mécanique des milieux continus tome i

8/13/2019 Mcanique des Milieux Continus Tome I

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Mcaniquedes milieux continus

Tome IConcepts gnraux

Jean Salenon

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DITIONS

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Ce logo a pour objet dalerter le lecteur sur la menace que reprsentepour lavenir de lcrit, tout particulirement dans le domaine univer-sitaire, le dveloppement massif du photocopillage.Cette pratique qui sest gnralise, notamment dans les tablissementsdenseignement, provoque une baisse brutale des achats de livres, aupoint que la possibilit mme pour les auteurs de crer des uvres nou-velles et de les faire diter correctement est aujourdhui menace. Nous

rappelons donc que la production et la vente sans autorisation, ainsique le recel, sont passibles de poursuites.Les demandes dautorisation de photocopier doivent tre adresses lditeur ou au Centre franais dexploitation du droit de copie :20, rue des Grands-Augustins , 75006 Paris. Tl. : 01 44 07 47 70.

ditions de lcole Polytechnique - Septembre 200791128 Palaiseau Cedex

Du mme auteur

Thorie de la plasticit pour les applications la mcanique des sols Eyrolles - 1974 - 178 pages

Application of the theory of plasticity in soil mechanics John Wiley and Sons Ltd - 1977 - 158 pages - ISBN 0-47174984-2

Viscolasticit - Presses de lcole nationale des ponts et chausses1983 - 92 pages - ISBN 2-85978-051-3

Calcul la rupture et analyse limite - Presses de lcole nationale des ponts et chausses1983 - 366 pages - ISBN 2-85978-059-9

lastoplasticit - (B. Halphen et J. Salenon) Presses de lcole nationale des ponts et chausses - 1987 - 448 pages - ISBN 2-85978-094-7

Mcanique des milieux continus - Ellipses - 1988Tome 1 - Concepts gnraux - 270 pages - ISBN 2-7298-8854-3Tome 2 - lasticit - Milieux curvilignes - 316 pages - ISBN 2-7298-8863-2

Mcanique du continu - Ellipses - 1995Tome 1 - Concepts gnraux - 352 pages - ISBN 2-7298-4551-8Tome 2 - Thermolasticit - 286 pages - ISBN 2-7298-4565-8Tome 3 - Milieux curvilignes - 192 pages - ISBN 2-7298-5527-0

Mcanique des milieux continus ditions de lcole Polytechnique - 2005Tome 1 - Concepts gnraux - 360 pages - ISBN 2-7302-1245-0Mcanique des milieux continus ditions de lcole Polytechnique - 2002Tome 2 - Thermolasticit - 316 pages - ISBN 2-7302-0961-1Tome 3 - Milieux curvilignes - 152 pages - ISBN 2-7302-0962-X

Handbook of Continuum Mechanics Springer - 2001804 pages - ISBN 3-540-41443-6

de llasto-plasticit au Calcul la rupture ditions de lcole Polytechnique - 2002262 pages - ISBN 2-7302-0915-8


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Mcanique des milieux continus

Tome I. Concepts gnraux

Avant-propos

Chapitre I.Le milieu continu : une modlisation

Chapitre II.tude des dformations du milieu continu

Chapitre III.Cinmatique du milieu continu

Chapitre IV.Les puissances virtuelles et la modlisation des efforts

Chapitre V.Modlisation des efforts pour le milieu continu

Chapitre VI.tude des contraintesAnnexe I.lments de calcul tensoriel

Annexe II.Oprateurs diffrentiels : formules essentielles

Bibliographie

Index alphabtique

Tome II. Thermolasticit

Chapitre VII.Le comportement thermolastiqueChapitre VIII.volutions et quilibres thermolastiques

Chapitre IX.Quelques thmes classiques en lasticit tridimensionnelle

Chapitre X.Approches variationnelles en thermolasticit linarise

Annexe III.lments dlasticit plane

Bibliographie

Index alphabtique

Tome III. Milieux curvilignes

Chapitre XI.Statique des milieux curvilignes

Chapitre XII.Structures curvilignes thermolastiques

Glossaire

Bibliographie

Index alphabtique


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Avant-propos

Lchelle laquelle se place le mcanicien est, en gnral, qualifie de ma-croscopique. Guid par des applications qui descendent peu en dessous de lchelle

humaine, il a en effet recours des modlisations qui, pour tre pertinentes, sontconstruites une chelle suffisamment proche de celle des applications concernes etdonc suprieure souvent de plusieurs ordres de grandeur, celle que lon serait tentdattribuer au physicien. Cest aussi en rfrence ces applications que le mcanicien,conscient des limites des modles quil conoit, si lgants soient-ils dans leur formu-lation mathmatique, procde leur validation exprimentale. Ceci nest pas exclusifdun intrt constant manifest par le mcanicien pour la connaissance intime desphnomnes quil modlise : recherche laquelle se livre le physicien et qui permetpar exemple dexpliquer divers aspects des comportements des matriaux.

On propose ici une prsentation des concepts gnraux de la mcanique des milieuxcontinus, de la thorie de la thermolasticit et des milieux curvilignes.

Le mode dexpos est caracteris par le choix de laMthode des puissances vir-tuelles pour la construction des modles mcaniques et la modlisation des efforts.On peut reconnatre parmi les avantages de cette mthode le fait quelle met bien envidence le rle premier jou par la modlisation gomtrique, quelle permet des pr-sentations mcaniquement cohrentes, quelle a un caractre systmatique, et que, enobligeant une pense rigoureuse et lexplicitation des hypothses, elle fait, malgrune apparence axiomatique, ressortir la part de linduction et la ncessit de la vali-dation. De plus, bien acquise, elle constitue pour le lecteur un outil fcond, utilisablepour ses recherches personnelles ultrieures. Lesprit de dualisation ainsi implant estmis en uvre dans le chapitre consacr aux mthodes variationnelles de rsolution enthermolasticit. Ltude des milieux curvilignes illustre le caractre systmatique dela mthode des puissances virtuelles sur un cas o lintroduction dune microstruc-ture dont on suit lorientation se rvle ncessaire pour aboutir une modlisationpertinente.

Cette approche par les puissances virtuelles, qui structure la dmarche suivie, nevise en aucune faon au dogmatisme. Cest ainsi par exemple quen ce qui concernela modlisation des efforts les prsentations classiques ne sont pas occultes par

la mthode des puissances virtuelles, pas plus quailleurs on na sacrifi lexpos desmthodes de rsolution directes des problmes de thermolasticit au profit des ap-proches variationnelles malgr lvidente prminence actuelle de celles-ci. Enfin, la

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prsentation unifie atteinte travers la mthode des puissances virtuelles pour lamodlisation des efforts intrieurs ne doit pas faire oublier, du point de vue physique,la varit des phnomnes dinteraction sous-jacents.

On a cherch, par la prsentation matrielle du document, faciliter autant quepossible la tche du lecteur. Une liste des mots-cls, un bref rsum synthtique etle tableau des principales notations nouvelles prcdent chaque chapitre ; celui-ci setermine par un rcapitulatif des formules essentielles et par des exercices proposs,dont le niveau de difficult est variable, et pour lesquels des lments de rponse plusou moins dtaills sont fournis. La typographie, par une hirarchie des corps de carac-tres, vise distinguer deux niveaux de lecture : une premire lecture laissera de ctles parties en petits caractres, destines lapprofondissement. Enfin, le plus souvent,on sest attach prsenter un cas particulier ou des rsultats exprimentaux avantlexpos dune thorie ou dune modlisation gnrale.

Remerciements

aux collgues enseignants et anciens collgues du dpartement de mcanique lcole polytechnique, en particulier Michel Amestoy, Jean-Michel Delbecqet Pierre Suquet pour leurs avis, suggestions ou conseils ;au personnel de limprimerie et du service audiovisuel de lcole polytechniquepour son dvouement et sa comptence ;aux organismes cits qui ont contribu lillustration.


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Sommaire

I Le milieu continu : une modlisation 91 chelle, modlisation, validation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Les concepts et leur formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Description lagrangienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 Description eulrienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Rcapitulatif des formules essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

II tude des dformations du milieu continu 391 Transport, transformation, dformation . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 Transport convectif en transformation homogne . . . . . . . . . . . . 463 Dformation en transformation homogne . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4 Dformation dun milieu continu : cas gnral . . . . . . . . . . . . . . 585 Transformation infinitsimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636 Compatibilit gomtrique dun champ de dformation linarise . . . 667 Remarques finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71Rcapitulatif des formules essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

III Cinmatique du milieu continu 871 Prsentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 932 Cinmatique lagrangienne du milieu continu . . . . . . . . . . . . . . 93

3 Cinmatique eulrienne du milieu continu . . . . . . . . . . . . . . . . 964 Drives particulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075 Conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122Rcapitulatif des formules essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

IV Les puissances virtuelles et la modlisation des efforts 1351 Problmatique de la modlisation des efforts . . . . . . . . . . . . . . 1432 Dualisation et puissances virtuelles pour un systme de points matriels1483 Mthode des puissances virtuelles pour un systme de points matriels 1544 La mthode des puissances virtuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

5 Mouvements rigidifiants ; distributeurs, torseurs . . . . . . . . . . . . 1646 Rsultats gnraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1697 Thormes de la quantit de mouvement et de lnergie cintique . . . 172

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8 Et maintenant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181Rcapitulatif des formules essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

V Modlisation des efforts pour le milieu continu 1851 Position du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1912 Modlisation des efforts intrieurs par un champ scalaire : la pression 1923 Modlisation des efforts intrieurs par un champ tensoriel : les contraintes2034 Les contraintes en description lagrangienne . . . . . . . . . . . . . . . 2275 Bilan et perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233Rcapitulatif des formules essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

VI tude des contraintes 2491 La mise en uvre du concept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

2 Notions pratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2553 Reprsentation de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2654 Critres de limite dlasticit pour les matriaux isotropes . . . . . . . 2725 Drivation temporelle du tenseur des contraintes . . . . . . . . . . . . 277Rcapitulatif des formules essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

Annexes

I lments de calcul tensoriel 2931 Tenseurs sur un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2992 Produit tensoriel de tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3013 Dcomposition dun tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3034 Contraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3085 Tenseurs sur un espace vectoriel euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . 3136 Champs de tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327Rcapitulatif des formules essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336Schma sur les tenseurs euclidiens en bases orthonormes . . . . . . . . . 339

II Oprateurs diffrentiels : formules essentielles 351

1 Coordonnes cartsiennes orthonormes . . . . . . . . . . . . . . . . . 3532 Coordonnes cartsiennes quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3553 Coordonnes cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3564 Coordonnes sphriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

Bibliographie 361

Index alphabtique 369


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Chapitre I

Le milieu continu :

une modlisation

MOTS CLS

chelle. Modlisation. Validation.Rfrentiel. Repre. Configuration.Lagrange. Euler. Vitesse.

