microsoft powerpoint - mecanique des milieux continus
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MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
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OBJECTIFS DU COURS
Pour un ingnieur le problme se prsente par ltude dvolutiondans le temps des caractristiques physiques dun milieu matrieloccupant un volume V dans lespace et limit par une frontireVet soumis des transformations dans lespace et dans le temps.Objectifs:
Le premier objectif de ce cours est dintroduire les conceptsde base de la mcanique des milieux continus tels quils sont
enseigns dans la plupart des coles dingnieurs Fournir les outils physiques et mathmatiques qui vont
permettre de mettre en quation le comportement danslespace et dans le temps des phnomnes physiquesconsidrs.
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DESCRIPTION DU PROGRAMME DE MMC
1. INTRODUCTION2. DESCRIPTION CINEMATIQUE DES MILIEUX CONTINUS3. DEFORMATIONS4. CONTRAINTES5. LOIS DE COMPORTEMENT RHEOLOGIQUE6. ELASTICITE LINEAIRE
4
INTRODUCTION
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Toute description de phnomnes physiques fait largement appel au langageet aux concepts des mathmatiques. Se pose alors le problme du choix de laschmatisation. Celle-ci doit permettre, au moyen de calculs mathmatiques,de comprendre les phnomnes observs et de prvoir ceux venir. Lafinesse de la modlisation retenir dpend des moyens que lon est capable,mais aussi dispos, mettre en uvre pour effectuer les mesuresexprimentales qui seront compares aux rsultats thoriques obtenus parles calculs.
La mcanique des milieux dformables utilise un modle continu et ignoredonc, dans la schmatisation employe, la structure microscopique de lamatire. On se place une chelle macroscopique, mais les phnomnesphysiques observs lchelle microscopique servent de guide dans le choix
de la reprsentation macroscopique qui donne, dans une certaine mesure,une image moyenne de ce qui se passe au niveau molculaire ou atomique. La mcanique des milieux dformables, encore appele mcanique des
milieux continus, est la science de base de disciplines aussi nombreuses quevaries que lon a encore trop tendance vouloir sparer en deux groupes :celui de la mcanique des solides dformables et celui de la mcanique desfluides. Cette partition ne peut tre aussi tranche. La connaissance desfondements de la mcanique des milieux continus permet daborder ensuiteles problmes particuliers de calcul des structures, de mcanique des fluideset de rsistance des matriaux.
Introduction
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Mcanique des milieux continus: La mcanique des milieux continus ( ou mcanique des
milieux dformables) tudie lvolution dans le temps etdans lespace des caractristiques physiques dunmilieu matriel ( solide, liquide ou gaz)
Rsolution des quations auxdrives partielles menues desconditions aux limites et desconditions initiales
P0 .
V
V
Densit
Pression
Temprature
Dfinition
8
Hypothse de continuit:Bien que la matire soit discontinue, ce que peut mettre envidence nimporte quelle observation microscopique voiremacroscopique, les mcaniciens ont besoin dunehypothse de continuit permettant de dcrire lesgrandeurs physiques par des champs de fonctionsmathmatiques ayant les bonnes proprits de continuitet de drivabilitLhypothse de continuit nous permettra de dfinir desdensits volumiques de certaines grandeurs physiques,par exemple la masse volumique.
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Rfrentiel et repre :En mcanique on a toujours besoin dun rfrentiel (observateur ) pourdcrire le mouvement des particules , la position dune particule est reprepar ses cordonnes dans ce rfrentiel. Les vitesses et acclrations sonttablies dans ce rfrentiel
La cinmatique a pour but la description des mouvements et fait donc intervenirdeux espaces :
le premier est la reprsentation de lespace physique dans lequel volue le
systme matriel tudi ; cest un espace affine rel euclidien orient de
dimension trois : ; on notera E lespace vectoriel associ ;
le second est la reprsentation de la notion de temps ; cest un espace affine rel
orient de dimension un : ; on notera T lespace vectoriel associ.
