de m´ecanique des milieux continus solides et ﬂuides...

Consignes Analyse tensorielle cartesienne Symetries : p. de Curie Analyse tensorielle cylindrique Conclusion - TD - Questions

Seance 2 de mecanique des milieux continus solides et fluides

Analyse tensorielle avancee

0 Quelques consignes generales

http://emmanuelplaut.perso.univ-lorraine.fr/mmc

1 Retour sur l’analyse tensorielle (cartesienne)

2 Notions sur les symetries des systemes

Principe de Curie, illustration sur un exemple

3 Analyse tensorielle en coordonnees cylindriques

Illustration sur le meme exemple

4 Conclusion provisoire concernant les tenseurs

Infos sur le TD - Questions1

http://emmanuelplaut.perso.univ-lorraine.fr/mmc


Le programme et les consignes sont sur la page web de MMCSF

Algorithme pour la trouver :

1 googliser le responsable de cet enseignement

2 aller sur ma page d’accueil

3 cliquer sur MMCSF.

Points d’attention :

• absence en TD ⇒ redaction de TD notee

• 1 redaction de TD individuelle sur l’un des TD des seances 3 a 5, 7 a 9

2


Analyse tensorielle : gradient

Champ tensoriel T0 d’ordre 0 :

application de Ω ouvert de l’espace physique T1 dans T0 = R,

x ∈ Ω 7−→ T0(x) ∈ T0 .

Champ tensoriel Tn d’ordre n ≥ 1 :

application de Ω ouvert de l’espace physique T1 dans Tn,

x ∈ Ω 7−→ Tn(x) application lineaireT1 −→ Tn−1

h 7−→ Tn(x) · h.

Gradient : ∇Tn champ tensoriel d’ordre n+ 1 tq

x ∈ Ω 7−→ ∇Tn(x) application lineaireT1 −→ Tndx 7−→ ∇Tn(x) · dx = dTn(x)

,

dTn(x) etant Tn(x + dx)− Tn(x) linearise pour dx infinitesimal.

NB : souvent on note, au lieu de ∇Tn(x), ∇xTn voire ∇Tn.

3


Gradient d’un champ vectoriel

Autour d’un point x,

∇u application lineaire dx 7−→ ∇u · dx = du = u(x+ dx)− u(x) linearise.

δu = u(x+ dx)− u(x) ≃ du

≃ dx1

dx2

∇u =∂ui∂xj

ei ⊗ ej4


Decomposition du gradient en parties symetrique + antisymetrique

du = ∇u · dx = ǫ · dx︸︷︷︸

deformation

+ Ω · dx︸︷︷︸

rotation

= +

ǫ =1

2

(

∇u + ∇uT)

diagonalisable sur une base orthonormee

Ω =1

2

(

∇u − ∇uT)

, Ω · dx = Ω ∧ dx

avec Ω = vd(

Ω)

=1

2ǫ : Ω =

1

2ǫ :

(

∇u − ǫ

)

=1

2ǫ : ∇u =

1

2rot(u)

5


Divergence d’un champ vectoriel- Formules integrales

divu = ∇u : 1 = tr∇u =∂ui∂xi

∫∫∫

Ω

divu d3x =

∫∫

∂Ω

u · n d2S (en 3D)

avec Ω ouvert de R3, ∂Ω son bord, n la normale unitaire sortante a ∂Ω :

Ω∂Ω

n

n

n

n n

n

nn

n

n

6


Divergence d’un champ vectoriel - Formules integrales

divu = ∇u : 1 = tr∇u =∂ui∂xi∫∫∫

Ω

divu d3x =

∫∫

∂Ω

u · n d2S (en 3D)

∫∫

S

divu d2S =

∫

∂S

u · n dl (en 2D)

avec S ouvert de R2, ∂S son bord, n la normale unitaire sortante a ∂S :

O

x1

x2

S∂S

n

n

n

nn

n

n

7


Divergence d’un champ vectoriel - Formules integrales

divu = ∇u : 1 = tr∇u =∂ui∂xi

∫∫∫

Ω

divu d3x =

∫∫

∂Ω

u · n d2S (en 3D)

∫∫

S

divu d2S =

∫

∂S

u · n dl (en 2D)

