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Prévoir la propagation brutale des fissures: modèles et caractérisation expérimentale

Introduction:

1. La fissure

1.1 Une première image de la fissure: observations à l'oeil nu

1.2. Modèle de la fissure

1.3 Modèle de propagation des fissures

1.4 La propagation de la fissure selon le type de matériau:

2. De la mécanique des milieux continus à la mécanique dela rupture

3. Méthodes d'identification de la ténacité des matériauxfragiles

3.1. Préparation des éprouvettes : préfissuration par essais sandwich

3 .2. Essais de flexion trois points

3.2.1 Mesure de ténacité par essais normalisés

3.2.2 Mesure de ténacité par corrélation

3.3. Résultats expérimentaux sur deux roches calcaires


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Prévoir la propagation brutale des fissures: modèles et caractérisation expérimentale

Cette ressource est réalisée par Sébastien Grange (doctorant au LMT Cachan) et Jean-Loup Prensier (professeur agrégé).

Objectifs :La ressource a pour objectif de s'approprier les éléments suivants:

- Dans le dimensionnement des structures, un enjeu essentiel est de prévoir la propagation desfissures existantes, Toutes les pièces mécaniques sont fissurées et l'effet d'une propagation brutale defissure est en général la rupture de la structure.

- Des modèles de mécanique linéaire de la rupture permettent de prévoir les conditions de propagationde fissures en s'appuyant sur le concept de Facteur d'Intensité des Contraintes

- La mesure des champs de déplacement par des techniques de corrélation d'images permetd'identifier la ténacité d'un matériau.

Mots-clé: facteur d'intensité des contraintes, mécanique linéaire de la rupture, ténacité, théorie d'Irwin,corrélation d'images, fissure

Introduction:Des essais classiques en quasi-statique sur éprouvettes permettent d’établir certaines propriétésfondamentales des matériaux. En particulier, il est possible d’établir les propriétés d’élasticité, de tenuedans le temps (fluage), de résistance à la rupture et d’établir des grandes familles de matériaux (parexemple élastique fragile pour des céramiques).Parmi ces propriétés, la ténacité est la capacité du matériau à résister à la propagation d'une fissureexistante (amenant à la rupture de l'éprouvette).Les propriétés dynamiques de résistance aux chocs ne seront pas abordées dans cette ressource.

Ce problème est crucial car toutes les structures sont "fissurées". Bien sur, le nombre de fissures, leurtaille, leur criticité est variable tout au long de la vie de la structure. L'enjeu en conception est de prévoirà l'avance que des fissures critiques ne se propageront pas au sein de la structure lors de son cycle devie ou de planifier certaines actions de maintenance ou de suivi destinées à suivre l'évolution de lacriticité de fissures existantes dans la structure.

Différentes approches théoriques permettent d'estimer la ténacité d'un matériau à partir de résultatsd'essais sur des éléments de volume. Cette ressource a pour objet d'illustrer sur un exemple uneprocédure de caractérisation de la ténacité (ici, des mesures de champs de déplacement obtenues parcorrélation d'images permettent de caractériser la ténacité d'un matériau fragile) en utilisant desmodèles de mécanique de la rupture. La mécanique de la rupture (Fractures Mechanics ) est uneétude qui met en jeu les paramètres habituels de la mécanique à partir d’une discontinuité existante :fissure ou défaut. Elle permet dans certains cas de prévoir, en fonction des dimensions d’une fissure etde l’état de chargement, la propagation éventuelle de la fissure.

1. La fissure

1.1 Une première image de la fissure: observations à l'oeil nu

Les fissures font partie intégrante de notre quotidien, à condition bien sûr de les observer à l'échelleappropriée.

Certaines fissures sont observables à l'oeil nu. Chaque conducteur est conscient du danger de rouleravec un impact sur son pare-brise. Malgré les précautions prises dans la réalisation des pare-brises(multi-couches), un simple impact de quelques millimètres (une fissure de petite taille en fait) peut souscharge se propager très rapidement en une fissure voire plusieurs fissures couvrant toute l'étendue dupare-brise.