modles de description cinmatique
Lensemble de ces deux espaces dfinit, cequon appelle indiffremment, unobservateur ou un systme de rfrenceou encore un rfrentiel et sera not R
10
Description lagrangienne :on considre la transformation dans le repre orthonorm :
321 ,,, eeeOE
332211 , eXeXeXOM
linstant t0 = 0 la position Mdune particule appartenantau solide possde descoordonnes initiales X1, X2,X3. Le vecteur positioninitiale est ainsi
ii
i
ii eXeXOM en notation indicielle on a :
lors de la transformation le point M subit un dplacement
MmMu )(
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on introduit les coordonnes x1 , x2, et x3 du point m rsultantdu dplacement de M entre les instants t0 et t , le vecteurposition linstant t scrit:
332211 exexexOm
ii
i
ii exexOm Notation indicielle:
Les coordonnes x1 , x2 et x3 dpendent la fois descoordonnes initiales X1 , X2 et X3 et du temps t :
tXXXOmOm ,,, 321Ou encore :
tXXXxx
tXXXxx
tXXXxx
,,,
,,,
,,,
32133
32122
32111
X1, X2 et X3 sont appel : variables de Lagrange
12
La vitesse dun point m est donne par:
3
3
22
11, e
dt
dxe
dt
dxe
dt
dx
dt
OmdtmV
On peut aussi introduire le vecteur dplacement :
: vecteur dplacement
Lacclration dun point m est donne par:
32
3
2
22
2
2
12
1
2
, edt
xde
dt
xde
dt
xd
dt
Vdtm
tMdt
udtmV ,,
OMOmMmu
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Description Eulrienne :Au lieu de suivre chaque particule dans son mouvement,on se fixe un point gomtrique m de lespace et onobserve les particules qui y dfiles au cours du temps.Selon le point de vue de Euler, la grandeur G dpend de laposition dobservation (coordonnes du point m ) et dutemps t :
txxxGtOmGG ,,,, 321
Une grandeur physique G peut donc tre dcrite de deux
faons : Selon le point de vue Lagrange, G dpend des coordonnes
initiales du point M et du temps
x1, x2 et x3 sont appel : variables de Euler
tXXXGtOMGG ,,,, 321 Selon le point de vue Euler, G dpend des coordonnes initiales
du point M et du temps
txxxGtOmGG ,,,, 321
14
La variation de la grandeur G au cours du temps donnegalement deux formulations :
Point de vue Lagrange, puisque les coordonnes initiales sontindpendantes
tXt
GtX
dt
dG
dt
dGii ,,
Point de vue Euler, coordonne du point m dpendent du temps
3
3
2
2
1
1
1, dx
x
Gdx
x
Gdx
x
Gdt
t
G
dt
tx
dt
dG
dt
dGi
dt
dx
x
G
dt
dx
x
G
dt
dx
x
G
t
G
dt
dG3
3
2
2
1
1
: drive particulaire de G
ou encore:
VGgradt
G
dt
dG.
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15La drive particulaire sapplique aussi aux grandeursvectorielles et tensorielles
dt
dx
dt
dx
dtdx
V
3
2
1
: champ de vitesse
3
2
1
x
G
xG
x
G
Ggrad : gradient de G
16
Exemple : acclration du point de vu Euler
VVgradt
V
dt
Vd.
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Dformations
Le problme qui se pose lorsquon souhaite tudier lestransformations dun milieux continu est: commentmesurer les dformations?
Ce nest pas une question simple, car les dformationsconcernent aussi bien les changements devolume(dimensions) que de forme. Il faut une mesureefficace, capable de reprsenter des quantits qui ont unesignification gomtrique et physique prcise et sipossible simple.
Comme les dformations peuvent changer avec lendroit,la mesure de la dformation doit tre une mesure locale,ponctuelle.
La dformation nest pas une grandeur physique objective,absolue, comme p. ex. la masse ou la longueur. A laidedun exemple simple nous allons voir la dfinition la plusclassique de la dformation.
Tenseur de la dformation
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Considrons donc une barrette de matriau dformable,soumise une traction. La barrette se dforme et on peutmesurer sa dformation par le rapport entre la variation desa longueur et sa longueur initiale:
.o
o
Cette quantit est adimensionnelle. Elle donneune mesure de leffet de dformation de laforce applique.
Si la dformation est une dilatation,
> 0, sielle est une contraction, < 0.
Cette mesure de la dformation est seulementune des mesures possibles; elle est la plusutilise si les dformations en jeu sont petites(hy po thse des petites pertu rbati on s,HPP).
o
LHPP est une hypothse adopte en MMC classique. Ceci estjustifi par le fait que la plupart des matriaux quon tudie sonttellement rigides que les dformations quils permettent sont,normalement, trs petites.
La dfinition vue ci-dessus ne peut pas complter lanalyse dela dformation. En fait elle est macroscopique (la mesure estfaite sur la pice entire, non localement) et unidirectionnelle(on fait implicitement lhypothse que la seule dformation enjeu est la dilatation le long de laxe de la barrette).
Pour tudier la dformation dun milieu continu quelconque, ilfaut gnraliser cette dfinition. Cette gnralisation doitpouvoir dcrire localement et compltement la dformation.
En fait, un corps continu peut subir une dformation qui changeavec la position et la dformation ne concerne pas que lesvariations de longueur, mais aussi les autres caractristiquesgomtriques, comme par exemple les angles, les volumes etc.
