« Poincaré : Philosophe et mathématicien », Les génies de la Science, Pour la « Poincaré : Philosophe et mathématicien », Les génies de la Science, Pour la Science, Novembre 2000Science, Novembre 2000

H. Poincaré, « La Science et l’hypothèse », Paris, Flammarion 1906H. Poincaré, « La Science et l’hypothèse », Paris, Flammarion 1906

I.I. Prigogine, « La fin des certitudes », Editions Odile Jacob, 1996Prigogine, « La fin des certitudes », Editions Odile Jacob, 1996

E. Schrödinger, « Qu’est-ce que la vie? », Seuil, Collection Point ScienceE. Schrödinger, « Qu’est-ce que la vie? », Seuil, Collection Point Science

« La complexité, Science du XXIeme siècle », Pour la Science, Numéro spécial « La complexité, Science du XXIeme siècle », Pour la Science, Numéro spécial Décembre 2003Décembre 2003

I- Nécessité du hasard• Manifestations physiques

• Qu’est-ce que le hasard?

II- Le hasard: réalité ou fiction?•Hasard classique : L’exemple du mouvement brownien. Hasard et déterminisme. Des probabilités pour quantifier l’ignorance.

•Hasard quantique: Quand la Nature joue aux dés. Des probabilités quantiques objectives.

III- Le hasard et la complexité•De Poincaré aux théories du chaos. Imprédictibilité.

•Le chaos comme forme objective de hasard

•Du chaos microscopique à la régularité macroscopique

Conclusion

Jeux de hasard, fluctuations Jeux de hasard, fluctuations du marché boursier, du marché boursier,

simulations numériques, …simulations numériques, …Mouvement brownien Mouvement brownien (systèmes biologiques)(systèmes biologiques)

Fluctuations de la géométrie de l’espace-Fluctuations de la géométrie de l’espace-tempstemps

Solides désordonnésSolides désordonnés

Qu’est-ce que le hasard?Qu’est-ce que le hasard?

Pas de définition unique…Pas de définition unique…

Coïncidences de séries Coïncidences de séries causales causales

indépendantesindépendantesIntervention d’éléments Intervention d’éléments

incontrôlablesincontrôlables

Manque de connaissances Manque de connaissances sur le systèmesur le système

(causes non connues)(causes non connues)

Rencontrer quelqu’un par hasard… Prise de décision

humaine

Apparition de la vie….

Jet de dés, pièce de monnaie, systèmes

complexes

Hasard = Imprévisibilité : On ne sait pas ce qui va se passer….Hasard = Imprévisibilité : On ne sait pas ce qui va se passer….

Mais…Mais…

But de la ScienceBut de la Science

Déterminer les causes des phénomènes et fournir des outils de Déterminer les causes des phénomènes et fournir des outils de prédiction (anticiper les conséquences des phénomènes)prédiction (anticiper les conséquences des phénomènes)

… … la Science cherche à réduire l’effet du hasard !!la Science cherche à réduire l’effet du hasard !!

Le hasard a-t-il une existence Le hasard a-t-il une existence objective?objective?

Une science du hasard est-elle possible?Une science du hasard est-elle possible?

Un cadr

e: l’

espa

ce

et le

temps

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olus

de N

ewto

n

Idéal classique de représentation des Idéal classique de représentation des phénomènesphénomènes

Particules et …

…champs médiateurs des forces

Objets localisés

Objets étendus dans l’espace

Ex: Champ de gravitation, électrique, magnétique, …

Lois de la dynamique de

Newton/Conditions initiales

Mouvement des particulesMouvement des particules

Systèmes de particules Systèmes de particules en interactionen interaction

Systèmes complexes: Gaz,

liquides, solides, …

Le déterminismeLe déterminisme : Tout est donné (ses états futurs comme Tout est donné (ses états futurs comme son histoire) si l’on connaît la configuration du système à son histoire) si l’on connaît la configuration du système à

un instant donné (conditions initiales)un instant donné (conditions initiales)

Idéal classique = Existence d’une Idéal classique = Existence d’une réalité objectiveréalité objective (microscopique) (microscopique) caractérisée parcaractérisée par

La réversibilitéLa réversibilité : Pas de distinction entre le passé et le futurPas de distinction entre le passé et le futur

Monde totalement prédictible mais cette réalité objective Monde totalement prédictible mais cette réalité objective est accessible en principe et non en pratique: limitation est accessible en principe et non en pratique: limitation de nos moyens intellectuels et matériels (caractère de nos moyens intellectuels et matériels (caractère grossier des moyens expérimentaux)grossier des moyens expérimentaux)

Symbole de cette prédictibilité affirmée = le démon de LaplaceSymbole de cette prédictibilité affirmée = le démon de Laplace

Comment concilier « prédictibilité de principe » et « non Comment concilier « prédictibilité de principe » et « non prévisibilité pratique »?prévisibilité pratique »?

