mecanique des milieux continus

Mcanique des milieux continus

Nicolas MOS

EI1

COLE CENTRALE DE NANTES

TABLE DES MATIRES

Table des matires

1 Pourquoi la mcanique des milieux continus 51.1 De la mcanique du point matriel la mcanique des milieux continus . . . . 51.2 La mcanique des milieux continus au centre des disciplines de lingnieur . . 71.3 Notion de milieu continu et dchelle dobservation . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Remarques importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5 Systme dunits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 lments de calcul tensoriel 102.1 Convention de sommation dEinstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Symbole de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Symbole de permutation dit de Lvi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.5 Scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.6 Vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.7 Tenseur dordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.8 tude des tenseurs dordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.8.1 Tenseur identit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.8.2 Tenseur symtrique et antisymtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.8.3 Trace dun tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.8.4 Produit contract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.8.5 Produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.8.6 Reprsentation spectrale dun tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.9 Formule dintgration par partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.9.1 Formule de Green-Ostrogradski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.10 Formule de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.11 Systmes de coordonnes curvilignes orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.11.1 Coordonnes cartsiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.11.2 Coordonnes cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.11.3 Coordonnes sphriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.11.4 Formules utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Description de la cinmatique dun milieu continu 223.1 Trajectoire et drives temporelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2 Gradient de la transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3 Dfinition des tenseurs de dformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.4 Interprtation des composantes des tenseurs de dformations . . . . . . . . . . 303.5 Dcomposition polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.6 Changement de volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.7 Changement de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.8 Taux de dformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

cole Centrale de Nantes : cours de mcanique des milieux continus page 1

TABLE DES MATIRES

3.9 Dformations en petites perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.9.1 Formulation de lhypothse des petites perturbations (HPP) . . . . . . 363.9.2 Simplification des rsultats dans lhypothse HPP . . . . . . . . . . . . 373.9.3 Conditions de compatibilit des dformations . . . . . . . . . . . . . . 403.9.4 Directions principales des dformations et cercle de Mohr . . . . . . . 413.9.5 Dpouillement dune rosette en extensomtrie . . . . . . . . . . . . . . 42

4 Lois de bilan 444.1 Forme globale des lois de bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.2 Forme locale des lois de bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.3 Consquences des lois de bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.3.1 Consquences de la conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . 534.3.2 Consquences de la bilan de quantit de mouvement . . . . . . . . . . 544.3.3 Consquences de la bilan du moment cintique . . . . . . . . . . . . . 544.3.4 Consquences du bilan de lnergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5 Le tenseur des contraintes 565.1 Introduction du tenseur des contraintes par extension de la mcanique des so-

lides indformables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.1.1 Volume lmentaire au sein du milieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.1.2 Volume lmentaire en surface du milieu . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.2 Introduction du tenseur des contraintes par le principe des puissances virtuelles 625.2.1 Dfinition des puissances virtuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.2.2 Thorme de lnergie cintique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.2.3 La dualit en mcanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.3 Proprits locales du tenseur des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.3.1 Contrainte normale et contrainte de cisaillement . . . . . . . . . . . . . 655.3.2 Contraintes normales principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.3.3 Reprsentation des contraintes : le tricercle de Mohr . . . . . . . . . . 665.3.4 tat plan de contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.3.5 Tenseur des contraintes sphrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.3.6 Tenseur des contraintes uniaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.3.7 Tenseur des contraintes de cisaillement simple . . . . . . . . . . . . . 70

6 Thorie de llasticit linaire isotrope 716.1 Les quations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.1.1 La cinmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.1.2 Equilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.1.3 Comportement lastique isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.1.4 Rcapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.2 Thormes de lnergie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.3 Techniques de rsolution analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.3.1 Approche en dplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.3.2 Approche en contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.3.3 Solide en tat plan de dformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.3.4 Solide en tat plan de contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.3.5 Fonction de contrainte dAiry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.4 Techniques de rsolution numriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.5 Thermolasticit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85


TABLE DES MATIRES

7 Problmes classiques dlasticit 877.1 Cylindre sous pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877.2 Traction dun barreau prismatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897.3 Torsion dun barreau prismatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

8 Thermodynamique et lois de comportement 978.1 Le premier principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978.2 Le second principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98


TABLE DES MATIRES

Avant-Propos

Dans ce cours des milieux continus, une cohrence de contenu a t recherche avec lesautres cours de mcanique du Tronc Commun savoir :

dynamique des solides (1re anne) ; rsistance des matriaux (1re anne) ; matriaux (1re anne) ; technologie de conception mcanique (1re anne) ; mcanique des fluides (2me anne) ; mthode des lments finis (2me anne) ; mcanique des vibrations (2me anne).Cette cohrence a t recherche galement autant que possible pour les notations (le cas

chant, un choix diffrent de notation par rapport un autre cours de tronc commun est indiqupar une note en bas de page).

Rdiger un polycopi sur la mcanique des milieux continus pour un cours de tronc commundcole dingnieurs nest pas une tche aise. Jai t grandement aid dans cette entreprise pardiffrents collgues qui ont pris la peine de me donner leur avis sur ce document. Les conseilspdagogiques de J.-F. Sini ont galement t trs bnfiques. Enfin, mes remerciements vont G. Legrain qui a ralis le site web de ce cours et toutes les figures dune main de matre.

Nicolas MOS, Nantes, Septembre 2003.


CHAPITRE 1. POURQUOI LA MCANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

Chapitre 1

Pourquoi la mcanique des milieuxcontinus

1.1 De la mcanique du point matriel la mcanique desmilieux continus

La mcanique du point matriel permet de prdire le mouvement dun point soumis uneensemble de forces. On distingue dans cette thorie la description de la cinmatique : position,vitesse et acclration du point, et la dynamique : relation entre force et mouvement (la se-conde loi de Newton ~f = m~a). Cette thorie permet par exemple de calculer le trajet dlectronsdans un champ magntique ou de prdire lorbite dune plante soumise aux forces gravitation-nelles.

Avec la mcanique du point matriel, on ne peut dcrire les rotations dun corps sur lui-mme. Cette thorie nest donc pas adapte pour tudier le trajet dune boule de billard ou pourtudier la rotation dune plante ou dun satellite sur lui-mme lors de son orbite. Pour cela,il faut la mcanique des solides indformables qui intgre la notion de rotation, dinertie et demoment. La somme des moments sappliquant sur le corps gale tout instant son momentdinertie multipli par son acclration angulaire.

Il est important de constater que pour un point matriel, la notion de rotation na pas de sens(un point ne peut tourner sur lui-mme). De mme le moment des forces sappliquant sur lepoint est toujours nul puisque le bras de levier est toujours nul (moment calcul par rapport laposition du point). La dynamique dun point matriel scrit donc simplement en terme de forceet dacclration. Pour dcrire la dynamique dun corps indformable, on ajoute les notions derotation, moment et inertie.

La mcanique des solides indformables 1 permet de rsoudre des problmes importants delingnieur comme ceux issus de la robotique (chane cinmatique). En revanche, cette mca-nique ne peut traiter les problmes suivants :

Dterminer la force ncessaire pour emboutir une canette partir dun tle mince ; Calculer lcoulement de leau sous un pneu en conduite sur route mouille afin dopti-

miser le dessin de ce pneu ; Dterminer le niveau dchauffement de loutil dans un procd dusinage. Lusinage est

un procd de fabrication dans lequel une pice mtallique brute est taille laidedun petit outil. Le contact entre loutil et la pice se fait grande vitesse et gnre descopeaux (un peu comme la taille du bois). Ne manquez pas la journe porte ouverte delcole pour assister lusinage dune pice ;

1. objet du cours de dynamique des solides de tronc commun 1re anne.



Calculer la pression ncessaire pour souffler les bouteilles plastiques. Deux procds in-dustriels de soufflage existent (lextrusion-soufflage et linjection tirement soufflage). Illaisse sur le fond du culot des bouteilles plastiques deux signes caractristiques diffrents :un point ou un trait ;

tudier la stabilit des talus ; Dterminer si une fissure dtecte dans un racteur ou sur le fuselage davion est cri-

tique (tous les avions qui volent ont des fissures mais rassurez-vous elles sont inspectesrgulirement) ;

Simuler informatiquement les chocs crniens dans les accidents de la route pour optimiserles airbags et les habitacles des voitures ;

Ltude de la rsistance dune coque composite dun voilier de course soumis aux chocsrpts avec la surface de leau (limpact rpt dune coque sur leau est appel tossage).

Pourquoi ces problmes ne peuvent-ils pas tre traits par la mcanique des solides indfor-mables? Reprenons chacun des exemples et discutons-le :

La force ncessaire pour emboutir une canette dpend du matriau dont est constitue latle. La notion de matriau nintervient pas en mcanique des solides indformables :seule la masse et la forme (qui influe sur le moment dinertie) sont considres ;

Leau est le milieu qui par excellence se dforme facilement. Ceci est loppos de lamcanique des solides qui considre les corps comme indformables 2 ;

La dtermination du niveau dchauffement dun outil lors dun procd dusinage re-quiert la thermodynamique. Lnergie mcanique dissipe par loutil dans sa coupe esttransforme en chaleur. Ce qui produit une lvation de temprature ;

Le soufflage dune bouteille fait intervenir des dformations extrmes ; Ltude de la stabilit dun talus se pose en ces termes : partir de quelle pression exerce

sur le talus, celui-ci glisse-t-il de manire irrversible? Une proccupation loigne de lamcanique des solides indformables ;

Une fissure est une surface sur laquelle lintgrit de la matire est perdue. En mcaniquedes solides les corps sont indivisibles ;

La modlisation dun choc crnien est trs complexe et entre dans le domaine dit de labio-mcanique qui ncessite un travail collaboratif entre mcanicien, neuro-chirurgien,vtrinaire (analogie homme-animal). Une tte humaine est bien diffrente (mme si lona la tte dure) dun solide indformable ;

Les coques et mts de voiliers de course sont raliss en matriaux composites. Ces ma-triaux vus de prs sont des structures part entire : il y a des couches (appeles plis)constitues de fibres plonges dans une matrice 3. Les proprits de ces fibres et de lamatrice, la squence dempilement, le mode de fabrication du matriau sont autant defacteurs dterminants sur la rsistance du matriau. Cette problmatique est encore unefois loigne de la mcanique des solides.