Continuit. Domaine matriel.Trajectoire. Ligne de courant. Ligne dmission.

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Chapitre I Le milieu continu : une modlisation 11

En bref...

Le concept de milieu continu est une modlisation physique macrosco-pique issue de lexprience courante, dont la pertinence est avre selonles problmes abords et en fonction de lchelle des phnomnes mis en

jeu(section 1).

Dans la formulation mathmatique classique de ce concept, un systmemcanique est reprsent par un volume constitu, au niveau diffrentiel,de particules. Ltat gomtrique de ces particules, de faon semblable celui dun point matriel, est caractris par la seule connaissance deleur position. La perception intuitive de la continuit se rfre lvolu-tion du systme : au cours de celle-ci, des particules initialement voisinesdemeurent voisines(section 2).

Pour prciser cette modlisation la description lagrangienne identifie

les particules par leur position dans une configuration du systme prisecomme rfrence, et dcrit le mouvement en dfinissant la position dechaque particule, ainsi indexe, au cours de lvolution, cest--dire en sedonnantsa trajectoire et sonhoraire de parcours. La continuit du milieusexprime par la continuit spatiale et temporelle de la correspondanceentre la position initiale de la particule et sa position actuelle. Des condi-tions de continue diffrentiabilit sont de plus imposes. Toutes les gran-deurs physiques sont dfinies de cette faon. La validation exprimentaledu modle montre quil y a lieu daffaiblir les hypothses de rgularit enne les imposant que par morceaux (section 3).

En adoptant le point de vue incrmental, la description eulrienne d-finit le mouvement du systme par la donne, chaque instant, du champdes vitesses des particules. Elle se place sur la configuration actuelle etles variables spatiales qui y apparaissent ont une signification purementgomtrique. La notion de continuit dans la description eulrienne corres-pond aux continuit et continue diffrentiabilit spatiales et temporelles,par morceaux, du champ des vitesses. Toutes les grandeurs physiques sontdfinies de cette faon chaque instant sur la configuration actuelle enfonction des coordonnes des particules. Les descriptions lagrangienne eteulrienne sont quivalentes.(section 4).


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1 chelle, modlisation, validation 15

Le milieu continu :

une modlisation

1 chelle, modlisation, validation

Figure 1 Extrusion dun tube. (Documentcommuniqu par M. Sauve,CEA)

Figure 2 Matriage dun lopin en alliagedaluminium. (Le Douaron,Thse 1977, CEMEF)

Cest de lobservation de la dformation dun solide, par exemple au cours duneopration de formage froid ou chaud (figures 1 et 2), de lcoulement dun liquide,de la dtente ou de la compression dun gaz, que la notion de milieu continu dformabletire son origine. Elle signifie que lobservateur retire de ces expriences lide quecertains problmes peuvent tre traits une chelle macroscopique en assimilantcette matire un milieu continu , sans contredire les modlisations de la physique

microscopique.La notion dchelle pertinente pour un problme est ainsi introduite : lie vi-

demment aux phnomnes mis en jeu, elle dpend de faon essentielle de la nature desquestions que lon se pose leur propos. Un exemple tir de la pratique journalirede certains ingnieurs permet den fournir une illustration.

Les ingnieurs du gnie civil construisant des ouvrages tels que fondations, bti-ments, soutnements, barrages, . . . , dont la dimension caractristique va du mtre la centaine de mtres, sont confronts des problmes de stabilit de massifs desols sableux, matriaux grenus dont la dimension caractristique des grains est de

lordre du millimtre ou du dixime de millimtre. Pour ce type de problme et cetype dapplication Stabilit ou instabilit de louvrage ? ils se rfrent frquem-ment au modle classique de la mcanique des milieux continus bien que, lvidence,


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16 Chapitre I Le milieu continu : une modlisation

la terminologie de continue soit peu approprie la nature de ces matriaux.La pertinence de cette attitude ne saurait tre affirme a priori ; elle est atteste parlexprience.

Il sagit l dune dmarche habituelle : la modlisation physique puis ma-thmatique dun problme est induite par lexprience ; elle doit ensuite trevalide par la confrontation des rsultats auxquels elle conduit du point de vue desapplications concernes avec des rsultats exprimentaux significatifs. Le rle de lex-prience (expriences faites ou exprience acquise) dans linduction de la modlisationest primordial mme sil passe souvent inaperu : cest ainsi, pour reprendre lexempledu sable, matriau grenu, que son tamisage nappellerait naturellement pas une mo-dlisation de milieu continu.

On peut aussi tre conduit, dans un mme problme, faire usage de modlisa-tions qui se situent des niveaux diffrents (on peut ainsi parler de modles chelles

multiples). Le calcul des structures en fournit un exemple : on y fait classiquement ap-pel la thorie des milieux curvilignes (cf. chapitres XI et XII) pour la dterminationdes efforts intrieurs sous forme de torseurs, puis la modlisation du milieu continutridimensionnel. cette dmarche sont apparentes diverses approches actuellementtrs courantes en mcanique des milieux continus : passage micro-macro , voire micro-meso-macro , homognisation, . . .

On se propose dans le prsent chapitre de cerner, puis de formuler mathmatique-ment, le concept decontinuitvoqu ci-dessus. On prsentera ainsi la modlisationdu milieu continu classique tridimensionnel(1), dont les applications concernent tant

la mcanique des solides dformables que la mcanique des fluides (cette distinction,traditionnelle, devient dailleurs, dans certains cas, bien difficile faire : dformationou coulement de polymres par exemple).

2 Les concepts et leur formulation

2.1 Lide directrice

Dans la dmarche exprimentale usuelle, que ce soit pour suivre lcoulement dun

fluide ou les dformations dun solide, lobservateur est conduit procder au mar-quage dlments matriels constitutifs du systme tudi un instant donn et reprer ensuite leur volution gomtrique (figures 1, 2, 6 8, 11 14). Il est videntque le marquage dun tel lment, aussi fin soit-il, concerne un petit domaine mat-riel , qui sera rput infinitsimal lchelle macroscopique du mcanicien, mais quise situe au-dessus de lchelle microscopique du physicien.

Le concept intuitif de continuit se rfre lvolution des positions gomtriquesde ces lments marqus au cours du temps : des lments matriels voisins uninstant donn demeurent voisins au cours du temps et leurs volutions sont compa-

(1)La transposition pour dfinir le concept de milieu continu bidimensionnel dans un espace euclidienbidimensionnel est immdiate. Voir aussi, ultrieurement, la notion de problmes plans danslannexe III consacre llasticit plane.


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2 Les concepts et leur formulation 17

rables. lvidence, la validit de ce concept sera prioritairement dpendante de lapossibilit relle didentifier les petits domaines matriels pertinents.

La modlisation mathmatique du concept physique de continuit sera doncdabord gomtrique.

Du point de vue gomtrique la modlisation du milieu continu classique part delide que le systme mcanique considrSest reprsent par un volume dontles d reprsentent les constituants lmentaires appels particules . Ltatgomtrique de ces particules est caractris uniquement par leur position : le mou-vement est entirement dfini par un champ de vitesse. Ceci explique la terminologiede points matriels employe aussi pour dsigner les particules qui signifie quellessont reprsentes gomtriquement par un point ; on doit bien entendre quil sagit enquelque sorte de points matriels dilus , cest--dire que les grandeurs physiquesextensives qui sont introduites relativement au systme pour en dfinir certaines carac-

tristiques apparaissent comme des intgrales de densits volumiques (et non commedes sommes discrtes).

Le concept de continuit tant li lobservation de lvolution du systme, onsouhaite assurer au cours de celle-ci pour des particules voisines :

la conservation de la proximit gomtrique, lvolution comparable des proprits physiques.

2.2 Rfrentiel, repre

La formulation mathmatique des ides prcdentes ncessite que lon procde la description et au reprage du systme tudi tout au long de son volution au coursdu temps.

On introduit dabord la notion de rfrentiel, lie celle dobservateur : lerfrentiel est pour ainsi dire lespace euclidien entran par lobservateur . Pouren donner une dfinition plus mathmatique :

1on suppose choisie, une fois pour toutes, la chronologie, cest--dire lchelledu temps (mcanique classique) valable pour tous les observateurs ;

2 on appelle alors rfrentiel lensemble des points de lespace euclidien animsdu mouvement de corps rigide (isomtrie directe fonction du temps) de lobservateur.Le rfrentiel, notR, est dit li lobservateur.

Une telle dfinition ne permet, en fait, que de dfinir un rfrentiel par rapport un autre. On sait, et on y reviendra au chapitre IV ( 1.1), que la mcanique classiquepostule lexistence dun rfrentiel absolu, ou galilen, dot de certaines proprits.

