dans le sensendothermique
Chapitre 3 mformulairetex 2772008 2251Page 159
4 Thermodynamique 159
Effet de la pression loi de Le ChacirctelierUne augmentation de la pression deacuteplace lrsquoeacutequilibre dans le sens dediminution de la quantiteacute de matiegravere de gaz (∆νgaz lt 0)
Introduction drsquoun constituant actif
dA = RT(
∆νgaz minusνi
xi
)dnin
dA variation de lrsquoaffiniteacuteνi nombre stœchimeacutetrique ducomposeacute Aixi titre molaire du composeacute Ain quantiteacute de matiegravere totaledni variation de quantiteacute de ma-tiegravere du composeacute Ai
Ajout drsquoun constituant inactif
dA = RT∆νgazdnn
dA variation de lrsquoaffiniteacuten quantiteacute de matiegraveredn variation de quantiteacute de ma-tiegravere du constituant introduit
Variance ndash Regravegle des phases de Gibbs
v = c + 2minusϕ
c = nminus kminus r
v variancec nombre de constituants indeacute-pendantsϕ nombre de phasesn nombre de constituantsk nombre de relations entre lesconstituantsr relation particuliegraveres (imposeacuteespar le manipulateur)
c copyDuno
dL
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toriseacuteeestu
ndeacutelit
Chapitre 3 mformulairetex 2772008 2251Page 160
160 [3] Chimie
45 Eacutequilibres liquidendashvapeur
Loi de Raoult
pi = plowasti xli
pi pression partielle du composeacuteAiplowasti pression saturante du com-poseacute Ai
xli titre molaire de Ai liquide
Loi de Henry
pi = kxli
pi pression partielle du composeacuteAik 6= plowasti constante de Henryxli titre molaire de Ai liquide
Solution ideacuteale deacutefinitionUne solution est dite ideacuteale si toutes les interactions entre les espegravecesqui la composent sont identiques interactions A1ndashA1A2ndashA2 et A1ndashA2
Diagramme binaire drsquoune solution ideacuteale
p2
p1
p
vapeur
liquide
courbe drsquoeacutebullition
courbe de roseacuteeliquide + vapeur
x2
Eacutequations des courbes
Courbe drsquoeacutebullition
p = plowast1 + (plowast2 minus plowast1)xl2
Courbe de roseacutee
p =plowast1plowast2
plowast2 minus (plowast2 minus plowast1)xv2
Chapitre 3 mformulairetex 2772008 2251Page 161
4 Thermodynamique 161
Diagrammes isothermes
p2
p
p1
vapeur
liquide
liquide + vapeur
x2
Fuseau simple
p2
p
p1 vapeur
liquide
liquide
+ vap
eur
x2
Azeacuteotrope positif
p2
p
p1
vapeur
liquideliquide + vapeur
x2
Azeacuteotrope neacutegatif
Lrsquoazeacuteotrope est la manifestation delrsquoeacutecart de la solution par rapport agravela solution ideacuteale
Diagrammes isobares
T2
T
T1
vapeur
liquide
liquide + vapeur
x2
Fuseau simple
T2
T
T1vapeur
liquide
liquide + vapeur
x2
Azeacuteotrope positifc copyDuno
dL
apho
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toriseacuteeestu
ndeacutelit
Chapitre 3 mformulairetex 2772008 2251Page 162
162 [3] Chimie
T2
T
T1
vapeur
liquide
liquide
+ vap
eur
x2
Azeacuteotrope neacutegatif
Agrave pression constante unazeacuteotrope bout agrave tempeacuteratureconstante et donne une vapeur demecircme composition
Analyse thermique
T2
N
M
T
T1
x2
T2
TM
TN
T
t
M
N
T2
T
T1
x2
TM
TN
T
t
Chapitre 3 mformulairetex 2772008 2251Page 163
4 Thermodynamique 163
Theacuteoregraveme des moments
T2
LS
M
T
T1
liquide
solide
sol i dus
liquidusliquide + solide
x2x2x2
l
x2
s
nlML + nvMV = 0
nl quantiteacute de matiegravere de liquidenv quantiteacute de matiegravere de vapeurML distance algeacutebrique de M agrave lacourbe drsquoeacutebullitionMV distance algeacutebrique de M agravela courbe de roseacutee
46 Reacuteactions drsquooxydoreacuteduction
Couple redox
α ox + n eminusreacuteduction
oxydation
β red
Nombre drsquooxydation ndash DeacutefinitionCrsquoest le nombre drsquoeacutelectrons laquo perdus raquo par rapport agrave lrsquoatome neutre
Nombre drsquooxydations ndash Regravegles de deacutetermination
ndash atome isoleacute neutre no 0 ndash ion simple le nombre drsquooxyda-tions est la charge de lrsquoion ndash moleacutecule ou ion complexe
ndash entre deux atomes du mecircmeeacuteleacutement on attribue agrave chacun lrsquoundes eacutelectrons du doublet de liai-son
ndash entre deux atomes diffeacuterentson attribue les eacutelectrons de liaisonau plus eacutelectroneacutegatif
Dans tous les cas sum no = q avecq la charge de lrsquoeacutedifice atomique
Oxydant ndash Reacuteducteur
Un oxydant est une espegravece dontle nombre drsquooxydation peut dimi-nuer
Un reacuteducteur est une espegravece dontle nombre drsquooxydation peut aug-menter
c copyDuno
dL
apho
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toriseacuteeestu
ndeacutelit
Chapitre 3 mformulairetex 2772008 2251Page 164
164 [3] Chimie
Eacutequilibrage drsquoune eacutequation redoxPour eacutequilibrer une eacutequation on procegravede en
1 deacuteterminant le nombre drsquoeacutelectrons eacutechangeacutes avec le nombre drsquooxy-dations
2 effectuant un bilan des charges et en assurant lrsquoeacutelectroneutraliteacute avecH+ et lrsquoeacutequilibre en atomes drsquooxygegravene avec H2O
3 effectuant un bilan de matiegravere
Eacutelectrode agrave hydrogegravene
Crsquoest lrsquoeacutelectrode de reacutefeacuterencepour les mesures de poten-tiels redox (agrave toute tempeacuteratureE0(H+H2) = 0 000 V) Cetteeacutelectrode est fictive
H sous 1 bar2
Pt
pH = 0
Formule de Nernst
E = E0 +RTnF ln
aαox
aβred
aox activiteacute de lrsquooxydantared activiteacute du reacuteducteurAvec ndash a = 1 pour tout solide ou un li-quide pur dans la phase
ndash a =c
c0pour un soluteacute
ndash a =pip0
la pression partielle pour
un gaz (dans le cas des solutionsdilueacutees)E potentiel de lrsquoeacutelectrodeE0 potentiel standard du coupleredoxn nombre drsquoeacutelectrons eacutechangeacutesF = N middot e nombre de FaradayR constante des gaz parfaitsT tempeacuterature