On peut rsumer la discussion ci-dessus, en disant que la mcanique des milieux continusdoit tre utilise la place de la mcanique des solides indformables lorsque 4 :

des dformations interviennent ; le comportement du milieu quil soit fluide ou solide doit tre pris en compte. Il faut

connatre la relation entre la dformation du corps et les efforts mis en jeu ;2. Il est vrai que la mcanique des solides peut faire intervenir une dformation via des ressorts placs entre des

corps rigides mais on est loin de la dformation dun fluide!3. Entre les plis, sont insres des couches minces qui ont la forme de nid dabeilles.4. En ralit, on peut voir la mcanique des solides comme le cas limite de la mcanique des milieux continus

lorsque les corps sont pratiquement indformables. En ce sens, la mcanique des milieux continus contient lamcanique rationnelle comme cas particulier.



des phnomnes thermiques interviennent.

1.2 La mcanique des milieux continus au centre des disci-plines de lingnieur

La mcanique des milieux continus est au centre des disciplines suivantes : le calcul desstructures, les procds de fabrication, la biomcanique, la mcanique des fluides, le gnie civil,le design de nouveaux matriaux (la micro-structure dun matriau peut tre vue comme unestructure part entire).

Par exemple, pour le calcul des structures, les proccupations sont les suivantes : Rsistance. La pice ou structure doit pouvoir supporter et transmettre les charges ex-

ternes qui lui sont imposes : (un pont ne doit pas scrouler lors du passage dun ca-mion) ;

Rigidit. La pice ou structure ne doit pas subir de dformation excessive lorsquelle estsollicite (un pont ne doit pas senfoncer lors du passage dune voiture) ;

Stabilit. Un lger changement des conditions extrieures ne doit pas conduire une r-ponse catastrophique de la pice ou de la structure : (une brise lgre ne doit pas conduire la ruine catastrophique dun pont) ;

Endurance. La pice ou structure soumise un chargement cyclique (rpt) doit pouvoirsans rupture supporter un nombre important de cycles : (le pont doit soutenir un traficrpt pendant de longues annes, un racteur davion doit tenir un maximum possiblede vols sans se fissurer).

Quant loptimisation des procds de fabrication, les proccupations sont les suivantes : conomie de matire. Comment produire une pice rpondant un cahier des charges

prcis avec le moins de matire possible ? Sassurer de pouvoir effectivement produireces pices (on constate depuis 20 ans une rduction importante du poids des canettes etdes bouteilles plastiques de soda.) ;

Lusinage est un procd de fabrication permettant de faonner des pices mtalliquesavec un outil coupant. Soit loutil, soit la pice, soit les deux se dplacent vitesse leve.Ltude du procd dusinage est important pour amliorer la longvit de loutil et le finide surface de la pice usine. Les proccupations sont similaires pour les procds tellesque le fraisage, lemboutissage, le galetage, ...

La mcanique des milieux continus est un cadre physique et mathmatique permettant demodliser un problme concret. Un fois le modle mathmatique tabli, il pourra tre rsolupar une mthode analytique ou numrique. La modlisation suivie de la rsolution du modleforment ce que lon appelle la simulation du problme concret. Cette simulation devra trevalide par des exprimentations lorsque celles-ci sont disponibles et le modle corrig le caschant.

Dans certains cas, les exprimentations sont trs limites voire inexistantes do limpor-tance capitale de la simulation. Par exemple, ltude de la rsistance des structures en btonprotgeant le coeur des racteurs nuclaires peut difficilement passer par des exprimentations lchelle 1.

Lutilisation de la simulation qui saffine de plus en plus avec les progrs en modlisation etla puissance des ordinateurs permet galement de rduire le nombre dessais ncessaires pourmettre au point un produit. Cest le cas notamment du design des voitures au crash. Le nombrede voitures sacrifies en essai a fortement baiss depuis trente ans et les voitures sont nanmoinsde plus en plus sres.



1.3 Notion de milieu continu et dchelle dobservationOn dit quun domaine contient un milieu matriel continu si chaque instant et en chaque

point de ce domaine on peut dfinir des grandeurs physiques locales relatives ce milieu mat-riel. La grandeur physique peut tre reprsente mathmatiquement par :

un scalaire (masse volumique, temprature, concentration dun polluant, . . . ) ; un vecteur (vitesse, acclration, forces volumiques, couples volumiques, . . . ) ; un tenseur dordre 2 (dformations, contraintes, . . . ) ; un tenseur dordre suprieur 2 comme par exemple le tenseur dlasticit qui est dordre

4.La grandeur physique donne chaque instant et en chaque point forme ce que lon appelle unchamp. On parlera par exemple du champ de temprature dans une pice automobile un instantdonn ou bien de lvolution du champ de contrainte dans une tle lors de son crasement parune presse.

Savoir si pour un domaine matriel donn, on a affaire un milieu continu ou non dpend delchelle dobservation. Par exemple, lair enferm dans un bocal est un milieu continu pour unobservateur macroscopique 5. Le champ de vitesse observe par exemple avec un vlocimtrelaser est nul partout et la pression uniforme. En revanche, un observateur microscopique voitdes molcules se dplaant dans le vide de manire erratique et grande vitesse (le mouvementBrownien) et est incapable dy voir un milieu continu. La diffrence entre les deux observa-tions provient de lchelle dobservation. Un point pour lobservateur macroscopique est en faitun petit volume qui contient un grand nombre de molcules. Par exemple un petit volume de0,1mm3 (soit un cube de lordre dun demi-millimtre de ct) contient de lordre de 3 mil-lions de milliards de molcules 6. La vitesse moyenne observe est une moyenne statistique dumouvement Brownien.

De mme, la notion de pression constante dans le bocal perd son sens lchelle micro-scopique : la pression macroscopique est le rsultat statistique moyen de limpact du mouve-ment Brownien sur la surface sensible du manomtre. Si on disposait dun micro-manomtre lchelle molculaire, on mesurerait de temps en temps un impact, ce qui est fort loin de lanotion de pression constante.

La mcanique des milieux continus est un modle mathmatique qui permet de moyennerune ralit complexe et obtenir ainsi un modle qui peut tre trait analytiquement ou informa-tiquement. A loppos du calcul explicite du mouvement des molcules dans un bocal qui nepeut absolument pas tre trait laide de linformatique actuelle.

Comme autre exemple, considrons ltude dun barrage. Ce barrage est construit en bton.Le bton est un matriau compos de sable et de graviers de diffrentes tailles. Le barrage est unmilieu continu dans lequel un point est un volume dune dizaine une centaine de centimtrescubes selon la taille des lments entrant dans la composition du bton. A limage des molculesdans le bocal, il est exclu de traiter un modle dcrivant le mouvement de chaque petit caillouou grain de sable constituant le barrage!

Comme dernier exemple, signalons que certains calculs en astronomie considrent les ga-laxies comme des fluides. Le point du milieu continu a, dans ce cas, une dimension de lordrede mille annes-lumire au cube.

Le modlisateur doit donc toujours avoir lesprit lchelle caractristique du problmetrait. Particulirement dans linterprtation des rsultats de simulation obtenus avec le modlemilieu de continu. Par exemple, la pression prdite par une simulation numrique en un point dubarrage doit tre interprte comme la pression moyenne sexerant en ralit sur une surface

5. Exemple tir de [1].6. Une mle dair 25 degr Celsius (22.4 litres) contient 6,02 1023 molcules.



de quelques centimtres quelques dcimtres carr. Si lon souhaite comparer les rsultats dumodle avec la ralit (mesure in situ), il faut que les mesures in situ utilisent la mme chelleque celle du calcul.

1.4 Remarques importantesDans les milieux continus de ce cours, on considre que la dformation du milieu est ca-

ractrise par un vecteur dplacement en chaque point. On dit que le milieu est non polaris.Lorientation propre de chaque point est indiffrente. Ce nest pas toujours le cas : en magnto-hydrodynamique (tude des fluides mcaniquement sensibles aux champs magntiques car ilstransportent des charges lectriques) o cette hypothse est inacceptable.

La mcanique des milieux continus est une thorie qui perd son sens si les vitesses misesen jeux se rapprochent de la vitesse de la lumire ou bien si la taille du systme devient trspetite (taille atomique). Dans ces cas extrmes, les mcaniques relativiste et quantique, respec-tivement, sont plus appropries.

1.5 Systme dunitsLe systme dunit adopt pour ce cours est le systme international. Il comporte sept units

fondamentales que sont : lunit de masse (le kilogramme : kg) ; lunit de mesure (le mtre : m) ; lunit de temps (la seconde : s) ; lunit de temprature (le Kelvin : K) ; lunit de courant lectrique (lAmpre : A) ; lunit dintensit de lumineuse (la Candela : Cd) ; lunit de quantit de matire (la mle : mol).

Toutes les autres units peuvent se dduire de ces units fondamentales et sont introduites parcommodit. Par exemple,

le Newton (N) est en fait mkgs2 ; le Pascal (Pa) est Nm2 donc m1kgs2 ; le Joule (unit de travail) est en m2kgs2 ; le Watt (unit de puissance) en m2kgs3.


CHAPITRE 2. LMENTS DE CALCUL TENSORIEL

Chapitre 2

lments de calcul tensorielLa mcanique des milieux continus fait un usage intensif des champs scalaires, vectoriels

et tensoriels. Ces outils mathmatiques indispensables permettent non seulement dtablir desrsultats fondamentaux indpendamment du rfrentiel choisi, mais en outre, confrent auxformules qui les expriment une concision remarquable. Grce cela, on peut porter son attentionsur les phnomnes physiques quelles reprsentent plutt que sur les quations elles-mmes.

Les scalaires, vecteurs et tenseurs ont en effet la proprit dtre invariant lors dun change-ment de base. Cest ainsi que grce ces quantits on peut crire les quations de la mcaniquede manire intrinsque cest dire indpendamment de la base choisie.

Dans ce cours, nous naurons pas recours la forme la plus complte du calcul tensoriel ;nous nutiliserons que des systmes de coordonnes orthogonales, ventuellement curvilignes(par exemple le systme de coordonnes cylindriques ou sphriques), ce qui permet des simpli-fications considrables sans introduire de restrictions trop gnantes 1. En outre, tout les vecteurset tenseurs considrs seront toujours composantes relles. Cette introduction au calcul tenso-riel sinspire de [3].

Avant de dfinir ce que sont les scalaires, vecteurs et tenseurs, nous introduisons une sriede dfinition.

2.1 Convention de sommation dEinsteinChaque fois quun indice apparat deux fois dans le mme monme, ce monme reprsente

la somme des trois termes obtenus en donnant successivement cet indice les valeurs 1,2,3. Parexemple, aibi est la notation compacte pour a1b1+a2b2+a3b3. Lindice rpt sur lequel on ef-fectue la sommation est appel indice muet. On peut lui substituer nimporte quel indice pourvuquil diffre des autres indices prsents dans le monme. Un indice non muet est dit franc. Ainsi,dans ai jb j, lindice i est franc et lindice j est muet ; on peut le remplacer par nimporte quelautre indice except i. Cette convention de sommation est dite convention dEinstein.