Pour reprer les positions spatiales des particules du systme dans un rfrentiel R,on peut utiliser un repre R(souvent orthonorm, sans que cela soit une ncessit),

dorigineO. Ce repre, anim du mouvement de corps rigide du rfrentiel R, peut treconsidr comme matrialisant R. Dans un rfrentiel R, changer le repreR pour lerepreR consiste effectuer chaque instant la mme transformation de coordonnes


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sur les composantes des tresintrinsques(vecteurs ou tenseurs) que lon introduirapour reprsenter les grandeurs physiques dans ce rfrentiel(figure 3).

Figure 3 Changement de repre dans le rfrentielR

Le changement de rfrentiel, cest--dire le changement dobservateur, peut trematrialis en choisissant dans le rfrentiel R un repreRet dans le rfrentiel R unrepreR qui soient en concidence un instant donn: ces repres sont distinctset la correspondance entre eux volue au cours du temps en suivant le mouvementdentranement (de corps rigide) dun rfrentiel par rapport lautre (figure 4).

Figure 4 Changement de rfrentiel (RetR)

2.3 Configurations du systme

Ltat du systmeS linstant t dans un rfrentielRest appelconfigurationde ce systme. On dsigne de faon gnrique partla configuration actuelle(instantcourantt). La configuration gomtrique de Sest dcrite par lensemble des positions,repres dans le rfrentielR, de ses particules. Ce reprage de la configuration go-mtrique dansRse fait au moyen du vecteur-position OM, not aussi x, qui prcisela position de chaque particule deS linstant t partir de lorigine O dun repreRdansR. On peut dfinir x par ses coordonnes (x ,y,z)ou xi(i = 1, 2, 3)dans R.Le volume occup parSdans cette configuration est t de frontire t.

On introduit aussi la notion de configuration de rfrence : cest la configu-

ration particulire t0 , du systme un instant t0 fix. Sauf mention explicite ducontraire, on posera t0 = 0(et la configuration de rfrence pourra aussi tre appeleconfiguration initiale). Conformment aux ides intuitives sur la continuit exposes


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2 Les concepts et leur formulation 19

au paragraphe 2.1 et qui seront exprimes mathmatiquement au paragraphe 3.2,Soccupe aussi dans 0 un volume 0 de frontire 0 (figure 5). Les coordonnes desvecteurs-positionsOM0de0dans le repreR de R seront systmatiquement notes(X , Y , Z )ou encoreXi(i= 1, 2, 3). Le vecteurOM0 sera aussi not X.

Ainsi : OM =x de coordonnes (x,y,z)ou xi danst

OM0 =Xde coordonnes (X , Y , Z )ou Xi dans 0 .

(2.1)

Figure 5 Configurations du systme

2.4 ObjectivitLe caractre intrinsque vis--vis du changement de rfrentiel est appel, en mcanique,lobjectivit dune grandeur, dune quation, ou dune loi. Pour une grandeur scalaire,lobjectivit signifie que deux observateurs obtiennent la mme valeur de cette grandeur dansleurs rfrentiels respectifs linstant t.

Pour une grandeur vectorielle, il est commode de se rfrer la figure 4. La vrification delobjectivit consiste sassurer que les expressions, dans les repres R et R respectivement,des valeurs de la grandeur mesures par chaque observateur dans son rfrentiel sont liespar la formule de changement de repre qui exprime la correspondance entre les repres Ret R linstant t , cest--dire le mouvement rigidifiant du rfrentielR par rapport aurfrentiel

R. titre dexemple, le vecteur joignant les positions gomtriques linstant t

de deux particules est objectif. En revanche, la vitesse linstant t dune particule nest pasune grandeur objective : deux observateurs mesurent, dans leurs rfrentiels respectifs R etR des vecteurs vitesses qui ne sont pas lis par la formule de changement de repre (figure6).

Plus gnralement on doit considrer des grandeurstensorielles dordre et de variance quel-conques (annexe I) qui, de plus, sont ventuellement rattaches des observations effectues divers instants, par exemple linstant initial de rfrence t0 et linstant actuel t. Lob-

jectivit dune telle grandeur signifie que les expressions obtenues par deux observateurs, quisont relatives aux repres Rt0 et Rt pour lun, R

t0

et Rt pour lautre, sont lies par lesformules de changement de repres correspondantes : Rt0 en R

t0

, Rt en Rt . On rencontrera

des exemples de telles grandeurs dans les chapitres suivants (cf. chapitre II, 4.6).

Lobjectivit de lquationexprimant une loi physique sanalyse de faon analogue : lcri-ture dune telle quation ne permet pas deux observateurs de discerner leurs rfrentiels


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Figure 6 Changement de rfrentiel : exemples de poinonnements dun massif pul-vrulent bidimensionnel ; la pose courte permet de visualiser les champs devitesse dans : a) le rfrentiel li au massif, b) le rfrentiel li la fondation.(Daprs Bonnet et Morio, 1972, Laboratoire Central des Ponts et Chausses)

respectifs partir des mesures quils y effectuent. Cela signifie aussi que les quations ex-primant la loi physique pour deux observateurs sont lies par les formules de changementde repres correspondantes. Toute loi physique ne possde videmment pas cette proprit.La loi fondamentale de la dynamique (cf. chapitre IV, section 1) est lexemple dune loinon-objective puisquelle nest valable quen rfrentiel galilen. En revanche on verra (cf.chapitre VII) que lon impose aux lois de comportement des matriaux de satisfaire leprin-cipe dobjectivit; celui-ci se rduit dans certains cas au principedisotropie de lespacequi affirme que lespace ne possde pas de direction privilgie (cf. chapitre VI, 4.2 et cha-pitre VII, 4.1). Il convient de remarquer que le fait pour une quation de ne faire intervenirque des grandeurs objectives nest pas une condition suffisante dobjectivit.

3 Description lagrangienne

3.1 Dfinition

On se propose maintenant de donner une formulation mathmatique prcise desides intuitives et des concepts prsents dans les sections prcdentes.

Dans cet esprit, en se rfrant au marquage des petits domaines matriels voquau paragraphe 2.1, la description lagrangienne(2) consiste :

identifier les particules constitutives du systme par leur position gomtriquedans une configuration de celui-ci prise comme rfrence et note 0, cest--direpar la variable vectorielleX,

exprimer la valeur de toute grandeur physique dans la configuration actuelle enfonction de la particule laquelle elle est attache et de linstant actuel, cest--direen fonction des variablesXet t.

Ainsi le vecteur-positionOM =x de la particule situe initialement en M0 dans0 est donn par

x= (X, t)(3.1)

(2)L. Lagrange (1736-1813).


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3 Description lagrangienne 21

et la valeur dune grandeur physique attache cette particule, soitBest :

B= B(X, t).(3.2)

Dans la formule (3.1)est une fonction vectorielle dfinie sur0, t, et qui vrifievidemment :

(X, 0) =X ,(3.3)

tandis que, suivant la nature de la grandeur physique concerne, B est une fonctionscalaire, vectorielle, ou tensorielle dordre quelconque, qui vrifie la formule homologuede (3.3).

La fonction dcrit ainsi la correspondance gomtrique entre les configurations(spatiales) 0 et t. En fonction de tcest toute lvolution gomtrique du systmeS, cest--dire son mouvement (cf. 3.4), qui est ainsi donne.

3.2 Hypothses de continuit

On va naturellement examiner maintenant les conditions mathmatiques sur quipermettent de rendre compte convenablement du concept intuitif de continuit dgagau paragraphe 2.1.

On propose les hypothses suivantes :

est une bijection de 0surtdont on dsigne parla bijection rciproque(3) :

t ,M0 0 t ,M t

x= (X, t) X=(x, t)

(3.4)

et sontcontinues par rapport lensemble desvariables despace et de

temps. et sont en rgle gnrale supposes de classe C1 voire C2.En ce qui concerne la grandeur physique typiqueB, la fonction B est suppose

continue et, en rgle gnrale, de classe C1 ou C2 par rapport lensemble des variablesXet t.

Ces hypothses ont les consquences classiques suivantes qui permettent dexami-ner la validit de cette modlisation par comparaison avec lexprience.

1) Deux particules qui occupent dans 0 des positions infiniment voisines ,restent infiniment voisines dans toute configuration.

(3) sera occasionnellement note aussi 1.


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2) Des particules qui occupent dans 0 un domaine connexe, occupent dans tun domaine connexe de mme ordre (volume, surface, courbe). Ceci permet la dfini-tion mathmatique du concept dedomaine matriel : domainetransport par lemouvementcest--dire quil sagit chaque instant du domaine gomtrique occup

par le mme ensemble de particules.3) Les particules qui se trouvent dans0, lintrieur dune surface ferme, restent

tout instant t lintrieur de la surface transporte. Ainsi la frontire dun volumematriel est une surface matrielle.

4) En particulier, la frontire de Sest une surface matrielle ce qui signifie quelleest toujours constitue des mmes particules.

5) En consquence des hypothses de continue diffrentiabilit : soit J(X, t) ledterminant jacobien de linstant t en (X1, X2, X3), cest--dire le dterminant

de la matrice jacobienne des drives premires des xi

par rapport aux Xi

:

J(X, t) = D(x1, x2, x3)D(X1, X2, X3)

.(3.5)

tant continue et continment drivable de mme que, on en dduit queJ(X, t)estcontinupar rapport Xet t. De plus il ne peut tre ni nul ni infini, puisqueles matrices jacobiennes de et de doivent tre inversibles. Il conserve donc unsigne constant sur 0 et au cours du mouvement.

