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MINISTERE DE L’ENSEIGENEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE UNIVERSITE FERHAT ABBAS, SETIF 1 Support de Cours de Mécanique des Milieux Continus Par Mouloud Mansouri

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  • MINISTERE DE L’ENSEIGENEMENT SUPERIEUR ET DE LA

    RECHERCHE SCIENTIFIQUE

    UNIVERSITE FERHAT ABBAS, SETIF 1

    Support de Cours de

    Mécanique des Milieux Continus

    Par

    Mouloud Mansouri

  • Avant propos

    Ce document est un support de cours du module "Mécanique des Milieux Conti-

    nus", enseigné en Master 1 génie civil, spécialité Géotechnique. Le contenu de ce

    cours est conçu de façon de couvrir le programme en vigueur tout apportant quelques

    petites modifications pour des fins d’amélioration.

    Il s’agit en premier lieu, de la concaténation des deux premiers chapitres du

    programme dans un seul, en effet il nous est donné de juger qu’ils sont trop courts

    par rapport aux autres.

    En deuxième lieu, un dernier chapitre en dehors du programme est additionné.

    Même s’il peut être considéré comme facultatif, nous pensons que ce court chapitre

    permet de mettre en valeur les chapitres qui le précède en faisant la liaison entre eux

    pour arriver à formuler les problèmes. Il permet ainsi de bien conclure le programme.

    Enfin, s’agissant d’un programme adopté nouvellement pour cette année 2016-

    2017, ce support de cours n’est qu’un premier effort, il reste ainsi ouvert sur toute

    remarque constructive. Je remercie par avance tous les experts qui aurons à en jeter

    un regard pour leurs remarques. Je suis certain que leurs remarques et critiques ne

    conduisent qu’à l’amélioration du cours.

  • Table des matières

    1 Concepts généraux et préliminaires mathématiques 1

    1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    1.1.1 généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    1.1.2 Formulation et résolution des problèmes de mécanique des

    structures élastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

    1.1.2.1 Exemple de formulation d’un problème simple . . . 3

    1.2 Rappels mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    1.2.1 Repères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    1.2.2 Quelques propriétés d’opérations dans le champs tensoriel . . 5

    1.2.2.1 Opérations sur les tenseurs d’ordre 1 (vecteurs) . . . 5

    1.2.2.2 Opérations sur les tenseurs d’ordre 2 (matrices) . . . 6

    1.2.3 Notation indicielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    1.2.3.1 Notation des vecteurs et matrices . . . . . . . . . . . 7

    1.2.3.2 Convention de la somme . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.2.3.3 Notation de la dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.2.3.4 Symbole de Kronecker �ij

    . . . . . . . . . . . . . . . 8

    1.2.3.5 Symbole alternant "ijk

    . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    1.2.3.6 Connexion avec l’algèbre vectoriel : . . . . . . . . . . 9

    1.2.4 Rotation du repère de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    1.2.4.1 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    1.2.4.2 Cas particulier : Rotation plane 2D . . . . . . . . . 11

    1.2.4.3 Propriété d’orthogonalité de la matrice de transfor-

    mation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    1.2.4.4 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    2 Etat de contrainte en un point 14

    2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    2.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

  • Table des matières iii

    2.3 Tenseur de contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2.3.2 Convention de signe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    2.4 Vecteur contrainte sur un plan quelconque . . . . . . . . . . . . . . . 16

    2.5 Principe de réciprocité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    2.6 Composantes normale et tangentielle du vecteur contrainte . . . . . . 19

    2.6.1 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    2.7 Variation du tenseur de contraintes suite une rotation du repère de

    référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    2.8 Contraintes principales et directions principales . . . . . . . . . . . . 22

    2.8.1 Détermination des contraintes principales . . . . . . . . . . . 22

    2.8.2 Détermination des directions principales . . . . . . . . . . . . 23

    2.8.3 Remarques relatives aux contraintes et directions principales . 23

    2.8.4 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    2.9 Représentation de Mohr (Cas 2D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    2.9.1 Contraintes normale et tangentielle sur une facette quelconque 25

    2.9.2 Equation du cercle de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    2.9.3 Remarques sur la représentation du cercle de Mohr . . . . . . 26

    2.9.4 Application : représentation et utilisation du cercle de Mohr . 27

    2.9.5 Tricercle de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    2.10 Tenseurs de contrainte sphérique et déviateur . . . . . . . . . . . . . 30

    2.10.1 Application : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    2.11 Equations d’équilibre dans un milieu continu . . . . . . . . . . . . . 31

    2.11.1 Cas 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    2.11.2 Cas 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    3 Etat de déformation en un point 35

    3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    3.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    3.2.1 Cas 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    3.2.2 Cas 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

  • Table des matières iv

    3.2.2.1 Déformations normales . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    3.2.2.2 Distorsion ou déformation de cisaillement . . . . . . 38

    3.2.3 Cas 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    3.2.4 Unité des déformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    3.2.5 Déformation volumique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    3.2.6 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    3.3 Changement du repère de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    3.4 Déformations principales et directions principales . . . . . . . . . . . 42

    3.5 Cercle de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    3.6 Mesure des déformations : jauges de déformation électriques . . . . . 44

    3.6.1 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    3.7 Equations de compatibilité des déformations . . . . . . . . . . . . . . 46

    3.7.1 Cas 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    3.7.2 Cas 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    4 Equations constitutives ; relations contraintes - déformations pour

    les solides élastiques linéaires 50

    4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    4.2 Loi de Houke dans le cas d’une sollicitation unidirectionnelle . . . . . 50

    4.3 Loi de Hooke généralisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    4.4 Loi de Houke dans le cas d’un matériau élastique linéaire et isotrope 52

    4.4.1 Relation entre les constantes élastiques . . . . . . . . . . . . . 54

    4.4.2 Module de déformation volumique . . . . . . . . . . . . . . . 56

    4.4.3 Intervalle de variation du coefficient de Poisson . . . . . . . . 57

    4.5 Energie de déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

    4.5.1 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    4.6 Influence de la température . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

    4.6.1 Exercice d’application : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    5 Equations générales de l’élasticité linéaire 65

    5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    5.2 Bilan des équations et des inconnus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

  • Table des matières v

    5.3 Conditions aux frontières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

    5.4 Principe de Saint-Venant (1857) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

    5.5 Théorème d’unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    5.6 Approches de formulation des problèmes d’élasticité . . . . . . . . . 67

    5.6.1 Approche déplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    5.6.2 Approche contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

  • Chapitre 1

    Concepts généraux et

    préliminaires mathématiques

    1.1 Introduction

    1.1.1 généralités

    La mécanique des milieux continus "MMC" est la branche de la mécanique qui

    s’intéresse à la déformation des solides et aux écoulements des fluides. Ce dernier

    point et couramment traité indépendamment dans la sous-branche appelée Méca-

    nique des fluides, ainsi la MMC s’intéresse plus particulièrement à la déformation

    des solides.

    La MMC se base sur l’hypothèse de la continuité du milieu, c’est une hypothèse

    qui ignore les discontinuités de la structure interne de la matière pour ne s’intéresser

    qu’à son comportement global moyen. Cette hypothèse reste bien acceptable lorsque

    le volume du milieu étudié est suffisamment grand relativement à ses composants

    (différentes particules ou molécules et vides).

    Nous nous intéressons essentiellement dans ce cours à la déformation élastique

    des solides. Un solide est dit élastique si lorsqu’il est déformé sous l’effet d’un sys-

    tème de chargement, il reprend sa forme initiale une fois le système de chargement

    est éliminé. Il est dit élastique linéaire si la déformation est proportionnelle au char-

    gement appliqué indépendamment du chemin de chargement suivi (chargement ou

    déchargement) (voir Fig. 1.1).

    Les matériaux à comportement élastique jusqu’à la rupture sont rares, néanmoins

    pour des faibles déformations la majorité des matériaux se comportent de façon

  • Chapitre 1. Concepts généraux et préliminaires mathématiques 2

    FF

    F

    Eprouvette soumise

    à un chargement axial

    Comportement

    élastique

    Comportement

    élastique linéaire

    F

    Figure 1.1 – Comportement élastique et élastique linéaire

    élastique et souvent linéaire. Cette remarque est valable même pour des matériaux

    réputés par leur comportement inélastique tels que les sols.

    La théorie de l’élasticité regroupe l’ensemble des méthodes mathématiques de

    formulation et de résolution des problèmes de mécanique des solides déformables à

    comportement élastique. Cette théorie se base sur l’hypothèse de continuité qui se

    traduit mathématiquement par la description des grandeurs du problème telles que

    les déplacements, les contraintes ...etc., par des fonctions continues.

    Pour beaucoup de problèmes pratiques deux autres hypothèses sont couramment

    utilisées, à savoir l’homogénéité et l’isotropie. En mécanique des milieux continus,

    l’homogénéité se traduit par l’invariabilité des propriétés physiques et mécaniques

    dans l’espace occupé par le matériau. L’isotropie se définie par rapport à une pro-

    priété donnée, un matériau est dit isotrope par rapport à une propriété si cette

    propriété est la même dans toutes les directions.

    1.1.2 Formulation et résolution des problèmes de mécanique des

    structures élastiques

    La formulation des problèmes consiste en l’écriture des équations mathématiques

    gouvernantes. En règle générale, trois (03) familles d’équations doivent être écrites,

    notamment les équations d’équilibre, les équations de compatibilité et les équations

    constitutives. Il en résulte ainsi un système d’équations différentielles dont résolution

    aboutit la solution du problème.

    L’étape de résolution est en général difficile à cause de la complexité des systèmes

    d’équations résultants. Lorsque la résolution analytique s’avère difficile, la résolution

  • Chapitre 1. Concepts généraux et préliminaires mathématiques 3

    PP

    TT

    T 321

    (a) (b)

    X

    Y

    Figure 1.2 – Ferme à barre articulées

    numérique peut être l’alternative, plusieurs méthodes se proposent dans ce contexte,

    telles que la méthode des différences finies, la méthode des éléments finis et d’autres.

    1.1.2.1 Exemple de formulation d’un problème simple

    Afin d’illustrer les étapes de formulation et de résolution des problèmes d’élas-

    ticité, considérons le problème de la ferme simple à barre articulées montrée sur la

    figure 1.2a. La résolution du problème dans ce cas consiste en la détermination des

    tensions dans les trois (03) barres ainsi que leurs allongements (ou le déplacement

    du point d’application de la charge).

    Ecrivons d’abord les équations d’équilibre du point d’application de la charge

    (Fig. 1.2b). L’équilibre dans la direction X conduit à l’équation T2 = T3. En tenant

    compte de cette équation et en exprimant l’équilibre dans la direction Y on obtient

    la seule équation d’équilibre :

    T1 + T3p2 = P (1.1)

    C’est une équation à deux (02) inconnus, elle est insuffisante pour résoudre le

    problème. Il est ainsi nécessaire de formuler une autre équation reliant ces deux

    inconnus. Cette équation peut être obtenue en exprimant la compatibilité des allon-

    gements des trois (03), elle assure la continuité de la structure après déformation.