Etat initial parfaitement

connu

Etat initial non parfaitement connu

(distribution)

Nuage initial

Nuage à l’instant t

Etat à t

Evolu

tions p

ossib

les

Extension du domaine = degré d’ignorance sur l’état initial

Evolution

EvolutionEvolutionSchéma Schéma

probabilisteprobabiliste

Evolution déterministe Evolution déterministe des distributions de des distributions de

probabilités!!probabilités!!Hasard subjectifHasard subjectif

Succès Succès et du hasard subjectif et et du hasard subjectif et contradictionscontradictions de l’approche microscopique de l’approche microscopique

Evolution (constatée) Evolution (constatée) irréversible des grands irréversible des grands

systèmessystèmes

Configuration Configuration initiale du gazinitiale du gaz

DiffusionDiffusion Configuration Configuration finale du gaz: finale du gaz:

répartition répartition homogène des homogène des particules dans particules dans

les les compartimentscompartiments

Pas d’évolution Pas d’évolution macroscopiquemacroscopique

Dynamique microscopique (approche exacte): prédit l’évolution inverse

Théorème Théorème de de

récurrence récurrence de de

PoincaréPoincaré

Le morceau de sucre dissout Le morceau de sucre dissout dans le café peut-il se dans le café peut-il se

reconstituer?reconstituer?

L’irréversibilité L’irréversibilité macroscopique est-elle une macroscopique est-elle une

illusion?illusion?

Comment lever la contradiction?Comment lever la contradiction?

Argument de Poincaré: le temps de Argument de Poincaré: le temps de retour augmente très vite avec la retour augmente très vite avec la taille du système et donc l’évolution taille du système et donc l’évolution prédite n’est pas observable prédite n’est pas observable

Irréversibilité = illusion « pratique »Irréversibilité = illusion « pratique »

Le monde reste déterministe et Le monde reste déterministe et réversible: la machinerie cosmique obéit réversible: la machinerie cosmique obéit à la mécanique bien huilée de Newton à la mécanique bien huilée de Newton qui laisse peu de place à l’incertitude!qui laisse peu de place à l’incertitude!

Conséquences: Tout hasard est subjectif et la réduction de la Conséquences: Tout hasard est subjectif et la réduction de la Thermodynamique (Boltzmann) à la Mécanique est illusoireThermodynamique (Boltzmann) à la Mécanique est illusoire

Mais d’autres découvertes vont ébranler ces certitudes…Mais d’autres découvertes vont ébranler ces certitudes…

*Mouvement brownien (R. Brown, 1827) : décrit par A. Einstein *Mouvement brownien (R. Brown, 1827) : décrit par A. Einstein (1905) puis Langevin (dynamique non déterministe). Justification (1905) puis Langevin (dynamique non déterministe). Justification microscopique de la diffusion. Modèle simple: marche aléatoiremicroscopique de la diffusion. Modèle simple: marche aléatoire

* Poincaré (début XX ème siècle) découvre l’instabilité et * Poincaré (début XX ème siècle) découvre l’instabilité et l’imprédictibilité (non calculabilité) dans des systèmes simples (3 corps)l’imprédictibilité (non calculabilité) dans des systèmes simples (3 corps)

* Et la Physique Quantique…* Et la Physique Quantique…

•1924: Hypothèse des ondes de matière par De Broglie

•1925: Découverte de la loi régissant la propagation de ces ondes par Schrödinger – Espoir d’une physique du continu

•1925/26: L’onde se propage dans un espace abstrait – ruine de cet espoir: que sont les ondes? Que sont les particules?

•1927: Mise en évidence expérimentale de ces ondes…

Pendant ce temps…

•1925: Invention d’une mécanique abstraite –la mécanique matricielle – par Heisenberg. Basée sur la notion de grandeur physique uniquement (pas d’onde). Rupture avec l’idéal classique. Grands succès.

•1926: Equivalence avec la mécanique ondulatoire démontrée par Schrödinger.

•1926: Notion de particule objective. Born propose l’interprétation probabiliste de l’onde de Schrödinger- De Broglie

…De nouvelles probabilités: Rupture définitive avec la physique classique!!

L’onde est déterminée de façon rigoureuse et donc aussi les probabilités. On ne peut prédire que les probabilités d’occurrence des événements (réalisations des phénomènes):Les phénomènes sont soumis à un déterminisme statistique.