Il rsulte alors de (3.3) o lon a :

J(X, 0) = 1 M0 0 ,(3.6)queJ(X, t)est positif et finiM0 0 ,t:

0< J(X, t)< +(3.7)

Anticipant sur des rsultats qui seront dvelopps au chapitre II ( 2.3 et 4.2) onpeut dores et dj donner linterprtation physique de J(X, t). Soit d0 le volumedun domaine matriel lmentaire au point M0 dans la configuration 0 et dt levolume du domaine transport en Mdans la configuration t; J(X, t) sinterprtecomme la dilatation volumique dans le mouvement entre les configurations 0 ett, en suivant la particule de M0 M :

dt=J(X, t) d0 (4) .(3.8)

On peut donc traduire sous forme image le rsultat (3.7) : le volume de laparticule conserve son signe, et ne peut devenir ni nul, ni infini.

(4)Ce rsultat se rattache des thormes classiques danalyse. Limage de la mesureJ(X, t) dX1dX2dX3 par lapplication est la mesure dx1dx2dx3. Si le repre R est orthonorm

la mesure dx1

dx2

dx3

(ou dX1

dX2

dX3

) est la mesure de volume. On en dduit que, pour un do-maine infinitsimal qui converge vers le point M0, dans la configuration 0 et pour son image par en M, les volumes d0 et dt sont lis par la formule (3.8). Le rsultat est conserv si R nest pasorthonorm car la mesure dx1dx2dx3 est alors proportionnelle la mesure de volume.


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3.3 Pertinence du modle : affaiblissement des hypothsesde continuit

Les consquences nonces ci-dessus apparaissent conformes lintuition de lacontinuit qui est lorigine mme de la modlisation. On est toutefois amen nuancer quelque peu les hypothses mathmatiques de faon tre en mesure detraiter plus commodment certains phnomnes observs.

Figure 7 Poinonnement asymtrique dun bloc de plasticine (application la tecto-nique de lest de lAsie). (Daprs Peltzer, Thse, 1983, Institut de Physiquedu Globe)

Il sagit, par exemple, des fissures rencontres en mcanique de la rupture, des

surfaces de rupture, des surfaces de glissement, de la localisation de la dformation enmcanique des solides (figure 7), des surfaces de jet en mcanique des fluides (figure8). Pour celles-ci la conservation de la proximit de deux points initialement voisins aucours de lvolution est trop contraignante : il convient de permettre des discontinuitsde au franchissement de certaines surfaces.

Dans le cas des ondes de choc (cf. chapitre III, 4.4 et 5.1) demeure conti-nue mais ses drives spatiales et temporelle doivent admettre des discontinuits aufranchissement de la surface donde.

Pour ces raisons on convient daffaiblir les hypothses de continuit en nimposant

plus quela continuit et la continue diffrentiabilit de par morceaux: desdiscontinuits de la fonction et/ou de ses drives sont permises au franchissementdune infinit dnombrable de surfaces dans R3.


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Figure 8 coulement autour dune plaque plane. (Document communiqu parlONERA)

3.4 Interprtation physique de la description lagrangienne :trajectoires

La description lagrangienne est la formulation mathmatique dune ralit exp-rimentale simple. En effet (cf. 3.1) la formule (3.1) dcrit le mouvement de chaqueparticule du systme : si lon considre la particule identifie par X, (3.1) fournit la

description de sa trajectoire, paramtre en fonction du temps, dans le rfrentiel R :x= (X, t) o X est fix.

Pour cette raison on dit aussi que la description lagrangienne est une description par trajectoires .

Concrtement, la visualisation de la trajectoire dune particule partir dun ins-tant t0, sobtient en marquant une particule linstant donn t0, puis en faisant uneprise de vue en pose du mouvement du systme partir de linstant t0. Ce typedexpriences est ralis couramment en mcanique des solides et en mcanique des

fluides.

3.5 Lignes dmission

La prise dune vueen instantanconduit introduire un autre type de courbesgomtriques,les lignes dmission, dfinies comme suit (figure 9).

En un pointgomtrique P dansR, de coordonnesxiP, et partir de linstantt0, on marque chaque particule passant par P; on observe, linstant T > t0, lespositions de ces particules dansR : la courbe gomtrique correspondante est laligne dmission du point Pobserve linstant T.

Lquation, paramtre en t, de cette courbe sobtient partir de (3.1) et (3.4)en suivant la particule Xqui, passant linstant t en P, a t marque et se trouve


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en x linstantTsur la ligne dmission :

x= ((xP, t), T) t0 t T .(3.9)

Ces expriences sont couramment ralises en mcanique des fluides (figures 11

13).

Figure 9 Ligne dmission (en pointill, la trajectoire de la particuleX)

3.6 Vitesse dune particule

La vitesse, dans le rfrentielR, de la particule identifie par sa position Xdans0 sobtient immdiatement partir de (3.1). Cest le vecteur :

U(X, t) =(X, t)

t

.(3.10)

Le vecteur vitesse U(X, t) dansR est videmment tangent la trajectoire de laparticule dansRau point x= (X, t).

De mme lacclration de la particule scrit :

a(X, t) =2(X, t)

t2 .(3.11)

3.7 Configuration de rfrence abstraite

La description lagrangienne du mouvement donne ci-dessus, identifie chaque par-ticule par sa position dansR, dans la configuration 0.

On peut btir le mme type de description en introduisant, pour indexer chaqueparticule, un jeu de trois paramtresai(i= 1, 2, 3)qui sont appels coordonnes de laparticule dans laconfiguration abstraite de rfrence a. Le mouvement est alorsdfini de faon analogue (3.1) par la donne de la fonction vectorielle :

x= (a1, a2, a3, t) (a1, a2, a3) Da(3.12)o

Dadsigne le domaine occup par le systme dans a; on a, pour la configuration

0 :

X=(a1, a2, a3, 0).(3.13)


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doit encore tre bijective, continue et continment diffrentiable par morceaux demme que sa bijection rciproque .

Le jacobien

J(a1, a2, a3, t) = D(x1

, x2

, x3

)D(a1, a2, a3)

est continu par rapport aux variables a1, a2, a3 et t, et ne peut tre ni nul ni infini(inversibilit de la matrice jacobienne). Il conserve donc unsigne constant surDaet au cours du mouvement, mais il nest plus ncessairement positif. La dilatationvolumique entre deux configurations0et tpour la particule indexe par(a1, a2, a3),sobtient videmment par :

dt= J(a1, a2, a3, t)

J(a1, a2, a3, 0)d0 .(3.14)

Pour citer un exemple simple dune telle reprsentation lagrangienne partir duneconfiguration abstraite : si lon indexe chaque particule par les coordonnes cylin-driquesR, et Zde sa positionM0dans0, les paramtresR, et Zconstituent un

jeu de coordonnes lagrangiennes abstraites, le domaine Datant dfini dans lespace(R, ,Z). En particulier, si la position dans la configuration actuelle est, elle aussi,repre par les coordonnes cylindriques (r,,z) on a, pour la dilatation volumique,la formule :

dt=

r

R

D (r,,z)

D (R, ,Z)d0 .(3.15)

4 Description eulrienne

4.1 Dfinition

En se rfrant linterprtation physique de la description lagrangienne partirde la prise de vues en poses longues, on peut introduire la description eulrienne(6)

par lide intuitive suivante expose sur laspect gomtrique : le clich obtenu en

pose peut tre reconstitu par la superposition dune succession de prises de vuesinstantanes.

Dans une formulation plus mathmatique, la description eulrienne de lvolutionconsiste prendre chaque instant la configuration actuelle comme configuration derfrence pour dcrire lvolution infinitsimale entre t et (t + dt).

Ainsi pour laspect gomtrique la description eulrienne dfinit le mouvement dusystme par la donne, chaque instant t, de la vitesse Ut de la particule situe aupoint gomtriqueMdanst :

t, M t, U=Ut(x, t).(4.1)(6)L. Euler (1707-1783).


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4 Description eulrienne 27

On retrouve bien encore la donne dune fonction vectorielle de 4 variables scalairesmais, la diffrence de (3.1), les variables spatiales x1, x2, x3 sont relatives laconfi-guration actuelle et non plus une configuration de rfrence : elles nidentifientdonc plus les particules au cours du temps.

Toute grandeur physique est, de mme, dfinie sur t sous la forme :

t, M t, B=b(x, t).(4.2)En rgle gnrale on convient, pour permettre un dcodage des formules vue ,

de dsigner par des lettres minuscules (comme x) les fonctions relatives la descrip-tion eulrienne, et par des lettres majuscules (comme X) les fonctions relatives la description lagrangienne. La vitesse est ici lexception qui confirme la rgle ; on yreviendra dans la suite ( 4.6).

4.2 Dtermination des trajectoires

Il est clair que la description eulrienne de lvolution dun systmeS sobtientde faon immdiate ds que lon en connat la description lagrangienne. En effet engalant les deux expressions de la vitesse de la particule XdansR linstant t , puisles deux expressions de la grandeurB pour la particule X linstant t il vient :

Ut(x, t) =U(X, t) =U((x, t), t)

b(x, t) =B(X, t) =B((x, t), t).

(4.3)

On remarque queUtest alors continue et continment diffrentiable par morceaux(si est C2 par morceaux).

Inversement il convient de vrifier que la description eulrienne, introduite de faonintuitive au paragraphe prcdent, est bien quivalente la description lagrangienne.Pour cela il suffit de vrifier que (4.1) permet effectivement de reconstituer la fonction de la formule (3.1), cest--dire quil faut rsoudre le problme : dterminer lafonction vectorielle solution de

(X, t)

t =Ut((X, t), t)

(X, 0) =X , condition initiale.

(4.4)

Il sagit en fait (cf. 3.4) de dterminer la trajectoire detoute particule avec sonhoraire de parcours. Ce problme peut aussi scrire sous la forme diffrentielle :

dx= Ut(x, t) dt

x|t=0

= X , condition initiale

(4.5)

qui reprsente un systme de 3 quations diffrentielles pour les 3 fonctions scalairesinconnuesx1, x2, x3, de la variable t.