    En se référant à la figure (Fig. 1.3) et en admettant que les déformations résul-

    tantes sont de faibles valeurs, il est possible d’écrire l’équation :

  • Chapitre 1. Concepts généraux et préliminaires mathématiques 4

    P

    3

    1

    Figure 1.3 – Compatibilité des allongements des barres de la ferme

    �`1 = �`3p2 (1.2)

    Pour des matériaux à comportement élastique linéaire, les allongements peuvent

    être reliés aux tensions correspondantes à travers la loi de Hooke qui se traduit par

    les équations :

    �`i

    =

    Ti

    `i

    EA)

    8><

    >:

    �`1 =T1`

    EA

    �`3 =T3`

    p2

    EA

    (1.3)

    Ces équations sont couramment appelées équations constitutives

    Il est ainsi montré que la formulation du problème a consisté en l’écriture d’un

    système composé de trois familles d’équations ; les équations d’équilibre (Eq. 1.1),

    les équations de compatibilité (Eq. 1.2) et les équations constitutives (Eq. 1.3). La

    résolution de ce système d’équation permet d’obtenir les tensions dans les barres

    ainsi que leurs allongements.

    1.2 Rappels mathématiques

    1.2.1 Repères

    Nous travaillons principalement dans ce cours dans des repères Cartésiens or-

    thonormés et directs.

    • Orthonormé : axes orthogonaux et vecteurs unités normalisés (d’égales lon-

    gueurs pour les trois axes)

  • Chapitre 1. Concepts généraux et préliminaires mathématiques 5

    X1(X)

    X2(Y)

    X3(Z)

    Figure 1.4 – Repère Cartésien orthonormé direct

    • Direct )

    8>>>>><

    >>>>>:

    ~e1 ⇥ ~e2 = ~e3

    ~e2 ⇥ ~e3 = ~e1

    ~e3 ⇥ ~e1 = ~e2

    (⇥) : produit vectoriel.

    1.2.2 Quelques propriétés d’opérations dans le champs tensoriel

    On appelle dans l’espace Euclidien :

    • Tenseur d’ordre 0 : un scalaire

    • Tenseur d’ordre 1 : un vecteur (de 3 composantes)

    • Tenseur d’ordre 2 : une matrice de 9 composantes (3⇥ 3)

    1.2.2.1 Opérations sur les tenseurs d’ordre 1 (vecteurs)

    Soit dans l’espace Euclidien le scalaire A et les vecteurs ~u, ~v et ~w.

    Un vecteur ~u = u1~e1 + u2~e2 + u3~e3 est noté en notation matricielle par ses

    composantes sous la forme hu1 u2 u3i ou bien

    8>>><

    >>>:

    u1

    u2

    u3

    9>>>=

    >>>;.

    Rappelons d’abord les opérations de base sur les vecteurs :

    • Soit le produit scalaire A = ~u · ~v, la valeur de A s’obtient par l’expression

    A = u1v1 + u2v2 + u3v3

    • Soit ~w = ~u+ ~v, les composantes du vecteur ~w sont

    8>>><

    >>>:

    w1

    w2

    w3

    9>>>=

    >>>;=

    8>>><

    >>>:

    u1 + v1

    u2 + v2

    u3 + v3

    9>>>=

    >>>;

    • Soit le produit vectoriel ~w = ~u ⇥ ~v, le vecteur ~w s’obtient par le calcul du

  • Chapitre 1. Concepts généraux et préliminaires mathématiques 6

    déterminant : ~w =

    ���������

    ~e1 ~e2 ~e3

    u1 u2 u3

    v1 v2 v3

    ���������

    Propriétés d’opérations

    • ~u+ ~v = ~v + ~u, la somme des vecteurs est commutative

    • ~u · ~v = ~v · ~u, le produit scalaire est commutatif

    • ~u · (~v + ~w) = ~u · ~v + ~u · ~w, le produit scalaire est distributif

    • ~u · (~v · ~w) 6= (~u · ~v) · ~w, le produit scalaire est non associatif

    • ~u⇥ ~v = �~v ⇥ ~u, le produit vectoriel est non commutatif

    1.2.2.2 Opérations sur les tenseurs d’ordre 2 (matrices)

    Soit dans l’espace Euclidien les matrices [A], [B] et [C], de composantes aij

    , bij

    et cij

    respectivement et de dimensions (3⇥ 3).

    • Soit [C] = [A] + [B], toute composante cij

    de la matrice [C] s’obtient par :

    cij

    = aij

    + bij

    • Soit [C] = [A] [B], toute composante cij

    de la matrice [C] s’obtient par :

    cij

    = ai1 + b1j + ai2 + b2j + ai3 + b3j

    Propriétés d’opérations

    • [A] + [B] = [B] + [A], la somme des matrices est commutative.

    • [A] [B] =⇣[B]T [A]T

    ⌘T

    , le produit matriciel est non commutatif.

    • [A]⇣[B] + [C]

    ⌘= [A] [B] + [A] [C], le produit matriciel est distributif.

    • [A]⇣[B] [C]

    ⌘=

    ⇣[A] [B]

    ⌘[C], le produit matriciel est associatif.

    1.2.3 Notation indicielle

    C’est une notation qui permet l’écriture compacte et brève d’expressions et for-

    mules mathématiques.

  • Chapitre 1. Concepts généraux et préliminaires mathématiques 7

    1.2.3.1 Notation des vecteurs et matrices

    • un tenseur d’ordre 1 (vecteur) ~u de composantes hu1 u2 u3i est noté sim-

    plement ui

    sachant que i peut prendre les valeurs 1, 2 et 3.

    • un tenseur d’ordre 2 (matrice 3⇥ 3) [A] est noté aij

    , i et j peuvent prendre

    les valeurs 1, 2 et 3.

    1.2.3.2 Convention de la somme

    Lorsqu’un indice se répète deux (02) fois dans un monôme (variable ou produit

    de variables), ce monôme représente la somme de trois (03) termes qui s’obtient en

    donnant à l’indice répété successivement les valeurs 1,2 et 3.

    Exemples

    • ai

    bi

    = a1b1 + a2b2 + a3b3

    • gkk

    = g11 + g22 + g33

    • aij

    bj

    = ai1b1 + ai2b2 + ai3b3

    L’indice répété deux (02) fois est appelé indice muet, il peut être substitué par tout

    autre indice différent des indices présents dans le monôme. L’indice qui n’apparaît

    qu’une seule fois dans un monôme est appelé indice franc.

    Règles

    • Un indice ne peut répété plus que deux (02) fois dans un même monôme.

    Exemple : l’écriture aij

    bik

    ci

    est une écriture sans sens en notation indicielle.

    • Un indice franc un monôme doit être franc dans tous les monômes de la

    même équation.

    Exemples :

    xj

    = aij

    bi

    + cj

    : écriture correcte

    xj

    = aij

    bj

    + cj

    : écriture sans sens

    1.2.3.3 Notation de la dérivée

    • Soit une fonction scalaire u,

  • Chapitre 1. Concepts généraux et préliminaires mathématiques 8

    @u

    @xi

    est notée u,i

    , il convient de noter que du fait que u,i

    comporte un seul

    indice, il représente trois composantes, c-à-d u,i

    =

    8>>><

    >>>:

    u,1

    u,2

    u,3

    9>>>=

    >>>;=

    8>>><

    >>>:

    @u

    @x1

    @u

    @x2

    @u

    @x3

    9>>>=

    >>>;.

    @2u

    @xi

    @xj

    est notée u,ij

    ,

    avec u,ij

    =

    2

    6664

    u,11 u,12 u,13

    u,21 u,22 u,23

    u,31 u,32 u,33

    3

    7775=

    2

    6664

    @

    2u

    @x1@x1

    @

    2u

    @x1@x2

    @

    2u

    @x1@x3

    @

    2u

    @x2@x1

    @

    2u

    @x2@x2

    @

    2u

    @x2@x3

    @

    2u

    @x3@x1

    @

    2u

    @x3@x2

    @

    2u

    @x3@x3

    3

    7775.

    • Soit ui

    un champs vectoriel (vecteur déplacement par exemple)

    @u1@x1

    est notée u1,1, ainsi@u

    i

    @xj

    =

    2

    6664

    @u1@x1

    @u1@x2

    @u1@x3

    @u2@x1

    @u2@x2

    @u2@x3

    @u3@x1

    @u3@x2

    @u3@x3

    3

    7775

    Il est à remarquer que la convention de la somme reste valable pour tous les type

    d’indices (indices relatifs à la fonction et à la variable).

    Exemples :

    ui,i

    = u1,1 + u2,2 + u3,3,

    u,ii

    = u,11 + u,22 + u,33.

    1.2.3.4 Symbole de Kronecker �ij

    Il est défini par : �ij

    =

    8><

    >:

    1 si i = j

    0 si i 6= j, c-à-d �

    ij

    =

    2

    6664

    1 0 0

    0 1 0

    0 0 1

    3

    7775

    1.2.3.5 Symbole alternant "ijk

    Il est défini par :

    "ijk

    = 1 si le triplet ijk s’obtient par un nombre de permutations paire à partir

    du triplet 123

    "ijk

    = �1 si le triplet ijk s’obtient par un nombre de permutations impaire à

    partir du triplet 123

  • Chapitre 1. Concepts généraux et préliminaires mathématiques 9

    "ijk

    = 0 si deux des indices sont égaux

    1.2.3.6 Connexion avec l’algèbre vectoriel :

    Opérations sur les vecteurs

    Soit trois vecteurs ~u, ~v et ~w définis dans le repère X(O, ~e1, ~e2, ~e3).

    • Vecteur : ~u = ui

    ~ei

    • Produit scalaire : ~u · ~v = ui

    vi

    • Produit vectoriel : ~u⇥ ~v = "ijk

    ~ei

    uj

    vk

    , en détaillant la triple somme (sur i, j

    et k) on obtient :

    ~u⇥ ~v =

    8>>><

    >>>:

    "1jkujvk

    "2jkujvk

    "3jkujvk

    9>>>=

    >>>;=

    8>>><

    >>>:

    u2v3 � u3v2u1v3 � u3v1u1v2 � u2v1

    9>>>=

    >>>;

    • Opérateur de dérivation Nabla : ~r = @@xi

    ~ei

    • Gradient d’une fonction scalaire u : ~ru = @u@xi

    ~ei

    = u,i

    ~ei

    • Divergence d’une fonction vectorielle ~u : ~r · ~u = @ui@xi

    = ui,i

    Opérations sur les matrices

    Soit dans le champs tensoriel d’ordre 2 les matrices [A], [B], [C] et [D]. Une

    matrice telle que [A] par exemple, si écrite seule, elle peut être notée aij

    , ail

    ou akl

    ... etc, c-à-d le choix des indices n’est pas important.

    • Soit [C] = [A] [B], toute composante cij

    s’obtient par : cij

    = aik

    bkj

    • Soit [C] = [A]T [B], toute composante cij

    s’obtient par : cij

    = aki

    bkj

    • Soit [D] = [A] [B] [C], toute composante cij

    s’obtient par : dij

    = aik

    bkl

    clj

    Règle :

    Lorsqu’on a la transposée d’une matrice dans une expression, on écrit l’expression

    sous la forme indicielle comme s’il n’y a pas la transposée puis on permute les indices

    de la matrice concernée.

