mecanique des milieux continus...
TRANSCRIPT
-
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
Cadre général
Équilibre d ’un solide
Configuration
Description lagrangienne
Description eulérienne
Continuité de la matière
Tenseur gradient d’une transformation
Transport d’un vecteur élémentaire
Transport d’un volume élémentaire
Transport d ’une surface élémentaire
1 - Cisaillement simple
Ligne d’émission
Equilibre et continuité
Description d’une transformation
Transport de quantités
Exemples
Équations de bilan
Dérivées particulaires
Conservation de la masse
CINEMATIQUE
CINEMATIQUE
-
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
P
x
u
P
X
P : point « matériel »
v
CINEMATIQUE
Cadre général
Équilibre d ’un solide
Configuration
Description lagrangienne
Description eulérienne
Continuité de la matière
Tenseur gradient d’une transformation
Transport d’un vecteur élémentaire
Transport d’un volume élémentaire
Transport d ’une surface élémentaire
1 - Cisaillement simple
Ligne d’émission
Equilibre et continuité
Description d’une transformation
Transport de quantités
Exemples
Équations de bilan
Dérivées particulaires
Conservation de la masse
Cadre général
-
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
∗ Σ (forces extérieures) = variation de la quantité de mouvement
∗ Σ (moments) = variation du moment de quantité de mouvement
Le solide est en équilibre sous l’action des forces extérieures
CINEMATIQUE
Cadre général
Équilibre d ’un solide
Configuration
Description lagrangienne
Description eulérienne
Continuité de la matière
Tenseur gradient d’une transformation
Transport d’un vecteur élémentaire
Transport d’un volume élémentaire
Transport d ’une surface élémentaire
1 - Cisaillement simple
Ligne d’émission
Equilibre et continuité
Description d’une transformation
Transport de quantités
Exemples
Équations de bilan
Dérivées particulaires
Conservation de la masse
Équilibre d ’un solide
-
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
* vision macroscopique
* « masse » d’un élément de volume : dm = ρ dv
Des forces de cohésion assurent la continuité de la matière
CINEMATIQUE
Cadre général
Équilibre d ’un solide
Configuration
Description lagrangienne
Description eulérienne
Continuité de la matière
Tenseur gradient d’une transformation
Transport d’un vecteur élémentaire
Transport d’un volume élémentaire
Transport d ’une surface élémentaire
1 - Cisaillement simple
Ligne d’émission
Equilibre et continuité
Description d’une transformation
Transport de quantités
Exemples
Équations de bilan
Dérivées particulaires
Conservation de la masse
Continuité de la matière
-
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
configuration de référence :C0 : description lagrangienne
C(t) : descrition eulérienne
C0
C(t)
CINEMATIQUE
Cadre général
Équilibre d ’un solide
Configuration
Description lagrangienne
Description eulérienne
Continuité de la matière
Tenseur gradient d’une transformation
Transport d’un vecteur élémentaire
Transport d’un volume élémentaire
Transport d ’une surface élémentaire
1 - Cisaillement simple
Ligne d’émission
Equilibre et continuité
Description d’une transformation
Transport de quantités
Exemples
Équations de bilan
Dérivées particulaires
Conservation de la masse
Configuration
-
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
P
X
C0P
x
coordonnées d'un point : x = Φ �( X , t ) avec Φ �( X , 0 ) = X
v
vitesse d'un point : v = dx / dt = ∂Φ / ∂t
CINEMATIQUE
Cadre général
Équilibre d ’un solide
Configuration
Description lagrangienne
Description eulérienne
Continuité de la matière
Tenseur gradient d’une transformation
Transport d’un vecteur élémentaire
Transport d’un volume élémentaire
Transport d ’une surface élémentaire
1 - Cisaillement simple
Ligne d’émission
Equilibre et continuité
Description d’une transformation
Transport de quantités
Exemples
Équations de bilan
Dérivées particulaires
Conservation de la masse
Description lagrangienne
-
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
vitesse d'un point : v( x , t)
vP
x
C(t)
coordonnées d'un point : x = X à t=0, puis dx = v(x,t)dt
P
X
CINEMATIQUE
Cadre général
Équilibre d ’un solide
Configuration
Description lagrangienne
Description eulérienne
Continuité de la matière
Tenseur gradient d’une transformation
Transport d’un vecteur élémentaire
Transport d’un volume élémentaire
Transport d ’une surface élémentaire
1 - Cisaillement simple
Ligne d’émission
Equilibre et continuité
Description d’une transformation
Transport de quantités
Exemples
Équations de bilan
Dérivées particulaires
Conservation de la masse
Description eulérienne
-
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
maquette du Concorde(document ONERA)
�
ligne d'émission du point P
cargo échoué
trace produite sur la mer(ligne d'émission du cargo)
CINEMATIQUE
Cadre général
Équilibre d ’un solide
Configuration
Description lagrangienne
Description eulérienne
Continuité de la matière
Tenseur gradient d’une transformation
Transport d’un vecteur élémentaire