La gnralisation de la mesure de la dformation se fait par unegrandeur mathmatique complexe, letenseu r de la dfo rm ati on
hypothse des petites perturbations, HPP
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Tenseur gradient du champ de dplacement
Considrons deux point M et M infiniment voisins ltatde rfrence. Aprs transformation, leurs positions sontsitues respectivement en m et m :
Champ de dformations
notons :
'MMdXdM
:Vecteurs dplacement resp. de M et M 'et MuMu
'mmdxdm
24
Puisquon a:
Ou peut crire:
32133
32122
32111
,,
,,
,,
XXXxx
XXXxx
XXXxx
3
3
32
2
31
1
33
3
3
22
2
21
1
22
3
3
1
2
2
1
1
1
1
1
dXX
xdX
X
xdX
X
xdx
dXX
xdX
X
xdX
X
xdx
dX
X
xdX
X
xdX
X
xdx
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Quon peut crire sous forme matricielle :
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1
3
3
2
3
1
3
3
2
2
2
1
2
3
1
2
1
1
1
3
2
1
dX
dX
dX
X
x
X
x
X
x
X
x
X
x
X
x
X
x
X
x
X
x
dx
dx
dx
: Tenseur gradient de la transformationF
Et donc
dXFdx OMgradxgradF
3
2
1
x
x
x
x
3
2
1
dx
dx
dx
dx
26
Introduisons le champ de dplacement, on :
3
3
2
3
1
3
3
2
2
2
1
2
3
1
2
1
1
1
100
010
001
X
u
X
u
X
u
X
u
X
u
X
u
Xu
Xu
Xu
F
: Vecteur dplacementOu bien
ugradIF
ugradD
333
222
111
uXx
uXx
uXx
uOMOm
3
2
1
u
u
u
u
On remplace dans le tenseur gradient de la transformation, on a :
: tenseur gradient de dplacement
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Tenseur de dformation de Green Lagrange :
Examinons maintenant la transformation du couple form pardeux vecteurs infinitsimaux dX et dX. Pour tudier latransformation de ce couple, il est plus commode dutiliser leproduit scalaire dX.dX pour voir si ce couple subit ou nonune dformation (variation de longueur ou variation dangle)
dXFdx
Et'' dXFdx
29
Calculons la diffrence :
TTT
FdXdXdX
dX
dX
dX
F
dx
dx
dx
dxdxdx 321
3
2
1
3
2
1
321 ,,,,
3
2
1
321
3
2
1
321
'
'
'
,,
'
'
'
,,'.'.
dX
dX
dX
dXdXdX
dx
dx
dx
dxdxdxdXdXdxdx
On a :
3
2
1
321
3
2
1
321
'
'
'
,,
'
'
'
,,
dX
dX
dX
dXdXdX
dX
dX
dX
FFdXdXdXT
2
1
321
'
'
'
,,
dX
dX
dX
IFFdXdXdXT
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30
3
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321
'
'
'
2
1,,2'.'.
dX
dX
dX
IFFdXdXdXdXdXdxdxT
: Tenseur de dformation de Green LagrangeE
E
IugradIugradIIFFETT
.
2
1
2
1
Tenseur Symtrique
ugradugradugradugradETT
.2
1
33
Tenseur de dformation linaris (Hypothse HPP)
Lhypothse des petites perturbations (HPP) permet de simplifierlexpression du tenseur de dformation de Green Lagrange, cettehypothse postule:
Petits dplacements : le dplacement de chacun des points dusolide est petit de sorte que ltat actuel(dform) est confonduavec ltat initial dans le calcul des forces internes
Petites dformations : les termes du tenseur de dformationsont petits devant lunit
Consquences : Les termes de dformation du second ordredeviennent ngligeables, et le tenseur de dformation scrit :
ugradugradET
.2
1
i
j
j
iij
X
u
X
u
2
1
Les composantes ij du tenseur de dformation scrivent :
jiij avec
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Interprtation du tenseur de dformation:
Partons de lquation:
Le tenseur peut s crire sous la forme de deux tenseurs,un tenseur symtrique et un tenseur antisymtrique :
ugrad
i
j
j
iij
X
u
X
u
2
1
dXugraddXdXugradIdXFdx
dXugradugraddXugradugraddXdxTT
2
1
2
1
Tenseur SymtriqueTenseur Antisymtrique
dXdXdXdx
ugradugradT
2
1
jiij de composantes avec
35
On montre que le tenseur antisymtrique est quivalent unproduit vectoriel :
Termes dj vu en mcaniquedes solides indformables
dXdXuRotdX
dXdXdXdx
dXdXMMmm ''
dXdXMuMudXdx '
dXdXMuMu 'rotationtranslation dformation
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Elongation suivant une direction
Au cours de la transformation levecteur:
3
2
1
321
'
'
'
,,2'2'.'.
dX
dX
dX
EdXdXdXdXEdXdXdXdxdxT
Le tenseur de dformation de Green Lagrange, traduit ladformation dun couple form par deux vecteurs
infinitsimaux dX et dX de la faon suivante:
dX devient: dx
devient:'dX 'dx
37
eedXdXdXdXdxdXdx e .22. 2
dX
dXdxe
Dans lhypothse des petites perturbation on fait lapproximationsuivante:
: lallongement relatif dans la direction e
Et on note:dXdXdx
2
dXEdXdXdxdXdxdXdx 222
edXdX
Considrons un vecteur de longueur dX dans la configuration
initiale orient par un vecteur unitaire de direction e
On a ainsi:
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eee .