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4 Description eulrienne 29

vidente du point de vue physique, et les systmes diffrentiels (4.5) et (4.6) sont fon-damentalement diffrents : variable temps dans le premier, temps fix dans le second(figure 10).

Du point de vue exprimental, la construction des lignes de courant linstant Tncessite lobtention du champ des vitesses dans le rfrentielR cet instant. Pourpoursuivre dans le registre des rfrences photographiques utilises aux paragraphes3.4 et 4.1, celui-ci rsulte dune prise de vue en pose courte linstant T(figure 14),ce qui manifeste clairement la diffrence entre lignes de courant et trajectoires.

4.4 Mouvements stationnaires (ou permanents)

Le mouvement est ditstationnaire(ou permanent) dans un rfrentiel R si, danssa description eulrienne, Ut(x, t) est indpendante de t et nest fonction que des

coordonnes du point gomtriqueM. Il en rsulte les proprits suivantes. Dans la recherche des trajectoires et de leurs horaires de parcours par le systme

diffrentiel (4.5) le problme se dcouple en un problme purement gomtrique et unproblme dhoraire de parcours.

En effet, puisque :

Ut(x, t) U(x)(4.7)

on tire de (4.5) le systme :

dx1

U1(x)=

dx2

U2(x)=

dx3

U3(x) ;(4.8)

celui-ci est identique celui qui, chaque instant T, permet de dterminer les lignesde courant (4.6), lui aussi indpendant de T.

Ainsi les trajectoires forment alors une famille de courbes gomtriques 2 paramtres, identique la famille des lignes de courant qui deviennent,dans ce cas, indpendantes du temps.

On peut alors dterminer lhoraire de parcours de ces courbes par les particules.

En effet on obtient partir de (4.5) et (4.7) :

dx= U(x) dt(4.9)

qui montre, le problme gomtrique tant rsolu, que lemouvement est invariantpar translation dans le temps.

Cela signifie que la position M linstant tde la particule qui se trouvait en M

linstant t ne dpend que de M et de la diffrence (t t):x= (x, t t).(4.10)


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5 Commentaires 31

5 Commentaires

Cette prsentation de la modlisation milieu continu dans sa forme classique appelle,pour conclure, quelques commentaires. Ceux-ci sont suggrs par les techniques exprimen-tales dobservation telles quelles apparaissent sur les figures 11 14 par exemple ou dans les

nombreux films disponibles sur le sujet. On y voit que le marquagedune particule nestvidemment quabstraction : lopration concerne toujours un domaine, volume de matire,souhait aussi petit que possible, voisin du point considr.

Quelles sont alors la signification physique et la pertinence de la notion de particule intro-duite comme base de la modlisation ? Une rponse cette question pourra tre formulecomme suit.

Conue pour la prdiction, la modlisation doit revtir une forme mathmatique, pour la-quelle on recherche la simplicit maximale compatible avec une reprsentation convenabledes phnomnes observs. La modlisation milieu continu prsente ci-dessus attache aupoint matriel, repr par sa position gomtrique dans t par exemple, des grandeurs qui

caractrisent lvolution physique de la matire autour de ce point. Cest dire que ce pointmatriel ou particule recle physiquement une microstructure , dont on cherche dcrireau mieux lvolution.

Dans la modlisation classique on considre que le champ de vitesse Usuffit dcrire conve-nablement la cinmatique de la microstructure attache la particule.

Dans certains cas on devra sortir de ce cadre. Ainsi par exemple on pourra introduire, outrele champ Ude vitesse de la particule, un champ de vecteur-rotation, indpendant de U, quicherchera traduire la rotation propre de la microstructure : un tel type de milieu continutridimensionnel, non classique, sera examin au chapitre V (section 5), tandis que le chapitreXI (section 3), traitant des milieux curvilignes, en fournira un exemple unidimensionnel dontles applications pratiques sont quotidiennes.


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Figure 11 Visualisations des coulements arodynamiques par analogie hydraulique entunnel hydrodynamique avec mission de traceurs colors. Ci-dessus : cou-

lement autour dune maquette du Concorde en configuration datterrissage(extrados). Ci-dessous : coulement autour dune maquette de motrice grande vitesse. (Documents communiqus par lONERA)


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Figure 14 Visualisation en tunnel hydrodynamique ; mthode du plan de lumire pourla visualisation laide de bulles dair : coulement basse vitesse sur unemaquette du Concorde en configuration datterrissage (coupe transversalearrire). (Document communiqu par lONERA)


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Rcapitulatif des formules essentielles 35

Rcapitulatif des formules essentielles

Lagrange

x= (X, t) (trajectoires)

X=(x, t) =1(x, t)

J(X, t) = D(x1, x2, x3)D(X1, X2, X3)

0< J(X, t)< dt=J(X, t) d0

U(X, t) =(X, t)

t

EulerU=Ut(x, t)

trajectoires :

dx

dt =Ut(x, t)

x|t=0 =X

lignes de courant linstant t ;

dx1

U1t(x, t)

= dx2

U2t(x, t)

= dx3

U3t(x, t)


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Exercices 37

Reprsentation lagrangienne.

Par intgration du systme dx1 = x2dt , dx2 = x1dt , dx3 = 0, avec les conditionsinitiales xi = Xi pour t= 0, on obtient :

x1 =X1cht + X2 sh t

x2 =X1 sh t + X2 cht

x3 =X3

(paramtrage en tdes hyperboles ci-dessus).

I.4 - Houle trochodale . R tant un repre cartsien orthonorm dans lerfrentiel R, on tudie le mouvement dfini, partir dune configuration de rfrenceabstraite, par la reprsentation lagrangienne :

x1 =a1+ R(a2)cos (t + (a1))

x2 =a2 R(a2)sin (t + (a1))x3 =a3a2


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Chapitre II

tude des dformations

du milieu continu

MOTS CLS

Transport convectif.Transformation. Gradient de la transformation.Transformation homogne tangente.

Transformation rigidifiante. Isomtrie.Dilatations. Dformations. Dplacement.Compatibilit gomtrique.Transformation infinitsimale.

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Chapitre II tude des dformations du milieu continu 41

En bref...

Dans une reprsentation lagrangienne, la comparaison entre la configu-ration actuelle et la configuration initiale, sans aucune rfrence lhistoireintermdiaire du systme considr, introduit au plan gomtrique deuxconcepts essentiels : le transport et la dformation.

Le transport convectif, dont lexemple le plus simple est relatif laparticule ou point matriel, exprime la correspondance entre les positionsactuelle et initiale des lments matriels. La dformationdgage, locale-ment, en quoi la transformation subie par le systme dune configuration lautre diffre dune isomtrie directe : elle mesure le changement deforme local(section 1).

Ltude du cas particulier o le systme subit une transformationhomogne, cest--dire identique en tout point, permet de se dgager

dabord du caractre local. La transformation est une application linaire.Les formules de transport dun point, dun vecteur, dune surface oudun volume matriels, font intervenir le tenseur euclidien associ cetteapplication linaire(section 2).

La dformation, qui se rfre la mtrique, introduit pour cela le ten-seur des dilatations et le tenseur des dformations qui permettent dex-primer les variations de longueurs et les variations angulaires. On met envidence que la transformation du systme se compose de deux contribu-tions : la dformation pure qui est une affinit selon les trois directionsprincipales orthogonales de la dformation, et une rotation(section 3).

Le cas gnral o la transformation du systme est quelconque fait ap-pel la notion de transformation homogne tangente; celle-ci est dfiniepar le tenseur gradient de la fonction vectorielle qui exprime le transportconvectif de la particule : cest le gradient de la transformation. Lidedirectrice est que, localement, la transformation subie par llment infini-tsimal est, en chaque point, quasi homogne : on dfinit, pour les lmentsinfinitsimaux de longueur, de surface ou de volume, les mmes conceptsquen transformation homogne pour les lments finis, avec les formuleshomologues (section 4).

Lorsque la transformation est infinitsimale les formules se simplifientpar linarisation(section 5).


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42 Chapitre II tude des dformations du milieu continu

Concrtes et mesurables, les dformations sont, pour le mcanicien, lavoie daccs lanalyse des structures et lidentification des caractris-tiques des matriaux(section 7).

Les dformations sont engendres par des sollicitations extrieures m-caniques, thermiques, hygromtriques, par des volutions chimiques et desrorganisations structurelles, etc. Le problme de leur compatibilit go-mtrique se pose alors : savoir si ces dformations sont compatibles avec lacontinuit du milieu et avec les conditions ventuellement imposes sur lesdplacements au contour du systme tudi. Lorsque les dformations im-poses ne sont pas compatibles, elles induisent des efforts intrieurs qui,sils sont excessifs, peuvent entraner des dsordres, voire des ruptures(section 6).