2.2 Symbole de KroneckerLe symbole de Kronecker (on dit aussi le delta de Kronecker) est dfini par

i j ={

1 si i = j0 si i 6= j (2.1)

1. Lorsque le systme de coordonnes nest pas orthogonal, il faut distinguer les composantes covariantes etcontravariantes du tenseur. Un prsentation plus gnrale du calcul tensoriel peut tre trouve dans [2].



2.3 Symbole de permutation dit de Lvi-CivitaSoient i, j,k trois indices ayant des valeurs diffrentes. On dit quils forment une permutation

paire de 1,2,3 si lon peut les amener dans cet ordre par un nombre pair de permutations. Ondit quils forment une permutation impaire de 1,2,3 si lon peut les amener dans cet ordre parun nombre impair de permutations. Les permutations paires de 1,2,3 sont donc : (1,2,3), (3,1,2)et (2,3,1) et les permutations impaires : (2,1,3), (1,3,2) et (3,2,1). Cela tant, le symbole depermutation est dfini par

i jk =

0 si deux quelconques des indices sont gaux+1 si i, j,k forment une permutation paire de 1,2,31 si i, j,k forment une permutation impaire de 1,2,3

(2.2)

2.4 Changement de baseConsidrons deux bases orthonormes (vecteurs de bases unitaires et orthogonaux entre

eux), dont les bases respectives sont notes (~e1,~e2,~e3) et (~e1,~e2,~e3).Soient, Pi j, les coefficientscaractrisant ce changement de repre.

Pi j =~ei ~ej (2.3)Ils peuvent sinterprter comme les composantes du vecteur~ei dans le repre (~e1,~e2,~e3) :

~ei = Pi j~ej (2.4)et rciproquement, les coefficients Pi j peuvent sinterprter comme les composantes du vecteur~ej dans la base (~e1,~e2,~e3) :

~ej = Pi j~ei (2.5)Que lon peut aussi crire :

~ej = PTji~ei (2.6)

car PTji = Pi j. En injectant (2.4) dans (2.6), on a :~ej = P

TjiPik~e

k (2.7)

Donc :PTjiPik = jk (2.8)

De mme, en injectant (2.6) dans (2.4), on a :~ei = Pi jPTjk~ek (2.9)

do :Pi jPTjk = ik (2.10)

En notant P la matrice contenant les coefficient Pi j, les relations ci-dessus se rcrivent :

PPT =

1 0 00 1 00 0 1

(2.11)PTP =

1 0 00 1 00 0 1

(2.12)Ce qui indique que la matrice de passage P est une matrice orthogonale : son inverse et satranspose concident.



2.5 ScalaireCertaines grandeurs comme la masse volumique ou la temprature sexpriment par un seul

nombre, qui ne dpend pas de la base choisie. Ce sont des scalaires. De manire plus math-matique, nous dfinirons un scalaire comme suit : un scalaire s est un tre mathmatique uneseule composante et invariant lors dun changement de base.

2.6 VecteurDes grandeurs telles que la vitesse ou lacclration dun point matriel, un flux de chaleur

ou une force sont caractriss par leur direction, leur sens et leur intensit. Ce sont des vecteurs.On les reprsente par un segment orient. Un vecteur possde trois composantes qui dpendentdu repre choisi (~e1,~e2,~e3) :

~a = a1~e1 +a2~e2 +a3~e3 (2.13)En notation indicielle, on crira plutt

~a = ai~ei (2.14)en utilisant la convention de sommation. Si lon se rfre la base (~e1,~e2,~e3), on crira

~a = ai~ei (2.15)

Il sagit toujours du mme vecteur mais exprim dans une autre base.Il est capital de comprendre que lors dun changement de base, les composantes du vecteur

changent alors que le vecteur lui-mme ne change pas. En clair, bien que les ai sont diffrentsdes ai , on a

~a = ai~ei = ai~ei (2.16)

Pour que cela soit possible, il faut que les composantes du vecteur se transforment comme :ai = Pi jaj , a

j = Pi jai (2.17)

Cette proprit suggre la dfinition mathmatique suivante dun vecteur : un vecteur ~a est untre mathmatique qui, lors dun changement de repre~ei =Pi j~ej se transforme selon la formuleai = Pi jaj .

En utilisant la notation matricielle, on peut rcrire (2.17) comme[~a] = P[~a], [~a] = PT[~a] (2.18)

Faisons le point sur ces notations : ~a est un vecteur ; ai est la ime composante de ce vecteur dans une base donne ; ai est la ime composante de ce mme vecteur mais dans une autre base ; [~a] est la matrice colonne regroupant les trois composantes du vecteur ~a dans une base

donne

[~a] =

a1a2a3

(2.19) [~a] est la matrice colonne regroupant les trois composantes du mme vecteur~a mais dans

une autre base

[~a] =

a1a2a3

(2.20)Finalement, il faut noter que dans lquation (2.18) P nest pas mis entre crochet car cest

dj une matrice. La matrice de passage comme son nom lindique est un tableau de nombre. Ilne sagit pas dune quantit tensorielle.



2.7 Tenseur dordre 2Un tenseur dordre 2 sexprime par

A = Ai j~ei~e j (2.21)Un tenseur dordre 2 est un tre mathmatique 9 composantes qui, lors dun changement debase~ei = Pi j~ej , se transforme selon les formules :

Ai j = PikAklPTl j , A

kl = P

TkiAi jPjl (2.22)

ou sous forme matricielle[A] = P[A]PT, [A] = PT[A]P (2.23)

Nous insistons une nouvelle fois sur le fait que P est une matrice et na rien a voir avec untenseur dordre 2. Un tenseur dordre 2 est une quantit intrinsque indpendante de la basechoisie alors que P est un tableau de nombre donnant les produits scalaires entre les vecteurs dela premire et de la seconde base : Pi j =~ei ~ej .

2.8 tude des tenseurs dordre 2Nous tudions ici en dtail les tenseurs dordre 2 compte tenu de leur importance en mca-

nique des milieux continus.

2.8.1 Tenseur identitLe tenseur identit not I est un tenseur particulier car ses composantes sont les mmes dans

toute base orthonorme et donnent la matrice identit :

[I] =

1 0 00 1 00 0 1

(2.24)autrement dit Ii j = i j.

2.8.2 Tenseur symtrique et antisymtriqueUn tenseur est symtrique sil est gal sa transpose :

A symtrique A = AT Ai j = A ji (2.25)Un tenseur est antisymtrique sil est gal loppos de sa transpose :

A antisymtrique A =AT Ai j =A ji (2.26)

Cela nest possible que si les termes diagonaux de A sont nulles : A11 = A22 = A33 = 0.La symtrie ou lantisymtrie est une proprit intrinsque dun tenseur. Si la matrice re-

prsentant les composantes dun tenseur dans une base est (anti)symtrique, elle le restera danstout autre base.

Tout tenseur dordre 2, A, peut scrire comme la somme dun tenseur symtrique et duntenseur antisymtrique :

A = Asym

+Aasym

, Asym

=12(A+A

T), A

asym=

12(AAT ) (2.27)



2.8.3 Trace dun tenseurLa trace dun tenseur dordre 2 est la somme de ses termes diagonaux

TrA = Aii (2.28)

2.8.4 Produit contractLe produit contract de deux tenseurs dordre 2 est un tenseur dordre 2 dfini par :

C = A B Ci j = AikBk j (2.29)

Le produit doublement contract de deux tenseurs dordre 2 est un scalaire :

s = A : B = Ai jBi j = Ai jBTji = Tr(A BT) (2.30)

Le produit contract dun tenseur dordre 2 et dun vecteur~b est un vecteur, on peut post- oupr-multipli par un vecteur. Le rsultat nest pas le mme moins que A ne soit symtrique :

A ~b = ~c Ai jb j = ci (2.31)~b A = ~d biAi j = d j (2.32)

Le produit contract (appel plus couramment produit scalaire) de deux vecteurs est un scalaire :

s =~a ~b s = aibi (2.33)

Le rsultat dun produit contract est simple dfinir. Soit n lordre du premier tenseuret m lordre du second (m = 1 pour un vecteur, 2 pour un tenseur dordre 2, . . . ). Le rsultatdun produit simplement contract est un tenseur dordre n+m 2 et le rsultat dun produitdoublement contract est un tenseur dordre n +m 4. Par exemple, le produit doublementcontract dun tenseur dordre 4 et dun tenseur dordre 2 est un tenseur dordre 2 :

C = A : B Ci j = Ai jklBkl (2.34)

Le produit doublement contract entre un tenseur dordre deux antisymtrique et un tenseurdordre deux symtrique donne toujours le tenseur nul.

2.8.5 Produit tensorielLe produit tensoriel de deux vecteurs est un tenseur dordre 2 :

A =~b~c Ai j = bic j (2.35)

Le rsultat dun produit tensoriel est simple dfinir. Soit n lordre du premier tenseur et mlordre du second (m = 1 pour un vecteur, 2 pour un tenseur dordre 2, . . . ). Le rsultat duproduit tensoriel est un tenseur dordre n+m. Par exemple, le produit tensoriel de deux tenseursdordre 2 est un tenseur dordre 4 :

A = BC Ai jkl = Bi jCkl (2.36)



2.8.6 Reprsentation spectrale dun tenseurOn dit que~v est une direction principale (ou un vecteur propre) du tenseur A dordre 2 si

A ~v = ~v Ai jv j = vi (2.37)La valeur est appele valeur principale (ou valeur propre) de A associe la direction princi-pale~v. Pour trouver~v, on crit (2.37) sous la forme

(AI) ~v = 0 (Ai ji j)v j = 0 (2.38)Ces quations constituent un systme homogne de trois quations trois inconnues v1,v2,v3 quinadmet de solution non triviale que si le dterminant de la matrice des coefficients sannule :

det(AI) = 0

A11 A12 A13A21 A22 A23A31 A32 A33

= 0 (2.39)Lquation ci-dessus donne trois racines I, II, III. On calcule les vecteurs propres correspon-dants en rsolvant (2.38). Par exemple, pour I, on aura

(AII) ~vI = 0 (2.40)ce qui ne dtermine les composantes de~vI qu un coefficient prs. On peut choisir ce coefficientde manire avoir un vecteur~vI de norme unitaire.