Chapitre 3 mformulairetex 2772008 2251Page 165
5 Mateacuteriaux meacutetalliques 165
Formule de Nernst forme usuelle
E = E0 +0 06n
logaαox
aβred
Agrave 25˚CRTF ln 10
= 0 06
Reacuteactions aux eacutelectrodes drsquoune pile
La reacuteduction se produit agrave la ca-thodeLrsquooxydation se produit agrave lrsquoanode
On symbolise une pile par
ox1 red1︸ ︷︷ ︸pocircle neacutegatif
ox2 red2︸ ︷︷ ︸pocircle positif
Force eacutelectromotrice drsquoune pile
E = E2 minus E1
E force eacutelectromotrice (feacutem) de lapileE1 potentiel du couple consti-tuant lrsquoanodeE2 potentiel du couple consti-tuant la cathode
5 Mateacuteriaux meacutetalliques
51 Diagrammes drsquoEllingham
PrincipeOn eacutetudie la formation des oxydesrameneacutee agrave une mecircme quantiteacutede dioxygegravene reacuteaction qui srsquoeacutecritsous la forme geacuteneacuterale
α red +12O2 β ox
On trace la courbe
∆rG0 = ∆rH
0 minus T∆rS0
Approximation drsquoEllingham
Pour construire ces diagrammes on considegravere que ∆rG0 ∆rH
0 et ∆rS0
sont indeacutependants de la tempeacuterature Cette approximation est appeleacuteeapproximation drsquoEllingham
c copyDuno
dL
apho
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toriseacuteeestu
ndeacutelit
Chapitre 3 mformulairetex 2772008 2251Page 166
166 [3] Chimie
Allure du diagramme
DrG ( )0
T
0 T
TF TE
changement de pente marquantun changement drsquoeacutetat
oxyde
meacutetal
Affiniteacute du systegraveme
A =12RT ln
p
pe
A affiniteacute chimiquep pression du reacuteacteurpe pression drsquoeacutequilibre agrave une tem-peacuterature donneacuteeT tempeacuteratureR constante des gaz parfaits
Corrosion drsquoun meacutetalUn meacutetal est oxydeacute par un oxyde dont la droite drsquoEllingham se situeau-dessus de sa propre droite
52 Diagrammes potentiel-pH
ConventionsConvention 1 sur le domaine frontiegravere les concentrations des deuxespegraveces sont eacutegales agrave une concentration arbitrairement choisieConvention 2 on fixe la concentration totale en un eacuteleacutement donneacute Surle domaine frontiegravere les concentrations sont reacuteparties eacutequitablement
Construction du diagramme potentielndashpH
1 On deacutetermine le degreacute drsquooxydation des espegraveces mises en jeu2 On calcule le pH frontiegravere pour les espegraveces de mecircme degreacute drsquooxy-dation3 On calcule avec la formule de Nernst lrsquoeacutequation des droites seacuteparantles domaines des espegraveces de degreacute drsquooxydation distincts
Les droites verticales marquent des reacuteactions acido-basiquesLes droites horizontales marquent des reacuteactions redox
Chapitre 3 mformulairetex 2772008 2251Page 167
5 Mateacuteriaux meacutetalliques 167
Deacutefinition du pH
pH = minus log(
[H3O+]
c0
)La relation ci-contre nrsquoest valableqursquoen milieux dilueacutes[H3O+] concentration en ionsH3O+ dans le milieuc0 concentration standard(1 mol middot Lminus1)
Produit ionique de lrsquoeau
Ke =[H3O+] middot [OHminus]
(c0)2= 10minus14
pKe = minus log Ke = 14
Ke produit ionique de lrsquoeau[H3O+] concentration en ionsH3O+ dans le milieu[OHminus] concentration en ionsOHminus dans le milieuc0 concentration standard
Constante drsquoaciditeacute drsquoun couple acidobasique
HA + H2O Aminus + H3O+
Ka =[H3O+] middot [Aminus]
[HA] middot c0
pKa = minus log Ka
Ka constante drsquoaciditeacute du coupleacidobasique (ne deacutepend que de latempeacuterature)[H3O+] concentration en ionsH3O+ dans le milieu[HA] concentration de lrsquoespegraveceacide dans le milieu[Aminus] concentration de lrsquoespegravecebasique dans le milieuc0 concentration standard
c copyDuno
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Chapitre 3 mformulairetex 2772008 2251Page 168
168 [3] Chimie
Principaux diagrammes potentiels ndash pH
E
0 1
01
pH
Fe3 +
Fe2 +
Fes
Zns
Zn2 +
Zn(OH)s
Zn(OH)4
2 -
Fe(OH)2
Fe(OH)3
Cu O2
Cu(OH)2
Cu2 +
Cus
Diagramme potentiel ndash pH de lrsquoeau
Le couple H2 H2O est repreacutesenteacute par une droite de pente minus0 06 etdrsquoordonneacutee agrave lrsquoorigine 0 00 V
Le couple H2O OHminus est repreacutesenteacute par une droite de pente minus0 06et drsquoordonneacutee agrave lrsquoorigine 1 23 V
53 Courbes intensiteacutendashpotentiel
Tension minimale agrave appliquer
U gt∆rG
2F
U tension appliqueacutee∆rG enthalpie libre de la reacuteactionF nombre de Faraday
Chapitre 3 mformulairetex 2772008 2251Page 169
5 Mateacuteriaux meacutetalliques 169
Intensiteacute du courant ndash Vitesse de reacuteaction
i = nFdξ
dt
v =1V
dξ
dt
i intensiteacute du courantn nombre drsquoeacutelectrons eacutechangeacutesau cours de la reacuteactionF nombre de Faradayξ avancement de la reacuteactionV volume de solution eacutelectrolyteLa vitesse de reacuteaction et lrsquointen-siteacute sont proportionnelles
Montage expeacuterimental
Egeacuteneacuterateur
microampegraveremegravetre(galvanomegravetre)
eacutelectrodes de travail
eacutelectrodede reacutefeacuterence
millivoltmegravetre
mAmV
Systegraveme lent ndash Systegraveme rapide
Systegraveme rapideSystegraveme lent (existence de surten-sions ηA et ηC respectivement ano-diques et cathodiques)
i
v
i
vhAhC
c copyDuno
dL
apho
tocopie
nonau
toriseacuteeestu
ndeacutelit
Chapitre 3 mformulairetex 2772008 2251Page 170
170 [3] Chimie
Courant limite de diffusion
i
i lim
v
Le pheacutenomegravene de diffusion limitela vitesse de deacuteplacement des eacutelec-trons il existe donc un courant li-mite
Tension agrave appliquer
U = EA minus EC︸ ︷︷ ︸thermodynamique
+ ηA minus ηC︸ ︷︷ ︸cineacutetique
+ri