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1 Transport, transformation, dformation . . . . . . . . . . 452 Transport convectif en transformation homogne . . . . 46

2.1 Transformation homogne . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.2 Vecteur matriel, transport convectif . . . . . . . . . . . 47

2.3 Transport dun volume, dilatation volumique . . . . . . 482.4 Transport dune surface oriente . . . . . . . . . . . . . 50

3 Dformation en transformation homogne . . . . . . . . 513.1 Tenseur des dilatations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2 Utilisation du tenseur des dilatations . . . . . . . . . . . 53

3.3 Tenseur des dformations de Green-Lagrange . . . . . . 553.4 Dcomposition polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4 Dformation dun milieu continu : cas gnral . . . . . . 58

4.1 Transformation homogne tangente . . . . . . . . . . . . 584.2 Formules de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.3 Dformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.4 Dplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.5 Dcomposition polaire et transformation rigidifiante . . 624.6 Ob jectivit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5 Transformation infinitsimale . . . . . . . . . . . . . . . . 635.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.2 Tenseur des dformations linaris . . . . . . . . . . . . 645.3 Gradient dun champ de tenseurs sur la configuration

actuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656 Compatibilit gomtrique dun champ de dformation

linarise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.1 Position du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.2 Conditions de compatibilit . . . . . . . . . . . . . . . . 666.3 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.4 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

7 Remarques finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717.1 Transformation et dformation . . . . . . . . . . . . . . 717.2 Utilisation dun paramtrage lagrangien relatif une

configuration abstraite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727.3 tude pratique des dformations . . . . . . . . . . . . . 72

Rcapitulatif des formules essentielles . . . . . . . . . . . . . 76Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79


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1 Transport, transformation, dformation 45

tude des dformations

du milieu continu

1 Transport, transformation, dformation

La figure 1 montre, pour le processus de matriage dj prsent sur la figure 2

du chapitre I, deux tapes de lvolution du bloc soumis cette mise en forme : dans ltat initial (configuration 0) le bloc est rectangulaire, marqu dun qua-

drillage carr,

dans ltat actuel (configuration t) lenfoncement de la matrice a provoqu lerefoulement du matriau la base et en partie suprieure ncessaire au formage ;le quadrillage est dform.

Figure 1 Matriage dun bloc de plasticine. (Le Douaron, Thse 1977, CEMEF)

Cest typiquement la comparaison gomtrique entre deux tels clichs, indpen-damment des positions intermdiaires, quest consacr ce chapitre : trois conceptspeuvent dores et dj tre dgags.

Le transport convectifou transport par le mouvement, dj introduit au cha-pitre I (section 3), qui exprime que la position dune mme particule dans le rfrentielR est diffrente dans les configurations 0 et t. La fonction vectorielle , X et tfixs, explicite le transport convectif de la particule Xentre0 et t :

x= (X, t) ;(1.1)

cest la notion de point matriel. On sattachera formuler le transport convectifpour dautres lments matriels simples.


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Latransformationsubie par le systme tudi (cest--dire le bloc), ou par unepartie de celui-ci, entre0ett, est dfinie du point de vue gomtrique par la fonction t fix, Xparcourant le volume 0 occup par le systmeSdans 0.

Ladformationentre0

ettretient, dans la transformation, le changement de

forme cest--dire en quoi la transformation gomtrique subie par le systme entre0 et t diffre duneisomtrie directe.

Il est essentiel de retenir que cest bien de la comparaison gomtrique entre deuxclichs, lun choisi comme rfrence0, lautre choisi comme transformt, quil sagitsans aucunement faire appel la connaissance du processus intermdiaire. Largumenttdans (1.1) ou dans t est un paramtre et non une variable.

On a choisi, pour les formules apparaissant dans cet ouvrage, de mettre en valeurlexpression intrinsque faisant intervenir les tres vectoriels, tensoriels, ... eu-

clidiens (on rappelle que les notations correspondantes sont dfinies dans lannexeI, section 5).

2 Transport convectif en transformation homogne

2.1 Transformation homogne

Il apparat, sur lexemple de la figure 1, que la dformation du marquage quadrillentre les configurations0 et t nest pas identique en tout point : tirement vertical

au voisinage de laxe, aplatissement prs des bords. Il en rsulte, intuitivement, queltude propose ci-dessus du transport, de la transformation et de la dformationaura, en gnral, de faon naturelle un caractre local.

On se propose, dans une premire approche, de sintresser au cas simple de latransformation homogne, dans laquelle tous les lments du marquage sont d-forms de faon identique (figure 2).

Figure 2 Transformation homogne entre0 ett


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2 Transport convectif en transformation homogne 47

Afin de formuler mathmatiquement cette notion, on choisit un repre R quel-conque(O, e1, e2, e3)du rfrentiel Rdans lequel sont observes les configurations 0ett. Les notationsM0, M , X

i, X , xi, x, ayant les mmes significations quau chapitreI ( 2.3) la transformation homogne entre0 et t est dfinie par le fait que dans

(1.1) sexplicite comme une correspondance affine entre les coordonnes Xj et xi :

xi =Fij(t)Xj + ci(t) i= 1, 2, 3(1) .(2.1)

Considrant alors lapplication linaire de lespace euclidien (rfrentielR) surlui-mme dfinie par lesFij(t)dans le repreR, le tenseur euclidien du second ordrequi lui est associ scrit :

F(t) =Fij(t) ei ej(2.2)

et la formule (2.1) prend la forme intrinsque

x= F(t) . X+ c(t)(2.3)

o c(t)dsigne le vecteur ci(t) ei.

La fonctionainsi dfinie par (2.3) vrifie videmment les conditions de continuitet diffrentiabilit par rapport Xsouhaites au chapitre I ( 3.2). Elle doit de plussatisfaire la condition :

0< J(X, t) = D(x1, x2, x3)D(X1, X2, X3)

< .

Ici il apparat que :

J(X, t) = det F(t)(2.4)

dou la condition

0< det F(t)< (2.5)

qui assure, en fait, labijectivitde lapplication.

2.2 Vecteur matriel, transport convectif

On considre (figure 3) lensemble des particules occupant dans la configurationde rfrence un segment M0M0. En raison du caractre affine de la relation (2.3),ces particules occupent linstantt, un segment M M. On peut donc parler, au sensintroduit au paragraphe 3.2 du chapitre I, devecteur matriel : le vecteur M0M0,dans son transport par le mouvement entre les configurations 0 et t, demeure unvecteur.

En dsignant parVun vecteurM0M0de 0, parv le vecteur correspondantM M

de t, le transport par le mouvement reliant v Vscrit partir de (2.3) :

v= F(t) . V(2.6)


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Figure 3 Transformation homogne : transport convectif dun vecteur

qui exprime le transport convectif dun vecteurdans une transformation homo-gne.

Il peut se rvler commode de choisir dansR , pour dcomposer V dans 0 et vdanst, des bases diffrentes : eJ(J=I, II, III)pourV et ei(i= 1, 2, 3)pourv . Laformule intrinsque (2.6) est videmment inchange ; elle sexplicite sous la forme : V =V

JeJ , v= viei

F(t) =FiJ(t) ei eJ .(2.7)

Certains auteurs recommandent lusage systmatique de cette criture, mmelorsque les bases pour V dans 0 et pour v dans t sont identiques, afin de mieuxdistinguer les configurations concernes.

2.3 Transport dun volume, dilatation volumique

Le caractre affine de la relation (2.3) implique que toute varit linaire dans0, est, dans son transport par le mouvement, transforme en une varit linaire dumme ordre dans t.

Considrons (figure 4) un paralllpipde de 0 dfini par un sommet M0, ettrois vecteurs indpendants A , B , C . Son homologue dans la configurationt, par le

transport convectif est le paralllpipde de sommet M, dfini par les vecteursa , b , cdduits deA , B , Cpar le transport convectif (2.6).

On se propose dtablir la relation entre les volumes 0 et t de ces deux paral-llpipdes.

On introduit pour cela les tenseurs du second ordre (2)

FA

=A e1 + B e2 + C e3F

a=a e1 + b e2 + c e3

(1)Convention de sommation sur les indices rpts.(2)Linterprtation gomtrique de ces tenseurs est vidente : leurs applications linaires associes

transforment le tridre de base e1 , e2 , e3 respectivement en les tridres A , B , Cet a , b , c.


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2 Transport convectif en transformation homogne 49

Figure 4 Transformation homogne : transport convectif dun volume

qui, compte tenu de (2.6), sont lis par la relation :

Fa

=F(t) . FA

.(2.8)

On en dduit que :

det Fa

= det F(t) det FA

.(2.9)

Il est alors commode de choisir pour e1, e2, e3 une base orthonorme. Dans ce cason reconnat en det F

aet det F

Ales produits mixtes (a,b,c)et (A ,B,C), gaux aux

volumes algbriquest et 0 des paralllpipdes dans t et 0(3)

det Fa= tdet FA

= 0 .(2.10)

On obtient ainsi, en regroupant (2.9) et (2.10) la relation entre les deux volumeshomologues par le transport convectif dans une transformation homogne :

t=0det F(t).(2.11)

Le rsultat ainsi tabli stend videmment au cas dun volume 0 de formequelconque dans 0 puisque la transformation est homogne.

J(t) = det F(t) est la dilatation volumique dans la transformation homogne

entre les configurations initiale et actuelle.(4)(5)

On retrouve bien linterprtation donne au chapitre I ( 3.2) de la condition (2.5)impose J(X, t) = det F(t): conservation de lorientation du volume entre0 et tet dilatation volumique ni nulle, ni infinie.

(3)Si la base nest pas orthonorme ces deux dterminants sont proportionnels 0 et t.(4)Bien noter que la dilatation volumique dsigne le rapport volume actuel/volume initial et

non le rapport variation de volume/volume initial .(5)Si F(t) est dcompos selon (2.7), le calcul de detF(t) ncessite videmment dexprimer lune

des bases{ei} ou{eJ} en fonction de lautre : ei = Ki eK. On a alors : detF(t) =det[Ki FiJ(t)] .

On peut remarquer que si les deux bases sont orthonormes et de mme orientation on a toujoursdetF(t) =det[FiJ(t)] . Ce rsultat est valable de faon gnrale si {ei} et {eJ} se correspondent parune rotation. Lutilisation de la formule (3.5) du paragraphe 3.1 pourra aussi se rvler commodedans certains cas.


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3 Dformation en transformation homogne 51

En regroupant alors les formules (2.6), (2.13), (2.14) et (2.16), il vient :

V , a . F (t) . V= (det F(t)) A . V(2.17)do :

a= (det F(t)) tF1(t) . A(2.18)

qui exprime le transport dune surface oriente dans une transformation homogne.