est un scalaire sans dimension, il est : positif si la longueur dX augmente pendant la transformationNgatif si la longueur dX diminue pendant la transformation
: lallongement relatif au point M dans la direction eDo :
Dans un repre orthonorm ( e1, e2 , e3 ) on dfinit:
e
1
111
x
u
: lallongement relatif au point M dans la direction e1
2
2
22x
u
: lallongement relatif au point M dans la direction e2
3
3
33x
u
: lallongement relatif au point M dans la direction e3
Rq : on dit aussi : llongation dans la direction e1, e2 et e3
39
321 ,, eeee
Lallongement relatif au point M dans une direction quelconque e
Dfinie par est:
3
2
1
332313
232212
131211
321.
e
e
e
eeeeee
-
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Distorsion angulaire (glissement )
On voit que:
'2'.'. dXEdXdXdXdxdxT
dX devient: dx
devient:'dX 'dx
Considrons maintenant langle droit construit sur deux vecteursunitaires dX et dX de la faon suivante:
41
sin'..',cos'..'. dxdxdxdxdxdxdxdx
'dXdXcar
On obtient :
En considrant :
'2sin'. dXEdXdxdxT
0'. dXdX
2211
21
2121
2
'.
'2sin
EE
eEe
dxdx
dXEdX
Dou :
ICIFFE T
2
1
2
1
On a dj tabli :
IEFFC T 2 : Tenseur de dilatation ( ou deCauchy)
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La distorsion de langle (glissement) droit bti sur deux vecteurunitaires e1 et e2 est donne par:
2211
2121
21212sin),,(
EEeEeArceeM
2211
21sinCC
eCe
En remplaant, on a:
2211
2121 sin),,(
CC
eCeArceeM
Exemple:
12
28C
42
1sin
122
2sin12
ArcArc
811C 212C 122C
43
21,, eeM
1
2
2
112
2
1
x
u
x
u
est un scalaire sans dimension
Une distorsion positive correspond une rduction dangle droit
est la demi distorsion dangle (e1, e2)
2
3
3
2
23 2
1
x
u
x
u est la demi distorsion dangle (e
2, e
3)
1
3
3
113
2
1
x
u
x
u est la demi distorsion dangle (e1, e3)
On peut donc donner une nouvel dtermination du tenseur dedformation linaris:
332313
2322
12
131211
22
22
22
-
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Dilatation volumique
321 .. dXdXdXV : Volume avant transformation
321
321321
..
....v
dXdXdX
dXdXdXdxdxdx
V
V
Soit un petit volume paralllpipdique rectangle bti sur lesvecteurs dX1 , dX2 , dX3 soit:
321 ..v dxdxdx : Volume aprs transformation
La variation relative de volume est dfini par:
321
321333222111
..
..1.1.1
dXdXdX
dXdXdXdXdXdX
En prenant en compte lhypothse HPP:
3
3
2
2
1
1332211
x
u
x
u
x
u
45
Soit en introduisant les operateurstraceetdivergence:
On peut donc exprimer la variation volumique unitaire soit par latrace du tenseur de dformation, soit par la divergence du champde dplacement:
Dfinitions:
Udivtr
Dformations et directions principales
On appelle dformation principale toute valeur propredu tenseur des dformations.On appelle direction principale de dformation toute
direction oriente par un vecteur propre du tenseur desdformations.
Les dformations principales sont solutions de lquation:
0det I
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Les solutions en sont relles et trois situations peuvent survenir : les trois valeurs propres sont gales : cest que toute directionde lespace autour de M0 est direction principale et les dilatationssont les mmes dans toutes les directions. Il ny a aucunedistorsion dans quelque plan que ce soit. deux valeurs propres sont gales : il y a une troisime valeurpropre associe une direction propre. Toute directionappartenant au plan perpendiculaire cette direction propre estgalement propre. les trois valeurs propres (principales) sont diffrentes alors lestrois directions propres (principales) sont diffrentes etorthogonales entre elles du fait de la symtrie du tenseur desdformations.Dans la base des vecteurs propres, le tenseur de dformationscrit:
IIIIII eeeIII
II
I
,,00
00
00
IIIIII
Par convention :
47
Invariants du tenseur de dformation :
032
2
1
3 KKK
det
2
1
3
22
2
1
K
trtrK
trK
Les invariants du tenseur des dformations sont les coefficients Ki
de lquation caractristique: 0det I
Ces coefficients restent indpendants du choix de la base deprojection du tenseur de dformation
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En coordonne Lagrangienne, un mouvement est dfini parle vecteur dplacement :
:Tenseur gradient dedplacement
32133
32122
32111
,,
,,
,,
XXXuu
XXXuu
XXXuu
U
Rsum
XxOMomU
3
3
2
3
1
3
3
2
2
2
1
2
3
1
2
1
1
1
X
u
X
u
X
u
X
u
X
u
X
u
X
u
X
u
X
u
uGrad
ugradIF :Tenseur gradient de la transformation
49
Dans lhypothse HPP:
FFCT
. :Tenseur des dilatations ou tenseur de Cauchy-Green droit
ugradugradugradugradICETT
.2
1
2
1
:Tenseur des dformation de Green-Lagrange
ugradugradugradugraduGradTT
2
1
2
1
ugradugradT
2
1 :Tenseur des rotations
ugradugradT
2
1 :Tenseur des dformations
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:Dilatation volumique
eedX
dXdxe .