→ interpretation Φ, cas d’un champ u = λ1x1e1 + λ2x2e2 :

(λ1,λ2) = (1,1), (1,− 12), ( 1

2,− 1), (−1,− 1)

x1

x2

divu > 0 divu < 0

u divergent u convergent !8


Divergence d’un champ tensoriel d’ordre 2

div T = ∇ T : 1 =∂Tij

∂xjei

Formule integrale de la divergence

∫∫∫

Ω

div T d3x =

∫∫

∂Ω

T · n d2S

Interpretation Φ : cas T symetrique, cf. l’ex. 2.7 :

ei · div T = div

(

T · ei

)

donc mesure si T · ei diverge ou converge...

9


Laplacien d’un champ scalaire

∆ρ = div∇ρ =∂2ρ

∂xi∂xi

mesure si ∇ρ diverge ou converge...

Laplacien d’un champ tensoriel d’ordre 1

∆u = div ∇u =∂2ui

∂xj∂xjei = ∆ui ei

10


Systemes symetriques : principe de Curie (1894)

...

...ces elements de symetrie se retrouvant deja

dans la forme du domaine occupe par le milieu...

En mecanique des milieux continus

Milieu Causes Effet

Solide Champs de forces volumiques d3f Champ de deplacement u(X,t)

Fluide ou surfaciques d2f Champ de vitesse v(x,t)11


Ex. en mecanique des fluides : rheometre de Couette cylindrique

Vue 3D :

[ Benbelkacem & Skali-Lami 2008 - Lemta ]

12



Vue de dessus :

Cause :

Effet :

v(x,t) =dx

dt13



Vue de dessus :

Cause : densite de forces surfaciques T =d2f

d2S= τeθ avec τ constante > 0

Effet :

v(x,t) =dx

dt14



Vue de dessus :

Cause : densite de forces surfaciques T =d2f

d2S= τeθ avec τ constante > 0

Effet : champ de vitesse simplifie avec le principe de Curie en coord. cylindriques

v(x,t) =dx

dt= v(x) = v(r ,θ) = U(r ,θ)er + V (r ,θ)eθ = U(r)er + V (r)eθ

15



→ analyse tensorielle en coordonnees cylindriques, cf. le pb. 2.2

=⇒ v(x,t) = U(r) er + V (r)eθ

L’etude mecanique necessite le calcul de

• ∇v

• divv

• ∆v

O

M

x

y

z

er

eθ

ez

r

θ

16



→ analyse tensorielle en coordonnees cylindriques, cf. le pb. 2.2

Calcul partiel sur un seul terme (le seul en fait a cause de l’incompressibilite)

v(x,t) = V (r)eθ

PSfrag

O

O

M

x

x

y

yz

z

er er

eθ

eθ

ez

r

θ

θ

θ

∇v =dV

dreθ ⊗ er −

V

rer ⊗ eθ 6=

∂vi∂xj

ei ⊗ ej avec i , j ∈ r ,θ,z

La formule cartesienne, qui serait INHD,

ne se generalise pas en coordonnees cylindriques !17


Conclusion provisoire concernant les tenseurs: dedramatisons !

En pratique en mecanique on ne manipulera pas des tenseurs d’ordre n > 4,

cf. la section 1.7 Exemples en mecanique des milieux continus

du document de cours de calcul tensoriel !..

18


Programme du TD

• Exercices d’analyse tensorielle cartesienne 2.2, 2.3 et 2.6

• Probleme d’analyse tensorielle cylindrique 2.1

Aspects mathematiques de l’etude d’un tuyau sous pression

Par linearite, on se ramene a :

Configuration de reference : Configuration actuelle :

pint = 1 bar

pext = 1 bar

pint = 155 bars

pext = 1 bar19


Programme du TD - Questions ?

• Exercices d’analyse tensorielle cartesienne 2.2, 2.3 et 2.6

• Probleme d’analyse tensorielle cylindrique 2.1

Aspects mathematiques de l’etude d’un tuyau sous pression

Par linearite, on se ramene a :

Configuration de reference : Configuration actuelle :

pint = 0 bar

pext = 0 bar

pint = 154 bars

pext = 0 bar20

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