  • Chapitre 1. Concepts généraux et préliminaires mathématiques 10

    O

    Figure 1.5 – Rotation du repère de référence

    1.2.4 Rotation du repère de référence

    1.2.4.1 Cas général

    Soit dans l’espace Euclidien les repères orthonormés X(O,~e1,~e2,~e3) et

    X 0(O, ~e01, ~e02, ~e03) (Fig. 1.5).

    Soit le vecteur ~v tel que :

    ~v = vi

    ~ei

    = v0i

    ~e0i

    (1.4)

    Quelle est la relation entre vi

    et v0i

    ?.

    Soit la matrice des cosinus directeurs des vecteurs unités du repère X 0 par rap-

    port au repère X :

    [A] =

    2

    6664

    cos(

    ~e01,~e1) cos(~e01,~e2) cos(~e01,~e3)

    cos(

    ~e02,~e1) cos(~e02,~e2) cos(~e02,~e3)

    cos(

    ~e03,~e1) cos(~e03,~e2) cos(~e03,~e3)

    3

    7775=

    2

    6664

    ~e01 · ~e1 ~e01 · ~e2 ~e01 · ~e3~e02 · ~e1 ~e02 · ~e2 ~e02 · ~e3~e03 · ~e1 ~e03 · ~e2 ~e03 · ~e3

    3

    7775(1.5)

    En notation indicielle une composante aij

    de la matrice s’écrit :

    aij

    = cos(

    ~e0i

    ,~ej

    ) =

    ~e0i

    · ~ej

    , le 1er indice est relié à ~e0 et le 2nd indice à ~e.

    • Multiplions à droite l’équation (Eq. 1.4) par ~e0j

    , on obtient :

    vi

    ~ei

    · ~e0j

    = v0i

    ~e0i

    · ~e0j

    Tenons compte que ~ei

    · ~e0j

    = aji

    , ~e0i

    · ~e0j

    = �ij

    et v0i

    �ij

    = v0j

    (voir démons-

  • Chapitre 1. Concepts généraux et préliminaires mathématiques 11

    tration en pied de page 1), il en résulte :

    v0j

    = aji

    vi

    ou bien v0i

    = aij

    vj

    (1.6)

    Soit en notation matricielle :

    �v0 = [A] {v} (1.7)

    • De la même façon, multiplions à droite l’équation (Eq. 1.4) par ~ej

    , on obtient :

    vj

    = aij

    v0i

    ou bien vi

    = aji

    v0j

    (1.8)

    Soit en notation matricielle :

    {v} = [A]T�v0

    (1.9)

    1.2.4.2 Cas particulier : Rotation plane 2D

    On considère le repère X 0 qui s’obtient par rotation du repère X autour de son

    3

    eme axe, c-à-d : ~e03 = ~e3 (Fig. 1.6).

    O

    Figure 1.6 – Rotation du repère de référence, cas 2D.

    1. v0i�ij = v01�1j + v

    02�2j + v

    03�3j =

    8<

    :

    v01 si j = 1v02 si j = 2v03 si j = 3

    9=

    ; = v0j

  • Chapitre 1. Concepts généraux et préliminaires mathématiques 12

    La matrice de transformation devient dans ce cas :

    [A] =

    2

    6664

    cos ✓ sin ✓ 0

    � sin ✓ cos ✓ 0

    0 0 1

    3

    7775(1.10)

    1.2.4.3 Propriété d’orthogonalité de la matrice de transformation

    La matrice de transformation [A] est dite orthogonale 2, puisque :

    [A] [A]T = [A]T [A] = [I], [I] est la matrice identité.

    Preuve : Combinons les équations : {v} = [A]T {v0} et {v0} = [A] {v}, on obtient :

    {v} = [A]T [A] {v} par conséquence : [A]T [A] = [I]

    1.2.4.4 Application

    Soit dans l’espace Euclidien deux repères orthormés direct X(O,~e1,~e2,~e3) et

    X 0(O, ~e01, ~e02, ~e03). Les cosinus directeurs des vecteurs ~e01, ~e02 et ~e03 dans le repère

    X sont donnés par : ~e01⇣

    1p3, 1p

    3, 1p

    3

    ⌘, ~e02

    ⇣� 1p

    2, 1p

    2, 0⌘

    et ~e03⇣� 1p

    6,� 1p

    6,q

    23

    ⌘.

    Déterminer les composantes hv01, v02, v03i du vecteur ~v ayant les composantes h2, 3, 0i

    dans le repère X.

    Réponse :

    Matrice de transformation : [A] =

    2

    6664

    1p3

    1p3

    1p3

    � 1p2

    1p2

    0

    � 1p6� 1p

    6

    q23

    3

    7775

    {v0} = [A] {v}, d’où :

    8>>><

    >>>:

    v01

    v02

    v03

    9>>>=

    >>>;=

    2

    6664

    1p3

    1p3

    1p3

    � 1p2

    1p2

    0

    � 1p6� 1p

    6

    q23

    3

    7775

    8>>><

    >>>:

    2

    3

    0

    9>>>=

    >>>;=

    8>>><

    >>>:

    5p3

    1p2

    � 5p6

    9>>>=

    >>>;

    Exercices

    Exercice 1 : Soit �ij

    le symbole de Kronecker et "ijk

    le symbole alternant, quel est

    la valeur numérique du produit �ij

    "ijk

    ?

    2. En algèbre linéaire, une matrice orthogonale est une matrice carrée de composantes réelles

    et dont les colonnes et les lignes sont des vecteurs unités orthogonaux.

  • Chapitre 1. Concepts généraux et préliminaires mathématiques 13

    Exercice 2 : Le système d’équation d’équilibre en élastostatique s’écrit :

    �ij,j

    + fi

    = 0. Réécrire le en détail.

    Exercice 3 : Soit �ij

    le symbole de Kronecker, et aij

    un tenseur d’ordre 2. Que

    représente le produit �ij

    aij

    ? la matrice aij

    où bien la trace de la matrice aij

    , étayer

    votre réponse.

    Exercice 4 : Soit xi

    = aij

    yj

    avec yi

    = bij

    zj

    . Eliminer la variable y pour écrire x en

    terme de z seul.

    Exercice 5 : Soit les tenseurs ui

    et bij

    d’ordre 1 et 2 respectivement, tels que :

    {u} =

    8>>><

    >>>:

    1

    4

    2

    9>>>=

    >>>;et [B] =

    2

    6664

    1 0 3

    0 2 2

    3 2 4

    3

    7775écrits par référence au repère (O,~e1,~e2,~e3).

    1. Dire pour chacune des quantités suivantes s’il s’agit d’un scalaire, d’un vec-

    teur, ou d’une matrice, puis calculer explicitement le résultat : bij

    bij

    , ui

    uj

    ,

    bik

    bjk

    .

    2. Ecrire le tenseur ui

    par référence au repère orthonormé (O, ~e01, ~e02, ~e03) mon-

    tré sur la figure ci-dessous.

    y

    x

    z

    O

    60°

    y'

    x'

    z'

    Exercice 6 : Soit le vecteur ~v de composantes h�3 3 0i par ré-

    férence à un repère orthonormé (O,~e1,~e2,~e3). Déterminer ses compo-

    santes par référence au repère orthonormé (O, ~e01, ~e02, ~e03) tel que :8><

    >:

    cos

    ⇣~e01,~e1

    ⌘= cos

    ⇣~e01,~e2

    ⌘= cos

    ⇣~e01,~e3

    ⌘> 0

    le vecteur ~e02 est contenu dans le plan⇣O, ~e01, ~e02

    ⌘et cos

    ⇣~e02,~e1

    ⌘< 0

  • Chapitre 2

    Etat de contrainte en un point

    2.1 Introduction

    En mécanique des Milieux Continus, les forces extérieures qui s’appliquent au

    milieu peuvent être classées en deux types notamment :

    • Les forces de surface : ce sont les forces agissantes par contact direct sur la

    surface extérieure.

    • Les forces de volume : ce sont les forces agissantes sur des élément volumiques

    à distance (sans contact). Par exemples la force de gravité, la force centrifuge,

    la force magnetique, ...etc.

    Ces forces extérieures provoquent des efforts internes (effort normal, effort tran-

    chant, moment fléchissant, ...etc.), qui sont les résultantes des contraintes agissantes

    à l’intérieur du milieu.

    2.2 Définition

    Considérons un corps solide en équilibre sous l’effet d’un système de forces (Fig.

    2.1a). Si ce corps est coupé en deux parties par une surface S (Fig. 2.1b), chaque élé-

    ment �S de cette surface sera soumis à un vecteur force �~f (Fig. 2.1c). L’ensemble

    des vecteurs �~f maintiennent l’équilibre du corps.

    Soit ~n le vecteur unité normal à �S et O le centre de �S. Les vecteurs �~f et

    ~n ne sont pas forcement parallèles.

    On appelle vecteur contrainte agissant au point O sur la surface de normale ~n

    le vecteur ~t donné par :

    ~t = lim�S!0

    ~f

    �S

    !(2.1)

  • Chapitre 2. Etat de contrainte en un point 15

    (c)(b)(a)

    Figure 2.1 – Définition de la contrainte

    Tant que le milieu est en équilibre, cette limite existe et elle est finie.

    Au même point O le vecteur ~t dépend de l’orientation de �S (c-à-d de l’orien-

    tation de ~n).

    2.3 Tenseur de contraintes

    2.3.1 Définition

    Considérons un parallélépipède infinitésimal autour du point O, dont les facettes

    sont parallèles aux plans XY , XZ et Y Z (Fig. 2.2(a)).

    X

    Y

    Z

    O

    X

    Y

    Z

    +-

    facette facette

    (a) (b)

    Figure 2.2 – (a) Composantes du tenseur de contraintes, (b) Illustration de facettespositive et négative.

    Sur chacune des six (06) facettes il agit un vecteur contrainte pouvant être

    décomposé en trois composantes. Les composantes normales aux facettes sont notées

    � et les composantes tangentes aux facettes sont notées ⌧ .

    A chacune des composantes on attribue deux indices ; le 1er indique la facette

    sur laquelle elle agit 1 et le 2nd indique sa direction.

    1. La facette est désignée par sa normale x, y ou z.

  • Chapitre 2. Etat de contrainte en un point 16

    Ces contraintes arrangées en une matrice (3 ⇥ 3) composent le tenseur de

    contraintes au point O par référence au repère (O,X, Y, Z), il s’écrit :

    [�] =

    2

    6664

    �xx

    ⌧xy

    ⌧xz

    ⌧yx

    �yy

    ⌧yz

    ⌧zx

    ⌧zy

    �zz

    3

    7775(2.2)

    Les contraintes normales peuvent être écrites sans ambiguïté avec un seul indice,

    c-à-d : �xx

    = �x

    , �yy

    = �y

    et �zz

    = �z

    .