U tension agrave appliquerEA potentiel du couple delrsquoanodeEC potentiel du couple de la ca-thodeηA surtension anodiqueηC surtension cathodiquer reacutesistance interne de lrsquoeacutelectro-lytei intensiteacute du courant
54 Corrosion
Reacuteaction de corrosion
M + ox minusrarr Mn+ + red
M meacutetal qui va ecirctre corrodeacuteox un meilleur oxydant que lemeacutetalMn+ cation associeacute au meacutetal dansun couple redoxred reacuteducteur associeacute agrave lrsquooxydantox
Corrosion avec des eacutelectrodes diffeacuterentes
Quand les eacutelectrodes sont diffeacuterentes crsquoest le meacutetal qui a le plus petitpotentiel redox qui se corrode
Chapitre 3 mformulairetex 2772008 2251Page 171
5 Mateacuteriaux meacutetalliques 171
Corrosion avec des eacutelectrodes identiquesDans le cas drsquoune pile de concen-tration crsquoest le meacutetal qui plongedans la solution la plus dilueacutee quise corrode
Crsquoest le meacutetal qui plonge dans lasolution la moins aeacutereacutee qui se cor-rode
Domaines de corrosion drsquoimmuniteacute et de passivationndash On appelle domaine de corrosion le(s) domaine(s) drsquoun diagrammeEndashpH ougrave le meacutetal se retrouve sous forme drsquoionsndash On appelle domaine drsquoimmuniteacute le domaine drsquoun diagramme EndashpHougrave le meacutetal est stable (il nrsquoest pas corrodeacute)ndash On appelle domaine de passivation le domaine drsquoun diagramme EndashpH ougrave le meacutetal se retrouve sous forme de preacutecipiteacute qui est susceptiblede former une couche protectrice agrave la surface du meacutetal
c copyDuno
dL
apho
tocopie
nonau
toriseacuteeestu
ndeacutelit
Chapitre 3 mformulairetex 2772008 2251Page 172
Annexe A mformulairetex 2772008 2251Page 173
Annexe APrimitives usuelles
Primitive Intervalleint dtt
= ln |t|+ k Rlowastint
cos t dt = sin t + k Rint dt
cos2 t= tan t + k R
π
2+ kπ
k isin Z
int dtcos t
= ln∣∣∣∣tan
(t
2+
π
4
)∣∣∣∣+ k R π
2+ kπ
k isin Z
inttan t dt = minus ln | cos t|+ k R
π
2+ kπ
k isin Z
intch t dt = sh t + k R
int dt
ch2 t= th t + k R
int dtch t
= 2Arctan et + k R
intth t dt = ln ch t + k R
intemt dt =
1memt + k (m isin Clowast) R
inttα dt =
tα+1
α + 1+ k (α isin Rminus minus1) R
intsin t dt = minus cos t + k R
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toriseacuteeestu
ndeacutelit
Annexe A mformulairetex 2772008 2251Page 174
174 [A] Primitives usuelles
int dt
sin2 t= minus cot t + k R kπ k isin Z
int dtsin t
= ln∣∣∣∣tan
t
2
∣∣∣∣+ k R kπ k isin Z
intcot t dt = ln | sin t|+ k R kπ k isin Z
intsh t dt = ch t + k R
int dt
sh2 t= minus coth t + k Rlowast
int dtsh t
= ln∣∣∣∣th
t
2
∣∣∣∣+ k Rlowast
intcoth t dt = ln | sh t|+ k R
intat dt =
at
ln a+ k (a isin Rlowast+ minus 1) R
Dans la suite on suppose a isin Rlowastint dt
t2 + a2=
1aArctan
t
a+ k R
int dtradica2 minus t2
=
Arcsin t
|a| + k
minusArccos t|a| + k
]minus a a[
int dtradict2 + a2
=
Argsh t
|a| + k
ln(t +radict2 + a2
)+ k
R
int dtradict2 minus a2
=
Argcht
|a| + k
ln(t +radic
t2 minus a2)
+ k]|a|+infin[
minusArgch∣∣∣∣t
a
∣∣∣∣+ k
ln∣∣∣t +
radict2 minus a2
∣∣∣+ k]minusinfin |a|[
int dtradict2 + b
= ln∣∣∣t +
radict2 + b
∣∣∣ + k (b isinRlowast)
R [minusb b]
int dtt2 minus a2
=
Argth t + k ]minus 1 1[12a
ln(tminus a
t + a
)+ k Rminus minusa a
Annexe B mformulairetex 2772008 2251Page 175
Annexe BDeacuteveloppements limiteacutes
Principaux deacuteveloppements limiteacutes1
1minus x= 1 + x + x2 + x3 + middot middot middot+ xn + o(xn)
(1+x)α =1+αx+α(αminus1)
2x2+middot middot middot+α(αminus1) middot middot middot (αminusn+1)
nxn+ o
xrarra(xn)
radic1+x = 1+
12xminus 1
2 middot 4 x2+middot middot middot+(minus1)nminus1 1 middot 3 middot 5 middot middot middot (2nminus3)
2 middot 4 middot 6 middot middot middot 2n xn+o(xn)
1radic1 + x
= 1 minus 12x +
1 middot 32 middot 4 x
2 + middot middot middot + (minus1)n 1 middot 3 middot 5 middot middot middot (2nminus 1)2 middot 4 middot 6 middot middot middot 2n xn +
o(xn)
ln(1 + x) = xminus x2
2+
x3
3minus x4
4+ middot middot middot+ (minus1)n+1 x
n
n+ o(xn)
ln(1minus x) = minusxminus x2
2minus x3
3minus x4
4minus middot middot middot minus xn
n+ o(xn)
ln(a + x) = ln a +x
aminus x2
2a2+
x3
3a3+ middot middot middot+ (minus1)n+1 x
n
an+ o(xn)
ex = 1 + x +x2
2+
x3
3+ middot middot middot+ xn
n+ o(xn)
c copyDuno
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toriseacuteeestu
ndeacutelit
Annexe B mformulairetex 2772008 2251Page 176
176 [B] Deacuteveloppements limiteacutes
cos x = 1minus x2
2+
x4
4minus x6
6+ middot middot middot+ (minus1)n x2n
(2n)+ o(x2n+1)
ch x = 1 +x2
2+
x4
4+
x6
6+ middot middot middot+ x2n
(2n)+ o(x2n+1)
sin x = xminus x3
3+
x5
5minus x7
7+ middot middot middot+ (minus1)n x2n+1
(2n + 1)+ o(x2n+2)
sh x = x +x3
3+
x5
5+
x7
7+ middot middot middot+ x2n+1
(2n + 1)+ o(x2n+2)
tan x = x +x3
3+
215
x5 +17315
x7 + o(x7)
th x = xminus x3
3+
215
x5 minus 17315
x7 + o(x7)
Arccos x =π
2minus x minus 1
2x3
3minus middot middot middot minus 1 middot 3 middot 5 middot middot middot (2nminus 1)
2 middot 4 middot 6 middot middot middot 2nx2n+1
2n + 1+
o(x2n+2)
Arcsin x = x +12x3
3+ middot middot middot+ 1 middot 3 middot 5 middot middot middot (2nminus 1)
2 middot 4 middot 6 middot middot middot 2nx2n+1
2n + 1+ o(x2n+2)
Arctan x = xminus x3
3+
x5
5minus x7
7+ middot middot middot+ (minus1)n x2n+1
(2n + 1)+ o(x2n+2)
Argch x nrsquoest pas deacutefini au voisinage de 0 et nrsquoadmet pas de deacutevelop-pement limiteacute au voisinage de 1 (tangente verticale)
Argsh = xminus 12x3
3+
1 middot 32 middot 4
x5
5+ middot middot middot+(minus1)n 1 middot 3 middot 5 middot middot middot (2nminus1)
2 middot 4 middot 6 middot middot middot 2nx2n+1
2n+1+
o(x2n+2)
Argth x = x +x3
3+
x5
5+ middot middot middot+ x2n+1
(2n + 1)+ o(x2n+2)