: lallongement relatif au point M dans ladirection e
Glissement ou distorsion dans les direction desvecteur e1 et e2
2211
2121 sin),,(
CC
eCeArceeM
udivtrV
VV
0
0
51
En coordonne Eulriennes, un mouvement est dfini par levecteur vitesse :
:Tenseur gradient duchamp de vitesse
txxx
txxx
txxx
txxxV
,,,vv
,,,vv
,,,vv
,,,
32133
32122
32111
321
Tenseur de taux de dformation
3
3
2
3
1
3
3
2
2
2
1
2
3
1
2
1
1
1
vvv
vvv
vvv
xxx
xxx
xxx
VGrad
dxgradtxVtdxxV .v,,
-
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52
DVgradVgradVgradVgradVGradTT
21
21
VgradVgradT
2
1:Tenseur de taux de rotation
VgradVgradDT
2
1:Tenseur de taux de dformation
dxdx . avec Vrot
dxDdxtxVtdxxV .,,
53
Soit M et M deux point voisins
vecteur transport par la mouvement
x
OMOMx '
M
M
xVgrad
tMVtMVdt
OMd
dt
OMd
dt
xd
.
,,''
:vecteur transport par la mouvementxVgraddtxd .
-
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54
Transport du produit scalaire:
x
'x
On a:
xVgraddt
xd
.
'.'
xVgraddt
xd
'.'
.'.
xdt
xd
dt
xdxdt
xxd
'.
'.''.
xVgradVgradx
xVgradxxVgradxdt
xxd
TT
TTT
Soitx etx deux vecteurs infinitsimaux
55
'..2'. xDxdt
xxd T
VgradVgradDT
2
1avec
Pourx etx vecteurs transports par le mouvement
'..2'.
xDxdt
xxd T
-
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56
Taux dallongement relatif:
x'x
xDxdt
xdx
dt
xd T
22
2
2
1
x
xDx
dt
xd
x
T
En appliquant x =x , on obtient:
: taux dallongement relatif ( outaux de dilatation linaire )dansla direction dex
1e
3e
2e
Cas particulier:1elx
11112
111 DeDel
leDel
dt
ld
l
D11 : taux dallongement relatif (ou taux de dilatation linaire)dans la direction de e1
57
Taux de glissement
tt
2
'x
Langle de glissement est :
0'. 00 txtx
Considrons maintenant langle droit construit sur deux vecteursx etx de la faon suivante:
Avant dformation : t0
x
'x
x
Apres dformation : t =t0+dt
t
0'. txtx
00 tAvec:
-
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58
Le produit scalaire entrex etx scrit: ttxtxtxtx sin.'.'.
En drivant par rapport au temps:
dt
ttxtxdtxDtx
dt
txtxd
sin.'.'.2
'.
On obtient au temps t0 :
00
000
'.
'2
txtx
txDtx
dt
tdT
: Taux de glissement dans les
directionsx etx
Si x etx sont tel que : 2010 ''et eltxeltx
1221
210 22'.
'2 DeDe
ll
leDel
dt
td
59
Les composantes du tenseur de taux de dformation sont :
dt
xd
x
D
)1(
)1(11
1
1
)1()1(
exx
dt
xd
x
D
)2(
)2(22
1
2
)2()2(
exx
Avec
Avec
dtxd
x
D
)3(
)3(331
3
)3()3(exx Avec
dt
dD 1212
2
1
dt
dD 1313
2
1
dt
dD 2323
2
1
-
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60
Taux de dilatation des volumes:
txVdivDtrt
dt
d
t,
1
Si est le volume transport par le mouvement dfini par le
champs de vitesse V(x,t) , alors :
Dmonstration
Soit =x(1) x(2) x(3) llment devolume transport par le mouvement :
dt
xdxxx
dt
xdxxx
dt
xd
xxxdt
dt
dt
d
)3()2()1()3(
)2()1()3()2(
)1(
)3()2()1(
,,,,,,
,,
1e
3e
2e
1
)1()1(
exx 2)2(
)2(
exx 3
)3()3(
exx
61
)3()2()1(
)3()2()1()3()2()1(
.,,
,.,,,.
xKxx
xxKxxxxKtdt
d
On obtient au temps t0 :
332211
3
321321321
3
0 .,,,.,,,.