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Figure 1: propagation de fissures sur un pare-brise

D'autres fissures (générées par exemple par des sollicitations cycliques pendant l'utilisation d'une piècemécanique) nécessitent des moyens d'observation plus fins pour être observées (MEB, techniques decorrélation d'images). Sur l'exemple ci-dessous, nous considérons une éprouvette d'un acierausténitique inoxydable qui a été soumise à des sollicitations répétées (50000 cycles à +/- 250 MPa à2.5Hz). A l'oeil nu, il n'est pas possible d'observer une fissure sur l'éprouvette déchargée. Par contre,en utilisant des moyens d'observation appropriés (MEB ou corrélation d'images par exemple) ou enchargeant l'éprouvette (ce qui a pour effet d'écarter les lèvres de la fissure existante), une fissure estvisible.


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Figure 2: fissure générée par des sollicitations cycliques sur une éprouvette enacier - Nicolas Malesys - 2007

Les structures soumises à des chargement cycliques, comme par exemple les structuresaéronautiques sont fissurées de manière inévitable et l'enjeu pour les concepteurs est de prévoir ladimension critique des fissures à partir de laquelle il existe un danger de propagation brutale. Dansl'aéronautique, dans le ferroviaire (roues de trains), la taille et la position des fissures sont suivies demanière attentive lors des phases de maintenance. Régulièrement, les fissures sont inspectées et lasimulation permet de prévoir les risques de propagation jusqu'à l'inspection suivante.

Dans la suite de cette première partie, nous présenterons ce qu'est une fissure pour le mécanicien etles modèles de propagation utilisés en mécanique linéaire de la rupture

1.2. Modèle de la fissureDans le vocabulaire courant, le mot fissure est employé pour désigner une petite fente dans un solide.Au sens du modèle, on retrouvera une définition de la fissure sous les deux aspects classiques dumécanicien (déplacement et contrainte).

Une fissure est une discontinuité de la matière qui peut être modélisée de la manière suivante:- le vecteur contrainte est nul sur les limites de la fissure- le déplacement subit une discontinuité de part et d'autres des lèvres de la fissure.

Les fissures sont modélisées à l'aide de géométries simples:

- leur forme est elliptique, semi-elliptique ou en forme de coin.- les fissures sont généralement planes, c’est-à-dire que leurs deux faces sont très voisines d’un planmoyen et se rejoignent selon un bord anguleux.

Selon leur position dans la pièce ou la structure étudiée, différentes catégories de fissures sontétablies:

- fissures superficielles, fissures internes ou fissures traversantes


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Figure 3: les types de fissures

1.3 Modèle de propagation des fissuresLe modèle de la fissure intégre la géométrie de la fissure ainsi que le "mode de propagation" de lafissure. Dans la théorie, les fissures sont planes et se propagent dans leur plan. Il est ainsi possible demontrer que l'état général de propagation se limite à la superposition de trois modes:

* mode I (mode par ouverture) : les surfaces de la fissure se déplacent dans des directions opposéeset perpendiculairement au plan de fissure* mode II (glissement de translation) : les surfaces de la fissure se déplacent dans le même plan etdans une direction perpendiculaire au front de fissure * mode III (glissement de rotation) : les surfaces de la fissure se déplacent dans le même plan et dansune direction parallèle au front de la fissure.

Le mode I est souvent le plus critique et les études théoriques sont ainsi souvent limitées à ce mode depropagation.

Figure 4: propagation d'une fissure en mode I

Figure 5: propagation d'une fissure en mode II


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Figure 6: propagation d'une fissure en mode III

1.4 La propagation de la fissure selon le type de matériau:Les deux animations ci-dessous sont réalisées à partir de photos prises pendant le chargement entraction d'éprouvettes pré-fissurées pour un matériau "fragile" (gauche) et un matériau "ductile" (droite).Les différences de comportement entre ces types de matériau sont facilement observables.

Le matériau fragile subit une rupture brutale par la propagation d'une fissure venant "déchirer"l'éprouvette. Le matériau ductile subit une déformation plastique très importante autour de la zonepré-fissurée avant de rompre. Les modèles développés par la suite sont valables uniquement pour lesmatériaux présentant un comportement élastique fragile (éprouvette de gauche).


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La rupture d'une éprouvette fissurée d'un matériau fragile etla rupture d'une éprouvette fissurée d'un matériau ductile.