    En notation indicielle le tenseur de contraintes s’écrit : �ij

    =

    2

    6664

    �11 �12 �13

    �21 �22 �23

    �31 �32 �33

    3

    7775.

    2.3.2 Convention de signe

    Il convient d’abord d’introduire la notion de facette positive et négative. On

    appelle facette positive celle pour laquelle la normale sortante est orientée dans

    la direction positive et facette négative celle pour laquelle la normale sortante est

    orientée dans la direction négative (Fig. 2.2(b)).

    Une composante de contrainte est positive si elle agit dans le sens positif sur la

    facette positive, elle est aussi positive si elle agit dans le sens négatif sur la facette

    négative, dans les autres cas la contrainte est négative.

    Remarque : Comme conséquence à cette convention, pour les contraintes normales

    la traction est positive et la compression est négative.

    2.4 Vecteur contrainte sur un plan quelconque

    Soit en un point O, le tenseur de contraintes est donné par référence à un re-

    père (O,X, Y, Z). Quel est le vecteur contrainte ~t agissant au point O sur un plan

    quelconque défini par sa normale ~n ?.

    Considérons le tétraèdre infinitésimal autour du point O montré sur la figure

    2.3a. �S(ABC) étant la facette sur laquelle on recherche le vecteur contrainte, son

    orientation est définie par sa normale unitaire ~n dont les cosinus directeurs sont

  • Chapitre 2. Etat de contrainte en un point 17

    O

    X

    Y

    Z

    A

    B

    C

    X

    Y

    Z

    (a) (b)

    Figure 2.3 – (a) Tétraèdre autour du point O formé à partir de la surface �S, (b)Contraintes agissantes sur le tétraèdre

    h` m ni. �S1, �S2 et �S3 sont les projections de �S sur les plans de normales

    ~e1, ~e2 et ~e3 respectivement (c-à-d les projections sur les plans Y Z, XZ et XY

    respectivement), elles peuvent être exprimées :

    �S1 = `.�S, �S2 = m.�S, �S3 = n.�S (2.3)

    (Voir démonstration en bas de page) 2

    Soit [�] le tenseur de contraintes au point O par référence à un repère

    (O,X, Y, Z). Les contraintes agissantes sur les facettes du tétraèdre �S1, �S2 et

    �S3 sont donc connues, elles sont montrées sur la figure 2.3b. Pour déterminer les

    2. Démonstration : référons-nous à la figure suivante :

    O

    X

    Y

    Z

    N

    A

    B

    C

    O Y

    N

    B

    Soit N un point de �S tel que ~ON?�S. cos (~n,~e2) = ONOB ) ON = OB cos (~n,~e2) = m.OBDe façon similaire on peut démontrer que : ON = `.OA = m.OB = n.OC (a)Par ailleurs, le volume du tétraèdre peut être exprimé :

    V = 13�S.ON =13�S1.OA =

    13�S2.OB =

    13�S3.OC d’où :

    8><

    >:

    �S.ON = �S1.OA

    �S.ON = �S2.OB

    �S.ON = �S3.OB

    (b)

    En combinant les équations (a) et (b) on obtient : �S1 = `�S, �S2 = m�S, �S3 = n�S.

  • Chapitre 2. Etat de contrainte en un point 18

    composantes du vecteur contrainte ~thtx

    ty

    tz

    i, écrivons alors l’équilibre des forces

    agissantes sur le tétraèdre

    • Equilibre dans la direction x : tx

    .�S = �x

    .�S1 + ⌧yx.�S2 + ⌧zx.�S3

    En prenant en compte les relations 2.3 on obtient :

    tx

    = �x

    .`+ ⌧yx

    .m+ ⌧zx

    .n (2.4)

    De la même façon on obtient les équations correspondantes aux directions y

    et z

    • Equilibre dans la direction y :

    ty

    = ⌧xy

    .`+ �y

    .m+ ⌧zy

    .n (2.5)

    • Equilibre dans la direction z :

    tz

    = ⌧xz

    .`+ ⌧yz

    .m+ �z

    .n (2.6)

    Ces équations (Eqs. 2.4, 2.5 et 2.6) peuvent être regroupées dans une écriture ma-

    tricielle sous la forme :

    8>>><

    >>>:

    tx

    ty

    tz

    9>>>=

    >>>;=

    2

    6664

    �x

    ⌧yx

    ⌧zx

    ⌧xy

    �y

    ⌧zy

    ⌧xz

    ⌧yz

    �z

    3

    7775

    8>>><

    >>>:

    `

    m

    n

    9>>>=

    >>>;(2.7)

    Soit sous forme simplifiée :

    {t} = [�]T {n} (2.8)

    2.5 Principe de réciprocité

    Enoncé : "Sur deux facettes orthogonales, les composantes des contraintes tan-

    gentielles perpendiculaires à l’arrête commune sont égales et simultanément dirigées

    vers cette arrête ou bien dans la direction contraire." (voir la figure illustrative Fig.

    2.4).

  • Chapitre 2. Etat de contrainte en un point 19

    Figure 2.4 – Illustration du principe de réciprocité

    Justification : Il est évident que sur deux facettes opposées les contraintes tangen-

    tielles sont de valeurs égales mais de directions opposées ⌧ , pour assurer l’équilibre

    vis-à-vis de la rotation il faut avoir sur les facettes perpendiculaires aux premières

    des contraintes tangentielles égales à ⌧ aussi mais qui produisent un moment inverse,

    d’où découle le principe de réciprocité.

    Conséquences

    • ⌧xy

    = ⌧yx

    , ⌧xz

    = ⌧zx

    et ⌧yz

    = ⌧zy

    • [�]T = [�]

    • L’équation 2.8 s’écrit plus simplement :

    {t} = [�] {n} (2.9)

    Soit en notation indicielle :

    ti

    = �ij

    nj

    (2.10)

    2.6 Composantes normale et tangentielle du vecteur

    contrainte

    Sur toute facette de normale ~n, le vecteur contrainte agissant ~t peut être décom-

    posé en deux composantes ; normale et tangentielle :

    • Contrainte normale : � = ~t · ~n (projection de ~t sur ~n)

    • Contrainte tangentielle : ⌧ =qk~tk2 � �2

    Composantes normale et tangentielle sous forme de vecteurs :

    • Contrainte normale : ~� = �~n =�~t · ~n

    �~n

    • Contrainte tangentielle : ~⌧ = ~t� ~�

  • Chapitre 2. Etat de contrainte en un point 20

    2.6.1 Application

    Soit en un point O le tenseur de contraintes par référence à un repère

    (O,X, Y, Z) : [�] =

    2

    6664

    10 �5 0

    �5 8 3

    0 3 0

    3

    7775Mpa

    Calculer le vecteur contrainte ainsi que ses composantes normale et tangentielle

    sur la facette de normale parallèle au vecteur ~uh2 3 1i.

    Réponse

    Normale unitaire du plan :{n} = 1p22+32+12

    8>>><

    >>>:

    2

    3

    1

    9>>>=

    >>>;=

    1p14

    8>>><

    >>>:

    2

    3

    1

    9>>>=

    >>>;

    Vecteur contrainte : {t} = [�] {n} )

    8>>><

    >>>:

    tx

    ty

    tz

    9>>>=

    >>>;=

    2

    6664

    10 �5 0

    �5 8 3

    0 3 0

    3

    77751p14

    8>>><

    >>>:

    2

    3

    1

    9>>>=

    >>>;

    d’où

    8>>><

    >>>:

    tx

    ty

    tz

    9>>>=

    >>>;=

    1p14

    8>>><

    >>>:

    5

    17

    9

    9>>>=

    >>>;

    Contrainte normale : � = ~t ·~n = 1p14h5 17 9i 1p

    14

    8>>><

    >>>:

    2

    3

    1

    9>>>=

    >>>;=

    114(10+51+9) = 5Mpa

    Contrainte tangentielle : ⌧ =qk~tk2 � �2 =

    q114(25 + 289 + 81)� 25 ⇡ 1.79Mpa

    2.7 Variation du tenseur de contraintes suite une rota-

    tion du repère de référence

    On considère deux repère orthonormés d’origine O ; (O,X, Y, Z) et

    (O,X 0, Y 0, Z 0). L’état de contrainte au point O est défini par le tenseur [�] par

    référence au repère (O,X, Y, Z).

    Soit [�0] le tenseur de contraintes au même point par référence au repère

    (O,X 0, Y 0, Z 0). En connaissant l’orientation de ce repère par rapport au premier,

    quelle est la relation entre [�] et [�0] ?. Pour aboutir à cette relation utilisons les

  • Chapitre 2. Etat de contrainte en un point 21

    relations de transformation des vecteurs d’un repère à l’autre (Eqs. 1.7 et 1.9) avec

    la relation vecteur contrainte - tenseur de contrainte (Eq. 2.9).

    Soit ~t le vecteur contrainte sur une facette de normale ~n. Les vecteurs ~t et

    ~n ont les composantes htx

    ty

    tz

    i et h` m ni respectivement par rapport au

    repère (O,X, Y, Z) et les composantes ht0x

    t0y

    t0z

    i et h`0 m0 n0i respectivement

    par rapport au repère (O,X 0, Y 0, Z 0).

    Soit [A] la matrice de transformation composée des cosinus directeurs des axes

    du repère (O,X 0, Y 0, Z 0) par rapport au repère (O,X, Y, Z).

    Les relations de transformation des vecteurs d’un repère à l’autre (Eqs. 1.7 et

    1.9) et la relation vecteur contrainte - tenseur de contrainte (Eq. 2.9) permettent

    d’écrire le système d’équations :

    8>>>>><

    >>>>>:

    {t0} = [A] {t} (a)

    {t} = [�] {n} (b)

    {n} = [A]T {n0} (c)

    La combinaison des équations (a) et (b) conduit à {t0} = [A] [�] {n}, et la com-

    binaison de cette dernière avec l’équation (c) aboutit à l’équation

    �t0 = [A] [�] [A]T

    �n0

    (2.11)

    La comparaison de cette équation à la relation vecteur contrainte - tenseur de

    contrainte dans le repère (O,X 0, Y 0, Z 0) ({t0} = [�0] {n0}) permet de déduire la

    relation de transformation :

    ⇥�0⇤= [A] [�] [A]T (2.12)

    Soit en notation indicielle :

    �0ij

    = aik

    �kl

    ajl

    (2.13)

    Remarque : La transformation inverse [�] en fonction de [�0] peut être obtenu en

    tenant compte de la propriété [A] [A]T = [I], soit : [�] = [A]T [�0] [A].

  • Chapitre 2. Etat de contrainte en un point 22

    2.8 Contraintes principales et directions principales

    Soit en un point O, l’état de contrainte est défini par le tenseur [�] par référence

    au repère (O,X, Y, Z). On se propose d’écrire l’équation :

    {t} = [�] {n} = � {n} (2.14)

    où {n} défini la normale unitaire d’un plan passant par O et � est un scalaire.