Si le tenseur A est rel et symtrique, lalgbre matricielle nous apprend que les valeurspropres et vecteurs propres sont rels. Si les trois valeurs propres de A sont de plus distinctes,les trois vecteurs propres ~vI, ~vII, ~vIII, sont mutuellement orthogonaux. Dans le cas o deuxvaleurs propres sont confondues (I = II 6= III par exemple), la rsolution de (2.40) laisse uneindtermination sur les directions de~vI et~vII : ils peuvent prendre une direction quelconque dansle plan de lespace perpendiculaire ~vIII. Il est alors indiqu de choisir ~vI et ~vII orthogonauxentre eux dans ce plan. Enfin, dans le cas o I = II = III, ~vI, ~vII et ~vIII sont absolumentindtermins ; ils peuvent prendre des directions quelconques de lespace, mais on peut toujourssarranger pour les choisir mutuellement orthogonaux. Cette situation spciale narrive que sile tenseur A est de la forme A = sI o s est un scalaire. On a alors I = II = III = s. Un teltenseur est appel un tenseur isotrope. Ses composantes ne sont pas affectes par un changementde base.

En conclusion, nous venons de voir que lon peut toujours trouver trois vecteurs propresorthogonaux pour un tenseur rel symtrique dordre 2. La base forme par ces trois vecteursest appele base principale. Dans cette base, les coefficients du tenseur A forment une matricediagonale dont les lments diagonaux sont les valeurs propres :

[A]I,II,III = PT[A]1,2,3P =

I 0 00 II 00 0 III

(2.41)La matrice de passage est donne par :

P =

~vI ~e1 ~vII ~e1 ~vIII ~e1~vI ~e2 ~vII ~e2 ~vIII ~e2~vI ~e3 ~vII ~e3 ~vIII ~e3

(2.42)Enfin, on vrifie facilement que le tenseur A peut scrire :

A = I~vI~vI +II~vII~vII +III~vIII~vIII (2.43)Cest ce quon appelle la dcomposition spectrale du tenseur.



2.9 Formule dintgration par partieOn tablit en analyse une formule gnrale dintgration par parties. On la rappelle ici sans

dmonstration. Soit dans un repre cartsien un domaine dlimit par une frontire (celapeut tre en 3D un volume dlimit par une ou plusieurs surfaces, ou en 2D une surface dlimitepar une ou plusieurs courbes ou en 1D un segment dlimit par deux points). Soient F et G deuxtenseurs dfinis sur et suffisamment continus. Soit,~n, la normale extrieure . On aZ

Fi jk...qGlmn... =

Z

qFi jk...Glmn...Z

nqFi jk...Glmn... (2.44)

La relation (2.44) est valable quel que soit lordre des tenseurs F et G. Lindice q peut mmegalement concider avec lun des indices i jk . . . ou lmn . . .. En particularisant le choix du ten-seur F , on obtient les formules importantes en pratique de Green-Ostrogradski et de Stokes.

2.9.1 Formule de Green-OstrogradskiSoit un volume V de frontire S sur laquelle est dfinie en tout point rgulier la normale

unitaire extrieure ~n. Soit A , (~A , A) des champs scalaires (vectoriels, tensoriels dordre 2)continus et drivables sur V . On a :Z

SA~ndS =

ZV

~gradAdV soitZ

SAnidS =

ZVA,idV (2.45)Z

S~A ~ndS =

ZV

div~AdV soitZ

SAinidS =

ZVAi,idV (2.46)Z

SA ~ndS =

ZV~divAdV soit

ZSAi jn jdS =

ZVAi j, jdV (2.47)

La notation A,i indique la drive partielle de A par rapport la ime coordonne.La formule de Green-Ostrogradski porte aussi le nom de thorme de la divergence dans

certains ouvrages. Ces formules sont obtenues partir de la relation gnrale (2.44) en prenantF unitaire, si bien que sa drive sannule dans le second membre de (2.44).

2.10 Formule de StokesSoit une surface plane S de normal ~N et de contour C. Soit~t le vecteur tangent sur ce contour.

On a la relation : ZC~a ~tdC =

ZS(~rot~a) ~NdS soit

ZC

aitidC =Z

Si jkak, jNidS (2.48)

2.11 Systmes de coordonnes curvilignes orthogonalesPour tablir et discuter les quations et principes gnraux de la mcanique des milieux

continus, les coordonnes cartsiennes sont adquates. Toutefois, pour la rsolution de certainsproblmes particuliers, il est prfrable dutiliser des coordonnes curvilignes (on dit quunsystme de coordonnes est curviligne si la base locale volue dun point lautre). Cest parti-culirement vident dans les problmes axisymtriques o les coordonnes cylindriques (r,,z)simposent (figure 2.1) et les problmes symtrie sphrique o les coordonnes sphriques(r,,) sont indiques(figure 2.2).



2.11.1 Coordonnes cartsiennesEn coordonnes cartsiennes les composantes dun vecteur sont notes :

[~a] =

a1a2a3

(2.49)et celles dun tenseur dordre deux :

[A] =

A11 A12 A13A21 A22 A23A31 A32 A33

(2.50)~grada = ax1

~e1 +ax2

~e2 +ax3

~e3 = a,i~ei

a = 2a

x21+

2ax22

+2ax23

= a,ii

div~a = a1x1+

a2x2

+a3x3

= ai,i

~rot~a = (a3x2

a2x3 )~e1 +(a1x3

a3x1 )~e2 +(a2x1

a1x2 )~e3 = i jk ak, j ~ei

~divA = (A11x1+

A12x2

+A13x3

)~e1 +

(A21x1

+A22x2

+A23x3

)~e2 +

(A31x1

+A32x2

+A33x3

)~e3 = Ai j, j ~ei

grad~a = a1x1~e1~e1 + a1x2~e1~e2 +

a1x3

~e1~e3 +a2x1

~e2~e1 + a2x2~e2~e2 +a2x3

~e2~e3 +a3x1

~e3~e1 + a3x2~e3~e2 +a3x3

~e3~e3 = ai, j ~ei~e j

~~a =(2a1

x21+

2a1x22

+2a1x23

)~e1 +(2a2

x21+

2a2x22

+2a2x23

)~e2 +(2a3

x21+

2a3x22

+2a3x23

)~e3 = ai, j j ~ei

2.11.2 Coordonnes cylindriquesEn coordonnes cylindriques :

x1 = r cos (2.51)x2 = r sin (2.52)x3 = z (2.53)



e

e

e1 2

3

e

e

e

r

z

r

z

FIG. 2.1

La base locale en chaque point est donne par :

~er = cos~e1 + sin~e2 (2.54)~e = sin~e1 + cos~e2 (2.55)~ez = ~e3 (2.56)

La matrice de passage de la base cartsienne la base cylindrique (base pour reprendre lesnotations (2.3) )est donc :

P =

cos sin 0sin cos 00 0 1

(2.57)En coordonnes cylindriques les composantes dun vecteur sont notes :

[~a] =

araaz

(2.58)et dun tenseur dordre deux :

[A] =

Arr Ar ArzAr A AzAzr Az Azz

(2.59)



~grada = ar~er +1r

a~e +

az~ez

a = 1r

r (r

ar )+

1r2

2a2 +

2az2

div~a = 1r

r (rar)+

1r

a +

azz

~rot~a = (1r

az

az )~er +(

arz

azr )~e +(

ar

1r

ar +

ar)~ez

~divA = (Arrr +1r

Ar +

1r(ArrA)+ Arzz )~er +

(Arr +

1r

A +

2r

Ar +Azz )~e +

(Azrr +

1r

Az +

1r

Azr +Azzz )~ez

[grad~a](~er,~e,~ez) =

arr

1r

ar ar arz

ar

1r

a +

arr

az

azr

1r

az

azz

2.11.3 Coordonnes sphriques

En coordonnes sphriques :

x1 = r sinsin (2.60)x2 = r sincos (2.61)x3 = r cos (2.62)

La base locale en chaque point est donne par :

~er = sinsin~e1 + sincos~e2 + cos~e3 (2.63)~e = cos~e1 sin~e2 (2.64)~e = cossin~e1 + coscos~e2 sin~e3 (2.65)

La matrice de passage de la base cartsienne la base sphrique est donc :

P =

sinsin cos cossinsincos sin coscoscos 0 sin

(2.66)En coordonnes sphriques les composantes dun vecteur sont notes :

[~a] =

araa

(2.67)et dun tenseur dordre deux :

[A] =

Arr Ar ArAr A AAr A A

(2.68)cole Centrale de Nantes : cours de mcanique des milieux continus page 19


~grada = ar~er +1

r sina~e +

1r

a~e

a = 1r2

r (r

2 ar )+

1r2 sin2

2a2 +

1r2 sin

(sin

a)

div~a = 1r2 sin

[ r (r

2 sinar)+

(ra)+

(r sina)]

~rot~a =1

r2 sin

[ (ra)

(r sina)

]~er +

1r

[ar

r (ra)

]~e +

1r sin

[ r (r sina)

ar]~e

~divA = (Arrr +1

r sinAr +

1r

Ar +

1r(2ArrAA +Arcotg))~er +

(Arr +

1r sin

A +

1r

A +

1r(3Ar +2Acotg))~e +

(Arr +

1r sin

A +

1r

A +

1r(AcotgAcotg+3Ar))~e

[grad~a](~er,~e,~e) =

arr

1r sin

ar

ar

1r

ar ar

ar

1r sin

a +

arr+ a

rcotg 1

r

a

ar

1r sin

a

ar

cotg 1r

a +

arr

2.11.4 Formules utiles

~grad(ab) = a ~gradb+b ~grada (2.69)div(a~b) = adiv~b+~b ~grada (2.70)

div(~a~b) = ~adiv~b+(grad~a) ~b (2.71)~rot ~grada = 0 a (2.72)div ~rot~a = 0 ~a (2.73)

~a = ~grad div~a ~rot ~rot~a (2.74)



r

e

e

e

r

e

e

e1

2

3

FIG. 2.2


CHAPITRE 3. DESCRIPTION DE LA CINMATIQUE DUN MILIEU CONTINU

Chapitre 3

Description de la cinmatique dun milieucontinu

A la diffrence de la mcanique des solides indformables, la mcanique des milieux conti-nus permet de prendre en compte les dformations dun corps et les variations de tempraturequi accompagnent ces dformations.

Dans un solide indformable, la distance entre deux points quelconques ne peut varier avecle temps alors que dans un milieu dformable, cette distance peut voluer. La cinmatique dumilieu continu a pour but dintroduire les outils mathmatiques pour dcrire une cinmatiquequelconque et ce indpendamment des forces qui lengendrent.

3.1 Trajectoire et drives temporellesConsidrons un milieu continu occupant un volume V linstant initial (t = 0), 1 par exemple

une balle en caoutchouc avant son crasement dans la paume dune main (figure 3.1). Cette ballepeut tre vue comme lassemblage dune infinit de petits lments de matire appels pointsmatriels. Chaque point matriel va se dplacer et avoir sa propre trajectoire. Cette trajectoireest dfinie par lvolution de la position~x de ce point matriel en fonction du temps.

