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  • Mcanique des milieux continus

    Nicolas MOS

    EI1

    COLE CENTRALE DE NANTES

  • TABLE DES MATIRES

    Table des matires

    1 Pourquoi la mcanique des milieux continus 51.1 De la mcanique du point matriel la mcanique des milieux continus . . . .51.2 La mcanique des milieux continus au centre des disciplines de lingnieur . .71.3 Notion de milieu continu et dchelle dobservation . . . . . . . . . . . . . . .81.4 Remarques importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91.5 Systme dunits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

    2 lments de calcul tensoriel 102.1 Convention de sommation dEinstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102.2 Symbole de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102.3 Symbole de permutation dit de Lvi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112.4 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112.5 Scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122.6 Vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122.7 Tenseur dordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132.8 tude des tenseurs dordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

    2.8.1 Tenseur identit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132.8.2 Tenseur symtrique et antisymtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . .132.8.3 Trace dun tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142.8.4 Produit contract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142.8.5 Produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142.8.6 Reprsentation spectrale dun tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

    2.9 Formule dintgration par partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162.9.1 Formule de Green-Ostrogradski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

    2.10 Formule de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162.11 Systmes de coordonnes curvilignes orthogonales . . . . . . . . . . . . . . .16

    2.11.1 Coordonnes cartsiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172.11.2 Coordonnes cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172.11.3 Coordonnes sphriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .192.11.4 Formules utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20

    3 Description de la cinmatique dun milieu continu 223.1 Trajectoire et drives temporelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .223.2 Gradient de la transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .263.3 Dfinition des tenseurs de dformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .283.4 Interprtation des composantes des tenseurs de dformations . . . . . . . . . .303.5 Dcomposition polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .323.6 Changement de volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .343.7 Changement de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .353.8 Taux de dformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

    cole Centrale de Nantes : cours de mcanique des milieux continus page 1

  • TABLE DES MATIRES

    3.9 Dformations en petites perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .363.9.1 Formulation de lhypothse des petites perturbations (HPP) . . . . . .363.9.2 Simplification des rsultats dans lhypothse HPP . . . . . . . . . . . .373.9.3 Conditions de compatibilit des dformations . . . . . . . . . . . . . .403.9.4 Directions principales des dformations et cercle de Mohr . . . . . . .413.9.5 Dpouillement dune rosette en extensomtrie . . . . . . . . . . . . . .42

    4 Lois de bilan 444.1 Forme globale des lois de bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .444.2 Forme locale des lois de bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .454.3 Consquences des lois de bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53

    4.3.1 Consquences de la conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . .534.3.2 Consquences de la bilan de quantit de mouvement . . . . . . . . . .544.3.3 Consquences de la bilan du moment cintique . . . . . . . . . . . . .544.3.4 Consquences du bilan de lnergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55

    5 Le tenseur des contraintes 565.1 Introduction du tenseur des contraintes par extension de la mcanique des so-

    lides indformables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .565.1.1 Volume lmentaire au sein du milieu . . . . . . . . . . . . . . . . . .575.1.2 Volume lmentaire en surface du milieu . . . . . . . . . . . . . . . .59

    5.2 Introduction du tenseur des contraintes par le principe des puissances virtuelles625.2.1 Dfinition des puissances virtuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . .625.2.2 Thorme de lnergie cintique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .635.2.3 La dualit en mcanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64

    5.3 Proprits locales du tenseur des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .655.3.1 Contrainte normale et contrainte de cisaillement . . . . . . . . . . . . .655.3.2 Contraintes normales principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .665.3.3 Reprsentation des contraintes : le tricercle de Mohr . . . . . . . . . .665.3.4 tat plan de contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .695.3.5 Tenseur des contraintes sphrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .695.3.6 Tenseur des contraintes uniaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .705.3.7 Tenseur des contraintes de cisaillement simple . . . . . . . . . . . . .70

    6 Thorie de llasticit linaire isotrope 716.1 Les quations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71

    6.1.1 La cinmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .716.1.2 Equilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .726.1.3 Comportement lastique isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .726.1.4 Rcapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76

    6.2 Thormes de lnergie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .776.3 Techniques de rsolution analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79

    6.3.1 Approche en dplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .796.3.2 Approche en contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .806.3.3 Solide en tat plan de dformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .816.3.4 Solide en tat plan de contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .826.3.5 Fonction de contrainte dAiry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84

    6.4 Techniques de rsolution numriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .856.5 Thermolasticit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85

    cole Centrale de Nantes : cours de mcanique des milieux continus page 2

  • TABLE DES MATIRES

    7 Problmes classiques dlasticit 877.1 Cylindre sous pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .877.2 Traction dun barreau prismatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .897.3 Torsion dun barreau prismatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91

    8 Thermodynamique et lois de comportement 978.1 Le premier principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .978.2 Le second principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98

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  • TABLE DES MATIRES

    Avant-Propos

    Dans ce cours des milieux continus, une cohrence de contenu a t recherche avec lesautres cours de mcanique du Tronc Commun savoir :

    dynamique des solides (1re anne) ; rsistance des matriaux (1re anne) ; matriaux (1re anne) ; technologie de conception mcanique (1re anne) ; mcanique des fluides (2me anne) ; mthode des lments finis (2me anne) ; mcanique des vibrations (2me anne).Cette cohrence a t recherche galement autant que possible pour les notations (le cas

    chant, un choix diffrent de notation par rapport un autre cours de tronc commun est indiqupar une note en bas de page).

    Rdiger un polycopi sur la mcanique des milieux continus pour un cours de tronc commundcole dingnieurs nest pas une tche aise. Jai t grandement aid dans cette entreprise pardiffrents collgues qui ont pris la peine de me donner leur avis sur ce document. Les conseilspdagogiques de J.-F. Sini ont galement t trs bnfiques. Enfin, mes remerciements vont G. Legrain qui a ralis le site web de ce cours et toutes les figures dune main de matre.

    Nicolas MOS, Nantes, Septembre 2003.

    cole Centrale de Nantes : cours de mcanique des milieux continus page 4

  • CHAPITRE 1. POURQUOI LA MCANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

    Chapitre 1

    Pourquoi la mcanique des milieuxcontinus

    1.1 De la mcanique du point matriel la mcanique desmilieux continus

    La mcanique du point matriel permet de prdire le mouvement dun point soumis uneensemble de forces. On distingue dans cette thorie la description de la cinmatique : position,vitesse et acclration du point, et la dynamique : relation entre force et mouvement (la se-conde loi de Newton~f = m~a). Cette thorie permet par exemple de calculer le trajet dlectronsdans un champ magntique ou de prdire lorbite dune plante soumise aux forces gravitation-nelles.

    Avec la mcanique du point matriel, on ne peut dcrire les rotations dun corps sur lui-mme. Cette thorie nest donc pas adapte pour tudier le trajet dune boule de billard ou pourtudier la rotation dune plante ou dun satellite sur lui-mme lors de son orbite. Pour cela,il faut la mcanique des solides indformables qui intgre la notion

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