    Si cette équation est vérifiée sur une direction {n} donnée, le vecteur contrainte

    {t} est parallèle au vecteur {n}. Dans ce cas la direction {n} est dite direction

    principale et � est dit contrainte principale associée à cette direction. Le plan normal

    à cette direction est appelé plan principal. Un plan principal est un plan sur lequel

    la composante tangentielle de la contrainte est nulle.

    2.8.1 Détermination des contraintes principales

    Théorème

    � est une contrainte principale si est seulement si � est solution de l’équation :

    � �3 + I1�2 � I2�+ I3 = 0 (2.15)

    où :8>>>>>>>>><

    >>>>>>>>>:

    I1 = �x + �y + �z = �pp

    I2 =

    �������

    �x

    ⌧xy

    ⌧xy

    �y

    �������+

    �������

    �x

    ⌧xz

    ⌧xz

    �z

    �������+

    �������

    �y

    ⌧yz

    ⌧yz

    �z

    �������= �

    x

    �y

    + �x

    �z

    + �y

    �z

    � ⌧2xy

    � ⌧2xz

    � ⌧2yz

    I3 = det [�] = �x�y�z � �x⌧2yz

    � �y

    ⌧2xz

    � �z

    ⌧2xy

    + 2⌧xy

    ⌧xz

    ⌧yz

    (2.16)

    Les coefficients I1, I2 et I3 sont appelés invariants du tenseur de contraintes ;

    I1 : 1er invariant ou invariant de 1re espèce

    I2 : 2e invariant ou invariant de 2e espèce

    I3 : 3e invariant ou invariant de 3e espèce

  • Chapitre 2. Etat de contrainte en un point 23

    Remarque : I1, I2 et I3 n’ont pas les mêmes unités 3, ils sont dit invariants parce

    qu’ils sont indépendants de l’orientation du repère de référence.

    Démonstration

    Partons de l’équation 2.14 :

    [�] {n} = � {n} ) ([�]� � [I]) {n} = {0}

    [I] est la matrice identité.

    Pour {n} 6= {0} il faut avoir : det ([�]� � [I]) = 0

    )

    ���������

    �x

    � � ⌧xy

    ⌧xz

    ⌧xy

    �y

    � � ⌧yz

    ⌧xz

    ⌧yz

    �z

    � �

    ���������

    = 0 d’où l’équation ��3 + I1�2 � I2�+ I3 = 0

    2.8.2 Détermination des directions principales

    A chacune des contraintes principales �i

    correspond une direction principale

    définie par un vecteur unité ~ni

    qui s’obtient en résolvant l’équation :

    ([�]� �i

    [I]) {n}i

    = {0} (2.17)

    2.8.3 Remarques relatives aux contraintes et directions principales

    1. Il existe au plus trois (3) valeurs principales distinctes � = �1, � = �2 et � =

    �3. Par convention ces contraintes sont numérotées tel que : �1 � �2 � �3.

    2. Les trois directions principales sont orthogonales l’une par rapport à l’autre,

    par conséquence, elles peuvent être prises comme base d’un repère de réfé-

    rence. Dans ce repère le tenseur de contrainte et ses invariants s’écrivent :

    [�] =

    2

    6664

    �1 0 0

    0 �1 0

    0 0 �1

    3

    7775

    I1 = �1 + �2 + �3

    I2 = �1�2 + �1�2 + �2�3

    I3 = �1�2�3

    3. c’est pour cette raison qu’ils sont considérés de différentes espèces

  • Chapitre 2. Etat de contrainte en un point 24

    2.8.4 Application

    Soit en un point O le tenseur de contraintes par référence à un repère

    (O,X, Y, Z) : [�] =

    2

    6664

    1 1 0

    1 1 0

    0 0 3

    3

    7775Mpa

    Déterminer les contraintes et les directions principales au point O.

    Réponse

    1. Contraintes principales :

    Equation caractéristique : ��3 + I1�2 � I2�+ I3 = 0

    I1 = �x + �y + �z = 5 Mpa

    I2 = �x�y + �x�z + �y�z � ⌧2xy

    � ⌧2xz

    � ⌧2yz

    = 6 Mpa2

    I3 = �x�y�z � �x⌧2yz

    � �y

    ⌧2xz

    � �z

    ⌧2xy

    + ⌧xy

    ⌧xz

    ⌧yz

    = 0 Mpa3

    D’où l’équation : ��3 + 5�2 � 6� = 0

    Solutions de l’équation : � = 0, � = 3 et � = 2

    Contraintes principales par ordre : �1 = 3Mpa, �2 = 2Mpa, �3 = 0

    2. Directions principales :

    Equation caractéristique : ([�]� �i

    [I]) {n}i

    = {0}

    )

    2

    6664

    �x

    � �i

    ⌧xy

    ⌧xz

    ⌧xy

    �y

    � �i

    ⌧yz

    ⌧xz

    ⌧yz

    �z

    � �i

    3

    7775

    8>>><

    >>>:

    li

    mi

    ni

    9>>>=

    >>>;=

    8>>><

    >>>:

    0

    0

    0

    9>>>=

    >>>;

    avec li

    , mi

    et ni

    sont les composantes du vecteur unité ~ni

    Il convient de remarquer que ce système d’équations ne donne que deux

    équations indépendantes, pour obtenir les trois composantes du vecteur il est

    donc nécessaire de le compléter par l’équation l2i

    +m2i

    + n2i

    = 1.

    La résolution du système d’équations pour les trois contraintes principales �1,

    �2 et �3 donne les trois vecteurs unités définissant les directions principales

    respectivement :

    {n}T1 = h0 0 1i, {n}T

    2 = h1p2

    1p2

    0i et {n}T3 = h1p2

    � 1p2

    0i.

  • Chapitre 2. Etat de contrainte en un point 25

    X

    Y

    OX

    Y

    OX

    Y

    O

    X'

    Y'

    (c)(b)(a)

    Figure 2.5 – (a) Composantes du tenseur de contraintes dans un repère 2D. (b)Composantes normale et tangentielle du vecteur contrainte sur une facette de nor-male faisant un angle ✓ avec l’axe x. (c) Analogie entre les contraintes recherchées(� et ⌧) et les composantes du tenseur de contraintes dans un autre repère.

    2.9 Représentation de Mohr (Cas 2D)

    Cette représentation permet de montrer comment varient les contraintes normale

    et tangentielle sur une facette lorsque celle-ci change d’orientation. Pour des raisons

    de simplicité on s’intéresse au cas 2D, c’est le cas où l’orientation de la troisième

    dimension coïncide avec une direction principale.

    Soit en un point O le tenseur de contraintes par référence à un repère

    (O,X, Y, Z) : [�] =

    2

    6664

    �x

    ⌧xy

    0

    ⌧xy

    �y

    0

    0 0 �z

    3

    7775

    Ce tenseur qui indique que la direction Z est une direction principale, peut

    être écrit sous la forme [�] =

    2

    4�x ⌧xy⌧xy

    �y

    3

    5, tout en gardant en tête que �z

    est une

    contrainte principale pouvant être non nulle. Ses composantes peuvent être repré-

    sentées dans un repère (O,X, Y ) comme montré sur la figure 2.5a.

    2.9.1 Contraintes normale et tangentielle sur une facette quel-

    conque

    Les composantes normale et tangentielle du vecteur contrainte agissant sur une

    facette de normale ~n faisant un angle quelconque ✓ avec l’axe x (� et ⌧ sur la figure

    2.5b), peuvent être vues comme les composantes �x

    0 et ⌧x

    0y

    0 du tenseur de contraintes

    écrit dans un nouveau repère (O,X 0, Y 0) faisant une rotation ✓ par rapport au repère

    initial (O,X, Y ) (Fig. 2.5c).

  • Chapitre 2. Etat de contrainte en un point 26

    En employant la relation de transformation 2.12⇣[�0] = [A] [�] [A]T

    ⌘, on obtient

    les expressions des contraintes :

    � = �x

    0= �

    x

    cos

    2 ✓ + 2⌧xy

    cos ✓ sin ✓ + �y

    sin

    2 ✓

    ⌧ = ⌧x

    0y

    0= � (�

    x

    � �y

    ) cos ✓ sin ✓ + ⌧xy

    �cos

    2 ✓ � sin2 ✓�

    En tenant compte des relations : cos2 ✓ = 12 (1 + cos 2✓) et sin2 ✓ = 12 (1� cos 2✓),

    les expressions des contraintes normale et tangentielle sur une facette de normale

    faisant un angle ✓ avec l’axe x peuvent s’ecrire :

    8><

    >:

    � = �x+�y2 +�x��y

    2 cos 2✓ + ⌧xy sin 2✓ (a)

    ⌧ = ��x��y2 sin 2✓ + ⌧xy cos 2✓ (b)(2.18)

    2.9.2 Equation du cercle de Mohr

    Réécrivons les équations 2.18 sous la forme :8><

    >:

    � � �x+�y2 =�x��y

    2 cos 2✓ + ⌧xy sin 2✓

    ⌧ = ��x��y2 sin 2✓ + ⌧xy cos 2✓

    En élevant ces dernières équations au carré puis les superposant on obtient l’équa-

    tion : ✓� � �x + �y

    2

    ◆2+ ⌧2 =

    ✓�x

    � �y

    2

    ◆2+ ⌧2

    xy

    (2.19)

    C’est l’équation d’un cercle dans le plan (�, ⌧) de centre⇣�x+�y

    2 , 0⌘

    et de rayon

    r =

    r⇣�x��y

    2

    ⌘2+ ⌧2

    xy

    , c’est le cercle de Mohr (Fig. 2.6a).

    2.9.3 Remarques sur la représentation du cercle de Mohr

    • Chaque point sur le cercle de Mohr représente les contraintes normale et tan-

    gentielle (�, ⌧) sur une facette passant par le point O dont l’état de contrainte

    est défini par le tenseur [�] =

    2

    4�x ⌧xy⌧xy

    �y

    3

    5.

    • Les équations 2.18 indiquent qu’une rotation d’un angle ✓ dans le plan phy-

    sique (xy), s’accompagne d’une rotation de 2✓ sur le cercle de Mohr. Ainsi

    les facettes orthogonales (faisant un angle ⇡/2 entre elles) sont représentées

  • Chapitre 2. Etat de contrainte en un point 27

    r

    (a) (b)

    A

    B

    (c)

    a a =

    Figure 2.6 – (a) Cercle de Mohr. (b) Points représentants les facettes de normales~ex

    et ~ey

    sur le cercle de Mohr

    par des points symétriques (par rapport au centre) sur le cercle de Mohr. Sur

    la figure 2.6b sont montrés - à titre d’illustration - les points représentants

    les facettes orthogonales de normales ~ex

    et ~ey

    ; points A et B respectivement.

    • Dans la représentation de Mohr la contrainte normale obéit à la même conven-

    tion de signe adopté précédemment (� : traction, : compression). Cepen-

    dant, la contrainte tangentielle est considérée positive si elle agit dans le sens

    des aiguilles d’une montre et négative dans le sens contraire (voir Fig. 2.6c).

    Avec cette convention le sens de rotation sur le cercle de Mohr est le même

    que celui de la rotation dans le plan physique.