~x =~(point matriel,t) (3.1)Lquation ci-dessus donne formellement lensemble des trajectoires de tous les points mat-riels.

1. Les notations utilises dans ce chapitre sinspire des notations du livre de rfrence [4]. Un certain nombredexemples de ce chapitre est galement tir de ce livre.

FIG. 3.1 Une balle avant et aprs dformation



Afin de distinguer deux points matriels, il faut donner un nom unique chaque point,tout comme la scurit sociale attribue un numro unique chaque individu. Gnralement, ondonne comme nom chaque point matriel ses coordonnes initiales notes ~X .

Ces coordonnes dites matrielles sont constantes dans le temps, cest donc une informationintrinsque de la particule. Par contre, les coordonnes spatiales de la particule,~x, voluent dansle temps :

~x =~(~X ,t) (3.2)Sur le plan mathmatique, la transformation ~ est une bijection : chaque point matriel ~Xne correspond quun et un seul point spatial image tout instant t. De mme, deux pointsmatriels diffrents ne peuvent aboutir la mme position spatiale au mme instant. Ainsi, onpeut inverser la relation (3.2) et crire formellement

~X =~1(~x,t) (3.3)tant donne la bijection qui existe entre les coordonnes spatiales et matrielles, on peut

choisir comme variable indpendantes pour dcrire le mouvement soit le couple (~x,t) dit va-riables dEuler soit le couple (~X ,t) dit variables de Lagrange. La connaissance de la transfor-mation~ ou de son inverse dfinit alors compltement le mouvement.

Exemple 3.1.1 Transformation uniformeA titre dexemple considrons un domaine 2D qui se dforme selon un paralllogramme. Lesconfigurations de rfrence et linstant t = 1 sont prsentes figure 3.2. La transformation,~x =~(~X ,t) scrit

x1 =14(18t +4X1 +6tX2) (3.4)

x2 =14(14t +(4+2t)X2) (3.5)

On vrifie que pour t = 0, on a bien x1 = X1 et x2 = X2.

E2

e2

2(e )

(e )1

1(E )

(E )2X x

x

X1

1

22

(1,1)(1,1)

(1,1) (1,1)

(4,2)(2,2)

(5,5) (7,5)

=e1

1

E1 = 1

FIG. 3.2 Dformation dun carr

Une fois la transformation du milieu continu~ dfinie, il est facile de dfinir les notions de



dplacement, de vitesse et dacclration :

~u(~X ,t) = ~x(~X ,t)~X (3.6)~v(~X ,t) =

ddt~u(

~X ,t) (3.7)

~a(~X ,t) =ddt~v(

~X ,t) (3.8)

La drive temporelle intervenant dans les deux dernires quations seffectue pour uneparticule ~X donne. Cest une drive en temps dite matrielle (on parle aussi de drive parti-culaire ou lagrangienne). Si on assimile, un milieu continu une portion dautoroute et chaquepoint matriel de ce milieu une voiture circulant sur lautoroute, les vitesses et acclrationsdfinies en (3.7) et (3.8) sont les vitesses et acclrations perues par le conducteur de chaquevoiture ~X . La drive particulaire est souvent galement note laide dun point au dessus dela quantit driver. Ainsi, on peut rcrire (3.7) et (3.8) avec cette notation compacte et crire :

~v = ~u (3.9)~a = ~v = ~u (3.10)

Il existe un autre type de drive temporelle dite eulrienne qui ne seffectue non pas pourune particule donne mais en un point de lespace donn. En clair, cest une drive temporelleen considrant ~x fixe et non plus ~X fixe. Pour reprendre lexemple de la portion dautoroute,cette drive correspond celle que peroit le gendarme post sur le bord de la route : si unevoiture roulant lentement passe devant le radar et quelle est suivie par une voiture roulant vive allure, pour le gendarme, le trafic acclre alors que pour les passagers des deux vhicules,lacclration est nulle (en supposant quils roulent tous les deux vitesse constante).

La drive eulrienne est note t pour ne pas la confondre avec la drive matrielleddt .

Les drives eulrienne et lagrangienne sont relies. En effet, on peut crire :

dg(~x,t)dt

drive lagrangienne

=dg(~x(~X ,t),t)

dt =g(~x,t)

t +g(~x,t)

~x~x(~X ,t)

t (3.11)

=g(~x,t)

t drive eulrienne

+ ~gradg ~v terme dadvection

(3.12)

Le dernier terme est une drive dite convective. Afin dillustrer le calcul des drives lagran-giennes et eulriennes, on peut considrer lextension dune barre unidimensionnelle dont latemprature volue avec le temps :



Exemple 3.1.2 Mouvement uni-axial, illustration des drives temporelles eulrienne et la-grangienne.

1 5 6 7 82 3 40

1

2

3

t

X,x

(X=1,T=1)

(X=1,T=2)

(X=1,T=9)

(X=2,T=1)

(X=2,T=8)

(X=2,T=18)

FIG. 3.3

On considre la transformation dune barre, figure 3.3, de longueur initiale 2, donne parx = (1+ t)X . Cette barre est soumise une lvation de temprature donne par T = Xt2.La drive matrielle de la temprature est donne par T = 2Xt. Pour calculer la drivetemporelle eulrienne, on exprime la temprature en fonction des coordonnes spatiales : T =xt2/(1+ t) et ensuite on drive par rapport au temps, ce qui donne

T (x,t)t =

(2t + t2)x(1+ t)2

(3.13)

Quant la drive convective, on

( ~gradT ) ~v = T (x,t)xdxdt =

t2

(1+ t)X (3.14)

On vrifie que la somme des drives eulrienne et convective rend bien la drive lagran-gienne.

Dans la cas o la quantit considre est un vecteur, on a :

d~g(~x,t)dt

drive lagrangienne

=d~g(~x(~X ,t),t)

dt =~g(~x,t)

t +~g(~x,t)

~xd~x(~X ,t)

dt (3.15)

=~g(~x,t)

t drive eulrienne

+ (grad~g) ~v terme dadvection

(3.16)

En notation indicielle 2 , on critgi =

git +gi, jv j (3.17)

A titre dexemple, lacclration dune particule dans un champ de vitesse scrit

~a =d~vdt =

~vt +(grad~v) ~v ai =

dvidt =

vit + vi, jv j (3.18)

2. Il est bon de rappeler ici que la notation indicielle nest valable que dans un systme de coordonnes cart-siennes alors que la notation intrinsque est indpendante de tout systme de coordonnes.



On note quen utilisant la drive eulrienne, lacclration devient une fonction non linairede la vitesse par la prsence du terme dadvection 3.

3.2 Gradient de la transformationUne quantit clef dans la description de la dformation dun corps est le gradient de la trans-

formation not F . Ce tenseur dordre 2 permet de relier la position relative de deux particulesvoisines avant et aprs dformation. Cest donc lingrdient de base pour dfinir la dformationdun corps 4.

Considrons deux points matriels Q1 et Q2 situs dans le voisinage dun point matrielP (voir figure 3.4). Les positions relatives de Q1 et Q2 par rapport P sont donnes par lesvecteurs lmentaires ~dX1 et ~dX2 :

~dX1 = ~XQ1 ~XP ~dX2 = ~XQ2 ~XP (3.19)

Aprs dformation, les positions des particules P, Q1 et Q2 sont donnes par la transforma-tion~

~xp =~(~XP,t) ~xq1 =~(~XQ1,t) ~xq2 =~(~XQ2,t) (3.20)Les vecteurs lmentaires ~dX1 et ~dX2 sont deviennent donc :

~dx1 = ~xq1 ~xp =~(~XP + ~dX1,t)~(~XP,t) (3.21)~dx2 = ~xq2 ~xp =~(~XP + ~dX2,t)~(~XP,t) (3.22)

Nous dfinissons le tenseur gradient de la transformation par

F(~X ,t) =~(~X ,t)

~X(3.23)

Il est parfois galement appel matrice Jacobienne car cest la matrice du changement des va-riables ~X en~x. En effet, le tenseur F scrit aussi :

F =~x(~X ,t)

~X(3.24)

Le tenseur F est non symtrique en gnral.En tenant compte du caractre infinitsimal des vecteurs ~dX2 et ~dX1, on peut crire, en

effectuant le dveloppement de Taylor au premier ordre de (3.21) et (3.22) :~dx1 = F(~XP,t) ~dX1 ~dx2 = F(~XP,t) ~dX2 (3.25)

On note que le tenseur F transforme un vecteur de la configuration de rfrence ~dX en un vec-teur ~dx de la configuration actuelle. Notons que comme ~dX est infinitsimal, il en sera de mmepour ~dx. Ce type de tenseur est appel un tenseur deux-points 5.

3. Cette non-linarit est une des difficults principales de la mcanique des fluides numriques.4. Remarque linguistique : en anglais la dformation se dit strain et le dplacement se dit displacement ou

deformation. En anglais, le tenseur F est donc appel deformation gradient.5. two-point tensor en anglais.



t=0

XP

t

Xx

Xx

Xx

11

22

33

x

dXdX 2

1

pdx

2

1dx

FIG. 3.4



Exemple 3.2.1 Transformation des vecteurs de base

Pour illustrer le calcul du tenseur F reprenons la transformation de lexemple 3.1.1. Le gradientde la transformation se calcule par

[F ] =

[ x1X1

x1X2x2

X1x2X2

]=

12

[2 3t0 2+ t

](3.26)

On note que pour cet exemple, F est uniforme cest--dire quil ne dpend pas du point (X1,X2)considr. En gnral, le tenseur F dpend la fois du temps et du point considr. Les vec-teurs placs initialement selon les axes ~E1 et ~E2 sont transforms linstant t = 1 en F ~E1 etF ~E2 donns par lapplication (3.25). En considrant linstant t = 1, on a

[F ~E1] = 12[

2 30 3

][10

]=[

10

](3.27)

[F ~E2] = 12[

2 30 3

][01

]=[

1.51.5

](3.28)

Dans notre exemple le vecteur initialement parallle laxe 1 reste donc parallle laxe 1et ne change pas de taille. Par contre, le vecteur initialement parallle laxe 2 tourne de 45degrs et voit sa taille multiplie par 3/

2.