Annexe C mformulairetex 2772008 2251Page 177
Annexe CFormulestrigonomeacutetriques
1 Angles remarquables
0π
6π
4π
3π
2π
sin 012
radic22
radic32
1 0
cos 1
radic32
radic22
12
0 minus1
tan 0
radic33
1radic3 0
c copyDuno
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toriseacuteeestu
ndeacutelit
Annexe C mformulairetex 2772008 2251Page 178
178 [C] Formules trigonomeacutetriques
2 Relations trigonomeacutetriques
Relations entre les rapports trigonomeacutetriques drsquoun mecircme arc
cos2 a + sin2 a = 1
tan a =sin a
cos acot a =
cos asin a
1 + tan2 a =1
cos2 a1 + cot2 a =
1
sin2 a
cos2 a =1
1 + tan2 asin2 a =
11 + cot2 a
Formules drsquoadditioncos(a + b) = cos a cos bminus sin a sin bcos(aminus b) = cos a cos b + sin a sin bsin(a + b) = sin a cos b + cos a sin bsin(aminus b) = sin a cos bminus cos a sin b
tan(a + b) =tan a + tan b
1minus tan a tan b
tan(aminus b) =tan aminus tan b
1 + tan a tan b
Formules de duplication
cos(2a) =
cos2 aminus sin2 a2 cos2 aminus 11minus 2 sin2 a
sin(2a) = 2 sin a cos a
tan(2a) =2 tan a
1minus tan2 a
Expression de cos a sin a tan a en fonction de tan a2
cos a =1minus tan2 a
21 + tan2 a
2
sin a =2 tan a
21 + tan2 a
2
tan a =2 tan a
21minus tan2 a
2
Transformations de produits en sommes
cos a cos b =12
(cos(aminus b) + cos(a + b))
sin a sin b =12
(cos(aminus b)minus cos(a + b))
sin a cos b =12
(sin(a + b) + sin(aminus b))
Annexe C mformulairetex 2772008 2251Page 179
2 Relations trigonomeacutetriques 179
sin b cos a =12
(sin(a + b)minus sin(aminus b))
cos2 a =1 + cos(2a)
2sin2 a =
1minus cos(2a)2
Transformation des sommes en produits
cos p + cos q = 2 cosp + q
2cos
pminus q
2
cos pminus cos q = minus2 sin p + q
2sin
pminus q
2
sin p + sin q = 2 sinp + q
2cos
pminus q
2
sin pminus sin q = 2 sinpminus q
2cos
p + q
21 + cos a = 2 cos2
a
21minus cos a = 2 sin2
a
2
Arcs associeacutescos(minusa) = cos a sin(minusa) = minus sin acos(π + a) = minus cos a sin(π + a) = minus sin acos(πminus a) = minus cos a sin(πminus a) = sin a
cos(π
2minus a)
= sin a sin(π
2minus a)
= cos a
cos(π
2+ a)
= minus sin a sin(π
2+ a)
= cos a
tan(π + a) = tan a cot(π + a) = cot a
tan(π
2minus a)
= cot a cot(π
2minus a)
= tan a
tan(π
2+ a)
= minus cot a cot(π
2+ a)
= minus tan a
Fonctions circulaires reacuteciproques
Arctan x + Arctan1x
=π
2sgnx
forall(a b) isin R2
Arctan a + Arctan b =
Arctana + b
1minus absi ab lt 1
π
2sgn a si ab = 1
Arctana + b
1minus ab+ π sgn a si ab gt 1c copy
Duno
dL
apho
tocopie
nonau
toriseacuteeestu
ndeacutelit
Annexe C mformulairetex 2772008 2251Page 180
180 [C] Formules trigonomeacutetriques
Arctan x + Arctan1x
=π
2sgn x
Trigonomeacutetrie hyperbolique
sh x =ex minus eminusx
2ch x =
ex + eminusx
2ch(a + b) = ch a ch b + sh a sh b sh(a + b) = sh a ch b + ch a sh bch(aminus b) = ch a ch bminus sh a sh b sh(aminus b) = sh a ch bminus ch a sh b
th(a + b) =th a + th b
1 + th a th bth(aminus b) =
th a + th b
1minus th a th b
ch 2a =
ch2 a + sh2 a2 ch2 aminus 11 + 2 sh2 a
sh 2a = 2 sh a ch a
ch2 xminus sh2 x = 1
th 2a =2 th a
1 + th2 ach p + ch q = 2 cosh
p + q
2ch
pminus q
2
ch pminus ch q = 2 shp + q
2sh
pminus q
2
sh p + sh q = 2 shp + q
2ch
pminus q
2
sh pminus sh q = 2 coshp + q
2sh
pminus q
2
Annexe D mformulairetex 2772008 2251Page 181
Annexe DOpeacuterateurs vectoriels
Cette annexe sert essentiellement en physique mais elle peut trouver sonutiliteacute en chimie (par exemple lrsquoHamiltonien comporte un laplacien) ou enmaths (notamment dans le cadre du chapitre des fonctions de plusieurs va-riables)
1 Notations
Opeacuterateur Nabla
On utilise tregraves souvent lrsquoopeacuterateur laquo Nabla raquo
partpartxpart
partypartpartz
Champs utiliseacutes par la suiteDans la suite on considegravere un champ vectoriel
AAA(M) =
Ax(x y z)Ay(x y z)Az(x y z)
iiijjjkkk
c copyDuno
dL
apho
tocopie
nonau
toriseacuteeestu
ndeacutelit
Annexe D mformulairetex 2772008 2251Page 182
182 [D] Opeacuterateurs vectoriels
On consideacuterera eacutegalement un champs vectoriel BBB et le champs scalaireV(x y z)
2 Gradient
Coordonneacutees carteacutesiennes
gradV =nablanablanablaV =
partVpartx
(x y z)
partVparty
(x y z)
partVpartz
(x y z)
Coordonneacutees cylindriques
gradV =nablanablanablaV =
partVpartr
1r
partVpartθ
partVpartz
uuur
uuuθ
uuuz
Coordonneacutees spheacuteriques
gradV =
partVpartr
1r
partVpartθ
1r sin θ
partVpartϕ
uuur
uuuθ
uuuϕ
Annexe D mformulairetex 2772008 2251Page 183
4 Rotationnel 183
3 Divergence
Coordonneacutees carteacutesiennes
div A =partAx
partx+
partAy
party+
partAz
partz=nablanablanablaAAA
Coordonneacutees cylindriques
div A =1r
partpartr
(r middot Ar) +1r
partAθ
partθ+
partAz
partz
Coordonneacutees spheacuteriques
div A =1r2
partpartr
(r2 middot Ar) +1
r sin θ
partpartθ
(sin θAθ) +1
r sin θ
partAϕ
partϕ
4 Rotationnel
Coordonneacutees carteacutesiennes
rot A =nablanablanablaandAAA =
partpartxpart
partypartpartz
and
Ax
Ay
Az
=
partAz
partyminus partAy
partzpartAx
partzminus partAz
partxpartAy
partxminus partAx
party
c copyDuno
dL
apho
tocopie
nonau
toriseacuteeestu
ndeacutelit
Annexe D mformulairetex 2772008 2251Page 184
184 [D] Opeacuterateurs vectoriels
Coordonneacutees cylindriques
rot A =
1r
partAz
partθminus partAθ
partzpartAr
partzminus partAx
partr1r
partpartr
(r middot Aθ)minus 1r
partAr
partθ
Coordonneacutees spheacuteriques
rot A =
1r sin θ
(part
partθ(Aϕ sin θ)minus partAθ
partϕ
)
1r
(1
sin θ
partAr
partϕminus part
partr(r middot Aϕ
)
1r
(partpartr
(r middot Aθ)minus partAr
partθ
)
5 Laplacien
Coordonneacutees carteacutesiennesLaplacien scalaire
∆V = nabla2V =part2Vpartx2
+part2Vparty2
+part2Vpartz2
= div (gradV)
Laplacien vectoriel
∆AAA =nablanablanabla2AAA =
∆Ax =part2Ax
partx2+
part2Ax