2. De la mécanique des milieux continus à lamécanique de la rupture

En se plaçant dans un point de vue de Mécanique des Milieux Continus, il est possible de calculer(analytiquement dans certains cas ou à l'aide d'un code de calculs pour des géométries complexes) lasolution en déplacements et en contraintes d'une structure fissurée sous charge.

Si nous étudions l'exemple d'un massif semi-infini sollicité en traction en utilisant les méthodesemployées classiquement en Mécanique des Milieux continus:

On cherche à déterminer le champ de déplacement et le champ de contrainte autour d'une fissure dansun massif semi-infini chargé en traction dans une direction perpendiculaire au plan de la fissure commeschématisé ci-dessus. Les déplacements qui nous intéressent sont les déplacements autour de lafissure et on adopte donc le repère polaire centré sur la pointe de la fissure.


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En présence d'accidents de forme, l'habitude est d'utiliser le concept de coefficient de concentration decontraintes pour décrire la valeur de la sur-contrainte. Pour des accidents de forme standards et dansdes cas de charge identifiés (arbre épaulé en torsion, etc...) des abaques permettent de déterminer lavaleur maximale de la contrainte et de dimensionner les pièces.

Ce concept n'est plus applicable sur notre exemple. En effet, le calcul laisse apparaitre qu'en pointe defissure, pour une fissure très pointue (le rayon en pointe de fissure tend vers 0), la valeur de lacontrainte maximale tend vers l'infini! Ceci revient à dire que pour un chargement "très petit", lastructure va rompre ce qui ne correspond heureusement à aucune observation physique.

Physiquement, la pointe de la fissure n'a pas réellement un rayon de courbure nul d'une part et unezone "plastique" (hors du domaine de validité du modèle utilisé) va se développer à la pointe de lafissure d'autre part (même pour les matériaux dits fragiles). Le concept de coefficient de concentrationde contraintes n'a pas de sens puisque les hypothèses du modèle ne sont pas vérifiées pour la partiequi nous intéresse (ni pour le matériau, ni pour la géométrie)

L'idée de la mécanique de la rupture est de ne pas travailler sur cette valeur locale de la contrainte enpointe de fissure qui n'a pas de réel sens physique, mais sur l'ensemble du champ de déplacement auxabords de la fissure.

Le résultat du calcul analytique montre que le premier terme du développement limité du champ descontraintes s'écrit en quelles que soient les conditions de chargement et la géométrie de

l'éprouvette. Ce champ est multiplié par une constante appelée K et qui est fonction des conditions dechargement et de la géométrie de l'éprouvette. Cette constante a un sens physique et sera appeléefacteur d'intensité des contraintes (facteur mutiplicatif). En fait, au lieu de ne considérer qu'uneinformation locale, l'ensemble de la singularité spatiale du champ des contraintes est pris en compte.

D'une manière générale, le champ des contraintes autour de la fissure pourra toujours s'écrire sous laforme:

K, facteur d'intensité des contraintes peut se trouver sous la forme KI, KII, KIII selon le mode dechargement de la fissure.

Ainsi, si Kt (facteur de concentration de contraintes) est adimensionnel, K (facteur d'intensité descontraintes) est le produit d'une contrainte par la racine carrée d'une longueur ( )

3. Méthodes d'identification de la ténacité desmatériaux fragilesL'objectif de ce paragraphe est de mesurer la ténacité d'un matériau fragile, c'est-à-dire la valeurcritique du facteur d’intensité des contraintes.

Le facteur d'intensité des contraintes étant représentatif de l'effet de la singularité géométrique sur lechamp des contraintes, l'idée est de déterminer la valeur de ce facteur (fonction de la géométrie et duchargement) à la rupture de l'éprouvette. Afin de caractériser la ténacité d'un matériau, plusieurs géométries d’éprouvettes peuvent êtreutilisées, dont les plus courantes sont : l’éprouvette de traction compacte (éprouvette CT) etl’éprouvette de flexion. Si le comportement du matériau en cours d’essai est parfaitement élastique, ilest possible de déterminer la ténacité à partir de la mesure de la charge à rupture. On peut supposerque cette hypothèse est vérifiée pour les matériaux fragiles. Cette méthode d'identification sera étudiéeau paragraphe 3.2.2