KKKl
eKeeeeKeeeeKltdt
d
txVdivDtrt
dt
d
t,
1
Do:
VgradKAvec
-
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29
62
Drive particulaire dune intgrale de volumeSoit G une grandeur physique tel que :
Si le domaine D ne varie pas au cours du tempson peut crire :
D dtxgG ,
Thormes de transport
D
Si le domaine D dpend du temps. Soit D(t) est transport par lemouvement V(x,t):
D
dtxt
g
dt
dG,
D(t) D(t+dt)
63
La variation par rapport au temps de la grandeur G scrit :
dsnVgdt
g
dVdivgdt
dgdtxg
dt
d
dt
dG
tD
tDtD
..
.,
)(
)()(
)(tDd
t
g
dsnVg ..
: La variation de g(x,t) par unit de temps lintrieur du domaine D(t)
: le flux de g(x,t) sortant (ou entrant) du domaineD(t) par le surface
-
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64
Dmonstration :
0
0
321
321)(
321
,.,
,.),,(,
D
L
D
E
tD
dXdXdXtXJtXg
dXdXdXtXJttXxgdxdxdxtxgG
tXJVdivtXt
J,.,
J(X,t) : Jacobien de la matrice de passage x X
En plus :
0
0
321
321
,..,
,.,
D
L
D
L
dXdXdXtXJVdivtXg
dXdXdXtXJtXdt
dg
dt
dGOn a :
)(
)( 321
)( 321
.
.,,
tD
tDtD
dVdivgdt
dg
dxdxdxVdivtxgdxdxdxtxdt
dg
dt
dG
65
Conservation da la masse :
0.)(
tD dVdivdt
d
dt
dm
)( ,tD dtxm
Si m est invariante :
Expression locale de la conservation de la masse :
0. Vdivdt
d
:Equation de continuit :
0..
VdivgradV
t
0
Vdiv
t
-
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66
Contraintes
67
Forces intrieurs et forces extrieurs
En mcanique des milieux continus on distingue deux types deforces : Forces intrieurs : sont les forces de cohsion molculaire,de viscosit et de pression qui forment un torseur nul puisquelocalement le principe de laction et de la raction doit trerespect.Les forces extrieures sont elles-mmes classes en deuxtypes:
des actions distance ou volumiques ou encore forces dechamp : ce sont les forces de gravitation,lectromagntiques, etc. Elles sont exerces par le milieuextrieur sur chacune des particules. Elles forment untorseur non nul dont la rsultante par unit de volume estnote f ;des actions de contact ou surfaciques : ce sont des forcesqui traduisent laction des particules extrieures voisines dela surface sur les particules intrieures appartenant lasurface .
-
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68
-FF-F F
F-F
A B
F(A/B) = -F(B/A) La Rsultante des Forces Internes esttoujours Nulle
Forces internes Action et raction:
A B
FF 0
F
quilibre :
0
M
69
Le Vecteur ContrainteT: est la force rsultante par unit deSurface.( unit :MPa). La rsultante des forces scrit :
F F
S
FT
TF
Vecteur contrainte:
T
S
dSTF
-
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70 S dSnMTF ),(
FM
F F
M
F
Le Vecteur Contrainte dpend de la position du point M dans la
section S : T = T(M)
T(M)
Le Vecteur Contrainte nest pas toujours colinaire la normale ndpend de la position du point M dans la section S : T = T(M)
En gnrale le vecteurcontrainte est dfini par :
71
Tenseur des contraintes: Formule de Cauchy
Ce qui caractrise ltat de contrainte, cest la relation existanteentre le vecteur contrainte et la direction de normale la facette.Pour obtenir cette relation, il suffit de considrer lquilibre dundomaine matriel infiniment petit de forme ttradrique ayanttrois faces perpendiculaires aux axes x, y et z.Soit n la normale au planABC dirige vers lextrieur duttradre etdSlaire du triangleABC
z
y
x
n
n
n
n
dSndSx
1 :laire du triangle MBC iMTdSnx ,. :la force rsultante sur la surface MBC
-
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34
72
Le ttradre est en quilibre sous laction des forces appliquessur ses 4 facettes :
0,.,.,.,. kMTdSnjMTdSniMTdSnnMTdS zyx
En considrant les composantes dans la base (i,j,k) des vecteurs:
kjiiMT
kjijMT
kjiiMT
333231
232221
131211
,
,
,
0,,,, kMTnjMTniMTnnMT zyx
kMTnjMTniMTnnMT zyx ,,,,
On remplace
z
y
x
n
n
n
nMT
333231
232221
131211
,
On a:
73
Le vecteur contrainte scrit finalement sous la forme :
est appel tenseur des contraintesen M , ou tenseur de Cauchy
( tenseur symtrique)
nnMT ,
333231
232221
131211
o:
Reprsentation
-
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74
: Vecteur contrainte sur lafacette i en M
Contrainte normale et contrainte tangentielle
La Contrainte normale la facette i est :
xxx iiiMTi 11,.Dune faon gnrale, la Contrainte normale la facette n en M est:
nMnnMTn Tn )(,. la Contrainte tangentielle la facette n en M est:
nnMT n ,
75
Comme pour la dformation, la matrice qui reprsente varieavec le repre choisi.