Pour concilier les notions de particule et d’onde: L’onde est un outil de prévision Pour concilier les notions de particule et d’onde: L’onde est un outil de prévision probabiliste du comportement de la particule (son mouvement par ex.)probabiliste du comportement de la particule (son mouvement par ex.)

Onde = Champ Onde = Champ – Objet associant à tout point de – Objet associant à tout point de l’espace un nombre d’autant plus grand que l’onde y l’espace un nombre d’autant plus grand que l’onde y est plus marquée (amplitude plus grande)est plus marquée (amplitude plus grande)

Calcul de la probabilité (intensité)

« Probabilité » de trouver la particule en un point :

2

Seules sont mesurables ces probabilités: les interférences sont un révélateur des Seules sont mesurables ces probabilités: les interférences sont un révélateur des probabilités quantiques …probabilités quantiques …

Impacts aléatoires et non Impacts aléatoires et non prédictibles!!!prédictibles!!!

Les découvertes de Poincaré au début du XXème siècle portent les germes d’un renouvellement de la Les découvertes de Poincaré au début du XXème siècle portent les germes d’un renouvellement de la dynamique: aboutissent à la dynamique: aboutissent à la théorie du Chaosthéorie du Chaos (années 50/60) (années 50/60)

Les systèmes instables découverts par Poincaré (Pb à 3 corps) ne sont pas l’exception mais la règle Les systèmes instables découverts par Poincaré (Pb à 3 corps) ne sont pas l’exception mais la règle (les systèmes prédictibles sont exceptionnels!!): ils sont imprédictibles (non calculables)(les systèmes prédictibles sont exceptionnels!!): ils sont imprédictibles (non calculables)

La source de l’imprédictibilité est inhérente aux systèmes: Le démon de Laplace est impuissant!!La source de l’imprédictibilité est inhérente aux systèmes: Le démon de Laplace est impuissant!!

Dans ce domaine, la Dans ce domaine, la description probabiliste description probabiliste

est nécessaire: Apparition est nécessaire: Apparition d’un hasard objectif (dans d’un hasard objectif (dans un système déterministe)!un système déterministe)!

L’instabilité invalide la description de l’évolution en termes de « trajectoires » (au sens L’instabilité invalide la description de l’évolution en termes de « trajectoires » (au sens généralisé) au profit de la description probabiliste qui, seule, est déterministe: la généralisé) au profit de la description probabiliste qui, seule, est déterministe: la

probabilité n’est plus la mesure de notre ignorance!probabilité n’est plus la mesure de notre ignorance!

Dans le cas stable (rare), les deux descriptions sont équivalentes.Dans le cas stable (rare), les deux descriptions sont équivalentes.

Dans le cas des systèmes complexes (grands systèmes), l’instabilité a pour origine les Dans le cas des systèmes complexes (grands systèmes), l’instabilité a pour origine les résonances (dites de Poincaré).résonances (dites de Poincaré).

Le phénomène de résonance est courant en Physique:Ex. de la corde vibranteLe phénomène de résonance est courant en Physique:Ex. de la corde vibrante

L’émergence de la flèche du temps dans les grands systèmesL’émergence de la flèche du temps dans les grands systèmes

Formes de résonance de la corde (fuseaux) Formes de résonance de la corde (fuseaux) quand la fréquence d’excitation coïncide quand la fréquence d’excitation coïncide

avec des multiples d’une fréquence avec des multiples d’une fréquence fondamentalefondamentale

Un système de particules en interaction est caractérisé par un certain nombre de fréquences caractéristiques

Dans l’espace (abstrait) de représentation des Dans l’espace (abstrait) de représentation des états où est décrite l’évolution, on distingue des états où est décrite l’évolution, on distingue des points particuliers: ceux en lesquels les points particuliers: ceux en lesquels les rapports des fréquences ont une valeur rapports des fréquences ont une valeur particulière définissent les résonances de particulière définissent les résonances de PoincaréPoincaré

En ces points, les trajectoires déterministes ne sont plus définies!En ces points, les trajectoires déterministes ne sont plus définies!

Dans les grands systèmes (prototypes des systèmes thermodynamiques), ces résonances Dans les grands systèmes (prototypes des systèmes thermodynamiques), ces résonances remplissent de façon très dense l’espace des états: les trajectoires s’effacent complètement!remplissent de façon très dense l’espace des états: les trajectoires s’effacent complètement!

L’évolution du système prend alors la forme d’un processus de diffusion (mouvement L’évolution du système prend alors la forme d’un processus de diffusion (mouvement brownien): C’est-à-dire une dispersion uniforme des états et entropie croissante !!! brownien): C’est-à-dire une dispersion uniforme des états et entropie croissante !!!