    • Le cercle de Mohr caractéristique de l’état de contrainte en un point peut être

    tracé si le tenseur de contraintes est donné. En effet deux points du cercle

    sont directement donnés par les coordonnées A(�x

    ,�⌧xy

    ) et B(�y

    , ⌧xy

    ), le

    centre du cercle s’obtient par l’intersection du segment [AB] avec l’axe �.

    2.9.4 Application : représentation et utilisation du cercle de Mohr

    Soit en un point O l’état de contrainte est défini par le tenseur [�] =

    2

    41 1

    1 1

    3

    5Mpa

    par référence au repère (O,X, Y )

    1. Représenter le cercle de Mohr caractéristique de cet état de contrainte.

    2. Déterminer en utilisant ce cercle, les deux contraintes principales agissantes

    dans le plan Oxy ainsi que les directions principales correspondantes.

  • Chapitre 2. Etat de contrainte en un point 28

    3. Déterminer les contraintes normale et tangentielles sur un plan de normale

    faisant 60� avec l’axe x

    Réponse

    1. Représentation du cercle de Mohr :

    [�] =

    2

    41 1

    1 1

    3

    5Mpa

    Points représentants les plans de normales ~ex

    et ~ey

    ; A et B respectivement :

    A(1,�1), B(1, 1)

    Centre du cercle : a = �x+�y2 = 1Mpa

    Rayon du cercle : r =r⇣

    �x��y2

    ⌘2+ ⌧2

    xy

    = 1Mpa

    Représentation (Voir figure 2.7a)

    (a) (b)

    A

    B

    A

    B

    (c)

    A

    B

    Figure 2.7 – (a) Cercle de Mohr caractéristique de l’état de contraintes. (b) Déter-mination des directions princimales. (c) Détermination des contraintes normales ettangentielles sur un plan de normale faisant 60� avec l’axe x.

    2. Contraintes et directions principales :

    • Contraintes principales : �1 = a+ r = 2Mpa, �2 = a� r = 0

    • Directions principales : Une direction principale peut être définie par

    l’angle fait par la normale du plan principal avec l’axe x (angles ✓1 ou

    ✓2 sur la figure 2.7b). Cet angle est la moitié de l’angle parcouru sur le

    cercle de Mohr en allant du point représentant le plan de normale ~ex

    vers

    le point de contrainte principale voulue (angles ↵1 ou ↵2 sur la figure). La

    direction de rotation du plan physique est la même que celle de la rotation

    sur le cercle de Mohr, le sens trigonométrique est considéré positif.

    A partir de la figure 2.7b on obtient :

  • Chapitre 2. Etat de contrainte en un point 29

    8><

    >:

    ↵1 =⇡

    2

    ↵2 = �⇡2)

    8><

    >:

    ✓1 =⇡

    4

    ✓2 = �⇡4d’où les directions principales :

    ~n1

    8<

    :cos

    4

    sin

    4

    9=

    ;! ~n1

    8<

    :

    1p2

    1p2

    9=

    ; et ~n2

    8<

    :cos

    ��⇡4�

    sin

    ��⇡4�

    9=

    ;! ~n2

    8<

    :

    1p2

    � 1p2

    9=

    ;

    3. Contraintes normale et tangentielle sur un plan de normale faisant 60� avec

    l’axe x : Ces contraintes sont les coordonnées du point qui s’obtient par

    rotation sur le cercle de Mohr d’un angle de (2 ⇥ 60�) à partir du point

    représentant le plan de normale ~ex

    .

    En se basant sur la figure 2.7c on obtient donc :

    � = a+ r cos(30�) =⇣1 +

    p32

    ⌘Mpa et ⌧ = r sin(30�) = 0, 5Mpa

    La contrainte ⌧ = 0, 5 > 0, donc elle agit dans le sens des aiguilles d’une

    montre.

    2.9.5 Tricercle de Mohr

    Dans un cas de contraintes 3D si les trois contraintes principales sont connues il

    est possible de représenter le tricercle de Mohr caractéristique de l’état de contrainte

    (Fig. 2.8). Cette représentation montre que la contrainte tangentielle maximale est

    Figure 2.8 – Tricercle de Mohr.

  • Chapitre 2. Etat de contrainte en un point 30

    égale au rayon du plus grand cercle soit :

    ⌧max

    =

    �1 � �32

    (2.20)

    La normale du plan sur lequel agit cette contrainte (⌧max

    ) fait des angles de ⇡4 avec

    les deux directions principales ~n1 et ~n3 et un angle de ⇡2 avec la deuxième direction

    principale ~n2.

    2.10 Tenseurs de contrainte sphérique et déviateur

    Tout tenseur de contraintes peut être écrit sous la forme d’une superposition de

    deux tenseurs :

    [�] = [�]s + [�̄] (2.21)

    avec :

    • [�]s = �0 [I] : est le tenseur de contraintes sphérique associé au tenseur [�],

    �0 étant la contrainte normale moyenne définie par :

    �0 =1

    3

    �ii

    =

    1

    3

    (�x

    + �y

    + �z

    ) =

    I13

    (2.22)

    Le tenseur sphérique est appelé aussi hydrostatique ou isotrope, il produit

    seulement un changement de volume.

    • [�̄] = [�] � [�]s : est le tenseur de contraintes déviateur associé au tenseur

    [�], il provoque un changement de forme sans changement de volume.

    2.10.1 Application :

    Donner les tenseurs sphérique et déviateur associés au tenseur de contraintes

    suivant : [�] =

    2

    6664

    2 2 0

    2 2 0

    0 0 2

    3

    7775Mpa

    Réponse

    Contrainte normale moyenne : �0 = �x+�y+�z3 = 2Mpa

  • Chapitre 2. Etat de contrainte en un point 31

    Tenseur de contraintes sphérique : [�]s = �0 [I] =

    2

    6664

    2 0 0

    0 2 0

    0 0 2

    3

    7775Mpa

    Tenseur de contraintes déviateur : [�̄] = [�]� [�]s =

    2

    6664

    0 2 0

    2 0 0

    0 0 0

    3

    7775Mpa

    Remarque : Pour un tenseur de contraintes sphérique toutes les directions sont

    principales. Les directions principales du tenseur de contraintes [�] et de son

    déviateur associé [�̄] sont les mêmes.

    2.11 Equations d’équilibre dans un milieu continu

    Ce sont les équations qui permettent de décrire la variation des contraintes dans

    un milieu continu. Elles s’obtiennent en exprimant l’équilibre d’un élément volu-

    mique infinitésimal du milieu.

    2.11.1 Cas 2D

    Soit un élément 2D de dimensions dx⇥ dy⇥ 1, soumis aux contraintes montrées

    sur la figure 2.9 et aux forces de volume fx

    et fy

    . Ecrivons l’équilibre de l’élément

    dans les deux directions x et y.

    X

    Y

    Figure 2.9 – Forces intervenant dans l’équilibre d’un élément infinitésimal.

    • Equilibre dans la direction x :

    ��x

    dy � ⌧xy

    dx+⇣⌧xy

    +

    @⌧xy

    @y

    dy⌘dx+

    ��x

    +

    @�x@x

    dx�dy + f

    x

    dxdy = 0

  • Chapitre 2. Etat de contrainte en un point 32

    ) @�x@x

    dxdy + @⌧xy@y

    dxdy + fx

    dxdy = 0

    d’où l’équation : @�x@x

    +

    @⌧xy

    @y

    + fx

    = 0

    • Equilibre dans la direction y :

    ��y

    dx� ⌧xy

    dy +⇣⌧xy

    +

    @⌧xy

    @y

    dx⌘dy +

    ⇣�y

    +

    @�y

    @y

    dy⌘dx+ f

    y

    dxdy = 0

    ) @�y@y

    dxdy + @⌧xy@x

    dxdy + fy

    dxdy = 0

    d’où l’équation : @�y@y

    +

    @⌧xy

    @x

    + fy

    = 0

    2.11.2 Cas 3D

    De façon similaire on obtient les trois équations suivantes en exprimant l’équilibre

    dans les trois directions x, y et z :

    8>>>>><

    >>>>>:

    @�x@x

    +

    @⌧xy

    @y

    +

    @⌧xz@z

    + fx

    = 0

    @⌧xy

    @x

    +

    @�y

    @y

    +

    @⌧yz

    @z

    + fy

    = 0

    @⌧xz@x

    +

    @⌧yz

    @y

    +

    @�z@z

    + fz

    = 0

    (2.23)

    En notation indicielle, ces équations s’écrivent : �ij,j

    + fi

    = 0

    Remarques

    1. En dynamique, les équations d’équilibre deviennent des équations de mouve-

    ment et s’écrivent : �ij,j

    + fi

    = ⇢üi

    , avec ⇢ est la masse volumique et üi

    est

    l’accélération dans la direction i.

    2. Les équations d’équilibre sont indépendantes des propriétés des matériaux.

  • Chapitre 2. Etat de contrainte en un point 33

    Exercices

    Détérmination analytique des contraintes et directions principales

    Exercice 1 : Un élément structural est soumis à un système de forces, chacune

    produit au même point p un état de contrainte comme représenté ci-dessous.

    (a)(b) (c)

    x

    y

    20MPa40MPa 10MPa

    1. Déterminer le tenseur de contraintes résultant au même point dans le repère

    indiqué en (a).

    2. Déterminer les contraintes et les directions principales par rapport au même

    repère.

    Exercice 2 : Rechercher les contraintes principales et les directions principales en

    un point dont l’état de contraintes est défini par le tenseur suivant :

    (a) [�] =

    2

    6664

    0, 7↵ 3, 6↵ 0

    3, 6↵ 2, 8↵ 0

    0 0 7, 6

    3

    7775MPa (b) [�] =

    2

    6664

    7 0 �3p3

    0 25 0

    �3p3 0 13

    3

    7775MPa

    ↵ est un paramètre de charge positif.

    Exercice 3 : Rechercher les contraintes principales et les directions principales en

    un point dont l’état de contraintes est défini par le tenseur suivant : [�] =

    2

    6664

    0 ⌧ ⌧

    ⌧ 0 ⌧

    ⌧ ⌧ 0

    3

    7775

    Exercice 4 : Rechercher les contraintes principales et les directions principales en

    un point dont l’état de contraintes est défini par le tenseur suivant :

    [�] =

    2

    6664

    12 6 9

    6 10 3

    9 3 14

    3

    7775MPa

  • Chapitre 2. Etat de contrainte en un point 34

    Cercle de Mohr

    Exercice 5 : On considère une plaque mince élastique linéaire et isotrope, soumise

    aux contraintes montrées sur la figure 2.10(a). En se servant du cercle de Mohr, dé-

    terminer les contraintes principales et les vecteurs unitaires définissant les directions

    principales.

    Exercice 6 : Soit un point O d’un matériau soumis à l’état plan de contrainte

    représenté par la figure 2.10(b).

    1. Ecrire le tenseur de contrainte correspondant.

    2. Tracer le cercle de Mohr caractéristique.

    3. Donner les 3 contraintes principales ainsi que les directions correspondantes.

    4. Donner la contrainte tangentielle maximale ainsi que la normale du plan sur

    lequel elle agit.