Si lon considre deux vecteurs ~e1 et ~e2, actuellement, orients paralllement aux axes, onpeut se demander quelle tait lorientation de ces vecteurs dans la configuration initiale. Cesorientations sont donnes par F

1 ~e1 et F1 ~e2 :

[F1 ~e1] = 13

[3 30 2

][10

]=[

10

](3.29)

[F1 ~e2] = 13

[3 30 2

][01

]=[ 1

2/3

](3.30)

3.3 Dfinition des tenseurs de dformationLa section prcdente a introduit le tenseur gradient de la transformation, F . Ce tenseur est

la drive des positions actuelles par rapport aux positions initiales. Nous allons montrer quece tenseur nest pas une bonne mesure de dformation. En revanche, partir de ce tenseur nousallons btir deux tenseurs de dformation.

Considrons un corps se dplaant de manire rigide. Ce mouvement scrit :

~x(~X ,t) = R(t) ~X +~c(t) (3.31)

Le tenseur R est un tenseur orthogonal cest dire que sa transpose concide avec son inverse :

R RT = RT R = I (3.32)

Il reprsente la rotation rigide du corps et le vecteur~c reprsente la translation rigide. Le gradientdune telle transformation est clairement

F = R (3.33)



Autrement dit pour un mouvement de corps rigide, le tenseur F nest pas nul et est gal autenseur de rotation. Clairement, le tenseur F nest donc pas une bonne mesure de dformationpuisquil est non nul pour des transformations nimpliquant aucune dformation.

Pour arriver la dfinition dun tenseur de dformation, crivons le changement de pro-duit scalaire entre deux vecteurs lmentaire ~dX1 et ~dX2 lorsquils se transforment en ~dx1 et~dx2, (figure 3.4). Exprimons le produit scalaire des vecteurs aprs dformation en fonction desvecteurs avant dformation :

~dx1 ~dx2 = (F ~dX1) (F ~dX2) = ~dX1 (FT F) ~dX2 = ~dX1 C ~dX2 (3.34)

Le tenseur C = FT F est appel tenseur des dilatations de Cauchy-Green droit. Il sagit dun

tenseur symtrique du deuxime ordre dit matriel car il opre sur des vecteurs matriels.Inversement, on peut exprimer le produit scalaire des vecteurs lmentaires dans la configu-

ration de rfrence partir des vecteurs dans la configuration actuelle :

~dX1 ~dX2 = (F1 ~dx1) (F

1 ~dX1) = ~dx1 (FT F1) ~dx2 = ~dx1 b

1 ~dx2 (3.35)o b est appel tenseur des dilatations de Cauchy-Green gauche 6 :

b = F FT (3.36)Il sagit dun tenseur symtrique du deuxime ordre dit tenseur spatial car il opre sur desvecteurs spatiaux.

Remarquons que tout comme F , b et C ne sont pas des mesures de dformations car pourun mouvement de corps rigides, on a C = b = I.

Le tenseur de dformation de Green-Lagrange E est dfini par lexpression suivante :12(~dx1 ~dx2 ~dX1 ~dX2) = 12(

~dX1 C ~dX2 ~dX1 I ~dX2) = ~dX1 E ~dX2 (3.37)

o I est le tenseur identit. Le tenseur E est un tenseur symtrique matriel du deuxime ordre.Il se calcule en terme de F par la relation suivante :

E =12(C I) = 1

2(F

T F I) (3.38)

On dfinit galement le tenseur de dformation dEuler-Almansi, e :12(~dx1 ~dx2 ~dX1 ~dX2) = 12(

~dx1 I ~dx2 ~dx1 b1 ~dx2) = ~dx1 e ~dx2 (3.39)

Le tenseur e est un tenseur spatial symtrique du deuxime ordre qui sexprime en fonction deF par :

e =12(Ib1) = 1

2(IFT F1) (3.40)

Les tenseurs de Green-Lagrange et de Euler-Almansi sont de bonnes mesures de dforma-tion car ils sont nuls pour des transformations rigides. En effet, prenant en compte F = R, pourune transformation rigide, il vient

E =12(R

T R I) = 0 (3.41)

e =12(IRT R1) = 0 (3.42)

6. Dans le tenseur de Cauchy-Green droit, C = FT F , F est droite alors que dans le tenseur de Cauchy-Green

gauche, b = F FT, F est gauche.



par dfinition, (3.32), dun tenseur orthogonal.

Exemple 3.3.1 Dformations de Green-Lagrange et Euler-AlmansiToujours pour la transformation donne dans lexemple 3.1.1, on peut calculer les dforma-tions pour t = 1. Dabord les tenseurs droit et gauche de Cauchy-Green :

[C] = [FT F ] = 1

2

[2 33 9

][b] = [F FT] = 1

4

[13 99 9

](3.43)

et ensuite les dformations de Green-Lagrange et Euler-Almansi :

[E] =14

[0 33 7

][e] =

118

[0 99 4

](3.44)

3.4 Interprtation des composantes des tenseurs de dforma-tions

Afin dinterprter physiquement les composantes des tenseurs de dformation E et e, nousallons considrer des vecteurs matriels particuliers. Tout dabord, considrons que les deuxvecteurs ~dX1 et ~dX2 sont identiques et nots ~dX . Aprs dformation, ce vecteur se trouvera en~dx = ~dx1 = ~dx2. La relation (3.37) donne

12(~dx ~dx ~dX ~dX) = ~dX E ~dX (3.45)

Dcomposons les vecteurs ~dX et ~dx selon leur norme et leur orientation :

~dX = dL~N ~dx = dl~n (3.46)

On peut alors simplifier (3.45) en

12

(dl2dL2

dL2

)= ~N E ~N (3.47)

En considrant en particulier, un vecteur ~N selon laxe ~E1, le membre de droite de lquationci-dessus est simplement E11 car

~E1 E ~E1 =[

1 0 0] E11 E12 E13E12 E22 E23

E13 E23 E33

100

= E11 (3.48)Les lments diagonaux du tenseur E donnent donc les changements relatifs de longueur

(au sens du premier membre de (3.47)) de vecteurs lmentaires initialement dirigs selon lesaxes.

Concernant linterprtation du tenseur de Euler-Almansi, on obtient :

12

(dl2dL2

dl2

)=~n e ~n (3.49)

Les termes diagonaux du tenseur e sont donc les changements relatifs de longueur de vecteurslmentaires actuellement dirigs selon les axes.



Exemple 3.4.1 Interprtation physique des tenseurs de dformation.Revenons une nouvelle fois la transformation de lexemple 3.4.1. Les dformations linstantt = 1 ont t obtenues dans lexemple 3.2.1. On note que la composante E11 est nulle a. Celaindique quun vecteur lmentaire plac selon laxe 1 dans la configuration initiale ne voit passa taille voluer. Ceci est en accord avec le vecteur F ~E1 obtenu dans lexemple 3.2.1 qui estbien de mme norme que ~E1. La composante E22 vaut elle 7/4. Ceci est cohrent car un vecteurinitialement selon ~E2 et de norme dl = 1 devient le vecteur F ~E2 = [1.5 1.5]T de norme 3/

2

et on a bien12

(dl2dL2

dl2

)=

74

(3.50)

a Prtez attention aux notations : E est le tenseur de dformation de Green-Lagrange, ~E1 est le premier vecteurde base et E11 est la composante 11 du tenseur E dans le repre donn par (~E1,~E2,~E3).

Nous venons dinterprter les termes diagonaux des tenseurs E et e comme la mesure deschangements de longueur des vecteurs lmentaires initialement ou actuellement dirigs selonles vecteurs de base. Quant aux termes non diagonaux, ils peuvent sinterprter comme deschangements dangle. Considrons deux vecteurs ~dX1 et ~dX2 initialement orthogonaux. Aprsdformation, ces deux vecteurs ferons un angle pi/2 o est la rduction dangle entre lesdeux vecteurs. En dcomposant les vecteurs ~dX1 et ~dX2 selon leur norme et leur direction :

~dX1 = dL1~N1 ~dX2 = dL2~N2 (3.51)

la relation (3.37) devient12

sin() dl1dL1dl2dL2

= ~N1 E ~N2 (3.52)

Si on choisit les deux vecteurs ~N1 et ~N2 comme vecteurs de base, par exemple ~E1 et ~E2, onobtient

12

sin() dl1dL1dl2dL2

= E12 (3.53)

La composante E12 du tenseur E est donc lie au changement dangle que vont subir deuxvecteurs lmentaires initialement placs selon les vecteurs de base ~E1 et ~E2.

Considrons maintenant deux vecteurs lmentaires ~dx1 et ~dx2 actuellement orthogonaux.Avant dformation, ces deux vecteurs formaient un angle que nous noterons pi/2+. La relation(3.39) devient

12

sin()dL1dl1dL2dl2

=~n1 e ~n2 (3.54)o on a utilis la dcomposition

~dx1 = dl1~n1 ~dx2 = dl2~n2 (3.55)

La composante e12 du tenseur e est donc lie au changement dangle quont subi deuxvecteurs lmentaires actuellement dirigs selon les vecteurs de base ~e1 et ~e2. La diffrenceentre les angles et est illustre sur la figure 3.5 Finalement, notons que bien que les deuxtenseurs de dformation prcdents ne sont pas indpendants. Ils sont relis lun lautre parles relations :

[E]~eI ,~eII ,~eIII =

EI EIIEIII

e = FT E F1 E = FT e F (3.56)cole Centrale de Nantes : cours de mcanique des milieux continus page 31


F.E

F.E1

2

pi/2

E1

E2

pi/2

pi/2

e 2

e 1F .e21

F .e11

pi/2 +

1

FIG. 3.5

3.5 Dcomposition polaireNous avons vu dans la section prcdente le rle primordial jou par le tenseur F dans la

dfinition des tenseurs de dformation. Ce tenseur fait passer un vecteur lmentaire ~dX de laconfiguration initiale un vecteur ~dx de la configuration actuelle. Ce passage peut tre dcom-pos en une opration dite dextension suivie dune opration de rotation. Cette terminologiedeviendra claire dans la suite.

Dun point de vue purement mathmatique, on peut montrer que tout tenseur dordre deuxpeut scrire comme le produit dun tenseur orthogonal, R, et dun tenseur symtrique, U :

F = R U (3.57)

Dans une dformation gnrale du milieu continu, la dcomposition ci-dessus diffre en chaquepoint ~X et chaque instant. On devrait donc crire pour tre prcis :

F(~X ,t) = R(~X ,t) U(~X ,t) (3.58)

Remarque : Dans le cas particulier dune transformation rigide, le tenseur R est le mme pourtous les points matriels du corps (rotation densemble) et le tenseur U est lidentit. Donc,(3.58) devient :

F(~X ,t) = R(t) (3.59)Pour obtenir les tenseurs R et U partir du tenseur F , partons du tenseur droit de Cauchy-

Green :C = F

T F =UT RT R U =U U (3.60)Le tenseur U est donc la racine carre du tenseur C. Pour prendre la racine dun tenseur, il fautlcrire sous une forme dire propre :

C =3

=12~N~N (3.61)



Les 2 et ~N sont respectivement les valeurs propres et vecteurs propres de C 7. Le tenseurU scrit alors en prenant la racine carre des valeurs propres (on choisit les racines carrespositives : 0).