party2+
part2Ax
partz2
∆Ay =part2Ay
partx2+
part2Ay
party2+
part2Ay
partz2
∆Az =part2Az
partx2+
part2Az
party2+
part2Az
partz2
Annexe D mformulairetex 2772008 2251Page 185
6 Relations entre les opeacuterateurs 185
Coordonneacutees cylindriquesLaplacien scalaire
∆V =1r
partVpartr
+part2Vpartr2
+1r2
part2Vpartθ2 +
part2Vpartz2
∆V =1r
partpartr
(r
partVpartr
)+
1r2
part2Vpartθ2 +
part2Vpartz2
Le Laplacien vectoriel nrsquoa pas ici drsquoexpression simple
Coordonneacutees spheacuteriquesLe Laplacien scalaire est
∆V =1r
partpartr2
(rV) +1
r2 sin2 θ
part2Vpartϕ2 +
1
r2 sin2 θ
partpartθ
(sin θ
partVpartθ
)
6 Relations entre les opeacuterateurs
Opeacuterateur A middot grad
(BBBgrad)AAA =
(BBBnablanablanabla) Ax
(BBBnablanablanabla) Ay
(BBBnablanablanabla) Az
=
BxpartAx
partx+ By
partAx
party+ Bz
partAx
partz
BxpartAy
partx+ By
partAy
party+ Bz
partAy
partz
BxpartAz
partx+ By
partAz
party+ Bz
partAz
partz
En coordonneacutees cylindriques et spheacuteriques lrsquoexpression nrsquoest plus li-siblec copyDuno
dL
apho
tocopie
nonau
toriseacuteeestu
ndeacutelit
Annexe D mformulairetex 2772008 2251Page 186
186 [D] Opeacuterateurs vectoriels
Autres relationsrotrotrot (gradU) = 0div (rot A) = 0∆AAA = grad(div A)minus rotrotrot (rot A)grad(U middotV) = U gradV +V gradUdiv (V middotAAA) = V div A +AAA middot gradVrotrotrot (V middotAAA) = V rot A + (gradV) andAAAdiv (AAA andBBB) = BBB middot rot AminusAAA middot rot B
7 Theacuteoregravemes geacuteomeacutetriques
Theacuteoregraveme drsquoOstrogradskiintcopyint
Misin(S)AAA(M)nnnext dS =
intintint
Misin(V)div A(M) dV
Theacuteoregraveme de Stokes∮
Misin(C)AAA(M)dM =
intint
Misin(S)rot Annn(P) dS
Theacuteoregraveme du gradientintcopyint
Misin(S)U(M)nnnext dS =
intintint
Misin(V)gradA(M) dV
Autre formulation (avec les notations adopteacutees pour le theacuteoregraveme deStokes) ∮
Misin(C)U(M)dMdMdM =
intint
Misin(S)nnn(M) and gradU(M) dS
Annexe E mformulairetex 2772008 2251Page 187
Annexe EUniteacutes et constantesfondamentales
1 Uniteacutes du Systegraveme International
On distingue trois types drsquouniteacutes dans le Systegraveme International les uniteacutesde base les uniteacutes suppleacutementaires (ces deux premiegraveres cateacutegories eacutetant di-mensionnellement indeacutependante) et les uniteacutes suppleacutementaires et deacuteriveacuteesqui peuvent srsquoexprimer en fonction des premiegraveres
11 Uniteacutes principales du systegraveme international
Grandeur physique Uniteacute SymboleLongueur megravetre mMasse kilogramme kgTemps seconde sCourant eacutelectrique ampegravere ATempeacuterature kelvin KQuantiteacute de matiegravere mole molIntensiteacute lumineuse candela cdc copy
Duno
dL
apho
tocopie
nonau
toriseacuteeestu
ndeacutelit
Annexe E mformulairetex 2772008 2251Page 188
188 [E] Uniteacutes et constantes fondamentales
12 Uniteacutes secondaires du systegraveme international
Grandeur physique Uniteacute SymboleAngle radian radAngle solide steradian sr
13 Uniteacutes courantes du systegraveme international
Grandeur physique Uniteacute SymboleFreacutequence hertz Hzharr sminus1
Force newton Nharr kg middotm middot sminus2Eacutenergie joule Jharr m middotNPuissance watt Wharr J middot sminus1Pression pascal Paharr N middotmminus2Charge eacutelectrique coulomb Charr A middot sDiffeacuterence de potentiel eacutelectrique volt Vharr Aminus1 middotm middotN middot sminus1Reacutesistance eacutelectrique ohm Ω harr Aminus1 middotm middotN middot sminus2Conductance eacutelectrique siemens Sharr A2 middotN middot sCapaciteacute eacutelectrique farad Fharr A2 middotmminus1 middotNminus1 middot s2Champ magneacutetique tesla Tharr Aminus1 middotmminus1 middotNInductance henry Hharr Aminus2 middotm middotNFlux magneacutetique weber Wbharr Aminus1 middotm middotNFlux lumineux lumen lmharr cd middot srIllumination lux lxharr cd middotmminus2 middot sr
14 Multiples deacutecimaux pour les uniteacutes
Facteur Preacutefixe Symbole Facteur Preacutefixe Symbole10 deacuteca- da 10minus1 deacuteci- d102 hecto- h 10minus2 centi- c103 kilo- k 10minus3 milli- m106 meacutega- M 10minus6 micro- micro
109 giga- G 10minus9 nano- n1012 tera- T 10minus12 pico- p1015 peta- P 10minus15 femto f1018 exa- E 10minus18 atto- a
Annexe E mformulairetex 2772008 2251Page 189
2 Constantes fondamentales 189
2 Constantes fondamentales
Constante ValeurConstante de gravitation G = 6 67259 middot 10minus11 m3 middot kgminus1 middot sminus2Ceacuteleacuteriteacute de la lumiegravere dans levide
c = 299792458 m middot sminus1c asymp 3 middot 108 m middot sminus1
Permeacuteabiliteacute du videmicro0 = 4π middot 10minus7 H middotmminus1micro0 asymp 1 25664 middot 10minus6 H middotmminus1
Permittiviteacute du vide ε0 asymp 8 85419 middot 10minus12 F middotmminus1
Constante de Planck h = 6 6260755 middot 10minus34 J middot sminus1h = 4 135669 middot 10minus15 eV middot s
Constante des gaz parfaits R = 8 314 J middotKminus1 middotmolminus1
Nombre drsquoAvogadro N = 6 0221367 middot 1023 molminus1
Constante de Boltzmann k = 1 380658 middot 10minus23 J middotKminus1Charge eacuteleacutementaire e = 1 602217733 middot 10minus19 CConstante de Faraday F = 96485 309 C middotmolminus1
Constante de Stefan-Boltzmann σ = 5 67051 middot 10minus8 W middotmminus2 middotKminus4
3 Ordres de grandeurs