Directions principales et contraintes principales:
On appelle contrainte principale toute valeur propre dutenseur des contraintes.
On appelle direction principale de contraintes toutedirection oriente par un vecteur propre du tenseur descontraintes.
Les contraintes principales sont solutions de lquation:
0det I
0
332313
232212
131211
Dfinitions:
-
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76
Les solutions en sont relles et trois situations peuvent survenir :
les trois valeurs propres sont gales : cest que toute directionde lespace autour de M est direction principale et les contraintessont les mmes dans toutes les directions. deux valeurs propres sont gales : il y a une troisime valeurpropre associe une direction propre. Toute directionappartenant au plan perpendiculaire cette direction propre estgalement propre. les trois valeurs propres (principales) sont diffrentes alors lestrois directions propres (principales) sont diffrentes etorthogonales entre elles du fait de la symtrie du tenseur decontraintes .
Dans la base des vecteurs propres, le tenseur de contraintes est:
IIIIII eeeIII
II
I
,,00
00
00
IIIIII
Par convention :
Linterprtation physique: selon ces trois directions, la matire estsimplement soumise effort normal, pas leffort tangentiel.
77
MN
T
M
Tenseur des Contraintes dans la base des vecteurs propres
I
II
III
X3
X2
X1
x3
x2
x1
n t
)(M
11 12 13
21 22 23
31 32 33
)(' M
nMT
NT ''
TPT' nP NPP t
N'
TPT'NPn t
PMPM t
)()('
Si P est la matrice de passage , on a: ii Xx
-
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78
Invariants du tenseur de contraintes :
032
2
1
3 KKK
det
2
1
3
22
2
1
K
trtrK
trK
Les invariants du tenseur des contraintes sont les coefficients Ki
de lquation caractristique: 0det I
K1 , K2 et K3 sont indpendants du choix de la base de projectiondu tenseur de contraintes
Dans le repre principal, les composantes diagonales dedonnent les contraintes normales selon les trois directionsprincipales: ce sont lescontraintes princip ales.
79
lasticit plane :Llasticit plane concerne les corps deux dimensions ( ex:plaques minces soumises des forces extrieurs dans leur plan)On conoit que les contraintes et les dformations en M sontindpendantes de zDans le plan (x,y) considrons un prisme droit infinitsimale ABC:
ye
n
xe
x
nMT ,
y
xeMT ,
yeMT ,
yxxy
sin
cosn
A B
C
t
-
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38
80
xxyyyyy eeeMTeMT ,,
Le facettes Sx et Sy respectivement perpendiculaires laxe x etlaxe y sont infiniment petites, et on a:
sinsin
coscos
SBCABS
SBCACS
y
x
S : facettes BC orient par la normale n
Lquilibre du triangle ABC se traduit par:
0,,, yyxx eMTSeMTSnMTS
0 xxyyyyyxyxxxnn eeSeeStnS
:Thorme des actionsrciproques yxyxxxx eeeMTeMT ,,
0sincos xxyyyyxyxxnn eeeetn
81
yx
yx
eet
een
cossin
sincos
En remplaant:
0sincoscossin
0sincossincos
yxynn
xyxnn
On obtient:
Pour dterminer la composante normalen et tangentieln de la
contrainte T(M,n) , on peut rsoudre le systme (1), la solution est:
(1)
2cos2sin2
2sin2cos22
xy
yx
n
xy
yxyx
n
(2)
-
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39
82
En effet:
sin0sincoscossin
cos0sincossincos
yxynn
xyxnn
Faisons la somme:
2sin2cos22
xy
yxyx
n
0cossin2sincossincos 2222 xyyxn cossin2sincos 22 xyyxn
2
2cos1sinet
2
2cos1cos
22
Et remplaons:
On obtient:
2cos2sin2
xy
yx
n
Un raisonnement semblable donne:
83
Une contrainte est dite principale lorsque sa direction est normaleau plan de la facette:
0et, nn nnMT
44
2tan1
2tan2sin
42tan112cos
22
2
1
2
1
2
1
2
22
2
1
21
2
xyyx
xy
xyyx
yx
On a aussi:
Cet direction est dtermin par langle1 , en effet:
0nyx
xy
22tan
1
Calcul des contraintes principales :
-
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40
84
On remplace dans (2) pour obtenir les contraintes principales
22
22
42
1
2
42
1
2
xyyx
yx
X
xyyx
yx
X
2
22
22
xy
yxyx
X
Cest l quation dun cercle
85
Reprsentation des contraintes: Cercles Mohr
xMP yM Q2
yxMO
2Q
yxOPO
xyPS
-
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41
86
On remarque :
12tan
2
2
tan
yx
xy
yx
xySOP
2222
4
2
1
2
xyyxxy
yxR
Le cercle de Mohr de centre O est de rayon:
Donc:1
2SOP
Yxyyx
yx
Xxyyx
yx
RMOMB
RMOMA
22
22
42
1
2
42
1
2
On remarque aussi:
87
Application :
Connaissant les contraintes principalesx ety , dterminer pourune facette oriente par n , les contraintesn etn , on donne:
nX,En utilisant la relation (2), (XY =0) on a:
2sin2
2cos22
YXn