Transport d’un volume élémentaire
Transport d ’une surface élémentaire
1 - Cisaillement simple
Ligne d’émission
Equilibre et continuité
Description d’une transformation
Transport de quantités
Exemples
Équations de bilan
Dérivées particulaires
Conservation de la masse
Ligne d’émission
-
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
tenseur gradient de la transformation
* déplacement autour du point P : grad(u) = grad(x) – I = F(X,t) - I
P
x
u
P
X
* déplacement du point P : u ( X, t) = x - X
CINEMATIQUE
Cadre général
Équilibre d ’un solide
Configuration
Description lagrangienne
Description eulérienne
Continuité de la matière
Tenseur gradient d’une transformation
Transport d’un vecteur élémentaire
Transport d’un volume élémentaire
Transport d ’une surface élémentaire
1 - Cisaillement simple
Ligne d’émission
Equilibre et continuité
Description d’une transformation
Transport de quantités
Exemples
Équations de bilan
Dérivées particulaires
Conservation de la masse
Tenseur gradient d’une transformation
-
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
dXdx
dx = (I + grad(u) ).dX = F.dX
P
x
P
X
u
x = X + u
CINEMATIQUE
Cadre général
Équilibre d ’un solide
Configuration
Description lagrangienne
Description eulérienne
Continuité de la matière
Tenseur gradient d’une transformation
Transport d’un vecteur élémentaire
Transport d’un volume élémentaire
Transport d ’une surface élémentaire
1 - Cisaillement simple
Ligne d’émission
Equilibre et continuité
Description d’une transformation
Transport de quantités
Exemples
Équations de bilan
Dérivées particulaires
Conservation de la masse
Transport d’un vecteur élémentaire
-
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
dv
dv = [dx, dy, dz] = [F.dX, F.dY, F.dZ] = J dV avec J = det(F)
dV
dV = [dX, dY, dZ]
P
x
P
X
CINEMATIQUE
Cadre général
Équilibre d ’un solide
Configuration
Description lagrangienne
Description eulérienne
Continuité de la matière
Tenseur gradient d’une transformation
Transport d’un vecteur élémentaire
Transport d’un volume élémentaire
Transport d ’une surface élémentaire
1 - Cisaillement simple
Ligne d’émission
Equilibre et continuité
Description d’une transformation
Transport de quantités
Exemples
Équations de bilan
Dérivées particulaires
Conservation de la masse
Transport d’un volume élémentaire
-
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
n
ds
ds = nds et dv = ds.dz = JdV, avec dz = F.dZ
N
dS
dS = NdS et dV = dS.dZ
P
x
P
X
ds = J(F-1)t.dS avec J = det(F)
CINEMATIQUE
Cadre général
Équilibre d ’un solide
Configuration
Description lagrangienne
Description eulérienne
Continuité de la matière
Tenseur gradient d’une transformation
Transport d’un vecteur élémentaire
Transport d’un volume élémentaire
Transport d ’une surface élémentaire
1 - Cisaillement simple
Ligne d’émission
Equilibre et continuité
Description d’une transformation
Transport de quantités
Exemples
Équations de bilan
Dérivées particulaires
Conservation de la masse
Transport d ’une surface élémentaire
-
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
P
x
P
X
Évolution d’une grandeur physique « f ( x, t) » au cours du temps ?
df / dt = ∂f / ∂t + ∂f / ∂xi . dxi / dt = ∂f / ∂t + v.grad(f)
v
CINEMATIQUE
Cadre général
Équilibre d ’un solide
Configuration
Description lagrangienne
Description eulérienne
Continuité de la matière
Tenseur gradient d’une transformation
Transport d’un vecteur élémentaire
Transport d’un volume élémentaire
Transport d ’une surface élémentaire
1 - Cisaillement simple
Ligne d’émission
Equilibre et continuité
Description d’une transformation
Transport de quantités
Exemples
Équations de bilan
Dérivées particulaires
Conservation de la masse
Dérivées particulaires
-
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
m = dm = ρ dv = cste dρ / dt + ρ div(v) = 0
vP
x
P
X
CINEMATIQUE
Cadre général
Équilibre d ’un solide
Configuration
Description lagrangienne
Description eulérienne
Continuité de la matière
Tenseur gradient d’une transformation
Transport d’un vecteur élémentaire
Transport d’un volume élémentaire
Transport d ’une surface élémentaire
1 - Cisaillement simple
Ligne d’émission
Equilibre et continuité
Description d’une transformation
Transport de quantités
Exemples
Équations de bilan
Dérivées particulaires
Conservation de la masseConservation de la masse
-
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
Description lagrangienne : Description eulérienne :
x1 = X1 + 2αtX2x2 = X2x3 = X3
v1 = 2αx2v2 = 0
v3 = 0
a
a
1
2
u
X
P
x
P
CINEMATIQUE
Cadre général
Équilibre d ’un solide
Configuration
Description lagrangienne
Description eulérienne
Continuité de la matière
Tenseur gradient d’une transformation
Transport d’un vecteur élémentaire
Transport d’un volume élémentaire
Transport d ’une surface élémentaire
1 - Cisaillement simple
Ligne d’émission
Equilibre et continuité
Description d’une transformation
Transport de quantités
Exemples
Équations de bilan
Dérivées particulaires
Conservation de la masse
1 - Cisaillement simple