3 Dformation en transformation homogne

3.1 Tenseur des dilatations

On se propose dtudier les dformations subies par la gomtrie du systme dans

la transformation homogne entre la configuration 0 et la configuration t. Intuiti-vement la notion de dformationsoppose celle disomtrie, et plus prcismentdisomtrie directe (produit dans R3 de translations et de rotations) : il ny a pasde dformation du systme dans la transformation de 0 et t si les distances entreles positions gomtriques des points matriels dans ces deux configurations sont in-variantes et si lorientation est conserve.

Cette ide sera exploite dans la suite, notamment au paragraphe 3.4 o lonverra par la dcomposition polaire , quun domaine entourant M0 dans 0 subit,dans son transport convectif dans t, outre la translation amenant M0 en M, deuxtransformations de natures diffrentes : une dformation pure et une rotation.

Afin de mettre en vidence laspect dformation du systme entre 0 et t,qui se rfre la mtrique, on va sintresser lvolution du produit scalaire de deuxvecteurs matriels quelconques considrs dans les configurations0 et t.

Figure 6 Transformation homogne : tenseur des dilatations

Soient V et Wdeux vecteurs dans0 en M0(figure 6) ;vet w les vecteurs trans-ports convectivement en Mdanst (vecteurs matriels) :

v= F(t) . V , w = F(t) . W .

Le produit scalaire des vecteurs v et wscrit :

v . w=(F(t) . V) . (F(t) . W),


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Figure 7 Transformation homogne : glissement danst, pour un couple de direc-tions orthogonales dans0

Il vient :

sin = C12

C11C22.(3.10)

Directions principales, dilatations principales

Les directions principales de C(t), tenseur euclidien symtrique rel, sont dfiniescomme indiqu dans lannexe I ( 5.10). Ce sont les directions propres de lapplicationlinaire associe C(t). Il sagit donc de trois directions orthogonales entre elles dans

la configuration0.

En choisissant alors une base orthonorme e1 , e2 , e3 dirige selon lesdirec-tions principales et en dsignant par Ci(i= 1, 2, 3)les valeurs principales de C(t),on obtient lexpression simple (toutes les reprsentations de C(t)concident) :

C(t) =C1 e1 e1+ C2 e2 e2+ C3 e3 e3 ;(3.11)

dans cette base la matrice C(t)deC(t)estdiagonale(8).

Les valeurs principales deC(t)sont toutes trois strictement positives car la formequadratiqueV . C(t) . V = |v|2 est dfinie positive. On convient de poser :

Ci =2i , i >0 (i= 1, 2, 3)(3.12)

o lon voit par (3.6) que :i =(ei),

cest--dire que i reprsente la dilatation dans la direction principale ei. Pour cetteraison les i sont appelesdilatations principales.

(8)

La mthode gnrale de dtermination des directions principales consiste rechercher les di-rections propres de C(t) sur une reprsentation mixte, par exemple contravariante-covariante. Enpratique, il sera souvent plus avantageux de choisir une base orthonorme quelconque, (dans laquelletoutes les reprsentations concident), et de chercher diagonaliser C(t).


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En appliquant la formule (3.10) aux directions principales prises deux deux onmet en vidence leur proprit gomtrique essentielle. En effet, en consquence dela diagonalisation de C(t) manifeste par (3.11), on trouve que pour tout couplede directions principales de C(t) on a : sin = 0 . Autrement dit, il ny a pas de

glissement dans le transport convectif entre 0 et t pour les directions principalesde C(t) . De plus, compte tenu de la positivit de det F(t) , le tridre trirectangledes directions transportes dans t a mme orientationque le tridre initial desdirections principales dans 0 .

Rciproquement, tout tridre de directions orthogonales dans 0 qui demeureorthogonal (et de mme orientation) dans le transport convectif entre0 et t est untridre de directions principales pour C(t). En effet, en choisissant une base ortho-norme dans 0 selon les directions considres, on trouve par (3.10) que la matriceC(t)dans cette base est diagonale.

La proprit est donc caractristique des directions principales. Elle fournit unmoyen commode pour leur dtermination exprimentale (figure 14) ou gomtrique.

Les directions principales de C(t) dans la configuration 0sont transportes convectivement dans t selon des directionsorthogonales.

On a videmment :

det C(t) =2

12

2 3

3 ,do, en application de (2.5) et (3.5), le rsultat

det F(t) =12 3

qui est immdiat gomtriquement si lon considre le transport convectif du cube(e1, e2, e3)et la formule (2.11).

3.3 Tenseur des dformations de Green-Lagrange

Dfinition

Les formules (3.6) et (3.4) mettent en vidence la parent existant entre les ten-seurs C(t) et 1l pour lexpression des produits scalaires des vecteurs transports etinitiaux. Aussi, de mme que lon a introduit en (3.7), partir de la dilatation dansune direction, lallongement unitaire dans cette direction, on compare maintenant leproduit scalaire v . wde (3.1) sa valeur dans la configuration de rfrence, en formantla diffrence :

v . w V . W=V . (tF(t) . F(t) 1l) . W .On dfinit alors un nouveau tenseur symtrique, note(t), par :

e(t) =1

2(tF(t) . F(t) 1l).(3.13)


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Ce tenseur est appel : tenseur des dformations de Green-Lagrange (9) etlon retiendra la formule (figure 8) :

v . w V . W = 2 V . e(t) . W .(3.14)

Figure 8Tenseur des dformations de Green-Lagrange

Proprits

Le tenseur des dformations de Green-Lagrange a videmment mmes directionsprincipales que C(t). Les valeurs principales ei sont appeles dformations princi-pales et sont relies de faon vidente celles de C(t):

ei=1

2(2i 1).

Les formules (3.6) (3.10) donnant la dilatation, lallongement unitaire et le glissementsexpriment en fonction de e(t) en se rfrant la dfinition (3.13). On obtient notamment, partir de (3.10) :

sin = 2 e12

(1 + 2 e11)(1 + 2 e22).

On prendra garde au fait que lallongement unitaire dfini par (3.7) nest pas reli linairement

e(t) !Il est commode, pour certaines applications, de connatre lexpression dedet F(t)en fonctiondes invariants (annexe I, 5.7), nots ici Ii, de e:

I1 =tr e , I2 =

1

2tr (e . e) =

1

2tr e2 , I3 =

1

3tr(e . e . e) =

1

3tr e3 ;

on a :

det C(t) =( det F(t))2 =2122

23 = 1 + 2I

1+ 2(I

1)

2 4I2+4

3(I1)

3 8 I1I2+ 8I3 ;

de mme :21

22+

22

23+

23

21 = 3 + 4I

1+ 2(I

1)2 4I2

et : 21+ 22+

23 = 3 + 2I

1 .

(9)G. Green (1793-1841).


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Tenseur de Green-Lagrange et transformation rigidifiante

Dans une transformation rigidifiante entre 0 et t, isomtrie directe, on a :

V ,

W , v . w= V . W

do, pour le tenseur des dilatations

C(t) = tF(t) . F(t) = 1l

(lapplication linaire associe F(t)est une rotation).

Le tenseur des dformations de Green-Lagrange est alors nul :

e(t) = 0.(3.15)

Cest la raison mme de lintroduction de ce tenseur car il facilite notamment lcri-ture linarise des formules pour les petites dformations ( e 1) : cf. par exempleau chapitre VII (section 5) la linarisation de la loi de comportement thermolastique.

On peut, par ailleurs, examiner le problme inverse de la proposition prcdentepour savoir si la proprit :

M0 0 , e(t) = 0(3.16)implique que le systme subit entre 0ettune transformation rigidifiante, est vraie.La dmonstration nen est pas immdiate car il nest pas acquis, a priori, que (3.16)

implique lhomognit de la transformation. On se reportera ce propos aux para-graphes 4.5, 6.3 et 7.1.

3.4 Dcomposition polaire

On considre (figure 9) lesdirectionsprincipales de C(t)dans 0et les directions homologuesde celles-ci par le transport convectif dans t. Comme on la dit ( 3.2) les orientationsdes tridres trirectangles ainsi obtenus dans les deux configurations sont identiques en con-squence de la positivit de det F(t).Soit alors la rotationde lespace euclidien amenant en concidence les directions du tridredans la configuration 0 sur celles du tridre dans la configuration t. On dsigne par R(t)le tenseur associ. On pose :

F(t) =R(t) . S(t)(3.17)

qui dfinit le tenseur S(t) :

S(t) =R1(t) . F(t).(3.18)

Pour tudier lapplication linaire associe S(t), on considre un vecteur V de 0 dirigsuivant une direction principale de C(t) et on forme :

S(t) . V =R1(t) . F(t) . V ;

on voit que : le vecteur F(t) . V dans t est dirig selon la direction dduite dans t de la direction

principale initiale dans 0 par le transport convectif


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Figure 9 Directions principales deC(t)dans0 et directions homologues par le trans-port convectif danst

en lui appliquant la rotation R1(t) , inverse de celle du tridre des directions principalesdans le transport convectif, on obtient le vecteur R1(t) F(t) . Vqui est dirig comme levecteur initial Vet dont la longueur est| F(t) . V| =(V)| V| .

Autrement dit :

S(t) . V =(V) V , (V) > 0 .(3.19)

Les directions principales de C(t) sont directions propres pour lapplication li-naire associe S(t) et les valeurs propres correspondantes sont positives.

On a ainsi mis en vidence la dcomposition polaire de F(t)exprime par la formule (3.17) :la transformation du systme est constitue dune rotation compose avec une applicationlinaire admettant les directions principales de C(t)pour directions propres avec des valeurspropres positives. Cette dernire sappelle ladformation pure du systme.Dans la base orthonorme des directions principales de C(t), S(t) scrit daprs (3.19) :

S(t) =1 e1 e1 + 2e2 e2+ 3e3 e3 .Le tenseur S(t) est symtrique et lon a :

C(t) = tF(t) . F(t) =S(t) . S(t) = (S(t))2 .(3.20)

La dcomposition polaire peut aussi se faire dans lordre inverse sous la forme :

F(t) =S(t) . R(t)

et lon trouve que S(t)est li S(t) par :

S(t) =R(t) . S(t) . R1(t).