    5. Trouver les contraintes normales et tangentielles agissantes sur un plan pas-

    sant par O de normale faisant 60� par rapport à l’horizontale.

    6. Déterminer le tenseur de contraintes dans le repère orthonormé direct

    X0(O, x0, y0, z0), qui s’obtient par rotation du repère X(O, x, y, z) de +30�

    autour de l’axe z.

    Exercice 7 : Soit deux plans inclinés A et B passant par le point O. �a

    , �b

    , ⌧a

    et

    ⌧b

    sont les contraintes normales et tangentielles agissantes en O sur les plan A et

    B (voir figure 2.10(c)). Si �a

    = 17kpa, �b

    = �11kpa, ⌧a

    = 12kpa et ⌧b

    = �16kpa.

    Déterminer le centre et le rayon (a et r) du cercle de Mohr de contrainte au point

    O. Déduire les contraintes principales.

    O

    Plan APlan B

    O x

    y

    5MPa

    5MPa 5MPa

    x

    y

    z

    5MPa

    5MPa

    (a) (b) (c)

    Figure 2.10 – (a) Exercice 5, (b) Exercice 6, (c) Exercice 7.

  • Chapitre 3

    Etat de déformation en un point

    3.1 Introduction

    considérons un corps solide soumis à des forces extérieures de façon que ces

    particules constituantes se trouvent déplacées vers de nouvelles positions. On dit

    que le corps a subit une déformation si les positions relatives de ses particules sont

    altérées. Dans le cas contraire, le corps a subit un déplacement de corps rigide (Fig.

    3.1).

    3.2 Définition

    3.2.1 Cas 1D

    On considère une barre soumise à une force axiale P . Soit u(x) le déplacement

    axial d’un point de position x (Fig. 3.2).

    Le segment [AB] de longueur �x devient [A0B0] de longueur (�x +�u) après

    l’application de la charge.

    La déformation longitudinale moyenne du segment [AB] est définie comme la

    variation unitaire de la longueur, elle s’exprime :

    "0 =(�x+�u)��x

    �x=

    �u

    �x(3.1)

    La déformation longitudinale ponctuelle en un point de position x est définie comme :

    "(x) = lim�x!0

    �u

    �x=

    du

    dx(3.2)

  • Chapitre 3. Etat de déformation en un point 36

    A et B ayant les images A' et B' après déplacements

    A

    A'

    B'

    B

    tel que :

    A

    B

    A'

    B'

    A et B ayant les images A' et B' après déplacements

    tel que :

    Déplacement de corps rigide

    Déformation

    A

    B

    A' B'

    Figure 3.1 – Déformation et déplacement de corps rigide

    x

    A

    B

    A'

    B'

    P

    Figure 3.2 – Définition de la déformation - Cas 1D -

  • Chapitre 3. Etat de déformation en un point 37

    A B

    A'B'

    C'

    D'

    CD

    x

    y

    A B

    A'B'

    C'D'

    CD

    x

    y

    A B

    A'

    B'

    C'

    D' CD

    x

    y

    Déplacement de corps rigide

    déformations normales+

    Distorsion

    (a)

    (b) (c)

    Figure 3.3 – Définition de la déformation - Cas 2D -

    3.2.2 Cas 2D

    On considère un élément bidimensionnel rectangulaire de dimensions initiales

    dx⇥dy. Soit u et v les déplacements dans les deux directions x et y respectivement.

    Sous l’effet d’un chargement extérieur l’élément subit une déformation qui peut être

    vue comme une superposition de trois composantes qui sont (voir figure 3.3) :

    1. un déplacement de corps rigide,

    2. des variations des longueurs des faces sans rotation (déformations normales),

    3. des rotations des faces sans variation des longueurs (distorsion).

  • Chapitre 3. Etat de déformation en un point 38

    3.2.2.1 Déformations normales

    D’une façon similaire au cas 1D, on définit les déformations normales dans les

    deux directions à partir de la figure 3.3b par :

    "x

    =

    @u

    @xet "

    y

    =

    @v

    @y(3.3)

    Par convention " > 0 : allongement, " < 0 : raccourcissement

    3.2.2.2 Distorsion ou déformation de cisaillement

    La distorsion ou déformation de cisaillement se définit comme la variation de

    l’angle droit \DAB. Elle peut être exprimée à partir de la figure 3.3c par :

    �xy

    = ↵x

    + ↵y

    .

    Pour des petites déformations il est possible d’écrire :

    ↵x

    ⇡ tan↵x

    =

    @v

    @x

    et ↵y

    ⇡ tan↵y

    =

    @u

    @y

    . Par conséquence la distorsion dans le plan

    xy peut être définie par :

    �xy

    =

    @v

    @x+

    @u

    @y(3.4)

    Remarques

    1. Une autre définition de la déformation de cisaillement est souvent utilisée :

    "xy

    =

    1

    2

    ✓@v

    @x+

    @u

    @y

    ◆(3.5)

    2. �xy

    (ou "xy

    ) mesure la variation de l’angle entre deux axes orthogonaux, il

    est considéré donc que �xy

    = �yx

    (et "xy

    = "yx

    ).

    3. Pour être cohérente avec les contraintes, la convention de signe de la déforma-

    tion de cisaillement est comme suit : �xy

    ("xy

    ) > 0 si l’angle droit du premier

    quadrant (\DAB) diminue, sinon �xy

    ("xy

    ) < 0

  • Chapitre 3. Etat de déformation en un point 39

    3.2.3 Cas 3D

    Par analogie avec le cas 2D, les déformations peuvent être définies dans le cas

    général 3D par les expressions :

    "x

    =

    @u

    @x

    "y

    =

    @v

    @y

    "z

    =

    @w

    @z

    �xy

    =

    @v

    @x

    +

    @u

    @y

    �xz

    =

    @w

    @x

    +

    @u

    @z

    �yz

    =

    @w

    @y

    +

    @v

    @z

    (3.6)

    avec : "xy

    =

    12

    ⇣@v

    @x

    +

    @u

    @y

    ⌘, "

    xz

    =

    12

    �@w

    @x

    +

    @u

    @z

    �, "

    yz

    =

    12

    ⇣@w

    @y

    +

    @v

    @z

    Un tenseur de déformations peut ainsi être définit par :

    ["] =

    2

    6664

    "xx

    "xy

    "xz

    "yx

    "yy

    "yz

    "zx

    "zy

    "zz

    3

    7775(3.7)

    En écriture indicielle, les composantes de ce tenseur s’expriment par :

    "ij

    =

    1

    2

    (ui,j

    + uj,i

    ) (3.8)

    3.2.4 Unité des déformations

    D’après leurs expressions (Eqs. 3.6), l’unité des déformations est (m/m) oubien

    sans unité tout simplement. Le sens physique de cette unité est l’allongement par

    unité de longueur pour les déformations normales et la variation d’angle en radian

    pour les distorsions.

  • Chapitre 3. Etat de déformation en un point 40

    3.2.5 Déformation volumique

    Elle est définie par la variation unitaire du volume :

    e =�V

    V(3.9)

    avec : V le volume initial et �V la variation du volume.

    Cette déformation peut être reliée aux déformations normales de la façon sui-

    vante ; soit un élément volumique de dimensions initiales dx⇥ dy⇥ dz, après défor-

    mation ces dimensions deviennent (dx+"x

    dx)⇥ (dy+"y

    dy)⇥ (dz+"z

    dz) (Fig. 3.4).

    Déformation

    Figure 3.4 – Elément volumique soumis à des déformations normales

    Volume initial : V = dx⇥ dy ⇥ dz

    Volume final : V + dV = (dx+ "x

    dx)⇥ (dy + "y

    dy)⇥ (dz + "z

    dz)

    = dx⇥ dy ⇥ dz(1 + "x

    )(1 + "y

    )(1 + "z

    )

    Déformation volumique : e = �VV

    =

    (V+�V )�VV

    =

    dx⇥dy⇥dz[(1+"x)(1+"y)(1+"z)�1]dx⇥dy⇥dz

    d’où : e = (1 + "x

    )(1 + "y

    )(1 + "z

    )� 1

    En détaillant cette dernière expression on obtient :

    e = "x

    + "y

    + "z

    + "x

    "y

    + "x

    "z

    + "y

    "z

    + "x

    "y

    "z

    Dans le cadre des petites déformations, les termes de degrés élevés peuvent être

    négligés, c’est à dire : "x

    "y

    ⇡ 0, "x

    "z

    ⇡ 0, "y

    "z

    ⇡ 0, "x

    "y

    "z

    ⇡ 0, la déformation

  • Chapitre 3. Etat de déformation en un point 41

    volumique s’exprime alors dans ce cas :

    e = "x

    + "y

    + "z

    (3.10)

    3.2.6 Application

    Sous l’effet d’un chargement extérieur les particules d’un corps solide subissent

    le champs de déplacement défini dans un repère Oxyz par les composantes :

    u = (x2 + 10)10�2, v = (2yz)10�2 et w = (z2 � xy)10�2.

    Déterminer le tenseur de déformation ainsi que la déformation volumique en un

    point de coordonnées (0, 2, 1).

    Réponse

    • Tenseur de déformations en fonction de x, y et z :

    "x

    =

    @u

    @x

    = 2x⇥ 10�2, "y

    =

    @v

    @y

    = 2z ⇥ 10�2, "z

    =

    @w

    @z

    = 2z ⇥ 10�2

    "xy

    =

    12

    ⇣@u

    @y

    +

    @v

    @x

    ⌘= 0, "

    xz

    =

    12

    �@u

    @z

    +

    @w

    @x

    �= �12y ⇥ 10

    �2

    "yz

    =

    12

    ⇣@v

    @z

    +

    @w

    @y

    ⌘=

    12(2y � x)⇥ 10

    �2

    D’où : ["] =

    2

    6664

    2x 0 �12y

    0 2z 12(2y � x)

    �12y12(2y � x) 2z

    3

    7775⇥ 10�2

    • Tenseur de déformations au point (0, 2, 1) : ["] =

    2

    6664

    0 0 �1

    0 2 2

    �1 2 2

    3

    777510

    �2

    • Déformation volumique au point (0, 2, 1) : e = "x

    + "y

    + "z

    = 4⇥ 10�2

    3.3 Changement du repère de référence

    On peut démontrer par des considérations géométriques que les procédures de

    transformation du tenseur de déformation sont les mêmes que celles du tenseur de

    contraintes.

    L’expression du tenseur de déformation dans un repère (O,X 0, Y 0, Z 0) par rap-

  • Chapitre 3. Etat de déformation en un point 42

    port au repère de référence initial (O,X, Y, Z) est :

    ⇥"0⇤= [A] ["] [A]T (3.11)

    avec [A] est la matrice de transformation composée des cosinus directeurs des

    axes du repère (O,X 0, Y 0, Z 0) par rapport au repère (O,X, Y, Z) (Eq. 1.5).

    Cas particulier : Cas de rotation plane (2D)

    Dans le cas particulier d’une transformation dans un repère (O,X 0, Y 0, Z 0) qui

    s’obtient par rotation du repère (O,X, Y, Z) autour de son axe Z d’un angle ✓ (Fig.