L’instabilité de la dynamique microscopique donne naissance à travers les résonances, L’instabilité de la dynamique microscopique donne naissance à travers les résonances, à un hasard objectif , reflet d’une description statistique irréductible à l’ancien idéal de à un hasard objectif , reflet d’une description statistique irréductible à l’ancien idéal de description du monde en termes de trajectoires individuelles.description du monde en termes de trajectoires individuelles.

La description probabiliste La description probabiliste

devient seule possible et devient seule possible et nécessairenécessaire

C’est ce processus qui rend C’est ce processus qui rend intrinsèquement irréversible intrinsèquement irréversible l’évolution des grands systèmes et l’évolution des grands systèmes et explique l’émergence d’une flèche explique l’émergence d’une flèche du temps à l’échelle du temps à l’échelle macroscopique…macroscopique…

L’irréversibilité n’est L’irréversibilité n’est pas une illusion!pas une illusion!Les probabilités Les probabilités

deviennent un élément deviennent un élément de réalitéde réalité

Le monde physique est une vaste scène où se joue une partie de dés permanente. Ce constat est Le monde physique est une vaste scène où se joue une partie de dés permanente. Ce constat est l’aboutissement de la longue et tortueuse histoire de la dynamique marquée par de profondes l’aboutissement de la longue et tortueuse histoire de la dynamique marquée par de profondes mutations de l’idée de hasard. mutations de l’idée de hasard.

D’abord « mesure » (et constat pratique) de notre ignorance d’un monde voué au déterminisme D’abord « mesure » (et constat pratique) de notre ignorance d’un monde voué au déterminisme laplacien où règne la perfection des trajectoires individuelles accessible à l’inhumaine intelligence laplacien où règne la perfection des trajectoires individuelles accessible à l’inhumaine intelligence d’un démon, le hasard se fait probabilité que l’on croyait destiné à s’évanouir avec le progrès…d’un démon, le hasard se fait probabilité que l’on croyait destiné à s’évanouir avec le progrès…

Il fallut le génie d’un Poincaré pour concilier les ambiguïtés d’un monde ensorcelé par le démon de Il fallut le génie d’un Poincaré pour concilier les ambiguïtés d’un monde ensorcelé par le démon de Laplace: La perfection d’un monde microscopique déterministe et réversible, prédictible et l’illusoire Laplace: La perfection d’un monde microscopique déterministe et réversible, prédictible et l’illusoire irréversibilité du monde macroscopique. La rigueur mathématique contre le rêve éveillé d’un irréversibilité du monde macroscopique. La rigueur mathématique contre le rêve éveillé d’un Boltzmann : achever la réduction de la thermodynamique à la mécanique. Boltzmann : achever la réduction de la thermodynamique à la mécanique.

Mais Boltzmann était un visionnaire…car c’est aussi Poincaré qui sape les bases de ce temple édifié à Mais Boltzmann était un visionnaire…car c’est aussi Poincaré qui sape les bases de ce temple édifié à la gloire de la prédictibilité en découvrant des systèmes simples imprédictibles remettant en cause la gloire de la prédictibilité en découvrant des systèmes simples imprédictibles remettant en cause l’éternelle régularité du ballet des planètes. La découverte de Poincaré sera grosse d’un monde, celui l’éternelle régularité du ballet des planètes. La découverte de Poincaré sera grosse d’un monde, celui du Chaos. Celui du hasard objectif. du Chaos. Celui du hasard objectif.

Les vieilles résonances de Poincaré auront eu raison du vieux démon de Laplace en nous livrant un Les vieilles résonances de Poincaré auront eu raison du vieux démon de Laplace en nous livrant un monde dynamique renouvelé où l’irréversibilité n’est que la partie visible du travail des instabilités monde dynamique renouvelé où l’irréversibilité n’est que la partie visible du travail des instabilités microscopiques. Exit les vieilles trajectoires ! Place aux probabilités objectivées! La fin des certitudes microscopiques. Exit les vieilles trajectoires ! Place aux probabilités objectivées! La fin des certitudes écrira I. Prigogine et le début d’une vision physique renouvelée de la Nature où le rôle constructif du écrira I. Prigogine et le début d’une vision physique renouvelée de la Nature où le rôle constructif du hasard peut opérer pleinement en nous livrant ces extraordinaires structures dissipatives, fruits de hasard peut opérer pleinement en nous livrant ces extraordinaires structures dissipatives, fruits de l’auto-organisation des systèmes loin de l’équilibre. La Vie nous est enfin accessible…l’ancien monde l’auto-organisation des systèmes loin de l’équilibre. La Vie nous est enfin accessible…l’ancien monde est mort.est mort.