Pour réaliser ces essais, les éprouvettes utilisées doivent être entaillées et la géométrie de cetteentaille doit être la plus proche possible de celle d’une fissure. Pour les matériaux dits ductiles, l’entaillepeut se faire à l’aide d’essais de fatigue dans lesquels la fissure se propage de manière stable. Enrevanche, pour les matériaux fragiles, la propagation de la fissure est un phénomène instable quiamène à la ruine de l’éprouvette. Cette instabilité sera illustrée au paragraphe suivant (Figure 10).Différentes méthodes de préfissuration d'éprouvettes de matériaux fragiles peuvent être utilisées l’essaisandwich étant une des plus simples à réaliser. Cet essai, introduit au paragraphe 3.1, permettra la


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préfissuration d’éprouvettes de matériau fragile (en calcaire sur notre exemple). Afin d’observer lapréfissure lors de l’essai une méthode de corrélation d’images est utilisée

3.1. Préparation des éprouvettes : préfissuration par essaissandwichL'objectif de l'essai sandwich est de générer une fissure dans une éprouvette d'un matériau fragile àpartir d'une entaille existante (réalisée à la scie par exemple) sans que cette fissure se propage àtravers toute l'éprouvette. L'essai sandwich est détaillé en annexe.

L’éprouvette entaillée de matériau fragile est placée entre deux poutres de matériaux ductiles (parexemple acier ou alliage d’aluminium). Cet ensemble est soumis à un essai de flexion trois points.


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Figures 8 et 9: photo et schéma del'essai sandwich

On choisi de prendre les poutres ductiles telles que leur rigidité (EI) soit supérieure à celle del'éprouvette. La rigidité de l'ensemble en flexion dépend comme cela surtout de la rigidité des poutresductiles. Grace à cette propriété, la fissure initiée au niveau de l'entaille se propage jusqu'à se retrouveren compression, ce qui arrête sa propagation. La localisation de cette préfissure est détectée à l'aided'une méthode de corrélation d'image (lien).

3 .2. Essais de flexion trois points

3.2.1 Mesure de ténacité par essais normalisés

Afin de mesurer la ténacité, des essais de flexion trois points sont réalisés (fig 11). Les essais sontmaintenant réalisés sur des éprouvettes pré-fissurées.

Figure 10: essai de flexion 3points

Dans le cas général, des abaques permettent de relier l'effort de rupture Pc à la ténacité KIc :

avec , et

La géométrie de l’éprouvette est connue et la charge critique est notée à la fin de chaque essai. Lamesure de a est réalisée par corrélation.

La limite de ce type de démarche (pour laquelle les abaques sont en général issus de calculs ElémentsFinis) est que la géométrie exacte de la fissure est en général assez mal maîtrisée. En particulier, pourles éprouvettes pré-fissurées à l'aide d'essais sandwich, la position exacte de la pointe de la fissure estmal maîtrisée.


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3.2.2 Mesure de ténacité par corrélation

Pour estimer le facteur d'intensité des contraintes à l'aide d'un champ mesuré et non d'un champcalculé (comme dans le cas des abaques précédemment), des champs de déplacement mesurés parcorrélation d'images peuvent être utilisés.

A l’aide de la mesure du champ de déplacement, pour différents efforts, il est possible d’estimer lefacteur d’intensité des contraintes. Pour cela, il suffit de projeter les déplacementsmesurés par la corrélation sur l’espace des déplacements de la solution analytique de Westergaard(rappel ci-dessous):

où µ est le coefficient de Lamé, le coefficient de Poisson et (r, ) les coordonnées polaires du point(l'origine est la pointe de la fissure). Le facteur d’intensité des contraintes et la position de la fissuresont déterminés par la minimisation de l’écart entre le déplacement mesuré et la solution analytique(technique des moindres carrés).

Les résultats expérimentaux sont présentés dans l'animation ci-dessous. Le calcul réalisé par le logicielde corrélation (correli LMT Cachan) n'est pas détaillé. Nous retiendrons seulement que le résultat estobtenu par projection des déplacements mesurés sur l'espace des déplacements de la solutionanalytique. Différents algorithmes de calcul sont possibles qui prennent en compte plusieurs ordres dela solution analytique afin de prendre en compte l'effet des conditions aux limites et la position réelle dela pointe de la fissure dans le calcul.

