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Maple, modélisation et résolution de problèmes

Philippe Etchecopardu Groupe de travail du département de mathématiques

Cégep de RimouskiAvec la collaboration de

Norbert Verdier, IUT de Paris OrsayEt

Lucien Roy, Cégep de Rimouski

Mai 2005

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Deux grandes notions derrière le

bouleversement du monde des sciences

par l’ordinateur : celle de modèle et celle

de simulation.

Amy Dahan DalmedicoMaître de conférence Polytechnique

Auteure de Histoire des mathématiques au Seuil

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Mathématique et modélisation

Objectifs de Sciences de la nature

Résoudre les problèmes de façon systématique

Appliquer la démarche scientifique

Développer des attitudes propres au travail scientifique

Apprendre de façon autonome

Travailler en équipe

Traiter de situations nouvelles à partir de ses acquis

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Mathématique et modélisation

Contexte de l’enseignement des sciences

Accumulation exponentielle des connaissancesDéveloppement des technologiesDéveloppement des communicationsInterrelation des sciences

Maîtrise de l ’information et des technologiesTravail d’équipe et communicationTravail par projets multidisciplinairesAutonomie et esprit critique

Développement des sciences

De nouvelles méthodes de travail

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Mathématique et modélisation

Les mathématiques

Abstraire et généraliserRaisonnerDécomposer les difficultés et enchaîner les résultats

Interne : raisonnement et cohérence (maths pures)Externe : modéliser la nature (maths appliquées)

Les mathématiques et la formation

Les champs des mathématiques

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Des mots

• Modèle• Simulation• Démonstration• et tutti quanti

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Des apparences naturelles

Ceci n’est pas une pomme de terre!

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Ceci non plus!

Mais c’est la représentation d ’une ellipsoïde (d’équation x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1) qui peut être un modèle de pomme de terre pour un mathématicien!

Des réalités mathématiques

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Avec ce modèle on peut :

• Faire des calculs avec notre ellipsoïde (volume, surface, . . . ) et les appliquer à notre pomme de terre => MATHEMATIQUES APPLIQUEES

• Développer une théorie des ellipsoïdes (sans se préoccuper d ’une quelconque application à l’agriculture!). => MATHEMATIQUES « PURES »

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Mathématique et modélisationL’enseignement des mathématiques

Conception formalisteDémarche déductive, enseignement magistralCalculs

Recettes de calcul à mémoriserPeu de transfert, peu d’utilitéPas d’autonomie, pas d’esprit critique

L’enseignement traditionnel

Les lacunes

L’apport des TICExpérimenterModéliser et simulerMathématiser des situations concrètes

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Mathématique et modélisation

De l’enseignement magistral à la résolution de problèmes, Des exercices aux problèmes…

Exercices liés à un enseignement magistralRecherche d’une formule ou d’un exempleProblème=exercice long

Plusieurs étapesPlusieurs sources mathématiques

Les exercices classiques

Les problèmes

TIC et résolution de problèmeCalculs, graphiques et simulationsDémarche algorithmique

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Mathématique et modélisationLa résolution de problème

Intégration des TICTravail d’équipe

AutonomieEsprit critiqueÉtapes

Développer une méthode de travail

Développer des habiletés

Stimuler l’intérêtExpérimentationContextualisationCulture

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Mathématique et modélisation

Du calcul différentiel au calcul intégral

Des problèmes internes aux problèmes externes

Des problèmes structurés aux problèmes ouverts

Des problèmes synthèse vers l’APP

Des problèmes bien définis vers les problèmes mal définis

De la résolution à l’APP

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Mathématique et modélisation

Observation et description générale d ’un phénomène

Description mathématique à partir des lois générales (Hypothèses)

Résolution : dresser un modèle et étudier le phénomène (simulations)

Version courte sans TIC, version régulière avec Maple

Compréhension plutôt que réponse particulière

Diversité des études

Principes

Modélisation et résolution de problème

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Mathématique et modélisation

Problématique et hypothèse

Les étapes

Modélisation

Observation

Modèle et protocole de laboratoireMathématisation

Rapport de laboratoire et commentaires

Les limites du modèle

Synthèse et critiques

Expérimentation

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Schéma Session 1

Observation• Problématique

• Hypothèse

Mathématisation• Mathématisation

• Protocole de lab

Expérimentation• Rapport de lab

Synthèse• Rapport final

Mathématique et modélisation

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Mathématique et modélisation

Les cours en Sciences de la nature

Informatique, résolution de problème et cultureActivité synthèse APP

Cohérence entre les coursInformatique 1h/semaine en lab plus travail personnelModélisationApproche multidisciplinaireVolet culture

Politiques départementales

Programme

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Mathématique et modélisation

Initiation à MapleInitiation à la démarche algorithmique et à la modélisationOptimisation, taux de variation, taux liés, mouvements

NYA

Les thèmes

Équations différentiellesBiologie et mouvementSommes de Riemann et physique

NYB

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Mathématique et modélisation

Programmation linéaire

NYC

Les thèmes

ProgrammationProjets (modélisation)Équations différentielles, optimisation

Calcul 3

Équations différentiellesPhénomènes vibratoires en mécanique et en électricité (résonance)

AS

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Mathématique et modélisation

Méthode de travail

Rôle des mathématiques et s(t)imulation

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Démarche scientifique