Grandeur ValeurConductiviteacute du meacutetal σ asymp 108 Ωminus1 middotmminus1Tension de seuil pour une diode Vd asymp 0 6 VChamp de pesanteur agrave la surface de la Terre g = 9 8 m middot sminus2Rayon terrestre RT = 6400 kmMasse de la Terre MT asymp 6 middot 1024 kgAltitude drsquoun satellite geacuteostationnaire H asymp 36 000 kmDistance Terre-Soleil dTminusS asymp 1 5 middot 1011 mDistance Terre-Lune dTminusL asymp 3 8 middot 108 mMasse du soleil MS asymp 2 middot 1030 kgCoefficient de frottement acier-acier micro asymp 0 2Raideur drsquoun ressort k asymp 100 N middotmminus1Masse du proton mp = 1 673 middot 10minus27 kgMasse du neutron mn = 1 675 middot 10minus27 kgMasse de lrsquoeacutelectron me = 9 109 middot 10minus31 kg
c copyDuno
dL
apho
tocopie
nonau
toriseacuteeestu
ndeacutelit
Annexe E mformulairetex 2772008 2251Page 190
Annexe F mformulairetex 2772008 2251Page 191
Annexe FConstantes chimiques
Potentiels standards redox
(Agrave 25˚C 1013 bar pH=0)
Couples redox E0 en voltsMnOminus4 + 4H+ + 3eminus larrrarr MnO2 + 2H2O 1700MnOminus4 + 8H+ + 5eminus larrrarr Mn2+ + 4H2O 1490Cr2O
2minus7 + 14H+ + 6eminus larrrarr 2Cr3+ + 7H2O 1330
MnO2 + 4H+ + 2eminus larrrarr Mn2+ + 2H2O 1230Br2 + 2eminus larrrarr 2Brminus 1090Hg2+ + 2eminus larrrarr Hg 0850Ag+ + eminus larrrarr Ag 0798Hg+ + eminus larrrarr Hgminus 0790Fe3+ + eminus larrrarr Fe2+ 0780MnOminus4 + eminus larrrarr MnO2minus
4 0560I2 + 2eminus larrrarr 2Iminus 0540Cu2+ + 2eminus larrrarr Cu 0340Cu2+ + eminus larrrarr Cu+ 01502H+ + 2eminus larrrarr H2 0000Fe3+ + 3eminus larrrarr Fe minus0040
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192 [F] Constantes chimiques
Couples redox E0 en voltsPb2+ + 2eminus larrrarr Pb minus0120Sn2+ + 2eminus larrrarr Sn minus0140Fe2+ + 2eminus larrrarr Fe minus0441Zn2+ + 2eminus larrrarr Zn minus0762Mn2+ + 2eminus larrrarr Mn minus1180Al3+ + 3eminus larrrarr Al minus1660Na+ + eminus larrrarr Na minus2715Ca2+ + 2eminus larrrarr Ca minus2763Ba2+ + 2eminus larrrarr Ba minus2900K+ + eminus larrrarr K minus2924
Annexe G mformulairetex 2772008 2251Page 193
Annexe GTableau peacuteriodique
1re colonne alkalins meacutetalliques
2e colonne alkalino terreux
Colonnes 3ndash11 meacutetaux de transition
Colonne 17 halogegravenes
Colonnes 18 gaz rares
Gaz noble Meacutetaux
Meacutetaux de transition Alkalin meacutetaliques
Halogegravene Espegravece rare
Non meacutetaux Alkalino terreux
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Annexe G mformulairetex 2772008 2251Page 194
194 [G] Tableau peacuteriodique
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1I H
hydrogegravene
10083 4 numeacutero atomique minusrarr 6
II Li Be C larrminus symbolelithium beacuteryllium nom de lrsquoeacuteleacutement minusrarr carbone
694 901 1201 larrminusmasse atomique11 12
III Na Mgsodium magneacutesium
2299 243119 20 21 22 23 24 25 26 27
IV K Ca Sc Ti V Cr Mn Fe Copotassium calcium scandium titane vanadium chrome manganegravese fer cobalt
3910 4008 4496 4788 5094 5200 5494 5585 589337 38 39 40 41 42 43 44 45
V Rb Sr Y Zr Nb Mo Tc Ru Rhrubidium strontium yttrium zirconium niobium molybdegravene techneacutetium rutheacutenium rhodium
8547 8762 8891 9122 9221 9594 9891 1011 102955 56 57 72 73 74 75 76 77
VI Cs Ba La Hf Ta W Re Os Irceacutesium baryum lanthane hafnium tantale tungstegravene rheacutenium osmium iridium
1329 1373 1389 1785 1809 1839 1862 1902 192287 88 89
VII Fr Ra Acfrancium radium actinium
2230 2260 2270
58 59 60 61 62Ce Pr Nd Pm Smceacuterium praseacuteodyme neacuteodyme promeacutethium samarium
1401 1409 1442 1449 150490 91 92 93 94Th Pa U Np Pu
thorium protactinium uranium neptunium plutonium
2320 2310 2380 2370 2441
Annexe G mformulairetex 2772008 2251Page 195
195
10 11 12 13 14 15 16 17 18
2Heheacutelium
40035 6 7 8 9 10B C N O F Nebore carbone azote oxygegravene fluor neacuteon
1081 1201 1401 1600 1900 201813 14 15 16 17 18Al Si P S Cl Ar
aluminium silicium phosphore soufre chlore argon
2698 2809 3097 3207 3545 399528 29 30 31 32 33 34 35 36Ni Cu Zn Ga Ge As Se Br Krnickel cuivre zinc gallium germanium arsenic seacuteleacutenium brome krypton
5869 6355 6539 6972 7259 7492 7896 7990 838046 47 48 49 50 51 52 53 54Pd Ag Cd In Sn Sb Te I Xe
palladium argent cadmium indium eacutetain antimoine tellure iode xeacutenon
1064 1079 1124 1148 1187 1218 1276 1269 131378 79 80 81 82 83 84 85 86Pt Au Hg Ti Pb Bi Po At Rn
platine or mercure thallium plomb bismuth polonium astate radon
1951 1970 2006 2044 2072 2090 2100 2100 2220
63 64 65 66 67 68 69 70 71Eu Gd Tb Dy Ho Er Tm Yb Lu
europium gadolinium terbium dysprosium holmium erbium thulium ytterbium luteacutetium
1520 1573 1589 1625 1649 1673 1689 1730 175095 96 97 98 99 100 101 102 103Am Cm Bk Cf Es Fm Md No Lr
ameacutericium curium berkeacutelium californium einstenium fermium mendeacutelevium nobeacutelium lawrencium
2431 2471 2471 2521 2521 2571 2561 2591 2601
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Index
Abel (lemme drsquondash) 51absorption 137accroissements finis
(theacuteoregraveme des) 39activiteacute 164adheacuterence 29adiabatique (transformation ndash) 81adjoint (drsquoun
endormorphisme) 24affiniteacute 145Alembert
eacutequation drsquondash 132regravegle de drsquondash 49theacuteoregraveme de drsquondash 10
algegravebre 5Ampegravere (theacuteoregraveme drsquondash) 121amplificateur opeacuterationnel 73angles remarquables 177anneau 3application
composition 11injective 11lipschitizienne 37surjective 11
application lineacuteaire 12ndash17image 15 16noyau 15 16rang 15
application lineaire
spectre 26approximation des eacutetats quasi
stationnaires (AEQS) 149arrangement 5Arrheacutenius (loi drsquondash) 149asymptote 61asymtote 63auto-induction 126automorphisme 15automorphismes
orthogonaux 25avancement drsquoune reacuteaction 148
base 13changement de ndash 19duale 14
Bertrandseacuterie de ndash 48
Bessel (ineacutegaliteacute de ndash) 23Bezout
eacutegaliteacute de 9Bezout (theacuteoregraveme de ndash) 7binocircme (de Newton) 6Binet (formules de ndash) 100Biot et Savart (loi de ndash) 121Bolzano-Weiertrass