U =3

=1~N~N (3.62)

Finalement,R = F U1 (3.63)

Voici un exemple numrique de dcomposition polaire :

Exemple 3.5.1 Dcomposition polaire

x1 =14(4X1 +(93X15X2X1X2)t) (3.64)

x2 =14(4X2 +(16+8X1)t) (3.65)

Pour ~X = (0,0) et t=1, la gradient de la transformation et le tenseur droit de Cauchy-Greenscrivent :

[F ] =14

[1 58 4

][C] = 1

16

[65 2727 41

](3.66)

Les extensions 1 et 2 sont les valeurs propres et vecteurs propres donns par :

1 = 2.2714 2 = 1.2107 [~N1] =[

0.83850.5449

][~N2] =

[ 0.54490.8385

](3.67)

Finalement, en utilisant (3.62) et R = F U1, le tenseur dextension et de rotation sont donnspar :

[U ] =[

1.9564 0.48460.4846 1.5257

][R] =

[0.3590 0.93330.0333 0.3590

](3.68)

Interprtons maintenant la dcomposition :

~dx = F ~dX = R (U ~dX) (3.69)

Le tenseur U ralise une extension de ~dX et une rotation R est ensuite applique. Soient,dX, = 1,2,3 les composantes de ~dX dans la base propre ~N, = 1,2,3.

~dX =3

=1dX~N (3.70)

Lapplication de U donne :

U ~dX =3

=1dXU ~N =

3

=1dX~N (3.71)

Les composantes de ~dX sont donc multiplies (tendues) par les coefficients . Si le vecteur~dX concide avec lun des vecteurs de base, ~N, il prservera sa direction suite lapplication de

7. C scrivant sous la forme U U , C est une matrice positive (i.e. ~A.C.~A 0 ~A) et donc toutes ses valeurspropres sont positives (et relles car C est symtrique et relle).



dX.N 3 3dX.N

dX.N 2

dX

U.dX

dX.N

22

dX.N1

dX.N1

1

N1

N2N3

P

3

R

t=0

dX.N

3

3

dX.N

1

1

dX.N2 2

n3

n1

n2

P

dx

t

FIG. 3.6 Illustration de la dcomposition polaire.

U , pour devenir ~N (pas de sommation sur les indices). Avec lapplication de R, il tournerapour devenir un vecteur not ~n sur la figure 3.6. Ceci sexprime mathmatiquement commesuit :

F ~N = R U ~N = R ~N = ~n (3.72)Les vecteurs ~N, = 1,2,3 et ~n, = 1,2,3 forment ce que lon appelle des tridres propresrespectivement matriels et spatials.

Le tenseur U est un tenseur matriel et R, tout comme F , un tenseur deux-points. Notonsquil est galement possible de dcomposer F en terme du mme tenseur de rotation suivi duntenseur dextension dans la configuration spatiale not V :

F =V R (3.73)

Les tenseurs de dformation sexpriment en terme des tenseurs U et V comme suit :

E =12(U

2 I) e = 12(IV2) (3.74)

tant donns que les bases propres des tenseurs U et E sont identiques ainsi que les basespropres des tenseurs V et e, on peut galement crire :

E =3

=1

12(21)~N~N e =

3

=1

12(12 )~n~n (3.75)

3.6 Changement de volumeUn lment de volume dV de la configuration de rfrence se transforme en un lment dv

dans la configuration actuelle. Le Jacobien de la transformation, J = detF , donne le changementde volume :

dv = JdV J = detF (3.76)



dLN

P

n

dl

t=0 t

P

dA

dAda

da

FIG. 3.7

Le Jacobien de la transformation est utile lorsque lon veut transformer des intgrales de volumesur la configuration actuelle en intgrale sur la configuration de rfrence :Z

va(~x)dv =

ZV

a(~x(~X ,t))JdV (3.77)

3.7 Changement de surfaceConsidrons un lment de surface dans la configuration initiale ~dA = dA~N qui aprs d-

formation devient ~da = da~n comme illustr sur la figure 3.7. Dans le but dobtenir une relationentre ces deux vecteurs, considrons le vecteur matriel ~dL qui aprs dformation devient ~dl.Les volumes initiaux et actuels sont :

dV = ~dL. ~dA (3.78)dv = ~dl.~da (3.79)

Par (3.76) et le fait que ~dl = F . ~dL, nous pouvons crire :dv = JdV ~dl.~da = J ~dL. ~dA (3.80)

(F . ~dL).~da = J ~dL. ~dA (3.81)

la relation ci-dessus devant tre vrifie pour tout ~dL, il vient :

~da = JFT

. ~dA (3.82)qui exprime la relation entre laire (et lorientation) dun petit lment de surface aprs et avantdformation en fonction du gradient de la transformation F .

3.8 Taux de dformationJusquici nous avons introduit deux mesures de dformations dans les configurations initiale

et actuelle. Il nous reste introduire la vitesse de ces dformations appele taux de dformation.Le tenseur taux de dformation (matriel) est la drive particulaire du tenseur de dforma-

tion de Green-Lagrange : E. Ce tenseur donne pour une particule donne, le taux de variationde sa dformation au cours du temps. Cest clairement une quantit lagrangienne.



matriel spatial(lagrangien) (eulrien)

tenseur de dformation E etenseur taux de dformation E D

TAB. 3.1 Rcapitulatif sur les tenseurs de dformation et taux de dformation

De mme, nous introduirons le tenseur taux de dformation spatial not D. Celui-ci est reli E par la mme relation que reliait e E, (3.56) :

D = FT E F1 E = FT D F (3.83)

Le tableau 3.1 reprend les tenseurs de dformation et leur taux. Sur la base de la formule (3.83),on peut dgager lexpression du tenseur taux de dformation spatial en terme des vitesses :

D =12(~v~x +(

~v~x)

T) =12(grad~v+(grad~v)T) Di j =

12(vi, j + v j,i) (3.84)

Il est noter que cette relation est linaire par rapport la vitesse.

3.9 Dformations en petites perturbations3.9.1 Formulation de lhypothse des petites perturbations (HPP)

La section prcdente a introduit les outils mathmatiques pour dcrire des dformationsquelconques entre un domaine de rfrence V et un domaine actuel v. Cette dformation peuttre faible ou norme (crash de voiture par exemple). Un point important noter dans lexpres-sion des dformations de Green-Lagrange et Euler-Almansi est quelles dpendent des dplace-ments de manire non-linaire. En effet, reprenons la dfinition du tenseur de Green-Lagrange :

E =12(C I) = 1

2(F

T F I) (3.85)

Le gradient de la transformation, F , peut sexprimer en terme du gradient des dplacements enutilisant (3.6) :

F =~x~X

=(~X +~u)

~X= I +

~u~X

(3.86)

Donc, E scrit :E =

12

( ~u~X

+(~u~X

)T +(~u~X

)T ~u~X

)(3.87)

qui est une expression non-linaire (quadratique) des dplacements.Dans certains cas, cette cinmatique peut tre linarise (ce qui simplifie grandement la

rsolution finale du problme). Cest le cas des petites perturbations. Lhypothse des petitesperturbations (HPP) se formule comme suit : les dplacements entre la configuration de rf-rence et la configuration actuelle sont trs petits et le gradient des dplacements est galementpetit. Voici une certain nombre dexemples pour lesquels lhypothse HPP est justifie :

Un immeuble se dplace peu entre sa position non charge (absence de gravit et de vent)et charge (on applique la gravit et le vent) ;

Les ondes sismiques font intervenir des dplacements de faible amplitude par rapport lataille des immeubles touchs (malgr cette faible amplitude, elles restent nanmoins trsnfastes!) ;



La mise en extension dune prouvette mtallique dans un essai de traction fait intervenirdes dplacements et des dformations faibles par rapport la taille de lprouvette dansle rgime lastique et mme le dbut de la zone plastique (ces dplacements ne sontdailleurs pas visible loeil nu).

A linverse, voici des exemples o lhypothse HPP nest pas justifie : ltude des dformations dune balle de golf suite limpact dun club ; la dformation dune planche de plongeoir sous laction dun nageur ; la phase de striction dune prouvette dans un essai de traction ; la mise en forme dune canette partir dune tle ; lcoulement de tout fluide ne rentre pas dans lhypothse HPP puisque les configurations

initiale et finale sont trs diffrentes : les particules fluides se dplacent beaucoup. Mmesi cest toujours la mme section du tuyau qui est tudie au cours du temps, cela ne veutpas dire que lhypothse HPP est applicable. En effet, cette portion de tuyau est sans cesseremplie par dautres particules de fluide. Lhypothse HPP au contraire impose que lesparticules bougent trs peu par rapport la taille du domaine dtude et se dforment peu.

Finalement, notons que lhypothse HPP se formule entirement en terme de quantits ci-nmatiques (faibles dplacements et gradients des dplacements). Quant aux efforts ncessairespour engendrer ces dplacements, ils peuvent tre quelconques (trs faibles ou trs grands).

3.9.2 Simplification des rsultats dans lhypothse HPPDduisons maintenant les consquences de lhypothse HPP sur la description de la ci-

nmatique. Lhypothse HPP (faible gradient des dplacements) permet de ngliger le termequadratique dans lexpression dans la dformation de Green-Lagrange (3.87). Il reste :

E ' 12

(~u~X

+( ~u

~X

)T)(3.88)

Le membre de droite est le tenseur des dformations en petites perturbations 8, not :

=12

(~u~X

+( ~u

~X

)T)=

12

(F +F

T) I (3.89)Le tenseur de dformation dEuler-Almansi se confond galement au premier ordre avec le

tenseur de dformation HPP . On a en effet

e =12

(IFT F1

)(3.90)

=12

(I (I + ~u

~X)T (I + ~u

~X)1)

(3.91)

' 12

(I (I ~u

~X)T (I ~u

~X))

(3.92)

=12

( ~u~X

+(~u~X

)T ( ~u~X

)T ~u~X

)(3.93)

' 12

( ~u~X

+(~u~X

)T)

(3.94)

= (3.95)8. En raccourci, on dit galement tenseur des dformations HPP.