Cette dcomposition est plus particulirement rattache la configuration t et dautrestenseurs de dformation (tenseur dAlmansi,...).

4 Dformation dun milieu continu : cas gnral

4.1 Transformation homogne tangente

On se propose maintenant de reprendre ltude du transport et des dformationsdans le cas gnral o le milieu continu subit une transformationquelconque entre


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4 Dformation dun milieu continu : cas gnral 59

0 et t. La fonction vectorielle dans la formule :

x= (X, t)(4.1)

est donc suppose quelconque sous les conditions de continuit et continue diffren-

tiabilit imposes au chapitre I ( 3.2) ; en particulier on a :

0< J(X, t) = D (x1, x2, x3)D (X1, X2, X3)

< .(4.2)

Le principe fondamental sur lequel sappuie toute cette tude consiste remplacerlocalement, en chaque point M0 dans0, la transformation par une transformationhomogne, fonction deM0, qui lui soittangente. En appliquant cette dernire lesrsultats des sections 2 et 3 ci-dessus on obtient les formules dfinissant le transportet les dformations entre 0 et t pour la transformation quelconque au point M0.Cest ce que reprsente symboliquement la figure 10.

Figure 10 Transformation homogne tangente en M0

Les hypothses de continue diffrentiabilit sur dans (4.1) permettent dcrire, partir du point M0 et pour un point courant M0dans0, les formules(i= 1, 2, 3):

xi =(i(X, t)

Xj Xj) + (xi

i(X, t)

Xj Xj) + | M0M0 |o(M0, M0)(4.3)

avec

limM0M0 o (M0, M

0) = 0.(4.4)

Les deux parenthses dans ces formules dfinissent une correspondance affine entreles coordonnes X

j et xi dune particule dans 0 et t. Cette correspondance esttangente la correspondance (4.1) au voisinage deM0(en raison de (4.4)). Reprenantalors les notations de (2.1) et (2.4) pour cettetransformation homogne tangenteen M0 la transformation quelconque donne par (4.1) on a :

Fij(X, t) =i(X, t)

Xj(4.5)

etF(X, t) =

i(X, t)

Xj ei ej .(4.6)


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F(X, t) apparat comme le gradientdu champ de vecteur (X, t) linstant tdans0 (annexe I, 6.2) :

F(X, t) = (X, t).(4.7)

Il est appelgradient de la transformationen M0.

4.2 Formules de transport

Ce sont, au changement de notations prs (dpendance en X), les formules desparagraphes 2.2, 2.3 et 2.4.

Sagissant de la transformation homogne tangente en M0, on a coutume, afinde rappeler que ces formules ne sont valables que localement au voisinage de M0, de

les crire sous forme diffrentielle en introduisant des vecteurs lmentaires , volumes lmentaires , etc.(10)

Transport dun vecteur

dM=F(X, t) . dM0 .(4.8)

Cette formule nest autre que la diffrentiation de (4.1) :

d x= (X, t) . dX .(4.9)

Du point de vue pratique, elle se rvle bien souvent la plus commode pour le calculdu gradient de la transformation F(X, t) , en particulier lorsque lon utilise, commeindiqu au paragraphe 2.2, des bases diffrentes eJ(J=I, II, III)et ei(i= 1, 2, 3)en M0 et en M.

On crit

dxi ei= (X, t) . (dXJeJ)(4.10)

et lon procde lidentification des termes pour obtenir

F(X, t) =FiJ(X, t) ei eJ .(4.11)

Transport dun volume

dt = d0det(F(X, t))

soit, compte tenu de (4.5) :

dt=J(X, t) d0(4.12)

(10)Du point de vue mathmatique, la transformation homogne tangente concerne les lments desespaces vectoriels tangents en M0 et Maux configurations gomtriques du systme dans 0 etdans t.


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6 Compatibilit gomtrique dun champ dedformation linarise

6.1 Position du problmeLa formule (4.18) indique comment partir du champ de dplacement (X, t)

entre les configurations 0 et t dans un rfrentielR, on construit le champ dedformation de Green-Lagrangee(X, t).

On peut aussi se poser le problme inverse : tant donn un champ de tenseurs dusecond ordre symtriques dfini sur0, quelles conditions ce champ est-il un champde dformation de milieu continu, cest--dire existe-t-il un champ de dplacement(X, t)dont il drive au sens de la formule (4.18) ?

Ce problme gnral, dit de la compatibilit gomtrique dun champ dedformation, correspond du point de vue physique au fait que la continuit dumilieu, au sens indiqu dans le chapitre I, doit tre conserve par ce champ. On yreviendra au paragraphe 6.4.

On a dj t confront un problme de cette nature au paragraphe 4.5 pour lechamp F(X, t) propos de la transformation rigidifiante : en effet cest en crivantla compatibilit gomtrique du champ de tenseurs F(X, t), cest--dire en exprimantquil est le champ de gradient dune fonction vectorielle (X, t), ou de faon quiva-lente quil drive dun champ de dplacement (X, t) de milieu continu par (4.17),que lon dmontre que R(X, t)dans (4.20) est indpendant de X.

Il est clair, du point de vue mathmatique, que desconditions de compatibilitdoivent ncessairement exister pour quun champ de dformation six composantesindpendantes drive effectivement par (4.18) dun champ de dplacement troiscomposantes (milieu continu tridimensionnel). Ces conditions peuvent tre tabliesdans le cas gnral des dformations finies. Dans la suite on ne rencontrera ce problmeque pour des dformations linarises du type (5.2) : ce sera notamment le cas auchapitre VIII (section 6) dans la rsolution des problmes dlasticit linariss. Onsera aussi confront au mme problme mathmatique propos de la compatibilitdun champ de taux de dformation eulrien au chapitre III ( 3.7).

On tablira ici les conditions de compatibilit pour un champ linaris (X, t)donn par ses composantes ij , lespace tant rapport un repre cartsien or-thonorm.

6.2 Conditions de compatibilit

Principe du raisonnement

Lespace est rapport un repre cartsien orthonorm. Le principe du raisonne-ment sinspire des constatations suivantes.

(X, t)tant le gradient dun champ de vecteurs, chacun des vecteurs-lignes de


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6 Compatibilit gomtrique dun champ de dformation linarise 69

On vrifie ensuite que, en consquence vidente de (6.7), les conditions dintgra-bilit des formes diffrentielles :

di = (ij+ wij)dXj(6.10)

sont identiquement vrifies, ce qui permet de construire un champ vectoriel (X, t)si le domaine de dfinition estsimplement connexe.

Compte tenu de lantisymtrie de w(X, t), (X, t)apparat bien comme la partiesymtrique du gradient du champ ainsi construit.

6.3 Commentaires

Les conditions (6.5) sont donc ncessaires et suffisantes pour quun champ de

tenseurs euclidiens, du second ordre, symtriques,soit la partie symtrique dugradient dun champ vectoriel , dans lhypothse dun domaine de dfinitionsimplement connexe. Ces conditions ont t tablies par Saint Venant (17) ;la premire dmonstration rigoureuse de leur caractre suffisant serait due Beltrami.

Si le domaine est multiplement connexe, des conditions supplmentaires doiventtre adjointes celles-l, dites conditions de fermeture, qui assurent luni-formit de la fonction vectorielle cest--dire son caractre bijectif.

Il peut sembler tonnant daboutir 6 conditions de compatibilit alors quele champ correspond 6 composantes indpendantes et le champ dontil drive, 3. En fait on peut montrer que les six quations (6.5) ne sontpas indpendantes entre elles : ces quations seront toutes vrifies dans undomaine 0 pour peu que lon sassure que trois dentre elles sont vrifiesdans ce domaine et les trois autres au contour.

On remarque que les conditions (6.5) portent sur les drives secondesdes composantes ij en coordonnes cartsiennes orthonormes. Ilsensuit en particulier que tout champ dont les composantes ijsont des fonctions affines des Xk est intgrable .

On retiendra que dans la pratique lintgration dun champ de dformation

gomtriquement compatible pour obtenir le champ de dplacement correspon-dant seffectue en sappuyant sur (6.7), (6.9) et (6.10). Le champ (X, t) estdtermin, dans le respect de lhypothse de la transformation infinitsimale, un champ de dplacement rigidifiant additif prs . Ce champ est eneffet introduit par les constantes qui apparaissent dans les deux intgrationssuccessives : un tenseur antisymtrique constant dans lintgration de (6.9), d-finissant unerotation infinitsimale , un vecteur constant dans lintgrationde (6.10) dfinissant unetranslation.

Ce rsultat ne doit pas surprendre. En effet, dans lhypothse de la transformation infini-tsimale qui permet la linarisation des formules, laddition dun champ de dplacementrigidifiant (dont la rotation est infinitsimale) ninduit aucune dformation du systme. Il

(17)A. Barr de Saint Venant (17971886) ; E. Beltrami (1835-1900).


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est donc logique que la donne dun champ gomtriquement compatible ne permette dedterminer le champ que sous la rserve dun champ de dplacement rigidifiant infinitsimalarbitraire.On peut aussi y apporter un complment. Comme on la vu par exemple au paragraphe4.5, une transformation rigidifiante compose avec une transformation quelconque ninduit

aucune modification du champ de dformation e. Il en rsulte quen composant une transfor-mation rigidifiante quelconque avec un champ de dplacement dtermin, en transformationinfinitsimale, partir du champ , on obtient une transformation finie dans laquelle le champde dformation e est gal au champ linaris du champ original . Cest par exemple lecas lorsque lon sintr