(theacuteoregraveme de ndash) 35boule
fermeacutee 28ouverte 28
branche infinie 61
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198 INDEX
branche parabolique 61
capaciteacutes thermiques 78Cauchy
critegravere de ndash 49produit de ndash 50regravegle de ndash 49suite de ndash 30
Cauchy-Lipschitz (theacuteoregravemede ndash) 45
Cauchy-Schwarz (ineacutegaliteacute de ndash)22
Cayley-Hamilton (theacuteoregraveme de ndash) 27
centre drsquointertie (theacuteoregravemedu ndash) 91
chaleur latente 83champ
gravitationnel 119magneacutetostatique 121
champeacutelectrostatique 118
changement de reacutefeacuterentiel 90Chasles (relation de ndash) 43cineacutetique chimique 148Clapeyron (relation de ndash) 83classe (drsquoune fonction) 39classe drsquoeacutequivalence 2codimension 14coefficients
thermoeacutelastiques 77combinaison 6compacte (partie) 29complegravete (partie ndash) 30complexe (nombre ndash) 32ndash33composition
des acceacuteleacuterations 90des vitesses 90
conduction de la chaleur 85coniques 68conjugueacute (drsquoun nombre complexe)
32connexiteacute par arcs 30constante
drsquoeacutecran 143drsquoaciditeacute 167
de vitesse (drsquoune reacuteaction) 148continuiteacute 36continuiteacute uniforme 37convection 85convegence
simple (seacuterie drsquoapplications)55
convergenceabsolue (seacuterie drsquoapplications)
55absolue (seacuterie) 50normale (seacuterie drsquoapplications)
55normale (seacuterie de Fourier) 57semi-convergence (seacuterie) 50simple (suite drsquoapplications)
52theacuteoregraveme de ndash domineacutee (suite
drsquoapplications) 54theacuteoregraveme de ndashmonotone (suite
drsquoapplications) 54uniforme (seacuterie drsquoapplications)
55uniforme (suite drsquoapplications)
52convexiteacute 40convexiteacute (ineacutegaliteacute de ndash) 40coordonneacutees
carteacutesiennes 88cylindriques 88polaires 62spheacuteriques 89
Coriolisacceacuteleacuteration de ndash 90force de ndash 90
corps 4Coulomb (lois de ndash) 105couple
redox 163courbure 64Cramer (systegraveme de ndash) 21
deacuteriveacutee 38partielle 58selon un vecteur 58
deacuterivabiliteacute 39deacuteterminant 19
Annexe G mformulairetex 2772008 2251Page 199
INDEX 199
deacuteveloppements limiteacutes 175degreacute (drsquoun polynocircme) 8Descartes (loi de ndash) 106dieacutelectriques (milieux ndash) 138diagonalisabiliteacute 27diagramme
binaires 160ndash163drsquoEllingham 165E-pH 166intensiteacute-potentiel 168
diffeacuteomorphisme 40diffraction 116ndash118diffusion
eacutequation de ndash 67de chaleur 85
direction asymptotique 61 63Dirichlet (theacuteoregraveme de ndash) 57dispersion 137
relation de 134divisibiliteacute
dans N 6dans K[X] 9
division euclidiennedrsquoun polynocircme 9dans N 6
domination (theacuteoregraveme de ndash) 42
eacutelectrostatique 118endomorphisme 15
adjoint 24eacutenergie
cineacutetique 93cineacutetique (du solide) 101interne 77meacutecanique 93magneacutetique 127potentielle 94
enthalpie 78entropie 80eacutequation
drsquoonde 132diffeacuterentielle 66redox 164
eacutequation diffeacuterentielle 44lineacuteaire du premier ordre 44
lineacuteaire du second ordre 45eacutequilibre 94
stabiliteacute drsquoun ndash 95espace
euclidien 30preacutehilbertien 30vectoriel 5 12ndash17vectoriel normeacute 27ndash31
extremum local 59
factorielle 5famille
geacuteneacuteratrice 13libre 13
Faraday (loi de ndash) 126 128fermeacute 28filtre 71ndash73flux
du champ magneacutetique 126thermique 85
fonctionde plusieurs variables 58de transfert 71reacuteelle de la variable
reacuteelle 35ndash38trigonomeacutetrique
reacuteciproque 38fonctions implicites (theacuteoregraveme
des ndash) 59force
centrale 99drsquoinertie 90de Lorentz 98
formelineacuteaire 14quadratique 22
forttements solide 105Fourier
loi de ndash 85seacuteries de ndash 57
fraction rationnelle 10ndash11Fresnel
miroirs de ndash 115principe drsquoHuyghens ndash 116
Gaussapproximation de ndash 107
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Annexe G mformulairetex 2772008 2251Page 200
200 INDEX
theacuteoregraveme de ndash 7 119gaz parfait 76Gibbs
regravegle des phases de ndash 159relation deGibbsndashDuhem 153relation de GibbsndashHelmoltz
153gradient 58Grassman (formule de ndash) 17groupe 2
cyclique 3geacuteneacuterateurs de ndash 3monogegravene 3
Heine (theacuteoregraveme de ndash) 37Henry (loi de ndash) 160Hess (loi de ndash) 157Hund (principe de ndash) 145hysteacuteresis 130
ideacuteal 4identiteacutes thermodynamiques 80ineacutegaliteacute de la moyenne 41induction
de Lorentz 128de Neumann 126
inertie (force drsquondash) 90injective 11inteacutegrale
deacutependant drsquoun paramegravetre43
de Riemann 42impropre 43
inteacutegration 41ndash44inteacuterieur (drsquoune partie) 29interfeacuterences 109ndash116interfeacuteromegravetre
de Fabry-Perot 115de Michelson 112
intgreacuteationpar parties 41
isomorphisme 15
jauge de Lorentz 124
Kœnig (theacuteoregravemes de ndash) 92 93103 104
Kepler (lois de ndash) 100Klechkowsky (regravegle de ndash) 145
lames agrave retard 135Laplace (force de ndash) 122Le Chacirctelier (loi de ndash) 159Leibniz (formule de ndash) 39lemme drsquoAbel 51lentille mince 108Lenz (loi de ndash) 126limite 36lipschitzienne (application ndash) 37loi
drsquoArrheacutenius 149drsquoOhm 125de Biot et Savart 121de composition 2de Faraday 126 128de Fourier 85de Hess 157de Le Chacirctelier 159de Lenz 126de Planck 86de Pouillet 69de Raoult 160de SnellndashDescartes 106 140de Stefan 87de Vanrsquot Hoff 149des mailles 69des noeuds 69
longueur (drsquoun arc) 64
machinesthermiques 83