    3.5), l’équation 3.11 aboutit aux expression suivantes pour les déformations "x

    0 et

    "x

    0y

    0 :

    O

    Z' Z

    X

    Y

    X'

    Y'

    Figure 3.5 – Rotation plane du repère de référence initial

    8><

    >:

    "x

    0= "

    x

    cos

    2 ✓ + 2"xy

    cos ✓ sin ✓ + "y

    sin

    2 ✓ (a)

    "x

    0y

    0= � ("

    x

    � "y

    ) cos ✓ sin ✓ + "xy

    �cos

    2 ✓ � sin2 ✓�

    (b)(3.12)

    Ces expression sont particulièrement utiles pour la détermination du tenseur de dé-

    formation dans la pratique de mesure des déformations par les jauges de déformation

    (voir en section 3.6).

    3.4 Déformations principales et directions principales

    De façon similaire aux contraintes, on démontre qu’en un point d’un milieu

    déformé, il y a trois directions principales suivant lesquelles se produisent trois dé-

  • Chapitre 3. Etat de déformation en un point 43

    formations principales. Ces déformations sont les solutions de l’équation :

    � �3 + I"1�

    2 � I"2�+ I"3 = 0 (3.13)

    avec I"i

    sont les invariants du tenseur de déformations, ils ont pour expressions :

    8>>>>>>>>><

    >>>>>>>>>:

    I"1 = "x + "y + "z = "pp

    I"2 =

    �������

    "x

    "xy

    "xy

    "y

    �������+

    �������

    "x

    "xz

    "xz

    "z

    �������+

    �������

    "y

    "yz

    "yz

    "z

    �������= "

    x

    "y

    + "x

    "z

    + "y

    "z

    � "2xy

    � "2xz

    � "2yz

    I"3 = det ["] = "x"y"z � "x"2

    yz

    � "y

    "2xz

    � "z

    "2xy

    + 2"xy

    "xz

    "yz

    (3.14)

    Les déformations principales sont notées "1, "2 et "3, par convention elles sont

    numérotées tel que : "1 � "2 � "3.

    3.5 Cercle de Mohr

    Comme pour les contraintes pour un cas de déformations 2D, les déformations

    normale et distorsionnelle varient en fonction de la direction suivant un cercle dans

    le plan de Mohr�", �2�, c’est le cercle de Mohr (Fig. 3.6).

    r

    a

    Figure 3.6 – Cercle de Mohr pour les déformations

    Si le tenseur de déformation est ["] =

    2

    4 "x "xy"xy

    "y

    3

    5, les propriétés du cercle de

    Mohr caractéristique notamment l’abscisse du centre et le rayon du cercle sont res-

  • Chapitre 3. Etat de déformation en un point 44

    pectivement :

    a ="x

    + "y

    2

    =

    "1 + "22

    et r =

    s✓"x

    � "y

    2

    ◆2+

    ⇣�xy

    2

    ⌘2=

    "1 � "22

    Les remarques faites sur le cercle de Mohr de contraintes relatives à la convention

    de signe et l’utilisation reste valable pour le cercle de Mohr de déformations.

    3.6 Mesure des déformations : jauges de déformation

    électriques

    Les jauges de déformation électriques sont des filaments électriques fins résistifs

    de petites dimensions (Fig. 3.7a). Pour mesurer la déformation normale en un point

    d’une surface suivant une direction donnée, le filament est bien collé sur la surface

    suivant la même direction pour recevoir la même déformation.

    (a) (b)

    dir.1

    dir.2dir.3

    Direction de la jauge

    Figure 3.7 – (a) Jauge de déformation, (b) Rosette à 60�

    La déformation normale " est obtenue par la mesure de la variation de la résis-

    tance électrique du filament, moyennant la relation :

    " =

    ✓1

    1 + 2⌫

    ◆�R

    R(3.15)

    où R est la résistance initiale de la jauge, �R est la variation de résistance et ⌫

    est le coefficient de Poisson du matériau du filament. Une démonstration de cette

  • Chapitre 3. Etat de déformation en un point 45

    relation est donnée en note de bas de page 1.

    Etant donné que l’état de déformation en un point d’une surface libre se carac-

    térise par trois déformations indépendantes ("x

    , "y

    et "xy

    par exemple). La déter-

    mination du tenseur de déformations en un point superficiel requiert la mesure des

    déformations normales suivant au moins trois directions différentes. Des rosettes de

    jauges de différentes configurations sont alors utilisées. La figure 3.7b montre un

    exemple d’une rosette à 60�, où l’angle entre chaque deux jauges est de 60�.

    3.6.1 Application

    Pour trouver l’état de déformation en un point O d’une surface d’un corps solide,

    on utilise une rosette à 60�. Les jauges sont disposées suivant les directions 0�,

    60

    � et 120� par rapport à l’axe x d’un repère Oxy. Les mesures effectuées sont :

    "0 = 190⇥ 10�6, "60 = 200⇥ 10�6 et "120 = �300⇥ 10�6.

    Déterminer le tenseur de déformation par rapport au repère Oxy.

    Réponse :

    Utilisons la relation donnant la déformation normale suivant une direction ✓ (Eq.

    3.12a) : 8>>>>><

    >>>>>:

    "0 = "(✓ = 0�) = "x

    "60 = "(✓ = 60�) =14"x +

    p32 "xy +

    34"y

    "120 = "(✓ = 120�) =14"x �

    p32 "xy +

    34"y

    La résolution de ce système d’équation permet de déduire les déformations : "x

    =

    190⇥ 10�6, "y

    = �130⇥ 10�6 et "xy

    =

    1000p3⇥ 10�6.

    1. Démonstration :

    Résistance électrique du filament : R = ⇢LA , avec ⇢ : résistivité, L : longueur, A : section.

    Prenant la différentielle totale de la résistence : dR = LAd⇢+⇢AdL�

    ⇢LA2

    dA

    Tenant compte de l’expression de la résistance, il en résulte :

    dRR =

    d⇢⇢ +

    dLL �

    dAA (a)

    D’autres parts, pour un filament de section circulaire : A = 2⇡r2 avec r le rayon, dAA =2drr

    Si on pose

    dLL = ", on peut écrire :

    drr = �⌫" avec ⌫ le coefficient de Poisson du matériau du

    filament. Par conséquence :

    dAA = �2⌫"

    En plaçant ces expressions dans l’équation (a) et en négligeant la variation de la résistivité onobtient :

    dRR = (1 + 2⌫)"

  • Chapitre 3. Etat de déformation en un point 46

    3.7 Equations de compatibilité des déformations

    Il existe six (06) composantes de déformation qui s’obtiennent par dérivation de

    trois (03) fonctions de déplacements. Par conséquence, même si les déplacements sont

    quelconques, les déformations ne peuvent pas être indépendantes. Il devrait exister

    donc trois relations entre les déformations, ce sont les équations de compatibilité,

    elles sont dues à Saint-Venant (1864).

    Ces équations s’obtiennent comme suit :

    3.7.1 Cas 2D

    Considérons les expressions des déformations :

    "x

    =

    @u

    @x

    (a)

    "y

    =

    @v

    @y

    (b)

    �xy

    =

    @u

    @y

    +

    @v

    @x

    (c)

    Dérivons l’équation (a) deux fois par rapport y, l’équation (b) deux fois par

    rapport x et l’équation (c) une fois par rapport x et une fois par rapport y, on

    obtient :

    @

    2"x

    @y

    2 =@

    3u

    @x@y

    2 (a0)

    @

    2"y

    @x

    2 =@

    3v

    @x

    2@y

    (b0)

    @

    2�xy

    @x@y

    =

    @

    3u

    @x@y

    2 +@

    3v

    @x

    2@y

    (c0)

    Des équations (a0), (b0) et (c0) découle l’équation :

    @

    2"x

    @y

    2 +@

    2"y

    @x

    2 =@

    2�xy

    @x@y

    (3.16)

    c’est l’équation de compatibilité des déformations dans le cas 2D (il existe une seule

    équation dans ce cas.)

  • Chapitre 3. Etat de déformation en un point 47

    3.7.2 Cas 3D

    Par des transformations similaires on obtient les équations :

    @

    2"x

    @y

    2 +@

    2"y

    @x

    2 =@

    2�xy

    @x@y

    @

    2"x

    @z

    2 +@

    2"z

    @x

    2 =@

    2�xz

    @x@z

    @

    2"y

    @z

    2 +@

    2"z

    @y

    2 =@

    2�yz

    @y@z

    2

    @

    2"x

    @y@z

    =

    @

    @x

    ⇣�@�yz

    @x

    +

    @�xz@y

    +

    @�xy

    @z

    2

    @

    2"y

    @x@z

    =

    @

    @y

    ⇣@�yz

    @x

    � @�xz@y

    +

    @�xy

    @z

    2

    @

    2"z

    @x@y

    =

    @

    @z

    ⇣@�yz

    @x

    +

    @�xz@y

    � @�xy@z

    (3.17)

    Remarques :

    1. Bien qu’elles sont au nombre de six (06), ces équations ont un degré d’indé-

    pendance de trois (03).

    2. Du point de vue physique, ces équations imposent la continuité des déplace-

    ments, par conséquence la continuité du milieu après déformation.

  • Chapitre 3. Etat de déformation en un point 48

    Exercices

    Exercice 1 : Soit la plaque de caoutchouc ABCD montrée sur la figure 3.8(a). Sous

    l’effet d’un chargement dans son plan, cette plaque prend une nouvelle configuration

    AB0C 0D0 comme montré sur la même figure. Déterminer le tenseur de déformation

    par rapport au repère xy, discuter le résultat obtenu.

    Exercice 2 : Soit une plaque carrée de caoutchouc ABCD de coté a. Sous l’effet

    d’un chargement dans son plan, la plaque est déformée uniformément en AB0C 0D

    comme montré sur la figure 3.8(b).

    1. Déterminer la déformation longitudinale subie par chacune des diagonale AC

    et BD ainsi que leurs longueurs finales (AC 0 et BD0).

    2. Déterminer le changement d’angle entre les diagonales après déformation.

    AB

    D D'

    C'

    C

    y

    x

    2a

    a

    0,04a0,04a

    0,08a

    0,08a

    A B

    D D' C'C

    y

    xa

    a

    0,06a0,06a

    (a) (b)

    Figure 3.8 – (a) Exercice 1, (b) Exercice 2.

    Exercice 3 : Le système de jauges disposées selon le schéma montré sur la figure

    3.9(a) est appelé rosette delta. Si la rosette est collée autour d’un point O les défor-

    mations mesurées sont : "a

    = 900⇥ 10�6, "b

    = �450⇥ 10�6 et "c

    = 600⇥ 10�6.

    1. Déterminer le tenseur de déformations par référence au repère Oxy.

    2. Vérifier que la déformation longitudinale maximale n’excède pas la limite

    admissible qui est de 1100⇥ 10�6.

    Remarque : la rosette delta est de très faibles dimensions de sorte qu’il peut être supposé que les

    trois jauges sont collées sur le même point.

  • Chapitre 3. Etat de déformation en un p