Pour passer de (3.91) (3.92), nous nous sommes servis du rsultat (1+x)1 ' 1x lorsque xest petit devant 1. En conclusion, dans lhypothse HPP, nous avons

E ' ' e (3.96)

Exemple 3.9.1 Tenseur des dformations en petites perturbationsCalculons les dformations de Green-Lagrange, Euler-Almansi et HPP pour la transformationde lexemple 3.1.1 et montrons que ces trois tenseurs concident lorsque la dformation estpetite. On a :

[F ] =12

[2 3t0 2+ t

](3.97)

[F1

] =1

2+ t

[2+ t 3t

0 2

](3.98)

Donc :

[E] =[

0 3t/43t/4 t/2+5t2/4

](3.99)

[e] =1

(2+ t)2

[0 3t +3t2/2

3t +3t2/2 2t4t2]

(3.100)

Concernant, , la transformation (3.4-3.5) conduit aux dplacements :

u1 =14(18t +6tX2) (3.101)

u2 =14(14t +2tX2) (3.102)

Le tenseur des gradients de dplacement est

[~u~X

] =

[ u1X1

u1X2u2

X1u2X2

](3.103)

et finalement[] =

[0 3t/4

3t/4 t/2

](3.104)

On vrifie bien que lorsque la dformation est faible (petit t), les trois tenseurs E, e et con-cident.

Nous avions interprt les composantes du tenseur de Green-Lagrange dans la section 3.4.Reprenons cette interprtation la lumire de lhypothse HPP. Introduisons la notation quireprsente lallongement relatif du segment dL :

=dldL

dL (3.105)

Lquation (3.47), scrit maintenant12((1+ )21)= ~N E ~N (3.106)

Utilisons maintenant lhypothse HPP : le terme en 2 peut tre nglig devant et on peut



remplacer E par . On a =

dldLdL =

~N ~N (3.107)Les composantes diagonales du tenseur des dformations en petites perturbations sont doncles allongements relatifs des vecteurs lmentaires dirigs selon les axes. Il est intressant decomparer (3.107) et (3.47). On note que dldLdL est le dveloppement au premier ordre de dl

2dL22dL2 .

En effet12

dl2dL22dL2 =

(dldL

dL

)(dl +dL

2dL

)' dldLdL (3.108)

Concernant les termes hors-diagonale, partons de lexpression (3.52) et posons

1 =dl1dL1

dL12 =

dl2dL2dL2

(3.109)

On obtient12

sin()(1+ 1)(1+ 2) = ~N1 E ~N2 (3.110)Soit au premier ordre

2= ~N1 ~N2 (3.111)

Choisissons les deux vecteurs ~N1 et ~N2 comme deux vecteurs de base, par exemple le premieret le second vecteur de base. Il vient alors

2= 12 (3.112)

Les termes hors-diagonaux du tenseur des dformations en petites perturbations sont donc direc-tement la moiti de la rduction dangle entre les vecteurs de base. Il est intressant de comparer(3.112) et (3.53). Que devient la dcomposition polaire dans le cadre de lhypothse HPP? Pourrappel, la dcomposition polaire du gradient de la transformation revient crire

F = R U (3.113)ou

F =V R (3.114)Partons de lexpression de F , (3.86), rappele ci-dessous

F = I +~u~X

(3.115)

On peut crire

F = I +12

( ~u~X

+(~u~X

)T)

+12

( ~u~X

( ~u~X

)T)

= I + + (3.116)

Nous retrouvons le tenseur des dformations en HPP, , et nous dfinissons un tenseur . Cetenseur est antisymtrique et est appel le tenseur de rotation en HPP. Vu les hypothses HPP,on peut crire :

F = I + +' (I + ) (I +)' (I +) (I + ) (3.117)En comparant avec (3.113) et (3.114), on voit que en HPP

U 'V ' I + R' I + (3.118)



Voici lexpression gnrale dune transformation rigide dans lhypothse HPP

~x = (I +(t)) ~X +~c(t) ou~u = (t) ~X +~c(t) (3.119)o~c(t) est le mode de translation rigide. La dformation associe est nulle

=12

( ~u~X

( ~u~X

)T)=

12(+T) = 0 (3.120)

puisque le tenseur de rotation HPP, , est antisymtrique.Il est ici important de comparer les modes rigides du cas gnral (3.31), et du cas HPP (3.119).

La matrice R caractrisant la rotation est orthogonale dans le cas gnral alors que, I + nestorthogonal quau premier ordre. En effet, en se servant de lantisymtrie de

(I +)T(I +) = (I)(I +) = I ' I (3.121)Notons que (3.119) peut aussi scrire

~u =~(t)~X +~c(t) (3.122)o le vecteur de rotation ~ reprend les composantes non-nulles du tenseur antisymtrique .

Enfin, dans le cadre de lhypothse HPP, le changement de volume est donn par

j = detF ' Tr (3.123)On peut dans le cadre de lhypothse HPP confondre les variables dEuler (~x,t) et celles de

Lagrange (~X ,t) pour le calcul dune fonction et de ses drives. Les deux critures suivantessont donc identiques :

=12(

~u~X

+(~u~X

)T) (3.124)

=12(~u~x +(

~u~x )

T) (3.125)

Une consquence importante est que lcriture des quations et des conditions aux limites peutseffectuer directement sur la configuration de rfrence. Dans le cadre de lhypothse HPP, lesconfigurations initiales et actuelles sont considres confondues.

3.9.3 Conditions de compatibilit des dformationsLa relation dformation-dplacement scrit en HPP :

=12(

~u~X

+(~u~X

)T) (3.126)

En notation indicielle, cela scrit :

i j =12(ui, j +u j,i) (3.127)

A tout champ de dplacement, on peut faire correspondre un champ de dformation HPP parla relation ci-dessous. Par contre, existe-t-il pour un champ de dformation quelconque, unchamp de dplacement associ par (3.127). La rponse est non en gnral 9. Pour que la rponsesoit positive, il faut que les dformations vrifient des quations dites de compatibilit. Cesquations de compatibilit sont au nombre de 6 :

i j,kk + kk,i j ik, jk + jk,ik = 0 (3.128)9. La raison intuitive est le fait quil y a six composantes de dformations et seulement trois de dplacements.



3.9.4 Directions principales des dformations et cercle de MohrLe tenseur des dformations, , tant un tenseur symtrique dordre 2, nous savons (voir

section 2.8.6) quil existe une base privilgie dite base propre (ou base principale) dans laquelleles composantes de ce tenseur forme une matrice diagonale. Cette base propre est orthonormeet sera note (~eI,~eII,~eIII) :

[](~eI,~eII,~eIII) =

I 0 00 II 00 0 III

(3.129)Pour calculer lallongement relatif, du vecteur ~eI lors de la dformation, on se sert de laformule (3.107)

=~eI ~eI = I (3.130)Les valeurs propres I, II et III reprsentent donc les allongements relatifs de segments l-mentaires placs dans les trois directions de la base propre.

Calculons maintenant la variation dangle entre deux vecteurs de la base propre lors de ladformation par la formule (3.111) :

2=~eI ~eII = II~eI ~eII = 0 (3.131)

Les vecteurs de base restent donc orthogonaux entre eux lors de la dformation. La base propredu tenseur des dformations HPP est une base orthonorme qui reste orthogonale lors de ladformation (mais pas ncessairement orthonorme car les vecteurs de base peuvent sallongerou se rtrcir).

Pour illustrer cette proprit de la base propre des dformations, considrons un bloc encaoutchouc sur la surface duquel a t grav un rseau orthogonal. Si cette surface est libredeffort lors de la dformation, on peut montrer que la normale cette surface est un des vecteurspropre que lon notera ~eIII 10. Si lors de la dformation, le rseau grav reste orthogonal, celaindique que ce rseau tait orient selon les deux autres vecteurs propres~eI et~eII. Si par contre,le rseau perd son orthogonalit, le rseau ntait pas align selon la base propre.

tudions ceci quantitativement. Donnons-nous un vecteur~l sur la surface qui fait un angle, avec le premier vecteur de base propre~eI, voir figure 3.8. Prenons un second vecteur~t orthogonal~l et tel que (~t,~l,~eIII) forme une base directe :

~l = cos~eI + sin~eII (3.132)~t = sin~eI + cos~eII (3.133)

Lallongement relatif selon~n se calcule par

l =[

cos sin][ I 0

0 II

][cossin

]=

I + II2

+I II

2cos(2) (3.134)

De mme, la rduction dangle entre les vecteurs~n et~t se calcule par

2=[

cos sin][ I 0

0 II

][ sincos

]=

I II2

sin(2) (3.135)

Le point (l,/2) parcourt un cercle de centre ( I+II2 ,0) et de rayon 11III

2 . Lorsque langle varie de 0 pi, le point dcrit compltement le cercle. Les directions angulaires pour les-quelles les distorsions angulaires, , sont extrmales sont donnes par = pi/4 et = 3pi/4.Ces directions correspondent aux bissectrices des directions principales.

10. Ceci sera clair lorsque nous verrons le concept de contraintes et de comportement lastique.11. On suppose que lordre des valeurs propres est tel que I II



l

eI

e II

e III

t

FIG. 3.8

3.9.5 Dpouillement dune rosette en extensomtriePour connatre les dformations dans le plan dune surface qui se dforme, on peut coller

sur cette surface une rosette. Une rosette, constitue de trois jauges de dformation, mesure lesallongements relatifs dans trois directions diffrentes du plan, soit 45o, pour les rosettes dite 45o ou 60o, pour les rosettes dites 60o, voir figure 3.9.

Une jauge de dformation, figure 3.10, peut tre assimile une rsistance mtallique consti-tue dun fil rectiligne trs fin, que lon colle sur la surface de la structure tudie. On transmetainsi au fil les dformations de la structure, do une variation de sa longueur, qui produit unevariation de sa rsistance. Cette variation est mesure laide dun pont de Wheatstone. On peutainsi obtenir avec prcision lallongement relatif x dans la direction x de la jauge.

A partir de a, b et c, il est possible de trouver les dformations propres et vecteurs propresdans le plan. Notons a, langle que fait la jauge dans la direction~a par rapport au vecteur propre(inconnu)~eI : lallongement relatif, a dans la direction~a est donn par (3.134) :

a =I + II

2+

I II2

cos(2a) (3.136)

De mme, si est langle de la rosette, on a

b =I + II

2+

I II2

cos2(a+) (3.137)

c =I + II

2+

I II2

cos2(a+2) (3.138)

Pour rsoudre ces trois quations trois inconnues, on posera d = I+II2 et r =III

2 . Pourla rosette 45o, on a

a = d + r cos(2a) (3.139)b = d + r cos(2a+pi/2) (3.140)c = d + r cos(2a+pi) (3.141)

do on tire

d = a + c2

r =12

(c a)2 +(a + c2b)2 tan2a = bdad (3.142)

Pour la rosette 60o, on a

mecanique des milieux continus

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