YXYXn
La contrainte tangentielle est maximale lorsque :
2
YXMaxn
412sin
-
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42
88
Cercle de Mohr
XMA YMB 2
YXMO
89
Lois de comportement
-
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90
T
n
V
S
Loi Fondamentale de la Dynamiqueon considre un milieu dformable dans le repre orthonorm :
321 ,,, eeeOR
1e
3e
2e
Ecrivons le bilan des forces:
Forces de contacte extrieuresappliques la surface S:
dsnfs
s . dsndsnMTdf s .., (Sur un lment de surface dS)
(Sur toute la surface S)
Forces distance extrieures: forces volumiques
dVfdF .v (Sur un lment de volume dV)
V
dVfF .v (Sur tous le volume V)
91
Exemple de force volumique : force de pesanteur
gf v
VsV
dVdsndVf .v MF
La force de pesanteur applique un volume V est:
: densit volumique des forces de pesanteur
gMdVgdVgdVfPVVV
vEcrivons le PFD:
Vs
dVdivdsn .On aussi : :Thorme de la divergence
VVV
dVdVdivdVf v
vfdiv
-
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92
Si la seule force volumique est la force de pesanteur on a:
gdiv
333231
232221
131211
o:
3
33
2
32
1
31
3
23
2
22
1
21
3
13
2
12
1
11
xxx
xxx
xxx
div
93
lasticit linaire - Loi de Hooke
A ltat naturelle dans laquelle le solide dformable nest soumis aucune charge, on admet que les contraintes et les dformationssont nullesPour les matriaux, on admet aussi que les contraintes sontproportionnelles aux dformations condition de rester dans ledomaine lastique.
Observation :Allongement dans ladirection xContraction dans ladirection y
Dformations dues a une contrainte normalexOn considre une plaque rectangulaire homogne de faiblepaisseur soumise une extension selon une direction principalede contrainte
-
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on note:
xy
xx E
.
Avec:x : Contrainte normale principale (en MPa)x : Allongement relatif suivant x (sans unit)E : Module dYoung (en MPa)y : Contraction suivant y (ou raccourcissement sans unit) : Coefficient de Poisson , 5,01,0
Acier Allum. Bois Bton Verre Carbone
E(GPa) 210 73 1525 30 73 190 400
0.3 0.3 0.2 0.4 0.3 0.3 0.20.3
Le module dYoung et le coefficient de poisson sont desconstantes qui dpendent du matriau, quelques valeurs sontdonnes sur le tableaux suivant pour les matriaux courants :
95
Dformations dues deux contraintex ety suivant deuxdirections perpendiculaires:
Si la plaque tudie est soumise la fois une extension selonlaxe x et une compression selon laxe y (voir figure)
-
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46
96
Principe de superposition:
E
xx
1
Dformations dues F1 (contraintex ):
Dformation suivant x:
E
xxy
.. 11 Dformation suivant y:
E
y
y
2
Dformations dues F2 (contraintey):
Dformation suivant y:
E
y
yx
.. 22 Dformation suivant x:
EE
yxxxx
21
Appliquons le principe de superposition, la dformation totale due F1 et F2 (contraintey +y) est:
Dformation suivant x:
Dformation suivant y:EE
yxyyy
21
97
Dans une plaque mince la loi de comportement contrainte-dformation ( loi de Hooke), scrit:
EE
EE
yxy
yxx
xyy
yxx
E
E
2
2
1
1
-
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Les quations de Lam: loi de Hooke gnralise Matriau isotrope Un matriau isotrope est un matriau pour lequel la
rponse matrielle est indpendante de la direction. On peut considrer, de faon totalement quivalente,
lisotropie comme lasymtr ie to tal e: un matriau isotropeest un matriau pour lequel toute direction est desymtrie matrielle. Ou encore: il ny a pas de directionsprivilgies. Donc, toute direction est mcaniquementquivalente.
Lam a spcifi la loi de Hooke pour les matriaux
lastiques linaires isotropes:
.tr2 I
et : sont les constantes de Lam, qui dcrivent compltementle comportement lastique dun milieu isotrope.
ij=2 ij + tr()ij
99
12
13
23
33
22
11
12
13
23
33
22
11
2
2
2
00000
00000
00000
0002
0002
0002
Sous forme matricielle :
.)(2
,32
,)1(2
,)2)(11(
E
E
E
Les constantes et peuvent tre remplaces par dautresconstante plus significative:
Eest le module dYoung et le coefficient de poisson.
-
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100
.tr211
I
E
.tr1
1
I
E
AvecEet les quations de Lame deviennent :
Les quations de Lam inverses sobtiennent facilement
En librairie A. E. H. Love:A treatise on the mathematical theory of elasticity.
Dover, 1927. (La Bible de la thorie llasticit).
C. A. Truesdell:A first course in rational continuum mechanics.
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