magneacutetostatique 121Malus (theacuteoregraveme de ndash) 110mateacuteriaux magneacutetiques 129matrice 17ndash22
exponentielle de ndash 19inverse 20opeacuterations 18produit 18
Maxwelleacutequations de ndash dans le vide
123
Annexe G mformulairetex 2772008 2251Page 201
INDEX 201
eacutequations de ndash dans lesmilieux 139
eacutequation de ndash en ARQS 129Minkowski (ineacutegaliteacute de ndash) 23miroirs
de Fresnel 115spheacuteriques 107
modes propres 131module (drsquoun nombre complexe)
32Moivre (formule de ndash) 33moment cineacutetique 92
theacuteoregraveme du ndash 92 103multipliciteacute (des racines) 10
Nernst (formule de ndash) 164Newton
binocircme de ndash 6nombre
drsquooxydations 163entier 5ndash7premier 7quantique 143rationnel 5ndash7
normeeacutequivalente 28euclidienne 22
Ohm (loi drsquondash) 125onde
eacutelectromagneacutetique 134ndash140eacutequation drsquondash 132lumineuse 109plane progressive 133stationnaire 133
orbitaleatomique 144moleacuteculaire 147
orthogonaliteacute 23oscillateurs 95
coupleacutes 131ouvert 28oxydo-reacuteduction 163
paramagneacutetisme 129Parseval (eacutegaliteacute de ndash) 57
Pauli (principe de ndash) 145pgcd dans Z 7pKa 167Planck (loi de ndash) 86point
bireacutegulier 59reacutegulier 59
polarisationdrsquoun dieacutelectrique 138de la lumiegravere 135
polynocircme 8ndash11caracteacuteristique 26scindeacute 10
potentieleacutelectrique 118chimique 154redox 164
Pouillet (loi de ndash) 69Poynting (vecteur de ndash) 124Poyting (vecteur de ndash) 136ppcm dans Z 7premier principe (thermodynamique)
77primitives usuelles 173principe fondamental de la
dynamique 91prisme 107produit scalaire 22projecteur 16puissance
drsquoune force 93 104rayonneacutee 136
puissance eacutelectromagneacutetique 123Pythagore (theacuteoregraveme de ndash) 30
reacutefeacuterentielchangement de ndash 90galileacuteen 91
reacuteflextion drsquoune onde 140reacutesultante cineacutetique (theacuteoregraveme de
la ndash) 103regravegle
de Klechkowsky 145regravegle des xα f (x) 42
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Annexe G mformulairetex 2772008 2251Page 202
202 INDEX
racinedrsquoun polynocircme 10niegravemes drsquoun complexe 33niegravemes de lrsquouniteacute 33
rangdrsquoune application lineacuteaire 15formule du ndash 15
Raoult (loi de ndash) 160rayon de courbure 64relation
binaire 1drsquoeacutequivalence 1drsquoordre 1de conjugaison 108de dispersion 134de structure 134
Riemanninteacutegrale de ndash 42seacuterie de ndash 48somme de ndash 41
Rolle (theacuteoregraveme de ndash) 39roulement sans glissement 101 105
seacuterie 47ndash51alterneacutee 49de Bertrand 48de Fourier 57de Riemann 48geacuteomeacutetrique 48produit de Cauchy 50
seacuterie entiegravere 51ndash52deacuterivation 51inteacutegration 51rayon de convergence 51
Schwarz (theacuteoregraveme de ndash) 59SnellndashDescartes (loi de ndash) 140solide (meacutecanique du ndash) 101somme de Riemann 41somme directe 12sous-anneau 4sous-espace
suppleacutementaire 13sous-espace propre 26sous-groupe 3spectroscopie 141Stefan (loi de ndash) 87
Stirling (formule de ndash) 50suite 34ndash35
adjacente 35arithmeacutetique 34extraite 35geacuteomeacutetrique 34
suppleacutementaire (sous-espaces) 13surjective 11susceptibiliteacute
eacutelectrique 139magneacutetique 129 130
symeacutetrie 16drsquoune courbe parameacutetreacutee 61drsquoune courbe polaire 63
systegraveme lineacuteaire 21de Cramer 21
tangente (agrave une courbe) 60Taylor-Lagrange
ineacutegaliteacute de ndash 40Taylor-Young (formule de ndash) 40tempeacuterature drsquoinversion 158Theacuteoregraveme
de Dirichlet 57de Scharz 59
theacuteoregravemedrsquoeacutequivalence 42de domination 42de Rolle 39des accroissements finis 39
topologie 27torseur cineacutetique 101
valeur drsquoadheacuterence 29valeur propre 26Van der Waals (gaz de ndash) 77Vanrsquot Hoff (loi de ndash) 149variance 159vecteur propre 26vitesse
drsquoentraicircnement 90de groupe 137de phase 137de reacuteaction 148quadratique moyenne 76
Annexe G mformulairetex 2772008 2251Page 203
INDEX 203
voisinage 29
Weierstrassdeuxiegraveme theacuteoregraveme de ndash 54premier theacuteoregraveme de ndash 54
Young (trous drsquondash) 111
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jrsquointegravegre
matheacutematiques
physique
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- Table des matiegraveres
-
- Avant-propos
- Chapitre 1 Matheacutematiques
-
- 1 Algegravebre
-
- 11 Relations
- 12 Structures algeacutebriques
- 13 Nombres entiers nombres rationnels
- 14 Arithmeacutetique dans Z
- 15 Polynocircmes et fractions rationnelles
- 16 Geacuteneacuteraliteacutes sur les applications
- 17 Applications lineacuteaires ndash Espaces vectoriels
- 18 Matrices ndash Deacuteterminants ndash Systegravemes lineacuteaires
- 19 Espaces vectoriels euclidiens
- 110 Reacuteduction des endomorphismes
-
- 2 Analyse
-
- 21 Espaces vectoriels normeacutes
- 22 Nombres reacuteels
- 23 Nombres complexes
- 24 Suites
- 25 Fonctions reacuteelles de la variable reacuteelle
- 26 Deacuterivation
- 27 Inteacutegration
- 28 Eacutequations diffeacuterentielles
- 29 Seacuteries
- 210 Seacuteries entiegraveres
- 211 Suites et seacuteries drsquoapplications
- 212 Seacuteries de Fourier
- 213 Fonctions de plusieurs variables
-
- 3 Geacuteomeacutetrie
-
- 31 Courbes du plan
- 32 Proprieacuteteacutes meacutetriques des courbes
-
- Chapitre 213Physique
-
- 0 Eacuteleacutements de matheacutematiques
-
- 01 Diffeacuterentielles
- 02 Eacutequations diffeacuterentielles
- 03 Coniques
-
- 1 Eacutelectronique
-
- 11 Lois geacuteneacuterales
- 12 Reacutegime variable
- 13 Montages avec amplificateur opeacuterationnel
-