Figure 11: essai de flexion 3 points sur la blanche de Beaucaire

L'animation pour un essai réalisé sur une autre roche (calcaire crinoide) est présentée ci-dessous


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Figure 12: essai de flexion 3 points sur du calcaire crinoide

3.3. Résultats expérimentaux sur deux roches calcaires (lien)Le graphique représentent le facteur d'intensité des contraintes KI en fonction de l'effort auquell'éprouvette était soumise pendant la prise de l'image pour une roche calcaire crinoide. Le modèleanalytique (voir le modèle) montre que cette relation devrait être linéaire. La ténacité est alors la valeurdu facteur d’intensité de contrainte pour l’effort de rupture Pc.

Figure 13: graphique de KI en fonction de l'effort appliqué

Le tableau (figure 13) compare les valeurs de la ténacité par les deux méthodes pour deux roches :


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Matériau Calcaire crinoide Blanche de Beaucaire

Abaques

Ténacité (MPa.m1/2) 1.14 0.27

Corrélation

Ténacité (MPa.m1/2) 1.15 0.32

Figure 14: valeurs de la ténacité pour différentes méthodes de mesure


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Préparation des éprouvettes : préfissuration par essais sandwich

La préfissuration des éprouvettes en matériau fragile ne peut pas se faire de façon simplecar la fissuration est un phénomène instable pour ces matériaux. En effet, imaginons uneéprouvette soumise à un essai de flexion trois points (illustration figure 7). La rigidité enflexion de cette poutre est (EI), où E est le module d'Young du matériau (inchangé au cours

de l'essai) et I le moment quadratique. Pour une section rectangulaire, où b est

l'épaisseur de l'éprouvette et h son hauteur. Si l'éprouvette est entaillée, on peut admettreque la partie entaillée n'a plus aucune rigidité en flexion. Le moment quadratique vaut alors

où a est la longueur de la fissure. Cela signifie que plus la longueur de la fissure

augmente, plus la rigidité en flexion diminue. Lorsque, pour un effort donné, une fissure sepropage, elle rompt obligatoirement l'éprouvette (voir animation de la figure 7). La fissurationest un phénomène instable pour les matériaux fragiles. Ce raisonnement n'est pas valablepour les matériaux ductiles, car la plasticité apparaît. Les essais sandwich sont donc utiliséspour préfissurer les matériaux fragiles.


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Figure 7: essai de flexion 3 points sur une éprouvette entaillée

Le schéma de l’essai sandwich est représenté sur les figures 8 et 9. L’éprouvette entailléede matériau fragile est placée entre deux poutres de matériaux ductiles (par exemple acieroualliage d’aluminium). Cet ensemble est soumis à un essai de flexion trois points.


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Figures 8 et 9: photo etschéma de l'essai sandwich

On choisi de prendre les poutres ductiles telles que leur rigidité (EI) soit supérieure à cellede l'éprouvette. La rigidité de l'ensemble en flexion dépend comme cela surtout de la rigiditédes poutres ductiles. Lorsque l'éprouvette n'est pas fissurée, la ligne neutre du système(ligne où les contraintes normales sont nulles) est au centre de l'éprouvette (figure 7 et 10).Si l'éprouvette est entaillée, on peut admettre que la partie entaillée n'a plus aucune rigiditéen flexion. La ligne neutre va donc se situer entre la pointe de la fissure et la face supérieurede l'éprouvette. Cependant, comme la rigidité des poutres ductiles n'a pas changé et qu'elleest bien supérieure à celle de l'éprouvette, la ligne neutre est plus proche de la pointe de lafissure. Pour une certaine longueur de la fissure, la ligne neutre se situe au dessous de lapointe de fissure. Cela signifie que la pointe de fissure ne subit aucun effort normal, lafissure s'arrête donc. La localisation de la préfissure est détectée à l'aide d'une méthode decorrélation d'image (lien).


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Figure 10: essai sandwich pour la pré-fissuration d'éprouvettes.

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